Semejanza de TriángulosDos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

A B

C

A’ B’

C’ Si A=A’ , B=B’ , C=C’

ABA’B’

BCB’C’

CAC’A’

= =

Entonces ABC es semejante al A’B’C’

Notación:Utilizamos el símbolo ”≈” para semejanza.Para decir que el ABC es semejante al A’B’C’ escribimos: ABC ≈ A’B’C’

Razón de semejanza es la comparación por cociente de dos lados homólogos.Si ABC ≈ A’B’C’

A B

C

A’ B’

C’

ABA’B’

BCB’C’

CAC’A’

= =

Teorema de Tales:Si dos rectas concurrentes (r y r’) son cortadas por varias paralelas , los segmentos determinados por la intersección de dichas paralelas, en ambas rectas, son proporcionales.

a

a'

b

b'

c

c'Por el teorema de Tales sabemos que:

abbc

a’b’b’c’

= ;

abac

= a’b’a‘c’

bcac

= b’c’a’c’

Ejemplo:Sabiendo que AC = 6 cm, A’C’ = 10 cm y BC =5.6, Halla la longitud del lado B’C’

A

B

C’

B’

C10 cm

6 cm

5.6 cm

A’

𝑨′𝑪 ′𝑨𝑪

=𝑩′𝑪 ′𝑩𝑪

𝟏𝟎𝟔

=𝑩′𝑪 ′𝟓 .𝟔

𝟏𝟎(𝟓 .𝟔)𝟔

=𝑩′𝑪 ′

𝟗 .𝟑𝟑=𝑩′ 𝑪 ′

Determina si los triángulos ABC y DEF son semejantes:Si tienen los siguientes datos:

A= 87° 43’ 23’’ C= 58° 37’ 57’’

A

B C E F

D

E= 33° 39’ 26’’ F= 58° 37’ 25’’

146° 21’ 20’’

87° 43’ 23’’ 58° 37’ 57’’

145° 80’ 80’’ 92° 16’ 51’’

33° 39’ 26’’ 58° 37’ 25’’91° 76’ 51’’

La suma de los ángulos interno de un triángulo suman 180°

179° 59’ 60’’146° 21’ 20’’

33° 38’ 40’’ = B

179° 59’ 60’’92° 16’ 56’’

87° 43’ 4’’ = D

Como podemos observar los ángulos del triángulo ABC son iguales que los del triángulo CDE por lo tanto los triángulos son semejantes

¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de estatura, proyecta una sombra de 1.20 m?

16 m1.

80 m

1.20 m

Hh

= Ss

Dondeh= 1.80 m, S= 16 m, s= 1.20 m

Estos datos se sustituyen en la proporción tenemos:

H1.80

= 161.20

H = 16 (1.80)1.20

H = 24 m

La relación entre los ángulos es la siguiente: CAB = C’A’B’ y ABC = A’B’C’Por lo tanto ABC ≈ A’B’C’ y la proporcionalidad se establece como:

Para encontrar la anchura AB de un rio se construyeron 2 triángulos semejantes, como se muestra en la figura . Y al medir se encontró que:AC= 17 m, CD = 5 m, DE= 20 m ¿Cuál es la anchura del rio?

ACCD

= ABDE

Donde

17 5

= AB20

17(20) 5

= AB

68 m = AB

Ejercicios en clase

Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes triángulos semejantes, en los cuales se tiene que:AC= 215 m, A’C = 50 m, A’B’ = 112 m, ¿Cuál es la Longitud del lago?

A cierta hora del día un edificio de 60 ft. de altura proyecta una sombra de 42 ft. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un semáforo de 10 ft. de altura a la misma hora?

ACA’C

= ABA’B’

215 50

= AB112

481.6 m = AB

215(112) 50

= AB

60 10

= 42EB

EB

= 42(10)60

EB = 7 ft.