series de fourier
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Sistema Nacional de Educacion Superior Tecnologica
DIRECCION GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS
INSTITUTO TECNOLOGICO DE GUAYMAS
Series de Tiempo
Dr. Pedro Rosales Grano
Catedratico
Guaymas, Sonora, 5 de junio de 2006
ITG Pedro Rosales Grano i
Contenido
1. Funciones Periodicas 11.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Series de Fourier 52.1. Propiedades de las Funciones Seno y Coseno: Funciones Or-
togonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Evaluacion de los Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Forma Compleja de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Aplicacion de las Series de Fourier a la solucion de ecuaciones
diferenciales parciales con valores en la frontera . . . . . . . . 392.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Aproximacion Mediante una Serie Finita de Fourier 55
Indice de figuras
1. Grafica que representa la funcion 6 . . . . . . . . . . . . . . . 32. Grafica que representa la funcion 9 . . . . . . . . . . . . . . . 43. Grafica que representa la funcion 11 . . . . . . . . . . . . . . . 54. Grafica que representa la funcion 35 . . . . . . . . . . . . . . . 95. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termino
para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-
nos para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-
nos para la funcion parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148. Grafica que representa la funcion 46 . . . . . . . . . . . . . . . 149. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termino
para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-
nos para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711. Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-
nos para la funcion escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812. Grafica que representa la funcion 50 . . . . . . . . . . . . . . . 18
ITG Pedro Rosales Grano ii
13. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termi-no para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-nos para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-nos para la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16. Grafica que representa la funcion 78 . . . . . . . . . . . . . . . 3017. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 termi-
no para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . 3418. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 termi-
nos para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . 3519. Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 termi-
nos para la funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . 3520. Grafica del Espectro de Amplitud con 1 termino para la fun-
cion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621. Grafica del Espectro de Amplitud con 5 terminos para la fun-
cion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622. Grafica del Espectro de Amplitud con 20 terminos para la
funcion diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723. Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la
cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4324. Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la
cuerda en una serie de tiempo de forma tridimensional . . . . 4325. Grafica de la propagacion del calor a traves de la placa de
acero en una forma bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 4826. Grafica del gradiente de calor en forma tridimensional a lo
largo de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4827. Grafica de la condicion inicial de la membrana vibrante . . . . 55
ITG Pedro Rosales Grano 1
1. Funciones Periodicas
Una funcion periodica se puede definir como una funcion para la cual
f(t) = f(t + T ) (1)
para todo valor de t. La constante mınima T que satisface la relacion 1 se
llama el perıodo de la funcion. Mediante repeticion de 1, se obtiene,
f(t) = f(t + nT ), n = 0 , ± 1, ± 2, . . . (2)
En general si la funcion
f(t) = cosω1t + cosω2t
es periodica con periodo T , entonces es posible encontrar dos enteros m y n
tales que
ω1T = 2 π m, (3)
ω2T = 2 π n (4)
El cociente de 3 y 4 es
ω1
ω2
=m
n; (5)
es decir, la relacion ω1/ω2 debe ser un numero racional.
1.1. Ejercicios
1.- Encontrar el periodo de la funcion
f(t) = cost
3+ cos
t
4(6)
ITG Pedro Rosales Grano 2
Solucion:
sabiendo que los valores de ω1 y ω2, son
ω1 =2π
Tm ;
1
3(7)
ω2 =2π
Tn ;
1
4(8)
donde la relacionm
n=
1314
la relacion anterior define los parametros m y n
m = 4 ; n = 3
despejando T respectivamente de las ecuaciones 7 y 8, queda de la siguiente
manera:
ω1T = 2πm ; T = 2πω1
m y ω2T = 2πn ; T = 2πω2
n
sustituyendo valores en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, queda
T =2π13
4 = 24π
El periodo de la funcion que indica la ecuacion 6 es de 24π
La Figura 1 muestra el periodo de la funcion representada por la ecuacion
6.
ITG Pedro Rosales Grano 3
0 6 12 18 24 30 36 42 48−3
−2
−1
0
1
2
3Gráfica de la función f(t)=cos(t/3)+ cos(t/4)
f(t)
π
Periodo T = 24π
Figura 1: Grafica que representa la funcion 6
2.- Es periodica la funcion?
f(t) = cos 10t + cos(10 + π)t (9)
Dado que es costumbre empezar encontrando los valores de ω1 y ω2, la
relacion entre estos dos factores ω1ω2
, no es un numero racional, por lo tanto
esta funcion no es peridica. La comprobacion a esta afirmacion es la siguiente:
ω1 = 10 ;
ω2 = (10 + π)
donde:ω1
ω2
=10
(10 + π)(10)
ya que 10(10+π)
no es un numero racional, la funcion que representa la ecuacion
9 tiende a comportarse de manera irregular, como lo muestra la Figura 2.
ITG Pedro Rosales Grano 4
0 6 12 18 24 30 36 42 48−3
−2
−1
0
1
2
3Gráfica de la función f(t)=cos 10t+ cos (10+π)
f(t)
π
"No Es Periodica, la relación ω1/ω
2 no es un numero racional"
Figura 2: Grafica que representa la funcion 9
3.-Encontrar el periodo de la funcion
f(t) = (10 cos t)2 (11)
simplificando la ecuacion queda:
f(t) = 102 cos2 t
Usando la identidad trigonometrica
cos2θ =1
2
(1 + cos (2θ)
)
y sustituyendola en la ecuacion 11 nos da:
f(t) = 100(1
2+
1
2cos 2t
)(12)
f(t) = 50 + 50 cos 2t (13)
Puesto que una constante es una funcion periodica de periodo T para
cualquier valor de T , y el periodo de cos 2t es π, se concluye que el periodo
de f(t) es π.
ITG Pedro Rosales Grano 5
La Figura 3 explica el periodo de la funcion representada por la ecuacion
11.
0 1 2 3 4 50
25
50
75
100Gráfica de la función f(t)=(10 cos t)2
f(t)
π
Periodo T = π
Figura 3: Grafica que representa la funcion 11
2. Series de Fourier
Sea la funcion f(t) una funcion periodica de periodo T , la cual se puede
representar por la serie trigonometrica
f(t) =1
2a0 + a1 cos ω0t + a2 cos ω0t + · · · + b1 sin ω0t + b2 sin 2 ω0t + . . .
=1
2a0 +
∞∑n=1
(an cos n ω0t + bn sin n ω0t), (14)
donde
ω0 = 2π/T
Una serie como la representada por 14 se llama serie trigonometrica de
Fourier. Esta serie tambien se puede representar ası:
f(t) = C0 +∞∑
n=1
Cn cos (n ω0t − θn). (15)
ITG Pedro Rosales Grano 6
2.1. Propiedades de las Funciones Seno y Coseno: Fun-ciones Ortogonales
Un conjunto de funciones φk(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b
si para dos funciones cualesquiera φm(t) y φn(t) pertenecientes al conjunto
φk(t), cumple:
∫ b
a
φm(t)φn(t)dt = { 0 para m 6= n ; rn para m = n} (16)
Considerese, por ejemplo, un conjunto de funciones senusoidales; medi-
ante el calculo elemental se puede demostrar que
∫ T/2
−T/2
cos (m ω0t)dt = 0 para m 6= 0 (17)
∫ T/2
−T/2
sin (m ω0t)dt = 0 para todo valor de m, (18)
∫ T/2
−T/2
cos (m ω0t) cos (n ω0t)dt = {0, m 6= n; T/2,m = n 6= 0} (19)
∫ T/2
−T/2
sin (m ω0t) sin (n ω0t)dt = {0,m 6= n; T/2,m = n 6= 0} (20)
∫ T/2
−T/2
sin (m ω0t) cos (n ω0t) dt = 0 para todo valor de m y n. (21)
donde ω0 = 2π/T
Estas relaciones demuestran que las funciones 1, cos ω0t, cos 2ω0t, · · · ,
cos n ω0t, · · · , sin ω0t, sin 2ω0t, · · · , sin n ω0t, · · · forman un conjunto
de funciones ortogonales en el intervalo −T/2 < t < T/2.
ITG Pedro Rosales Grano 7
2.2. Evaluacion de los Coeficientes de Fourier
Utilizando las relaciones de ortogonalidad 17, 18, 19, 20, 21 se pueden
evaluar ahora los coeficientes an y bn de la serie de Fourier
f(t) =1
2a0 +
∞∑n=1
(an cos n ω0t + bn sin n ω0t). (22)
Multiplicando ambos lados por cos m ω0t e integrando entre [−T/2 y T/2],
se obtiene
∫ T/2
−T/2
f(t) (m ω0(t))dt =1
2a0
∫ T/2
−T/2
cos (m ω0t)dt · · ·
+
∫ T/2
−T/2
[ ∞∑n=1
an cos (n ω0t)]cos (m ω0t)dt · · ·
+
∫ T/2
−T/2
[ ∞∑n=1
bn sin (n ω0t)]cos (m ω0t)dt (23)
Intercambiando el orden de los signos de integracion y sumatoria se ob-
tiene
∫ T/2
−T/2
f(t) cos (m ω0(t))dt =1
2a0
∫ T/2
−T/2
cos (m ω0t) dt · · ·
+∞∑
n=1
an
∫ T/2
−T/2
cos (n ω0t) cos (m ω0t)dt · · ·
+∞∑
n=1
bn
∫ T/2
−T/2
sin (n ω0t) cos (m ω0t)dt (24)
Si se aplican las relaciones de ortogonalidad 17, se tiene
∫ T/2
−T/2
f(t) cos (m ω0t)dt =T
2am (25)
de donde
am =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos (m ω0t)dt (26)
Si se integra 14 entre [−T/2 y T/2] y se usa 18, se obtiene
ITG Pedro Rosales Grano 8
∫ T/2
−T/2
f(t) dt =1
2a0
∫ T/2
−T/2
dt · · ·
+
∫ T/2
−T/2
[ ∞∑n=1
(an cos n ω0t + bn sin n ω0t)]dt · · ·
=1
2a0T +
∞∑n=1
an
∫ T/2
−T/2
cos (n ω0t) dt · · ·
+∞∑
n=1
bn
∫ T/2
−T/2
sin (n ω0t)dt =1
2a0T (27)
de donde
1
2a0 =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t) dt (28)
o
a0 =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) dt (29)
Se debe notar que a0/2 es el valor promedio de f(t) durante un periodo.
Analogamente, si la ecuacion 14 se multiplica por sin m ω0t y se integra
termino por termino entre los lımites [−T/2 y T/2], se obtiene
∫ T/2
−T/2
f(t) sin (m ω0t)dt =1
2a0
∫ T/2
−T/2
sin (m ω0t)dt · · ·
+∞∑
n=1
an
∫ T/2
−T/2
cos (n ω0t) sin (n ω0t)dt · · ·
+∞∑
n=1
bn
∫ T/2
−T/2
sen (n ω0t) sin (n ω0t)dt (30)
El uso de las relaciones de ortogonalidad 17 conduce a
∫ T/2
−T/2
f(t) sin (m ω0t)dt =T
2bm. (31)
De donde
bm =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sin (n ω0t)dt (32)
ITG Pedro Rosales Grano 9
Sustituyendo m por n las ecuaciones 26 y 32 se pueden expresar como
an =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos (n ω0t)dt, n = 0, 1, 2, . . . , (33)
bn =2
T
∫ T/2
−T/2
f(t) sin (n ω0t)dt, n = 1, 2, . . . , (34)
2.2.1. Ejercicios
1.- Encontrar la serie de Fourier para la funcion f(t) = t2 en el intervalo
[−π , π]; donde f(t) = f(t + 2π). Graficar la funcion original ademas su
aproximacion.
La funcion:
f(t) = t2 (35)
la funcion anterior es una funcion par f(t) = f(−t), como lo muestra la
Figura 4; por lo tanto, los coeficientes impares tienden a ser cero.
−1 0 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Función Parábola
Periodo (π)
t2
Figura 4: Grafica que representa la funcion 35
A partir de la ecuacion 22, se puede determinar la serie de Fourier de una
ITG Pedro Rosales Grano 10
funcion, no sin antes determinar los coeficietes a0, an y bn.
Estos coeficientes se determinan con las ecuaciones 29, 33, 34, respecti-
vamente.
Para cualquier valor de t, la funcion se va a repetir a cada 2π. Como no se
tiene discontinuidad, la funcion se va a evaluar de −π a π. Por lo tanto se
procede a evaluar los coefcientes de la serie de Fourier.
De la ecuacion 29, se deriva la ecuacion:
a0 =2
T
∫ π
−π
t2 dt (36)
Integrando y evaluando la ecuacion anterior nos queda:
a0 =2
2π
[(π)3
3− (−π)3
3
]
a0 =1
π
[2π3
3
]
que finalmente simplificando la ecuacion:
a0 =2
3π2 (37)
Ahora queda evaluar solamente el coeficiente an. De la ecuacion 33, se
deriva la ecuacion siguiente:
an =2
T
∫ π
−π
t2 cos(n ω0 t) dt (38)
donde:
T = 2π ;
ω0 = 2πT
= 1
Entonces conforme a las anteriores estipulaciones, la ecuacion queda de
la siguiente forma:
an =1
π
∫ π
−π
t2 cos(n t) dt
ITG Pedro Rosales Grano 11
integrando la funcion con la formula
∫xn cos a x dx =
xn
asin ax − n
a
∫xn−1 sin a x dx
queda de la siguiente forma:
an =1
π
[π
−π
t2
nsin(n t) − 2
n
∫ π
−π
t sin (n t) dt]
(39)
evidentemente la integral de la ecuacion 39 debe resolverse por el metodo de
la integracion por partes:
∫u ¦ dv = u ¦ v −
∫v du (40)
donde:
u = t ; du = dt
v = −1n
cos (n t) ; dv = sin(n t)
sustituyendolo en la ecuacion 40, queda:
−t
ncos (n t) − −1
n
∫cos (n t)
haciendo las operaciones integrales queda:
−t
ncos (n t) +
1
n2sin (n t)
la cual se sustituye en la ecuacion 39
an =1
π
[π
−π
t2
nsin(n t) − 2
n
[π
−π
−t
ncos (n t) +
1
n2sin (n t)
]](41)
evaluando la ecuacion 41, se supone que n = cualquier numero entero, y
t = π, todas las funciones senoidales son igual a cero, y queda:
ITG Pedro Rosales Grano 12
an =1
πn2
[[π cos(n t)] − [−π cos(n t)]
](42)
simplificando terminos:
an =2
n2
[cos(n π) + cos(n π)
]
an =2
n2(2 cos(n π))
an =4
n2cos(n π)
ya que el coseno de cualquier numero entero n en el periodo f(t) = f(t + 2π),
es el mismo valor de −1, quedando como resultado la siguiente expresion
an =4
n2(−1)n (43)
donde el resultado de la serie es:
f(t) =1
2(2
3π2) + 4
∞∑n=1
−1n
n2cos(n t) + 0 (44)
simplificando terminos:
f(t) =1
3π2 + 4
∞∑n=1
−1n
n2cos(n t) + 0 (45)
Nota: esta ecuacion solo sera valida para valores pares de n; n = 2, 4, 6,
8, 10, . . . , ∞. Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para
la funcion t2, se graficara entonces la ecuacion 45, para n = 1, 5, 20 terminos,
que corresponden a las Figuras 5, 6, 7 respectivamente.
ITG Pedro Rosales Grano 13
−1 0 1−2
0
2
4
6
8
10Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Parábola
(π)
f(t)
con n = 1 término
Aproximación de la seriefunción parábola
Figura 5: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion parabola
−1 0 1−2
0
2
4
6
8
10Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Parábola
(π)
f(t)
con n = 5 términos
Aproximación de la seriefunción parábola
Figura 6: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion parabola
ITG Pedro Rosales Grano 14
−1 0 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Parábola
(π)
f(t) con n = 20 términos
Aproximación de la seriefunción parábola
Figura 7: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion parabola
2.- Representar la funcion escalon, por medio de la Serie de Fourier, en el
intervalo −T2
< t < 0, y 0 < t < T2
:
f(t) =[−1
1
](46)
La funcion escalon es una funcion impar f(t) = − f(−t), como se
muestra en la Figura 8
−1 0 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Función Escalón
Periodo (π)
f(t)
Figura 8: Grafica que representa la funcion 46
Otra observacion es que la funcion tiene discontinuidad al pasar por el
ITG Pedro Rosales Grano 15
origen del eje x, por eso se evalua de −π a 0 y despues de 0 a π.
De las ecuaciones 29, 33, 34, se pretende obtener los coeficientes que
puedan resolver la ecuacion 22. De la ecuacion 29, se obtiene el siguiente
resultado:
a0 =2
T
[−
∫ 0
−T/2
1 dt +
∫ T/2
0
1 dt]
integrando y evaluando la ecuacion se obtiene
a0 =2
T
[− [ 0 − ( − T/2 ) ] + [ (T/2) − 0 ]
]
a0 =2
T[(−T/2) + T/2] = 0
a0 = 0 (47)
como es una funcion impar el coeficiente an = 0; se procede a calcular
entonces el coeficiente bn, regido por la ecuacion 34.
bn =2
T
[ ∫ 0
−T/2
− 1 sin(n ω0 t) dt +
∫ T/2
0
1 sin(n ω0 t) dt]
(48)
integrando la ecuacion 48, se obtiene
bn =−2
T
[0
−T/2
−1
n ω0
cos(n ω0 t)]
+[T/2
0
−1
n ω0
cos(n ω0 t)]
bn =2
T
[0
−T/2cos(n ω0 t)
]−
[T/2
0cos(n ω0 t)
]
evaluando los lımites;
bn =2
n T ω0
[1 − cos(n ω0 (−T/2)) − cos(n ω0 (T/2)) + 1
]
simplificando terminos, aclarando que T = 2π, y ω0 = 2π / T = 1
ITG Pedro Rosales Grano 16
bn =1
n π[ 2 − 2 cos(n π)]
bn =2
n π[ 1 − cos(n π)]
donde la ecuacion que representa la serie a la funcion 46, es:
f(t) =∞∑
n=1
4
nπsin(n t) (49)
en donde n es cualquier numero entero impar; n = 1, 3, 5, 7, · · · , ∞Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion
escalon, se graficara entonces la ecuacion 46, para n = 1, 5, 20 terminos, que
corresponden a las figuras 9, 10, 11, respectivamente.
ITG Pedro Rosales Grano 17
−1 0 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Escalón
π
f(t)
con n = 1 término
Aproximación de la seriefunción escalón
Figura 9: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion escalon
−1 0 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Escalón
π
f(t)
con n = 5 términos
Aproximación de la seriefunción escalón
Figura 10: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion escalon
ITG Pedro Rosales Grano 18
−1 0 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Escalón
π
f(t)
con n = 20 términos
Aproximación de la seriefunción escalón
Figura 11: Grafica de la aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion escalon
3.- Encontrar la serie de Fourier de la Funcion f(t) = et, en el intervalo
[−π, π], donde el periodo de la funcion es de f(t) = f(t + 2π)
f(t) = et (50)
La funcion exponencial no es precisamente par o impar como lo muestra
la Figura 12 , ası de esa manera se tendran que calcular los coeficientes pares
an e impares bn.
−1 0 10
5
10
15
20
25Función Exponencial
Periodo (π)
et
Figura 12: Grafica que representa la funcion 50
ITG Pedro Rosales Grano 19
de la ecuacion 29, se obtiene el coeficiente a0, para la funcion representada
por la ecuacion 50
a0 =2
T
∫ π
−π
etdt
si T = 2π y ω0 = 1; entonces queda
a0 =2
2π
∫ π
−π
etdt
integrando
a0 =1
π
[π
−π
et
1
]
evaluando
a0 =1
π[eπ − e−π]
para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica 2 sinh(x) =
eπ − e−π, siendo x = π, quedando como resultado
a0 =2
πsinh π (51)
Ahora sigue obtener el coeficiente an, de la ecuacion 33, para la funcion
representada por la ecuacion 50
an =2
T
∫ π
−π
et cos(n ω0 t)dt
consultando el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum,
se encuentra la siguiente integral, que ajusta a la solucion de la anterior
ecuacion
∫eax cos(bx) dx =
eax [a cos(bx) + b sin(bx)]
a2 + b2(52)
se supone que: a = 1; x = t; b = n, y si T = 2π y ω0 = 1; entonces queda
ITG Pedro Rosales Grano 20
an =2
2π
∫ π
−π
et cos(n t)dt
an =1
π
∫ π
−π
et cos(n t)dt
Integrando
an =1
π
[π
−π
et [cos(n t) + n sin(n t)]
1 + n2
]
Evaluando
an =1
π
[eπ [cos(n π) + n sin(n π)]
1 + n2− e−π [cos(−n π) + n sin(−n π)]
1 + n2
]
ya que para todo ± cos(nπ) = (−1)n, y para ± sin(nπ) = 0. Considerando
estas observaciones la ecuacion queda de la siguiente manera:
an =1
π
[eπ (−1)n
1 + n2− e−π (−1)n
1 + n2
]
agrupando los terminos comunes en la ecuacion se obtiene
an =(−1)n
π(1 + n2)
[eπ − e−π
]
para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica 2 sinh(x) =
eπ − e−π, siendo x = π
an =(−1)n
π(1 + n2)[2 sinh π]
terminando, como resultado queda
an =2(−1)n
π(1 + n2)[sinh π] (53)
Ahora se procede para encontrar el coeficiente bn, que se obtiene de la
ecuacion 34, para la funcion representada por la ecuacion 50
bn =2
T
∫ π
−π
et sin(n ω0 t)dt
ITG Pedro Rosales Grano 21
Analogamente con la solucion anterior, se consulta el manual de formulas
y tablas matematicas de la Serie Shaum, y se encuentra la integral que da la
solucion a la integral en proceso de resolver.
∫eax sin(bx) dx =
eax [a sin(bx) − b cos(bx)]
a2 + b2(54)
se supone que: a = 1; x = t; b = n, y si T = 2π y ω0 = 1; entonces:
bn =2
2π
∫ π
−π
et sin(n t)dt
bn =1
π
∫ π
−π
et sin(n t)dt
Integrando
bn =1
π
[π
−π
et [sin(n t) − n cos(n t)]
1 + n2
]
Evaluando
bn =1
π
[eπ [sin(n π) − n cos(n π)]
1 + n2− e−π [sin(−n π) − n cos(−n π)]
1 + n2
]
de igual manera anteriormente visto, ya que para todo ± cos(nπ) = (−1)n,
y para ± sin(nπ) = 0. Considerando estas condiciones la ecuacion queda de
la siguiente manera:
bn =1
π
[eπ [− n(−1)n]
1 + n2− e−π [− n(−1)n]
1 + n2
]
agrupando terminos semejantes se obtiene
bn =(−1)nn
π(1 + n2)
[− eπ + e−π
]
para simplificar la ecuacion se sustituye la identidad trigonometrica−2 sinh(x) =
−eπ + e−π, siendo x = π
quedando finalmente
bn =−2 n(−1)n
π(1 + n2)[sinh π] (55)
ITG Pedro Rosales Grano 22
Agrupando terminos de los coeficiente de la Serie de Fourier, la aproxi-
macion queda:
f(t) =2 sinh π
π
[1
2+
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2cos(n t) −
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2n sin(n t)
]
donde la ecuacion anterior se puede simplificar aun mas quedando finalmente
como
f(t) =2 sinh π
π
[1
2+
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2[cos(n t) − n sin(n t)]
](56)
Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion
exponencial, se graficara entonces la ecuacion 56, para n = 1, 5, 20 terminos,
que corresponden a las figuras 13, 14, 15, respectivamente.
ITG Pedro Rosales Grano 23
−1 0 1−5
0
5
10
15
20
25Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Exponencial
π
f(t)
con n = 1 término
Aproximación de la seriefunción exponencial
Figura 13: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion exponencial
−1 0 1−5
0
5
10
15
20
25Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Exponencial
(π)
f(t)
con n = 5 términos
Aproximación de la seriefunción exponencial
Figura 14: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion exponencial
ITG Pedro Rosales Grano 24
−1 0 1−5
0
5
10
15
20
25Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Exponencial
(π)
f(t)
con n = 20 términos
Aproximación de la seriefunción exponencial
Figura 15: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion exponencial
2.3. Forma Compleja de Fourier
La representacion de una funcion periodica como una serie de Fourier,
implica que la especificacion de los coeficientes determina inıvocamente la
funcion. Se profundizara en el uso de los coeficientes de Fourier en el estudio
de funciones periodicas y se introducira el concepto de espectros de frecuencia
de senales periodicas.
En muchas aplicaciones es conveniente expresar las series de Fourier en
terminos de exponenciales complejos e±imω0t. Considerese la ecuacion 22, para
este caso.
Las funciones seno y coseno se pueden expresar en terminos de los expo-
nenciales como:
cos nω0t =1
2(einω0t + e−inω0t) (57)
sin nω0t =1
2i(einω0t − e−inω0t) (58)
sustituyendo 57 y 58, en la ecuacion 22, queda de la siguiente manera:
ITG Pedro Rosales Grano 25
f(t) =1
2a0 +
∞∑n=1
an1
2(einω0t + e−inω0t) + bn
1
2i(einω0t − e−inω0t) (59)
como 1/i = −i, entonces
f(t) =1
2a0 +
∞∑n=1
[1
2(an − ibn)einω0t +
1
2i(an + ibn)e−inω0t
]
si se hace
C0 = 12a0; Cn = 1
2(an − ibn); C−n = 1
2(an + ibn)
la ecuacion anterior queda
f(t) = C0 +∞∑
n=1
(Cneinω0t + C−ne
−inω0t)
f(t) = C0 +∞∑
n=1
Cneinω0t +−∞∑
n=−1
C−ne−inω0t (60)
con lo que finalmente
f(t) =∞∑−∞
Cneinω0t (61)
La ecuacion 61 es la forma compleja de la serie de Fourier de f(t). Los
coeficientes Cn se evaluan de los terminos an y bn
C0 =1
2a0 =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t) dt (62)
Cn =1
2(an − ibn)
=1
T
∫ T/2
−T/2
f(t) cos(nω0t)dt − i
∫ T/2
−T/2
f(t) sin(nω0t)dt
=1
T
[ ∫ T/2
−T/2
f(t)[cos(nω0t) − i sin(nω0t)]]dt
ITG Pedro Rosales Grano 26
Cn =1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)e−inω0t dt (63)
C−n =1
2(an + ibn) =
1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)einω0t dt (64)
si f(t) es real entonces
C−n = C∗n (65)
Las ecuaciones 62, 63 y 64, se combinan en una sola.
Cn =1
T
∫ T/2
−T/2
f(t)e−inω0t dt n = 0, ± 1, ± 2, · · · (66)
Como f(t)e−inω0t es periodica con periodo T , Cn se puede calcular de
Cn =1
T
∫ T
0
f(t)e−inω0t dt (67)
Definimos
Cn = |Cn|ejφn ; C−n = C∗n = |Cn|e−iφn
entonces, encontramos el espectro de amplitud y el espectro de fase de la
funcion, respectivamente
|Cn| = 1
2
√a2
n + b2n (68)
φn = tan−1(− bn
an
)(69)
2.3.1. Ejercicios
Ejercicio 1.- Encontrar el coeficiente Cn de la forma compleja de Fourier,
para la funcion f(t) = et, en el intervalo [−π π], sabiendo que el periodo es
f(t) = f(t + 2π), considerando que an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}Como se habıa resuelto antes la funcion et de la manera real, ahora se
resolvera de la forma compleja, quedando el mismo resultado, para ambas
formas de solucion.
ITG Pedro Rosales Grano 27
De la ecuacion 66, se obtiene la siguiente ecuacion
Cn =1
T
∫ T/2
−T/2
et e−inω0t dt (70)
si se sustituye en la ecuacion T = 2π y ω0 = 1, se obtiene
Cn =1
2π
∫ π
−π
et e−int dt
Factorizando exponentes
Cn =1
2π
∫ π
−π
et−int dt
Cn =1
2π
∫ π
−π
et(1−in) dt
consultando el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum,
se encuentra la siguiente integral que da solucion a la anterior
∫ekx dt =
ekx
k(71)
Integrando
Cn =1
2π
et(1−in)
(1− in)
∣∣∣π
−π
Evaluando
Cn =1
2π(1− in)
∣∣∣eπ(1−in) − e−π(1−in)∣∣∣
Separando partes en los exponentes
Cn =1
2π(1− in)
∣∣∣eπ · e−inπ − e−π · einπ∣∣∣
La ecuacion queda a modo para aplicar la relacion de Euler que es
e±iα = cos α ± i sin α (72)
que es igual a
e±inπ = cos nπ ± i sin nπ
ITG Pedro Rosales Grano 28
Analogamente con lo anterior se obtiene
Cn =1
2π(1− in)
[eπ ·[cos(nπ) − i sin(nπ)] − e−π ·[cos(−nπ) ± i sin(−nπ)]
]
como se ha mencionado anteriormente
cos(±nπ) = (−1)n ; sin(±nπ) = 0
aplicando esta condicion la ecuacion se expresa
Cn =1
2π(1− in)
[eπ(−1)n − e−π(−1)n
]
factorizando terminos en la ecuacion
Cn =(−1)n
2π(1− in)
[eπ − e−π
]
con lo que se aplica la identidad trigonometrica 2 sinh(π) = eπ − e−π,
quedando de la siguiente manera
Cn =(−1)n
2π(1− in)[2 sinh π] (73)
Aparentemente la ecuacion satisface la serie compleja de Fourier, solo que
no cumple para la obtencion de los coeficientes an y bn. Algo que puede ser la
solucion para obtener estos coeficientes es separar de la ecuacion 73 la parte
real de la imaginaria.
Un metodo para separar la parte real de la imaginaria en la ecuacion 73,
es multiplicando tanto al nominador como al denominador por su complejo
conjugado (1+in), como sigue
Cn =2(−1)n
2π(1− in)[sinh π]
[1 + in
1 + in
]
haciendo la multiplicacion queda
Cn =2(−1)n sinh π(1 + in)
2π(1− i2n2)
ITG Pedro Rosales Grano 29
sabiendo que i2 = −1
Cn =2(−1)n sinh π(1 + in)
2π(1 + n2)
Cn =(−1)n sinh π(1 + in)
π(1 + n2)
se separa la parte real de la imaginaria, y se aplican los criterios de an =
2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}
an =2(−1)n sinh π
π(1 + n2)(74)
bn =−2n(−1)n sinh π
π(1 + n2)(75)
El coeficiente a0 se puede obtener de la siguiente forma
a0 =2(−1)(0) sinh π
π(1 + (0)2)=
sin π
π(76)
de esta manera los coeficientes quedaron determinados por la forma compleja
de la serie de Fourier.
La aproximacion de la serie compleja de Fourier para la funcion et queda
de la siguiente manera:
f(t) =2 sinh π
π
[1
2+
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2cos(n t) −
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2n sin(n t)
]
simplificando
f(t) =2 sinh π
π
[1
2+
∞∑n=1
(−1)n
1 + n2[cos(n t) − n sin(n t)]
](77)
ITG Pedro Rosales Grano 30
Ejercicio 2.- Encontrar la aproximacion en Series de Fourier para la fun-
cion diente de sierra, en el intervalo [0 < t < T ], sabiendo que el periodo
es f(t) = f(t + T ), y ω0 = 2πT
, ademas considerando que an = 2 <{Cn}, y
bn = −2 ={Cn}La funcion diente de sierra se representa de la siguiente manera:
f(t) =A
Tt (78)
La representacion grafica de la funcion, muestra que es una funcion impar,
como se muestra en el grafico
−1 0 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Función Diente de Sierra
(π)
f(t)
Figura 16: Grafica que representa la funcion 78
partiendo de la ecuacion 61, ademas de los coeficientes Cn de la ecuacion 67,
y C0 de la ecuacion 62, se comienza a abordar el problema.
Cn =1
T
∫ T
0
A
Tt e−inω0tdt
=A
T 2
∫ T
0
A
Tt e−inω0tdt
lo anterior se resuelve con el metodo de la integracion por partes, consultando
el manual de formulas y tablas matematicas de la Serie Shaum.
∫u ¦ dv = u ¦ v −
∫v du
ITG Pedro Rosales Grano 31
donde:
u = t ; du = dt
v = 1−inω0t
e−inω0t ; dv = e−inω0t
sustituyendolo en la integral por partes, queda:
Cn =A
T 2
[ t
−inω0
e−inω0t|T0 −∫ T
0
1
−inω0
e−inω0tdt]
Integrando
Cn =A
T 2
[Te−inω0T
−inω0
+1
inω0
1
−inω0
]
sustituyendo ω0 = 2πT
y la identidad 1i
= −i la ecuacion queda
Cn =A
T 2
[Te−in 2πT
T
−inω0
− 1
(inω0)2
[e−inω0T − 1
]]
Utilizando la relacion de Euler de la ecuacion 72
e−in2π = cos n2π − i sin n2π
donde:
cos n2π = 1;
−i sin n2π = 0
con lo que da
Cn =A
T 2
[ Ti
nω0
− 0]
simplificando terminos
Cn =A
T
[ i
nω0
− 0]
Aplicando de nuevo la relacion de Euler de la ecuacion 72 para la identidad
eiπ2 = i, y sustituyendo ω0 = 2π
T, queda
Cn =Ae
iπ2
2πn(79)
Se procede entonces a calcular el valor de C0
C0 =1
T
∫ T
0
A
Tt dt
ITG Pedro Rosales Grano 32
Integrando
C0 =A
2T 2t2|T0
Evaluando
C0 =A
2T 2[T 2 − 0]
Finalmente
C0 =A
2(80)
Se procede a calcular a0
donde
a0 = 2C0
a0 = 2A
2
a0 = A (81)
Ahora se calculan los coeficientes an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}, con
lo que se separa la parte real de la parte imaginaria. Para separarla se usa la
relacion de Euler de la ecuacion 72.
La parte real de Cn, es:
<{Cn} =A
2πn
{cos
π
2+ i sin
π
2
}
donde
cos π2
= 0;
i sin π2
= 1, pero pertenece a la parte imaginaria; por lo que no interviene en
la parte real, por consiguiente
an = 2<{Cn} =A
2πn
{0}
= 0
an = 0 (82)
ITG Pedro Rosales Grano 33
La parte imaginaria de Cn, es:
={Cn} =A
2πn
{cos
π
2+ i sin
π
2
}
donde
cos π2
= 0;
i sin π2
= 1
simplificando
bn = −2={Cn} =A
2πn
{1}
bn = −2A
2πn
bn = − A
nπ(83)
Integrando los coeficientes a la Serie de Fourier, queda
f(t) =A
2+
∞∑n=1
− A
nπsin nω0t
factorizando y simplificando queda
f(t) =A
2− A
π
∞∑n=1
− 1
nsin nω0t
Finalmente la aproximacion de la serie queda
f(t) = A[1
2− 1
π
∞∑n=1
− 1
nsin nω0t
](84)
Para encontrar el espectro de amplitud de la funcion diente de sierra, se
obtiene lo siguiente.
El valor absoluto de Cn, es:
|Cn| = 1
2
√a2
n + b2n
como an = 0, para este ejemplo, entonces
|Cn| = 1
2
√b2n
ITG Pedro Rosales Grano 34
sustituyendo
|Cn| = 1
2
√(− A
nπ
)2
|Cn| = 1
2
√A2
n2π2
Finalmente, el valor absoluto de Cn queda
|Cn| = A
2nπ(85)
Para esquematizar la aproximacion de la Serie de Fourier para la funcion
diente de sierra, se graficara entonces la ecuacion 84, para n = 1, 5, 20
terminos, que corresponden a las figuras 17, 18, 19, respectivamente.
−1 0 1
1
1.5
2
2.5
3
Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra
(π)
f(t)
Figura 17: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 1 terminopara la funcion diente de sierra
ITG Pedro Rosales Grano 35
−1 0 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra
(π)
f(t)
Figura 18: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 5 terminospara la funcion diente de sierra
−1 0 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Aproximación de la Serie de Fourier para la Función Diente de Sierra
(π)
f(t)
Figura 19: Grafica de la Aproximacion de la Serie de Fourier con 20 terminospara la funcion diente de sierra
Para esquematizar el espectro de frecuencia de amplitud, se graficara en-
tonces la ecuacion 85, para n = 1, 5, 20 terminos, que corresponden a las
figuras 20, 21, 22, respectivamente.
ITG Pedro Rosales Grano 36
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 25
5.5
6
6.5
7
7.5Espectro de Amplitud para n = 1 de la Función Diente de Sierra
n ω0
|Cn|
Figura 20: Grafica del Espectro de Amplitud con 1 termino para la funciondiente de sierra
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51
2
3
4
5
6
7Espectro de Amplitud para n = 5 de la Función Diente de Sierra
n ω0
|Cn|
Figura 21: Grafica del Espectro de Amplitud con 5 terminos para la funciondiente de sierra
ITG Pedro Rosales Grano 37
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5
6
7Espectro de Amplitud para n = 20 de la Función Diente de Sierra
n ω0
|Cn|
Figura 22: Grafica del Espectro de Amplitud con 20 terminos para la funciondiente de sierra
Ejercicio 3.- Encontrar la aproximacion en Series de Fourier para la fun-
cion pulsos, para un intervalo A de [−d2
< t < d2], y un intervalo 0 de
[−T2
< t < −d2]; y [d
2< t < T
2], sabiendo que ω0 = 2π
T, ademas
considerando que an = 2 <{Cn}, y bn = −2 ={Cn}Partiendo nuevamente de la ecuacion 61, que es la forma compleja de
Fourier, se procede a solucionar el problema.
Cn =1
T
∫ d/2
−d/2
A e−inω0tdt
Integrando
Cn =A
T
[− 1
inω0
e−inω0t]d/2
−d/2
Factorizando y evaluando
Cn = −A
T
1
inω0
[e−inω0
d2 − einω0
d2
]
Multiplicando por −1 a toda la ecuacion por conveniencia tenemos
Cn =A
T
1
inω0
[einω0
d2 − e−inω0
d2
]
Multiplicando la ecuacion por 2
Cn =A
T
2
nω0
1
2i
[einω0
d2 − e−inω0
d2
]
ITG Pedro Rosales Grano 38
Utilizando sin α = (eα − e−α)/2i, ya que α = inω0d2
Cn =A
T
2
nω0
sin(inω0
d
2
)
Multiplicando la ecuacion por d2
Cn =Ad
2
T
2
nω0d2
sin(inω0
d
2
)
Simplificando, queda finalmente
Cn =Ad
T
sin(nω0d2)
nω0d2
(86)
Se procede entonces a encontrar los coeficientes an y bn y C0. Dado que
el coeficiente Cn para la funcion pulsos no tiene parte imaginaria
bn = −2={Cn} = 0 (87)
Corresponde entonces
an = 2<{Cn}
an = 2Ad
T
sin(nω0d2)
nω0d2
(88)
Para C0
C0 =1
T
∫ T/2
−T/2
A dt
Integrando
C0 =A
T
[t]d/2
−d/2
Evaluando
C0 =A
T
(d
2+
d
2
)
Finalmente
C0 =A
T(d) (89)
ITG Pedro Rosales Grano 39
2.4. Aplicacion de las Series de Fourier a la solucionde ecuaciones diferenciales parciales con valoresen la frontera
2.4.1. Ejercicios
Ejercicio 1.- Resolver con la ecuacion de onda unidimensional, la oscilacion
vertical de una cuerda dada una perturbacion, considerando que la cuerda
queda fija en sus extremos.
Abordando el problema se presenta la ecuacion de onda unidimensional
uxx(x, t) = − 1
c2utt(x, t) (90)
donde:
uxx = es el desplazamiento vertical de la cuerda
c = es la constante que depende de la tension y la masa de la cuerda
Las condiciones iniciales son las siguientes
u(x, 0) = f(x) (91)
ut(x, 0) = g(x) (92)
Lo que indican las condiciones iniciales, es que la cuerda esta en pleno
reposo antes de la perturbacion, y que despues de un tiempo t dada la per-
turbacion, la cuerda empieza a oscilar verticalmente.
Las condiciones en la frontera son las siguientes
u(0, t) = 0 (93)
u(l, t) = 0 (94)
Lo que indican las condiciones en la frontera, es que la cuerda esta fija en
sus dos extremos.
ITG Pedro Rosales Grano 40
Contando con las condiciones iniciales y de frontera, se propone una
ecuacion diferencial que posiblemente sea la solucion al problema.
u(x, t) = X(x) T (t) (95)
Se procede entonces a sustituir la ecuacion 95, en la ecuacion 90, quedando
X ′′ T =1
c2X T ′′
Usando el metodo de separacion de variables, donde divide X T a toda
la ecuacionX ′′ T
X T=
1
c2
X T ′′
X T
donde se eliminan los terminos comunes, quedando separadas las variables
X ′′
X=
1
c2
T ′′
T
el termino 1c2
T ′′T
puede considerarse una constante −k2, por lo tanto
X ′′
X= − k2
Igualando a cero la ecuacion queda
X ′′ + k2X = 0 (96)
Despejando de igual manera que en la ecuacion 96, para T quedarıa
T ′′ + c2k2T = 0 (97)
Las soluciones a las ecuaciones 96 y 97, respectivamente son
X = A cos kx + B sin kx (98)
T = C cos kct + D sin kct (99)
Para determinar las constantes A,B,C, D, se utilizaran las condiciones
iniciales y de la frontera
ITG Pedro Rosales Grano 41
Aplicando la primera condicion en la frontera
u(0, t) = A cos k(0) + B sin k(0) = 0
por lo tanto la primer constante es
A = 0
Aplicando la segunda condicion en la frontera
u(l, t) = X(l) T (t) = 0
como A = 0
X(l) = B sin k(l) = 0
para que se cumpla esta condicion sin(kl), debe ser 0, por lo que se propone
kl = nπ; k = nπl, ya que cualquier valor entero de n satisface que sin(nπ) = 0.
Por lo tanto, como la ecuacion de onda unidimensional es linear, cualquier
sumatoria es tambien solucion a la ecuacion diferencial, y dado que An = 0,
las ecuaciones quedan
X(x) = Xn(x) = Bn sin(nπ
lx)
T (t) = Tn(t) = Cn cos(nπ
l)ct + Dn sin(
nπ
l)ct
Se deduce que para la solucion 99, tambien una sumatoria es solucion,
quedando expresada la ecuacion 95, de la siguiente manera
u(x, t) = Bn sin(nπ
lx)
[Cn cos(
nπ
l)ct + Dn sin(
nπ
l)ct
]
ya que la multiplicacion del coeficiente Bn con Cn y Dn, sera un nuevo coe-
ficiente, la ecuacion se simplificaa
un(x, t) = sin(nπ
lx)
[En cos(
nπ
l)ct + Fn sin(
nπ
l)ct
]
donde
En = Bn ∗ Cn
Fn = Bn ∗Dn
ITG Pedro Rosales Grano 42
Finalmente en forma de sumatoria, la ecuacion queda
u(x, t) =∞∑
n=1
sin(nπ
lx)
[En cos(
nπ
l)ct + Fn sin(
nπ
l)ct
](100)
Se procede entonces a encontrar las constantes En y Fn, para ello se deriva
parcialmente la ecuacion 100, como se muestra a continuacion
u(x, t) =∞∑
n=1
sin(nπ
lx)
∂[En cos(nπ
l)ct + Fn sin(nπ
l)ct
]
∂t
al derivarse parcialmente la ecuacion anterior, los coeficientes se separan,
ajustandose a Series de Fourier
u(x, 0) =∞∑
n=1
= En sin(nπ
lx) = f(x)
ut(x, 0) =∞∑
n=1
=cnπ
lFn sin(
nπ
lx) = g(x)
Finalmente aplicando la Serie de Fourier a los coeficientes, queda de la
siguiente manera
En =2
l
∫ l
0
f(x) sinnπx
ldx (101)
Fn =2
cnπ
∫ l
0
g(x) sinnπx
ldx (102)
las ecuaciones son validas para cualquier valor entero de n
La solucion de En es
En =8
n2π2sin
nπ
2(103)
Aplicandolo a la solucion de la cuerda queda
u(x, t) =∞∑
n=1
sin(nπ
lx) En cos(
cnπ
lt) (104)
Las graficas 23 y 24, muestran la propagacion de la perturbacion de la
cuerda en una serie de tiempo.
ITG Pedro Rosales Grano 43
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Longitud de la cuerda
Osc
ilaci
on
Propagación de la cuerda en el tiempo
Figura 23: Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la cuerda
Figura 24: Grafica de la propagacion de la perturbacion vertical de la cuerdaen una serie de tiempo de forma tridimensional
Ejercicio 2.- Resolver con la ecuacion de Laplace, la propagacion del calor
en una placa de acero, considerando que el flujo de calor es estacionario.
Las condiciones en la frontera son las siguientes
T (0, y) = 0 ; 0 < x < a (105)
T (x, 0) = 0 ; 0 < x < a (106)
T (0, b) = 0 ; 0 < y < b (107)
T (a, y) = T0 ; 0 < y < a (108)
ITG Pedro Rosales Grano 44
donde
T=calor.
T0=calor generado por la fuente.
La ecuacion de Laplace es la siguiente
∇2 T = 0 (109)
ya que esta ecuacion es de segundo orden se puede representar de la siguiente
manera
∂(Txx + Tyy) = 0
Para ello se propone primeramente una ecuacion solucion, que es la sigu-
iente
T (x, y) = X(x) Y (y) (110)
Dado que la solucion propuesta es una ecuacion lineal, cualquier sumato-
ria es tambien una solucion.
X ′′ Y + X Y ′′ = 0
Aplicando el metodo de separacion de variables se obtiene
X ′′YXY
= −XY ′′
XY
QuedandoX ′′
X= −Y ′′
Y
El termino −Y ′′Y
, puede expresarse como una constante k2, ası como tam-
bien para el termino −X′′X
, quedando
X ′′
X= k2
−Y ′′
Y= k2
ITG Pedro Rosales Grano 45
Despejando
X ′′ = k2X
Y ′′ = k2Y
Igualando las ecuaciones a cero, quedarian
X ′′(x) − k2X(x) = 0 (111)
Y ′′(y) + k2Y (y) = 0 (112)
Las soluciones a las ecuaciones 111 y 112, respectivamente son
X = Aekx + Be−kx (113)
Y = C cos ky + D sin ky (114)
De nueva cuenta que en el ejercicio anterior, se procedera a encontrar las
constantes aplicando las condiciones en la frontera.
La primer condicion condicion en la frontera es
X(0) = Aek(0) + Be−k(0) = 0
ya que todo numero elevado a la cero es igual a 1, queda
X(0) = A(1) + B(1) = 0
X(0) = A + B = 0
por lo que las constantes A y B son
A = −B
B = − A
Aplicando la segunda condicion en la frontera
Y (0) = C cos k(0) + D sin k(0) = 0
ITG Pedro Rosales Grano 46
ya que el cos(0) es igual a uno, y que el sin(0) es igual a cero, se tiene
Y (0) = C(1) + D(0) = 0
Y (0) = C = 0
por lo que
C = 0
Aplicando la tercer condicion en la frontera
Y (b) = C cos k(b) + D sin k(b) = 0
como C = 0, entonces
Y (b) = D sin k(b) = 0
para que se cumpla la ecuacion, sin k(b) = 0, para que esto ocurra igualamos
kb = nπ, ya que sin(nπ) = 0, y entonces k = nπb
, quedando la ecuacion
Y (b) = D sin(nπ) = 0
ya que Cn = 0, las ecuaciones para Xn(x) y Yn(y), quedan
Xn(x) = An ekx − An e−kx
Yn(y) = Dn sin(nπ
b)y
factorizando Xn(x)
Xn(x) = An(ekx − e−kx)
utilizando la identidad trigonometrica 2 sinh = ekx − e−kx, la ecuacion
queda
Xn(x) = 2An sinh(kx)
como k = nπb
, entonces
Xn(x) = 2An sinh(nπ
b)x
ITG Pedro Rosales Grano 47
Sustituyendo los resultados de Xn(x) y Yn(y) en la ecuacion solucion 110
Tn(x, y) = 2An sinh(nπ
b)x Dn sin(
nπ
b)y
Ya que la multiplicacion de las constantes 2An y Dn da como resultado
una nueva constante, entonces
Tn(x, y) = En sinh(nπ
b)x sin(
nπ
b)y
A manera de sumatoria, queda
T (x, y) =∞∑
n=1
Tn(x, y) =∞∑
n=1
En sinh(nπ
b)x sin(
nπ
b)y (115)
Aplicando la cuarta condicion de la frontera a la ecuacion 115, queda
T (a, y) = T0 =∞∑
n=1
En sinh(nπ
b)a sin(
nπ
b)y
ya que En sinh(nπb
)a, es una constante, entonces Fn = En sinh(nπb
)a , quedan-
do
T (a, y) =∞∑
n=1
T0 =∞∑
n=1
Fn sin(nπ
b)y
Aplicando las Series de Fourier a este resultado, queda
Fn =2
b
∫ b
0
T0 sin(nπ
b)y dy (116)
Integrando
Fn =2T0
nπ(1 − cos nπ) =
{4T0
nπ; n = 1, 2, 3, ..., impar
0 ; n = 2, 4, 6, ..., par,
Gn = sinhnπa
b=
{4T0
nπ; n = 1, 2, 3, ..., impar
0 ; n = 2, 4, 6, ..., par,
Gn =4T0
nπ sinh nπab
; para n = impar
Aplicandolo a la solucion, queda
T (x, y) =4T0
π
∞∑n=impar
1
n
sinh(nπxb
)
sinh(nπab
)sin
nπy
b(117)
Las graficas 25 y 26, muestran la propagacion del calor en la placa, en
base a las ecuaciones que se acaban de resolver
ITG Pedro Rosales Grano 48
Figura 25: Grafica de la propagacion del calor a traves de la placa de aceroen una forma bidimensional
Figura 26: Grafica del gradiente de calor en forma tridimensional a lo largode la placa
Ejercicio 3.- Resolver con la ecuacion de onda bidimensional, la vibracion
de una membrana. Considerando que las fronteras de la membrana estan
totalmente rıgidas.
Para abordar el problema, de nueva cuenta se dispone de las condiciones
iniciales y de frontera.
Las condiciones iniciales son
u(x, y, 0) = f(x, y) (118)
u(x, y, t)|t=0 = g(x, y) (119)
las condiciones iniciales, indican que la membrana esta en reposo antes de la
ITG Pedro Rosales Grano 49
perturbacion.
Las condiciones en la frontera son las siguientes
u(0, y) = 0 ; 0 < x < a (120)
u(a, y) = 0 ; 0 < x < a (121)
u(x, 0) = 0 ; 0 < y < b (122)
u(x, b) = 0 ; 0 < y < b (123)
las anteriores condiciones de frontera, indican que los lımites de la membrana
estan totalmente rıgidos.
La ecuacion de onda bidimensional es la siguiente
∇2 u(x, y, t) =1
c2utt(x, y, t) (124)
donde
u=desplazamiento de la vibracion en la membrana
c = Tρ=constante, que depende de la tension y la densidad del material
T=Tension de la membrana
ρ=densidad del material de la membrana
Se propone una ecuacion solucion, que es la siguiente
u(x, y, t) = X(x) Y (y) T (t) (125)
Aplicando el metodo de separacion de variables a la ecuacion 125, se
obtieneX ′′Y T
XY T+
XY ′′TXY T
− 1
c2
XY T ′′
XY T= 0
X ′′
X+
Y ′′
Y=
1
c2
T ′′
T
ITG Pedro Rosales Grano 50
El termino X′′X
+ Y ′′Y
, puede considerarse como una constante, por lo que
se puede sustituir como −k2, quedando
1
c2
T ′′
T= −k2
Igualando a cero la ecuacion la ecuacion, queda
T ′′ + k2c2T = 0 (126)
Desde otro punto de vista, el termino 1c2
T ′′T
, tambien puede expresarse
como la constante −k2, quedando
X ′′
X+
Y ′′
Y= −k2
Pasando el termino Y ′′Y
, al otro lado de la ecuacion, quedarıa
X ′′
X= − k2 − Y ′′
Y
El termino −k2 − Y ′′Y
, puede expresarse como una nueva constante −k2x,
quedandoX ′′
X= − k2
x
Igualando a cero la ecuacion, queda
X ′′ + k2xX = 0 (127)
Igualmente para la variable dependiente de y, queda
Y ′′ + k2yY = 0 (128)
Las soluciones a las ecuaciones anteriores, respectivamente son
X = A cos kxX + B sin kxX (129)
X = C cos kyY + B sin kyY (130)
ITG Pedro Rosales Grano 51
T = E cos kct + F sin kct (131)
Se procede a encontrar las constantes, aplicando las condiciones iniciales
y de frontera
Aplicando la primer condicion en la frontera
X(0) = A cos(kx0) + B sin(kx0) = 0
X(0) = A cos(0) + B sin(0) = 0
X(0) = A(1) + B(0) = 0
por lo tanto la constante A, es
X(0) = A = 0
Aplicando la segunda condicion en la frontera
X(a) = A cos(kxa) + B sin(kxa) = 0
sustituyendo A = 0 en la ecuacion tenemos
X(a) = (0) cos(kxa) + B sin(kxa) = 0
X(a) = B sin(kxa) = 0
para que se cumpla este criterio sin kx(a) = 0, para que esto ocurra se iguala
kxa = mπ, ya que sin(mπ) = 0, y entonces kx = mπa
, quedando la ecuacion.
Xm(x) = Bm sinmπ
ax
Aplicando la tercera condicion en la frontera
Y (0) = C cos(ky0) + D sin(ky0) = 0
Y (0) = C cos(0) + D sin(0) = 0
Y (0) = C(1) + D(0) = 0
ITG Pedro Rosales Grano 52
Y (0) = C = 0
por lo tanto la constante C
C = 0
Aplicando la cuarta condicion en la frontera
Y (b) = C cos(kyb) + D sin(kyb) = 0
Sustituyendo C = 0 en la ecuacion, queda
Y (b) = 0 cos(kyb) + D sin(kyb) = 0
Y (b) = 0 + D sin(kyb) = 0
Y (b) = D sin(kyb) = 0
para que se cumpla este criterio sin ky(b) = 0, para que esto ocurra se iguala
kyb = nπ, ya que sin(nπ) = 0, y entonces ky = nπb
, donde la ecuacion
queda.
Yn(y) = D sinnπ
by = 0
Elevando al cuadrado y haciendo la sumatoria de las constantes, se con-
cluye
k2 = k2x + k2
y =m2π2
a2+
n2π2
b2= k2
mn
entonces
Tmn(t) = Emn cos kmnct + Fmn sin kmnct
sustituyendo en los terminos Xm(x), Yn(y), Tmn(t), en la ecuacion 125, queda
umn(x, y, t) = Bm sinmπ
ax D sin
nπ
by(Emn cos kmnct + Fmn sin kmnct)
Multiplicando las constantes en la ecuacion anterior , se tienen 2 nuevas
constantes que son
umn(x, y, t) = Gmn cos kmnct + Hmn sin kmnct (sinmπ
ax sin
nπ
by)
ITG Pedro Rosales Grano 53
A modo de sumatoria, queda
∞∑m=1
∞∑n=1
Gmn cos kmnct + Hmn sin kmnct (sinmπ
ax sin
nπ
by) (132)
Aplicando a la ecuacion 132 la primer condicion inicial, queda una doble
Serie de Fourier como se aprecia en la siguiente ecuacion
umn(x, y, 0) =∞∑
m=1
∞∑n=1
Gmn(sinmπ
ax sin
nπ
by) = f(x, y)
Para determinar el coeficiente Gmn, se deduce que es compatible con los
de Series de Fourier, por lo tanto, se define
Jm(y) =∞∑
n=1
Gmn sinnπ
by
f(x, y) =∞∑
n=1
Jm(y) sinmπ
ax
donde las Series de Fourier, se aplican a
Gmn =2
b
∫ b
0
Jm(y) sinnπ
by dy
Jm(y) =2
a
∫ a
0
f(x, y) sinmπ
ax dx
por lo que Gmn, es
Gmn =4
ab
∫ b
0
∫ a
0
f(x, y) sinmπ
ax sin
nπ
by dxdy (133)
donde f(x, y), es cualquier funcion asociada al fenomeno en estudio.
Aplicamos la segunda condicion inicial, para encontrar la constante Hmn
donde se deriva la ecuacion 132, y se tiene
ut(x, y, t)|0 =∞∑
m=1
∞∑n=1
Hmnkmnc sinmπ
ax sin
nπ
by
donde haciendo analogıas
Lm(y) =∞∑
n=1
kmnc Hmn sinnπ
by
ITG Pedro Rosales Grano 54
queda entonces Hmn, como
Hmn =4
abckmn
∫ b
0
∫ a
0
g(x, y) sinmπ
ax sin
nπ
by dxdy (134)
proponiendo un caso particualar para adecuar las funciones al problema,
se utiliza la funcion matematica que describe a un domo, ademas que se
considera que la membrana esta rigida en todas las fronteras (u(x, y, t) = 0),
es para f(x, y) la siguiente
u(x, y, t) = xy(x− a)(y − b) = f(x, y) (135)
para g(x, y) = 0, es
ut(x, y, t)|t=0 = 0 ∴ g(x, y) = 0 ⇒ Hmn = 0
quedando solamente
Gmn =4
ab
∫ b
0
∫ a
0
xy(x− a)(y − b) sinmπx
asin
nπy
bdxdy (136)
integrando y evaluando la integral de la ecuacion 136, el resultado es
Gmn =64a2b2
π2m3n2
}para valores de n y m impares (137)
Gmn = 0}
para otros casos (138)
con lo que sustituyendo los valores de los coeficientes en la ecuacion 132,
finalmente queda resuelto el ejercicio
u(x, y, t) =64a2b2
π6
∞∑m=impar
∞∑n=impar
1
m3n3cos kmn ct sin
mπx
asin
nπy
b(139)
donde
k2mn = (
mπ
a)2 + (
nπ
b)2 (140)
La Figura 27, muestra la condicion inicial de la membrana a un t = 0
ITG Pedro Rosales Grano 55
Figura 27: Grafica de la condicion inicial de la membrana vibrante
3. Aproximacion Mediante una Serie Finita
de Fourier
Sea
Sk(t) =a0
2+
k∑n=1
(an cos n ω0t + bn sin n ω0t) (141)
la suma de los primeros (2k + 1) terminos de una serie de Fourier que repre-
senta f(t) en el intervalo −T/2 < t < T/2.
Si f(t) se aproxima por Sk(t), es decir,
f(t) =a0
2+
k∑n=1
(an cos n ω0t + bn sin n ω0t) + εk(t), (142)
εk(t) = f(t) − Sk(t), (143)
Referencias
[1] Hwei P. Hsu, 1987. Analisis de Fourier. Addison Wesley Iberoamericana.Estados Unidos de America
[2] Spiegel Murray R., 1970. Manual de Formulas y Tablas Matematicas.Serie Shaum. Mc Graw Hill. Mexico D.F.
[3] Oetiker Tobias, 1999, et.al.. The Not So Short Introduction to LaTex.