series de fourier
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Teoría e introducciónTRANSCRIPT
7/21/2019 Series de Fourier
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SERIES DE FOURIER
Definición :
Sea f una función seccionalmente continua en el intervalo− p, p , la serie de Fourier de f es la serie trigonométrica :
f x a0
2
n1
∑ an cos n x
p b n sin n x
p
Donde :
a0
1
p − p
p
f xdx
an 1 p
− p
p
f xcos n x p dx
bn 1 p
− p
p
f xsin n x p dx
∀n ∈ ℕ. Las costantes an y bn se llaman los coeficientes de Fourier de la serie.
Otra forma equivalente de representar esta serie es:
x ∈ 0,T , f x a0
2
n1
∑ an cosn0 x b n sinn0 x , donde 0 2
T
an 2T 0
T
f xcosn0 xdx , n 0,1,2,3,... bn 2T 0
T
f x sinn0 xdx,
n 1,2,3,. . . .
1
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Series de Fourier cuando f es función par .
Si la función f es par, f − x x , se tiene que:
a0 2 p
0
p
f xdx , an 2 p
0
p
f xcos n p x dx, bn 0 , ∀n ∈ ℕ
Luego f x a0
2
n1
∑ an cos n
p x , serie cosenoidal
Series de Fourier cuando f es función impar .
Si la función f es impar , f − x − f x , se tiene que:
a0 an 0, bn 2 p
0
p
f x sin n p x dx, ∀n ∈ ℕ
Luego f x
n1∑ bn sin n p x
Ejercicio.- Pruebe que si f x 1 , -1x0
x , 0x1es represetada por
la serie de Fourier
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n1
∑ 1n2
2 −1n − 1cosn x − 1
n sinn x
2
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