Universidad del NorteDepartamento de Matematicas y Estadstica

Teora de Grupos - 2015 -30Serie 3

Prof. Dr. Ismael Gutierrez Garca

1. Sean G un grupo y U, V G. Demuestre que, si T un transversalizquierdo de U V en U , entonces UV = tT tV y tV sV = , parat, s T con t 6= s.Si U y V son finitos, entonces

|UV | = |U | |V ||U V | .

2. Sea G un grupo y U, V G, con |G : U | y |G : V | finitos. Demuestreque

(a) |G : U V | |G : U | |G : V |(b) (H. Poincare) La interseccion de un numero finito de subgrupos

con ndices finitos tiene ndice finito.

(c) Si G es finito, entonces |G : U V | = |G : U | |G : V | si y solo siG = UV

(d) Si G es finito y mcd(|G : U |, |G : V |) = 1, entonces G = UV3. Considere el grupo dihedrico

D2n = , | ord() = 2, ord() = n, = 1

Demuestre que |G : | = 2 y por lo tanto es un subgrupo normalde G.

4. Sean

x :=

(i 00 i

), y :=

(0 11 0

) GL2(C).

DefinamosQ8 := x, y < GL2(C).

Este conjunto con la multiplicacion usual de matrices es un grupo,denominado el grupo de los quaterniones.

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(a) Demuestre que en Q8 se satisfacen las igualdades siguientes:

(xy)2 = x2 = y2, x4 = 1.

(b) Halle todos los elementos de Q8.(c) Demuestre que todos lo subgrupos de Q8 son subgrupos normales.(d) Es Q8 un grupo abeliano?

Observaciones:

Fecha limite de entrega: Martes 18 de Agosto de 2015 (10:30 am). Si existe retraso en la entrega, el trabajo no es calificado. El numero de integrantes de cada grupo es irrelevante

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