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Clculos Para Ingeniera de Procesos FIQIA

Introduccin al Clculopara Ingeniera de Procesos

Prof. Segundo A. Vsquez Llanos

Objetivo


Proporcionar al estudiante los elementos necesariosy la madurez suficiente para resolvernumricamente modelos matemticos cuyasolucin analtica sea compleja o imposible.



Mtodos numricos Tcnicas numricas mediante las cuales los modelos matemticos son

resueltos usando solamente operaciones aritmticas, tediosos clculosaritmticos.Mtodos sin ordenador:1. Mtodos analticos: Slo para un nmero limitado de problemas.2. Mtodos grficos: No muy precisos.3. Calculadoras: Lento y tedioso. Posibilidad de equivocaciones.

Las computadoras son mquinas tontas que slo hace lo que se leordena; los tediosos clculos numricos los hacen muy rpido y muy bien,sin fastidiarse. El uso de un ordenador permite dar ms importancia a laformulacin e interpretacin de un problema.

Por eso, para el ingeniero moderno, los mtodos numricos implican: El uso de calculadoras graficadoras; El manejo de hojas de clculo en PC; La programacin en lenguaje C, Basic o Fortran La utilizacin de software matemtico especializado: Maple,

Polymath, MatLab, Toolkit, MathCad, Mathematica.


Mapa conceptual

ECUACIONESDIFERENCIALES

PARCIALES

ECUACIONESDIFERENCIALES

ORDINARIAS

INTERPOLACINDERIVACIN EINTEGRACIN

SISTEMAS DEECUACIONES

LINEALES

RACES DEECUACIONES

MTODOSNUMRICOS

APROXIMACINNUMRICAY ERRORES



Mapa mental



Repaso histrico Antigedad: contaban con piedrecillas; en latn, calculus significa

piedrecilla. Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prcticos de clculo,

relativamente evolucionados, en agrimensura, metrologa y astronoma. Griegos. Integraron las reglas empricas en un sistema terico, pero su

sistema de numeracin lo limitaba al uso de regla y comps. Siglo XVI: Los rabes introdujeron a Europa la numeracin india en

plena expansin cultural renacentista, se desarrollaron el lgebrasimblica y los logaritmos.

Siglo XVII: Descartes cre la geometra analtica, que permiti elclculo numrico exacto, sentando las bases del clculo infinitesimal,creado por Newton y Leibniz, y origen del anlisis matemticomoderno.

Siglo XX: El clculo numrico y los mtodos de clculo aproximadohan recibido un gran impulso, soportados ahora por poderosos equiposy programas de cmputo.



Antecedentes Los mtodos numricos tienen, al menos, unos 2,500

aos de historia Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitgoras

de Samos se percataron de la importancia delestudio de los nmeros, para poder entender almundo.

Demcrito calcul el volumen de pirmides yconos, considerndolos formados por un numeroinfinito de secciones de grosor infinitesimal.

Eudoxo y Arqumedes utilizaron el mtodo delagotamiento para encontrar el rea del crculo.



Los mtodos numricos antes de lacomputadora: El baco Los nudos incas Los nomogramas La regla de clculo


La utilidad de los mtodos numricosEs importante distinguir la diferencia entre estudiar matemticaabstracta, lo que seguramente debe tener su encanto, para loscientficos puros, y estudiar matemtica para resolver problemasreales, que es el cometido de los ingenieros.

Utilidad de estudiar mtodos numricos:Herramientas poderosas para resolver problemas complejos.Ayudan a aprender a utilizar ordenadores. Uso inteligente de

paquetes de programas.Permiten disear nuevo software.Refuerzo de la comprensin de la matemtica.



Errores presentes en el Clculo Numrico

Objetivo

Definir los trminos: error, error relativo, error relativoporcentual, verdadero y aproximado.

Distinguir los conceptos de exactitud y precisin. Calcular los errores relativos, relativos porcentuales,

verdaderos y aproximados usando como herramienta elprograma MATLAB.

Los errores numricos se generan con el uso deaproximaciones para representar las operaciones ycantidades matemticas.



Cifras SignificativasLas cifras significativas de un nmero son aquellas quepueden utilizarse de forma confiable. Se trata del nmerode dgitos que pueden utilizarse con certeza, ms unoestimado.

Ejemplo: en una bureta se aprecia dcimas de mililitro.12.25 ml (la ltima cifra estimada). Proporciona 4 c.s.Tener cuidado con ceros: 0.001855: 4 c.s. 4.5300*104: 5 c.s.En la prctica las cantidades se representan con un nmerofinito de c.s. = 3.14159265358979...con 5 c.s . 3.1416



Exactitud y PrecisinExactitud: Cercana de un valor calculado o medido al valorverdadero.Precisin: Cercana de un valor individual calculado o medidocon respecto a otros.



Definiciones de ErrorError Verdadero o Absoluto:E = Valor verdadero Valor aproximadoError Relativo Fraccional Verdadero: = Error verdadero/Valor verdadero

Ejercicio. Clculo de erroresSuponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la deun remache, y se obtiene 4099 y 4.9 cm, respectivamente. Si losvalores verdaderos son 5000 y 5 cm respectivamente, calculea. El error verdaderob. El error relativo porcentual verdadero en cada caso.En la prctica no se conoce el valor verdadero y por ello losmtodos numricos deben proporcionar una estimacin de E; porejemplo en mtodos iterativos E Ea = error aproximadoEa = Aproximacin actual Aproximacin anterior



Error Aproximado:Ea = Aproximacin actual Aproximacin anteriorError Relativo Fraccional Aproximado:a = Error aproximado/Aproximacin actual

Errores de RedondeoError originado por la omisin de cifras significativas de unvalor numrico. Se deben a que el ordenador slo puedeemplear un nmero fijo de cifras significativas pararepresentar una cantidad.Ejemplo: = 3.1416 = 3.1415926535Error de redondeo = |estimado - exacto|



Proceso de solucin de problemas en ingenieraDefinicin del problema

Modelo matemtico

Herramientas para resolver problemas: computadoras,estadsticas, mtodos numricos, grficos,etc

Resultados numricoso grficos

Interfases grupales: programacin, optimizacin, comunicacin,interaccin, etc.

Implementacion

Teoria Datos


Preguntas



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