señales

SEÑALES Las señales se utilizan para la comunicación entre seres humanos y entre seres humanos y máquinas. Nos permiten escudriñar el medio ambiente, descubrir detalles de estructuras y expresar lo que no es fácilmente observable, se emplean para controlar y utilizar la energía y la información. Una señal se puede definir como una función que transfiere información, generalmente a cerca del estado o comportamiento de un sistema físico o de un proceso. Aunque las señales se pueden representar de varias maneras en todos los casos la información está contenida en algún patrón de variación. Las señales se representan matemáticamente como funciones de una o más variables independientes. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES Llevar a cabo una clasificación exhaustiva de las señales está fuera del propósito de este trabajo. Asimismo, no se realiza una exposición de todas las funciones que existen, sólo se mencionan algunas y se señalan sus propiedades más importantes. Señales de tiempo continuo Se definen a lo largo de una variable continua, usualmente el tiempo y de esta manera se representan por medio de una variable de tiempo continuo. Frecuentemente se denominan señales analógicas. Se representan por medio de una función ( ).x t Señales de tiempo discreto Se definen en tiempos discretos u otra variable discreta. Usualmente con un espaciamiento uniforme y así la variable independiente tiene valores discretos. Las señales de tiempo discreto se representan como secuencias de números. Su amplitud puede tener cualquier valor. Se representan por medio de una función [ ],x nT donde T es una constante y es un entero. Por simplicidad, en este trabajo se considerará a

n1.T =

Señales digitales o cuantizadas Son aquellas en las que el tiempo y la amplitud son discretos. Un ejemplo de una señal digital es la posición del interruptor de la luz que sólo puede tener dos valores o estados: abierto o cerrado, o la misma lámpara: encendida o apagada. El marcador de un juego de fútbol es otro ejemplo de una señal digital. En la Fig. 1 se muestran estos tres tipos de señales. Señal periódica Son las que verifican la condición ( ) ( )x t T x t± = para las señales continuas y para las señales discretas [ ] [ ];x n N x n± = el número se denomina periodo de la función. Generalmente se llama periodo al menor número T o que verifica esta condición.

,T NN

Señal determinística Es aquella en la que todo valor de la señal está unívocamente determinado por una expresión matemática, una tabla de datos o una regla de algún tipo. Señal aleatoria Es aquella cuyo valor en un cierto instante depende del azar. Para caracterizarla es necesario conocer el conjunto de valores posibles que puede tener y también las probabilidades con las que estos valores pueden aparecer. Estos datos constituyen la ley de distribución de la señal aleatoria.

Víctor Manuel Sánchez Esquivel

( )x t

t

( )qx t

t

( )sx t

t

Figura 1. (a) Señal continua. (b) Señal discreta. (c) Señal digital o cuantizada.

mA

φ

ωseg

cos( )mA tω + ϕ

2T π= =

ωPeriodo seg

Figura 2. Forma de onda sinusoidal de frecuencia angular ,ω amplitud Am y fase ϕ.

2


Señal algebraica de variable compleja Si z es una variable compleja, es decir que toma cualquier valor complejo el resultado de realizar con y, posiblemente, con algunas constantes algunas operaciones, es una función algebraica de esta variable

,z a jb= +z

( ) .x z ω= Señal sinusoidal Se define una señal sinusoidal de frecuencia anular ω a cualquier función del tiempo t definida desde de la forma t−∞ < < +∞ cos( ).mA tω ϕ+ Donde las constantes reales ,mA ω y ,ϕ se denominan amplitud, frecuencia angular y fase de la sinusoidal, respectivamente. Esta sinusoidal se muestra en la Fig. 2. Función exponencial Una función ( )x t es de tipo exponencial si existen dos constantes A y σ tales que

( ) tx t Aeσ< para todo .t Señal par y señal impar Una señal continua se dice que es par si ( ) ( )x t x t= − y es impar si ( ) ( ).x t x t= − − Asimismo, una señal discreta se dice que es par si ( ) ( )x n x n= − y es impar si ( ) ( ).x n x n= − − MANIPULACIÓN DE SEÑALES Cuando se suman dos señales el resultado es una señal cuyo valor en todo instante es igual a la suma de los valores de las dos señales en ese instante. Un sistema cuya señal de salida es la suma de sus señales de entrada se denomina sumador. Cuando se multiplican dos señales el resultado es una señal cuyo valor en todo instante es igual al producto de los valores de las dos señales en ese instante. Un sistema cuya señal de salida es el producto de sus señales de entrada se denomina multiplicador. Ejemplo 1 Determínese la suma y el producto de las siguientes señales continuas

2

0( )

cos 0t t

x tt tπ

<⎧= ⎨ ≥⎩

2

0( )

0t t

y tsen t tπ− <⎧

= ⎨ ≥⎩

Su suma causa

0 0( ) ( )

1 0t

x t y tt<⎧

+ = ⎨ ≥⎩

y su producto

( )

2 0( ) ( ) 1 1 cos 2 0

8

t tx t y t

t tπ

⎧− <⎪⋅ = ⎨

− ≥⎪⎩

Ejemplo 2 Determínese la suma y el producto de las siguientes señales discretas

3


1 0[ ] 2 0

(2) 3 1n

nx n n

n n

− <⎧⎪= =⎨⎪ + ≥⎩

[ ] 1y n =

Su suma origina

0 0[ ] [ ] 3 0

1 (2) 3 1n

nx n y n n

n n

<⎧⎪+ = =⎨⎪ + + ≥⎩

y su producto

1 0[ ] [ ] 2 0

(2) 3 1n

nx n y n n

n n

− <⎧⎪⋅ = =⎨⎪ + ≥⎩

La integral de una señal continua ( )x t es

( )t

x dτ τ−∞∫

cuyo valor en todo instante t es el área acumulada bajo la curva de ( )x τ desde hasta −∞ .t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2Señal x(t)

x(t)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2La integral de x(t)

t

( )t

x dτ τ−∞∫

Figura 3. Una señal y su integral. Ejemplo 3 Dibújese y acote la integral de la señal ( )x t que se muestra en la Fig. 3.

4


La derivada de una señal continua ( )x t es

( )dx t

dt

si ésta existe para todo .t Un sistema cuya señal de salida es la integral de la señal de entrada se denomina integrador y un sistema cuya señal de salida es la derivada de la señal de entrada se denomina derivador. Para las señales discretas la sumatoria y la diferencia corresponden a la integral y a la derivada para señales continuas, respectivamente. La sumatoria de una señal discreta [ ],x n es una señal discreta cuyo valor en el instante n es

[ ]n

mx n

=−∞∑

La diferencia hacia delante de una señal discreta [ ],x n representada por [ ],x nΔ es la señal discreta cuyo valor en el instante es n

[ ] [ 1] [ ]x n x n x nΔ = + − La diferencia hacia atrás de una señal discreta [ ],x n representada por [ ],x n∇ es la señal discreta cuyo valor en el instante es n

[ ] [ ] [ 1]x n x n x n∇ = − −

[ ]n

m

x m=−∞∑[ ]x n

[ ]x nΔ [ ]x n∇

-4 -2 0 2-2

0

2

4

6

8

n-4 -2 0 2

0

5

10

n

-4 -2 0 2

0

2

4

6

8

n-4 -2 0 2

0

2

4

6

8

n

Figura 4. Una señal discreta, su sumatoria, diferencia hacia delante y su diferencia hacia atrás.

5


Ejemplo 4 Dibújese y acote la sumatoria, la diferencia hacia delante y la diferencia hacia atrás de la señal discreta [ ],x n que se observa en la Fig. 4. Escalamiento en la magnitud Escalar la magnitud de una señal continua en una constante equivale a multiplicar la señal por otra señal continua cuyo valor es igual a a para todo tiempo. Escalar la magnitud de una señal discreta en una constante equivale a multiplicar la señal por otra señal discreta cuyo valor es igual a a en todos los instantes de tiempo discreto.

,a

,a

Un sistema cuya señal de salida es igual a la señal de entrada escalada en magnitud por una constante es un amplificador si y si a 1a > 1a < el sistema es un atenuador. Escalamiento de la variable tiempo El escalamiento de la variable tiempo de una señal continua ( )x t en una constante positiva se realiza sustituyendo la variable independiente t en la expresión de

,a( )x t por .at

Ejemplo 5 Considere la señal continua

0( )

cos 0

te tx t

t tπ⎧ <

= ⎨≥⎩

dibújese y acote (2 )x t y .2tx ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1Señal x(t)

x(t)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

x(2t

)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

x(t/2

)

t

Figura 5. Escalamiento de la variable tiempo de la señal ( ); (2 )x t x t y ( / 2).x t

6


Realizando la sustitución adecuada, resulta

2 0(2 )

cos 2 0

te tx t

t tπ⎧ <

= ⎨≥⎩

y

2 0

2 cos 02

t

e ttxt tπ

⎧<⎪⎛ ⎞ = ⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪ ≥⎩

En la Fig. 5 se muestran las gráficas de las señales ( ), (2 )x t x t y .2tx ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Como se aprecia,

cuando el factor de escalamiento es mayor a la unidad, la señal se contrae o encoge; cuando el factor es menor que la unidad la señal se estira o alarga. Es importante, destacar que no se considerará en esta parte inicial, el escalamiento en el tiempo para las señales discretas. Desplazamiento o traslación Para trasladar una señal continua ( ),x t se reemplaza la variable independiente t en la expresión de ( )x t por ,t τ+ donde τ es un número real positivo o negativo. Asimismo, para desplazar una señal discreta [ ],x n se sustituye la variable independiente en la expresión de n

[ ]x n por donde es un número entero positivo o negativo. ,n m+ m

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

x(t)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

x(t -

2)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

x(t +

2)

t

2 te−

22 te− −

22 te− +

Figura 6. Señal continua ( );x t Señal atrasada ( 2)x t ;− Señal adelantada ( 2)x t .+ Ejemplo 6 Sea la señal continua ( ) 2 .tx t e−=

7


a. Dibújese y acote 2( 2) 2 tx t e− −− = , en este caso la señal está atrasada.

b. Dibújese y acote 2( 2) 2 tx t e− ++ = ,

06

en este caso la señal está adelantada. Un sistema cuya señal de salida es una versión atrasada de su señal de entrada se denomina unidad de atraso; y un sistema cuya señal de salidas es una versión adelantada de su señal de entrada se conoce como predictor. Como se verá mas adelante es imposible construir en forma física un predictor. Ejemplo 7 Considérese la señal discreta

0 55 5

[ ]5 0

0 6

nn n

x nn n

n

< −⎧⎪ + −⎪= ⎨

≤ <− + ≤⎪

⎪ ≤⎩

<

50

3

Cuando la señal se atrasa tres unidades de tiempo se tiene

0 3( 3) 5 5 3

[ 3]( 3) 5 0 3 60 6

nn n

x nn n

n

− < −⎧⎪ − + − ≤ − <⎪− = ⎨− − + ≤ − <⎪⎪ ≤ −⎩

simplificando

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

x(n)

n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

5

x(n

- 3)

n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

2

4

6

x(n

+ 2)

n

Figura 7. Señal discreta [ ];x n Señal atrasada [ 3]x n ;− Señal adelantada [( 2)].x n +

8


0 32 2

[ 3]8 3

0 9

nn n

x nn n

n

53

9

− < −⎧⎪ + −⎪− = ⎨ − + ≤ <⎪⎪ ≤⎩

≤ <

506

2

Cuando la señal se adelanta dos unidades de tiempo

0 2( 2) 5 5 2

[ 2]( 2) 5 0 20 6

nn n

x nn n

n

+ < −⎧⎪ + + − ≤ + <⎪+ = ⎨− + + ≤ + <⎪⎪ ≤ +⎩

finalmente

0 77 7

[ 2]3 2

0 4

nn n

x nn n

n

< −⎧⎪ + − ≤⎪+ = ⎨ − + − ≤ <⎪⎪ ≤⎩

24

< −

En la Fig. 7 se muestran las gráficas correspondientes. Transposición Para transponer una señal ya sea continua o discreta se sustituye, en la expresión analítica de la señal, la variable independiente t por t− y por n n− , respectivamente. La transposición equivale a intercambiar el pasado y el futuro de una señal del tiempo. No existe un sistema físico que puede llevar a cabo esta operación. La transposición se introduce únicamente por conveniencia matemática. Ejemplo 8 Sea la señal continua

( 1)

0 1( ) 1 1 1

1t

tx t t

e t− −

< −⎧⎪= −⎨⎪

≤ <≤⎩

entonces

( 1)

0 1( ) 1 1 1

1t

tx t t

e t− − −

− < −⎧⎪− = − ≤ − <⎨⎪ ≤ −⎩

que se reduce a

1

0 1( ) 1 1 1

1t

tx t t

e t+

<⎧⎪− = − ≤ <⎨⎪ ≤ −⎩

9


Las gráficas de ( )x t y ( )x t− se muestran en la Fig. 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5x(

t)

t

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

x(-t)

t

Figura 8. Gráficas de la señal ( )x t y la señal transpuesta ( ).x t−

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

5

10

15

n

x[n]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

5

10

15

n

x[-n

]

Figura 9. Gráficas de la señal [ ]x n y la señal transpuesta [ ].x n−

10


Ejemplo 9 Considérese ahora, la señal discreta

0 0[ ]

2 0n

nx n

n<⎧

= ⎨ ≤⎩

su transpuesta es

0 0[ ]

2 0n

nx n

n−

<⎧− = ⎨ ≤⎩

Sus representaciones gráficas se observan en la Fig. 9. FUNCIONES SINGULARES DE TIEMPO CONTINUO: Existe otra clase de señales que no son realmente funciones en un sentido matemático estricto, pero que nos permiten manipular y representar con elegancia y certidumbre características de señales que se encuentran en el mundo físico y hacen factible la obtención de modelos; tales señales reciben el nombre de funciones singulares. La función escalón unitario y la función impulso unitario La función escalón unitario, mostrado en al Fig. 10, se denotada por y se define como 1( )u t−

1

0 0( )

1 0t

u tt−

>⎧= ⎨ ≤⎩

(1)

0

1( )u t−

t 0

1( )u t τ− +

tτ−

1 1

Figura 10. Función escalón unitario y escalón unitario adelantado. o de una modo general

[ ]1

0 (( )

1 (f t

u f tf t−

>⎧= ⎨

) 0) 0≤⎩

(2)

La función impulso unitario o delta de Dirac, se representa por la letra ( ),tδ aunque también

es frecuente encontrarla indicada por el símbolo Se le puede considerar el límite de algunas funciones verdaderas o distribuciones, si éstas satisfacen ciertas propiedades.

0 ( ).u t

La manera más sencilla de visualizar tales propiedades es por medio del pulso rectangular

el cual tiene una altura de 1/ y una anchura de por lo que su área es igual a la unidad para todo valor de Conforme su anchura disminuye, su altura se incrementa y en el límite cuando el valor de a tiende a cero, también lo hace su anchura y su altura tiende a infinito simultáneamente. La Fig. 11 permite visualizar esta idea.

( ),aP t a ,a.a

11


2a

−2a0

1a

( )aP t

t2a

−2a0

1a

( )aP t

t 0

( )tδ

t

1

Figura 11. El pulso rectangular y la función impulso unitario. Teniendo este concepto en mente, matemáticamente, el impulso unitario se puede considerar como

0( ) lim ( )aat P tδ

→=

De lo anterior, es posible dilucidar, que cualquier función que en un proceso de considerar el límite se incremente su altura, se decremente su anchura y el área sea unitaria, podrá representar un impulso unitario. Para el caso del pulso rectangular

Incremento de la altura: 0 0

lim ( )a t

x t→ =

→∞

Decremento de la anchura: 0 0

lim ( ) 0a t

x t→ ≠

=

Área unitaria: ( ) 1x t dt∞

−∞=∫

Propiedades La amplitud de una función impulso se denomina momento o peso. La unidad del impulso es el reciproco de su argumento. El impulso unitario es una función par, esto es

( ) ( )t tδ δ= − El producto del impulso unitario por una función es igual a un impulso cuyo momento o peso es igual a valor de la función donde ocurre el impulso unitario, esto es

( ) ( ) (0) ( )x t t x tδ δ= (3) si ( )x t es continua en y 0,t =

( ) ( ) ( ) ( )x t t x tδ τ τ δ τ− = − (4) si ( )x t es continua en .t τ= La integral de una función multiplicada por un impulso unitario es igual al valor de la función evaluada donde ocurre el impulso unitario, o sea

12


( ) ( ) ( )x t t dt xδ τ∞

−∞− =∫ τ (5)

si ( )x t es continua en .t τ= Demostración

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t dt x t dt x t dt xδ τ τ δ τ τ δ τ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞− = − = − =∫ ∫ ∫ τ

Esta propiedad se denomina, propiedad de muestreo de la función impulso y desempeña un papel muy importante en el estudio de los sistemas. En la Fig. 12 se presenta la interpretación gráfica de esta propiedad.

0

( )x t

t

1

( )tδ τ−

τ

( )x τ

Figura 12. Propiedad de muestreo de la función impulso unitario. La integral de una función por la derivada del impulso unitario es

( ) ( ) ( )x t t dt xδ τ∞

−∞− = −∫ τ (10)

Si ( )dx t

dt es continua en .t τ= Para demostrar esta propiedad, integremos por partes. Sea

dxu x du dtdt

= =

( ) ( )dv t dt v tδ τ δ= − = −τ entonces

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

dx t dx tx t t dt x t t t dtdt dt τ

δ τ δ τ δ τ∞ ∞∞

−∞−∞ −∞=

− = − − − = −∫ ∫

La relación entre la función impulso unitario y la función escalón unitario es

[ ]1 0( ) ( ) ( )d u t u t tdt

δ− = = (11)

o

1 0( ) ( ) ( )t t

u t u d dτ τ δ τ− −∞ −∞= =∫ ∫ τ (12)

En la propiedad dada por la Ec. 10, aparece la derivada del impulso, debe ser obvio para el lector avezado que si éste no se presenta en el mundo real, mucho menos se halla presente su derivada. A continuación se estudian estas funciones que como ya se mencionó, se emplean por conveniencia matemática para poder manipular a las señales.

13


Se define el doblete unitario, denotado por como la derivada de el triplete unitario

indicado por la derivada de y en general, el 1( ),u t 0 ( );u t

2 ( ),u t 1( );u t ( 1k )+ plete, denotado por

como la derivada de En la Fig. 13 se representan estas funciones singulares.

( ),ku t

1( ).ku t−

0

1( )u t

t

1

0

2 ( )u t

t

1

0

3( )u t

t

1

Figura 13. Doblete unitario, triplete unitario y tetraplete unitario. Por otro lado, también se define la rampa unitaria, como

2

0 0( )

0t

u tt t−

<⎧= ⎨ ≥⎩

(13)

en forma abreviada

2 1( ) ( )u t tu t− −= La parábola unitaria por

23

0 0( )

02

tu t t t−

<⎧⎪= ⎨

≥⎪⎩

(14)

o 2

3 1( ) ( )2tu t u t− −=

En general

1

0 0( )

0( 1)!

kk

tu t t t

k

−−

<⎧⎪= ⎨ ≥⎪ −⎩

(15)

Resumiendo

[ ] 1( ) ( )k kd u t u tdt += para toda k (16)

1( ) ( )t

k ku d u tτ τ −−∞=∫ para toda k (17)

Además, generalizando la Ec. 10, para 0k >

14


[ ]( ) ( ) ( 1) ( )kk t

dx t u t dt x tdt τ

τ∞

=−∞+ = −∫ (18)

si ( )k

k

d x tdt

es continua en .t τ=

Para realizar el escalamiento de la variable tiempo, en las funciones singulares, se tiene

1

1( ) ( )k kku at u ta +=

Así

0 0

1 1

1(2 ) ( )21(2 ) ( )4

u t u t

u t u t

=

=

Y para la transposición

( ) ( 1) ( ) 0kk ku t u t k− = − ≥ (19)

Como ejemplo de la manipulación de las funciones singulares, consideremos el producto de un doblete unitario y una función continua 1( )u t ( )x t

[ ]

[ ]

00 0

0 1 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

(0) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (0) ( )

du td dx tx t u t x t u tdt dt dtd

0x u t x u t x t u t x u tdt

= +

= = +

despejando el producto que nos interesa

1 1( ) ( ) (0) ( ) (0) ( )0x t u t x u t x u t= − si ( )x t y ( )x t son continuas en En general 0.t =

1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t u t x u t x u tτ τ τ τ τ− = − − − si ( )x t y ( )x t son continuas en .t τ= SISTEMAS Tratar de mencionar todas las propiedades inherentes a una idea o concepto es riesgoso pues es posible que se omitan o no se haga énfasis en algunas características fundamentales de lo que se habla. No obstante, lo anterior, un sistema se puede conceptualizar como un conjunto de elementos o una asociación de componentes ordenados entre sí y que contribuyen a un determinado objeto. Los sistemas tienen al menos una señal de entrada (causa) y al menos una señal de salida (efecto). En la Fig.1 se muestra la representación grafica o simbólica de un sistema.

15


( )x t { }( ) ( )y t H x t=

Figura 1. Sistema general con una sola entrada ( )x t y una sola salida ( ).y t La notación { }( ) ( )y t x t= sugiere una correspondencia entre la señal de la entrada ( )x t y la

señal de la salida o indica que el sistema opera sobre la señal de la entrada ( )y t ( )x t para producir la señal de la salida . El enfoque que se presenta se circunscribe a sistemas de una sola entrada y una sola salida; sin embargo, diversas propiedades se pueden aplicar también a sistemas con varias entradas y varias salidas, como el que se observa en la Fig. 2.

( )y t

Figura 2. Sistema general con varias entradas ( )x t y varias salidas ( ).y t

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Sistema instantáneo o sin memoria Es un sistema en donde la salida en el tiempo t depende solamente de la entrada en el tiempo

y no depende de valores pasados o futuros de la entrada. También se conocen como sistemas algebraicos, ya que la relación entre la entrada y la salida, se describe por medio de una relación algebraica. Un ejemplo de este tipo de sistema es una balanza, en la cual el despliegue del cursor indicador del peso (salida) depende del cuerpo que se desea pesar (entrada). Un resistor que obedece la ley de Ohm también es un sistema algebraico.

t

Sistema dinámico Un sistema que no es instantáneo se dice que es dinámico o que tiene memoria. Un sistema dinámico, es un sistema en el que la salida en el tiempo t depende de la entrada en el tiempo

y de valores anteriores de la entrada en ese tiempo Como un ejemplo de este tipo de sistema, consideremos un condensador en el que como se sabe la relación entre la diferencia de potencial en sus terminales y la corriente eléctrica que fluye en él está dada por

t .t

( )( ) dv ti t C

dt= (1)

integrando

0 00

1 ( ) ( ) ( )t t

t ti d dv v t v t

Cτ τ = = −∫ ∫

Entonces el voltaje en el tiempo t es

00

1( ) ( ) ( )t

tv t v t i d

Cτ τ= + ∫ (2)

16


Como se observa, el voltaje en el tiempo t depende de la corriente en el condensador desde el tiempo hasta el tiempo t y también depende del voltaje en condensador en el tiempo el cual es consecuencia de otras corrientes (entradas) que han circulado a través de él desde su fabricación hasta antes del tiempo

0t 0 ,t

0.t El capital en una cuenta de ahorro, es otro ejemplo de un sistema dinámico. El capital al final del periodo depende del capital en el periodo anterior, del interés i que ha generado y de los depósitos

[ ]y nn[ ]x n realizados durante el periodo, esto es

[ ] (1 ) [ 1] [ ]y n i y n x n= + − + (3)

Un sistema dinámico está constituido por al menos un elemento que almacena energía y un elemento que la disipa. Sistema de tiempo continuo Es un sistema en el que las señales de las entradas y de las salidas son continuas y son función de una variable continua (usualmente el tiempo) o de varias variables continuas. Cabe subrayar que las entradas y salidas de este sistema pueden ser discontinuas. Sistema de tiempo discreto Es un sistema en el que las señales de las entradas y de las salidas son discretas o secuencias de números. Sistema lineal Un sistema es lineal si satisface el principio de superposición. Un sistema es lineal si y sólo si

{ } { } { }( ) ( ) ( ) ( )a b a bH x t x t H x t H x tα β α β+ = + (4)

Donde α y β son números reales y

1 1

2 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a b

a ba b

aM bM

x t x tx t x

x t y x tt

x t x t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢= = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Si ( ) 0bx t =

{ } { }( ) ( )a aH x t H x tα α= Homogeneidad

Si 1α β= =

{ } { } { }( ) ( ) ( ) ( )a b a bH x t x t H x t H x t+ = + Aditividad

Ejemplo 1 Determínese si el lineal el sistema cuya relación entre la entrada y la salida está dada por

{ }( ) ( )H x t mx t b= + (5) donde es una constante. b

17


Si el sistema es lineal, debe satisfacer las propiedades de homogeneidad y aditividad. Para la propiedad de homogeneidad se tiene

{ } { } ( )( ) ( ) ( ) ( )H x t m x t b H x t mx t bα α α α= + ≠ = + por consiguiente el sistema no es lineal y con este resultado se soluciona el problema. Sin embargo, con la finalidad de mostrar la forma de aplicar la propiedad de aditividad se continúa con el ejercicio

{ } ( ) { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a bH x t x t m x t x t b H x t H x t mx t b x t b+ = + + ≠ + = + + +

x t

t

t

=

Esta propiedad tampoco se satisface y nuevamente se concluye que el sistema no es lineal. Es importante notar que la constante b no es una entrada pero aparece en la salida, si se hace igual cero, el principio de superposición se satisface y el sistema es lineal. Ejemplo 2 Repita el ejercicio anterior, pero ahora para un sistema con dos entradas y una salida descrito por

11 2

2

( )( ) ( ) ( )

( )x t

y t H mx t x tx t

⎧ ⎫= = +⎨ ⎬

⎩ ⎭

Primero verificamos la propiedad de homogeneidad

( )1 11 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x t x t

H m x t x t H mx tx t x t

αα α α α

α⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= + = = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

como es obvio, la homogeneidad se satisface. Para comprobar la aditividad, se tiene

( )1 11 1 2 2

2 2

1 11 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a ba b a b

a b

a ba a b b

a b

x t x tH m x t x t x t x

x t x t

x t x tH H mx t x t mx t x

x t x t

+⎧ ⎫= + + +⎨ ⎬+⎩ ⎭

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ = + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

como también se satisface, se concluye que el sistema es lineal. A partir de los resultados obtenidos en los dos ejemplos anteriores, es posible deducir un corolario importante en el estudio de los sistemas lineales. En el ejemplo 1, si la constante b se considera una condición inicial y ésta es diferente de cero no se cumple el principio de superposición. Dicho en otras palabras, para aplicar la superposición es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. Pero si éstas son diferentes de cero y se quiere aprovechar la superposición. ¿Cómo se puede proceder? Como se infiere de los ejemplos anteriores; se cancelan las condiciones iniciales y se sustituyen por entradas apropiadas, La importancia del concepto de linealidad se origina de la siguiente consideración: si se conocen las salidas iy producidas por un conjunto de entradas ix cuando las condiciones iniciales son nulas; es posible determinar la respuesta debida a una entrada arbitraria x (con condiciones iniciales nulas) si

18


1

n

i ii

x a x=

= ∑ (6)

Entonces la respuesta que suscita la entrada arbitraria está determinada por

{ } { }1 1 1

n n n

i i i i i ii i i

y H x H a x a H x a y= = =

⎧ ⎫= = = =⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑ ∑ (7)

Sistema invariante en el tiempo Es un sistema en el cual la forma de onda de la salida depende solamente de la forma de onda de la entrada y no del instante en el que se aplica la entrada. Un sistema invariante en el tiempo descrito por

{ }( ) ( )y t H x t= implica

{ }( ) ( )y t H x tτ τ+ = + para todo .τ Este tipo de sistema también recibe el nombre de sistema fijo o estacionario. Un sistema discreto invariante con el tiempo se dice que es invariante con el corrimiento o con el desplazamiento si y sólo si

{ }[ ] [ ]y n H x n= involucra

{ }[ ] [ ]y n m H x n m+ = + para todo .m Ejemplo 3 Considere el sistema lineal e invariante en el tiempo H que se muestra en la Fig.3a. Se sabe que la entrada 1 1( ) ( )x t u t−= origina la salida 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 1) ( 2),y t u t u t u t− − −= − − + − cuando

las condiciones iniciales son nulas. Determínese 2 ( )y t en el sistema en cascada que se

muestra en la Fig. 3b cuando 2 ( )x t es la que se muestra en la Fig. 3c.

H HH1( )x t 1( )y t 2 ( )x t 2 ( )y t

2 ( )x t

t

Figura 3. (a) Sistema lineal e invariante en el tiempo. (b) Conexión en cascada. Teniendo presente siempre la linealidad e invariancia en el tiempo del sistema, y dado que

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2 1 1( ) ( ) ( 2)x t u t u t− −= − − la respuesta que ocasiona el primer escalón unitario ya se conoce, es 1( );y t la respuesta al

segundo escalón atrasado es igualmente 1( )y t atrasada, es decir 1( 2)y t .− La suma de estas

dos respuestas individuales proporciona la respuesta del primer sistema ,H o sea

[ ] [ ]1 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) ( 2) 2 ( 3) ( 4)mediay t u t u t u t u t u t u t− − − − − −= − − + − − − − − + − simplificando

1 1 1 1 1( ) ( ) 2 ( 1) 2 ( 3) ( ) ( 4)mediay t u t u t u t u t u t− − − − −= − − + − − − esta respuesta intermedia es ahora la entrada del segundo sistema .H Procediendo de una manera semejante; las respuestas que generan los escalones son, respectivamente

[ ] [ ][ ] [

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) 2 ( 1) ( 2) 2 ( 1) 2 ( 2) ( 3)

2 ( 3) 2 ( 4) ( 5) ( 4) 2 ( 5) ( 6)

y t u t u t u t u t u t u t

u t u t u t u t u t u t− − − − − −

− − − − − −

= − − + − − − − − + −

+ − − − + − − − − − + − ]

reduciendo los términos semejantes

2 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 4 ( 1) 5 ( 2) 5 ( 4) 4 ( 5) ( 6)y t u t u t u t u t u t u t− − − − − −= − − + − − − + − − − En la Fig. 4 se representan ( )mediay t y 2 ( ).y t

0 1 2 3 4 5 6-2

-1

0

1

2

y med

ia(t)

t

0 1 2 3 4 5 6 7-4

-2

0

2

4

y 2(t)

t

Figura 4. Respuestas ( )mediay t y 2 ( ).y t

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Sistema causal Un sistema se dice que es causal, físico, realizable o no anticipatorio si no responde antes de que se aplicar la entrada. Todo sistema que se puede construir físicamente es un sistema causal. Un sistema no causal, donde el tiempo es la variable independiente es un sistema que no se puede construir. El sistema continuo

{ }3

( ) ( ) ( )t

oy t H x t x dτ τ

+= = ∫

es un sistema no causal. El sistema discreto

{ }[ ] [ ] [ ]y n H x n x n= = − es otro ejemplo de un sistema no causal. El sistema H del ejemplo 3 es un sistema causal. Cuando se trataron las señales se afirmó que un predictor no se podía construir. ¿Por qué? Explique. El curso de Análisis de Sistemas y Señales está orientado al estudio de los sistemas dinámicos lineales e invariantes en el tiempo. A lo largo él, se presentan técnicas matemáticas poderosas que permiten entender, comprender y analizar sus características y propiedades, amén de se pueden aplicar a sistemas que se aproximan o consideran lineales e invariantes en el tiempo dentro un rango determinado.

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señales

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