Lic. Fis. Carlos Levano Huamaccto

CICLO 2012-III Módulo:IUnidad: 6 Semana: 6

FISICA III

LEY AMPERE Y LA FARADAY

Abajo II

ORIENTACIONES

• Estudie el tema primero haciendo una lectura de las teorías solamente, luego practique en resolver los problemas.

CONTENIDOS TEMÁTICOS

• Fuerza sobre un conductor

• Ley de Ampere• Solenoide• Flujo Magnético

• Ley de Faraday

• Ley de Lenz

• Generadores

Fuerza sobre un conductor

Dado que una corriente I es carga q que se mueve a través de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar en términos de corriente.

Dado que una corriente I es carga q que se mueve a través de un alambre, la fuerza magnética se puede proporcionar en términos de corriente.

I = q/tL

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

FF Movimiento de +q

Regla de la mano derecha: la fuerza F es hacia arriba.

F = qvBF = qvB

Como v = L/t e I = q/t, se puede reordenar para encontrar:

L qF q B LB

t t = =

La fuerza F sobre un conductor de longitud L y corriente I perpendicular al campo B: F = IBLF = IBL

La fuerza depende del ángulo de la corriente

v sen θI

θ

B

v

F

Corriente I en el alambre: longitud L

B

F = IBL sen θF = IBL sen θ

Tal como para una carga en movimiento, la fuerza sobre un alambre varía con la dirección.

Ejemplo 1. Un alambre de 6 cm de longitud forma un ángulo de 200 con un campo magnético de 3 mT. ¿Qué corriente se necesita para causar una fuerza hacia arriba de 1.5 x 10-4

N?

I = 2.44 AI = 2.44 A

°××== − 20sen m) T)(0.06 10(3

N 101.5sen 3

4

θBLF

I

Fuerzas sobre un lazo conductor

Considere un lazo de área A = ab que porta una corriente I en un campo constante B como se muestra a continuación.

Considere un lazo de área A = ab que porta una corriente I en un campo constante B como se muestra a continuación.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

b

aI

La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsión.

La regla de la mano derecha muestra que las fuerzas laterales se cancelan mutuamente y las fuerzas F1 y F2 causan un momento de torsión.

n

Aθ

B

S N

F2

F1Vector normal

Momento de torsión τ

Momento de torsión sobre espira de corriente

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x

b

a I

Recuerde que el momento de torsión es el producto de la fuerza y el brazo de momento.

Los brazos de Los brazos de momento para Fmomento para F1 1 y Fy F2 2

son:son:

FF11 = F = F22 = IBb = IBb

En general, para una espira de N vueltas que porta una corriente I, se tiene:

2 sena θ

)2)((

)2)((

2

1

θτ

θτ

senaIBb

senaIBb

=

=

θθτ senabIBsenaIBb )()2)((2 == θτ IBAsen=

θτ NIBAsen=

•

θ

θ2

a

2a

n

B

2 sina θ

2 sina θ

X

F2

F1

Iout

Iin

sen

sen

Ejemplo 2: Una bobina de alambre de 200 vueltas tiene una radio de 20 cm y la normal al área forma un ángulo de 300 con un campo B de 3 mT. ¿Cuál es el momento de torsión en la espira si la corriente es de 3 A?

SN

nn

θθB

N = 200 vueltas

B = 3 mT; θ = 300

2 2( .2 m)A Rπ π= = −A = 0.126 m2; N = 200 vueltas

B = 3 mT; θ = 300; I = 3 A

τ = 0.113 N⋅mMomento de torsión resultante sobre la espira:

θτ NIBAsen=

°== 30sen )m T)(0.126 A)(0.003 (200)(3sen 2θτ NIBA

Campo magnético de un alambre largo

Cuando una corriente I pasa a través de un largo alambre recto, el campo magnético B es circular como muestra el siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la dirección indicada.

Cuando una corriente I pasa a través de un largo alambre recto, el campo magnético B es circular como muestra el siguiente patrón de limaduras de hierro y tiene la dirección indicada.

Limaduras de hierroI

BB

I

Regla de la mano derecha: Tome el alambre con la mano derecha; apunte el pulgar en la dirección de I. Los dedos enrollan el alambre en la dirección del campo B circular.

Regla de la mano derecha: Tome el alambre con la mano derecha; apunte el pulgar en la dirección de I. Los dedos enrollan el alambre en la dirección del campo B circular.

Cálculo de campo B para alambre largo

La magnitud del campo magnético B a una distancia r de un alambre es proporcional a la corriente I.

La magnitud del campo magnético B a una distancia r de un alambre es proporcional a la corriente I.

0

2

IB

r

µπ

=Magnitud del campo B para corriente I a una distancia r:

La constante de proporcionalidad µο se llama

permeabilidad del espacio libre:

Permeabilidad: µο = 4π x 10-7 T⋅m/A

B

I

rr

B circular

X

Ejemplo 3: Un largo alambre recto porta una corriente de 4 A hacia la derecha de la página. Encuentre la magnitud y dirección del campo B a una distancia de 5 cm arriba del alambre.

0

2

IB

r

µπ

=r = 0.05 m I = 4 A

-7 T mA(4 x 10 )(4 A)

2 (0.05 m)B

ππ

⋅

=I = 4 A

r 5 cm

B=?

B = 1.60 x 10-5 T or 16 µTB = 1.60 x 10-5 T or 16 µT

I = 4

Ar

Regla de la mano derecha: Los dedos apuntan afuera del papel en dirección del campo B.

Regla de la mano derecha: Los dedos apuntan afuera del papel en dirección del campo B.

B afuera del papel

Campo magnético en una espira de corriente

NIIIIB

Afuera

La regla de la mano derecha La regla de la mano derecha muestra el campo muestra el campo BB dirigido dirigido afuera del centro.afuera del centro.

La regla de la mano derecha La regla de la mano derecha muestra el campo muestra el campo BB dirigido dirigido afuera del centro.afuera del centro.

0

2

IB

R

µ=Espira sencilla:

0

2

NIB

R

µ=Bobina de N espiras:

El solenoide

Un solenoide consiste de muchas vueltas N de un alambre en forma de hélice. El campo magnético B es similar al de un imán de barra. El núcleo puede ser aire o cualquier material.

Un solenoide consiste de muchas vueltas N de un alambre en forma de hélice. El campo magnético B es similar al de un imán de barra. El núcleo puede ser aire o cualquier material.

NS

Permeabilidad µ

Si el núcleo es aire: µ = µ0 = 4π x 10-7 Tm/ASi el núcleo es aire: µ = µ0 = 4π x 10-7 Tm/A

La La permeabilidad relativa permeabilidad relativa µµrr usa este valor como comparación. usa este valor como comparación.

00

or r r

µµ µ µ µµ

= =Permeabilidad relativa para un medio ( µr ):

Permeabilidad relativa para un medio ( µr ):

Campo B para un solenoide

Para un solenoide de longitud Para un solenoide de longitud LL, con , con NN vueltas y corriente vueltas y corriente II, , el campo el campo BB está dado por: está dado por:

Para un solenoide de longitud Para un solenoide de longitud LL, con , con NN vueltas y corriente vueltas y corriente II, , el campo el campo BB está dado por: está dado por:

NS

µ

LSolenoide

NIB

L

µ=

Tal Tal campo campo BB se llama se llama inducción magnéticainducción magnética pues surge o se produce pues surge o se produce por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su direccióndirección está está dada por la dada por la regla de la mano derecharegla de la mano derecha aplicada a cualquier bobina de aplicada a cualquier bobina de corriente.corriente.

Tal Tal campo campo BB se llama se llama inducción magnéticainducción magnética pues surge o se produce pues surge o se produce por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su por la corriente. Se aplica al interior del solenoide y su direccióndirección está está dada por la dada por la regla de la mano derecharegla de la mano derecha aplicada a cualquier bobina de aplicada a cualquier bobina de corriente.corriente.

Ejemplo 6: Un solenoide de 20 cm de longitud y 100 vueltas porta una corriente de 4 A. La permeabilidad relativa del núcleo es 12,000. ¿Cuál es la inducción magnética de la bobina?

N = 100 vueltas

µ

20 cm

I = 4 A

7 T mA(12000)(4 x10 )µ π − ⋅=

T mA0.0151 µ ⋅=

I = 4 A; N = 100 vueltas

0rµ µ µ=L = 0.20 m;

T mA(0.0151 )(100)(4 A)

0.200 mB

⋅

=

¡Un núcleo ferromagnético puede aumentar significativamente el campo B!¡Un núcleo ferromagnético puede aumentar significativamente el campo B!

B = 30.2 TB = 30.2 T

Corriente inducida

Cuando un conductor se mueve a Cuando un conductor se mueve a través de líneas de flujo, las fuerzas través de líneas de flujo, las fuerzas magnéticas sobre los electrones magnéticas sobre los electrones inducen una corriente eléctrica.inducen una corriente eléctrica.

Cuando un conductor se mueve a Cuando un conductor se mueve a través de líneas de flujo, las fuerzas través de líneas de flujo, las fuerzas magnéticas sobre los electrones magnéticas sobre los electrones inducen una corriente eléctrica.inducen una corriente eléctrica.

La regla de la mano derecha muestra corriente hacia afuera para movimiento abajo y hacia adentro para movimiento arriba. (Verificar.)

La regla de la mano derecha muestra corriente hacia afuera para movimiento abajo y hacia adentro para movimiento arriba. (Verificar.)

Abajo II

Abajo

vvB

FF

Arriba vv

B

FF

Arriba

II

B

FEM inducida: Observaciones

BLíneas de flujo Φ en Wb

N vueltas; velocidad v

Ley de Faraday:

Observaciones de Faraday::

• El movimiento relativo induce fem.

• La dirección de fem depende de la dirección del movimiento.

• La fem es proporcional a la tasa a que se cortan las líneas (v).

• La fem es proporcional al número de vueltas N.

-Nt

∆Φ∆

E =

El signo negativo significa que E se opone a su causa.

Densidad de flujo magnético

∆φ

Densidad de flujo magnético:

∆ABA

Φ=

• Las líneas de flujo magnético Φ son continuas y cerradas.

• La dirección es la La dirección es la del vector B en del vector B en cualquier puntocualquier punto..

; = B BAA

Φ= ΦCuando el área A es perpendicular al flujo:

Cuando el área A es perpendicular al flujo:

La unidad de densidad de flujo es el weber por metro cuadrado.

Cálculo de flujo cuando el área no es perpendicular al campo

El flujo que penetra al área A cuando el vector normal n forma un ángulo θ con el campo B es:

cosBA θΦ =

El ángulo θ es el complemento del ángulo α que el plano del área forma con el campo B. (cos θ = sen α)

n

A θ

α

B

Ejemplo 1: Una espira de corriente tiene una área de 40 cm2 y se coloca en un campo B de a los ángulos dados. Encuentre el flujo Φ a través 3 T de la espira en cada caso.

An

nn

A = 40 cm2 (a) θ = 00 (c) θ = 600(b) θ = 900

θ

x x x x x x x x x x x x x x x x

(a) Φ = BA cos 00 = (3 T)(0.004 m2)(1); Φ = 12.0 mWb

(b) Φ = BA cos 900 = (3 T)(0.004 m2)(0); Φ = 0 mWb

(c) Φ = BA cos 600 = (3 T)(0.004 m2)(0.5); Φ = 6.00 mWb

Aplicación de la ley de Faraday

Ley de Faraday:

-Nt

∆Φ∆

E =

Al cambiar el área o el campo B Al cambiar el área o el campo B puede ocurrir un cambio en el flujo puede ocurrir un cambio en el flujo ∆Φ∆Φ::

∆Φ∆Φ = B = B ∆∆AA ∆Φ∆Φ = A = A ∆∆BB

n

n

n

Espira giratoria = B ∆A Espira en reposo = A ∆B

Ejemplo 2: Una bobina tiene 200 vueltas de 30 cm2 de área. Se voltea de la posición vertical a la horizontal en un tiempo de 0.03 s. ¿Cuál es la fem inducida si el campo constante B es 4 mT?

SN

nn

θθB

N = 200 vueltas

B = 4 mT; 00 a 900

∆∆A = 30 cmA = 30 cm2 2 – 0 = 30 cm– 0 = 30 cm22

∆Φ∆Φ = B = B ∆∆A = (3 mT)(30 cmA = (3 mT)(30 cm22))

∆Φ∆Φ = (0.004 T)(0.0030 m= (0.004 T)(0.0030 m22))

∆Φ∆Φ = 1.2 x 10= 1.2 x 10-5-5 Wb Wb

-51.2 x 10 Wb(200)

0.03 sN

t

∆Φ= − = −∆

E E = -0.080 VE = -0.080 V

El signo negativo indica la polaridad del voltaje.

Ley de Lenz

Ley de Lenz: Una corriente inducida estará en una dirección tal que producirá un campo magnético que se opondrá al movimiento del campo magnético que lo produce.

Ley de Lenz: Una corriente inducida estará en una dirección tal que producirá un campo magnético que se opondrá al movimiento del campo magnético que lo produce.

El flujo que disminuye por movimiento a la derecha induce flujo a la izquierda en la espira.

N S

Movimiento a la izquierda

II

B inducido

El flujo que aumenta a la izquierda induce flujo a la derecha en la espira.

N S

Movimiento a la derechaII

B inducido

Ejemplo 3: Use la ley de Lenz para determinar la dirección de la corriente inducida a través de R si se cierra el interruptor del circuito siguiente (B creciente).

R

Interruptor cerrado. ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida?

La corriente que se eleva en el circuito de la derecha hace que La corriente que se eleva en el circuito de la derecha hace que el flujo el flujo aumente a la izquierdaaumente a la izquierda, lo que induce corriente en el , lo que induce corriente en el circuito de la izquierda que debe producir un campo hacia la circuito de la izquierda que debe producir un campo hacia la derecha derecha para oponerse al movimientopara oponerse al movimiento. Por tanto, la corriente . Por tanto, la corriente I I a través del resistor a través del resistor RR es hacia la derecha, como se muestra. es hacia la derecha, como se muestra.

La corriente que se eleva en el circuito de la derecha hace que La corriente que se eleva en el circuito de la derecha hace que el flujo el flujo aumente a la izquierdaaumente a la izquierda, lo que induce corriente en el , lo que induce corriente en el circuito de la izquierda que debe producir un campo hacia la circuito de la izquierda que debe producir un campo hacia la derecha derecha para oponerse al movimientopara oponerse al movimiento. Por tanto, la corriente . Por tanto, la corriente I I a través del resistor a través del resistor RR es hacia la derecha, como se muestra. es hacia la derecha, como se muestra.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Direcciones de fuerzas y FEMsDirecciones de fuerzas y FEMs

vL

vI

I

x

BBI

vv

fem inducida

Al mover el alambre con velocidad v en un campo constante B se induce una fem. Note la dirección de I.

Al mover el alambre con velocidad v en un campo constante B se induce una fem. Note la dirección de I.

De la ley de Lenz se ve que De la ley de Lenz se ve que se crea un se crea un campo inverso campo inverso (afuera). Este campo genera (afuera). Este campo genera sobre el alambre una fuerza sobre el alambre una fuerza hacia la izquierda que ofrece hacia la izquierda que ofrece resistenciaresistencia al movimiento. al movimiento. Use la regla de fuerza de la Use la regla de fuerza de la mano derecha para mostrar mano derecha para mostrar esto.esto.

De la ley de Lenz se ve que De la ley de Lenz se ve que se crea un se crea un campo inverso campo inverso (afuera). Este campo genera (afuera). Este campo genera sobre el alambre una fuerza sobre el alambre una fuerza hacia la izquierda que ofrece hacia la izquierda que ofrece resistenciaresistencia al movimiento. al movimiento. Use la regla de fuerza de la Use la regla de fuerza de la mano derecha para mostrar mano derecha para mostrar esto.esto.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx

B

I

Ley de Lenz

v

FEM de movimiento en un alambre

L v

I

I

x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

BBF

vv

Fuerza Fuerza FF sobre la carga sobre la carga qq en un en un alambre:alambre:

F = qvB;F = qvB; Trabajo = FL = qvBLTrabajo = FL = qvBL

FEM:FEM: BLvE =

Si el alambre de longitud L se mueve Si el alambre de longitud L se mueve con velocidad con velocidad v v un ángulo un ángulo θθ con con B:B:

fem E inducida

v sen θv

θ

B

qqvBL

qTrabajo ==E

θsen E BLv=

Ejemplo 4: Un alambre de 0.20 m de longitud se mueve con una rapidez constante de 5 m/s a 1400 con un campo B de 0.4 T. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fem inducida en el alambre?

vθ B

norte

surEE = -0.257 V = -0.257 V

Con la regla de la mano derecha, los dedos apuntan a la derecha, el pulgar a la velocidad y la palma empuja en dirección de la fem inducida, hacia el norte en el diagrama.

Con la regla de la mano derecha, los dedos apuntan a la derecha, el pulgar a la velocidad y la palma empuja en dirección de la fem inducida, hacia el norte en el diagrama.

vB

norte

sur

I

θsen E BLv=°= 140sen m/s) m)(5 T)(0.20 (0.4E

El generador CA

Espira que gira en el campo B• Al girar una espira en un Al girar una espira en un campo campo BB constante se produce constante se produce una una corrientecorriente alterna alterna CACA..

• La corriente a la La corriente a la izquierdaizquierda es es hacia afuerahacia afuera,, por la regla de la por la regla de la mano derecha.mano derecha.

• El segmento El segmento derechoderecho tiene tiene una corriente una corriente hacia adentrohacia adentro..

• Cuando la espira está Cuando la espira está verticalvertical, , la corriente es la corriente es cerocero..

vv

B

II

vv

B

II

II en en RR es derecha, cero, izquierda y luego cero conforme gira la espira.es derecha, cero, izquierda y luego cero conforme gira la espira.

El generador CAEl generador CA

Operación de un generador CA

I=0

I=0

Cálculo de FEM inducida

a

b

n

B

Área A = abxx

.. n

v

B

θ

θ

b/2

Cada segmento Cada segmento aa tiene velocidad tiene velocidad constante constante vv..

Espira rectangular Espira rectangular a x a x bb

xx

n

v

B

θ

θ

r = b/2

v sen θ

v = ωrAmbosAmbos segmentos segmentos aa que se mueven con que se mueven con v v a un ángulo a un ángulo θθ con con BB producen fem: producen fem:

( )2bv rω ω= =;sen θBav=E

θsen )2(2 bBaT ω=E

θsen ωBAT =E

Corriente sinusoidal de generador

La fem varía sinusoidalmente con fem máx y mín

+E

-E

Para Para NN vueltas, la fem es: vueltas, la fem es:

xx

..

xx ..

θsen ωNBA=E

Ejemplo 5: Un generador CA tiene 12 vueltas de alambre de 0.08 m2 de área. La espira gira en un campo magnético de 0.3 T a una frecuencia de 60 Hz. Encuentre la máxima fem inducida.

xx

.. n

Bθ

f = 60 Hz

ωω = 2= 2ππf = f = 22ππ(60(60 Hz) = 377 rad/sHz) = 377 rad/s

2max (12)(0.3 T)(.08 m )(377 rad/s)E =

La fem es máxima cuando La fem es máxima cuando θθ = 90 = 9000..

Por tanto, la máxima fem generada es:Por tanto, la máxima fem generada es:Emax = 109 V

Si se conoce la resistencia, entonces se puede aplicar la ley de Ohm (V = IR) para encontrar la máxima corriente inducida.

Si se conoce la resistencia, entonces se puede aplicar la ley de Ohm (V = IR) para encontrar la máxima corriente inducida.

1θsen ;max == puesNBAωE

El generador CD

Generador CD

El simple generador CA se El simple generador CA se puede convertir a un puede convertir a un generador CDgenerador CD al usar un solo al usar un solo conmutador de anillo partidoconmutador de anillo partido para invertir las conexiones para invertir las conexiones dos veces por revolución.dos veces por revolución.

Conmutador

Para el generador CD: La fem fluctúa en magnitud pero siempre tiene la misma dirección (polaridad).

Para el generador CD: La fem fluctúa en magnitud pero siempre tiene la misma dirección (polaridad).

ttEE

El motor eléctrico

En un En un motor eléctricomotor eléctrico simple, una espira de corriente experimenta simple, una espira de corriente experimenta un momento de torsión que produce movimiento rotacional. Tal un momento de torsión que produce movimiento rotacional. Tal movimiento induce una movimiento induce una fuerza contraelectromotriz (fcem)fuerza contraelectromotriz (fcem) para para oponerse al movimiento.oponerse al movimiento.

En un En un motor eléctricomotor eléctrico simple, una espira de corriente experimenta simple, una espira de corriente experimenta un momento de torsión que produce movimiento rotacional. Tal un momento de torsión que produce movimiento rotacional. Tal movimiento induce una movimiento induce una fuerza contraelectromotriz (fcem)fuerza contraelectromotriz (fcem) para para oponerse al movimiento.oponerse al movimiento.

Motor eléctrico

V

V – Eb = IRV – Eb = IR

Voltaje aplicado – fuerza contraelectromotriz = Voltaje aplicado – fuerza contraelectromotriz = voltaje netovoltaje neto

Puesto que la fuerza Puesto que la fuerza contraelectromotriz contraelectromotriz EEbb aumenta con la aumenta con la

frecuencia rotacionalfrecuencia rotacional, la corriente de , la corriente de arranque es alta y la corriente arranque es alta y la corriente operativa es baja: operativa es baja: EEb b = NBA= NBAωω sen sen θθ

Puesto que la fuerza Puesto que la fuerza contraelectromotriz contraelectromotriz EEbb aumenta con la aumenta con la

frecuencia rotacionalfrecuencia rotacional, la corriente de , la corriente de arranque es alta y la corriente arranque es alta y la corriente operativa es baja: operativa es baja: EEb b = NBA= NBAωω sen sen θθ

Eb

II

Armadura y devanados de campo

En el motor comercial, muchas bobinas de alambre alrededor de la armadura producirán un suave momento de torsión. (Note las direcciones de I en los alambres.)

Motor con devanado en serie: El alambrado de campo y la armadura se conectan en serie.

MotorMotor

Motor devanado en derivación: Los devanados de campo y los de la armadura se conectan en paralelo.

Ejemplo 6: Un motor CD devanado en serie tiene una resistencia interna de 3 Ω . La línea de suministro de 120 V extrae 4 A cuando está a toda rapidez. ¿Cuál es la fem en el motor y la corriente de arranque?

V

Eb

II

V – Eb = IRV – Eb = IRRecuerde que:Recuerde que:

120 V – 120 V – EEbb = (4 A)(3 = (4 A)(3 Ω)Ω)

Eb = 108 VFuerza Fuerza contraelectromotriz en contraelectromotriz en motor:motor:

La corriente de arranque ILa corriente de arranque Iss se encuentra al notar que se encuentra al notar que EEbb = 0 al comienzo = 0 al comienzo

(la armadura todavía no rota).(la armadura todavía no rota).

120 V – 0 = 120 V – 0 = IIs s (3 (3 Ω)Ω) Is = 40 A

GRACIAS