semana 1-logica proposicional

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U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A S DIRECCIÒN UNIVERSITARIA DE EDUCACIÒN A DISTANCIA Facultad de Derecho y Ciencia Política ESCUELA PROFESIONAL DE DERECHO DUED-UAP Lógica Jurídica 2013 III ASIGNATURA : Lógica Jurídica CICLO : 2013-III DOCENTE : Ing. Omar Castillo Paredes LÓGICA PROPOSICIONAL DEFINICIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1. Enunciados y Valor de Verdad La lógica proposicional es la rama del conocimiento que trata sobre la verdad o falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras (conclusión). Enunciado : Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración. Proposición : Enunciado susceptible de ser verdadero o falso pero no ambos a la vez. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama valor de verdad. Ejemplos: Son proposiciones lógicas: a) Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como: 2 2 2 b 2ab a b) (a ; a, bR b) Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Así como: “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro” c) Los enunciados cerrados o definidos. Así como: ++=180°; si , y son ángulos internos correspondientes a un mismo triángulo. x + y = 50; si x = 10, y = 30 La USS está acreditada internacionalmente. No son proposiciones lógicas: a) Las creencias, mitos o leyendas. Así como: “Dios es un ser misericordioso”. “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”

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Facultad de Derecho y Ciencia Política ESCUELA PROFESIONAL DE DERECHO

DUED-UAP Lógica Jurídica – 2013 III

ASIGNATURA: Lógica Jurídica CICLO: 2013-III DOCENTE: Ing. Omar Castillo Paredes

LÓGICA PROPOSICIONAL

DEFINICIONES BÁSICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

1.1. Enunciados y Valor de Verdad

La lógica proposicional es la rama del conocimiento que trata sobre la verdad o

falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones

(premisas) a otras (conclusión).

Enunciado: Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración.

Proposición: Enunciado susceptible de ser verdadero o falso pero no ambos a la vez.

La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama valor de verdad.

Ejemplos:

Son proposiciones lógicas:

a) Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como:

222 b2abab) (a ; a, bR

b) Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Así como:

“Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro”

c) Los enunciados cerrados o definidos. Así como:

++=180°; si , y son ángulos internos correspondientes a un mismo

triángulo.

x + y = 50; si x = 10, y = 30

La USS está acreditada internacionalmente.

No son proposiciones lógicas:

a) Las creencias, mitos o leyendas. Así como:

“Dios es un ser misericordioso”.

“Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”

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b) Las metáforas o refranes. Así como:

“El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”

“Has el bien, sin mirar a quién”

“Chiclayo ciudad de la amistad”

c) Las supersticiones. Así como:

“Hoy día Martes 13, no te cases ni te embarques ni de tu casa te apartes”

“Pasé por debajo de una escalera entonces tendré mala suerte”

1.1.1. Clases de Proposiciones

A. Proposiciones Simples, Atómicas o no Estructurales: Carecen de conector

lógico, no se componen de otras proposiciones.

La proposición: Todos los hombres son mortales.

Es atómica porque ninguna de sus componentes es una proposición por sí sola.

Las proposiciones atómicas a su vez pueden ser:

Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo

SER en cualquiera de sus tiempos).

Ejemplos:

- Chiclayo es llamada ciudad de la amistad.

- Federico Villarreal fue un matemático lambayecano.

Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que

puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc.

Ejemplos:

- La selección peruana de vóley jugó un partido intenso con su similar de Cuba.

(Relación de acción)

- Vallejo con Mariátegui fueron literatos contemporáneos. (Relación de tiempo.)

B. Proposiciones Compuestas, Moleculares o Coligativas: Son aquellas que están

constituidas por proposiciones atómicas y se caracterizan porque poseen enlaces

llamados conectores lógicos.

Ejemplo:

La proposición: Voy a comprar galletas y a tomar café.

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Es una proposición molecular porque se compone de dos proposiciones atómicas:

- Voy a comprar galletas.

- Voy a tomar café.

Estas dos proposiciones atómicas están unidas por el conector “y”.

1.1.2. Valor de Verdad:

A la verdad (V) o a la falsedad (F) de una proposición se le llama valor de

verdad y se denota por: V (p) = V; V (p) = F

Ejemplo:

p: 121 es un número capicúa; se tiene que: V (p) = V

q: Machu Picchu fue descubierto por el arqueólogo Walter Alva; se tiene que:

V(q)=F

Una proposición molecular será verdadera o falsa, pero a diferencia de lo que

ocurre con las proposiciones atómicas, su verdad o falsedad no depende

directamente de la realidad, sino que depende o es función de la verdad o

falsedad de las proposiciones atómicas que la componen. Esto significa que si

quiero saber si es verdadero o falso que: “voy a comprar galletas y tomar

café”, es necesario que conozca la verdad o falsedad de “voy a comprar

galletas” y de “voy a tomar café” por separado y tener en cuenta el conector

que los une.

1.1.3. Enunciado abierto

Llamado también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen

una o más variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una

proposición lógica cuando la variable asume un valor determinado. Los

enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los símbolos x, y, z, etc.

No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o símbolos

por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones.

Ejemplos:

Ella es una actriz peruana.

1682 xx

m + n 3

Sea “n” un número impar.

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ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

1. Indica cuáles de las siguientes expresiones, son proposiciones o no

proposiciones:

1. La guerra y la paz.

2. 17x = 2x + 75

3. Chimbote está entre Trujillo y Casma.

4. El hombre es un ser racional.

5. Ella estudia en la Universidad Señor de Sipán.

6. Francisco Bolognesi murió en Arica.

7. Toda enfermera tiene vocación.

8. ¿Cuántos años durará mi carrera?

9. ¡Hace calor!

10. “Trujillo tierra de la eterna primavera”

2. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones atómicas o

compuestas. Explica ¿Por qué?

1. La tierra es el planeta azul, sin embargo el sol es un astro que tiene luz

propia.

2. Los dragones tenían respiración branquial.

3. Si en el planeta Marte hay atmósfera, entonces la lluvia es oscura.

4. La crisis mundial es un fenómeno económico, sin embargo es controlable si

todos los países desarrollados apoyan a los de economías débiles.

5. No hay libros en el cajón del estante.

6. El número 11 no es divisible por 2.

7. La cantuta es la flor nacional del Perú, lo mismo que el gallito de las rocas es

el ave representativa del Perú.

8. Dos pares ordenados son iguales sí y solo sí sus elementos

correspondientes son iguales.

9. La luna es una estrella, es una estrella que tiene luz propia.

10. No es verdad que la región Lambayeque está ubicada en el norte del Perú.

3. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones

1. Sipán fue una cultura en la región Lambayeque.

2. SUNARP y SUNAT son instituciones privadas en el Perú.

3. Existe al menos un habitante en la luna.

4. 300 +250 = 750

5. No es cierto que el Amazonas es un río.

6. GPS es un instrumento para la ubicación geográfica.

7. Los administradores llevan los libros contables de una empresa.

8. Entre dos números racionales, existen infinitos números racionales.

9. El homicidio es un delito culposo y es penado con cadena perpetua.

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10. El tensiómetro sirve para medir la temperatura corporal.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

1. Indica cuales de las siguientes expresiones, son proposiciones o no

proposiciones.

1. ¡Silencio!.

2. El calentamiento global está afectando al ecosistema.

3. La inflación peruana en el 2011 será menor a 4%.

4. Es probable que la suma de dos números sea menor a 20.

5. Es posible que la selección peruana de fútbol clasifique al mundial 2014.

6. Máncora es una playa norteña que tiene bastante acogida por turistas

nacionales.

7. El oro es un metal sólido cuyo símbolo según la tabla periódica es Ag.

8. El mal de ojo produce fiebre.

9. APP fue ganador en las elecciones Regionales de Lambayeque en el 2010.

10. Cristóbal Colón descubrió el continente Americano y fue de nacionalidad italiana.

2. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones atómicas o

compuestas. Explica. ¿Por qué?

1. Chocano fue un poeta español, sin embargo vivió en Cajamarca.

2. El Bosque de Pómac es uno de los lugares turísticos más importantes de

Lambayeque, sin embargo Huaca Rajada es reconocido a nivel internacional.

3. El número 16 es divisible por 4 sí y sólo sí tiene raíz cuadrada.

4. Chiclayo es una ciudad calurosa y acogedora.

5. Ana y Bruno estudian música en el Conservatorio.

6. En el desayuno comí: pan, huevo, aceitunas y mortadela.

7. Luis y Elena son esposos.

8. Estudiaré pero además veré televisión.

9. No voy a solucionarte el problema de matemática.

10. Si estudias, aprobarás el curso de habilidades lógico matemático.

3. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. El calentamiento global está afectando al nevado Pastoruri.

2. El oro es maleable, sin embargo el acero es inoxidable.

3. No es cierto que el Amazonas es un río.

4. El creador de la Teoría de la Relatividad fue americano.

5. El cero es un número par.

6. La velocidad es una magnitud vectorial.

7. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

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8. La tierra es un planeta tanto como el sol es una estrella

9. Los rayos catódicos tienen carga negativa del mismo modo los rayos anódicos

tienen carga positiva

10. O bien la luna es un planeta o bien un satélite

SIMBOLIZACION Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

1.2. Notación Proposicional

Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico

especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto los que sí

nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones,

y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que

prescindiendo del significado de las proposiciones nos indiquen la forma en que se

combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal.

Las proposiciones atómicas pueden ser sustituidas por letras minúsculas p, q,

r, etc, denominadas variables proposicionales.

La operación consiste en sustituir las expresiones del lenguaje natural por

símbolos lógicos, a la cual llamaremos formalización y la proposición debidamente

formalizada la llamaremos fórmula.

Ejemplos:

1.- Mario Vargas Llosa obtuvo el Premio Nobel de Literatura 2010.

Fórmula: p

2.- Democracia significa un modo de vida en el que la libertad y la justicia están

presentes.

p= Democracia significa un modo de vida en el que la libertad está presente

q= Democracia significa un modo de vida en el que la justicia está presente

Fórmula: p ∧ q

3.- O está lloviendo y garuando, o está soplando el viento.

p= Está lloviendo; q =Está garuando; r = Está soplando el viento

Fórmula: (p ∧ q) r

4.- Si Pablo se queda, entonces Luis se va.

p= Pablo se queda; q= Luis se va

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Fórmula: p → q

5.- Cientos de vidas podrían salvarse cada año si la gente utilizara el cinturón de

seguridad.

p= cientos de vidas pueden salvarse cada año;

q= La gente utiliza el cinturón de seguridad

Fórmula: q → p

6.- No es el caso que, si la luna está hecha de queso verde, entonces los vehículos

espaciales no pueden alunizar en ella.

p= La luna está hecha de queso verde; q= Los vehículos espaciales pueden

alunizar en la luna

Fórmula: ¬(p → ¬q)

7.- Si los verdaderos amigos tienen todo en común, entonces tú no puedes ser más

rico que tu compañero si dices que son verdaderos amigos.

p= Los verdaderos amigos tienen todo en común

q= Puedes ser más rico que tu compañero

r= Dices que tú y tu compañero son verdaderos amigos.

Fórmula: p → (r → q)

8.- Dos es un número primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

p= 2 es un número primo

q= 2 es divisible por sí mismo

r= 2 es divisible por la unidad

Fórmula: p ↔ (q ∧ r)

9.- Decir que la suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva y el producto

de sucesiones positivas es una sucesión positiva equivale a decir que la suma y el

producto de dos números reales positivos es un número real positivo.

p= La suma de sucesiones positivas es una sucesión positiva

q= El producto de sucesiones positivas es una sucesión positiva

r= La suma de dos números reales positivos es un número real positivo

s= El producto de dos números reales positivos es un número real positivo.

Fórmula: (p ∧ q) ↔ (r ∧ s)

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10.- Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente después

de cada parto la sangre del recién nacido y, si ésta es Rh positivo, ha de

administrarse a la parturienta el suero apropiado si se desea evitar complicaciones

a otros hijos.

p= El Rh de la futura madre es negativo.

q= La sangre del recién nacido debe analizarse inmediatamente después de cada

parto

r= La sangre del recién nacido es Rh positivo

s= Ha de administrarse a la parturienta el suero apropiado.

t= Se desea evitar complicaciones a otros hijos.

Fórmula: (p → q) ∧ (r → (t → s))

1.3. Conectivos Lógicos

Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan,

juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas.

Los operadores o conectivos básicos son:

CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN

No ~ Negación

Y ^ Conjunción

O Disyuntiva inclusiva

o. . . o. . . Disyuntiva exclusiva

Si… entonces... Condicional

…si y sólo si … Bicondicional

A. Negación (~): Es un conectivo singular. Se denomina proposición negativa

aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p, -p,

p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como:

No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás ...

Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que...

Nunca ... No es verdad que Es imposible que ...

No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ...

Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo …

No es el caso que… Es inadmisible que… Es incierto que…

Es refutable que… Es falaz que… En modo alguno…

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Ejemplo:

p: INDECOPI es el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la

Protección de la Propiedad Intelectual.

~p: Es falso que INDECOPI sea el Instituto Nacional de Defensa de la

Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual.

Su tabla de verdad es como sigue:

P ~p

V F

F V

B. Conjunción: Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de

unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo:

“”, “”, se escribe “p q”, “p q” y se lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es

verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje

podemos emplear:

Pero Aún cuando No obstante

Sin embargo Al igual que Aunque

Además Tanto …. como …. Más aún

A la vez Siempre ambos…. con….. También

Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con

Así como A pesar de Así mismo

Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que

Ejemplo:

Consideremos las siguientes proposiciones:

p: “Roxana estudia”

q: “Roxana escucha música”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica queda indicado por:

p q: Roxana estudia al mismo tiempo que escucha música

Su tabla de verdad es como sigue:

P q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

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C. Disyunción: Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q”

relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se

puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.

Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p q”, “p + q” y se lee: “p o q”. La

disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones sean falsas.

Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que nos indican una

disyunción inclusiva son:

A menos que O en todo caso

Excepto que O también

Salvo que O incluso

A no ser que O bien

Y bien o también Al menos uno de los dos …. o ….

O sino Alternativamente

Ejemplo: Consideremos:

p: “Mañana estudiaremos Química” q: “Mañana estudiaremos Física”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica queda indicado por:

p q: Mañana estudiaremos Química o sino estudiaremos Física

Su tabla de verdad es como sigue:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: “p q”, “p v q”, “p q”, “p q”,

“p q” y se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo

cuando

una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a emplear son:

O ... o ... ... no equivale a ...

O bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a...

No es equivalente ... con ... O solo .... o solo ....

....a menos que solamente... ...salvo que únicamente...

....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente....

....o exclusivamente.... ....no es idéntico a....

....no es lo mismo que... Salvo que .... o ....

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Ejemplo: Consideremos:

p: “Este año viajaré al extranjero” q: “Viajo a Lima”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica queda indicado por:

p q: “Este año viajaré al extranjero salvo que únicamente viaje a Lima”

Por lo tanto su tabla de verdad es:

D. Condicional: Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos

proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y su símbolo

es : “”, “”. La notación “p q”, “p q” se lee “Si p, entonces q”. La

proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama

consecuente o conclusión. La manera de expresar la condicional en el orden

antecedente-consecuente (“p q” Implicación directa), son las siguientes:

Si p, entonces q p por tanto q

Siempre que p entonces q p por consiguiente q

p es suficiente para q p por ende q

p implica q p por conclusión q

Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q

En cuanto p por tanto q Porque p por eso q

Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q p”)

Implicación inversa.

p Q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

q si p q es implicada para p q de modo que p

q siempre que p q cada vez que p q puesto que p

q es necesario para p q en vista que p q porque p

Sólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p, q

q dado que p q ya que p q cada vez que p

q a condición de que p q dado que p q se concluye de p

q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q

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Ejemplo: consideremos:

p: “La producción es buena”

q: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica queda indicado por:

p q: “Si la producción es buena, habrá mayor rentabilidad en la empresa”

q p: “Habrá mayor rentabilidad en la empresa siempre que la producción

sea buena“

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

E.- Bicondicional: Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico

“...si y sólo si...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición compuesta se

denota por: “p q”, “p q”, “p q” y se lee: “p sí y sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.

También se suele emplear expresiones como:

Ejemplo: Consideremos:

p: “El que yo te sonría”

q: “Yo te enamore”

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología

lógica queda indicado por:

p q: El que yo te sonría es lo mismo que yo te enamore.

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

…siempre y cuando… Es suficiente para que suficiente sea

…es equivalente a… Es condición necesaria y suficiente para

…es lo mismo que… …por lo cual y según lo cual…

…cuando y sólo cuando… …cada vez que y sólo si…

Si y sólo si p, q …si de la forma…

…siempre que y sólo cuando… …implica y está implicado por…

…es idéntico a… Siempre que … y siempre que …

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1.4. Valoración de las Proposiciones

Para determinar la valoración de las proposiciones moleculares, es necesario

tener en cuenta las tablas de verdad.

Considere los siguientes ejemplos:

a) “Los virus son alternados no obstante son virulentos. Por tanto tienen una

clasificación” Tenemos las proposiciones:

p: “Los virus son alternados”

q: “Los virus son virulentos”

r: “Tienen una clasificación”

Se formaliza por: (p q) r

Luego: como se puede observar el esquema molecular tiene 3 proposiciones

simples, es decir que para este caso se tiene: 23= 8 asignaciones posibles para

los valores de verdad en total.

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

b) Siempre que se apruebe el crédito entonces compraré el departamento; sin

embargo se aprueba el crédito. Por tanto compraré el departamento.

Sean las proposiciones:

p: “Se aprueba el crédito”

q: “Compraré el departamento”

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q r (p q) r

V V V V V V

V V F V F F

V F V F V V

V F F F V F

F V V F V V

F V F F V F

F F V F V V

F F F F V F

1 3 2

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Se formaliza por: [(p q) p] q

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

c) La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los

analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no

afecta a los países de bajos recursos.

Tenemos las proposiciones:

p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos”

q: “Los analistas en economía buscan soluciones”

p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos

económicos”

Se formaliza por: (p q) p

La tabla de verdad para el esquema molecular, está dada por:

Como podemos apreciar las proposiciones, las expresamos en forma simbólica; a su

vez que podemos encontrar sus valores de verdad. Con el fin de diferenciar los valores

resultados de las expresiones, se definen los siguientes conceptos:

A. Tautología: Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo

principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla

de verdad. Ver ejemplo (b).

B. Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de

su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de

la tabla de verdad. Ver ejemplo (c).

C. Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores

verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de

verdad. Ver ejemplo (a).

p q [(p q) p] q

V V V V V V V

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V F F V F

p q (p q) p

V V V F F

V F F F F

F V F F V

F F F F V

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ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. Los restos del Señor de Sipán fueron descubiertos en 1989 no obstante su

museo de sitio fue inaugurado en febrero del 2009.

2. Qy 222

3. Miguel Grau nació en Piura, sin embargo no es peruano.

4. Cero es un número par o impar.

5. Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo que invertir en

minería es la mejor opción.

6. O eres honrado o eres corrupto.

7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no

tengo que ir a trabajar.

8. La raíz cuadrada de 9 es +3 o es -3

9. La suma de dos números impares es igual a otro número impar no es lo mismo

decir que la suma de dos números pares es otro número impar.

10. Perú así como Ecuador son países demócratas.

2. Formaliza las siguientes proposiciones , identificando cada una de las

proposiciones atómicas que aparezcan en las afirmaciones siguientes:

1. Según el testigo el asaltante se escapó en un carro rojo o azul.

2. Él vendrá si tiene tiempo y está interesado todavía en el asunto.

3. Es un día agradable si está soleado, pero sólo si no hace calor.

4. Estudiar y trabajar es condición suficiente para ser responsable y admirado por

aquellos que nos saben valorar.

5. Ellos son actores, a menos que cantores. Si Paola canta, Liz baila y Marcelo

recita.

6. La computadora es compatible con la impresora así como con el programa;

entonces, el precio de venta es cómodo o financiable.

7. Es falso que sea indisciplinado y ocioso, porque estudio en la Universidad, pero

soy ocioso; en consecuencia nunca seré profesional.

8. Es suficiente que la matemática sea necesaria para la física, para que el

avance científico no quede estancado.

9. Es falso que si se administra teniendo en cuenta los principios directrices un

negocio entonces este tiene muchas posibilidades de crecer en el futuro.

10. Sin excepción se da que, la suma de los ángulos internos de un triángulo es

180° es equivalente a la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero

regular.

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3. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas

moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia.

1. q (r s)

2. (p q) (p q)

3. (p q) (p q)

4. (p q) (q p)

5. ~[~(p q) ~ q] p

6. [(p q) ~ p] (~ q p)

7. [(p q) (p ~ q)] (~ p ~q)

8. [(p q) (p q) [(p q) (q p)]

9. (p q) (p r) (r q) r

10. p (q r) q (p r) (p q) r

4. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo

siguiente:

1. Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:

(p r) r (q p) (p q)

2. Si (p s) (r s) (q s) es Falsa. Determine los valores de verdad

de:

a) p q b) r s c) r s d) (p q) r

3. Si (p (s q)) (r q) es verdadera. Determine los valores de verdad

de:

a) (r p) (q s) b) r s c) r q

4. Se define la siguiente operación p * q = q p, hallar la diferencia entre el

número de V y el número de F de la matriz principal de: [ (p * r) (r * p)]

5. Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(p q) p] (r

p) sabiendo que p es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad.

6. Si la proposición (p q) (r s) es falsa, deduzca el valor de verdad de los

esquemas moleculares:

a) (p q) p b) (p q) [(p q) q] c) (r q) [(q r) s]

7. Si p y r son dos proposiciones cualesquiera y q: “2 es número impar”, y

[(r q) (r p)] es verdadera entonces el valor de verdad de los siguientes

esquemas moleculares es:

a) r (p q) b) [r (p q)] (q p)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. Dado que la luna es un satélite por lo consiguiente gira alrededor de la tierra.

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2. El cuadrado es un polígono regular salvo que la suma de sus ángulos midan

540°.

3. Mañana hay clases de Habilidades Lógico Matemáticas o hay clases de

Cátedra Señor de Sipán.

4. Las aves poseen pico excepto que también alas, pero no ocurre que son

animales acuáticos.

5. O eres campeón o subcampeón.

6. A menos que seas Ingeniero, conoces matemática.

7. Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero

8. Barack Obama es el primer presidente de raza negra de los Estados Unidos es

suficiente para que sea admirado por todo el mundo.

9. El 18 de abril celebraremos el aniversario de Chiclayo o la caída del muro de

Berlín.

10. ONPE no es el Organismo Nacional de Procesos Electorales así mismo que

JNE es el Jurado Nacional de Elecciones.

2. Escribe en forma simbólica, identificando cada una de las proposiciones

atómicas que aparezca en las afirmaciones siguientes:

1. Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena, por lo cual y según lo

cual todos la pasaron de maravilla.

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción, más aún si la música es

merengue a no ser que no baile.

3. Si no estoy equivocado, ella conducía un carro rojo, y había un hombre sentado

a su lado.

4. Dos niños tienen los mismos apellidos si y sólo si tienen la misma madre y el

mismo padre.

5. O Hugo tiene razón, o María y Carlos son o ambos culpables o ambos son

inocentes

6. Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder,

confiaremos en ellos si y sólo si cumplen sus promesas y el poder no les

corrompe.

7. El abogado no es justo ni competente, a condición de que es falso que no

haya consultado con los peritos sobre la cotización del inmueble embargado.

8. Es inobjetable que, una condición suficiente para que los países europeos

tengan baja inflación por lo tanto estabilidad económica, es que sus gobiernos

tienen programas estratégicos de crecimiento así como modelos económicos.

9. Subirán los intereses bancarios porque subirá la cotización del dólar, en vista

de que, subirá la cotización del dólar sólo si el gobierno no puede controlar la

inflación.

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10. Los candidatos mienten en sus promesas y el pueblo les cree pero si hablaran

la verdad el pueblo no les creería, es por eso que el Perú está como país

subdesarrollado.

3. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas

moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia.

1. [~(p q) ~r] {[ (~p q) ~r] p}

2. [p (q r)] ~ [(p q) (r q)]

3. [~(p q) ~r] [(q ~p) (r ~r)]

4. {p [q (r ~p)]} (q ~s)

5. [~p (~q r)] (q r) (p r)

6. {[(p q) r] (p q)} r

7. [(p q) (~p q)] (p ~q) (~p ~q).

4. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo

siguiente:

Si la proposición:

(p q r) (s q) , es falsa. Determine los valores de verdad de “p”, “q”, “r” y “s”

5. Si la proposición: p ( q r) es falsa y la proposición s es verdadera.

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I) ( p q) II) s (p r)

III) (p q) r IV) (p q) r

6. Si el esquema molecular: [ (p q) (r q) (q s)] es verdadero,

determine los valores de verdad de:

a) p q b) r s c) r ~s

OCP. Lima, Enero del 2014