seminario de matemático "superficies de guimard"

UNIVERSIDAD NACIONAL

“PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA

SEMINARIOS DE MATEMATICA APLICADA

“Sinusoides Cilındricas y las Superficies deGuimard”

Presentado por:

Morales Tineo Nolbert Yonel

LAMBAYEQUE − PERU

2013

1

Agradecimiento

Al finalizar el presente seminario debo agradecer

a nuestros profesores de la Escuela Profesional de

Matematica en especial a mi asesora Dra. Ortiz

Basauri Gloria quien con mucha paciencia acepto

mis errores, criticas, dando a cambio su tiempo,

sus conocimientos y sobre todo su experiencia que

servirıa para lograr el exito personal, profesional y

social.

Reiterar mi agradecimiento a quienes sin su ayuda

hubiera sido imposible concretar este trabajo:

Al divino hacedor y a mis padres.

Al primero por iluminar mi mente y a los segundos

por su incondicional apoyo.

Dedicatoria

Dedico el presente seminario: A Dios por ser principio

de todo.

A mis Padres cuyos consejos y apoyo constante en

mi formacion personal, profesional, y social, me per-

miten actuar con transparencia y justicia.

A mis hermanos que por su apoyo me permitieron

culminar del presente seminario.

Indice general

Introduccion III

1. PRELIMINARES 1

1.1. Sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Perıodo (T ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Amplitud (A) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4. Fase inicial (ϕ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.5. Sinusoide y cosinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Teoria de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Superficie Parametrizada Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Plano Tangente y Vector Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3. Primera Forma Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4. Segunda Forma Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.5. Curvatura Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.6. Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Media . . . . 9

1.2.7. Clasificacion de Puntos de una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas. . . . . . . . . . . 10

2. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DEGUIMARD 13

2.1. Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Superficie Parametrizada Regular de Guimard . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard . . . . . 16

2.1.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard . . . . . . . . 17

2.1.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard . . . . . . . . 18

2.1.5. Curvatura Normal de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.6. Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Curvatura de

Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . . 19

2.1.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la Superficie

de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Superficie Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I

2.2.1. Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard . . . . . . 22

2.2.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generalizada de

Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de Guimard 26

2.2.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de Guimard 27

2.2.5. Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard . . . . . 28

2.2.6. Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard; Cur-

vatura de Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard . . . 28

2.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la Superficie

Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA 32

3.1. Aplicacion en la Arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Conclusiones 37

Appendices 39

A. Hector Guimard 40

Bibliografia y Webgrafia 43

II

Introduccion

Haciendo un recuento de las cosas que siempre han atraıdo de la geometrıa, se viene a la

mente su capacidad unificadora de distintas disciplinas, como la construccion, las estructuras,

la acustica y por supuesto el arte. Esta ultima, es quizas, una de las labores que mas tienen

presente los ingenieros y arquitectos, y para ello han de tener en cuenta las leyes geometricas

de sus proyectos para hacerlos estables, utiles y bellos.

Dadas muchas razones se puede asegurar que la Geometrıa, y mas generalmente la Matematica,

ha estado presente en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesi-

dad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar

o mantenerse alejado de sus enemigos, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o

montando tiendas, y siente ademas la necesidad de construir lugares especiales para enterrar

y venerar a los muertos o adorar a los dioses. Es por eso que parece evidente para cualquiera

que siendo la forma y la estructura tan importantes en el diseno de las obras arquitectonicas,

la Geometrıa y las Matematicas sean una parte fundamental de la Arquitectura.

Ademas desde hace tiempo se viene detectando la aparicion de formas poco justificadas en la

arquitectura contemporanea, en este sentido se estan alzando voces de reconocido prestigio,

que argumentan a favor de una aplicacion de la geometrıa en los disenos que racionalice el

proceso de diseno. Este trabajo de investigacion, pretende dar a conocer el uso y aplicaciones

de una familia de superficies geometrıas que podrıan ser utiles para desarrollo del patrimonio

arquitectonico e ingenieril.

Se comenzara estudiando una superficie en especial llamada Superficie de Guimard, para luego

generalizarla a partir de la variacion de un parametro n, en donde se analizara sus principales

caracterısticas. Una vez desarrolladas las superficies, se procede a estudiar la aplicacion que

de las mismas en el patrimonio arquitectonico, mostrando algunos ejemplos relevantes de su

proyeccion internacional, o por la innovadora aportacion que supone su realizacion.

Las invenciones de muchos grandes arquitectos estan implıcitamente reguladas por la ge-

ometrıa, pero en las obras de algunos de ellos el predominio de esta es muy explıcito y

notorio. La Geometrıa Diferencial ademas de facilita la comprension de algunos elementos de

la arquitectura, permite no solo entenderlos y analizarlos sino tambien poder generalizarlos,

estableciendo modelos que pueden ser utilizados como nuevos objetos arquitectonicos.

Este trabajo permitira estudiar una familia de superficies a partir de la generalizacion de la

Superficies de Guimard, analizando las caracterısticas y propiedades de dichas superficies,

las cuales tendran un uso aplicativo en la rama de la arquitectura.

III

Capıtulo 1

PRELIMINARES

1.1. Sinusoide

Definicion 1.1. En matematicas, se llama sinusoide la curva que representa graficamente

la funcion seno y tambien a dicha funcion en sı.

1.1.1. Caracterısticas

La sinusoide puede ser descrita por las siguientes expresiones matematicas:

y(x) = A sen(x+ ϕ)

y(x) = A sen(ωx+ ϕ)

y(x) = A sen( 2πT x+ ϕ)

La forma representada es:

1

�� 2 PRELIMINARES

donde

A es la amplitud de oscilacion.

ω es la velocidad angular; ω = 2πf .

T es el perıodo de oscilacion; T = 1f

f es la frecuencia de oscilacion.

ωx+ ϕ es la fase de oscilacion.

ϕ es la fase inicial.

1.1.2. Perıodo (T ) en una sinusoide

Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de

la funcion; en este sentido toda funcion de una variable que repite sus valores en un ciclo

completo es una funcion periodica, seno o no sinusoidal. En las graficas de las funciones

seno-coseno, secante-cosecante el perıodo es 2π, mientras que para la tangente y cotangente

el perıodo es π .

1.1.3. Amplitud (A) en una sinusoide

Es el maximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el eje x.

1.1.4. Fase inicial (ϕ) en una sinusoide

La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen

la misma frecuencia e igual fase, se dice que estan en fase. Si dos sinusoides tienen la misma

frecuencia y distinta fase, se dice que estan en desfase, y una de las sinusoides esta adelantada

o atrasada con respecto de la otra. Carece de sentido comparar la fase de dos sinusoides con

distinta frecuencia, puesto que estas entran en fase y en desfase periodicamente.

2


1.1.5. Sinusoide y cosinusoide

Observese que la cosinusoide (coseno), o cualquier combinacion lineal de seno y coseno con

la misma frecuencia, se pueden transformar en una sinusoide y viceversa, ya que:

A sen(ωx+ ϕ) = M sen(ωx) + cos(ωx)

siendo

A2 = M2 +N2.

ϕ = arctan(NM ).

1.2. Teoria de Superficies

En este capıtulo se mencionara las propiedades geometricas de superficies en un espacio

euclidiano R3. Se introducira un concepto de superficie parametrizada. De igual manera

asumiremos que tenemos un sistema de coordenadas cartesianas x, y, z en R3 y se consider-

ara la funcion

S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de dos variables u, v que varıan en un conjunto abierto U ⊂ R2. Para cada (u, v) ∈ U , S(u, v)

determina un punto en R3. Se denotara por S a un subconjunto de R3 formado por los

puntos S(u, v). A fin de poder utilizar las tecnicas del calculo diferencial en el estudio de las

superficies se exigira la diferenciabilidad de la funcion S(u, v)

1.2.1. Superficie Parametrizada Regular

Definicion 1.2. Una superficie parametrizada regular es una aplicacion S : U ⊂ R2 → R3

, donde U es un abierto de R2 , tal que

1. S es diferenciable de clase C∞.

2. Para todo q = (u, v) ∈ U a diferenciable la diferencial de S en q, dSq : R2 → R3, es

inyectiva.

Las variables u, v son los parametros de la superficie. Un subconjunto S de R3 obtenido de

la imagen de la aplicacion S(u, v), es denominado traza de S(u, v).

Observacion 1.

1. La aplicacion S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es diferenciable de clase C∞ cuando

las funciones x, y, z tienen derivadas parciales de todos los ordenes continuas.

2. La condicion 2. de la definicion anterior garantizara la existencia de un plano tan-

gente en cada punto de la superficie. Existen otras formas equivalentes de expresar esta

condicion. Sean e1, e2 bases canonıcas de R2 y e1, e2, e3 una base canonıca de R3.

3


Para cada q = (u0, v0) ∈ U se sabe que la matriz asociada a dSq en las bases canonıcas

es la matriz Jacobiana

J(u0, v0) =

∂x∂u (u0, v0) ∂x

∂v (u0, v0)

∂y∂u (u0, v0) ∂y

∂v (u0, v0)

∂z∂u (u0, v0) ∂z

∂v (u0, v0)

porque

dSq(e1) = (∂x

∂u(u0, v0),

∂y

∂u(u0, v0),

∂z

∂u(u0, v0))

dSq(e2) = (∂x

∂v(u0, v0),

∂y

∂v(u0, v0),

∂z

∂v(u0, v0))

Denotando estos dos vectores por Su(u0, v0) y Sv(u0, v0) respectivamente, observamos

que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) dSq es inyectiva.

b) La matriz J(u0, v0) tiene rango 2.

c) Los vectores Su(u0, v0), Sv(u0, v0) son linealmente independientes.

d) Su(u0, v0)× Sv(u0, v0) 6= 0

Si S : U ⊂ R2 → R3 es una superficie parametrizada, entonces fijado (u0, v0) ∈ U , las

superficies

u −→ S(u, v0)

y

v −→ S(u0, v)

son llamadas curvas coordenadas de S en (u0, v0). Los vectores Su(u0, v0) y Sv(u0, v0)

son los vectores tangentes a las curvas coordenadas

1.2.2. Plano Tangente y Vector Normal

Sea S(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 una superficie parametrizada regular. Si se considera u y v

como funciones diferenciables de una parametro t, t ∈ R, obtenemos una curva diferenciable

α(t) = S(u(t), v(t)) cuya traza esta contenida en la superficie descrita por S. Se dice que

α es una curva de superficie. Definamos un vector tangente a la superficie como un vector

tangente a una curva de la superficie. Mas precisamente

Definicion 1.3. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular, decimos que un vector

w de R3 es un vector tangente a S en q(u0, v0) si w = α′(t0), donde α(t) = S(u(t), v(t)) es

una curva de superficie, tal que (u(t0), v(t0)) = (u0, v0).

4


Los vectores Su(u0, v0) y Sv(u0, v0) son vectores tangentes a S en (u0, v0), puesto que son

tangentes a las curvas coordenadas de S.

Definicion 1.4. Un plano tangente a S en (u0, v0) es un conjunto de todos los vectores

tangentes a S en (u0, v0), que denotamos por TqS donde q = (u0, v0).

Observamos que los conceptos de vector tangente y plano tangente son definidos en un punto

(u0, v0) del dominio de S y no en un punto p = S(u0, v0), ya que la superficie S puede tener

auto interseccion.

A continuacion se vera que un plano tangente TqS es un plano de R3 generado por Su(q) y

Sv(q).

Proposicion 1.1. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0, v0). Entonces

TqS es un conjunto de vectores obtenidos como combinacion lineal de Su(q) y Sv(q).

Demostracion.- Si w ∈ TqS, entonces w = α′(t0) donde α(t) = S(u(t), v(t)) y (u(t0), v(t0)) =

(u0, v0). Por lo tanto

w = α′(t0) = ddt (S(u(t), v(t)))|t=t0

w = Su(u0, v0)u′(t0) + Sv(u0, v0)v′(t0)

es decir, w es una combinacion lineal de los vectores Su y Sv en (u0, v0)

Recıprocamente, suponemos que

w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0)

entonces existe una curva α(t) de superficie, tal que (u′(0), v′(0)) = (u0, v0) y α′(0) = w. De

hecho, basta considerar

α(t) = S(u(t), v(t))

donde u(t) = u0 + at y v(t) = v0 + bt.

Definicion 1.5. Si S(u, v) es una superficie y q = (u0, v0), decimos que un vector de R3 es

normal a S en q es ortogonal a TqS, es decir, es ortogonal a todos los vectores tangentes a

S en q.

Dado un plano tangente TqS, existe una unica direccion normal a este plano y por lo tanto

existen exactamente dos vectores unitarios normales a S en q. En lo sucesivo, se fijara un

vector unitario normal a S en q, como el vector

N(q) =Su × Sv|Su × Sv|

(q)

Si el dominio de la superficie S es un abierto U ⊂ R2 entonces, variando (u, v) ∈ U tenemos

una aplicacion diferenciable N : U → R3 denominada aplicacion normal de Gauss, definida

por

N(u, v) =Su × Sv|Su × Sv|

(u, v)

cuya imagen esta contenida en la esfera unitaria, centrada en el origen.

5


1.2.3. Primera Forma Cuadratica

Para desenvolver la teorıa local de superficies se introducira dos formas cuadraticas. La

primera que se vera esta relacionada con el comportamiento de las curvas en una superfi-

cie, angulo entre vectores tangentes y el area de regiones de superficie. La segunda que se

vera esta relacionada con curvaturas de las curvas de superficie.

Definicion 1.6. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular, ∀ q ∈ U la

aplicacion

Iq : TqS −→ R

w −→ Iq(w) = < w,w > = |w|2

se denomina primera forma cuadratica de S en q

Consideremos una superficie dada por S(u, v) y un punto q = (u0, v0). Entonces un vector

w ∈ TqS de la forma

w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0)

, donde a, b ∈ R. Por lo tanto

Iq(w) = a2 < Su, Su > (u0, v0) + 2ab < Su, Sv > (u0, v0) + b < Sv, Sv > (u0, v0)

Usando la notacionE(u0, v0) = < Su, Su > (u0, v0)

F (u0, v0) = < Su, Sv > (u0, v0)

G(u0, v0) = < Sv, Sv > (u0, v0)

por consiguiente

Iq(w) = a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + bG(u0, v0)

Variando (u, v) tenemos funciones E(u0, v0), F (u0, v0), y G(u0, v0) diferenciables, que son

denominadas coeficientes de la primera forma cuadratica. Las funciones E, f y G satisfacen

las siguientes propiedades:

1. E(u0, v0) > 0 y G(u0, v0) > 0 para todo (u, v), puesto que los vectores Su y Sv son

no nulos.

2. E(u0, v0)G(u0, v0)− F 2(u0, v0) > 0. En efecto, como

|Su × Sv|2+ < Su, Sv >2= |Su|2|Sv|2

tenemos que

EG− F 2 = |Su|2|Sv|2− < Su, Sv >2= |Su × Sv|2 > 0

Ademas si w1 y w2 son vectores no nulos tangentes a S en q = (u, v), entonces el angulo

0 ≤ θ ≤ π formado por w1 y w2 esta dado por

cos θ =< w1, w2 >

|w1||w2|

6


Para expresar cos θ en terminos de la primera forma cuadratica, observamos que w1 +w2 es

un vector tangente a S en q y

< w1 + w2, w1 + w2 >= |w1|2 + 2 < w1, w2 > +|w2|2

. por lo tanto

cos θ =Iq(w1 + w2)− Iq(w1)− Iq(w2)

2√Iq(w1)Iq(w2)

Si dos curvas de superficie α(t) = S(u(t), v(t)) y β(t) = S(u(r), v(r)) son tal que (u(t0), v(t0)) =

(u(r0), v(r0)), entonces el angulo θ con el que las curvas se interceptan esta dado por

cos θ =< α′(t0), β′(t0) >

|α′(t0)||β′(t0)|

En particular, el angulo formado por las curvas coordenadas de S(u, v) en (u0, v0) esta dado

por

cos θ =< w1, w2 >

|w1||w2|=

F (u0, v0)√E(u0, v0)G(u0, v0)

Donde concluimos que las curvas coordenadas de una superficie S(u, v) se interceptan ortog-

onalmente , si y solo si, F (u, v) = 0 para todo (u, v).

Definicion 1.7. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y D ⊂ U una

region de R2, tal que S restringida al interior de D es inyectiva. El area de la region S(D)

esta dada por

An(S(D)) =∫ ∫

D

√EnGn − Fn2dudv

donde E,F,G son los coeficientes de la primera forma cuadratica de S

1.2.4. Segunda Forma Cuadratica

El estudio de las propiedades geometricas locales de una superficie regular depende de dos

formas cuadraticas, de las cuales ya se definio la primera. A continuacion se introducira la

segunda forma cuadratica y se vera que esta relacionada con el estudio de las curvaturas de

curvas de superficie

Definicion 1.8. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular. Fijando

q = (u0, v0) ∈ U , la segunda forma cuadratica de S en q es una aplicacion IIq : TqS → R,

que para cada vector w ∈ TqS asocia IIq(w) de la siguiente forma: si α(t) = S(u(t), v(t))

es una curva diferenciable de superficie, tal que (u(t0), v(t0)) = q y α′(t0) = w, entonces

definimos IIq(w) =< α′′(t0), N(u0, v0) >, donde N es el vector normal a S.

Se verificara que IIq(w) no depende de la curva escogida. Sea w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0),

consideremos la curva α(t) = S(u(t), v(t)) tal que (u(t0), v(t0)) = q y α′(t0) = w, esto decir

(u(t0), v(t0)) = (u0, v0) ; (u′(t0), v′(t0)) = (a, b).

Como

α′(t) = u′(t)Su(u(t), v(t)) + v′(t)Sv(u(t), v(t))

7


y

α′′(t) = u′′(t)Su(u(t), v(t)) + (u′(t))2Suu(u(t), v(t)) + 2u′(t)v′(t)Suv(u(t), v(t))+

+(v′(t))2Svv(u(t), v(t)) + v′′(t)Sv(u(t), v(t))

tenemos que

IIq(w) = < α′′(t0), N(u0, v0) >

= a2 < Suu, N > (u0, v0) + 2ab < Suv, N > (u0, v0) + b2 < Svv, N > (u0, v0)

donde la ultima expresion no depende de la curva α.

usando la notacione(u0, v0) = < Suu, N > (u0, v0),

f(u0, v0) = < Suv, N > (u0, v0),

g(u0, v0) = < Svv, N > (u0, v0)

se tiene que

IIq(W ) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0) + b2g(u0, v0)

.

Variando (u, v) tenemos funciones diferenciables e(u0, v0), f(u0, v0), g(u0, v0), que son denom-

inadas coeficientes de la segunda forma cuadratica de la superficie parametrizada S.

1.2.5. Curvatura Normal

Definicion 1.9. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0, v0). Una funcion

curvatura normal en q es una aplicacion kn : TqS − 0 → R que para cada vector w ∈ TqSno nulo, le asocia

kn(w) =IIq(w)Iq(w)

Observacion 2. Sea w ∈ TqS, w 6= 0, entonces kn(λw) = kn(w) para todo numero real

λ 6= 0. En efecto, sea w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0) donde (a, b) 6= (0, 0). Denotamos por

e0, f0, g0 a los coeficientes de la segunda forma cuadratica en (u0, v0), tenemos

kn(λw) =IIq(λw)Iq(λw) = λ2a2e0+2λ2abf0+λ

2b2g0λ2<w,w>

kn(λw) = a2e0+abf0+b2g0

<w,w> =IIq(w)Iq(w)

kn(λw) = kn(w)

Como consecuencia de este hecho, podemos hablar en la curvatura normal en q de acuerdo

con una direccion tangente a la superficie.

8


1.2.6. Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Me-

dia

Se llamara a w1 y w2 vectores principales de S en q = (u0, v0), si k1 = kn(w1) y

k2 = kn(w2) son los valores mınimos y maximos respectivamente de la funcion kn, ademas

k1 y k2 son denominados curvaturas principales de S. Las direcciones de TqS determinadas

por los vectores principales son llamadas direcciones principales.

El producto de las curvaturas principales K(q) = k1k2, se denomina Curvatura Gaussiana

de S en q y la semisuma de k1 y k2, H(q) = k1+k22 es llamada Curvatura Media de S en q.

Proposicion 1.2. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Si q = (u0, v0) entonces

H(q) = 12e0g0−2f0F0+E0g0

E0G0−F 20

K(q) =e0g0−f2

0

E0G0−f20

Demostracion.- Sea un numero real k0 y una curvatura principal en q, en direccion de w =

a0Su(q) + b0Sv(v), entonces

(e0 − k0E0)a0 + (f0 − k0F0)b0 = 0

(f0 − k0F0)a0 + (g0 − k0G0)b0 = 0

De hecho, como k0 es un valor mınimo o maximo de la funcion

a2e0+2abf0+b2g0

a2E0+2abF0+b2G0; (a, b) ∈ R2 − {(0, 0)}

en (a0, b0), calculando las derivadas parciales en (a0, b0) obtenemos el sistema de ecuaciones

de arriba.

Siguiendo del hecho que (a0, b0) es una solucion no trivial del sistema, el siguiente determi-

nante ∣∣∣∣∣ e0 − k0E0 f0 − k0F0

f0 − k0F0 g0 − k0G0

∣∣∣∣∣ = 0

es decir, k0 satisface la ecuacion

x2 − e0G0 − 2f0F0 + E0g0E0G0 − F 2

0

x+e0g0 − f20E0G0 − F 2

0

= 0

Por la relacion entre los coeficientes de una ecuacion de segundo grado y las raıces de la

ecuacion concluimos que

H(q) = 12e0g0−2f0F0+E0g0

E0G0−F 20

K(q) =e0g0−f2

0

E0G0−f20

�

De entre las superficies de R3 destacan lasque tienen curvatura Gaussiana constante, y las

que tienen curvatura media nula. Una superficie que tiene una curvatura media identicamente

nula es denominada Superficie Mınima. Decimos que una superficie tiene curvatura Gaussiana

constante si la funcion K es contante.

9


1.2.7. Clasificacion de Puntos de una Superficie

Definicion 1.10. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Se dira que q = (u, v) es

un punto

1. eliptico si K(q) > 0;

2. hiperbolico si K(q) < 0

3. parabolico si K(q) = 0 y H(q) 6= 0

4. planar si K(q) = 0 y H(q) = 0

1.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas.

Si S(u, v), (u, v) ∈ U , es una superficie parametrizada regular de R3 , u y v son funciones

diferenciables de un parametro t, t ∈ R, entonces una curva diferenciable α(t) = S(u(t), v(t))

es una curva de superficie S. Si α es regular diremos que α es una curva parametrizada regular

de superficie. De entre las diversas curvas regulares de una superficie, se presentara tres tipos

de curvas que merecen un estudie especial. Estas son las llamadas Lıneas de Curvatura,

Lıneas Asintoticas, Geodesicas.

Definicion 1.11. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Una curva regular α(t) =

S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una Lıneas de Curvatura de la superficie S, si para todo t ∈ I el

vector α′(t) es una direccion principal de S en (u(t), v(t)).

A continuacion vamos a obtener las ecuaciones diferenciales que permitiran determinar las

lıneas de curvatura de una superficie.

Proposicion 1.3. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de superficie

parametrizada regular S(u, v). Entonces α es una lınea de curvatura de S, si y solo si,

u(t) y v(t) satisfacen ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(v′)2 −u′v′ (u′)2

E F G

e f g

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

donde E, F, G, e, f, g son los coeficientes de la primera y segunda forma cuadratica de S

en (u(t), v(t)).

Demostracion.- Sabiendo que el vector no nulo

α′(t) = u′(t)Su(u(t), v(t)), v(t) + v′(t)Sv(u(t), v(t))

es una direccion principal, si y solo si

(e− kn(α′(t))E)u′(t) + (f − kn(α′(t))F )v′(t) = 0

(f − kn(α′(t))F )u′(t) + (g − kn(α′(t))G)v′(t) = 0

10


donde los coeficientes de las formas cuadraticas estan siendo considerados en (u(t), v(t)).

Eliminando kn(α′(t)) en las ecuaciones de arriba, obtenemos que α es una lınea de curvatura,

si y solo si, las funciones u(t) y v(t) satisfacen∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(v′)2 −u′v′ (u′)2

E F G

e f g

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

�

Definicion 1.12. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto

de U . Una direccion tangente a S en q, para el cual la curvatura normal se anula, es llamada

direccion asintotica de S en q.

Podemos determinar las cantidades de direcciones asintoticas de q en terminos de la curvatura

Gaussiana y la curvatura Media en q.

Proposicion 1.4. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto

de U

1. Se q es un punto elıptico, entonces no existen direcciones asintoticas en q.

2. Se q es un punto hiperbolico, entonces existen exactamente dos direcciones asintoticas

en q.

3. Se q es un punto parabolico, entonces existe exactamente una unica direcciones asintoticas

en q, que tambien es principal.

4. Se q es un punto planar, entonces todas las direcciones son asintoticas en q.

Demostracion.- Todos los casos son derivados de la formula de Euler, que dice

kn(w) = k1 cos2 θ + k2 sen2 θ,

donde k1 y k2 son las curvaturas principales en q, w = w1 cos2 θ + w2 sen2 θ es un vector

unitario tangente en q y w1,w2 son los vectores principales. Las direccion asintotica son

determinadas por los valores de θ que anulan de expresion de arriba a kn(w).

1. Si K(q) > 0, entonces k1 y k2 tienen el mismo signo por tanto kn(q) 6= 0, ∀ w 6= 0.

2. Si K(q) < 0, entonces k1 y k2 tienen signos opuestos. por lo tanto podemos resolver

las ecuaciones en θ, k1 cos2 θ + k2 sen2 θ = 0 obteniendo las dos direcciones asintoticas.

3. Si q es parabolico, supongamos que k1 = 0 y k2 6= 0. Resolviendo la ecuacion k2 sen2 θ =

0 obtenemos una direccion asintotica determinada por el vector principal w1.

4. Si q es planar, entonces k1 = k2 = 0. Por lo tanto, para w 6= 0, kn(w) = 0

11


�


S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una lınea asintotica de S, si para todo t ∈ I, α′(t) es una direccion

asintotica de S en (u(t), v(t)).

Ejemplo 1. 1. Siguiendo del item 4 de la proposicion anterior, toda curva regular de un

plano es una lınea de asintotica.

2. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular y α(t) = S(u(t), v(t)) es una recta,

entonces α es una lınea asintotica de S.

A continuacion vamos a obtener las lıneas asintoticas de una superficie.

Proposicion 1.5. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de una superficie

S(u, v). Entonces α es una lınea de curvatura de S, si y solo si, las funciones u(t), v(t)

satisfacen la siguiente ecuacion

e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0

donde e, f, g son los coeficientes de la segunda forma cuadratica de S en (u(t), v(t)).

Demostracion.- Se desprende de esta definicion que α es una lınea asintotica de S cuando

kn(α′(t)) = 0, para todo t, es decir, las funciones u(t) y v(t) satisfacen

e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0

�


S(u(t), v(t)) es una geodesica de la superficie S si , para todo t ∈ I, α′′(t) es un vector normal

a S en (u(t), v(t)).

12

Capıtulo 2

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE

GUIMARD

2.1. Superficie de Guimard

Definicion 2.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 y q > r, ademas el conjunto

U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1]. La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada por los segmentos de

rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos lo puntos extremos, con

la sinusoide cilındrica ζ(u) = (p cosu, q senu, h2 (1− cosu)) menos dos puntos, definida por

S(u, v) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h

2v(1− cosu))

13

�� 14 DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD

se llama ”Superficie de Guimard”.

2.1.1. Superficie Parametrizada Regular de Guimard

Las curvas coordenadas de la Superficie de Guimard en el punto d = (u0, v0) son

S(u0, v) = (r cosu0 + (p− r)v cosu0, qv cosu0,h2 v(1− cosu0))

S(u, v0) = (r cosu+ (p− r)v0 cosu, qv0 cosu, h2 v0(1− cosu))

14


Ahora para empezar a analizar esta superficie, se empezara tomando la siguiente notacion

S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), donde:

x(u, v) = r cosu+ (p− r)v cosu

y(u, v) = qv cosu

z(u, v) = h2 v(1− cosu))

por lo tanto∂x∂u = −(r + (p− r)v) senu ∂x

∂v = (p− r) cosu

∂y∂u = qv cosu ∂y

∂v = q senu

∂z∂u = h

2 v senu ∂z∂v = h

2 (1− cosu)

con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:

J(u, v) =

−(r + (p− r)v) senu (p− r) cosu

qv cosu q senu

h2 v senu h

2 (1− cosu)

donde la matriz J(u, v) tiene rango 2, pues se puede encontrar una sub matrices de 2× 2 tal

que det[ ] 6= 0, por ejemplo

det

qv cosu q senu

h2 v senu h

2 (1− cosu)

= qv cosuh2 (1− cosu)− h2 qv sen2 u

= qv h2 cosu− qv h2 cos2 u− h2 qv sen2 u

= h2 qv cosu− qv h2

= h2 qv[cosu− 1]

6= 0⇐⇒ v 6= 0

15


y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2× 2

det


qv cosu q senu

= −q(r + (p− r)v) sen2 u− qv(p− r) cos2 u

= −qv(p− r) sen2 u− qv(p− r) cos2 u− qr sen2 u

= −qv(p− r)− qr sen2 u

= −q[v(p− r) + r sen2 u]

= −qr sen2 u; si v = 0

6= 0

por lo tanto la superficie es regular.

2.1.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard

Luego para calcular el plano tangente en el punto d = (u0, v0) obtenemos los siguientes

resultados

Su =(∂x∂u ,

∂y∂u ,

∂z∂u

)=

(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu, h2 v senu

)Sv =

(∂x∂v ,

∂y∂v ,

∂z∂v

)=

((p− r) cosu, q senu, h2 (1− cosu)

)por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0, v0) es el que esta generado por {Su, Sv}.Entonces si w ∈ TdS, entonces

w = aSu(u0, v0) + bSv(u0, v0) : a, b ∈ R

Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S en el punto d = (u0, v0),

dicho vector se escribe de la siguiente forma

N(u0, v0) = Su×Sv

|Su×Sv|

N(u0, v0) =(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,

h2 v senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,

h2 (1−cosu0)

|(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,h2 v0 senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,

h2 (1−cosu0)|

N(u0, v0) =(−hqv0 sen2(

u02 ),−h

2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0))

|(−hqv0 sen2(u02 ),−h

2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u))|

En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0, v0) esta dado por

N(u0, v0) =(−hqv0 sen2(

u02 ),−h

2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0),−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0))√[−hqv0 sen2(

u02 )]2+[−h

2 (r(−1+v0)−pv0+r cos(u0)) sen(u0)]2+[−qv0(p−r) cos2(u0)+q(r(−1+v0)−pv0) sen2(u0)]2

16


2.1.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard

A continuacion se calculara la primera forma cuadratica de la superficie en el punto d =

(u0, v0). Para ello se determinaran sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente

forma:

E(u0, v0) = < Su, Su > (u0, v0)

=

⟨(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,

h

2v senu

),

(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,

h

2v senu

)⟩(u0, v0)

E(u0, v0) = qv02 cos2 u0 + 1

4h2v0

2 sen2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0

F (u0, v0) = < Su, Sv > (u0, v0)

=


h

2v senu

),

((p− r) cosu, q senu,

h

2(1− cosu)

)⟩(u0, v0)

F (u0, v0) = 14 [−h2v0(−1 + cosu0) + 4q2v0 cosu0 − 4(p− r)(r + (p− r)v0) cosu0] senu0

G(u0, v0) = < Sv, Sv > (u0, v0)

=

⟨((p− r) cosu, q senu,

h

2(1− cosu)

),


h

2(1− cosu)

)⟩(u0, v0)

G(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + q2 sen2 u0 + h2

4 (1− cosu0)2

Con lo cual la Primera forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma

Id(w) = a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + b2G(u0, v0)

donde

E(u0, v0) = qv02 cos2 u0 + 1

4h2v0

2 sen2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0

F (u0, v0) = 14 [−h2v0(−1 + cosu0) + 4q2v0 cosu0 − 4(p− r)(r + (p− r)v0) cosu0]

G(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + q2 sen2 u0 + h2

4 (1− cosu0)2

Ademas el angulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:

cos θ =< Su, Sv >

|Su||Sv|=

F (u0, v0)√E(u0, v0)G(u0, v0)

Ademas el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante

A(S(D)) =∫ ∫

D

√EG− F 2dudv

17


2.1.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie de Guimard

A continuacion se calculara la segunda forma cuadratica de la superficie en el punto d =

(u0, v0). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo sigu-

iente:

Suu = ∂2S∂u2 = (−(r + (p− r)v) cosu,−qv senu, hv2 cosu)

Suv = ∂2S∂u∂v = (−(p− r) senu, q cosu, h2 senu)

Svv = ∂2S∂v2 = (0, 0, 0)

Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadratica de la siguiente

manera

e(u0, v0) = < Suu, N > (u0, v0)

= −hqv2

cosu0((r+(p−r)v0)(cosu0−1)+r sen2 u0+v0(p−r))+sen2 u(r(1−cosu0)+v0(p−r))√[−hqv0 sen2(

u02 )]2+[−h


= hqv(r(−1+v)−pv+r cosu)2√

[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h


f(u0, v0) = < Suv, N > (u0, v0)

= −hqv2

(p−r) senu(cosu−1)+hq2 cosu senu(r(1−cosu)+v(p−r))−hq

2 senu(r sen2 u+v(p−r))√[−hqv0 sen2(

u02 )]2+[−h


=−hqr sen2(u

2 ) senu√[−hqv0 sen2(

u02 )]2+[−h


g(u0, v0) = < Svv, N > (u0, v0) = 0

Con lo cual la Segunda forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma

IId(w) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0) + b2g(u0, v0)

donde

e(u0, v0) = hqv0(r(−1+v0)−pv0+r cosu0)

2√

[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h


f(u0, v0) =−hqr sen2(

u02 ) senu0√

[−hqv0 sen2(u02 )]2+[−h


g(u0, v0) = 0

entonces

IId(w) = a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0)

18


2.1.5. Curvatura Normal de la Superficie de Guimard

Luego de haber calculado la Primera forma Cuadratica y la Segunda forma Cuadratica,

se calculara la funcion curvatura normal en un punto d = (u0, v0) determinada por km :

TdS − {0} → R tal que para cada vector w ∈ TdS − {0} le corresponde

km(w) =IId(w)

Id(w)=

a2e(u0, v0) + 2abf(u0, v0)

a2E(u0, v0) + 2abF (u0, v0) + b2G(u0, v0)

2.1.6. Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Cur-

vatura de Gauss, Curvatura Media

Ademas tambien podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto

d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera

H(d) =1

2

e0G0 − 2f0F0 + E0g0

E0G0 − F02 =

1

2

e0G0 − 2f0F0

E0G0 − F02

K(d) =e0g0 − f02

E0G0 − F02 =

−f02

E0G0 − F02

2.1.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie de Guimard

Luego de esto si u = 0 y u = π, el coeficiente de la segunda forma cuadratica f(u0, v0) = 0,

por tanto la curvatura media

K(u0, v0) =e0g0 − f20E0G0 − F 2

0

=e0(0)− (0)2

E0G0 − F 20

= 0

Por lo tanto si u = 0 o u = π y ∀ v ∈ [0, 1] todos los puntos son puntos parabolicos, pero

u 6= 0 y u 6= π, por tanto la superficie no tiene puntos parabolicos. Tambien se asegura

que la superficie no es una Superficie Mınima,pues la curvatura Media no es nula en toda la

superficie.

Tambien, dado que

K(d) =−f02

E0G0 − F02

, f(u0, v0) 6= 0 y E0G0 − F02 > 0 entonces d = (u0, v0) es un punto Hiperbolico. Por lo

tanto todos los puntos de la superficie son Hiperbolicos.

2.1.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la

Superficie de Guimard

Para encontrar las lıneas de curvatura, haremos uso de la Proposicion 1.3. Por lo tanto

teniendo en cuenta los siguientes valores :

E(u, v) = qv2 cos2 u+ 14h

2v2 sen2 u+ (−r − (p− r)v)2 sen2 u

F (u, v) = 14 [−h2v(−1 + cosu) + 4q2v cosu− 4(p− r)(r + (p− r)v) cosu]

G(u, v) = (p− r)2 cos2 u+ q2 sen2 u+ h2

4 (1− cosu)2

19


e(u, v) = hqv(r(−1+v)−pv+r cosu)2√

[−hqv sen2(u2 )]2+[−h

2 (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2+[−qv(p−r) cos2(u)+q(r(−1+v)−pv) sen2(u)]2

f(u, v) =−hqr sen2(u

2 ) senu√[−hqv sen2(u

2 )]2+[−h2 (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2+[−qv(p−r) cos2(u)+q(r(−1+v)−pv) sen2(u)]2

g(u, v) = 0

los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(v′)2 −u′v′ (u′)2

E F G

e f g

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

obteniendo

hqv(t)[r cos(u(t)) + r(−1 + v(t))− pv(t)][−( 14 )(−h2(−1 + cos(u(t)))v(t) + 4q2 cos(u(t))v(t)−

4(p−r) cos(u(t))(r+(p−r)v(t)))u′(t)2−( 14h

2(1−cos(u(t)))2+(p−r)2 cos2(u(t))+q2 sen2(u(t)))u′(t)v′(t)]+

hqr sen2(u(t)2 ) sen(u(t))[−(q cos2(u(t))v(t)2+ 14h

2 sen2(u(t))v(t)2+sen2(u(t))(−r−(p−r)v(t))2)u′(t)2+

( 14h

2(1− cos2(u(t))) + (p− r)2 cos2(u(t)) + q2 sen2(u(t)))v′(t)2] = 0

calculamos las soluciones de la ecuacion en funcion de v′[t], se obtiene :

v′(t) =

{1

[2r((p−r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))]

}·{csc2(u(t)2 ) csc(u(t))[−p2r cos2(u(t))v(t)u′(t)+

2pr2(cos2(u(t)))v(t)u′(t)−r3(cos2(u(t)))v(t)u′(t)+p2r(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−2pr2(cos3(u(t)))v(t)u′(t)+

r3(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−h2r sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)+h2r cos(u(t)) sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)−q2r(sen2(u(t)))v(t)u′(t)+

q2r cos(u(t)) sen2(u(t))v(t)u′(t)−p3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)+3p2r(cos2(u(t)))(v(t)2)u′(t)−3pr2(cos2(u(t)))v[t]2u′[t]+

r3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)−h2p(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)+h2r(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)−pq2(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)+

q2r(sen2(u(t)))v(t)2u′(t) + 18 [((3h2 + 4p2 + 4q2− 8pr+ 4r2− 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2− q2−

2pr + r2)) cos(2u(t)))2v(t)2(r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))264r sen2(u(t)2 ) sen(u(t))((p −r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))(4r3 sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))+8(p−r)r2 sen2(u(t)2 )(Cos(u(t))+

sen3(u(t)))v(t)+r(−h2+2(h2+4p2−2q2−8pr+4r2) cos(u(t))+(h2+4(p−r)2) sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))−cos2(u(t))(h2 +4p2−4q2−8pr+4r2−2q sen(u(t))+ q sen(2u(t))))v(t)2 +(p− r)(−h2 +(h2 +

4(p2 − q2 − 2pr + r2)) cos(u(t)))v(t)3))u′(t)2]12 ]}

v′(t) =

{1

[2r((p−r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))]

}·{csc2(u(t)2 ) csc(u(t))[−p2r cos2(u(t))v(t)u′(t)+

2pr2(cos2(u(t)))v(t)u′(t)−r3(cos2(u(t)))v(t)u′(t)+p2r(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−2pr2(cos3(u(t)))v(t)u′(t)+

r3(cos3(u(t)))v(t)u′(t)−h2r sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)+h2r cos(u(t)) sen4(u(t)2 )v(t)u′(t)−q2r(sen2(u(t)))v(t)u′(t)+

q2r cos(u(t)) sen2(u(t))v(t)u′(t)−p3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)+3p2r(cos2(u(t)))(v(t)2)u′(t)−3pr2(cos2(u(t)))v[t]2u′[t]+

r3(cos2(u(t)))v(t)2u′(t)−h2p(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)+h2r(sen4(u(t)2 ))v(t)2u′(t)−pq2(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)+

q2r(sen2(u(t)))v(t)2u′(t)− 18 [((3h2 + 4p2 + 4q2− 8pr+ 4r2− 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2− q2−

2pr + r2)) cos(2u(t)))2v(t)2(r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))264r sen2(u(t)2 ) sen(u(t))((p −r)2 cos2(u(t))+h2 sen4(u(t)2 )+q2 sen2(u(t)))(4r3 sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))+8(p−r)r2 sen2(u(t)2 )(Cos(u(t))+

sen3(u(t)))v(t)+r(−h2+2(h2+4p2−2q2−8pr+4r2) cos(u(t))+(h2+4(p−r)2) sen2(u(t)2 ) sen3(u(t))−cos2(u(t))(h2 +4p2−4q2−8pr+4r2−2q sen(u(t))+ q sen(2u(t))))v(t)2 +(p− r)(−h2 +(h2 +

4(p2 − q2 − 2pr + r2)) cos(u(t)))v(t)3))u′(t)2]12 ]}

20


Las soluciones obtenidas llegarıan a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como

menciona la proposicion, vendrıa a ser las lıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas

soluciones obtenemos

u(t) = c1 v(t) = c2

donde c1 y c2 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas de curvatura son

las curvas coordenadas.

De la misma manera para calcular las lıneas asintoticas utilizamos la Proposicion 1.5, por

lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadratica y remplazandolos en

la siguiente ecuacion

e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0

Calculando las soluciones de dicha ecuacion en funcion de u′[t] obtenemos las siguientes

ecuaciones diferenciales

u′(t) = 0 u′(t) =2r cos(

u(t)2 ) sen3(

u(t)2 )v′(t)

v(t)(−r+r cos(u(t))−pv(t)+rv(t))

luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene

u(t) = c3 v(t) = c4

donde c3 y c4 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas asintoticas son las

curvas coordenadas.

2.2. Superficie Generalizada de Guimard

Ahora se generalizara la superficie de Guimard para lo cual se debe tener en cuenta que resulta

imprescindible situar perfectamente los puntos de mınimos de las sinusoides cilındricas sobre

su proyeccion circular con el fin de introducir la correccion necesaria que alinee el segmento

directriz con una de las generatrices formando la lima-hoya de desague como ocurre en la

superficie de la Porte Dauphine. El calculo de los maximos y mınimos puede simplificarse,

buscando sobre la curva alabeada los puntos de torsion nula, lo que implica anular el producto

mixto de las tres primeras derivadas de la funcion vectorial de la curva sinusoidal que nos

sirve de representacion parametrica.

Definiendo la superficie de la siguiente forma

S(u, v) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h

2v(1− cosnu))

se puede evitar tener que corregir la parametrizacion de la superficie para cada valor de n

pues de esta manera el segmento directriz esta sobre el eje 0X la cual es la posicion correcta

de la sinusoide cilındrica por estar alineada el segmento con una de las generatrices y con la

que obtenemos una parametrizacion adecuada de la superficie de Guimard que nos sirva para

describir vectorialmente las caracterısticas de forma de tal superficie. Por lo tanto damos la

siguiente definicion.

21


Definicion 2.2. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+, ademas

el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada por los

segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos los puntos

extremos con la sinusoıde cilındrica ζn(u) = (p cosu, q senu, h2 (1−cosnu)) menos dos puntos,

definida por

S((u, v), n) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h

2v(1− cosnu))

se llama ”Superficie Generalizada de Guimard”.

2.2.1. Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard

Las curvas coordenadas de la Superficie Generalizada de Guimard en el punto k0 = (u0, v0)

sonS((u0, v), n) = (r cosu0 + (p− r)v cosu0, qv cosu0,

h2 v(1− cosnu0))

S((u,v0), n) = (r cosu+ (p− r)v0 cosu, qv0 cosu, h2 v0(1− cosnu))

22


n = 2

n = 3

n = 4

n = 5...

......

n = 10...

......

23


Ahora para empezar a analizar esta superficie, se empezara tomando la siguiente notacion

S((u, v), n) = (x((u, v), n), y(u, v), n), z((u, v), n)), donde:

x((u, v), n) = r cosu+ (p− r)v cosu

y((u, v), n) = qv cosu

z((u, v), n) = h2 v(1− cosnu))

por lo tanto

∂x((u,v),n)∂u = −(r + (p− r)v) senu ∂xn

∂v = (p− r) cosu

∂y((u,v),n)∂u = qv cosu ∂yn

∂v = q senu

∂z((u,v),n)∂u = hn

2 v sennu ∂zn

∂v = h2 (1− cosnu)

con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:

J((u, v), n) =


qv cosu q senu

h2 v senu h

2 (1− cosnu)

donde la matriz J((u, v), n) tiene rango 2, pues se puede encontrar sub matrices de 2× 2 tal

que det[ ] 6= 0, por ejemplo

det

qv cosu q senu

h2 v senu h

2 (1− cosnu)

= qv cosuh2 (1− cosnu)− h2 qv sen2 u

= qv h2 cosu− qv h2 cosu cosnu− h2 qv sen2 u

= −qv[h2 cosu+ h2 cosu cosnu+ h

2 sen2 u]

6= 0⇐⇒ v 6= 0

y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2× 2

24


det


qv cosu q senu

= −q(r + (p− r)v) sen2 u− qv(p− r) cos2 u

= −qv(p− r) sen2 u− qv(p− r) cos2 u− qr sen2 u

= −qv(p− r)− qr sen2 u

= −q[v(p− r) + r sen2 u]

= −qr sen2 u; si v = 0

6= 0

por lo tanto la superficie es regular.

2.2.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generaliza-

da de Guimard

Luego para calcular el plano tangente en el punto k0 = (u0, v0) obtenemos los siguientes

resultados

Su((u, v), n) =(∂x((u,v),n)

∂u , ∂y((u,v),n)∂u , ∂z((u,v),n)∂u

)=

(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu, hn2 v sennu

)Sv((u, v), n) =

(∂x((u,v),n)

∂v , ∂y((u,v),n)∂v , ∂z((u,v),n)∂v

)=

((p− r) cosu, q senu, h2 (1− cosnu)

)por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0, v0) es el que esta generado por

{Su((u, v), n), Sv((u, v), n)}. Entonces si w ∈ TdS((u, v), n)

w = anSu((u, v), n)(u0, v0) + bnSv((u, v), n)(u0, v0) : an, bn ∈ R

Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S((u, v), n) en el punto

k0 = (u0, v0), dicho vector se escribe de la siguiente forma

N((u0, v0), n)) = Su((u,v),n)×Sv((u,v),n)|Su((u,v),n)×Sv((u,v),n)|

N((u0, v0), n)) =(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,

h2 v senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,

h2 (1−cosnu0)

|(−(r+(p−r)v0) senu0,qv0 cosu0,h2 v0 senu0)×((p−r) cosu0,q senu0,

h2 (1−cosnu0)|

En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0, v0) esta dado por

N((u0, v0), n)) = (N((u0, v0), n))x, N((u0, v0), n))y, N((u0, v0), n))z)

N((u0, v0), n))x =

25


−hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(

nu02

)+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2

N((u0, v0), n))y =

h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu02

+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(

nu02


N((u0, v0), n))z =

−q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2(

nu02


2.2.3. Primera Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de

Guimard

A continuacion se calculara la primera forma cuadratica de la superficie en el punto d =

(u0, v0). Para ello se determinaran sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente

forma:

En(u0, v0) = 〈Su((u, v), n), Su((u, v), n)〉(u0, v0)

=


hn

2v sennu

),

(−(r + (p− r)v) senu, qv cosu,

hn

2v sennu

)⟩(u0, v0)

En(u0, v0) = q2v02 cos2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0 + h2n2v0

2

4 sen2(nu0)

Fn(u0, v0) = 〈Su((u, v), n), Sv((u, v), n)〉(u0, v0)

=


hn

2v sennu

),


h

2(1− cosnu)

)⟩(u0, v0)

Fn(u0, v0) = q02v cosu0 senu0 + (p− r)(−r − (p− r)v0) cosu0 senu0 + h2nv0

4 (1− cos(nu0)) sen(nu0)

Gn(u0, v0) = 〈Sv((u, v), n), Sv((u, v), n)〉(u0, v0)

=

⟨((p− r) cosu, q senu,

h

2(1− cosnu)

),


h

2(1− cosnu)

)⟩(u0, v0)

Gn(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + h2

4 (1− cos2(nu0)) + q2 sen2 u0

Con lo cual la Primera forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma

Ind(w) = a2En(u0, v0) + 2abFn(u0, v0) + b2Gn(u0, v0)

donde

En(u0, v0) = q2v02 cos2 u0 + (−r − (p− r)v0)2 sen2 u0 + h2n2v0

2

4 sen2(nu0)

Fn(u0, v0) = q02v cosu0 senu0 + (p− r)(−r − (p− r)v0) cosu0 senu0 + h2nv0

4 (1− cos(nu0)) sen(nu0)

Gn(u0, v0) = (p− r)2 cos2 u0 + h2

4 (1− cos2(nu0)) + q2 sen2 u0

Ademas el angulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:

26


cos θ =〈Su((u, v), n), Sv((u, v), n)〉|Su((u, v), n)||Sv((u, v), n)|

=Fn(u0, v0)√

En(u0, v0)Gn(u0, v0)

Ademas el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante

An(S(D)) =∫ ∫

D

√EnGn − Fn2dudv

2.2.4. Segunda Forma Cuadratica de la Superficie Generalizada de

Guimard

A continuacion se calculara la segunda forma cuadratica de la superficie en el punto d =

(u0, v0). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo sigu-

iente:

Suu((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂u2 = (−r − (p− r)v0) cosu0,−qv0 senu0,

hn2v02 cos(nu0)

Suv((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂u∂v = (−p+ r) senu0, q cosu0,

hn2 sen(nu0)

Svv((u, v), n) = ∂2S((u,v),n)∂v2 = (0, 0, 0)

Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadratica de la siguiente

manera

en(u0, v0) = 〈Suu((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) =

hqv02

(−2(r+pv0−rv0)+(−2(−1+n2)pv0+r(2−2v0+n2(−1+2v0))+n2r cos(2u0)) cos(nu0)+nr sen(2u0) sen(nu0))√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0

2+n(p−r)v0 cosu0 sen(nu0))]2+[q(r+2pv0−2rv0−r cos(2u0))]2

fn(u0, v0) = 〈Suv((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) =

2hqr senu0 sen(nu02

)[−n cos(nu02

) senu0+cosu0 sen(nu02

)]√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0


gn(u0, v0) = 〈Svv((u, v), n), N((u0, v0), n))〉(u0, v0) = 0

Con lo cual la Segunda forma Cuadratica quedarıa expresada de la siguiente forma

IInd(w) = a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0) + b2gn(u0, v0)

dondeen(u0, v0) =

hqv02

(−2(r+pv0−rv0)+(−2(−1+n2)pv0+r(2−2v0+n2(−1+2v0))+n2r cos(2u0)) cos(nu0)+nr sen(2u0) sen(nu0))√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0


27


fn(u0, v0) =

2hqr senu0 sen(nu02

)[−n cos(nu02

) senu0+cosu0 sen(nu02

)]√[hqv0(− cosu0+cosu0 cos(nu0)+n senu0 sen(nu0))]2+[h(−2(r(−1+v0)−pv0) senu0 sen2 nu0


gn(u0, v0) = 0

entonces

IInd(w) = a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0)

2.2.5. Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard

Luego de haber calculado la Primera forma Cuadratica y la Segunda forma Cuadratica, se

calculara la funcion curvatura normal en un punto d = (u0, v0) determinada por

knm : TdS((u, v), n) − {0} → R tal que para cada vector w ∈ TdS((u, v), n) − {0} le corre-

sponde

knm(w) =IInd(w)

Ind(w)=

a2en(u0, v0) + 2abfn(u0, v0)

a2En(u0, v0) + 2abFn(u0, v0) + b2Gn(u0, v0)

2.2.6. Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard;

Curvatura de Gauss, Curvatura Media

Ademas tambien podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto

d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera

H(d) =1

2

en0Gn0 − 2fn0Fn0 + En0gn0En0Gn0 − F 2

n0

=1

2

en0Gn0 − 2fn0Fn0En0Gn0 − F 2

n0

K(d) =en0gn0 − f2n0E0nGn0 − F 2

n0

=−f2n0

En0Gn0 − F 2n0

2.2.7. Clasificacion de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard

Luego de esto si u = 2iπn con i = 1, n y v = 0, el coeficiente de la segunda forma cuadratica

fn(u0, v0) = 0 y en(u0, v0) = 0 , por tanto

H(d) =1

2

en0Gn0 − 2fn0Fn0En0Gn0 − F 2

n0

= 0

K(d) =−f2n0

En0Gn0 − F 2n0

= 0

Por lo tanto si u = 2iπn ∈ U con i = 1, n y v = 0 dichos puntos son planares.

De igual manera si u = 2iπn con i = 1, n, el coeficiente de la segunda forma cuadratica

fn0(u0, v0) = 0, por tanto la curvatura Gaussiana

K(u0, v0) =en0gn0 − f2n0En0Gn0 − F 2

n0

=en0(0)− (0)2

En0Gn0 − F 2n0

= 0

28


Por lo tanto si u = 2iπn ∈ U con i = 1, n y ∀ v ∈ [0, 1] y v 6= 0 dichos puntos son parabolicos.

Tambien se puede asegurar que la superficie no es una Superficie Mınima, pues la curvatura

media no es nula en toda la superficie.

Ademas dado que

K(d) =−f2n0

En0Gn0 − F 2n0

y En0Gn0 − F 2n0 > 0 entonces d = (u0, v0) es un punto Hiperbolico si fn0(u0, v0) 6= 0.

2.2.8. Lıneas de Curvatura, Lıneas Asintoticas, Geodesicas de la

Superficie Generalizada de Guimard

Para encontrar las lıneas de curvatura, haremos uso de la Proposicion 1.3. Por lo tanto

teniendo en cuenta los siguientes valores :

En(u, v) = q2v2 cos2 u+ (−r − (p− r)v)2 sen2 u+ h2n2v2

4 sen2(nu)

Fn(u, v) = q02v cosu senu+ (p− r)(−r − (p− r)v) cosu senu+ h2nv

4 (1− cos(nu)) sen(nu)

Gn(u, v) = (p− r)2 cos2 u+ h2

4 (1− cos2(nu)) + q2 sen2 u

en(u, v) =

hqv2

(−2(r+pv−rv)+(−2(−1+n2)pv+r(2−2v+n2(−1+2v))+n2r cos(2u)) cos(nu)+nr sen(2u) sen(nu))√[hqv(− cosu+cosu cos(nu)+n senu sen(nu))]2+[h(−2(r(−1+v)−pv) senu sen2 nu

2+n(p−r)v0 cosu sen(nu))]2+[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2

fn(u, v) =

2hqr senu sen(nu2

)[−n cos(nu2

) senu+cosu sen(nu2

)]√[hqv(− cosu0+cosu0 cos(nu)+n senu sen(nu))]2+[h(−2(r(−1+v)−pv) senu sen2 nu

2+n(p−r)v cosu sen(nu))]2+[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2

gn(u, v) = 0

los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(v′)2 −u′v′ (u′)2

En Fn Gn

en fn gn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

obteniendo

12hq{

14v(t)(r(−2 + (2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t)) +n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p− r)(1 +

(−1 + n2) cos(nu(t)))v(t))u′(t)[ 12 (4(p − r)r sen(2u(t)) + [4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) +

29


h2n(−2 sen(nu(t)) + sen(2nu(t)))]v(t))u′(t) − (h2 + 4(p − r)2 cos2(u(t)) − 2h2 cos(nu(t)) +

h2(cos2(nu(t)))+4q2(sen2(u(t)))v′(t))]−4r sen(u(t)) sen( 12nu(t))(−n cos( 1

2nu(t)) sen(u(t))+

cos(u(t)) sen( 12nu(t)))((−q2 cos2(u(t))v(t)2 − 1

4h2n2 sen2(nu(t))v(t)2 − sen2(u(t))(r + (p −

r)v(t))2)u′(t)2 + ((p− r)2 cos2(u(t)) + q2 sen2(u(t)) + h2 sen( 12nu(t))4)v′(t)2)} = 0

calculamos las soluciones de la ecuacion en funcion de v′[t], se obtiene :

v′(t) = − 164{r(3h

2 +4p2 +4q2−8pr+4r2 +4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+

h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 12nu(t))(2n cos( 1

2nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t)))}−1[3h2+

4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+

(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t)]u′(t)−{[3h2+4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2+

4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2(r(−2+

(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t))2−8r sen(u(t)) sen( 1

2nu(t))(2n cos( 12nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1

2nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3

(−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t))2+n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3(−2+(2+

n2) cos(nu(t)))− cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2) sen(u(t))2)) +

9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t))−n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2−2q2−8pr+4r2+((−4+3n2)p2−(−2+n2)q2+(8−6n2)pr+(−4+3n2)r2) cos(nu(t))) sen(2u(t))+

2n2(p2−q2−2pr+r2) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 12nu(t))2+32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3

sen( 12nu(t))2−64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1

2nu(t))2+32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 12nu(t))2+

4h2n sen(nu(t))+2h2n(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+

32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2−2q2−2pr+r2) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−4h2n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3−4h2n sen(2nu(t))+h2n3 sen(2nu(t))−h2n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2−2(p − r)(1 + (−1 + n2) cos(nu(t)))(4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) + h2n(−2 sen(nu(t)) +

sen(2nu(t))))v(t)3)]u′(t)2} 12

v′(t) = − 164{r(3h

2 +4p2 +4q2−8pr+4r2 +4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+

h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 12nu(t))(2n cos( 1

2nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t)))}−1[3h2+

4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+

(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t)]u′(t)+

{[3h2+4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2+

4p2+4q2−8pr+4r2+4(p2−q2−2pr+r2) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2(r(−2+

(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2) cos(nu(t)))v(t))2−8r sen(u(t)) sen( 1

2nu(t))(2n cos( 12nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1

2nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3

(−2 cos(u(t)) sen( 12nu(t))2+n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3(−2+(2+

n2) cos(nu(t)))− cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2) sen(u(t))2)) +

9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t))−n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2−2q2−8pr+4r2+((−4+3n2)p2−(−2+n2)q2+(8−6n2)pr+(−4+3n2)r2) cos(nu(t))) sen(2u(t))+

2n2(p2−q2−2pr+r2) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 12nu(t))2+32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3

sen( 12nu(t))2−64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1

2nu(t))2+32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 12nu(t))2+

4h2n sen(nu(t))+2h2n(2−n2+n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+

32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2−2q2−2pr+r2) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−

30


4h2n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3−4h2n sen(2nu(t))+h2n3 sen(2nu(t))−h2n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2−2(p − r)(1 + (−1 + n2) cos(nu(t)))(4(p2 − q2 − 2pr + r2) sen(2u(t)) + h2n(−2 sen(nu(t)) +

sen(2nu(t))))v(t)3)]u′(t)2} 12

Las soluciones obtenidas llegarıan a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como

menciona la proposicion, vendrıa a ser las lıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas

soluciones obtenemos

u(t) = c1 v(t) = c2

donde c1 y c2 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas de curvatura son

las curvas coordenadas.

De la misma manera para calcular las lıneas asintoticas utilizamos la Proposicion 1.5, por

lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadratica y remplazandolos en

la siguiente ecuacion

e(u′)2 + 2fu′v′ + g(v′)2 = 0

Calculando las soluciones de dicha ecuacion en funcion de u′[t] obtenemos las siguientes

ecuaciones diferenciales

u′(t) = 0

u′(t) = {8(nr cos( 12nu(t)) sen2(u(t)) sen( 1

2nu(t))v′(t)−r cos(u(t)) sen(u(t)) sen2( 12nu(t))v′(t))}{(−2rv(t)+

2r cos(nu(t))v(t)−n2r cos(nu(t))v(t)+n2r cos(2u(t)) cos(nu(t))v(t)+nr sen(2u(t)) sen(nu(t))v(t)−2pv(t)2+2rv(t)2+2p cos(nu(t))v(t)2−2n2p cos(nu(t))v(t)2−2r cos(nu(t))v(t)2+2n2r cos(nu(t))v(t)2)}−1

luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene

u(t) = c3 v(t) = c4

donde c3 y c4 con constantes reales, con lo que concluimos que las lıneas asintoticas son las

curvas coordenadas.

31

Capıtulo 3

APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA

3.1. Aplicacion en la Arquitectura

Dado que al estudiar las Superficies de Guimard, se ha demostrado que casi en su totalidad sus

puntos son hiperbolicos, y puesto que las Superficies de Guimard no son aun muy aplicadas,

podemos valernos de estudios de superficies cuyos puntos en su mayorıa o en su totalidad

sean puntos hiperbolicos, para hacer el analisis respectivo de sus aplicaciones al momento de

utilizarlas en construcciones arquitectonicas.

Es por eso que hablaremos de la superficie mas semejante posible la cuan es el paraboloide

hiperbolico el cual es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma

ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (esto que hace que las rectas generadoras

sean todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices, en el

caso de la las Superficies de Guimard las dos rectas las deformarıamos y las unirıamos en

sus extremos formando la sinusoide cilındrica). El paraboloide es una superficie doblemente

reglada, luego como en el caso del hiperboloide de una hoja genera una estructura de malla

que le da fuerza a la construccion. Tambien es una superficie cuadratica, es decir, solucion

de una ecuacion polinomica de segundo grado y se puede utilizar en arquitectura, aparte de

para otras cuestiones, para realizar cubiertas de doble curvatura del segundo tipo, es decir,

el caso de la curvatura de Gauss negativa. Uno de los aspectos novedosos y que le hace

ser una forma destacada para su utilizacion en arquitectura (en combinacion con las otras

propiedades que presenta) es el hecho de que es una superficie muy cercana a una superficie

minimal (exactamente la superficie de Schwartz), con lo cual es estable y al ser de area

mınima ahorra material. De hecho, el paraboloide hiperbolico ha sido, y sigue siendo, una de

las superficies mas utilizadas en la Arquitectura del siglo XX, en particular en el diseno de

cubiertas (recordemos superficie de doble curvatura, estable y de area mınima, doblemente

reglada).

El paraboloide hiperbolico es una de las superficies mas originales e importantes utilizadas

por Gaudı. Por supuesto que era una superficie bien conocida por los matematicos, pero no

tanto por los arquitectos e ingenieros. Al igual que para el hiperboloide de una hoja, el que

fuera doblemente reglada le permitıa hacer facilmente y de forma natural modelos de hilo,

32

�� 33 APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA

alambre y yeso para que utilizaran los trabajadores de sus construcciones.

Siendo superficies como estas beneficiosas al momento de edificar algunas construcciones,

muchos arquitectos las utilizaron, uno de los mas importantes es el arquitecto madrileno,

pero que vivio tras la guerra civil espanola en Mexico, Felix Candela, que vino a ser conocido

como el principal disenador de cascarones en el mundo, puede que sea una de las personas

que mejor haya comprendido el mecanismo resistente de las estructuras en general y de las

de hormigon en particular. Fue ademas mundialmente conocido por sus cubiertas con formas

obtenidas a partir del paraboloide hiperbolico. El mismo llego a decir que todas las obras

que envıo estan hechas de paraboloides hiperbolicos, y la posibilidad de combinaciones que

den apariencias muy diversas es bastante grande, aunque no inagotable. Entre sus obras mas

grandiosas, podemos mencionar su obra postuma en la cual Candela colaboro con Santiago

Calatrava en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia, en particular, es indudable

que el Parque Oceanografico es su canto del cisne (dicha obra es semejante a la de la Superficie

de Guimard, para n = 3 o n = 6).

33


Como se menciono lo importante de estas superficies son sus propiedades, una de las cuales

son las propiedades estructurales las que inicialmente los disenadores de estas estructuras

tuvieron que desarrollar tecnicas para la verificacion de sus disenos como por ejemplo el uso

de maquetas, que se probaban bajo carga para probar su seguridad.

Pero, la superficie funicular para las cargas muertas no es la misma que para determinadas

cargas puntuales como la carga de viento o nieve. Esta falta de un metodo realmente se-

guro, obligaba a los disenadores a desarrollar una intuicion estructural a la hora de proponer

una forma inicial, esta intuicion se basaba fundamentalmente en un amplio conocimiento

de las superficies geometricas de trabajo. Hoy en dıa, los metodos de analisis por elementos

finitos con la ayuda de los ordenadores, se han impuesto en el calculo de superficies lam-

inares. El modelizado de las superficies de doble curvatura suele hacerse por triangulacion

o cuadrilateros. Con los primeros, se puede modelizar cualquier superficie ya que siempre se

pueden contener 3 puntos en la superficie.

Ademas de las benificosas propiedades de estas superficies, tambien bien brindan hoy en

dia facilidades el momento de la construccion, para la cual se tiene en cuenta los siguientes

aspectos de construcion como el encofrado y el moldeo, que ha sido siempre una unidad

de obra de alto coste. Algunos metodos, como el prefabricado, el proyectado de hormigon

sobre elementos hinchables o jaulas de acero reforzado, se han utilizado para minimizar este

inconveniente. El hecho de 10 que las superficies tratadas en esta investigacion sean regladas,

ayuda a rebajar el coste, con respecto a otras superficies doblemente curvadas, ademas ofrece

la posibilidad de un doble pretensado de las armaduras en las direcciones de las familias de

rectas, ventaja esta, que ha sido utilizada con frecuencia para lograr la estanqueidad en los

depositos, como el de Eduardo Torroja en Marruecos en 1956 (Garcıa Reig, 1999). Encofrados

y moldeo del hormigon.

Estas superficies, tal y se comentaba con anterioridad, tiene la dificultad de su moldeo y

conformacion cuando son construidas con hormigon armado. Esta dificultad, podrıa ser sol-

ventada con las nuevas tecnicas de produccion de elementos por control numerico (Kolarevic,

2003). Ejemplo del uso de esta tecnologıa en la fabricacion de elementos de hormigon con

34


doble curvatura, lo tenemos en el edificio de oficinas de Gehry en Dusseldorf, Alemania. Pero

estos intentos de mejora, parecen no haber encontrado su aplicacion en los grandes edificios,

teniendo por ejemplo el caso del Edificio de Santiago Calatrava que realizo junto 11 con

Felix Candela para el Oceanografico de Valencia, en donde se puede apreciar la similitud del

proceso de encofrado con otros edificios realizados por candela cincuenta anos antes.

Otra aplicacion de una de las Superficies de Guimard, es cuando n = 2, del cual se hizo el

siguiente proyecto:

PABELLON DE CINE EN UNIVERSIDAD BAUHAUS DE WEIMAR.- Profe-

sores Jurgen Ruth y Rainer Gumpp, junto con los estudiantes de la universidad en el ano 2009.

El proyecto resuelve el diseno de una carpa temporal para la organizacion de proyecciones

cinematograficas y otras actividades culturales al aire libre. Este proyecto, se ha seleccionado,

por representar la plasmacion de la idea subyacente en esta investigacion que la geometrıa ha

de estar presente en la formacion de todo arquitecto o ingeniero, sirviendo como disciplina

organizadora y articuladora de procesos creativos.

Con este trabajo arquitectonico, se pretende demostrar como la arquitectura y la ingenierıa

civil pueden interactuar con las energıas renovables y ofrecer funcionalidad, y soluciones

35


sostenibles. Uno de los condicionantes de la estructura, era que tenıa que ser resistente y

facil de montar con una longitud de 13 metros, por lo que se escogio una geometrıa de su-

perficie cuadratica reglada, facil de generar y de construir. La estructura toma la forma de

un paraboloide hiperbolico construido con listones de madera y estabilizada con tensores de

acero. Esta cascara estructural queda revestida interiormente por una membrana imperme-

able de color rojo. El pavimento esta compuesto por una tarima de madera y el suministro

de la energıa electrica necesaria se obtiene mediante la instalacion de paneles fotovoltaicos

flexibles dispuestos en la cara exterior.

En este caso, el uso de la geometrıa de superficies de doble curvatura, no solo no ha encarecido

el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecucion, aportandole belleza y

resistencia.

Una de las cosas que mas impresionan de este proyecto, es que se consiguen dimensiones

relativamente grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios

pueden ir fijando las lıneas de la madera usando la propia estructura.

Como se menciona las aplicaciones de las Superficies de Guimard podrıan ser enumerables,

pero aun pocos arquitectos o ingenieros se aventuran a utilizarlas por el poco conocimiento

que se tiene de estas superficies, debido a la poca informacion que se tiene al respecto, pero

como se ha demostrado, estas superficies son como un tesoro escondido esperando a ser

descubierto y revelado al mundo entero.

36

Conclusiones

Despues de analizar a detalle la familia de superficies denominadas Superficies de Guimard,

podemos reconocer que a pesar de la forma simple de expresarla, es interesante por su belleza

y por las propiedades de su forma y estructura, y aunque hoy en dıa no comun utilizarlas,

notamos que brinda muchas facilidades en tu construccion, aparte de de belleza y apariencia

futurıstica, es por ello que finalizaremos mencionando algunas conclusiones extraıdas del

trabajo que se a desarrollado.

Luego de construir la Superficie de Guimard, se ha podido llegar a la conclusion de que

una familia de superficies puede ser generara a partir de la variacion de un parametro

n, el cual es nada mas que la variacion de la sinusoide cilındrica, y continuando con los

pasos siguientes de las misma forma en todas las superficies, es por tanto que podemos

concluir que dicha familia de superficies viene a ser generada de la siguiente manera

Definicion 3.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+,

ademas el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3, generada

por los segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ(u) = (r cosu, 0, 0) menos

los puntos extremos con la sinusoıde cilındrica ζn(u) = (p cosu, q senu, h2 (1 − cosnu))

menos dos puntos, definida por

S((u, v), n) = (r cosu+ (p− r)v cosu, qv cosu,h

2v(1− cosnu))

37

�� 38 Conclusiones

Como se noto, una de las caracterısticas mas importantes al aplicar una superficie

como esta, es que en el uso de la geometrıa de superficies de doble curvatura, no solo

no ha encarecido el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecucion,

aportandole belleza y resistencia. Ademas al momento de desarrollar algun proyecto

utilizando alguna superficie de Guimard, se puede conseguir dimensiones relativamente

grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios pueden ir

construyendo la superficie usando la propia estructura como apoyo, lo cual resulta en

ahorros economicos.

Finalmente dado que hoy en dıa se puede apreciar que las superficies de curvas regladas

estan interesando a la nueva generacion de arquitectos e ingenieros, es provechoso dar

a conocer nuevas formas de como utilizar superficies geometricas de las cuales hoy en

dıa poco se conocen, pero aun ası muy valiosas al momento de utilizarlas para construir

edificaciones, las cuales sin duda seran reconocidas y valoradas por su belleza y fortaleza.

Se deseara que trabajos como este, animen a los futuros arquitectos e ingenieros a seguir

usando geometrıas que dan belleza y eficiencia a la arquitectura e ingenierıa.

38

Apendice

39

Apendice A

Hector Guimard

Hector Guimard (Lyon,1867 - Nueva York, 1942)

Figura A.1: Puerta principal del Castel

Beranguer

es el representante mas significativo y personal del

Art Nouveau frances. Si bien es verdad que siem-

pre se valoraron los elementos decorativos de sus

obras, este arquitecto innovador, curioso, brillante

y sorprendente fue olvidado despues de su muerte y

redescubierto a partir de la segunda mitad del siglo

pasado. Como no es nuestro interes entrar a valorar

ahora lo estrictamente arquitectonico de sus traba-

jos, hemos seleccionado solamente dos fragmentos

significativos de algunas de sus obras mas represen-

tativas para mostrar su personalidad y el contexto

estilıstico en el que se desarrollaron. Unos de el-

los es el fascinante diseno de la puerta principal

del Castel Beranguer, en Parıs, obra terminada en

1898 y la primera que le dio fama aunque una fama

no exenta de polemica. La segunda pertenece a la

maison Coilliot en Lille, acabada en 1900 sobre la

que puede observarse tambien el diseno de las letras con una geometrıa peculiar que despues

se convertira tambien en representativa de un estilo.

Pero la obra que hizo famoso el nombre de Guimard fue el diseno completo y la decoracion

de las entradas y edıculos del metro de Paris. Desde 1890 se habıan presentado numerosas

ideas a la Societe Centrale des Architectes, pero fueron finalmente estos disenos de Guimard

completamente innovadores y personalısimos los que fueron aceptados. Guimard diseno ınte-

gramente estas entradas con una decoracion distinta para cada estacion: lıneas curvas, tallos

nervados, motivos florales, mastiles, faros flexibles y en general una exuberante explosion

de formas que supuso el triunfo del llamado .ornamento estructural”. Estos accesos que se

convertirıan en sımbolo del .estilo Guimard”, se convertiran tambien, de alguna manera, en

sımbolo del Paris de final de siglo y de la Belle Epoque o de su preludio. Estas entradas,

40

�� 41 Conclusiones

Figura A.3: Abbesses y Porte Dauphine

muchas de ellas perdidas, fueron en su dıa muy admiradas por la mayor parte de los artistas

innovadores y vanguardistas.

Entre las entradas de Guimard que, mas o menos,

Figura A.2: Puerta de la maison Coil-

liot en Lille

de una u otra manera han sobrevivido, hay basica-

mente 11 tipos distintos de los que tres son pa-

bellones cubiertos. Teniendo en cuenta que el te-

jado del edıculo de Chatelet fue reconstruido en el

2000 siguiendo otro modelo, destacamos aquı so-

lamente dos tipos de accesos cubiertos: Abbesses

y Porte Dauphine. Este ultimo, que es monumen-

to historico desde 1978, posee la cubierta invertida

que puede ser objeto de analisis y generalizacion.

Se puede reconstruir circunstancialmente la cubier-

ta invertida de la Porte Dauphine con mejor o peor

fortuna pero lo importante no es tratar de imitarla

sino captar su estructura basica y analizar cuales son las caracterısticas fundamentales de tal

superficie. El resultado del primer analisis nos muestra que puede asimilarse a unasuperficie

reglada generada con dos directrices una de las cuales es un segmento rectilıneo y la otra

una curva que podemos situar en un cilindro recto de seccion elıptica de manera que una

de las generatrices que une un extremo de la directriz recta se alinee con ella, en tanto la

directriz del extremo opuesto marque una lınea de cumbrera. Todo ello es consecuencia de

su funcionalidad ya que es un recipiente que dispone de una lima-hoya corrida para permitir

la salida de las aguas.

Pero a pesar de este fuego artificial de innovaciones y demostraciones en todos los ambitos, la

prensa y el publico se desvıan rapidamente de Guimard: menos que la obra, es el hombre que

irrita. Y en digno representante del Art Nouveau, el mismo es vıctima de las contradicciones

inherentes a los ideales del movimiento: sus creaciones mas perfectas son financieramente

inaccesibles a la mayor parte de la gente, y al reves sus tentativas de standardizacion corre-

41

�� 42 Bibliografia y Webgrafia

sponden mal con su vocabulario muy personal. Es finalmente completamente olvidado cuando

muere en Nueva York en 1942, donde el temor de la guerra lo hacıa exiliarse (su mujer era

judıa).

Tras demasiado numerosas destrucciones, exploradores aislados (los primeros hectorologos )

van a redescubrimiento del artista y su universo hacia los anos 1960-1970 y reconstituyen

pacientemente su historia. Si lo mas importante se hizo en este ambito, sin embargo, ciento

anos despues del ”gesto magnıfico”del Art Nouveau (Le Corbusier), la mayorıa de los edificios

de Hector Guimard siguen siendo inaccesibles al publico, y aun no se inauguro un Museo

Guimard en Francia.

42

Bibliografia y Webgrafia

B. o Julca Cordova Pedro, Huancas Suarez Fernando, Damian Sandoval Leonardo,

Santamaria Santisteban Oscar, Introduccion a la geometrıa diferencial de curvas y

superficies”, 2008-02-15

@ http://www.rodrigocadiz.com/imc/html/Sinusoides.html

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@ http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/index.html

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@ http://www.unirioja.es/cu/luhernan/gdfolder/gd.pdf

@ mat.uab.es/ret/sites/default/files/.../Poster Catiana 2010.pdf

@ http://imarrero.webs.ull.es/sctm04/modulo1/10/ribanez.pdf

43

seminario de matemático "superficies de guimard"

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