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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-III

TRIGONOMETRA TRANSFORMACIONES TRIGONOMTRICAS

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernndez Johnny Martnez

IDENTIDADES PARA AL SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS.

Caso I: Para la suma o diferencia de dos senos o cosenos a producto.

SenA + SenB = 2Sen (A + B

2) Cos (

A B

2)

SenA SenB = 2Cos (A + B

2) Sen (

A B

2)

CosA + CosB = 2Cos (A + B

2) Cos (

A B

2)

CosA CosB = 2Sen (A + B

2) Sen (

A B

2)

Demostracin: Conocemos:

{

Sen(x + y) = SenxCosy + CosxSeny

Sen(x y) = SenxCosy CosxSeny

Cos(x + y) = CosxCosy SenxSeny

Cos(x y) = CosxCosy + SenxSeny

Si sumamos (1) + (2) obtenemos: Sen(x + y) + Sen(x y) = 2SenxCosy () Hacemos un cambio de variable: Sea

x + y = Ax y = B

}

Obtenemos:

x =A + B

2 y =

A B

2

Luego de ():

SenA + SenB = 2Sen (A + B

2) Cos (

A B

2)

Las restantes identidades pueden verificarse en forma analoga.

APLICACIN 1 1. Simplificar la expresin:

E =Cos2x + Cos4x + Cos6x

Sen2x + Sen4x + Sen6x

a) Cosx b) Tanx c) -1 d) Cot4x e) Sen6x

2. Calcular el valor de: E = [Sen38 + Sen22]Sec8

a) 1 b) 1/2 c) -1 d) 2 e) 0

3. Simplificar la expresin:

E =Sen(3x + y) + Sen(x + 3y)

Sen2x + Sen2y. Sec(x + y)

a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0

4. Simplificar la siguiente expresin:

Sen10

Cos20+Cos40

Sen70

a) -1 b) 1 c) -2 d) e) -

Caso II: Para el producto de dos trminos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia. Siendo x > y.

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x y)

2SenyCosx = Sen(x + y) Sen(x y)

2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x y)

2SenxSeny = Cos(x + y) Cos(x y)

APLICACIN 2 5. Simplificar la expresin:

Semana N 11

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernndez Johnny Martnez Trigonometra.

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E = Sen6x. Sen4x Sen15x. Sen13x+ Sen19x. Sen9x

a) 0 b) -1 c) -2 d) 1 e) 0

6. Simplificar la expresin:

E =Sen50 2Cos40. Sen10

Cos80 + 2Sen70. Sen10

a) -1 b) 0 c) 1 d) e) -2

NOTA: Sen2x Sen2y = Sen(x + y). Sen(x y)

Cos2x Sen2y = Cos(x + y). Cos(x y)

APLICACIN 3 7. Simplificar la expresion:

E = Cos(A + B). Cos(A B) + Sen2A

a) Cos2B b) -1 c) Sen2B d) 1 e) 0

SUMA DE SERIES TRIGONOMTRICAS Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ngulos estn en progresin aritmtica.

Sen(x + (k 1)r) =Sen (

nr2 )

Sen (r2)

. Sen (P + U

2)

n

k=1

Cos(x + (k 1)r) =Sen (

nr2 )

Sen (r2)

. Cos (P + U

2)

n

k=1

n=# de trminos. r= razn de P.A P=primer ngulo U=ltimo ngulo

PROBLEMAS PROPUESTOS

CEPUNS 2010 II - TECER EXAMEN SUMATIVO

8. La expresion: Sen + Sen3

Sen2 + Sen4

es equivalente a:

a) Cos2/Sen3 b) Sen2/Sen3 c) Sen4/Sen6 d) 1 e) Sen6/Sen4

9. Si Sen64 = k

A que es igual? E = Cos243 Sen217

a) k/2 b) 2k c) 4k d) k/4 e) 3k

10. Simplificar:

E = 2(Cos5x + Cos3x)(Sen3x Senx)

a) Sen16x b) Sen8x c) Sen4x d) 2Sen16x e) 2sen8x

11. Simplificar: Sen7x Sen5x

Cos7x + Cos5x+Sen3x Senx

Cosx Cos3x

a) Csc2x b) Sec2x c) Csc3x d) Sec3x e) Cscx

12. Si = 20; Calcular: Sen2x + Sen3x + Sen4x

Cos2x + Cos3x + Cos4x

a) 1 b) c) 3 d) 2 e) -1

13. Halle el valor de Q en la siguiente ecuacin: QSen70 Sen80 Cos50 = 0

a) 22 b) 3 c) -2 d) 2 e) 0 TERCER EXAMEN SUMATIVO

14. Si: =

13 , entonces el valor de la

expresin: =.10

2+4 , es:

a) - b) c) 1 d) 3/2 e) - 1

TERCER EXAMEN SUMATIVO

15. En un tringulo ABC, se cumple que: = . . Cos = . . Entonces el valor de TgA, es: A) n-2 B) n-1 C) n

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernndez Johnny Martnez Trigonometra.

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D) n+1 E) n+2 TERCER EXAMEN SUMATIVO

16. Al reducir la expresin se obtiene:

=1070

40+20

a)

20

10

Sen

Cos b)

40

20

Cos

Sen c)

10

40

Cos

Sen

d)

20

40

Cos

Sen e) N.A.

TERCER EXAMEN SUMATIVO

17. Al simplificar: (45+)(45)

(45+)+(45)

A) 1

2 b) c) 22

d) 2

2 e) 2

18. Si: + = 60 y = 45

Calcular: E = Sen2 Sen2

a) 6/8 b) 6/6 c) 6/3

d) 6/4 e) 6/2

19. Si la siguiente igualdad es una identidad, halla el valor de A Sen2x + nSen3x + Sen4x

Cos2x + nCos3x + Cos4x= . Tan3x

a) n b) 1 c) 2n d) 2 e) 3

20. En que triangulo ABC se cumple que: Sen2B + Sen2C = Sen2A

a) Acutngulo b) rectngulo c) No existe d) Obtusngulo e) Faltan datos

21. En que triangulo ABC, se cumple?

SenA =SenB + SenC

CosB + CosC

a) Equiltero b) Issceles

c) Rectngulo d) Obtusngulo

e) Acutngulo

22. Simplificar:

E =Cos1 + Cos3 + Cos5 + Cos9

(Tan1 + cot1)(Sen11 + Sen5)

a) b) c) 1 d) 2 e) 4

23. Simplificar:

E =Sen + SenSenk + Sen(2k 1)

Cos + Cosk + Cos(2k 1)

a) Tank b) Tan c) Cotk d) Cot e) 1

24. Si: 90 < < 180. Reducir:

S = Senx(Sen3x + Senx) a) Sen2x b) 2Cosx c) Sen2x

d) -1 e) 1

CEPUNS 2009 III -TERCER EXAMEN SUMATIVO

25. Al reducir:

K =SenxSen2x + Sen2xSen5x + Sen3xSen10x

CosxSen2x + Sen2xCos5x Cos3xSen10x

n ; se obtiene:

a) Cot7x b) Tan7x c) Tan7x

d) Cot7x e) Cos7x

26. Calcule el equivalente de la siguiente

expresin 2Cos( + )Cos( + 2) Cos

Cos(2 + 3)+ Tan2

a) Csc2 b) Sec2 c) Sec2

d) Csc2 e) Tan2

27. Simplificar:

E =Cos(a 3b) Cos(3a b)

Sen2a + Sen2b

a) 2Sen(a + b) b) 2Cos(a + b)

c) 2Sen(a b) d) 2Cos(a b)

e) 2

28. Del grfico , Calcular ABBC

T

Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernndez Johnny Martnez Trigonometra.

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a)tgb) tg2 c) tg3 d) Ctg3e) Ctg2

29. A partir de la figura mostrada calcular el valor de x

a) 33 b) 36 c) 37 d) 39 e) 312

30. Del grfico, calcule "x" (Cos40 = 0,766)

a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748

31. Calcular el mximo valor de: E = Sen(50 + x) Sen(10 x)

a) 1/2 b) 1 c) 3

d) 5 e) 2 32. Si Sen3Cos2 = Sen

Calcule:

M =Sen8 + Sen2

Sen4 Sen2

a) b) -1 c) 2 d) 1 e) -

33. Si =

8+ n, n Z

Calcule:

Cos5Cos3 12Cos8

Sen5Cos3 12 Sen8

a) -1 b) c) -2 d) 1 e) -

34. Si se cumple que:

Senx + Sen3x + Sen5x= pSen5x qSen3x + rSenx

Halle E = p + q + 1 + r

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

35. Si: Sen(y + z x) ; Sen(x + z y) ; Sen(x + y z) Forman en ese orden una progresin aritmtica. A que es igual?

Sen(x y)

Sen(y z)

a) CosxSecz b) SenxCscz c) 1

d) TanxCotz e) Cscx

50

10A B

C

D

4

x