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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-III

TRIGONOMETRÍA ‘‘FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS’’

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez

PROBLEMAS BÁSICOS DE CLASE

EXAMEN SUMATIVO

1. Si 𝑓(𝑥) =5+𝑆𝑒𝑛𝑥

3, 𝑥 ∈ [

𝜋

6;

3𝜋

4] ,

entonces el rango de 𝑓, es el intervalo:

a) [−1

2;

√2

2] b) [−

11

6; 2] c) [−2;

11

62]

d) [11

6;

2+√2

6] e) [

√2

6;

11

6]

EXAMEN SUMATIVO 2. El rango de la siguiente función: g(x) = senx + cos2x , es: a)

8

9;2

b)

8

3;4

c)

8

7;1

d)

8

7;2

e)

8

5;0

EXAMEN SUMATIVO 3. Sí Rk ; de las siguientes proposiciones:

Función Dominio Rango

1. Y = senx R 1;1

2. Y = tgx

2

12/

kxRxR

R

3. Y = Ctgx kxRxR / R

4. Y = cosx R 1;1

5. Y = Secx R R

Es falsa: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

EXAMEN SUMATIVO 4. Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 1

1. El rango 𝑓(𝑥) es: [−1; 3] 2. El dominio de 𝑓(𝑥)es: R 3. El periodo 𝑓(𝑥) es: 2𝜋 De las afirmaciones anteriores, son

verdaderas: a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2

d) solo 1 e) Todas

EXAMEN SUMATIVO 5. Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥) ; 𝑔(𝑥) = 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑘𝑥)

Son funciones cuyas gráficas se muestran en la siguiente figura. Calcular las coordenadas del punto P.

A) B)

C) D)

E)

EXAMEN SUMATIVO 6. El mínimo valor de la expresión:

𝐸 = 𝐶𝑜𝑠4𝑥 + 16𝑆𝑒𝑛2𝑥, es: A) 0 B) 1 C) 2 D) -1 E) 4

EXAMEN SUMATIVO 7. En el intervalo [0;2𝜋⟩ , para que

valores de 𝛼 se cumple la siguiente inecuación: 𝑆𝑒𝑐𝛼 < 𝑇𝑔𝛼

a) [0;𝜋

2⟩ ∪ ⟨

3𝜋

2; 2𝜋⟩ b) ⟨

𝜋

2;

3𝜋

2⟩

c) [0;𝜋

2⟩ ∪ ⟨

3𝜋

2;

7𝜋

4] d) ⟨

3𝜋

2; 2𝜋⟩

e) [0;𝜋

2⟩ ∪ ⟨

3𝜋

2; 2𝜋⟩

f(x)

g(x)

P

2

2

23

2 ;

3

2 ;

12

5

2

2 ;

3

2

2 ;

12

5

2 ;

3

5

Semana Nº 13

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

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EXAMEN SUMATIVO 8. Sea la función f definida por

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝜋

4+ 2𝑥) . Halle el rango,

∀ 𝑥𝜖 [−7𝜋

24;

𝜋

24]

a) [1

2; 1] b) [0; 1] c) [−1; 1]

d) [−1

2; 1] e) ⟨0; 1⟩

9. Halle la suma del máximo y mínimo valor

de la función: f(x) = 3+Senx a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10. Señale el dominio de la función:

12

1cos3

xCos

xxhy

a) ZnnR ),(

b) ZnnR ,)12(

c) ZnnR ,2

)12(

d) ZnnR ,2

)34( e) R

3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I

11. Determinar el dominio de:

G(x) =1

2Senx − 1+

1

2Senx + 1; n ∈ Z

a) R − {nπ ±π

6} b) R − {nπ ±

π

3}

c) R − {nπ ±π

4} d) R − {nπ ±

π

2}

e) R − {nπ ±π

8}

12. Si H(x) =Sen2x

Senx

Determinar el valor de verdad: ( ) Dom H: R − {nπ/n ∈ Z} ( ) Ran H : [−2; 2]

( ) H (π

3) + H (−

π

3) = 2

a) VVV b) VFV c)VVF

d) FVF e) FFV

13. El punto (π

3;

2n+1

2n−1) pertenece a la grafica

de la función y = Cosx. Calcular “n” a) 1/2 b) 3/2 c)5/2

d) 3/4 e) 4/3

14. Graficar y = −2Senx; x ∈ [0; 2π] a) b)

c) d)

15. señale la regla de correspondencia de la

función dada por la gráfica:

a) 2

xCos b)

2

xsen c)

2cos2

x

d) 2

2x

sen e) xsen3

Examen ordinario 2012 16. Determine el rango de la función:

F(x)=4-2Sen2x

a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7]

d) [-1,1] e) R

17. ¿Cuál es el dominio de la función g

definida por: g(x) = 3Cos (1

√x) + 2?

a) R b) R+{0} c) [-1;1] d) R-{1} e) <0;+>

18. Dada la función:

f(x) = Cos2x − Senx

Determinar su rango.

a)[3

2;

7

2] b) [−1; 2] c) [2;

7

2]

d) [5

4;

7

2] e) [−1;

5

4]

y

x

-2

2

2

y

x

-2

2

2

y

x

-1

1

/2 2 3/2

y

x

-1

1

2

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

3

19. Si la función definida por:

f(x) =2SenxCosx − 1

1 − SenxCosx

𝑥 ∈ ⟨−𝜋

2; 0⟩ , entonces el rango de la

función es:

a) ⟨−∞; −4

3⟩ b) ⟨−

5

3; −1⟩ c) ⟨−

4

3: +∞⟩

d) ⟨−1;4

3] e) [−

4

3; −1⟩

20. ¿Cuál de las siguientes funciones son inyectivas?

I. f(x) = Senx; 0 < 𝑥 < 𝜋

II. g(x) = Cosx; 0 < 𝑥 < 𝜋

III. h(x) = Cotx; 0 < 𝑥 < 𝜋

a) Solo I b)Solo II c)Solo III d) II y III e) I y II 21. El valor máximo que toma la función:

f(x) = 3Sen2x + 4Cos2x ; x ∈ R a) 3 b)4 c)5 d) 6 e) 7

22. El mínimo valor de la función:

f(x) = Tan2x ; x ∈ [π

3;5π

6]

a) 0 b) 1/3 c) 3 d) No existe el mínimo valor de f e) 1

23. Dadas las funciones :

f(x) = Sen2x|Senx| + Cos2x |Cosx|

g(x) = Senx

Se afirma:

I. En ⟨0;𝜋

2⟩, sus gráficas se intersectan

en 1 punto.

II. En ⟨𝜋;3𝜋

2⟩, sus gráficas se intersecan

en 1 punto.

III. En⟨3𝜋

2; 2𝜋⟩, sus gráficas se intersectan

en 2 puntos.

IV. El periodo principal de "f" es 𝜋.

¿Cuántas son verdaderas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) Ninguna

24. Dada la función:h(x) = √Senx + √Cosx ; n ∈ Z Señale el dominio: a) [2nπ; (2n + 1)π]

b) [(4n + 1)π

2; (2n + 1)π]

c) [(4n + 3)π

2; 2nπ + 2π]

d) [2nπ; (4n + 1)π

2]

e) [(4n + 1)π

2; (4n + 3)

π

2]

25. Si : f(x) = 1 - Sen|x| Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para

las siguientes proposiciones:

I. f(x) es creciente en ⟨𝜋

2;

3𝜋

2⟩

II. f(x) es decreciente en ⟨−3𝜋

2; −

𝜋

2⟩

III. f(x) tiene como rango [0 ; 2] a) VFF b) VFV c) VVF d) VVV e) FVV

26. En la figura adjunta calcular: 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

1

0 x1 x2 x3

1/2

y=Senx

x

a) 6𝜋 b) 4𝜋 c) 5,5𝜋 d) 8,5𝜋 e) 7𝜋

27. Calcular el área de la región limitada por la recta 𝑦 + 1 = 0 y la curva cuya ecuación es y = Cosx, si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋].

a) 2𝜋 b) 𝜋 c) 3𝜋 d) 4𝜋 e) 1,5𝜋

28. Graficar: F(x) = Sen2x

2TanxCosx

02π

02π

a) b)

02π

02π

c) d)

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.

4

29. De la figura calcular el área del triángulo MNP

0

y=Cosx

x

M

N

P

y

a) 2𝜋 b) 𝜋 c)𝜋

2 d)

𝜋

4 e) 2,5𝜋

30. De las funciones que se indican no es par: a) F(x) = |Senx| b) G(x) = Cos|x|

c) G(x) = Cos|x| d) H(x) = Cosx − Senx

e) F(x) = |Cosx| − |Senx|

31. Hallar el número de puntos de intersección de las gráficas de las

funciones y = √x e y = Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

32. Sea una función definida por: 𝑓(x) = Sen2x + 3|Senx|

Determinar el rango de 𝑓. a) [0; 1] b) [0; 2] c) [0; 3]

d) [0; 4] e) [0; 5]

33. Evaluar el dominio de la función definida por:

𝑓(x) = √Senx + √Cosx + √Tanx, 𝑥 ∈ [0; 2𝜋] a) [0; 𝜋/7] b) [0; 𝜋/5] c)[0; 𝜋/3]

d) [0;𝜋

2] e) [0;

𝜋

9]

34. la gráfica corresponde a la función f(x) = A0. senBx. si ABCD es un cuadrado de área 4 u2 ; calcular el valor de A0.cos B

a)1 b)2 c) 4 d) 8 e) 16

FUNCIÓN PERIODICA

Si F es una función periódica existe 𝑇 ≠ 0

que cumpla con:

F(x + T) = F(x) tal que T ∈ DF

CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Sea la funcion:

F(x) = A. FT𝐧. (𝐁x + C) + D

Para calcular su periodo interviene las

constantes n y B.

I. Si FT. : Sen, Cos, Sec, Csc

Para n impar: T =2π

|B|

Para n par: T =π

|B|

II. Si FT.: Tg,Ctg

Para n par o impar: T =π

|B|

35. Calcular la suma de los periodos de las siguientes funciones: F(x) = Sen5x; G(x) = Cos215x y H(x) = Tan33x

a) 4𝜋

5 b)

2𝜋

15 c)

2𝜋

3 d)

2𝜋

5 e)

7𝜋

15

36. El periodo de la función: 𝑓(x) = SenxCos3x − CosxSen3x

a) 𝜋

4 b)

𝜋

3 c) 2𝜋 d) 𝜋 e)

𝜋

2

37. Si F(x) = Sen2kx y G(x) = Cos2nx n y k ∈ Z+ Calcular el periodo de F, si el periodo de G es al periodo de F como 3 es

a 4 y el periodo de la suma es 𝜋

3.

a) 3𝜋

8 b)

𝜋

8 c)

𝜋

12 d)

𝜋

6 e)

𝜋

4

38. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función senoidal. Determinar su periodo.

0 x

y

θ

a)

2θ

3 b)

θ

3 c)

θ

6 d)

θ

4 e)

θ

8