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Seminario de Procesamiento Digital de SenalesDiseno de Filtros IIR

Marcelo A. Perez

Departamento ElectronicaUniversidad Tecnica Federico Santa Marıa

Requerimientos y EspecificacionesSeleccion de filtros analogos

Diseno de filtros analogosTransformacion en frecuencia

Discretizacion

Contenidos

1 Requerimientos y Especificaciones

2 Seleccion de filtros analogos

3 Diseno de filtros analogos

4 Transformacion en frecuencia

5 Discretizacion

2 / 93 Marcelo A. Perez Seminario de Procesamiento Digital de Senales



Discretizacion

Diseno de Filtros IIR

Requerimientos

Butterworth ChebyshevChebyshev

InversoCauer Bessel

Pasa Bajos Pasa Altos Pasa Banda Elimina Banda

Aproximación

derivadas

Transformada

Bilineal

Invarianza

Escalón

Invarianza

Impulso

Función de

transferencia Discreta

Especificaciones

Diseño

Normalizado

Función de

transferencia contínua




Discretizacion

Pasa BajosPasa AltosPasa BandaElimina Banda

Diseno IIR





5 Discretizacion




Discretizacion


Requerimientos y Especificaciones

Requerimientos

Dependen de la aplicacion y plataforma utilizada

Amplitudes a frecuencias determinadas

Rangos de frecuencias

Conocimiento previo de la senal o sistema

Informacion incompleta

Informacion mal condicionada




Discretizacion



Ejemplo requerimientos

La senal esta muestreada a 20kHz.

La senal contiene informacion util en el rango de 1kH a 4kHz.

Existe una interferencia de 50Hz es cincuenta veces masgrande que la senal que se desea condicionar.

La fase de la senal es importante en el rango util.




Discretizacion



Especificaciones

Informacion completa para realizar diseno.

Rangos definidos de amplitudes y frecuencias.

Amplitudes en dB.

Frecuencias en Hz.

Se debe emplear algun criterio para informacion faltante o malcondicionada.




Discretizacion



Ejemplo especificaciones

Ganancia 0dB de 1kHz a 4 kHz.

Ganancia de -60dB a 50Hz.

Ganancia de -30dB a 10kHz.

¿Fase?




Discretizacion



Ejemplo especificaciones

Frecuencia (Hz)

10 100 1k 10k 100k 10 100 1k 10k 100kFase (grados)

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

-90

-60

-30

0

Frecuencia (Hz)




Discretizacion



Especificaciones filtro pasa bajos

Ganancia DC: A0

Frecuencia de corte (-3dB): ωc

Ganancia y frecuencia de la banda de rechazo: Ar y ωr

10 100 1k 10k 100k

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

Frecuencia (Hz)

A0 c

r Ar

Especificaciones Adicionales

Amplitud de ripple: R(Chebyshev)

Restricciones de fase: φ(Opcional)




Discretizacion



Especificaciones filtro pasa altos

Ganancia alta frecuencia: AH

Frecuencia de corte (-3dB): ωc

Ganancia y frecuencia de la banda de rechazo: Ar y ωr

10 100 1k 10k 100k

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

Frecuencia (Hz)

AHc

r

Ar




Discretizacion



Equivalencia pasa bajos-pasa altos

A0=AH

ωc y Ar no cambian.

ωrLP=ω2c/ωrHP

10 100 1k 10k 100k

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

Frecuencia (Hz)

A0 c

r

AH

Ar r LPHP




Discretizacion



Especificaciones filtro pasa banda

Frecuencia central ω0 y ancho de banda BW o frecuencia de corteinferior y superior ω2 y ω3

Ganancia de la banda de rechazo: Ar

Frecuencia inferior y superior de la banda de rechazo: ω1 y ω4

10 100 1k 10k 100k

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

Frecuencia (Hz)

APB0

1 Ar

BW2 3

4

ω20 = ω2ω3

BW = ω3 − ω2




Discretizacion



Equivalencia pasa bajos-pasa banda

A0=ABP y Ar no cambia.

ωc=ω23 − ω2

0/ω3

ωr=ω24 − ω2

0/ω4

Consideraciones

La banda de paso por lo general es simetrica con respecto afrecuencia central.

La banda de rechazo por lo general no es simetrica con respecto afrecuencia central.

Se debe considerar la frecuencia de rechazo mas cercana (logarıtmo)a la frecuencia central.




Discretizacion



Especificaciones filtro elimina banda

Frecuencia central ω0 y ancho de banda BW o frecuencia de corteinferior y superior ω2 y ω3

Ganancia de la banda de rechazo: Ar

Frecuencia inferior y superior de la banda de rechazo: ω1 y ω4

10 100 1k 10k 100k

Amplitud (dB)

-60

-40

-20

0

Frecuencia (Hz)

A0

01

Ar

BW

2 3

4

AH

ω20 = ω2ω3

BW = ω3 − ω2




Discretizacion



Equivalencia pasa bajos-elimina banda

A0=AH y Ar no cambia.

ωc=ω1/(ω20 − ω2

1)

ωr=ω2/(ω20 − ω2

2)

Consideraciones

La banda de rechazo por lo general es simetrica.

La banda de paso por lo general no es simetrica.

Se debe considerar la frecuencia de paso mas lejana (logarıtmo) dela frecuencia central.

Las ganancias de baja y alta frecuencia por lo general son iguales.




Discretizacion



Requerimientos


InversoCauer Bessel


Aproximación

derivadas

Transformada

Bilineal

Invarianza

Escalón

Invarianza

Impulso

Función de


Especificaciones

Diseño

Normalizado

Función de





Discretizacion

ButterworthChebyshevChebyshev InversoCauer o ElıpticoBessel

Diseno IIR





5 Discretizacion




Discretizacion


Seleccion de filtros analogos

Butterworth

Amplitud plana (sin ripple).

Banda de transicion amplia.

Requiere alto orden para alta selectividad.




Discretizacion



Butterworth




Discretizacion



Chebyshev

Ripple en la banda de paso.

Parametro adicional de diseno.

Banda de transicion estrecha.

Requiere bajo orden para alta selectividad.




Discretizacion



Chebyshev




Discretizacion



Chebyshev Inverso

Ripple en la banda de rechazo.


Banda de transicion estrecha.

Requiere bajo orden para alta selectividad.




Discretizacion



Chebyshev Inverso

FIGURE 7.2. Frequency responses of the four classical low-pass IIR filter approximations. (a) Butterworth; (b) Chebyshev; (c) inverse Chebyshev; (d) elliptic function.




Discretizacion



Cauer

Ripple en la banda de paso y en la de rechazo.


Banda de transicion muy estrecha.

Requiere mınimo orden para alta selectividad.




Discretizacion



Cauer

FIGURE 7.2. Frequency responses of the four classical low-pass IIR filter approximations. (a) Butterworth; (b) Chebyshev; (c) inverse Chebyshev; (d) elliptic function.




Discretizacion



Bessel

Amplitud muy plana.

No tienen oscilaciones en su respuesta impulso.

Banda de transicion muy amplia.

Requiere muy alto orden para alta selectividad.

Fase casi lineal en banda de paso




Discretizacion



Bessel




Discretizacion

ButterworthChebyshevChebyshev InversoElıptico o CauerBessel

Diseno IIR





5 Discretizacion




Discretizacion


Diseno de filtros analogos

Filtro Butterworth

Funcion de transferencia normalizada

H(s) =1∏n

k=1(s− pk)

Caracterısticas

Ganancia dc unitaria (0dB)

Frecuencia de corte (-3dB) unitaria




Discretizacion




0.1 10Frecuencia (rad/sec)

Amplitud (dB)

-40

-30

-20

-10

0

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitud

Frecuencia (rad/sec)

Representacion

Ganancia dB, frecuencia logarıtmica.

Ganancia real, frecuencia lineal.




Discretizacion



Orden de filtro Butterworth

n ≥ log(10(A0−Ar)/10 − 1)

2 log(ωr/ωc)

A0 : Ganancia DC en dB.

ωc : Frecuencia de corte (-3dB).

Ar : ganancia de la banda de rechazo en dB.

ωr : Frecuencia de la banda de rechazo.




Discretizacion



Calculo de polos en filtro Butterworth

pk = cos

(π

2k + n− 1

2n

)+ j sin

(π

2k + n− 1

2n

)

Importante

En un filtro Butterworth solo se requiere calcular el orden n paraobtener los polos normalizados.




Discretizacion



Localizacion de polos

Butterworth

n=10

Re

Im

1

-1

j

-j




Discretizacion



Filtro Chebyshev


H(s) =H0∏n

k=1(s− pk)donde :

H0 =

∏nk=1(−pk) n impar

10r/20∏nk=1(−pk) n par




Discretizacion



Ganancia DC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitud


Filtro Chebyshev

n=10 n=9




Discretizacion



Orden de filtro Chebyshev

n ≥cosh−1

(√1−G2

εG

)cosh−1(ωr/ωc)

conG = 10−

A0−Ar20

ε =√

10r10 − 1

r : Ripple en la banda de paso en dB.




Discretizacion



Polos de filto chebyshev

sk =

(γ−1 − γ

2R

)sin

(π

2k − 1

2n

)+ j

(γ−1 + γ

2R

)cos

(π

2k − 1

2n

)Donde

γ =

(1 +√

1 + ε2

ε

)1/n

R = cosh

(1

ncosh−1

(1

ε

))




Discretizacion



Localizacion de polos

Chebyshev

n=10

Re

Im

0.2-0.2

j

-j

r=0.1dB

r=0.5dB

r=1dB

r=2dB




Discretizacion



Parametros de diseno

Ao: Ganancia DC (dB)

Ar: Ganancia en la frecuencia de rechazo (dB)

ωc: frecuencia de corte (rad/sec)

ωr: frecuencia de rechazo (rad/sec)

r: ripple en la banda de rechazo (amplitud real)

Nota 1

Debido a la dependencia de la banda de rechazo y el ripple, sepuede asegurar un buen desempeno si se define

Ar = 20 log(r)




Discretizacion



Definiendo

G = 10−A0−Ar

20

ε =r√

1− r2

Orden del filtro

n ≥cosh−1

(√1−G2

εG

)cosh−1(ωr/ωc)




Discretizacion



Definiendo

γ =

(1 +√

1 + ε2

ε

)1/n

R = cosh

(1

ncosh−1

(1

ε

))

Angulos de cada polo/cero

φk =π

2

2k − 1

nk = 1..n




Discretizacion



Polos de filtro Chebyshev

pk =

(γ−1 − γ

2

)sin (φk) + j

(γ−1 + γ

2

)cos (φk)

Polos de filtro Chebyshev Inverso

pk =R

pk

Ceros de filtro Chebyshev Inverso

zk = jR sec (φk)




Discretizacion



Ganancia DC del filtro

H0 =

∏nk=1(−pk)∏nk=1(−zk)


H(s) = H0

∏nk=1(s− zk)∏nk=1(s− pk)




Discretizacion



Nota 2

Si el orden del filtro es impar existe un cero en infinito, por lo cualse recomienda eliminar este cero quedando

zk = jR sec (φk) k = 1..n− 1

H0 =

∏nk=1(−pk)∏n−1k=1(−zk)

H(s) = H0

∏n−1k=1(s− zk)∏nk=1(s− pk)




Discretizacion



Ripple en la banda de rechazo

0.1 10Frecuencia (rad/sec)

Amplitud (dB)

-40

-30

-20

-10

0

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitud





Discretizacion



Filtro Cauer


H(s) =H0

d

n∏k=1

s2 + aks2 + bks+ ck

donde

d =

s+ p0 n impar1 n par

y

H0 =

p0∏nk=1

ckak

n impar

10−Ap/10∏nk=1

ckak

n par




Discretizacion



Los coeficientes son

ak =1

X2k

bk =2p0Yk

1 + p20X2k

ck =(p0Yk)

2 + (XkW )2

(1 + p20X2k)2

Y se pone peor aun !!!Digital Filter Designer’s Handbook, C. Britton Rorabaugh




Discretizacion



Utilizacion de tablas




Discretizacion



Orden de filtro Cauer

n ≥ log(16D)

log(1/q)

con

D =10Ar/10 − 1

10Ap/10 − 1




Discretizacion



El coeficiente q se calcula como

q = u+ 2u5 + 15u9 + 150u13

con

u =1− (1− Ω2)1/4

2(1 + (1− Ω2)1/4

)y Ω = ωc/ωr.




Discretizacion



Filtro Bessel


H(s) =b0

qn(s)

donde

qn(s) =

n∑k=1

bksk

y

bk =(2n− k)!

2n−kk!(n− k)!




Discretizacion



Para calcular el polinomio se utiliza la siguiente tabla




Discretizacion



Requerimientos


InversoCauer Bessel


Aproximación

derivadas

Transformada

Bilineal

Invarianza

Escalón

Invarianza

Impulso

Función de


Especificaciones

Diseño

Normalizado

Función de





Discretizacion


Diseno IIR





5 Discretizacion




Discretizacion


Transformacion en frecuencia y amplitud

Diseno Normalizado

Filtro pasa bajo.

Frecuencia de corte unitaria.

Ganancia en banda de paso unitaria.




Discretizacion


Transformacion en frecuencia

Transformacion Pasa Bajos

Funcion normalizada en frecuencia

H(p) =1∏n

k=1(p− pk)


p =s

ωc

H(s) =ωnc∏n

k=1(s− ωcpk)




Discretizacion



-40

-30

-20

-10

0

10 10 102 3 4

Frecuencia

Magnitu dB

-60

-40

-20

0

Magnitu dB

0.01 0.1 1 10 100




Discretizacion



Transformacion Pasa Altos


H(p) =1∏n

k=1(p− pk)


p =ωcs

H(s) =sn∏n

k=1(ωc − pks)




Discretizacion



-40

-30

-20

-10

0

10 10 102 3 4

Frecuencia

Magnitu dB

-60

-40

-20

0

Magnitu dB

0.01 0.1 1 10 100




Discretizacion



Transformacion Pasa Banda


H(p) =1∏n

k=1(p− pk)


p =1

B

s2 + ω20

s

H(s) =Bnsn∏n

k=1(s2 −Bpks+ ω2

0)




Discretizacion



-40

-30

-20

-10

0

10 10 102 3 4

Frecuencia

Magnitu dB

-60

-40

-20

0

Magnitu dB

0.01 0.1 1 10 100




Discretizacion



Transformacion Elimina Banda


H(p) =1∏n

k=1(p− pk)


p = Bs

s2 + ω20

H(s) =(s2 + ω2

0)n∏nk=1(−pks2 +Bs− pkω2

0)




Discretizacion



-40

-30

-20

-10

0

10 10 102 3 4

Frecuencia

Magnitu dB

-60

-40

-20

0

Magnitu dB

0.01 0.1 1 10 100




Discretizacion



Requerimientos


InversoCauer Bessel


Aproximación

derivadas

Transformada

Bilineal

Invarianza

Escalón

Invarianza

Impulso

Función de


Especificaciones

Diseño

Normalizado

Función de





Discretizacion

Aproximacion derivadasTransformada bilinealInvarianza impulsoInvarianza escalon

Diseno IIR





5 Discretizacion




Discretizacion


Discretizacion

Metodos de discretizacion

Funcion de transferencia continua.

Filtro escalado en frecuencia y amplitud.

Es necesario transformarlo a una funcion de transferenciadiscreta.

No hay una transformacion unica.




Discretizacion


Discretizacion

Aproximacion de derivadas




Discretizacion


Discretizacion


Derivadas discretas - Metodo de Euler

dy(t)

dt

∣∣∣∣t=nT

=y(n)− y(n− 1)

T

Aplicando la transformada de Laplace y Z respectivamnente

sY (s) =1− z−1

TY (z)

por lo tanto

s ≈ 1− z−1

T




Discretizacion


Discretizacion


Derivada de segundo orden

dy2(t)

dt2

∣∣∣∣t=nT

=

(y(n)−y(n−1)

T

)−(y(n−1)−y(n−2)

T

)T

dy2(t)

dt2

∣∣∣∣t=nT

=y(n)− 2y(n− 1) + y(n− 2)

T 2

esta relacion es equivalente a

s2 =1− 2z−1 + z−2

T 2=

(1− z−1

T

)2




Discretizacion


Discretizacion

Aproximacion de derivadas de orden n

sn =

(1− z−1

T

)n




Discretizacion


Discretizacion


Mapeo del plano s en z

z =1

1− sT

si se define s = jΩ (eje imaginario σ = 0), se tiene

z =1

1 + Ω2T 2+ j

ΩT

1 + Ω2T 2




Discretizacion


Discretizacion





Discretizacion


Discretizacion


Mapeo estable: todos los polos del semiplano izquierdo semapean dentro del cırculo unitario.

Restringe el posicionamiento de polos: Todo el semiplanoizquierdo se mapea solo en una porcion del cırculo unitario.

Es posible mejorar el desempeno utilizando aproximaciones demayor orden: Heun, Bogacki-Shanpine, Runge-Kutta,Dormand-Prince, etc.




Discretizacion


Discretizacion

Transformada Bilineal

Definicion de variable discreta

z = esT

Utilizando una aproximacion por serie de Taylor

z =esT/2

e−sT/2=

1 + sT/2 + s2T 2/4 + s3T 3/8 + · · ·1− sT/2 + s2T 2/4− s3T 3/8 + · · ·

z ≈ 1 + sT/2

1− sT/2




Discretizacion


Discretizacion


s =2

T

z − 1

z + 1




Discretizacion


Discretizacion

Mapeo de polos

z =1 + sT/2

1− sT/2=

1 + jΩT/2

1− jΩT/2

z =1− Ω2T 2/4

1 + Ω2T 2/4+ j

ΩT

1 + Ω2T 2/4




Discretizacion


Discretizacion

MApeo de polos




Discretizacion


Discretizacion


Mapeo estable: todos los polos del semiplano izquierdo semapean dentro del cırculo unitario.

No restringe el posicionamiento de polos.

Igual orden en el denominador y en el numerador.




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza al impulso




Discretizacion


Discretizacion


Funcion de transferencia General

H(s) = H0

∏mk=1(s+ zk)∏nk=1(s+ sk)

Se escribe en forma de fracciones parciales

H(s) =

n∑k=1

Kk

s+ sk




Discretizacion


Discretizacion


Respuesta al impulso

h(t) =n∑k=1

KkeskT

Muestreando cada T segundos

h(n) =N∑k=1

KkesknT =

N∑k=1

Kk

(eskT

)n




Discretizacion


Discretizacion


Funcion de transferencia discreta del filtro

H(z) =

∞∑n=0

h(n)z−n

Reemplazando

H(z) =

∞∑n=0

N∑k=1

Kk

(eskT

)nz−n =

N∑k=1

Kk

∞∑n=0

(eskT z−1

)n




Discretizacion


Discretizacion


Utilizando la propiedad

∞∑n=0

an =1

1− asi a < 1

Se tiene finalmente

H(z) =N∑k=1

Kkz

z − eskT




Discretizacion


Discretizacion


La funcion de transferencia discreta tiene el mismo orden quela funcion de transferencia continua.

Es estable si el filtro analogo es estable.

Las propiedades de este filtro dependen de la entrada.

La respuesta escalon discreta no es la respuesta escaloncontinua muestreada




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon

Funcion de transferencia general agregando un escalon

H(s) = H0

∏mk=1(s+ zk)∏nk=1(s+ sk)

1

s

Se escribe en forma de fracciones parciales

H(s) =

n∑k=1

Kk

s+ sk




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon

Respuesta al impulso

h(t) =

n∑k=1

KkeskT

Muestreando cada T segundos

h(n) =

N∑k=1

KkesknT =

N∑k=1

Kk

(eskT

)n




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon

Funcion de transferencia discreta del filtro

H(z) =

∞∑n=0

h(n)z−n

Reemplazando

H(z) =

N∑k=1

Kkz

z − eskT




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon

Multiplicando por el inverso del escalon

H(z) =

N∑k=1

Kkz

z − eskTz − 1

z

Finalmente

H(z) =

N∑k=1

Kkz − 1

z − eskT




Discretizacion


Discretizacion

Invarianza escalon

La funcion de transferencia discreta tiene el mismo orden quela funcion de transferencia continua.

Es estable si el filtro analogo es estable.

Las propiedades de este filtro dependen de la entrada.

La respuesta escalon discreta es la respuesta escalon continuamuestreada


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