series de fourier para circuitos electricos
DESCRIPTION
circuitos electricosserie de fouriercorriente alternaingenieriaelectricidadTRANSCRIPT
Series de Fourier
Introducción
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la
“Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la
solución de problemas de valores en la frontera en la
conducción del calor.
Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta
teoría son muy bastas: Sistemas Lineales,
Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y
por supuesto, Circuitos Eléctricos entre muchas otras.
TEOREMA DE FOURIER Toda señal
periódica puede
descomponerse
como suma de
señales
senoidales:
n
n tnsenaKtf )()( 0
Ejemplo: Señal Cuadrada
Componentes:
Funciones Periódicas Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo
anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...
Funciones Periódicas
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Pero como se sabe cos(x+2k)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que
T/3=2k1, T/4=2k2
Es decir,
T = 6k1 = 8k2
Donde k1 y k2 son enteros,
El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24
)?cos()cos(f(t)4t
3t
)cos()cos(T)f(t4Tt
3Tt )cos()cos(f(t)
4t
3t
Funciones Periódicas
Gráfica de la función
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
T
)cos()cos(f(t)4t
3t
Funciones Periódicas Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.
Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función
f(t) = cos(1t)+cos(2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que
1T= 2m, 2T=2n
De donde
Es decir, la relación 1/ 2 debe ser un número racional.
n
m
2
1
Funciones Periódicas
Ejemplo: la función cos(3t)+cos(+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30 -2
-1
0
1
2 f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)
t
f(t)
Funciones Periódicas Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes
funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t)= sen2(2t)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)
4) f(t)= sen(1t)+cos(2t)
5) f(t)= sen(2 t)
Serie Trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...
+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...
Donde 0=2/T.
Es decir,
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
Serie Trigonométrica de Fourier Es posible escribir de una manera ligeramente
diferente la Serie de Fourier, si observamos que el
término ancos(n0t)+bnsen(n0t) se puede escribir
como
Podemos encontrar una manera más compacta
para expresar estos coeficientes pensando en un
triángulo rectángulo:
)()cos( 0
220
22
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn
Serie Trigonométrica de Fourier
Con lo cual la expresión queda
n2n
2n
n
n2n
2n
n
senba
b
cosba
a
an
bn
2
n
2
nn baC
n
)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn
)tncos(C n0n
Serie Trigonométrica de Fourier
Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier
se puede escribir como
Así,
y
1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
22
nnn baC
n
nn
a
b1tan
Serie Trigonométrica de Fourier Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y
n, de manera que la serie de Fourier se pueda
escribir como
1
00 )()(n
nn tnsenCCtf
Componentes y armónicas
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias n=n0.
A la componente sinusoidal de frecuencia n0: Cncos(n0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia 0=2f0=2/T se le llama frecuencia angular fundamental.
Componentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le
llama componente de corriente directa (cd) o
corriente continua (cc) y corresponde al valor
promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes Cn y los ángulos n son
respectiva-mente las amplitudes y los ángulos
de fase de las armónicas.
Componentes y armónicas
Ejemplo: La función
Como ya se mostró tiene un periodo T=24, por lo tanto su
frecuencia fundamental es 0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental es de la forma:
0*cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12)=cos(t/4)
Cuarto armónico:
Cos(4t/12)=cos(t/3)
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
)cos()cos(f(t)4t
3t
Componentes y armónicas Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene
tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su
componente de cd es cero, en cambio
0 50 100 150 200 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
)cos()cos(1f(t)4t
3t
Tiene tantas partes
arriba como abajo
de 1 por lo tanto,
su componente de
cd es 1.
Componentes y armónicas
¿Cuál es la componente fundamental, las
armónicas distintas de cero y la componente
de directa de
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Justificar mostrando la gráfica de las funciones
y marcando en ellas el periodo fundamental y
la componente de cd.
Ortogonalidad de senos y cosenos Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son
ortogonales en el intervalo a<t<b si dos
funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto
cumplen
nmparar
nmpara0dt(t)(t)ff
n
b
anm
Ortogonalidad de senos y cosenos
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo
–1< t <1, ya que
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el
intervalo –/2< t </2, ya que
04
tdttdttt
1
141
1
31
1
2
02
tsensentcostdt
2
Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.
1,cos0t, cos20t, cos30t,...,sen0t,sen20t,sen30t,...
(para cualquier valor de 0=2/T).
Para verificar lo anterior podemos probar por pares:
1.- f(t)=1 Vs. cos(m0t):
Ya que m es un entero.
0m
)(m2
m
T/2)(m2t)(mt)dtcos(m
00
0
2/
2/
0
0
2/
2/
0
sensen
m
sen
T
TT
T
Ortogonalidad de senos y cosenos 2.- f(t)=1 Vs. sen(m0t):
3.- cos(m0t) Vs. cos(n0t):
0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m
1
m
t)(mcost)dtsen(m
00
0
2/T
2/T
0
02/T
2/T0
0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)cos(ncos(m
2/T
2/T00
Ortogonalidad de senos y cosenos 4.- sen(m0t) Vs. sen(n0t):
5.- sen(m0t) Vs. cos(n0t):
n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T
2/T00
0nmpara2/T
nmpara0t)dtt)sen(nsen(m
2/T
2/T00
Ortogonalidad de senos y cosenos Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5,
son útiles las siguientes identidades
trigonométricas:
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
Además:
sen2q = ½ (1-cos2q)
cos2q = ½ (1+cos2q)
Cálculo de los coeficientes de la Serie Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
Cálculo de los coeficientes de la Serie Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(n0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2,
obtenemos:
;...3;2;1;0)cos()(
2/
2/
02
ndttntfa
T
T
Tn
,...3,2,1)()(
2/
2/
02
ndttnsentfb
T
T
Tn
2/
2/
20 )(
T
T
Tdttfa
Cálculo de los coeficientes de la Serie
El intervalo de integración no necesita ser
simétrico respecto al origen.
Como la ortogonalidad de las funciones seno y
coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a
T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un
periodo completo:
(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)
las fórmulas anteriores pueden calcularse en
cualquier intervalo que cumpla este requisito.
Definición
Si f(t) periódica, es decir f0(t)= f0(t+n·T), siendo:
T= período
Desarrollo en serie de Fourier
f2T
2
Teorema de Fourier: se puede descomponer:
1
0 )]()cos([2
)(n
nn tnsenbtnaa
tf
Siendo:
T
n dttntfT
a0
)cos()(2
T
dttfT
atfa
00
0 )(2
)(2
T
n dttnsentfT
b0
)()(2
Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la
siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2T
2T
t0para1
0tpara1)t(f
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes an:
2/T
2/T0T
2n dt)tncos()t(fa
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tncos(dt)tncos(
0
2/T
0
02/T
0
0
0T2 )tn(sen
n
1)tn(sen
n
1
0npara0
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficiente a0:
2/T
2/TT2
0 dt)t(fa
2/T
0
0
2/TT2 dtdt
0
2/T
2/T
0
T2 tt
0
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Coeficientes bn:
2/T
2/T0T
2n dt)tn(sen)t(fb
2/T
00
0
2/T0T
2 dt)tn(sendt)tn(sen
0
2/T
0
02/T
0
0
0T2 )tncos(
n
1)tncos(
n
1
)1)n(cos())ncos(1(n
1
0npara))1(1n
2 n
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Finalmente la Serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0=, es decir, T=2:
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
Cálculo de los coeficientes de la Serie
-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
en
tes
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Encontrar la serie de Fourier para la siguiente
señal senoidal rectificada de media onda de
periodo 2.
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par
(o con simetría par) si su gráfica es simétrica
respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es
par si f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función
impar o con simetría impar, si su gráfica es
simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo
siguiente: -f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1),
Solución:
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.
Solución:
Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),
Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
Funciones Pares e Impares
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2)+1
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2
etc...
Ya que todas tienen la forma f(1+t2)
Funciones Pares e Impares
Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n0 y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
Funciones Pares e Impares
Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
Simetría de Media Onda
Una función periodica de periodo T se dice
simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son
un reflejo de las positivas pero desplazadas medio
periodo:
)()(21 tfTtf
f(t)
t
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría Coeficientes Funciones
en la serie
Ninguna Senos y
cosenos
Par bn=0 únicamente
cosenos
Impar an=0 únicamente
senos
media
onda
Senos y
cosenos
impares
2/
0
04 )cos()(
T
Tn dttntfa
2/
0
04 )()(
T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parn
aT
Tn
2/
0
04 )cos()(
0
imparndttnsentf
parn
bT
Tn
2/
0
04 )()(
0
2/
2/
02 )cos()(
T
T
Tn dttntfa
2/
2/
02 )()(
T
T
Tn dttnsentfb
Interpretación: ejemplo con una señal cuadrada
Desarrollo en serie de Fourier
T
t
t
1er Armónico
3er Armónico
5º Armónico
Nivel de
continua
7º Armónico
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:
Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene
una magnitud constante A/2 y un ángulo de fase
el cual esta variando en el tiempo de acuerdo a:
donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un
segundo vector (A/2)e-j rotará en la dirección
opuesta al anterior. Este aumento negativo de
cambio en el ángulo de fase puede ser
considerado como una frecuencia negativa.
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo
largo del eje real, con la magnitud oscilando entre
A y –A a:
ft2
cos22
AeA
eA jj
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER: Reescribiendo la serie de Fourier como:
Donde x(t) es periódica con período T y
=2/T=2f, la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una
frecuencia de fn=nf, es dado por:
Donde es el vector unitario y X(fn) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
Amplitud
instantánea
Máxima
amplitud (A)
Im
Re
A/2
-
-
2/
2/
2)(
1)(
T
T
tfj
n dtetxT
fX n
.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx
tfj ne2
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función
periodica f(t), con periodo T=2/0.
Es posible obtener una forma alternativa usando
las fórmulas de Euler:
Donde
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
)()(
)()cos(
00
00
21
0
21
0
tjntjn
j
tjntjn
eetnsen
eetn
1j
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Sustituyendo
Y usando el hecho de que 1/j=-j
Y definiendo:
Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
])()([)(1
21
21
021 0000
n
tjntjn
jn
tjntjn
n eebeeaatf
])()([)(1
21
21
021 00
n
tjn
nn
tjn
nn ejbaejbaatf
)(),(,21
21
021
0 nnnnnn jbacjbacac
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
)()(1
000
n
tjn
n
tjn
n ececctf
11
000)(
n
tjn
n
n
tjn
n ececctf
n
tjn
nectf 0)(
Forma Compleja de la Serie de Fourier
A la expresión obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de
Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a
partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o
bien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
T
tjn
Tn dtetfc0
1 0)(
n
tjn
nectf 0)(
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Los coeficientes cn son números complejos, y
también se pueden escribir en forma polar:
Obviamente,
Donde ,
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un número real:
nj
nn ecc
nj
nnn eccc
*
22
21
nnn bac )arctan(n
nn
a
b
021
0 ac
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):
an=0 para todo n
y
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
ntodoparab n
nn ])1(1[2
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Podemos calcular los coeficientes cn de:
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
])1(1[][ 221
21 n
nnnn jjbac
])1(1[1 n
nn jc
...)
(...)(
000
000
5
513
31
3
315
512
tjtjtj
tjtjtj
eee
eeejtf
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral
T
tjn
Tn dtetfc0
1 0)(
)(2/
2/
0
1 00
T
T
tjn
T
tjn
Tdtedte
)(2/
1
0
2/
11 00
T
T
tjn
jn
T
tjn
jnTee
oo
)]()1[(2/2/1 000 TjnTjnTjn
Tjneee
o
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Como 0T=2 y además
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
jsene j cos
)])1(1()1)1[(1 nn
Tjnn oc
])1(1[2 n
Tn oj
])1(1[1 n
nj
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Calcular los coeficientes cn para la siguiente
función de periodo 2.
a) A partir de los coeficientes an,bn
b) Directamente de la integral
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
Espectros de Frecuencia Discreta
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular =n0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
Espectros de Frecuencia Discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde
una y sólo una serie de Fourier, es decir, le
corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el
dominio de la frecuencia de la misma manera
que f(t) especifica la función en el dominio del
tiempo.
Espectros de Frecuencia Discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Se encontró que
Por lo tanto,
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
])1(1[1 n
nn jc
])1(1[1 n
nnc
Espectros de Frecuencia Discreta
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de 0).
-30 -20 -10 0 10 20 30 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Espectro de Amplitud de f(t)
n
C
n
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
0 2345678910c.
Amplitud
c0 c1
c2 c3
c4
c5
c7
c6
Frec.
Espectro de amplitud
n
n
n tnsenca
tf
1
0
2)(
Espectro de amplitud
n
n
n tnsenca
tf
1
0
2)(
Espectro de fase
0 2345678910Frec.
Fase
1
/2
/2
2
3
4
5
6
7
8
Frec.
Espectro de fase
Representación de los coeficientes de la serie de Fourier
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:
En el caso donde la función en el dominio del tiempo es
una función muestreada la expresión toma la forma:
Se asume que la función es periódica con un total de N
muestras por período. Esta forma discreta de la
Transformada de Fourier es la apropiada para evaluación
numérica por cálculo digital.
La ecuación anterior puede también escribirse como:
donde W=e-j2/N
1
0
/2)(1
)(N
n
Nknj
nk etxN
fX
1
0
)(1
)(N
n
kn
nk WtxN
fX
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER: Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la
siguiente forma matricial:
En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la
función en el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector
representando las N muestras de la función en el dominio del tiempo.
El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras
requiere un total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma
anterior.
)(
.
)(
.
)(
)(
.
..1
......
..1
......
..1
1.1.11
1
)(
.
)(
.
)(
)(
1
1
0
)1()1(1
)1(
1
1
1
0
2
2
N
n
NkNN
Nkkk
Nk
N
k
tx
tx
tx
tx
WWW
WWW
WWW
N
fX
fX
fX
fX
)(.1
)( n
kn
k txWN
fX
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal
cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede
calcular como la altura de un rectángulo que tenga
la misma área que el área bajo la curva de f(t)
1 f(t)
t
h=Altura
promedio
T
dttfArea0
)(
T
Area=Th
Potencia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t)
representa una señal de voltaje o corriente, la
potencia promedio entregada a una carga
resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el
promedio en un periodo será el promedio en
cualquier otro periodo.
2/
2/
21 )]([
T
T
Tdttf
Potencia y Teorema de Parseval El teorema de Parseval nos permite calcular la
integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-
plejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
n
n
T
T
Tcdttf
22/
2/
21 )]([
1
22
212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
T
Tbaadttf
Potencia y Teorema de Parseval Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
1
2
2
0
2/
2/
21
2)]([
n
n
T
T
T
CCdttf
Potencia y Teorema de Parseval Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie
Y los coeficientes reales Cn de la serie
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
n
tjn
nectf 0)(
1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
Potencia y Teorema de Parseval
Por un lado
Mientras que
Entonces, Por lo tanto,
Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es
Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C0
2.
,22
nnn baC
22
21
nnn bac
nn Cc21
2
412
nn Cc
)cos()( 0 nnn tnCtf
2/nC
2/2
nC
Potencia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la
función f(t):
Solución.
Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
n
n
T
T
Tcdttf
22/
2/
21 )]([
])1(1[1 n
nnc
...49
1
25
1
9
11
82
2
n
nc
Potencia y Teorema de Parseval La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperarse.
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
)]([2
22/
2/
21
n
n
T
T
Tcdttf
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS VALOR RMS
Señal continua:
Señal discreta:
O, en término de los valores rms de los armónicos:
T
rms dttvT
V0
22 )(1
N
k
krms tVN
V1
21
2
hrmsrms VV
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
A partir de lo cual:
k
h
hrms
rms
VV VV
THDTDT2
2
1
1
k
h
hrms
rms
II II
THDTDT2
2
1
1
2
1 100/1 Vrmsrms THDVV
2
1 100/1 Irmsrms THDII
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
POTENCIA ACTIVA:
En el caso senoidal:
T
dttitvT
P0
).().(1
h
hhh CosIVP ..
CosIVP ..
22.. PSSenIVQ
22. PQIVS
:será ainstantáne Potencia La
)sin(..2)sin(..2)(
)sin(..2)sin(..2)(
:que doConsideran
2
11
2
1
n
nna
m
ma
tnItIti
tmVtVtv
2n 2m
nnnm
2m
111m
2n
nnn1
111111
t)nm(cost)nm(cosIV
t)1m(cost)1m(cosIV
t)1n(cost)1n(cosIV
)t2sin().sin(.I.V)t2cos(1).cos(.I.V)t(p
Considerando la presencia de armónicos tanto en la
tensión como en la corriente de carga:
IVDQPS
IVQ
IVP
k
kkk
k
kkk
*
)sin(
)cos(
222
1
1
Definiciones de Budeanu para potencia (1927)
Dominio de la frecuencia
)( 2222 QPSD
En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia
cos)()cos( 2222222 IVIVIVsenIVIVDQPS
= 1 a
(orden de armónica)
m
mm tmsenVtv )()(
n
nn tnsenIti )()(
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
Alguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones
senoidales:
1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica
almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores
2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno
3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:
4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia
es cero.
5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.
6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga
es inductiva o capacitiva)
7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes
inductivos o capacitivos
8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es
aproximadamente proporcional a la potencia reactiva.
222 QPS
El IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms, define un gran número de expresiones para la potencia, tanto en régimen sinusoidal como no sinusoidal, para redes monofásicas y trifásicas. Numerosos autores han solicitado la actualización de estas definiciones, algunas contradictorias entre sí, y que originan discusiones al obtenerse valores dispares de las potencias reactiva y aparente o del factor de potencia, para una misma red.
En los últimos años se han propuesto definiciones globales
de la potencia en redes trifásicas. Los dos Grupos de
mayor impacto, son: el IEEE Working Group, encabezado
por A. Emanuel, y la Escuela Alemana, dirigida por M.
Depenbrock.
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE
Dos corrientes son ortogonales si:
El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:
Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms
de tensión:
T
ba dtiiT
0.1
T
bab
T
ba
T
a
T
ba
IIdtiT
dtiiT
dtiT
dtiiT
I
2222
22
1..2
11
)(1
222222 )( baba SSIIVS
DESCOMPOSICIÓN O FACTORIZACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA POTENCIA APARENTE
I
I1
I1P
I1Q
I1i
I10h
IA
ID
Potencia
Activa
Potencia
Reactiva
FUNDAMENTAL
ARMÓNICAS
INVERSA
HOMOPOLAR
Potencia de
Desbalance
Potencia de
Distorsión
n
2i
iI
2
1)(
12/
0
22
2/
0
2 m
T
m
T
ef
ItdtsenI
Tdtti
TI
44
2
2 mmmefefef
IVR
IRIIVP
707,02
2
22
4 mm
mm
IV
IV
S
PFP
......6cos
35
24cos
15
22cos
3
2
21)( ttttsen
Iti m
TT
T
dttiT
dttvT
dttitvT
S
PFP
0
2
0
2
0
)(1
)(1
)()(1
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE
(1996):
Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la
de las armónicas:
Con lo cual la potencia aparente es:
Donde:
Se define una potencia no activa N:
El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:
V1IH : Potencia de distorsión de corriente
VHI1 : Potencia de distorsión de tensión
1
22
1
22
1
2
h
hH VVVVV
1
22
1
22
1
2
h
hH IIIII
22
1
2
1
2
11
22 )()()()()( HHHH IVIVIVIVVIS
2
111
2
111
2
1
2
1
2
1
2
11 )()cos()( senIVIVQPSIV
22 PSN
2
1
222
1
2
1
2 )()()( SSIVIVIVS HHHHN
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE
(1996):
Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede expresar
como:
Donde:
Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:
Factor de Potencia Total Desplazamiento de Factor de Potencia
2222 )( HHHHH NPIVS
1
cosh
HHHH IVP
222
2
11
2
1
2
1
2
1
.VTHDITHDVTHDITHDIV
IV
V
V
I
I
S
S HHHHN
S
PP
S
PPF H )( 1 1
1
1 cosS
PdPF
VIHHH THDTHD
IV
IV
S
S.
111
Circulación de la tercera armónica por el neutro de transformadores
5ª Arm. (sec. negativa) 3ª Arm.(sec. homopolar) Fundamental (sec. directa)
Corrientes del Sistema
Sa
Sb
Sc
SVEC SAVA Pa
Pb
Pc
Qa
Qb Qc
Factor de Potencia Aritmética
Factor de Potencia Vectorial
cba
cbaAVA
SSS
PPPFP
)()( cbacba
cbaVEC
QQQjPPP
PPPFP
Potencia Aparente Vector
222
c
ak
k
c
ak
k
c
ak
kVEC DQPS
Potencia Aparente Aritmética
c
ak
kkkAVA DQPS 222
Potencia Aparente Eficaz
c
ak
kkRMS IVS
(Grupo de IEEE) eee IVS 33
222
2 cbae
VVVV
3
222
2 cbae
IIII
3
2222
2
*ncba IIII
I
VEC
VEC
AVA
AVA
RMS
RMS
e
SeS
PFP
S
PFP
S
PFP
S
PFP
Función escalón, rampa, exponencial
Escalón
El escalón u(t) es una función continua cuya
definición se ajusta a la percepción intuitiva
de ésta. Hay también tres formas de
definirla; éstas son,
El escalón u(t) se puede definir mediante
una integral como
Escalón
El escalón u(t) se puede definir mediante
una función auxiliar como
El escalón u(t) se puede definir por partes
como
Escalón
Señales básicas
Escalón unitario discreto:
Señal escalón
)u()v( 0ttAt
0 para 0
0 para 1)u(
t
tt
Escalón unidad
t
u(t) u t( ) t( )
2 1 0 1 2
0.5
1
1.5
.. v(t)
A
t0 t
0 para t<0
1 para t>0 u1 (t) =
e(t)
+
-
+
- E
i(t)
I
f(t) = u1(t)
1
0 t
a 0 t
Eu1(t-a)
E
Señal pulso
)u()u()v( 21ttAttAt
.
t1 t2
A
Señal rampa
)u()r( ttt
1 0.5 0 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
.
r(t)
t
Rampa de pendiente unidad
)u()(
)r()v(
00
0
ttttB
ttBt
.
t0
1
B
t
v(t)
Rampa
La rampa r(t) es una función continua que
se obtiene integrando el escalón. Sin
embargo, otras definiciones también son
válidas. Estas son,
La rampa r(t) se puede definir mediante
una integral como,
Rampa
La rampa r(t) se puede definir por partes
como
La rampa r(t) se puede definir
alternativamente como
Rampa
Relaciones
Exponencial
La función exponencial se expresa como,
Dependiendo del valor que posea el
parámetro b es posible tener, Con b = 0
Con b ≠ 0
Exponencial Real
Señal exponencial
)()v( tueAtt
= constante de tiempo
.
A
t
1
2
v(t)
12
v(t) /A
0 1
1 0,37
2 0,13
3 0,05
4 0,02
5 0,007
t
Exponencial Compleja
t 0
Au-2(t+b)
-b
Ab
f(t) = 10u1(t) - 10u2(t-3)
f(t) [V]
3 0 t [s]
10
5 5
f(t) [V]
-10
3 0 t [s]
10
5u(t)
-10u-1(t-3)
-(5/3)u-2(t-3)
(5/3)tu(t)
f(t) = 5u(t) + (5/3)tu(t) - 5u(t-3) - (5/3)tu(t-3)
f(t) [V]
10
3 0 t [s]
f(t) [V]
-10
3 0 t [s]
10 10u1(t)
-10u2(t)