SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento matemático más importante para comprender, manejar y formular métodos numéricos que se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.

Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basan en la aproximación de funciones por medio de polinomios.

La expansión de Taylor de una función, es una serie infinita de potencias que representa, de manera exacta, el comportamiento de la función en la vecindad de un punto dado.

Si se ignoran todos los términos de la serie de Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la función verdadera.

El error del método numérico depende de la precisión con la que el polinomio aproxima a la función verdadera.

Los errores por truncamiento se evalúan a través de la comparación del desarrollo polinomial de la solución numérica, con la serie de Taylor, de la solución exacta.

Expansión en serie de Taylor

Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden n en el punto Xi, para el cual se conoce el valor de la función a0 y el de sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, …

Se trata de encontrar un polinomio de la forma:

(1)

que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi.

El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las n primeras derivadas de la función en el punto Xi.

(2)

El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1).

(3)

Desarrollando la expresión (3) y comparándola con la expresión (1), se obtiene:

(4)

Las n primeras derivadas del polinomio son:

Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xi:

(5)

Considerando simultáneamente las expresiones (2) y (5):

(6)

Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (6) en la expresión (3)

(7)

que en forma sintética se expresa:

(8)

Las expresiones (7) y (8) son equivalentes y representan la expansión en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la función en cualquier punto X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi. Se pueden presentar dos casos:

A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xi, se usa la nomenclatura Xi+1, con lo que se indica que es mayor que Xi.

(9)

donde h se denomina tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia adelante.

B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de Xi, se usa la nomenclatura Xi-1, con lo que se indica que es menor que Xi.

(10)

donde h es el tamaño del paso, tratándose en este caso de un paso hacia atrás.

Para cada combinación de puntos Xi, Xi+1 en una función f(x), la serie de Taylor es única, es decir, no hay otra serie de potencias en h = Xi+1 – Xi , para representar a f(X)

Ejemplo 1. En el punto Xi = 1, la función f(X) y sus derivadas toman los siguientes valores:

f(1) = 1; f'(1) = 6; f''(1) = 2; f'''(1) = 6.

A partir de estos datos y utilizando la expansión en serie de Taylor dada en (9), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la función para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la función para Xi+1 = 3.

f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)2/2! + 6(X - 1)3/3!

= 1 + 6X - 6 + X2 - 2X + 1 + X3 - 3X2 + 3X - 1

= - 5 + 7X - 2X2 + X3

h = Xi+1 - Xi = 3 - 1 = 2

f(Xi+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)2/2! + 6(2)3/3!

= 1 + 12 + 4 + 8 = 25

Ejemplo 2. Aproximar la función f(X) = cos X en 30°, conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes:

Xi = 0° = 0 ; Xi+1 = 30° = p/6 ; h = Xi+1 - Xi = p /6 - 0 = p /6

f(X) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + fiv(Xi)h4/4! + fv(Xi)h5/5! + fvi(Xi)h6/6!

f(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1

f'(X) = - sen X f'(0) = - sen 0 = 0

f''(X) = - cos X f''(0) = - cos 0 = - 1

f'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0

fiv(X) = cos X fiv(0) = cos 0 = 1

fv(X) = - sen X fv(0) = - sen 0 = 0

fvi(X) = - cos X fvi(0) = - cos 0 = - 1