semana 12

7/17/2019 Semana 12

http://slidepdf.com/reader/full/semana-12-568d18369dbbf 1/18

“Año de la Diversifcación Productiva y el

Fortalecimiento de la Educación”

FACULTAD: INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ESCUELA: INGENIERIA CIVIL

TEMA:

CINEMÁTICA EN EL PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO

ASIGNATURA : DINÁMICA

DOCENTE : ING. JORGE VASQUEZ SILVA

ALUMNO : GERALD CALLOQUISPE RODRÍGUEZ

Tarapoto 18 de Mayo del !1"

1

http://peru21.pe/politica/2014-ano-promocion-industria-responsable-y-compromiso-climatico-2164048







7/17/2019 Semana 12


E#$%ela pro&e#'o(al de I()e('er*a C'+'l

INDICE1. INT!D"##I$N %

&. !'(ETI)! *

&.1. !'(ETI)! +ENEA, *

&.&. !'(ETI)! E-PE#IFI#! *

%. F"NDAENT! TE$I#! *

%.1. #ENT! IN-TANT/NE! DE !TA#I$N *%.&. AN/,I-I- DE, !)IIENT! E,ATI)!0 )E,!#IDAD

A#E,EA#I$N 2

*. DE-A!,,! DE, TEA 1%

2. #!N#,"-I!NE- E#!ENDA#I!NE- 12

2.1. #!N#,"-I!NE- 12

2.&. E#!ENDA#I!NE- 12

3. ANE4!- 123.1. 'I',I!+AFIA 12

P56ina 7 &

7/17/2019 Semana 12



I. INT!D"##I$NDurante el transcurso de los tiem8os9 la com8rensión de las leyes de ladin5mica cl5sica le :a 8ermitido al :om;re determinar el valor9 direccióny sentido de la <uer=a >ue :ay >ue a8licar 8ara >ue se 8rodu=ca undeterminado movimiento o cam;io en el cuer8o. Por e?em8lo9 8ara :acer>ue un co:ete se ale?e de la Tierra9 :ay >ue a8licar una determinada<uer=a 8ara vencer la <uer=a de 6ravedad >ue lo atrae@ de la mismamanera9 8ara >ue un mecanismo trans8orte una determinada car6a :ay>ue a8licarle la <uer=a adecuada en el lu6ar adecuado.

Para un in6eniero civil la din5mica es una materia muy im8ortante9 ya>ue la a8licamos o la em8leamos en casi todas las construcciones >ue:a6amos. #omo 8or e?em8lo0 idr5ulica9 tur;inas9 motores9 ma>uinaria8esada9 6rBas9 etc. Tam;iCn la a8licamos en an5lisis de vi6as 8ormCtodos din5micos y de ener6a y en el an5lisis de sismos y su e<ecto enestructuras.Es 8or estas ra=ones >ue en la in6eniera se re>uiere la a8licación de los8rinci8ios de la din5mica@ y con<orme se 8resenten m5s avancestecnoló6icos9 :a;r5 incluso una mayor necesidad de sa;er cómo a8licarlos 8rinci8ios de esta materia.

En este in<orme si6uiendo con el tema de cinem5tica en el 8lano de uncuer8o r6ido9 anali=aremos dos 8untos im8ortantes9 en las cuales seem8lear5 un mCtodo alternativo 8ara el an5lisis de velocidades enmovimiento 8lano9 ;asado en el conce8to de centro instant5neo derotación y des8uCs se estudiar5 la velocidad y aceleración de un cuer8or6ido 8or medio del an5lisis del movimiento relativo.

P56ina 7 %

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Cohete

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Cohete

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad

7/17/2019 Semana 12



II. !'(ETI)!-II.1. !'(ETI)! +ENEA,

Desarrollar en el estudiante el conocimiento e investi6ación en elcam8o del movimiento de los cuer8os.

II.&. !'(ETI)! E-PE#FI#! Demostrar como :allar el centro de instant5neo de rotación. Anali=ar la velocidad y aceleración del movimiento relativo

mediante un marco de re<erencia trasladante.

III. F"NDAENT! TE$I#!III,1, CENTRO INSTANT-NEO DE ROTACI.N

,a velocidad de cual>uier 8unto B locali=ado en un cuer8o r6ido8uede o;tenerse de una manera muy directa al seleccionar el 8unto ;ase

A como un 8unto de velocidad cero en el instante considerado. En

este caso9 v A=0 y 8or consi6uiente la ecuación de

velocidad9 vB=v A+ω × rB/ A 9 se vuelve vB=ω× rB / A . En el caso de un

cuer8o >ue ten6a movimiento 8lano 6eneral9 el 8unto A as

seleccionado se llama centro instant5neo de velocidad cero (CI) y se

u;ica en el e?e instant5neo de velocidad cero. Este e?e siem8re es8er8endicular al 8lano de movimiento y la intersección del e?e con el

8lano defne la u;icación del CI #omo el 8unto A coincide con el

CI 9 entonces vB=ω× r

B /Cl y 8or tamo el 8unto B se mueve

moment5neamente alrededor del CI en una trayectoria circular@

e8resado de otra manera9 el cuer8o 8arece 6irar alrededor del e?e

instant5neo. ,a ma6nitud de vB es sim8lemente v B=ω rB /Cl 9 donde

ω es la velocidad an6ular del cuer8o. De;ido al movimiento circular9 la

dirección vB siem8re de;e ser 8er8endicular a rB/CI . Por e?em8lo9 elCI de la rueda de la ;icicleta de la f6ura est5 en el 8unto de contacto

con el suelo. All los rayos son un tanto visi;les9 mientras >ue en la 8artesu8erior de rueda se ven ;orrosos. -i nos ima6inamos >ue la rueda estamoment5neamente f?a 8or medio de un 8asador en este 8unto9 se

8ueden determinar las velocidades de varios 8untos con v=ω r . A>u9

las distancias radiales mostradas en la <oto9 de;en determinarsemediante la 6eometra de la rueda.

P56ina 7 *

7/17/2019 Semana 12



Lo$al'/a$'0( delCI

, Para locali=ar elCI

8odemos 8artir del :ec:ode >ue la velocidad de un 8unto en el cuer8o siem8re es 8er8endicular al

vector de 8osición relativa diri6ido desde CI :acia el 8unto. -e

8resentan varias 8osi;ilidades0

• ,a velocidad v A de un 8unto A en el cuer8o y la velocidad

an6ular ω del cuer8o se conocen9 f6ura GaH. En este caso9 elCI se encuentra a lo lar6o de la lnea tra=ada 8er8endicular av

A en A 9 de modo >ue la distancia de A al CI esr A /CI=v A /ω . !;serve >ue el CI >ueda arri;a a la derec:a de

A 8uesto >ue v A de;e 8rovocar una velocidad an6ular en el

sentido de las manecillas del relo? ω alrededor del CI .

• ,as lneas de acción de dos velocidades no 8aralelas v A y v B

se conocen9 f6ura G;H. Trace en los 8untos A y B se6mentos

P56ina 7 2

7/17/2019 Semana 12



de lnea 8er8endiculares a v A y v B . Al etender estas

8er8endiculares :asta su 8unto de intersección como se muestra9

se locali=a el CI el instante considerado.

• ,a ma6nitud y dirección de dos

velocidades 8aralelas v A y v B se

conocen. En este caso9 la u;icación

del CI se determina 8or medio de

tri5n6ulos 8ro8orcionales. En la f6uraGcH y GdH se muestran al6unose?em8los. En am;os casosr

A /CI=v A /ω yr

B/CI=vB/ω . -i d esuna distancia conocida entre los

8untos A y B 9 entonces en la f6ura GcH9 r A /CI+rB /CI=d y en la

f6ura GdH9 rB/CI−r A /CI=d .

#uando la ta;la se desli=a :ada a;a?o a la i=>uierda e8erimenta unmovimiento 8lano 6eneral. #omo las direcciones de las velocidades de

P56ina 7 3

7/17/2019 Semana 12



sus etremos A y B son conocidas9 el CI se locali=a como se

muestra. En este instante la ta;la 6irar5 moment5neamente alrededorde este 8unto. Di;u?e la ta;la en otras varias 8osiciones y esta;le=ca el

CI en cada caso.

Dese cuenta >ue el 8unto seleccionado como el centro instant5neo develocidad cero del cuer8o sólo 8uede ser utili=ado en el instanteconsiderado 8uesto >ue el cuer8o cam;ia de 8osición de un instante alsi6uiente. El lu6ar 6eomCtrico de los 8untos >ue defnen la u;icación delCI durante el movimiento del cuer8o se llama centroda9 f6ura GaH9 y

8or tanto cada 8unto en la centroda actBa como el CI del cuer8o sólo8or un instante.

Aun cuando el CI 8uede ser utili=ado con muc:o 8rovec:o 8ara

determinar la velocidad de cual>uier 8unto de un cuer8o9 8or lo 6eneralno tiene aceleración cero y en consecuencia no se le de;e utili=ar 8aradeterminar las aceleraciones de los 8untos de un cuer8o.

ro$ed'2'e(to para el a(3l'#'#

,a velocidad de un 8unto de un cuer8o sometido a movimiento 8lano6eneral 8uede determinarse con re<erencia a su centro instant5neo de

velocidad cero siem8re >ue 8rimero se esta;le=ca la u;icación del CI

mediante uno de los tres mCtodos antes descritos.

• #omo se muestra en el dia6rama cinem5tico de la f6ura9 nosima6inamos el cuer8o como “etendido y f?o 8or medio de un

8asador” en el CI de modo >ue9 en el instante considerado9 6ira

alrededor de este 8asador con su velocidad an6ular ω .

•

,a ma6nitud de la velocidad de cada uno de los 8untos ar;itrarios A 9 B y C en el cuer8o 8uede determinarse 8or medio de la

ecuación v=ωr 9 donde r es la distancia radial del CI a cada

8unto.

• ,a lnea de acción de cada vector de velocidad v es

8er8endicular a su lnea radial asociada r 9 y la velocidad tiene

un sentido de dirección >ue tiende a mover el 8unto de una

manera consistente con la rotación an6ular ω de la lnea radial.

P56ina 7

7/17/2019 Semana 12



III.&. AN/,I-I- DE, !)IIENT! E,ATI)!0 )E,!#IDAD

A#E,EA#I$N)E,!#IDAD

El movimiento 8lano 6eneral de un cuer8o r6ido se descri;e como unacom;inación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos“com8onentes” 8or se8arado utili=aremos un an5lisis de movimientorelativo >ue im8lica dos con?untos de e?es de coordenadas. El sistema de

coordenadas x 9 y est5 f?o y mide la 8osición a;soluta de dos8untos A y B en el cuer8o9 re8resentado a>u como una ;arra9

f6ura GaH. -e :ar5 >ue el ori6en de los

sistemas de coordenadas x ' 9 y '

coincida con el “8unto ;ase” A

seleccionado9 el cual 8or lo 6eneraltiene un movimiento conocido. ,os e?esde este sistema de coordenadas setrasladan con res8ecto al marco f?o

8ero no 6iran con la ;arra.

o#'$'0(, El vector de 8osición r A en

la f6ura GaH es8ecifca la u;icación del

“8unto ;ase” A y el vector de

8osición relativa rB/ A locali=a el 8unto B con res8ecto al 8unto A .

ediante adición vectorial9 la 8osición de B es 8or tanto0

rB=r A+r B / A

P56ina 7 J

7/17/2019 Semana 12



De#pla/a2'e(to, Durante un instante de tiem8o dt 9 los 8untos A y

B e8erimentan los des8la=amientos d r A y d rB como se muestra

en la f6ura G;H. -i consideramos el movimiento 8lano 6eneral 8or sus8artes com8onentes entonces toda la ;arra 8rimero se traslada unacantidad d r A modo >ue A 9 el 8unto ;ase9 se mueve a su 8osición

fnal y el 8unto B a B ' 9 f6ura GcH. ,a ;arra 6ira entonces alrededor

de A una cantidad d θ de modo >ue B ' e8erimenta un

des8la=amiento relativo d rB / A y se mueve a su 8osición fnal B .

De;ido a la rotación so;re A 9 d rB / A=rB / A d θ y el des8la=amiento de

B es0

NOTA: A medida >ue el ;lo>ue corredi=o A se des8la=a

:ori=ontalmente :acia la i=>uierda a una velocidad v A :ace 6irar la

manivela CB en sentido contrario al de las manecillas del relo?9 demodo >ue vB es tan6ente a su trayectoria circular9 es decir9 :acia

arri;a a la i=>uierda.

,a ;iela A B >ue conecta

esta sometida a movimiento8lano 6eneral y en el instante>ue se muestra su velocidad

an6ular es ω .

Velo$'dad, Para determinarla relación entre las

velocidades de los 8untos A y B es necesario considerar la derivada

con res8ecto al tiem8o de la ecuación de 8osición o sim8lemente dividir

la ecuación de des8la=amiento entre dt . De esto resulta0

d rB

dt =

d r A

dt +

d rB / A

dt

P56ina 7 K

7/17/2019 Semana 12



,os tCrminos d rB /dt =v B y d r A /dt =v A se miden con res8ecto a los e?es

f?os x 9 y y re8resentan las velocidades a;solutas de los 8untos A

y

B

9 res8ectivamente. #omo el des8la=amiento relativo lo 8rovoca unarotación9 la ma6nitud del tercer tCrmino esd rB / A /dt =r B / A dθ /dt =rB / A θ́=r B / A ω 9 donde ω es la velocidad an6ular del

cuer8o en el instante considerado. Denotaremos este tCrmino como la

velocidad relativa vB / A 9 8uesto >ue re8resenta la velocidad de B con

res8ecto a A medida 8or un o;servador f?o en los e?es trasladantes

x 9 y' . Dic:o de otra manera9 la ;arra 8arece moverse como si 6irara

con una velocidad an6ular ω con res8ecto d e?e z ' >ue 8asa 8or

A . Por consi6uiente9 la ma6nitud de vB / A es v B/ A=ω rB / A y su

dirección es 8er8endicular a rB/ A . Por consi6uiente9 tenemos0

↳ 1L ecuación

Donde0vB M velocidad del 8unto B

v A M velocidad del 8unto ;ase A

vB / A M velocidad de B con res8ecto a A

,o >ue esta ecuación esta;lece es >ue la velocidad de B 9 f6ura GdH9 se

determina al considerar >ue toda la ;arra se traslada con una velocidad

de v A 9 f6ura GeH y >ue 6ira alrededor de A con una velocidad

an6ular ω 9 f6ura G<H. ,a adición vectorial de estos dos e<ectos9 a8licada

a B 9 resulta vB 9 como se muestra en la f6ura G6H.

#omo la velocidad relativa vB / A re8resenta el e<ecto del movimiento

circular9 alrededor de A 9 este tCrmino 8uede e8resarse 8or medio del

8roducto vectorial vB / A=ω× rB / A . Por consi6uiente9 8ara su a8licación

mediante un an5lisis vectorial cartesiano9 tam;iCn 8odemos escri;ir 1Lecuación como0

↳ &L ecuación

P56ina 7 1

7/17/2019 Semana 12



Donde0vB M velocidad del 8unto B

v A M velocidad del 8unto ;ase A

ω M velocidad an6ular del cuer8orB/ A M vector 8osición diri6ido de A a B

,a ecuación de velocidad de la 1L ecuación o &L ecuación 8uede usarsede una manera 8r5ctica 8ara estudiar el movimiento 8lano 6eneral de un

cuer8o r6ido el cual est5 o conectado 8or 8asador a 9 o en contacto

con otros cuer8os en movimiento. #uando se a8lica esta ecuación9 los

8untos A y B en 6eneral de;en seleccionarse9 como 8untos en el

cuer8o >ue est5n conectados 8or medio de un 8asador a otros cuer8os9 o

como 8untos en contacto con cuer8os adyacentes >ue tienen unmovimiento conocido. Por e?em8lo9 el 8unto A en el esla;ón A B en

la f6ura G:H de;e moverse a lo lar6o de una trayectoria :ori=ontal9

mientras >ue el 8unto B lo :ace en una trayectoria circular. Por

consi6uiente 8ueden esta;lecerse las direcciones de v A y vB 8uesto

>ue siem8re son tan6entes a sus trayectorias de movimiento9 f6ura GiH.

En el caso de la rueda mostrada en la f6ura9 la cual rueda sin desli=arse9

el 8unto A en ella 8uede seleccionarse en el suelo. A>u9 la velocidad

de A es cero Gmoment5neamenteH 8uesto >ue el suelo no se mueve.

Adem5s9 el centro de la rueda9 B , se mueve a lo lar6o de una

trayectoria :ori=ontal de modo >uev

B es :ori=ontal.

P56ina 7 11

7/17/2019 Semana 12



ro$ed'2'e(to para el a(3l'#'#

,a ecuación de velocidad relativa 8uede a8licarse mediante an5lisisvectorial cartesiano o ;ien si se escri;en directamente las ecuaciones de

com8onentes escalares x y y . Para su a8licación se su6iere el

si6uiente 8rocedimiento.

A(3l'#'# Ve$tor'alD'a)ra2a $'(e23t'$o

• Esta;le=ca las direcciones de las coordenadas x 9 y f?as ytrace un dia6rama cinem5tico del cuer8o. Indi>ue en Cl las

velocidadesv A

9vB

de los 8untos A

yB

9 la velocidadan6ular ω 9 y el vector de 8osición relativa rB / A .

• -i las ma6nitudes de v A 9 vB o ω son incó6nitas9 8uede

su8onerse el sentido de estos vectores.

E$%a$'0( de Velo$'dad,

• Para a8licar vB=v A+ω × rB / A 9 e8rese los vectores en <orma

vectorial cartesiana y sustitByalos en la ecuación. EvalBe el

8roducto vectorial y lue6o i6uale los com8onentesi

y j

res8ectivos 8ara o;tener dos ecuaciones escalares.

• -i la solución resulta en una res8uesta ro6ativa 8ara una ma6nituddesconocida9 indica >ue el sentido del vector es o8uesto al >ue semuestra en el dia6rama cinem5tico.

A(3l'#'# E#$alarD'a)ra2a $'(e23t'$o,

• -i la ecuación de velocidad se va a a8licar en <orma escalar9entonces de;en esta;lecerse la ma6nitud y la dirección de la

velocidad relativa v B/ A . Trace un dia6rama cinem5tico como se

P56ina 7 1&

7/17/2019 Semana 12



muestra en la f6ura G6H9 el cual muestra el movimiento relativo.#omo se considera >ue el cuer8o de;e estar “su?eto 8or medio de

un 8asador” moment5neamente en el 8unto ;ase A 9 la

ma6nitud de v B/ A es v B/ A=ωr B/ A . ,a dirección de v B/ A siem8rees 8er8endicular a rB / A de acuerdo con el movimiento de rotación

ω del cuer8o.

E$%a$'0( de +elo$'dad,

• Escri;a la &L ecuación en <orma sim;ólica vB=v

A+v

B / A 9 y de;a?o

de cada uno de los tCrminos re8resente los vectores 6r5fcamentede modo >ue muestren sus ma6nitudes y direcciones. ,as

ecuaciones escalares se determinan con los com8onentes x

y y de estos vectores.

O,a notación vB=v A+vB / A ( pasador ) 8uede ser Btil 8ara recordar >ue A

est5 “conectado con un 8asador”.

A#E,EA#I$N"na ecuación >ue relacione la aceleración de dos 8untos en una ;arra

Gcuer8o r6idoH sometida a movimiento 8lano 6eneral 8uededeterminarse al di<erenciar v

B=v

A+v

B / A con res8ecto al tiem8o. De a>u

resulta0

d vB

dt =

d v A

dt +

d vB / A

dt

,os tCrminos d vB /dt =aB y d v A /dt =a A se miden con res8ecto a un

sistema de e?es x 9 y f?os y re8resentan las aceleraciones a;solutas

de los 8untos B y A . El Bltimo tCrmino re8resenta la aceleración deB con res8ecto a A medida 8or un o;servador f?o en los e?es

trasladantes x ' 9 y ' los cuales tienen su ori6en en el 8unto ;ase A

. En la sección de anterior se demostró >ue 8ara este o;servador el

8unto B 8arece moverse a lo lar6o de un arco circular con radio de

curvatura rB / A . Por consi6uiente9 aB / A 8uede e8resarse en <unción

de sus com8onentes tan6encial y normal@ es decir9 aB / A=(aB / A ) t +(aB / A )n ,

P56ina 7 1%

7/17/2019 Semana 12



donde (aB / A ) t =α rB / A y (aB / A )n=ω

2r B/ A . Por tanto9 la ecuación de

aceleración relativa se escri;e en la <orma0

↳ 1L ecuación

Donde0aB M aceleración del 8unto B

a A M aceleración del 8unto A

(aB / A ) t M com8onente de aceleración tan6encial de B con

res8ecto a A . ,a ma6nitud es (aB / A ) t =α rB / A y la dirección

es 8er8endicular a rB / A .

(aB / A )n M com8onente de aceleración tan6encial de B con

res8ecto a A . ,a ma6nitud es (aB / A )n=ω2r B/ A y la dirección

siem8re es de B :acia A .

En la f6ura 13&* est5n re8resentados 6r5fcamente los tCrminos dela ecuación 131. A>u se ve >ue en un instante dado la aceleración

de Q9 f6ura l3&*Q9 se determina al considerar >ue la ;arra se trasladacon una aceleración ;a9f6ura 13&*3y simult5neamente 6ira alrededordel 8unto ;ase A con una velocidad an6ular instant5nea to y una aceleRración an6ular a9 f6ura 13&*c. ,a adición vectorial de estos dos e<ecRtos9 a8licados a '9 resulta en as9 como se muestra en la f6ura l3&*d.'n la f6ura l3&*Q se ve >ue como los 8untos S y 2 se mueven a lolar6o de trayectorias curvas9 la aceleración de estos 8untos tendr5ntantocom8onentes tan6enciales como normales. Gecuerde >ue la aceleraciónde un 8unto es um6ente a la trayectoria sólo cuando Csta es rectilnea ocuando es un 8unto de inQeión en una curva.H

#omo los com8onentes de aceleración relativa re8resentan el e<ectode movimiento circular o;servado desde e?es trasladantes >ue tienensu ori6en en el 8unto ;ase A9 estos tCrminos 8ueden e8resarse comoGsUaH M 4 S'VA y G2UaH M ecuación 131*. Por tanto9 laecuación 131 se escri;e-i la ecuación 131 o la 131J se a8lican de una manera 8r5ctica 8araestudiar el movimiento acelerado de un cuer8o r6ido el cual est5conec"tdo8or medio de un 8asador a otros dos cuer8os9 :a;r5 >ue tener encuenRta >ue los 8untos >ue coimiden en el 8asador se mueven con la mismaaceleración9 8uesto >ue la trayectoria del movimiento so;re la cualvia?an

P56ina 7 1*

7/17/2019 Semana 12



es la misma. Por e?em8lo9 el 8unto ' situado o en la ;arra 'A o en la;arra '#del mecanismo de manivelas de la f6ura l3&2a tiene la mismaaceleración9 8uesto >ue las ;arras est5n conectadas 8or el 8asador en '.A>u el movimiento de ' ocurre a lo lar6o de una trayectoria circular9 de

modo >ue 8uede e8resarse en <unción de sus com8onentes tan6enciaRles y normales. En el otro etremo de la ;arra '# el 8unto # se mueve alo lai6o de mt, trayectoria de lnea recta9 defnida 8or el 8istón. Portanto9ac es :ori=ontal9 f6ura l3&2Wi.- dos cuer8os se 8onen en contacto sin desli=arse9 y los 8untosm contacto se mueven a lo lar6o de trayectorias di<erentes9 entonceslas com8onentes tan6enciales de su aceleración ser5n las mismas9 sinem;ar6o9 las com8onentes normales en 6eneral no ser5n las mismas.Por e?em8lo9 considere los dos en6ranes aco8lados en la f6ura 13&3a.

X 8unto A se encuentra en el en6rane y un 8unto coincidente AY seencuentra en el en6rane #. De;ido al movimiento de rotación9 GaSHZ Msin em;ar6o9 como los dos 8untos si6uen trayectorias circularesdi<erentes9 Ga?iH8 S y 8[ consi6uiente S aSs f6ura 13&33.

I). DE-A!,,! DE, TEAE4ERCICIO N5 !1

-e enrolla una cuerda alrededor de la rueda mostrada en la f6ura9 la cual

inicialmente est5 en re8oso cuando θ=0 . -i se a8lica una <uer=a a la

cuerda y se le im8arte una aceleración a=(4 t )m/s2 9 donde t est5 en

se6undos9 determine9 como una <unción del tiem8o0aH ,a velocidad an6ular de la rueda

;H ,a 8osición an6ular de la lnea OP en radianes.

SOLUCI.Narte 6a7, ,a rueda est5 sometida a rotación alrededor de un e?e f?o >ue

8asa 8or el 8unto O . Por tanto9 un 8unto P en la rueda descri;e una

trayectoria circular y su aceleración tiene com8onentes tantotan6enciales como normales. ,a com8onente tan6encial es

(a P )t =(4 t )m /s2 9 8uesto >ue la cuerda est5 enrollada alrededor de la

rueda y se des8la=a tan6ente a ella. Por consi6uiente9 la aceleraciónan6ular de la rueda es0

P56ina 7 12

7/17/2019 Semana 12



↻+¿¿¿

(4 t )m /s2=α (0.2m )

α =(20 t ) rad / s2↻

#on este resultado y α =dω /dt 9 a:ora 8odemos determinar la velocidad

ω an6ular de la rueda9 8uesto >ue esta ecuación relaciona α 9 t y

ω . Al inte6rar9 con la condición inicial de >ue ω=0 cuando t =0 9 se

o;tiene0

↻+¿

¿¿

∫0

ω

dω=∫0

t

20 t dt

ω=10 t 2

rad /s↻

arte 67, #on este resultado y ω=dθ /dt 9 8odemos determinar la

8osición an6ularθ

deOP

9 8uesto >ue esta ecuación relacionaθ

9ω y t . Al inte6rar9 con la condición inicial de >ue θ=0 cuando

t =0 9 tenemos0

↻+¿

¿¿

∫0

θ

dθ=∫0

t

10 t 2

dt

θ=3.33 t 2

rad Rpta,

NOTA: no 8odemos utili=ar la ecuación de aceleración an6ular constante9

8uesto >ue α es una <unción del tiem8o.

E4ERCICIO N5 !

El motor >ue se muestra en la <oto6ra<a se utili=a 8ara :acer 6irar un

ensam;le de rueda y so8lador alo?ado en la ca?a. ,os detalles del diseño

P56ina 7 13

7/17/2019 Semana 12



se muestran en la f6ura GaH. -i la 8olea A conectada al

motor comien=a a 6irar desde el 8unto de re8oso con una

aceleración an6ular constante de α A=2 rad / s2

9

determine las ma6nitudes de la velocidad y aceleración

del 8unto P en la rueda9 des8uCs de >ue la 8olea :a re

ati=ado dos revoluciones. -u8on6a >ue la ;anda detransmisión no se res;ala en la 8olea y la rueda.

SOLUCI.NMo+'2'e(to a()%lar, Primero convertiremos las dos revoluciones en

radianes. #omo una revolución e>uivale a 2π rad 9

entonces0

θ A=2rev( 2π rad

1 rev )=12.57 rad

#omo α A es constante9 la velocidad an6ular de la

8olea A es 8or consi6uiente0↻+¿¿¿

ω A

2=0+2 (2ω ) (12.57 rad−0 )

ω A=7.090rad / s

,a ;anda tiene la misma velocidad y com8onentetan6encial de la aceleración cuando 8asa 8or la 8oleay la rueda. Por tanto0

v=ω A r A=ωB r B;7.090 rad / s (0.15m )=ωB (0.4 m )

ωB=2.659 rad / s

at =α A r A=α B rB ;2 rad /s2 (0.15m )=α B (0.4m )

α B=0.750rad /s2

Mo+'2'e(to de , #omo se muestra en el dia6rama cinem5tico en laf6ura G;H9 tenemos0

v P=ωB r B=2.659rad /s (0.4m )=1.06m /s

P56ina 7 1

7/17/2019 Semana 12



(a P )t =α B rB=0.750 rad /s2 (0.4m )=0.3m /s

2

(a P )n=ωB

2r B= (2.659rad /s)2 (0.4m )=2.827m /s

2

Por tanto0

a P=√ (0.3m/s2 )

2

+(2.827m /s2 )2

=2.84m / s2

Rpta,

). #!N#,"-I!NE- E#!ENDA#I!NE-).1. #!N#,"-I!NE-

-e 8udo reali=ar un com8leto an5lisis del tema. -e 8udo resaltar la im8ortancia de dic:os conce8tos a travCs de

im56enes.

).&. E#!ENDA#I!NE- Tener en cuenta las <ormulas. es8etar dic:as 8ro8iedades.

)I. 'I',I!+AFA Pui6 Adam P. #5lculo Inte6ral A8licado a la Fsica y TCcnica. 'i;lioteca

atem5tica9 1K&9 856. &J3&J ec5nica vectorial 8ara in6enieros. -C8tima edición \ E. ussell

(o:nston. ec5nica )ectorial 8ara in6enieros Din5mica i;;eler 1& ed li;ro. ecanica8araIn6enierosDinamicaTerceraEdicion(,eriam,+

]rai6e.

P56ina 7 1J

semana 12

Documents