Proporciones

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SEMANA 2

PROPORCIN

Es la igualdad de 2 razones que tienen el mismo valor. Estudiaremos 2 clases de

proporciones:

PROPORCIN ARITMTICA Es la igualdad de 2 razones aritmticas.

a b = c d

Donde:

a ; c : Antecedentes b ; d : Consecuentes a ; d : Extremos b ; c : Medios

PROPORCIN GEOMTRICA

Es la igualdad de 2 razones geomtricas.

Donde: a ; c : Antecedentes b ; d : Consecuentes a ; d : Extremos b ; c : Medios

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporcin aritmtica la suma de los trminos extremos es igual a la suma de los trminos medios, es decir:

a + d = b + c

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporcin geomtrica el producto de los trminos extremos es igual al producto de los trminos medios, es decir:

a . d = b . c

Aplicacin 1: En una proporcin aritmtica, la suma de los trminos extremos es 32 y el producto de los trminos medios es 255. Halle el mayor de los medios. Resolucin:

Aplicacin 2: En una proporcin geomtrica la suma de los trminos medios es 50 y el producto de los trminos extremos es 525. Halle el menor de los medios. Resolucin:

a c=

b d

Proporciones

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TIPOS DE PROPORCIONES

CLASES TIPOS

PROPORCIN ARITMTICA PROPORCIN GEOMTRICA

DISCRETA

Los trminos medios son diferentes.

a b = c d

d : cuarta diferencial de a, b y c.

Los trminos medios son diferentes.

a c

=b d

d: cuarta proporcional de a, b y c.

CONTINUA

Los trminos medios son iguales. a b = b c

b : media diferencial de a y c. media aritmtica de a y c. c : tercia diferencial de a y b.

Adems: a + c

b = 2

Los trminos medios son iguales.

a b

=b c

b: media proporcional de a y c. media geomtrica de a y c. c: tercia proporcional de a y b.

Adems: b a.c

Aplicacin 3: Halle a + b + c Sabiendo que: a: media diferencial de 12 y 8 b: tercera diferencial de 10 y 8

c: cuarta diferencial de a; b y a

2

Resolucin:

Aplicacin 4: La media proporcional de a y b es 12 y la tercera proporcional de a y b es 96. Calcule la cuarta proporcional de a; (a + b) y b. Resolucin:

Proporciones

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PROPIEDADES:

I Dada la proporcin geomtrica: d

c

b

a

Se cumplen:

a+b c+d

=b d

; a+b c+d

=a c

a-b c-d

=b d

; a-b c-d

=a c

a+b c+d

=a-b c-d

; a+b c+d

=a-b c-d

II Sea la proporcin geomtrica:

Discreta : a=bka c

= =kc=dkb d

Continua : 2a=cka b

= =kb c b=ck

Esta propiedad se usa por lo general cuando

K Z

III. En una proporcin geomtrica continua.

a b

b c

Se cumple: El producto de sus cuatro trminos es igual a la media proporcional elevada a la cuarta, es decir:

4b.T.P

Aplicacin 5:

Si: 3

7

b-a

ba y

3

5

c-b

cb Halle b

sabiendo adems que: 720ca

Resolucin:

Aplicacin 6: En una proporcin geomtrica y continua la suma de los trminos diferentes es igual a 62. Calcule la media proporcional, si la constante es entera. Resolucin:

Aplicacin 7: En una proporcin geomtrica continua el producto de sus trminos es 160 000 y la suma de sus consecuentes es 70. Cul es la suma de los extremos? Resolucin:

Aplicacin 8: En una proporcin geomtrica la diferencia de los trminos de cada razn son 9 y 12 respectivamente. Halle la suma de los antecedentes si la diferencia de los cuadrados de los antecedentes es 700. Resolucin:

Proporciones

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1. De la tercia diferencial de 20 y 14 restar la cuarta proporcional de 32; 4 y 40. Rpta:

2. En una proporcin geomtrica el primer trmino es 6 y la cuarta proporcional es 8. Calcule el producto de los medios.

Rpta:

3. En una proporcin aritmtica, la suma

de los extremos es igual a 22. Si los trminos medios se diferencian en 2 unidades, el menor de estos medios es: Rpta:

4. En una proporcin aritmtica continua, la media diferencial es igual a 19 y la razn aritmtica de los extremos es 16. Calcule el menor de los extremos. Rpta:

5. En una proporcin geomtrica continua el producto de sus trminos es 1296 y la suma de los antecedentes es 8. Halle la tercera proporcional. Rpta:

6. El producto de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica es 576. Si el segundo trmino es 8, Cul es el tercer trmino? Rpta:

7. El producto de los cuatro trminos de una proporcin geomtrica discreta es 15 876. Si el primero de estos trminos es 7. Cul es la diferencia de los extremos? Rpta:

8. La suma de los trminos de una proporcin geomtrica es 65; cada uno de los tres ltimos es 2/3 del precedente. Cul es el ltimo trmino? Rpta:

9. En una proporcin aritmtica continua, los extremos estn en la relacin de 3 es a 5. Si la suma de los cuadrados de los tres trminos diferentes de la proporcin aritmtica continua es 200, calcule la media aritmtica. Rpta:

10. La cuarta proporcional de a + 1"; a - 1"

y a + 8" es a + 4", calcule la tercera proporcional de 3 y a + 3" Rpta:

11. La suma de los 4 trminos de una

proporcin geomtrica continua es 125. Indique la diferencia de los extremos. Rpta:

12. La diferencia entre el mayor y menor

trmino de una proporcin geomtrica continua es 25. Si el otro trmino es 30. Indique la suma de los trminos, si los cuatro son positivos. Rpta:

13. El valor de la razn de una proporcin

geomtrica es 5/9, si el producto de los antecedentes es 1800 y la suma de los consecuentes es 162. Halle la suma de los extremos. Rpta:

14. Determine la suma de los 4 trminos de

una proporcin geomtrica continua si se sabe que la suma de sus trminos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el tercer trmino y la razn es 24. Rpta:

15. En una proporcin geomtrica discreta

los 3 ltimos trminos son la mitad del anterior. Si los 4 trminos suman 60. Determine el mayor. Rpta:

GUA DE CLASE N 2