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UNIDAD IZTAPALAPA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE PROCESOS E HIDRÁULICA

LICENCIATURA DE INGENIERÍA EN ENERGÍA

SEMINARIO DE PROYECTOS I Y II

TEMPERATURAS TRANSITORIAS EN SISTEMAS GEOTÉRMICOS

APLICANDO LA APROXIMACIÓN DE VERNOTTE-CATTANEO

PRESENTADO POR:

NELLY PALACIOS GUEVARA.

México, D.F. Mayo del 2009.

ASESOR

Dr. Espinosa Paredes Gilberto

COORDINADOR

M.C. Torijano Cabrera Eugenio Fabián

Temperaturas transitorias en sistemas geotérmicos aplicando la aproximación de

Vernotte- Cattaneo. 2009

Ingeniería en Energía 1

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por haberme permitido alcanzar un objetivo más en mi vida profesional.

A mis padres, quienes me han heredado el tesoro más valioso que puede dársele a un hijo:

Amor. A quienes sin escatimar esfuerzo alguno, han sacrificado gran parte de su vida para

formarme y educarme. A quienes la ilusión de su vida ha sido convertirme en persona de

provecho. A quienes nunca podre pagar todos sus desvelos ni aun con las riquezas más

grandes del mundo. Por esto y más… Gracias.

Agradezco a R.G.A por su valiosa ayuda y apoyo en todos los momentos que pudieron ser

difíciles.

Quiero agradecer en especial a mi asesor Dr. Gilberto Espinosa Paredes por su valiosa

colaboración, orientación y acertados comentarios durante la realización de este trabajo de

investigación.




RESUMEN

Este documento presenta el desarrollo, solución numérica de un modelo de conducción de

calor transitorio en dos dimensiones aplicando como ecuación constitutiva la aproximación

de Vernotte-Cattaneo. El modelo se desarrolla en un sistema geoenergético constituido por

un pozo geotérmico (también se puede aplicar a pozos petroleros) para determinar la

distribución de temperaturas axial y radial en condiciones transitorias durante procesos de

circulación del flujo de perforación y de recuperación térmica.

El modelo clásico de conducción de calor usa como ecuación constitutiva la ecuación de

conducción de calor de Fourier y para un sistema isotrópico tiene la siguiente forma:

k Tq

la cual ha sido ampliamente aplicada para resolver y entender una gran cantidad de

problemas de las ciencias y la tecnología. La ecuación de conducción de Fourier presenta

buenos resultados para sistemas homogéneos en general, pero llega a fallar cuando los

sistemas de estudio son heterogéneos (como el caso que nos ocupa en este trabajo un

sistema geoenergético) o cuando existen excursiones de temperaturas grandes. Además la

ecuación de Fourier produce una ecuación de tipo parabólico cuya velocidad de

propagación de la onda de temperatura es infinita, lo cual físicamente es imposible. Para




eliminar estas posibles fallas de la ecuación de Fourier en este trabajo se explora la

aplicación de la ecuación de Vernotte-Cattaneo:

0 k Tt

qq

donde el parámetro 0 es un tiempo de relajación y una de sus interpretaciones físicas es el

tiempo en que las partículas se “re-ordenan” debido a efectos de no equilibrio

termodinámico. La aplicación de esta ecuación en la ecuación de energía produce una

ecuación de onda de tipo hiperbólica. En la ecuación de Fourier el fenómeno se explica

como un proceso difusivo donde el flujo de calor se transporte en la dirección del gradiente

negativo de la temperatura, mientras que con la ecuación de Vernotte-Cattaneo la velocidad

de propagación de la onda de temperatura es igual a 1/ 20( / ) .




CONTENIDO

Resumen 2

Figuras y Tablas 6

Nomenclatura 7

Capítulo I Introducción

I.1 Descripción del problema 10

I.2 Antecedentes 13

I.3 Justificación 22

I.4 Objetivo general 23

I.5 Alcance 23

Capítulo II Energía Geotérmica

II.1 Energía geotérmica 25

II.2 Energía geotérmica en México 26

II.3 Tecnología de perforación de pozos geotérmicos 29

II.4 Descripción fenomenológica 33

Capítulo III Ecuación de conducción de calor aplicando Vernotte

– Cattaneo

III.1 Preliminares 38




III.2 Procedimiento para obtener la ecuación de onda 39

Capítulo IV Solución numérica

IV.1 Método de volumen de control 44

IV.2 Desarrollo 46

Capítulo V Conclusiones 52

Apéndice A Alternativa de Solución Numérica 54

Apéndice B Algoritmo de la Matriz Tridiagonal 56

Referencias 57




LISTA DE FIGURAS Y TABLAS

Figura 1: Yacimiento geotérmico típico.

Figura 2: Proceso de un pozo de petróleo.

Figura 3: Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control.

Figura 4: Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control y la frontera próxima.

Tabla 1: Capacidad instalada por tipo de generación al mes de agosto de 2008.

Tabla 2: Capacidad geotérmica mundial instalada para generación de energía eléctrica,

2007.




NOMENCLATURA

Cp calor específico (J / Kg K)

CV volumen de control

D profundidad (m)

h coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2.K)

k conductividad térmica (W/m·K)

q calor (J)

r radio (m)

Ten temperatura de la entrada ( K )

TD temperatura de profundidad ( K )

Ts temperatura de superficie ( K )

T1 temperatura dentro de la tubería de perforación ( K )

T2 temperatura de la pared de la tubería de perforación ( K)

T3 temperatura a la entrada de la pieza anular ( K)

T4 temperatura en la formación ( K )

T (z, r, t) temperaturas como función de la posición axial, radial y del tiempo

t tiempo (s)

vz,1 velocidad del flujo a la entrada de la tubería de perforación (m/s)

vz,2 velocidad del flujo en la pieza anular (m/s)




Δr cambio en la dirección radial

T gradiente de temperatura

0 tiempo de relajación

α difusividad térmica (m2/s)

μ viscosidad dinámica (Pa.s)

ρ densidad (kg/ m3

)




Capítulo I

Introducción

En este capítulo se presenta la descripción del problema de estimación de temperaturas de

yacimientos geotérmicos, lo cual motivo el desarrollo del presente trabajo de investigación.

Se presenta la justificación, el objetivo general y el alcance.




I.1 Descripción del problema.

La temperatura imperturbada o temperatura de formación es uno de los parámetros más

importantes de los sistemas geotérmicos que necesitan ser estimados para definir la

factibilidad de explotación de los recursos geotérmicos para generación de electricidad o

algún otro proceso de aplicación de calor (Grant et al., 1982; Múlas et al., 1985; Freeston,

1996).

El conocimiento de las temperaturas de formación de los yacimientos geotérmicos puede

beneficiar a una amplia variedad de actividades geotérmicas, tales como:

i. localización de regiones de influjo o zonas con pérdidas de circulación,

ii. estimación de reservas de calor en un yacimiento geotérmico,

iii. evaluación de gradientes geotérmicos,

iv. interpretación de registros,

v. evaluación de conductividades térmicas de la formación “in-situ”.

Normalmente, las temperaturas de formación son obtenidas a partir de la información

generada durante las actividades de perforación y terminación de los pozos geotérmicos.

El conocimiento preciso (desde el punto de vista de la ingeniería) de las temperaturas de

formación ha sido identificado como uno de los problemas que la industria geotérmica

necesita resolver. Esta información se aplica para un buen diseño de los programas de los




fluidos de perforación y lechadas de cementación. Así también, para decidir cuando la

perforación debe detenerse o continuar (Davies et al. 1994; Takahashi et al., 1997).

Además, un mejor entendimiento de las temperaturas de formación es también requerido

para una predicción más precisa del historial térmico del pozo, durante y después de las

operaciones de perforación (Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Arnold, 1990).

El historial térmico depende de diferentes aspectos entre ellos el conocimiento preciso de

las propiedades físicas de la formación (normalmente son sistemas heterogéneos), las

maniobras durante la perforación del pozo como son profundidades, tiempos de circulación,

tiempos de paro o recuperación térmica, problemas técnicos, entre los más importantes.

El modelo clásico de conducción de calor usa como ecuación constitutiva la ecuación de

conducción de calor de Fourier y para un sistema isotrópico tiene la siguiente forma:

k Tq

la cual ha sido ampliamente aplicada para resolver y entender un gran cantidad de

problemas de las ciencias y la tecnología. La ecuación de conducción de Fourier presenta

buenos resultados para sistemas homogéneos en general, pero llega a fallar cuando los

sistemas de estudio son heterogéneos (como el caso que nos ocupa en este trabajo un




sistema geoenergético) o cuando existen excursiones de temperaturas grandes. Además la

ecuación de Fourier produce una ecuación de tipo parabólico cuya velocidad de

propagación de la onda de temperatura es infinita, lo cual físicamente es imposible. Para

eliminar estas posibles fallas de la ecuación de Fourier en este trabajo se explora la

aplicación de la ecuación de Vernotte-Cattaneo:

0 k Tt

qq

donde el parámetro 0 es un tiempo de relajación y una de sus interpretaciones físicas es el

tiempo en que las partículas se “re-ordenan” debido a efectos de no equilibrio

termodinámico. La aplicación de esta ecuación en la ecuación de energía produce una

ecuación de onda de tipo hiperbólica. En la ecuación de Fourier el fenómeno se explica

como un proceso difusivo donde el flujo de calor se transporte en la dirección del gradiente

negativo de la temperatura, mientras que con la ecuación de Vernotte-Cattaneo la velocidad

de propagación de la onda de temperatura es igual a 1/ 20( / ) .

El problema que se plantea en este trabajo es establecer las diferencias del comportamiento

transitorio durante circulación del flujo de perforación y recuperación térmica para

diferentes tiempos de relajación usando la ecuación de de Venotte-Cattaneo y comparar los

resultados obtenidos con la ecuación de conducción del calor de Fourier.




I.2 Antecedentes

Las temperaturas de formación en un pozo geotérmico en construcción se pueden inferir a

partir de: (i) de las temperaturas de entrada y salida de los fluidos de perforación, (ii) los

registros de temperatura, (iii) correlaciones, y (iv) del análisis de inclusiones fluidas.

En la primera situación, las temperaturas de entrada y salida de los fluidos de perforación se

utilizan para estimar las temperaturas de formación mientras se perfora (Takahashi et al.,

1997; Osato et al., 2003). En este caso, el error de la temperatura de formación estimada

tiende a ser grande a profundidades mayores de 1000 m y se utilizan las temperaturas de

fondo de pozo para mejorar la estimación de las temperaturas de formación.

En la segunda situación, las temperaturas del pozo son usualmente obtenidas a partir de los

registros de temperatura tomados con el pozo lleno de lodo y estático, y entonces los

métodos analíticos son utilizados para inferir las temperaturas de formación (Dowdle y

Cobb, 1975; Hasan y Kabir, 1994; Ascencio et al., 1994). Sin embargo, los valores

obtenidos de las temperaturas de formación por estos métodos analíticos son

aproximaciones de tipo conductivo y son menores que las temperaturas iniciales o de

formación (Nielsen et al., 1990; Santoyo et al., 2000).

Para la mayoría de las actividades comerciales de perforación, las mediciones de

temperatura en el fondo de pozo se hacen empleando instrumentos de medición directa




(Ikeuchi et al., 1998; Wisian et al., 1998). Estas temperaturas de fondo de pozo se registran

poco después de que la perforación o circulación se ha detenido y, por ende, son por lo

general menores que las temperaturas de formación.

Algunos estudios (Dowdle y Cobb, 1975; Drury, 1984; Deming, 1989; Hasan y Kabir,

1994; Ascencio et al., 1994) indican que la subestimación de las temperaturas de formación

es por: (i) la duración de la circulación de los fluidos, (ii)la naturaleza del proceso de

intercambio de calor que ocurre durante la perforación del pozo, (iii)la invasión del fluido

de perforación a la formación (pérdidas de circulación) y (iv) la tecnología de perforación

empleada.

En la tercera situación, el uso de correlaciones desarrolladas por el American Petroleum

Institute (API, 1990) y por Farris (1941) han presentado limitaciones en la predicción de

temperaturas en pozos geotérmicos (Kutasov y Targhi, 1987). Estas correlaciones

usualmente sobreestiman las temperaturas, debido a que fueron originalmente desarrolladas

para la industria de perforación petrolera, la cual difiere notablemente de los procesos de

transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en la perforación geotérmica.

En la cuarta situación, el análisis de inclusiones fluidas encontradas en recortes de

perforación o muestras del núcleo pueden ser evaluados para inferir la temperatura de




formación inicial. Sin embargo, estas prácticas de la industria de perforación geotérmica

suelen ser muy costosas (Fujino y Yamasaki, 1985).

A la fecha, los métodos para estimar las temperaturas perturbadas o de formación pueden

ser divididos en dos clases:

1) Métodos simples o analíticos, que se concentran en la parte profunda del pozo

donde se llevan a cabo las mediciones y son usualmente de naturaleza conductiva

(Dowdle y Cobb, 1975; Middleton, 1979; Roux et al., 1979; Kritikos y Kutasov,

1988; Hasan y Kabir, 1994; Ascencio et al., 1994; Hyodo y Takasugi, 1995).

2) Métodos de simulación, que intentan reproducir la historia térmica completa del

pozo y la formación circundante (Raymond, 1969; Kéller et al., 1973; Wooley,

1980; Marshall y Bentsen, 1982; Luhesi, 1983; Arnold, 1990; Beirute, 1991;

Takahashi et al., 1997; García et al., 1998ª; García et al., 2000; Espinnosa- Paredes

et al., 2001; García et al., 2002; Osato et al., 2003).

En base a esta clasificación, algunos estudios relevantes para el desarrollo del presente

trabajo de investigación, son descritos brevemente a continuación.




Métodos analíticos.

El retorno al equilibrio se obtiene de los registros de temperatura y los métodos analíticos

se usan para estimar las temperaturas de formación. En estos métodos analíticos, la

estimación de las temperaturas de formación se realiza basándose normalmente en una

regresión lineal por mínimos cuadrados a un conjunto de unos cuantos pares de datos de

temperatura de reposo y el tiempo definido en cada método, y a una sola profundidad del

pozo.

La estimación de temperaturas de yacimiento se ha efectuado tradicionalmente empleando

el método de Horner (Dowdle y Cobb, 1975). Sin embargo, este método tiende a

subestimar las temperaturas reales de los yacimientos. Por otro lado, este método es de tipo

conductivo y no puede aplicarse de forma adecuada donde existen pérdidas parciales o

totales de circulación, ya que este fenómeno da lugar a la transferencia de calor por el

mecanismo de convección, el cual queda fuera del alcance del método.

El método de la esfera (Ascencio et al., 1994) también es de tipo conductivo y elimina en

cierta medida el problema de subestimación del método de Horner porque considera un

modelo de flujo de calor radial-esférico a fondo de pozo. Sin embargo, al igual que el

método de Horner, el método de la esfera también se ve limitado en donde existen pérdidas

de circulación por el transporte de calor convectivo. Por otro lado, el método no requiere




del conocimiento explícito del tiempo de circulación, de manera que es aplicable en

aquellos pozos con pérdidas parciales y totales de circulación.

El método de la esfera ha sido probado con datos de diversos pozos, dando frecuentemente

resultados superiores a los de Horner (Dowdle y Cobb, 1975), a los del método mejorado

de Horner (Roux et al., 1980), y a los del método de Hasan y Kabir (1994).

Métodos de simulación.

El método de simulación requiere modelar los procesos de flujo de fluidos y calor, dentro y

fuera del pozo durante la perforación o circulación del fluido de perforación y el

subsecuente calentamiento a pozo cerrado. El modelo resultante consiste de ecuaciones

diferenciales parciales en régimen transitorio que deben ser resueltas para todo el pozo,

empleando una gran cantidad de información acerca del proceso de perforación o

circulación y de paro subsecuente, de la geometría del pozo, del flujo y propiedades del

lodo de perforación, de las pérdidas de circulación, entre otras (Cao et al., 1988). Muchas

veces, esta información es conocida solo parcialmente, lo cual limita la exactitud de las

estimaciones.

En el pasado, se han desarrollado simuladores numéricos para proporcionar una

aproximación a la solución del problema de transferencia de calor asociado con las




operaciones de perforación y terminación de pozos geotérmicos. Algunos de estos

simuladores han sido desarrollados mediante el acoplamiento de un modelo de flujo de

calor cuasi-estable en el pozo con un modelo conductivo de calor completamente transitorio

para la formación (Raymond, 1969; Arnold, 1990; García et al., 1998b).

Otros simuladores numéricos han sido desarrollados para mejorar la predicción de

temperaturas mediante el acoplamiento de un modelo de flujo de calor transitorio en el

pozo con un modelo conductivo de calor transitorio para la formación (Kéller et al., 1973;

Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Beirute, 1991, García et al., 1998 a, b; Espinosa-

Paredes et al., 2001). Aunque estos simuladores numéricos mejoraron el análisis térmico

del problema de transferencia de calor, no reprodujeron satisfactoriamente los registros de

temperatura medidos durante la perforación y terminación de los pozos geotérmicos. El

fenómeno de pérdidas del fluido de perforación hacia la formación ó pérdidas de

circulación, fue identificado como responsable de la predicción insatisfactoria de los

registros de temperaturas del pozo.

Evidentemente, el fenómeno de pérdidas de circulación es muy importante en la estimación

precisa de las temperaturas de formación. Este fenómeno implicó que los efectos

convectivos debieran ser incluidos en el modelo de transferencia de calor de la formación y

dio origen al desarrollo de nuevos modelos matemáticos que tomaron en cuenta las




pérdidas de circulación y el flujo de calor convectivo dentro de la formación (Luhesi, 1983;

Takahashi et al., 1997; García et al., 1998 a; García et al., 2000; García et al., 2002).

Con respecto a estos nuevos modelos desarrollados, podemos decir, que la estimación de

temperaturas de yacimiento por el método de simulación, presenta dos alternativas en razón

de la información medida durante la perforación y terminación de un pozo geotérmico: las

temperaturas de entrada y salida de los lodos de perforación, y los registros de temperatura

tomados con lodos.

La primera alternativa fue explorada por Takahashi et al., (1997), resultando en un modelo

de estimación de temperaturas de yacimiento que empleo las temperaturas de entrada y

salida de los lodos a lo largo del pozo, las cuales fueron pre-calculadas empleando el

mismo simulador para ser alimentadas como información de entrada. En el modelo, un

proceso iterativo es ayudado por el algoritmo de optimización no lineal modificado de

Levenberg –Marquardt (Marquardt, 1963). Este modelo considera el proceso de pérdidas de

circulación como un término fuente de masa y energía en el cálculo del yacimiento, donde

el flujo del fluido obedece la ley de Darcy. El modelo está limitado a pozos con pérdidas

parciales de circulación ya que de otra manera no se tendría lodo de perforación a la salida

del pozo ni su temperatura para validar el modelo.




En términos matemáticos el problema es de tipo inverso (ill posed o mal planteado) ya que

no se conoce la condición inicial del modelo, la cual es justamente la temperatura de

yacimiento y la solución no es única pues posee una infinidad de soluciones. Con lo

anterior se puede observar que el problema es bastante complejo.

La segunda alternativa (García et al., 2002) consideró el uso de los registros de temperatura

para validar el modelo, ajustando las temperaturas simuladas a los registros medidos de

temperatura. En este caso, el problema también es de tipo inverso y consiste en modelar y

simular el proceso de circulación y paro subsecuente a lo largo de todo el pozo, partiendo

de una condición inicial supuesta (la temperatura de yacimiento) y ajustar por mínimos

cuadrados no lineales las temperaturas simuladas y medidas. El proceso iterativo se basa en

un algoritmo de optimización no lineal, entre los que se encuentra el algoritmo modificado

de Levenberg-Marquardt, el cual también fue usado por Takahashi et al. (1997).

Esta segunda alternativa de simulación puede ser utilizada en pozos con pérdidas de

circulación totales ya que los registros de temperatura se toman a pozo cerrado, con

profundidad fija y con lodos de perforación.

Recientemente, Osato et al. (2003) modificaron el trabajo de Takahashi et al. (1997) y

estimaron las temperaturas de formación utilizando las temperaturas de entrada y salida del

lodo durante la perforación. Los autores reemplazaron el código GEOTEMP3 y el




algoritmo de inversión MWDTEMP2 (desarrollados por Takahashi) por los códigos

comerciales conocidos como TOUGH2 y MINC para extender su trabajo a un medio

poroso fracturado. Los resultados de este trabajo fueron similares a los obtenidos por

Takahashi et al. (1997).

Dentro de los primeros modelos matemáticos que tomaron en cuenta las pérdidas de

circulación y el flujo de calor convectivo dentro de la formación, se encuentra el

desarrollado por García et al. (1998 a). En este trabajo se describe en forma detallada el

modelo matemático del simulador numérico denominado GEOTRANS, desarrollado para

predecir la distribución de temperaturas transitorias en y alrededor de un pozo geotérmico

durante los procesos de circulación y paro, en presencia de pérdidas de circulación.

En resumen, la formulación matemática del modelo del GEOTRANS consiste de un

conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de transferencia de calor en dos dimensiones

en coordenadas cilíndricas y régimen transitorio. Desde un punto de vista matemático la

formulación es un problema de valores a la frontera con condiciones iniciales, cuya

solución es la distribución de temperaturas como función de la posición axial, radial, y del

tiempo T (z, r, t). La ecuación de conservación de masa considera flujo incompresible en la

dirección axial y radial.




La interfaz pozo-formación se considera como un medio poroso ficticio, a través de la cual

el fluido se pierde hacia la formación. La formación matemática es genérica y versátil,

debido a que se puede simular cualquier pozo geotérmico vertical, con la posibilidad de

seleccionar las pérdidas del fluido de perforación en cualquier punto del pozo. El modelo

también considera la posibilidad de que el fluido de perforación sea una mezcla de aire y

lodo o simplemente agua. La fracción volumétrica del aire contenida en la mezcla bifásica

se utiliza para estimar las propiedades físicas efectivas de la mezcla para el fluido de

perforación y con la porosidad se estiman las propiedades físicas efectivas de la formación,

los coeficientes de transferencia de calor se corrigen con la porosidad para obtener valores

más realistas. En condiciones de paro de circulación, el fluido de perforación está estancado

y bajo esta condición de operación del pozo, el mecanismo de transferencia de calor es de

tipo conductivo. Estas son las bases del modelo matemático del simulador GEOTRANS.

I.3 Justificación

Después de la revisión del estado del arte, es claro que métodos económicos, vertiginosos y

precisos, con modelos matemáticos rigurosos son deseables para la predicción de las

temperaturas transitorias en y alrededor de pozos geotérmicos en construcción, en presencia

de pérdidas de circulación. Por lo tanto, el desarrollo de un nuevo modelo matemático

basado en el método de volumen finito para predecir las temperaturas de yacimientos

geotérmicos es claramente justificado. Esto representa un reto con respecto a estudios




existentes de transferencia de calor en pozos geotérmicos, pues de acuerdo a lo que se ha

podido investigar, no existe ningún otro estudio de investigación y desarrollo de

metodologías similares al presente.

I.4 Objetivo general

Estimar la temperatura de formación de yacimiento a partir de un volumen de control en un

pozo geotérmico en perforación y en presencia de pérdidas de circulación.

I.5 Alcance

En este trabajo se presenta el desarrollo, solución numérica, implementación y

simulaciones de un modelo de conducción de calor transitorio en dos dimensiones

aplicando como ecuación constitutiva la aproximación de Vernotte-Cattaneo. El modelo se

aplicó en un sistema geoenergético constituido por un pozo geotérmico (también se puede

aplicar a pozos petroleros) para determinar la distribución de temperaturas axial y radial en

condiciones transitorias durante procesos de circulación del flujo de perforación y de

recuperación térmica.




Capítulo II

Energía Geotérmica

En este capítulo se presentan los aspectos generales relacionados con la energía geotérmica,

el estado actual de la energía geotérmica en México, la tecnología de perforación de pozos

geotérmicos y un análisis teórico del comportamiento térmico de un pozo geotérmico

durante el proceso de circulación con pérdidas del fluido de perforación.




II.1 Energía geotérmica

La energía geotérmica es energía calorífica proveniente del núcleo de la tierra. La

geotermia aprovecha esta energía calorífica y el agua que se han concentrado en ciertos

sitios del subsuelo conocidos como yacimientos geotérmicos. Un yacimiento geotérmico

típico está compuesto de una fuente de calor, un acuífero y la capa sello, como se ilustra en

la Figura 1.

Figura 1. Yacimiento geotérmico típico.

La fuente de calor es generalmente una cámara magmática en proceso de enfriamiento. El

acuífero está confinado dentro de una formación litológica con una permeabilidad lo

suficientemente alta para alojarlo. La capa sello es otra formación litológica, o parte de ella,




con una permeabilidad menor, cuya función es impedir que los fluidos geotérmicos se

difundan totalmente hacia la superficie.

Los yacimientos geotérmicos se pueden clasificar como: (i) de líquido dominante, (ii) de

vapor dominante, (iii) de roca seca caliente, (iv) geopresurizados y (v) magmáticos.

Los fluidos geotérmicos son una mezcla agua-vapor que poseen una gran cantidad de

energía térmica almacenada y se transportan a la superficie por medio de pozos

específicamente perforados para ello. En la superficie, el fluido geotérmico se utiliza para

generación de energía eléctrica o en algún otro proceso de aplicación directa de calor

(secado, aire acondicionado, refrigeración, agricultura, etc.), o se procesa para la obtención

de sólidos importantes (Li, Si, etc.), antes de ser reinyectado al yacimiento con el fin de

mantener la presión y recarga del mismo, y evitar contaminación en la superficie.

II.2. Energía geotérmica en México

Los inicios de la utilización de energía geotérmica en México para la producción de energía

eléctrica se remontan a los años sesenta, en los que se comenzó a explotar el campo

geotérmico de Pathé en el estado de Hidalgo.

La capacidad instalada que reporta la CFE en el 2008 es de 49,931 MW, dividiéndose ésta

en diferentes fuentes, las termoeléctricas producen 22,404 MW, mientras que 11,456 MW

corresponde a los Productores Independientes de Energía, las hidroeléctricas contribuyen




con el 11,054 MW, las carboeléctricas producen el 2,600 MW, y en menor grado las

geotérmicas con 964 MW de la producción nacional, y 85 MW las eoeléctricas.

Tipo de Generación Capacidad efectiva en MW

Termoeléctrica 22,404.69

Hidroeléctrica 11,054.90

Carboeléctrica 2,600.00

Geotermoeléctrica 964.50

Eoloeléctrica 85.48

Nucleoeléctrica 1,364.88

Termoeléctrica

(Productores Independientes)

11,456.90

Total 49,931.34

Tabla 1. Capacidad instalada por tipo de generación al mes de agosto de 2008.

En la actualidad, México es uno de los países más avanzados en cuanto a la producción de

energía geotermoeléctrica (Tabla 2). Dos campos, el de Cerro Prieto y el de Los Azufres en

Michoacán se encuentran ya en la etapa de producción y por lo menos dos más: La

Primavera (Jalisco) y Los Humeros (Puebla), se encuentran ya muy avanzados en la etapa

de evaluación y se espera que dentro de pocos años comenzarán también a producir

electricidad a partir de fluidos geotérmicos. Asimismo, se cuenta con 27 campos donde se

han concluido los estudios de factibilidad, de los cuales se han seleccionado 16 para

continuar con la etapa de perforación de pozos de exploración, entre éstos se tienen: El

Ceboruco (Nayarit), Las Planillas (Jalisco), Araró (Michoacán), Las Tres Vírgenes (Baja

California Sur), etcétera.




El campo geotérmico de Cerro Prieto es uno de los más grandes del mundo y hasta el

momento tiene una capacidad instalada para producir 620 000 kilowatts de energía

eléctrica; pero el campo tiene capacidad para generar mucha más energía y se ha planeado

aumentar su producción a más de 700 000 kilowatts en los próximos años, ya que se cuenta

con reservas probadas de 220 000 kilowatts y reservas probables de más de 220 000

kilowatts.

Por otra parte, el campo geotérmico de Los Azufres ha estado siendo probado por medio de

plantas piloto que producen un total de 25 000 kilowatts, lo cual corresponde casi al

consumo de energía eléctrica de la ciudad de Morelia, Michoacán. Después de observar los

resultados obtenidos con estas plantas, se determinó que este campo tiene capacidad para

producir más energía, por lo cual se está ya construyendo una planta que generará más de

50 000 kilowatts de electricidad (el campo tiene una reserva probada de 135 000 kilowatts

y una reserva probable de 165 000 kilowatts).

Del total de campos ya evaluados se tiene una reserva probada de más de 100 000 kilowatts

y la reserva probable es de más de 1 400 000 kilowatts.




País MW Participación (%)

Total 9,733

1. EUA 2,687 27.6

2. Filipinas 1,970 20.2

3. Indonesia 992 10.2

4. México 960 9.9

5. Italia 811 8.3

6. Japón 530 5.4

7. Nueva Zelanda 472 4.8

8. Islandia 421 4.3

9. Costa Rica 163 1.7

10. Costa Rica 204 2.1

11. Kenia 129 1.3

Resto del mundo 396 4.1

Tabla 2. Capacidad geotérmica mundial instalada para generación de energía eléctrica,

2007.

II.3 Tecnología de perforación de pozos geotérmicos

Las actividades de perforación y terminación de pozos representan la mayor parte del costo

total de un proyecto geotérmico. Estas actividades afectan el patrón de producción futuro

del campo geotérmico y la vida útil de los pozos geotérmicos.

La tecnología de perforación empleada en pozos geotérmicos en principio es simular a la

petrolera, aunque algunas de las condiciones especiales a las que se enfrentan los

perforadores de pozos geotérmicos son: temperaturas que exceden los 250 °C a

profundidades someras, pérdidas totales de lodo y contacto con fluidos de alta salinidad.




Como consecuencia de las condiciones de perforación mencionadas, nuevas tecnologías

han sido desarrolladas específicamente para la industria geotérmica. Detalles de estas

tecnologías se reportan en los trabajos de Bottai y Cigni, (1985) y Santoyo et al., (1991).

Proceso de perforación de un pozo geotérmico

Después de haber realizado la etapa exploratoria, la cual comprende los estudios de

geología, geoquímica, geofísica y los datos proporcionados por pozos exploratorios; se

realiza la selección del lugar más adecuado para la perforación de un pozo geotérmico. Al

iniciar la perforación se debe contar con el equipo instalado, comprendiendo los siguientes

sistemas: (i) potencia, (ii) levantamiento, (iii) rotación, (iv) circulatorio y auxiliares.

Las etapas de construcción de un pozo geotérmico se han detallado por otros autores

(Morales et al., 1990). Las cinco etapas en las que se pueden clasificar las actividades de la

perforación de un pozo geotérmico son: i) preparación del sitio, ii) colocación de la tubería

conductora, iii) colocación de la tubería superficial o de anclaje, iv) instalación de la tubería

intermedia, y v) liner o tubería corta.

Una vez terminada la perforación se sigue con la terminación del pozo. Esta práctica

involucra la preparación del pozo para un ciclo de producción esperado de larga duración

de aproximadamente 20 años. Esto incluye el proporcionar la estabilidad del pozo mediante

la instalación de una cubierta de acero de protección final y la preparación para la




producción valorando el daño que se pudo haber hecho a la formación por los fluidos de

perforación.

Problemas de perforación

Los problemas más comunes de la perforación y terminación de pozos geotérmicos son: las

pérdidas totales o parciales de los fluidos de perforación, tuberías pegadas, cementaciones

inadecuadas, presencia de altas temperaturas, y la estimación precisa de las temperaturas de

formación, entre los más importantes.

Aún cuando la ocurrencia de todos estos problemas tienen un impacto sobre el costo total

de la perforación, las pérdidas de circulación y la estimación de las temperaturas de

yacimiento son dos problemas prioritarios que la industria de perforación de pozos

geotérmicos necesita resolver, debido a que tienen influencia directa sobre la mayoría de las

actividades del desarrollo y explotación de los recursos geotérmicos.

Estimación de las temperaturas de formación estáticas.

La temperatura es uno de los parámetros más importantes de los yacimientos geotérmicos

que necesitan ser estimados. La temperatura de formación estática o imperturbada es uno de

los parámetros más críticos usados como indicador de la energía disponible confinada en un

yacimiento geotérmico (Dowdle y Cobb, 1975).




Una de las consecuencias del proceso de perforación de pozos geotérmicos es el

enfriamiento de la formación debido a la continua circulación del lodo. Entonces, una lenta

recuperación para llegar a la temperatura geotérmica solamente ocurre cuando la

perforación y circulación han cesado. La completa recuperación de la temperatura en un

nuevo pozo puede tomar desde unas pocas horas o meses, dependiendo de la formación, las

características del pozo y el tiempo de circulación del lodo.

Una estimación precisa de las temperaturas de formación requiere de largos periodos de

recuperación. Sin embargo, una larga espera para la completa recuperación de la

temperatura puede causar un considerable incremento en los costos de perforación. Por lo

tanto, un método que consuma el menor tiempo posible es necesario para calcular las

temperaturas de formación usando datos de recuperación “in-situ”.

Cuando los problemas de pérdidas de circulación ocurren durante el proceso de perforación

de pozos, el comportamiento térmico del sistema es más complejo debido a los diferentes

procesos de transferencia de calor involucrados. Consecuentemente, los métodos usados

para estimar las temperaturas de formación pueden ser más complicados. Normalmente, las

temperaturas son grabadas durante las operaciones de registro en el proceso de circulación

del lodo o durante el periodo de calentamiento del pozo.




Estas temperaturas grabadas o medidas son usualmente menores que la temperatura de

formación estática debido al efecto de enfriamiento del proceso de circulación del lodo y

porque son registradas en los primeros periodos de tiempo durante la recuperación

(típicamente 6-24 horas después de que la circulación del lodo ha cesado).

La predicción precisa de la temperatura de formación imperturbada, la distribución de

temperaturas del sistema geotérmico (pozo-formación) y el entendimiento de los procesos

físicos que ocurren durante el proceso de perforación, es el propósito del presente trabajo

de tesis.

II.4 Descripción fenomenológica

El proceso de la circulación en un pozo es similar a un sistema de intercambio de calor. En

tal proceso, el líquido se mueve hacia abajo dentro de la tubería de perforación y hacia

arriba a través de la pieza anular entre las tuberías internas y externas. El líquido entra en la

tubería de perforación en la tapa, fluye abajo y sale de la tubería en el fondo. Allí seguido,

entra en la pieza anular y fluye hacia arriba.

Para describir el proceso físico del traspaso térmico en el sistema, un esquema simplificado

del sistema que perforaba se ilustra en la figura 2. Aquí, los radios corresponden a cada

uno de las regiones físicas en las cuales el pozo es considerado, de acuerdo con el proceso




principal del traspaso térmico. Cuatro regiones son consideradas en el análisis del traspaso

térmico:

• Región 1: Tubería de perforación ( 10 r r ).

• Región 2: Pared de la tubería de perforación ( 1 2r r r ).

• Región 3: Región anular ( 2 3r r r ).

• Región 4: Formación




Figura 2. Proceso de un pozo de petróleo perforado. Se muestran las cuatro regiones del

flujo de calor.




REGIÓN 1: Tubería de perforación; el líquido entra en la tubería de perforación con

velocidad del flujo Vz,1 y temperatura específica (Ten). Como el liquido fluye hacia bajo

dentro de la tubería en dirección z, su temperatura (T1 ) es determinado por el índice de la

convección del calor abajo del intercambio de la tubería que perfora y del calor de la pared

metálica de la tubería.

REGIÓN 2: Pared de la tubería de perforación; temperatura de la pared de la tubería de

perforación (T2) es determinado por el índice de la convección del calor entre la pared y el

flujo debajo de la tubería de perforación y sube por la pieza anular por conducción en la

pared de la tubería.

REGIÓN 3: Región anular; el proceso de la circulación requiere esa temperatura fluida en

la entrada de la pieza anular. En esta región, la temperatura (T3) es determinado por el

índice de convección de la pieza anular, el índice de calor durante el intercambio entre la

pieza anular y la pared de la tubería de perforación, y el índice del intercambio de calor

entre la pared del pozo y el líquido de la pieza anular que es velocidad del flujo Vz,3 .

REGIÓN 4: Formación; Corresponde al traspaso térmico en la formación o el cemento.

Después de que se pare el flujo, una situación axial-simétrica de la conducción del calor

prevalece. Esta es la razón por la cual los términos axiales de la conducción son incluidos

cuando el líquido que perfora circula en el pozo.




Capítulo III

ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

APLICANDO Vernotte-Cattaneo

Se presenta el procedimiento para obtener la ecuación de calor usando como ecuación

constitutiva la relación de Vernotte-Cattaneo.




III.1 Preliminares

El modelo matemático de la formación (roca que rodea al pozo) considera transferencia

transitoria del calor por conducción. El modelo matemático consiste en un sistema de

ecuaciones diferenciales parciales que describen el campo transitorio de dos dimensiones

de la temperatura T (z, r, t). La conservación total considera flujo incompresible en las

direcciones axial (z) y radial (r). La solución considera los efectos de la transferencia del

calor de convección que aparecen en las condiciones de límite. Los términos fundamentales

del modelo incluyen lo siguiente: geometría cilíndrica, características físicas isotrópicas,

constantes, disipación viscosa insignificante y líquido incompresible. Con estas ecuaciones

las condiciones iníciales y las condiciones de frontera que gobiernan son las siguientes:

2

20

T T Tr

t r r r z (1)

C.I. ( , )T F r z , en 0t (2)

C.F.1.z supT T , en 0z (3)

C.F.2.z DT T , en z = D (4)

C.F.3.r 0T

r , en 0r r (5)

C.F.4.r m

Tk H T T

r, en 3r r (6)




III.2 Procedimiento para obtener la ecuación de onda

Sea la siguiente ecuación de conducción de calor con fuente de energía por unidad de

volumen ( ( )q t ):

( )T

Cp q tt

q (7)

donde y Cp son la densidad y el calor especifico.

Cattaneo (1958) and Vernotte (1958) postularon un modelo de relajación como función del

tiempo para el flujo de calor:

0 k Tt

qq (8)

Aplicando la divergencia:

0 k Tt

qq (9)

Considerando que el sistema en estudio es isotrópico, i.e., la conductividad k es constante

en todas las direcciones del sistema y solo depende de la temperatura;

0 k Tt

qq (10)




El producto punto del lado izquierdo actúa sobre q y del lado derecho actúa sobre el

operador nabla. Podemos usar la siguiente propiedad:

t t

qq (11)

y que 2T T T , entonces la Ec. (2) se puede re-escribir como:

20 k T

tq q (12)

Ahora factorizando, se obtiene:

201 k T

tq (13)

El procedimiento matemático nos indica que debemos despejar el término q de la Ec.

(1):

( )T

q t Cpt

q (14)

Sustituyendo ésta en la Ec. (7):

201 ( )

Tq t Cp k T

t t (15)




Expandiendo y agrupando términos:

22

0 02

( )( )

T T q tCp Cp k T q t

t tt (16)

Dividiendo entre Cp :

22 0

0 2

1 ( )( )

T T q tT q t

t Cp Cp tt (17)

donde es la difusividad térmica:

k

Cp (18)

El resultado dado para la Ec. (11) es para cualquier tipo de coordenadas. En el caso

específico de nuestro estudio de pozos geotérmicos, las coordenadas son cilíndricas,

entonces el operador nabla está dado por:

2 22

2 2 2

1 1T T TT r

r r r r z (19)

Aplicando la suposición de axial-simétrico el segundo término es:

2

2 2

10

T

r (20)




Entonces:

22

2

1 T TT r

r r r z (21)

Sustituyendo esta ecuación en la Ec. (11), finalmente se obtiene:

2 20

0 2 2

1 ( )( )

T T T T q tr q t

t r r r Cp Cp tt z (22)

Para el caso de estudio que nos ocupa el término de generación de calor por unidad de

volumen es nulo y la ecuación anterior se simplifica a:

2 2

0 2 20

T T T Tr

t r r rt z (23)

Las condiciones iníciales y de fronteras que gobiernan la Ec. (23) son las siguientes:

C.I ( , ) ( , )T r z F r z en 0t (24)

C.I.2 0T

t en t = 0 (25)

C.F.1.z supT T

en 0z (26)

C.F.2.z DT T en z = D (27)

C.F.3.r 0T

r en 0r r

(28)

C.F.4.r m

Tk H T T

r, en 3r r

(29)




Capítulo IV

Solución Numérica

En este capítulo se presenta la solución numérica de la ecuación de transferencia de calor

transitoria en coordenadas cilíndricas desarrollada, aplicando la relación de Vernotte-

Cattaneo como ecuación constitutiva. El modelo numérico se obtiene al aplicar la

aproximación de volumen finito con esquema del tipo implícito.




IV.1 Método del volumen de control

Para describir el comportamiento del flujo en una región se puede adoptar el concepto de

volumen de control (VC) formado por el espacio delimitado por una superficie de control

(SC) cerrada, real o virtualmente, donde una de sus características, en general, será la

permanencia de la forma y el tamaño del volumen así delimitado. La permanencia del

espacio ocupado por el volumen de control hace que las partículas que lo ocupan no sean

siempre las mismas. La cantidad de partículas también será variable cuando el flujo no es

permanente. Este método facilita la descripción del comportamiento del flujo y del fluido.

El método de los volúmenes de control finito permite discretizar y resolver numéricamente

ecuaciones diferenciales. Es un método alternativo a los de diferencias finitas y elementos

finitos. Considerando una malla de discretización del espacio fluido. En torno a cada punto

de esta malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos

vecinos. De esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los

volúmenes de control considerado. La ecuación diferencial a resolver se integra sobre cada

volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión discretizada de dicha

ecuación. Para realizar la integración se requiere especificar perfiles de variación de la

variable dependiente entre los puntos de la malla, de modo de poder evaluar las integrales

resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es




P

que la solución obtenida satisface en forma exacta las ecuaciones de conservación

consideradas, independientemente del tamaño de la malla.

El intervalo es: [0, 2 ]

Figura 3. Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control.

N (j)

r (i)

S

E W

e w

s

n

∆r

P = i, j

W = i+1, j

E = i-1, j

N = i, j+1

S = i, j-1

S = i, j-1




IV. 2 Desarrollo

La integración de la Ec. (23) por el método del volumen de control o el método de

volumen finito, se realiza de la siguiente forma:

2 2

0 2 2

t t t t

t CV t CV

T T T Tr dVdt dVdt

r r r tt z (30)

donde la integración de la Ec. (23) se realiza sobre el volumen de control dV rdrd dz y

durante un intervalo de tiempo de t a t t . Considerando el volumen de control

bidimensional como se ilustra en la Figura 3. Entonces la Ec. (30) puede escribirse:

2 2

0 2 2

t t n e

t s w

t t n e t t n e t t n e

t s w t s w t s w

Tr drdzdt

r r

T T Trdrdzdt rdrdzdt rdrdzdt

tt z

(31)

El primer término de la izquierda es igual a:

t t n e n t t

t s w s t e w

T T Tr drdzdt r r dtdz

r r r r

(32)




El término del flujo difusivo se evalúa del siguiente modo:

E Pe e

ee

T TTr r

r r (33)

P Ww w

ww

T TTr r

r r (34)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la Ec. (30):

t t n e n t tP WE P

e e w wt s w s t e w

T TT TTr drdzdt r r dtdz

r r r r (35)

Considerando régimen implícito, entonces:

t t t tt t t tt t n e nP WE P

e e w wt s w s e w

T TT TTr drdzdt r r t dz

r r r r(36)

(2 )

t t t tt t t tt t n e nP WE P

e e w wt s w s e w

t t t tt t t tP WE P

e e w we w

T TT TTr drdzdt r r t dz

r r r r

T TT Tr r t z

r r

(37)




Donde ET , PT y WT son las temperaturas evaluadas en el nuevo tiempo.

Siguiendo el mismo procedimiento de los restantes términos, la Ec. (23) resulta:

2 22 2

2 2

2 2

2

2

t t n e t t ne w

t s w t s

nt t

e w

ts

r rT Trdrdzdt dzdt

z z

r r Tdzdt

z z

(38)

2 22

2 2

t t n e t te w

t s w t n s

r rT T Trdrdzdt dt

z zz (39)

De acuerdo a la figura 3:

n P

n

P s

s

T TT

z z

T TT

z z

Sustituyendo en la Ec. (39) se obtiene:

2 22

2( )

2

t t n ee w n P P s

t s w

r r T T T TTrdrdzdt t

z zz (40)




Las integrales de los términos de la derecha:

2 22 2

0 02 2

2 2 2 22 2

0 0

2

2 2(2 )

2 2

t t n e n t te w

t s w s t

t t t t t t t t t tne w e wP P P P P P

s

r rT Trdrdzdt dtdz

t t

r r r rT T T T T Tdz z

t t

(41)

En este trabajo consideramos que:

2

2 20 02

2( )

t t t t tt t n eP P P

e wt s w

T T TTrdrdzdt r r z

tt (42)

Y por último:

2 22 2( )

2

t t n e n t tt t te w

e w P Pt s w s t

r rT Trdrdzdt dtdz r r T T z

t t

(43)

Sustituyendo las ecuaciones (37) - (43) en la ecuación (31), se obtiene:

0 0

0 0

[ ( 1)] ( 2 )

( 2 )]

t t t t t t t t tE W P P E E W W P P P

tP P E z N P S

a a a T a T a T a T T

a T a a T T T (44)




donde

20

P

ra

t (45)

e eE

e

ra

r (46)

w wW

w

ra

r (47)

0

t (48)

2 22

2

e wr rr (49)

2za

z (50)

20

E

ra

z (51)

Siguiendo el mismo procedimiento, partiendo de la figura 4, las condiciones de frontera

están dadas por:

C. F.1.z supT T en 0z (52)

C. F.2.z DT T en z D (53)

C. F.3.r t t t tP WT T en 0r r (54)

C.F 4.r t t t tB B Y Y ma T a T H T en Br r (55)




P

donde

B Ya H a (56)

/ 2

yY

y

ar

(57)

Figura 4. Nodalización utilizada en la mitad del volumen de control y la frontera próxima.

N (j)

S

E W

e w

s

n

P = i, j

W = i+1, j

E = i-1, j

N = i, j+1

S = i, j-1

∆r

Y

y

C

B

Z’

δr/2

δz/2




Capítulo V

Conclusiones

En este trabajo se presento el desarrollo de un modelo de conducción de calor transitorio en

dos dimensiones aplicando como ecuación constitutiva la aproximación de Vernotte-

Cattaneo. El modelo se aplicó en un sistema geoenergético constituido por un pozo

geotérmico, para determinar la distribución de temperaturas axial y radial en condiciones

transitorias durante procesos de circulación del flujo de perforación y de recuperación

térmica.

Se desarrollo la solución numérica basada en la aplicación del método del volumen de

control Ec. 44 el cual permitió la formulación de las ecuaciones para cada región con el

propósito de escribirlas como un conjunto de ecuaciones algebraicas para el barrido en la

dirección r y explicito en la dirección z:

, 1, , , , 1, ,t t t t t t

i j i j i j i j i j i j i ja T b T c T d (58)




Implícito en la dirección z y explicito en la dirección r:

, , 1 , , , , 1 ,t t t

i j i j i j i j i j i j i je T f T g T h (59)

donde a, b, c, y d son los coeficientes.

Como resultado de la aplicación de estas ecuaciones, se obtendrá un sistema de ecuaciones

algebraicas, de la forma:

A x b (60)

donde A son los coeficientes de la matriz, x es el vector de las variables dependientes y b es

el vector de los parámetros conocidos Los coeficientes dependeran de los parámetros

geométricos y propiedades termofísicas, es decir, la conductividad térmica, densidad y

calor específico, y ya que están en la función de ,t t

i jT .

En el Apéndice B se presenta la solución y el algoritmo de cálculo de los coeficientes.




Apéndice A: Alternativa de solución numérica.

Si

T

t (A.1)

Sustituimos en la Ec. (23):

2

0 2

T Tr

t r r r z (A.2)

Integrando la Ec. (30), se obtiene:

t t

t

T t t

T t

dT dt (A.3)

Si es constante en un paso integración t la ecuación anterior queda como

t t tT T t . En términos generales esta la relación se puede expresar como:

0T t T (A.4)

donde 0T es una constante y ( , , )r z t . Entonces sustituyendo la relación anterior en la

Ec. (31), se obtiene:




2

0 2t r t

t r r r z (A.5)

Las condiciones iníciales y finales que gobiernan la Ec. (A.5) son las siguientes:

C.I. 0 ( , )t T F r z , en 0t (A.6)

C.F1z 0 supt T T , en 0z (A.7)

0T t T (A.8)




Apéndice B. La solución de las ecuaciones (58) y (59) se obtiene con

el Algoritmo de la Matriz Tridiagonal (TDMA):

t+ t t+ tM-j M-j M-j+1 M-jT =P T +Q para 2,3,4,..., 1j M (B.1)

t+ tMT MQ (B.2)

donde

11

1

bP

a (B.3)

11

1

dQ

a (B.4)

1

jj

j j j

bP

a c P para 2,3,4,...,j M (B.5)

1

1

j i jj

j j j

d c QQ

a c P para 2,3,4,...,j M (B.6)

Para tener en cuenta las condiciones de frontera, establecemos 1 0c y 0Mb . Esto

lleva a las ecuaciones (B.3) y (B.4) y 0MP , respectivamente.




Referencias

Arnold, F. C., 1990. Temperature variation in a circulating wellbore fluid. Journal of

Energy Resources Technology, 112, 79-83.

Ascencio, F., García, A., Rivera, J. and Arellano, V., 1994. Estimation of undisturbed

formation temperatures under spherical-radial heat flow conditions. Geothermics, 23 (4),

317-326.

Beirute, R. M., 1991. A circulating and shut-in well-temperature-profile simulator. Journal

of Petroleum Technology September, 1140-1146.

Bottai, A. and Cigni, U., 1985. Completion techniques in deep geothermal drilling.

Geothermics, 14, 309-314.

Cao, S., Lerche, I. and Hermanrud, C., 1988. Formation temperature estimation by

inversion of borehole measurements. Geophysics, 53 (7), 979-988.




Comisión Federal de Electricidad, 2008. Capacidad instalada por tipo de generación al mes

de agosto de 2008. www.cfe.gob.mx

Comisión Federal de electricidad, 2007. Capacidad geotérmica mundial instalada para

generación de energía eléctrica, 2007. www.cfe.gob.mx

Davies, S. N., Gunningham, M. M., Bittleston, S. H., Guillot, F. and Swanson, B. W., 1944.

Field studies of circulating temperatures under cementing conditions. Society of Petroleum

Engineers Drilling and Completion March, 12-16.

Deming, D., 1989. Application of bottom-hole temperature corrections in geothermal

studies. Geothermics, 18, 775-786.

Dowdle, W. L. and Cobb, W. M., 1975. Static formation temperature from well logs-an

empirical method. Journal of Petroleum Technology November, 1326-1330.

Espinosa-Paredes, G., García, A., Santoyo, E. and Hernández, I., 2001. TEMLOPI/V.2: A

computer program for estimation of fully transient temperatures in geothermal Wells during

circulation and shut-in. Computers & Geosciences, 27, 327-344.

http://www.cfe.gob.mx/

http://www.cfe.gob.mx/




Espinosa Paredes, G. and Morales Díaz A., 2007. Application of a proportional-integral

control for the estimation of static formation temperatures in oil Wells. Marine and

Petroleum Geology.

Espinosa Paredes, G. and Espinosa Martínez E. G., 2008. A feedback-based inverse heat

transfer method to estímate unperturbed temperaturas in wellbores. Energy Conversion and

Management.

Espinosa Paredes, G. and Espinosa Martínez E. G., 2008. Fuel Rod Model based on Non-

Fourier Heat Conduction Equation. Paper submitted to Annals of Nuclear Energy.

Farris, R. F., 1941. A practical evaluation of cement for oil Wells. In: Drilling Production

Practice in American Petroleum Institute, 11, 283-292.

Freeston, D., 1996. Direct uses of geothermal energy 1995. Geothermics, 25 (2), 189-214.

Fujino, T. and Yamasaki, T., 1985. The use of fluid inclusion geothermometry as an

indicator of reservoir temperature and thermal history in the Hatchobaru geothermal field,

Japan. Geothermal Resources Council Transactions, 9, 429-433.




García, A., Santoyo, E., Espinosa, G., Hernández, I. and Gutierrez, H., 1998ª. Estimation

of temperatures in geothermal wells during drilling and shut-in in the presence of lost

circulation. Journal of Transport in Porous Media, 33 (12), 103-127.

García. A., Hernández, I., Espinosa, G., and Santoyo, E., 1998b. TEMLOPI: A termal

simulator for estimation of drilling mud and formation temperatures during drilling of

geothermal wells. Computers & Geosciences, 24 (5), 465-477.

García, A., Espinosa, g., Santoyo, E., Mendoza, P. R. and Hernández, I., 2000.

GEOTRANS: A computer code for estimating transient temperatures in the completion of

geothermal wells with drilling fluid losses. In: Proceedings Worl Geothermal Congress

2000, Kyushsu-Tohoku, Japan, May 28-June 10, 4023-4028.

García, A., Espinosa, G., Vázquez, a., De León, J., Rodríguez, M. and Arellano, V., 2002.

Estimation of formation temperatures using simulation and optimization techniques of

circulation and shut-in processes. In: Proc. Intl. Conf. the Earth’s Thermal Field and

Related Research Methods, Moscow, Russia.

Grant, M. A., Donaldson, I. G. and Bixley, P. F., 1982. Geothermal reservoir engineering.

Academic Press, New York.




Hasan, A. R. and Kabir, C.S., 1994. Stratic reservoir temperature determination form

transient data after mud circulation. SPE Drilling and Completion March, 17-24.

Hyodo, M. and Takasugi, S., 1995. Evaluation of the curve-fitting method and the Horner

plot method for estimation of the true formation temperature using temperature recovery

logging data. In: Proceedings 20th

Workshop on Geothermal Reservoir Engineering

Stanford University, Stanford, CA, 94-100.

Ikeuchi, K., Doi, N., Sakagawa, Y., Kamenosono, H. and Uchida, T., 1998. High-

temperature measurements in well WD-1 and the thermal structure of the Kakkonda

geothermal system, Japan. Geothermics, 27 (5-6), 591-607.

Keller, H. H., Couch, E. J. and Berry, P. M., 1973. Temperature distribution in circulating

mud columns. Society of Petroleum Engineers Journal February, 23-30.

Kutasov, I. M. and Targhi, A. K., 1987. Better deep-hole BHTC estimations possible. Oil

and Gas Journal May, 71-73.

Kritikos, W. R. and Kutasov, I. M., 1988. Two-point method for determination of

undisturbed reservoir temperature. Society of Petroleum Engineers Formation Evaluation

Journal March, 222-226.




Luhesi, M. N., 1983. Estimation of formation temperature from borehole measurements.

Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 74, 747-776.

Marquardt, D. W., 1963. An algorithm for least-square estimation of nonlinear parameters.

SIAM J.Appl. Math., 11, 431-441.

Marshall, D. W. and Bentsen, R. G., 1982. A computer model to determinate the

temperature distributions in a wellbore. Journal of Canadian Petroleum January, 63-75.

Middleton, M. F., 1979. A model for bottomhole temperature stabilization. Geophysics, 44

(8), 1458-1462.

Mulas, P., Nieva, D. and Holland, F. A., 1985. Developments in geothermal energy in

Mexico-part one: general considerations. Heat Recovery systems, 5 (4), 277-283.

Nielsen, S. B., Ballin, N. and Christiansen, H. S., 1990. Formation temperatures determined

from stochastic inversion of borehole observations. Geophysical Journal International,

101. 581-590.




Osato, K., Ujo, S. and White S. P., 2003. Prediction of formation equilibrium temperature

while drilling based on drilling mud temperature: inverse problem using TOUCH2 and

wellbore thermal model. In: Proceedings TOUCH symposium 2003, Lawrence Berkeley

National Laboratory, Berkeley, California.

Raymond, L. R., 1969. Temperature distribution in a circulating drilling fluid. Journal of

Petroleum Technology March, 333-341.

Roux, B., Sanyal, S. K. and Brown, S. L., 1979. An improved approach to estimating true

reservoir temperature from transient temperature data. In: Proceedings 5th

Workshop on

Geothermal Reservoir Engineering Stanford University, Stanford, California, 343-354.

Santoyo-Gutierrez, S., García, A., Morales, J. M., Perezyera, J. and Rosas, A., 1991.

Applied technology in the solution of geothermal drilling problems of deep wells in La

Primavera Caldera (México). Journal of Volcanology and Geothermal Research, 47, 195-

208.

Santoyo, E., García, A., Espinosa, G., Hernández, I. and Santoyo, S., 2000.

STATIC_TEMP: A useful computer code for calculating static formation temperatures in

geothermal wells. Computhers and Geosciences, 26, 201-217.




Takahashi, W., Osato, K., Takasugi, S. and White S. P., 1997 Estimation of the formation

temperature from the inlet and outlet mud temperatures while drilling. In: Proceedings

twenty-second Workshop on Geothermal Reservoir Engineering, Stanford University,

Stanford, California.

Wisian, K. W., Blackwell, D. D., Bellani, S., Henfling, J. A., Normann, R. A., Lysne, P. C.,

Forster, A. and Schrotter, J., 1998. Field comparison of conventional and new technology

temperature looging systems. Geothermics, 27 (2), 131-141.

Wooley, G. R., 1980. Computing downhole temperatures in circulation, injection, and

productions wells. Journal of Petroleum Technology September, 1509-1522.

seminario de proyectos i y ii temperaturas …148.206.53.84/tesiuami/uami14544.pdf · ii.3...

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