SERIES DE FOURIERSERIES DE FOURIER

Función Periódica ( ) es si está definida y si 0

tal que ( ) ( ), donde se llama período.

PERIOD

ICAf x x T

f x T f x T

CONCEPTOS BASICOS

SERIE TRIGONOMETRICA

0

1

cos( ) ( ) donde , se2

llaman coeficientes de la serie.

n n n nn

a n x n xa b sen a b

L L

SIMETRIAS

0

( ) es si ( ) ( ) , . En este caso :

es simétrica respecto al eje Y. Además, ( )

P

( )

A

2

Ra a

f

a

f x f x f x x

G f x dx f x dx

( ) es si ( ) ( ) , . En este caso :

es simétrica respecto al origen. Además,

IMP

( 0

A

)

Ra

g

a

g x g x g x x

G g x dx

RELACIONES DE ORTOGONALIDAD

( ) cos( ) 0

0 si ( ) ( )

si

0 si cos( ) cos( )

si

L

L

L

L

L

L

m x n xsen dx

L Lm nm x n x

sen sen dxL m nL L

m nm x n xdx

L m nL L

Dada una función ( )

¿ Será posible representarla mediante una serie trigonométrica ?

¿ Qué condiciones debe cumplir la función ( ) ?

¿ Bajo qué hipótesis se puede garantizar convergencia de la serie

f x

f x

trigonométrica ?

¿ Converge la serie trigonométrica a la función ( )?

¿ Cuándo se habla de Serie de Fourier ?

f x

INTERROGANTES QUE SURGEN

'

0

Sea ( ) una función tal que :

i) Es periódica de período 2

ii) ( ) y ( ) son seccionalmente continuas en ,

entonces ( ) se puede representar por la Serie de Fourier

TEOREMA

( ) cos( )2 n

a n xf

f x

T L

f

x aL

x f x L L

f x

1

cuyos coeficientes están dados por las fórmulas de Euler

( )

1( )cos( ) , 0,1,2,...

1( ) ( ) , 0,1,2,...

nn

L

n

L

L

n

L

n xb sen

L

n xa f x dx n

L L

n xb f x sen dx n

L L

0

L

0

ii) Si ( ) es impar entonces ( ) ( )

2donde = ( ) ( ) , 1, 2,3,...

nn

n

n xf x f x b sen

L

n xb f x sen dx n

L L

OBSERVACION

0

0

L

0

i) Si ( ) es par entonces ( ) cos( ) 2

2donde = ( )cos( ) , 0,1,2,...

nn

n

a n xf x f x a

L

n xa f x dx n

L L

Sea ( ) una función tal que :

i) Es periódica de período 2

ii) Es seccionalmente continua en ,

iii) Admite derivada por la izquierda y

TEOREMA ( DE CONVERGENCIA

por la derecha

en cada punto de

)

f x

T L

L L

L

0

0

(a) Al valor ( ) en cada punto en el cual e

, . Entonces :

la Serie de Fou

s continua.

( ) ( )(b) Al valor en cada punto en el que es discon

rier cos( ) ( ) converge :2

tinua2

n nn

L

a n x n xa b sen

L L

f x f

f x f xf

.

DESARROLLOS DE MEDIO RANGO

Sea ( ) una función definida solamente en 0, .

Es posible realizar una prolongación de ( ) en todo que

tenga características de periodicidad.

Pueden realizarse dos tipos de prolongaciones :

f x L

f x

PAR

IMPAR

0

0

0

En este caso :

( ) cos( )2

2con ( ) cos( ) , 0,1,2,...

nn

L

n

a n xf x a

L

n xa f x dx n

L L

i) EXTENSION PERIODICA PAR DE ( )f x

ii) EXTENSION PERIODICA IMPAR DE ( )f x

0

0

En este caso :

( ) ( )

2con ( ) ( ) , 1, 2,...

nn

L

n

n xf x b sen

L

n xb f x sen dx n

L L

SERIE DE FOURIER GENERALIZADA

0Un conjunto de funciones ( ) se llama siORTOGONAL en

( ) ( ) 0,si

a,bn n

b

n ma

x

x x dx n m

2

2Si ( ) ( ) es la norma cuadrada de ( )b

n n nan m x dx x x

0ORTOGONAL CON

RESPECTO A UNA FUNCION DE PESO

Un conjunto de funcion

( ) en a,b

es ( ) se llama

si

( ) ( ) ( ) 0,si

n n

b

n ma

x

x x w x dx n m

w x

0

¿ Es posible determinar un conjunto de coeficientes para los cuales

( ) ( ) ( ) ?

n

n nn

C

f x C x

USE LA

ORTOGONALIDADPARA DEDUCIR

QUE

2 22 ; d

( ) ( ) ( )( ) ond ( ) ( ) ( )

( )e

b

bnan n na

n

f x x w x dxC x x w x dx

x

La serie ( ) con coeficientes dados por ( ) s SERIE

DE FOURIER GENERALIZA

e l

DA

lama

D

E ( )f x