SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

congruencia () : Dos figuras son congruentes si al sobreponerse coinciden en todos sus puntos, es decir don iguales.

semejanza (~) : Es cuando dos figuras poseen una misma forma y sus partes (ya sea ángulos o lados) guardan una misma proporción.

Teorema de Thales.

Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera,  cortados por una transversal, será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. 

En la figura siguiente, el primer requisito es que, BD// EC;  entonces,  se cumple que las medidas son proporcionales:

1)                      2)                        3)             

Una de las proporcionalidades importantes es la que relaciona las paralelas:

4)                  o bien     5)               

Teorema de Thales en el triángulo

Semejanza de triángulos.

A partir  del teorema de Thales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos.

“Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que

forman un triángulo semejante al primero”.

Obsérvese el triángulo PQR. Al trazar la recta TS paralela al lado RP, se puede demostrar que:

                               

                        

Por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos congruentes.

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales,  uno a uno, respectivamente y los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales.

En los triángulos semejantes, los ángulos congruentes y los lados proporcionales reciben el nombre de homólogos.

Existen tres criterios, que son los siguientes:

1) Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.

2) Segundo Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

3) Tercer Criterio: Lado - Ángulo- Lado (LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y el ángulo que forman es congruente.

1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales (AA).

2) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales (LLL).

3) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos

igual (LAL) .

Congruencia de triángulos Dos triángulos son congruentes si sus ángulos

correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos miden lo mismo.

Criterios de congruencia de triángulos

1. Criterio (L, L, L) Dos triángulos son congruentes si sus lados

correspondientes son congruentes:

2. Criterio (L, A, L)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos

congruentes.

3. Criterio (A, L, A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

4. Criterio (L, L, A>)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo opuesto mayor de estos

lados congruentes.

Proporcionalidad en la circunferencia.

Teorema de las cuerdas.

Si dos cuerdas se intersectan en un punto P, al interior de un círculo, el producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas es igual al producto de los segmentos determinados en la otra.

PA · PC = PB · PD

También se conoce como potencia de un punto interno a la circunferencia.

Teorema de las secantes.

Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida total de una de las secantes por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por el segmento exterior respectivo.

PB · PA = PD · PC.

También se conoce como potencia de un punto externo a la circunferencia.

Teorema de la tangente. Si desde un punto exterior a una circunferencia se

trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida total de la secante por la medida de su segmento exterior.

PC2 = PB · PA

Teorema de Euclides. "Al trazar la altura desde el ángulo recto de un triángulo

rectángulo, los dos nuevos triángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al triángulo rectángulo original".

1). En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos de esta última.

2). Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

AC = b   y    BC = a

Circunferencia y Círculo.

Circunferencia : Es el lugar geométrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.

Círculo : en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. 

 El contorno de esta figura plana es la circunferencia.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

ELEMENTOS DE UN CÍRCULO

ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Todo ángulo inscrito (    ) es igual a la mitad del ángulo del centro,

(   ) si el arco (     ) comprendido entre ellos es común. 

                       

No importa la ubicación del ángulo inscrito. Todos son iguales si el arco es común.    

Cuando el arco  coincide con el diámetro de la circunferencia, el ángulo del centro   AOB es 180°. Luego el ángulo inscrito es 90°. 

Teorema : Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Si los arcos son iguales   =     

los ángulos inscritos también:  

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

    en grados sexagesimales

    : ángulo del centro

ARCOArco (a) : Representa una fracción del perímetro.

    en grados sexagesimales

    : ángulo del centro