serie de fourier
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA CATEDRA DE ANALISIS DE SEรALES
SERIES DE FOURIER
INTEGRANTE Bryan Hinojosa
19170086 Eligheor cohil
19170084
CABUDARE 06 DE DICIEMBRE DE 2013
PARTE I
โ Una seรฑal ๐(๐ก) es periรณdica si y solo si ๐(๐ก) = ๐(๐ก ยฑ ๐) para todos los valores de ๐ . En otras palabras, una seรฑal periรณdica tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento en el tiempo. Por teorรญa sabemos que para ๐(๐๐ก) si a esta 0 < ๐ < 1 la funciรณn se ensancha en su periodo pero si ๐ > 1 la funciรณn se comprime dependiendo del numero que tenga ๐ . Como la seรฑal es periรณdica con periodo ๐ก y tomando el teorema โ podemos decir que:
๐(๐๐ก) = ๐(๐๐ก โ ๐)
๐๐ก = 0 โง ๐๐ก โ ๐ = 0
๐ก = 0 โง ๐๐ก = ๐
๐ก = 0 โง ๐ก =๐๐
Acรก podemos observar que la seรฑal se repite cada !
! (Periodo.)
Sabemos que ๐(๐ก) = ๐ , donde c es ctte.
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
Por teorema conocemos que una funciรณn es periรณdica si y solo si ๐(๐ก) = ๐(๐ก + ๐) este caso se cumple para una funciรณn ctte ya que para cualquier valor de T la funciรณn ๐(๐ก + ๐) valdrรก el mismo valor.
Esta integral tiene un parecido al valor promedio de una seรฑal ๐(๐ก) la cual es la componente DC de una seรฑal ๐(๐ก) y viene expresada por:
๐ด! =1๐ ๐(๐ก)๐๐ก
!
Solo que ๐ = 2๐ y el intervalo de integraciรณn va de ๐ก โ ๐ ๐ ๐ก + ๐.
๐!(๐ก) =12๐ ๐(๐)๐๐
!!!
!!! ; ๐ ๐๐ ๐(๐)
๐!(๐ก) =12๐ ๐๐
!!!
!!!๐(๐)๐๐
!!!
!!!=12๐ ๐ก + ๐ โ ๐ก โ ๐ ๐๐
!!!
!!!
๐!(๐ก) =12๐ ๐ก + ๐ โ ๐ก + ๐ ๐(๐)๐๐
!!!
!!!=12๐ 2๐ ๐(๐)๐๐
!!!
!!!= ๐(๐)๐๐
!!!
!!!
Claramente podemos observar que tambiรฉn tiene perรญodo T. PARTE II
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
Estamos en presencia de una seรฑal periรณdica. Por la ecuaciรณn de anรกlisis tenemos que:
๐ด! =1๐ ๐ฅ(๐ก)๐!!"!!!๐๐ก
!=1๐ ๐ฅ(๐ก)๐!!" !!
! !๐๐ก!
Tomando el periodo โ๐ < ๐ก < ๐ obtenemos:
๐ด! =12๐ ๐ฅ(๐ก) ๐!!" !!
! !๐๐ก!
!!=
12๐
1โ๐๐ 2๐
2๐๐!!"#
!!
!
๐ข =โ๐๐2๐๐ ๐ก , ๐๐๐ ๐ = 2๐ โด ๐ข =
โ๐๐2๐2๐ ๐ก ;
๐๐ขโ๐๐ = ๐๐ก
๐ด! =12๐
1โ๐๐ ๐!!" ! โ ๐!!" !!
๐ด! =1
โ๐2๐๐ 1โ ๐!"# =๐
2๐๐ 1โ cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐
Por propiedad ๐!"# = cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐
Para el valor medio de la seรฑal
๐ด! =1๐ ๐ฅ(๐ก)๐๐ก
!
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
๐ด! =12๐ (1)๐๐ก
!
!!=
12๐ ๐ก !!
! =12๐ 0โ โ๐ =
๐2๐ =
12
๐ด! =12
Para k = 1
๐ด! =๐2๐ 1โ cos ๐ + ๐ sin ๐
๐ด! =๐2๐ 2 =
๐๐ ; ๐ด!! = โ๐ด!
Para k = 2
๐ด! =๐4๐ 1โ cos 2๐ + ๐ sin 2๐
๐ด! =๐4๐ 0 = 0 โ ๐ด! = 0
Para k = 3
๐ด! =๐6๐ 1โ cos 3๐ + ๐ sin 3๐
๐ด! =๐6๐ 2 =
๐3๐ ; ๐ด!! = โ๐ด!
Para k = 4
๐ด! = 0 = ๐ด!! Para k = 5
๐ด! =๐
10๐ 1โ cos 5๐ + ๐ sin 5๐
๐ด! =๐
10๐ 2 =๐5๐ ; ๐ด! = โ๐ด!
Graficando ๐ด! obtenemos que:
Para la ecuaciรณn de sรญntesis y obtener la representaciรณn en serie de Fourier tenemos:
๐ฅ ๐ก = ๐ด!๐!!"!!
! ! = ๐ด!๐!!"#!
!!!!
!!
!!!!
๐ฅ ๐ก = ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!" + ๐ด! + ๐ด!๐!"
+ ๐ด!๐!!! + ๐ด!๐!!! + ๐ด!๐!!! + ๐ด!๐!!!
๐ฅ ๐ก =โ๐5๐ ๐
!!!! โ๐3๐ ๐
!!!! โ๐๐ ๐
!!" +12+
๐๐ ๐
!" +๐3๐ ๐
!!! +๐5๐ ๐
!!!
๐ฅ ๐ก =12+
๐๐ ๐!" โ ๐!!" +
๐3๐ ๐!!! โ ๐!!!! +
๐5๐ ๐!!! โ ๐!!!!
Por propiedad sin ๐ค๐ก = !
!!๐!"# โ ๐!!"#
๐ฅ ๐ก =12โ
2๐ sin ๐ก โ
23๐ sin 3๐ก โ
25๐ sin 5๐ก
Estamos en presencia de una seรฑal periรณdica. Por la ecuaciรณn de anรกlisis tenemos que:
๐ด! =1๐ ๐ฅ(๐ก)๐!!"!!!๐๐ก
!=1๐ ๐(๐ก)๐!!" !!
! !๐๐ก!
; ๐๐๐๐๐ ๐(๐ก) = ๐ก
Tomando el periodo โ๐ < ๐ก < ๐ obtenemos:
๐ด! =12๐ ๐ก ๐!!" !!
! !๐๐ก!
!!
Resolviendo la integral
๐ก ๐!"๐๐ก ; ๐๐๐๐๐ ๐ =โ๐๐2๐2๐ = โ๐๐
๐ข = ๐ก ๐๐ฃ = ๐!"๐๐ก
๐๐ข = ๐๐ก ๐ฃ =1๐ ๐
!"
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
1. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a โ 0 es una funciรณn periรณdica con perรญodo T/a 2. Demostrar que la funciรณn f(t) = constante, es una funciรณn periรณdica de
perรญodo T para cualquier valor positivo de T 3. Si f(t) es una funciรณn periรณdica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) = ๐๐๐ โซ ๐(๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐ tambiรฉn es periรณdica con periodo T
PARTE II
1. Dada la funciรณn la funciรณn f(t) definida por f(t) = 1 para
โ ฯ < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < ฯ y f (t + 2ฯ) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la funciรณn f (t) (Ver figura 1).
2. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 2).
3. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 3).
๐ก ๐!"๐๐ก =๐ก๐ ๐
!" โ1๐ ๐!"๐๐ก =
1๐ ๐ก๐
!" โ1๐! ๐
!" + ๐
Asรญ sustituyendo el valor de a tenemos que:
๐ด! =12๐
๐กโ๐๐ ๐
!!"#
!!
!โ
1โ๐๐ ! ๐
!!"#
!!
!
๐ด! =12๐
๐๐ ๐๐!!" ! โ โ๐๐!!" !! โ
1โ๐ ๐!!" ! โ ๐!!" !!
๐ด! =12๐
๐๐๐ ๐!!" ! + ๐!" ! โ
1๐ ๐!" ! โ ๐!!" !
Por propiedad cos ๐ค๐ก = !
!๐!"# + ๐!!"# ; sin ๐ค๐ก = !
!!๐!"# โ ๐!!"#
๐ด! =12๐
๐๐๐ 2 cos ๐๐ โ
1๐ 2 ๐ sin ๐๐
๐ด! =๐๐ cos ๐๐ โ
2๐๐ sin ๐๐ ; sin ๐๐ = 0 โ ๐ โ โค!
๐ด! =๐๐ cos ๐๐
Para el valor medio de la seรฑal
๐ด! =1๐ ๐(๐ก)๐๐ก
!
๐ด! =12๐ (๐ก)๐๐ก
!
!!=
14๐ ๐ก! !!
! =14๐ ๐! โ โ๐ ! = 0
๐ด! = 0
Para k = 1
๐ด! =๐1 cos 1 ๐
๐ด! = โ๐
Para k = -1
๐ด!! =๐โ1 cos โ1 ๐
๐ด! = ๐
Para k = 2
๐ด! =๐2 cos 2 ๐
๐ด! =๐2 ; ๐ด!! = โ๐ด!
Para k = 3
๐ด! =๐3 cos 3 ๐
๐ด! =โ๐3 ; ๐ด!! = โ๐ด!
Para k = 4
๐ด! =๐4 cos 4 ๐
๐ด! =๐4 ; ๐ด!! = โ๐ด!
Graficando ๐ด! obtenemos que:
Para la ecuaciรณn de sรญntesis y obtener la representaciรณn en serie de Fourier tenemos:
๐ฅ ๐ก = ๐ด!๐!"!!
! ! = ๐ด!๐!"#!
!!!!
!!
!!!!
๐ฅ ๐ก = ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!" + ๐ด! + ๐ด!๐!" + ๐ด!๐!!! + ๐ด!๐!!!
+ ๐ด!๐!!!
๐ฅ ๐ก = โ๐ ๐!" โ ๐!!" +๐2 ๐!!! โ ๐!!!! โ
๐3 ๐!!! โ ๐!!!! +
๐4 ๐!!! โ ๐!!!!
Por propiedad sin ๐ค๐ก = !
!!๐!"# โ ๐!!"#
๐ฅ ๐ก = 2 sin ๐ก โ sin 2๐ก +23 sin 3๐ก โ
12 sin 4๐ก
Estamos en presencia de una seรฑal periรณdica. Por la ecuaciรณn de anรกlisis tenemos que:
๐ด! =1๐ ๐ฅ(๐ก)๐!!"!!!๐๐ก
!=1๐ ๐(๐ก)๐!!" !!
! !๐๐ก!
; ๐๐๐๐๐ ๐(๐ก) = ๐ก!
Tomando el periodo โ๐ < ๐ก < ๐ obtenemos:
๐ด! =12๐ ๐ก! ๐!!" !!
!! !๐๐ก!
!!=
12๐ ๐ก! ๐!!"#๐๐ก
!
!!
Resolviendo la integral
๐ก! ๐!"๐๐ก ; ๐๐๐๐๐ ๐ = โ๐๐
๐ข = ๐ก! ๐๐ฃ = ๐!"๐๐ก
๐๐ข = 2๐ก๐๐ก ๐ฃ =1๐ ๐
!"
3. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 3).
3. Dada la funciรณn la funciรณn f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- ฯ, ฯ) y
f(t + 2ฯ) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la funciรณn f (t)
(Ver figura 3).
๐ก! ๐!"๐๐ก =๐ก!
๐ ๐!" โ
2๐ ๐ก๐!"๐๐ก
๐ก ๐!"๐๐ก
๐ข = ๐ก ๐๐ฃ = ๐!"๐๐ก
๐๐ข = ๐๐ก ๐ฃ =1๐ ๐
!"
๐ก ๐!"๐๐ก =๐ก๐ ๐
!" โ1๐ ๐!"๐๐ก =
1๐ ๐ก๐
!" โ1๐! ๐
!" + ๐
Obtenemos asรญ la soluciรณn total de la integral:
๐ก! ๐!"๐๐ก =๐ก!
๐ ๐!" โ
2๐
๐ก๐ ๐
!" โ1๐! ๐
!" + ๐
๐ก! ๐!"๐๐ก =๐ก!
๐ ๐!" โ
2๐ก๐! ๐
!" +2๐! ๐
!" + ๐
๐ด! =12๐
๐ก!
โ๐๐ ๐!!"#
!!
!
โ 2๐กโ๐๐ ! ๐
!!"#
!!
!
+ 2
โ๐๐ ! ๐!!"#
!!
!
๐ด! =12๐
๐๐ ๐!๐!!" ! โ ๐!๐!" ! +
2๐! ๐๐!!" ! + ๐๐!" !
+2๐๐! ๐!!" ! โ ๐!" !
Por propiedad cos ๐ค๐ก = !!๐!"# + ๐!!"# ; sin ๐ค๐ก = !
!!๐!"# โ ๐!!"#
๐ด! =12๐
โ๐๐!
๐ 2 ๐ sin ๐๐ โ2๐๐! 2 cos ๐๐ โ
2๐๐! 2 ๐ sin ๐๐
๐ด! =๐๐ sin ๐๐ โ
4๐๐! cos ๐๐ โ
4๐! sin ๐๐ ; sin ๐๐ = 0 โ ๐ โ โค!
๐ด! = โ4๐๐! cos ๐๐
Para el valor medio de la seรฑal
๐ด! =1๐ ๐(๐ก)๐๐ก
!
๐ด! =12๐ (๐ก!)๐๐ก
!
!!=
12๐
13 ๐ก
!
!!
!
=16๐ ๐! โ โ๐ ! =
2๐!
6๐ =๐!
3
Para k = 1
๐ด! = โ4๐1 ! cos 1 ๐
๐ด! = 4๐
Para k = -1
๐ด!! = โ4๐โ1 ! cos โ1 ๐
๐ด!! = 4๐
Para k = 2
๐ด! = โ4๐2 ! cos 2 ๐
๐ด! = โ๐
Para k = -2
๐ด!! = โ4๐โ2 ! cos โ2 ๐
๐ด!! = โ๐
Para k = 3
๐ด! = โ4๐3 ! cos 3 ๐
๐ด! =49๐
Para k = -3
๐ด!! = โ4๐โ3 ! cos โ3 ๐
๐ด!! =49๐
Graficando ๐ด! obtenemos que:
Para la ecuaciรณn de sรญntesis y obtener la representaciรณn en serie de Fourier tenemos:
๐ฅ ๐ก = ๐ด!๐!"!!
! ! = ๐ด!๐!"#!
!!!!
!!
!!!!
๐ฅ ๐ก = ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!!! + ๐ด!!๐!!" + ๐ด! + ๐ด!๐!" + ๐ด!๐!!! + ๐ด!๐!!!
๐ฅ ๐ก =49๐ ๐!!! + ๐!!!! โ ๐ ๐!!! + ๐!!!! + 4๐ ๐!" + ๐!!" +
๐!
3 Por propiedad cos ๐ค๐ก = !
!๐!"# + ๐!!"#
๐ฅ ๐ก =๐!
3 + 8๐ cos ๐ก โ 2๐ cos 2๐ก +89๐ cos 3๐ก