Richard Feynman

seis piezas fáciles

Introducción

Existe una falsa creencia popular según la cual la cienciaes una empresa impersonal, desapasionada ycompletamente objetiva, mientras que la mayor partede las otras actividades humanas están dominadas pormodas, caprichos y caracteres, se supone que la cienciase atiene a reglas de procedimiento establecidas ypruebas rigurosas. Lo que cuenta son los resultados, yno las personas que los producen.

Esto es, por supuesto, de lo más absurdo. La ciencia,como cualquier empresa humana, es una actividadimpulsada por personas y está igualmente sujeta amodas y caprichos. En este caso, la moda no seestablece tanto por la elección del tema como por laforma en que los científicos piensan acerca del mundo.Cada época adopta un enfoque particular para losproblemas científicos, siguiendo normalmente la estela

dejada por algunas figuras dominantes que fijan lostemas y definen los mejores métodos para tratarlos. Devez en cuando, el científico alcanza altura suficiente parallegar a la atención del público general, y cuando estádotado de un don sobresaliente un científico puedellegar a convertirse en un ídolo para toda la comunidadcientífica. En siglos pasados Isaac Newton fue un ídolo.Newton personificó al científico caballero: bienrelacionado, devotamente religioso, tranquilo ymetódico en su trabajo. Su estilo de hacer ciencia fijó elcanon durante doscientos años. En la primera mitad delsiglo XX Albert Einstein reemplazó a Newton comoídolo científico popular. Excéntrico, desmelenado,germánico, distraído, completamente absorto en sutrabajo y un pensador abstracto arquetípico, Einsteincambió el modo de hacer física al cuestionarse lospropios conceptos que definen la disciplina.

Richard Feynman se ha convertido en un ídolo para lafísica de finales del siglo XX, el primer norteamericanoen alcanzar este estatus. Nacido en Nueva York en1918 y educado en la Costa Este, llegó demasiadotarde para participar en la edad de oro de la física, que,

en las tres primeras décadas de este siglo, transformónuestra visión del mundo con las revoluciones gemelasde la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica.Estos rápidos desarrollos sentaron los cimientos deledificio que ahora llamamos la Nueva Física. Feynmanpartió de estos cimientos y ayudó a construir la primeraplanta de la Nueva Física. Sus contribucionesalcanzaron a casi todos los rincones de la disciplina yhan tenido una profunda influencia en el modo en quelos físicos piensan acerca del universo físico.

Feynman fue un físico teórico por excelencia. Newtonhabía sido experimentador y teórico en la mismamedida. Einstein era simplemente desdeñoso delexperimento, prefiriendo poner su fe en el pensamientopuro. Feynman se vio impulsado a desarrollar unaprofunda comprensión teórica de la naturaleza, perosiempre permaneció próximo al mundo real y a menudoconfuso de los resultados experimentales. Nadie quehubiera visto al último Feynman discutir la causa deldesastre de la lanzadera espacial Challengersumergiendo una banda elástica en agua helada podríadudar de que aquí había a la vez un showman y un

pensador muy práctico.

Inicialmente, Feynman adquirió renombre con sutrabajo sobre la teoría de las partículas subatómicas, enconcreto la teoría conocida como electrodinámicacuántica o QED. De hecho, este fue el tema con el quese inició la teoría cuántica. En 1900, el físico alemánMax Planck propuso que la luz y las otras formas deradiación electromagnética, que hasta entonces habíansido consideradas como ondas, se comportabanparadójicamente como minúsculos paquetes de energía,o «cuantos», cuando interaccionaban con la materia.Estos cuantos particulares llegaron a conocerse comofotones. A comienzos de los años treinta los arquitectosde la nueva mecánica cuántica habían elaborado unesquema matemático para describir la emisión yabsorción de fotones por partículas eléctricamentecargadas tales como electrones. Aunque esta primeraformulación de la QED disfrutó de cierto éxito limitado,la teoría tenía fallos evidentes. En muchos casos loscálculos daban respuestas inconsistentes e inclusoinfinitas a preguntas físicas bien planteadas. Fue alproblema de construir una teoría consistente de la QED

al que orientó su atención el joven Feynman a finales delos años cuarenta.

Para colocar la QED sobre una base sólida eranecesario hacer la teoría consistente no sólo con losprincipios de la mecánica cuántica sino también con losde la teoría de la relatividad especial. Estas dos teoríastraían sus propias herramientas matemáticascaracterísticas, complicados sistemas de ecuacionesque de hecho pueden combinarse y reconciliarse paradar una descripción satisfactoria de la QUED. Haceresto era una empresa dura que requería un alto gradode habilidad matemática, y este fue el enfoque seguidopor los contemporáneos de Feynman. Feynman, sinembargo, tomó un camino completamente diferente; tanradical, de hecho, ¡que él fue más o menos capaz deelaborar las respuestas directamente sin utilizar ningunamatemática!

Como ayuda para esta extraordinaria hazaña deintuición, Feynman inventó un sencillo sistema dediagramas epónimos. Los diagramas de Feynman sonuna manera simbólica pero poderosamente heurística

de representar lo que sucede cuando los electrones,fotones y otras partículas interaccionan entre sí.Actualmente los diagramas de Feynman son una ayudarutinaria para el cálculo, pero a comienzos de los añoscincuenta marcaron un alejamiento sorprendente de laforma tradicional de hacer física teórica.

El problema concreto de construir una teoríaconsistente de la electrodinámica cuántica, aunconstituyendo un jalón en el desarrollo de la física, fuesólo el principio. Iba a definir un estilo característico deFeynman, un estilo destinado a producir una cadena deresultados importantes en un amplio abanico de temasen la ciencia física. El estilo de Feynman puededescribirse mejor como una mezcla de reverencia yfalta de respeto hacia la sabiduría recibida.

La física es una ciencia exacta, y el cuerpo deconocimiento existente, aunque incompleto, no puedeser simplemente dejado de lado. Feynman adquirió unavisión formidable de los principios aceptados de lafísica a una edad muy temprana, y decidió trabajar casipor completo sobre problemas convencionales. No era

el tipo de genio que trabajase aislado en un remanso dela disciplina y diese con algo profundamente nuevo. Sutalento especial consistía en aproximarse a temasesencialmente corrientes de una forma particular. Estoimplicaba dejar de lado los formalismos existentes ydesarrollar su propio enfoque altamente intuitivo.Mientras la mayoría de los físicos teóricos confían encuidadosos cálculos matemáticos que proporcionen unaguía hacia territorios poco familiares, la actitud deFeynman era casi displicente. Uno tiene la impresión deque él podía leer en la naturaleza como en un libro einformar simplemente de lo que encontraba, sin análisistediosos y complejos.

En realidad, al seguir sus intereses de esta maneraFeynman mostraba un saludable desprecio por losformalismos rigurosos. Es difícil transmitir laprofundidad del genio necesario para trabajar de estemodo. La física teórica es uno de los más durosejercicios intelectuales, que combina conceptosabstractos que desafían la visualización con unacomplejidad matemática extraordinaria. Sóloadoptando los más altos niveles de disciplina mental

pueden hacer progresos la mayoría de los físicos. PeroFeynman hacía caso omiso de este estricto código deactuación y arrancaba nuevos resultados como frutosmaduros del Árbol del Conocimiento.

El estilo de Feynman debía mucho a la personalidad delhombre. En su vida profesional y privada parecíaenfrentarse al mundo como si fuera un juegoenormemente divertido. El universo físico se lepresentaba como una serie fascinante de rompecabezasy desafíos, y lo mismo sucedía con su entorno social.Un eterno iconoclasta, trataba a la autoridad y alestamento académico con la misma falta de respeto quemostraba hacia el formalismo matemático rígido. Conpoca paciencia para soportar estupideces, rompía lasreglas cuando quiera que las encontrara arbitrarias oabsurdas. Sus escritos autobiográficos contienenhistorias divertidas acerca de Feynman burlando losservicios de seguridad de la bomba atómica durante laguerra, Feynman violando claves, Feynmandesarmando a las mujeres con un comportamientodescaradamente atrevido. De la misma forma, lo tomaso lo dejas, trató a su premio Nobel, concedido por su

trabajo sobre la QED.

Junto a este malestar por el formalismo, Feynman sentíauna fascinación hacia lo extraño y oscuro. Muchosrecordarán su obsesión con el país hace tiempo perdidode Tuva en el Asia Central, tan deliciosamente captadoen un film documental realizado poco antes de muerte.Sus otras pasiones incluían tocar los bongos, la pintura,frecuentar clubs de strip tease y descifrar los textosmayas.

El propio Feynman hizo mucho para cultivar supersonalidad característica. Aunque reacio a poner lapluma sobre el papel, era versátil en la conversación ydisfrutaba contando historias sobre sus ideas yescapadas. Estas anécdotas, acumuladas durante años,se sumaron a su mística e hicieron de él una leyendaproverbial durante su vida. Sus encantadores modalesle ganaron el aprecio de los estudiantes, especialmentelos más jóvenes, muchos de los cuales le idolatraban.Cuando Feynman murió de cáncer en 1988, losestudiantes del Caltech, donde él había trabajadodurante la mayor parte de su carrera, desplegaron una

pancarta con el simple mensaje: «Te queremos, Dick».

Fue esta aproximación desinhibida a la vida en generaly a la física en particular la que hizo de él uncomunicador tan soberbio. Tenía poco tiempo paraimpartir clases formales o incluso para supervisar aestudiantes de doctorado. De todas formas, podía darbrillantes lecciones cuando se lo proponía, desplegandotodo el genio chispeante, la intuición penetrante y lairreverencia de que hacía gala en su trabajo deinvestigación.

A comienzos de los años sesenta Feynman fuepersuadido para impartir un curso de físicaintroductorio para los estudiantes de primer y segundoaño en el Caltech. Lo hizo con su tono característico ysu inimitable mezcla de informalidad, gusto y humorpoco convencional. Afortunadamente, estas leccionesinapreciables fueron salvadas para la posteridad enforma de libro. Aunque muy alejadas en estilo opresentación de los textos de enseñanza másconvencionales, las Lecciones de Física de Feynmantuvieron un enorme éxito y excitaron e inspiraron a una

generación de estudiantes en todo el mundo. Tresdécadas después, estos volúmenes no han perdidonada de su chispa y lucidez. Seis piezas fáciles estáextraído directamente de las Lecciones de Física. Sepropone ofrecer a los lectores no especializados unsabor sustancial de Feynman el Educador extraído delos primeros capítulos no técnicos de esta obra señera.El resultado es un libro delicioso, que sirve a la vezcomo una introducción a la física para los no científicosy como una introducción al propio Feynman.

Lo más impresionante de la cuidadosamente elaboradaexposición de Feynman es la forma en que es capaz dedesarrollar nociones físicas de gran alcance a partir deuna mínima inversión en conceptos, y con un mínimo dematemáticas y jerga técnica. Tiene la habilidad deencontrar precisamente la analogía correcta o lailustración cotidiana para transmitir la esencia de unprincipio profundo, sin oscurecerlo con detallesaccidentales e irrelevantes.

La selección de los temas contenidos en este volumenno pretende ser una revisión completa de la física

moderna, sino que intenta dar un sabor seductor delenfoque de Feynman. Pronto descubrimos cómo puedeiluminar incluso temas triviales como los de fuerza ymovimiento con nuevas intuiciones. Los conceptosclave están ilustrados con ejemplos sacados de la vidadiaria o de la Antigüedad. La física se relacionacontinuamente con otras ciencias mientras que al lectorno le queda ninguna duda sobre cuál es la disciplinafundamental.

Desde el mismo principio de Seis piezas fácilesaprendemos que toda la física está enraizada en lanoción de ley: la existencia de un universo ordenadoque puede ser entendido mediante la aplicación delpensamiento racional. Sin embargo, las leyes de la físicano son transparentes para nosotros en nuestrasobservaciones directas de la naturaleza. Estánfrustrantemente ocultas, sutilmente codificadas en losfenómenos que estudiamos. Los procedimientosarcanos del físico -una mezcla de experimentacióncuidadosamente diseñada y teorización matemática-son necesarios para desvelar la realidad legaliformesubyacente.

Posiblemente la ley más conocida de la física es la leyde Newton de la inversa del cuadrado para lagravitación, discutida en el capítulo 5, sobre lagravitación. El tema se introduce en el contexto delSistema Solar y las leyes de Kepler del movimientoplanetario. Pero la gravitación es universal, se aplica entodo el cosmos, lo que capacita a Feynman parasalpicar su exposición con ejemplos tomados de laastronomía y la cosmología. Comentando una fotografíade un cúmulo globular, mantenido de algún modo porfuerzas invisibles, exclama líricamente: «Si alguien nopuede ver aquí la gravitación en acción, es que no tienealma».

Se conocen otras leyes relativas a las diversas fuerzasno gravitatorias de la naturaleza que describen cómointeraccionan entre sí las partículas de materia. Sólo hayun puñado de estas fuerzas, y el propio Feynmanostenta la notable distinción de ser uno de los pocoscientíficos en la historia que ha descubierto una nuevaley de la física, concerniente al modo en que una fuerzanuclear débil afecta al comportamiento de ciertas

partículas subatómicas.

La física de partículas de altas energías fue la joya de lacorona de la ciencia de la posguerra, al mismo tiempotemible y atractiva, con sus enormes aceleradores y suaparentemente inacabable lista de partículassubatómicas recién descubiertas. La investigación deFeynman estuvo dirigida principalmente a explicar losresultados de esta empresa. Un gran tema unificadorentre los físicos de partículas ha sido el papel de lasimetría y las leyes de conservación para poner ordenen el zoológico subatómico.

Muchas de las simetrías conocidas por los físicos departículas eran ya familiares en la física clásica. Entreéstas eran claves las simetrías que surgen de lahomogeneidad del espacio y el tiempo. Consideremosel tiempo: aparte de la cosmología, donde el «big bang»marcó el comienzo del tiempo, no hay nada en la físicaque distinga un instante de tiempo del siguiente. Losfísicos dicen que el mundo es «invariante bajo traslacióntemporal», lo que quiere decir que ya tomemos lamedianoche o el mediodía como el cero de tiempo en

nuestras medidas, esto no supone ninguna diferencia enla descripción de los fenómenos físicos. Los procesosfísicos no dependen de un cero absoluto del tiempo.Sucede que esta simetría bajo traslación temporalimplica directamente una de las leyes más básicas, ytambién más útiles, de la física: la ley de la conservaciónde la energía. Esta ley dice que podemos llevar laenergía de un lado a otro y transformarla, pero nopodemos crearla o destruirla. Feynman hace esta leycristalinamente clara con su divertida historia de Danielel Travieso que siempre está ocultando malévolamentesus bloques de construcción de juguete a su madre(capítulo 4, sobre la conservación de la energía).

La lección de este libro que plantea un reto mayor es laúltima, que es una exposición de la física cuántica. Noes exagerado decir que la mecánica cuántica hadominado la física del siglo XX, y es con mucho lateoría científica de más éxito entre las existentes. Esindispensable para la comprensión de las partículassubatómicas, los átomos y los núcleos, las moléculas yel enlace químico, la estructura de los sólidos, lossuperconductores y los superfluidos, la conductividad

eléctrica y térmica de los metales y lossemiconductores, la estructura de, las estrellas y muchasotras cosas. Tiene aplicaciones prácticas que van desdeel láser al microchip. ¡Todo esto procede de una teoríaque a primera vista -y a segunda vista- pareceabsolutamente loca! Niels Bohr, uno de los fundadoresde la mecánica cuántica, comentó en cierta ocasión quequienquiera que no se haya sentido conmocionado porla teoría no la ha entendido.

El problema es que las ideas cuánticas inciden en elpropio corazón de lo que podríamos llamar realidad desentido común. En particular, la idea de que objetosfísicos tales como electrones o átomos disfrutan de unaexistencia independiente, con un conjunto completo depropiedades físicas en todo instante, es puesta encuestión. Por ejemplo, un electrón no puede tener almismo tiempo una posición en el espacio y unavelocidad bien definidos. Si buscamos dónde estálocalizado el electrón, lo encontraremos en un lugar, y simedimos su velocidad obtendremos una respuestaprecisa, pero no podemos hacer ambas observacionesa la vez. Ni tiene sentido atribuir valores precisos,

aunque sean desconocidos, a la posición y la velocidadde un electrón en ausencia de un conjunto completo deobservaciones.

Este indeterminismo en la naturaleza misma de laspartículas atómicas está resumido en el celebradoprincipio de incertidumbre de Heisenberg. Éste ponelímites estrictos a la precisión con que puedenconocerse simultáneamente propiedades tales como laposición y la velocidad. Un valor preciso de la posicióndifumina el rango de valores posibles de la velocidad yviceversa. La borrosidad cuántica se muestra en laforma en que se mueven los electrones, fotones y otraspartículas. Algunos experimentos pueden revelar cómoéstos toman caminos definidos en el espacio, al modode balas que siguen trayectorias hacia un blanco. Perootros montajes experimentales muestran que estasentidades pueden comportarse también como ondas,mostrando figuras características de difracción einterferencia.

El análisis maestro de Feynman del famoso experimentode la «doble rendija», que plantea la «perturbadora»

dualidad onda-partícula en su forma más aguda, hallegado a convertirse en un clásico de la historia de laexposición científica. Con unas pocas ideas muysimples, Feynman se las arregla para llevar al lector almismo corazón del misterio cuántico, y nos dejasorprendidos con la naturaleza paradójica de la realidadque expone.

Aunque la mecánica cuántica había producido sus librosde texto a principios de los años treinta, es típico deFeynman que, siendo joven, él prefiriese reformular lateoría para sí mismo con un aspecto completamentenuevo. El método de Feynman tiene la virtud de quenos proporciona una imagen vívida de la maquinariacuántica de la naturaleza en acción. La idea consiste enque la trayectoria de una partícula en el espacio no estáen general bien definida en mecánica cuántica.Podemos imaginar un electrón que se muevelibremente, pongamos por caso, no viajandomeramente en línea recta entre A y B, como sugeriría elsentido común, sino tomando muchos caminoszigzagueantes. Feynman nos invita a imaginar que elelectrón explora de algún modo todas las rutas

posibles, y en ausencia de una observación de quécamino ha tomado nosotros debemos suponer quetodos estos caminos alternativos contribuyen de algúnmodo a la realidad. Así, cuando un electrón llega a unpunto del espacio -digamos a una pantalla- debenintegrarse conjuntamente muchas historias diferentespara crear este único suceso.

La denominada integral de camino de Feynman, oenfoque de la suma sobre historias para la mecánicacuántica, establece esta notable idea como unprocedimiento matemático. Siguió siendo más o menosuna curiosidad durante muchos años, pero a medidaque los físicos llevaban la mecánica cuántica a suslímites -aplicándola a la gravitación, e incluso a lacosmología- la aproximación de Feynman resultóofrecer la mejor herramienta de cálculo para describirun universo cuántico. La historia podrá juzgarperfectamente que, entre sus muchas contribucionessobresalientes a la física, la formulación de la mecánicacuántica mediante integrales de camino es la másimportante.

Muchas de las ideas discutidas en este volumen sonprofundamente filosóficas. Pero Feynman recelaba delos filósofos. Una vez tuve ocasión de tantearle sobre lanaturaleza de las matemáticas y las leyes de la física, ysobre si podría considerarse que las leyes matemáticasabstractas gozaban de una existencia platónicaindependiente. Él dio una descripción animada y hábilde por qué lo parece así, pero pronto retrocediócuando yo le presioné para que adoptase una posturafilosófica concreta. Se mostró igualmente cauto cuandoyo intenté sonsacarle sobre el tema del reduccionismo.Visto retrospectivamente, creo que Feynman no era,después de todo, desdeñoso de los problemasfilosóficos. Pero, de la misma forma que fue capaz dehacer buena física matemática sin matemáticassistemáticas, también produjo algunas buenas ideasfilosóficas sin filosofía sistemática. Era el formalismo loque le disgustaba, no el contenido.

Es poco probable que el mundo vea otro RichardFeynman. Era un hombre de su tiempo. El estilo deFeynman funcionaba bien para un tema que estaba entrance de consolidar una revolución y embarcarse en la

exploración de largo alcance de sus consecuencias. Lafísica de la posguerra estaba segura en susfundamentos; madura en sus estructuras teóricas, peroenormemente abierta para una explotación pionera.Feynman entró en un país de las maravillas deconceptos abstractos e imprimió su modo personal depensar sobre muchos de ellos. Este libro proporcionauna ojeada única a la mente de un ser humano notable.

Paul Davies

Septiembre de 1994

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Prefacio especial

Ha cia el final de su vida, la fama de Richard Feynman

había trascendido los confines de la comunidadcientífica. Sus hazañas como miembro de la comisióninvestigadora del desastre de la lanzadera espacialChallenger le ganaron una amplia audiencia; igualmente,un libro de gran éxito sobre sus aventuras picarescashizo de él un héroe popular casi de las proporciones deAlbert Einstein. Pero ya en 1961, incluso antes de quesu premio Nobel aumentara su notoriedad para elpúblico general, Feynman era más que simplementefamoso entre los miembros de la comunidad científica:era legendario. Sin duda, el poder extraordinario de sumagisterio ayudó a difundir y enriquecer la leyenda deRichard Feynman. Realmente era un gran profesor,quizá el más grande de su era y la nuestra. ParaFeynman, el aula era un teatro, y el conferenciante unactor, responsable de proporcionar espectáculo yfuegos artificiales tanto como hechos y cifras. Se movíapor la tarima del aula, agitando los brazos, «unacombinación imposible de físico teórico y artista decirco, todo movimiento corporal y efectos de sonido»,escribió The New York Times. Ya se dirigiera a unaaudiencia de estudiantes, colegas, o público general,para aquellos que tuvieron la suerte de ver a Feynman

en persona la experiencia fue en general pococonvencional y siempre inolvidable, como lo era lapropia persona. Era el maestro del gran espectáculo,decidido a captar la atención de toda la audiencia de lasala. Hace muchos años, impartió un curso sobremecánica cuántica avanzada a un gran grupocompuesto por algunos pocos estudiantes graduados yla mayor parte del claustro de física del Caltech.Durante una de las lecciones, Feynman empezóexplicando cómo se podían representar gráficamenteciertas integrales complicadas: el tiempo en este eje, elespacio en aquel eje, línea ondulada hacia esta línearecta, etc. Tras describir lo que se conoce en el mundode la física como un diagrama de Feynman, él se volvióhacia la clase, exclamando triunfalmente: «¡Y esto sedenomina EL DIAGRAMA!». Feynman había llegadoal desenlace y la sala prorrumpió en un aplausoespontáneo. Durante muchos años posteriores a que sehubiesen impartido las lecciones que constituyen estelibro, Feynman fue un ocasional profesor invitado parael curso de física dirigido a los novatos del Caltech.Naturalmente, su aparición tenía que mantenerse ensecreto para que quedase sitio en el aula para los

estudiantes matriculados. En una de estas lecciones eltema era el espacio-tiempo curvo, y Feynman hizo galade su brillantez característica. Pero el momentoinolvidable llegó al comienzo de la lección. Se acababade descubrir la supernova de 1987 y Feynman estabamuy excitado por ello. Dijo: «Tycho Brahe tuvo susupernova, y Kepler tuvo la suya. Luego, no huboninguna durante 400 años. Pero ahora yo tengo la mía».La clase guardó silencio, y Feynman continuó: «Hay1011 estrellas en la galaxia. Esto solía ser un númeroenorme. Pero es sólo cien mil millones. ¡Es menos queel déficit nacional! Solemos llamarlos númerosastronómicos. Ahora deberíamos llamarlos númeroseconómicos». La clase se deshizo en risas, y Feynman,habiendo cautivado a su audiencia, siguió con sulección. Dejando aparte el hombre-espectáculo, latécnica pedagógica de Feynman era sencilla. Unresumen de su filosofía educativa se encontró entre suspapeles en los archivos del Caltech, en una nota quehabía garabateado para sí mismo mientras estaba enBrasil en 1952: Piensa primero por qué quieres que losestudiantes aprendan el tema y qué quieres que sepan,y el método surgirá más o menos por sentido común.

Lo que Feynman entendía por «sentido común» eran amenudo giros brillantes que captaban perfectamente laesencia del tema. En cierta ocasión, durante unaconferencia pública, él estaba tratando de explicar porqué uno no debe verificar una idea utilizando losmismos datos que sugirieron dicha idea por primeravez. Alejándose en apariencia del tema, Feynmanempezó a hablar sobre las placas de matrícula. «Fíjenseustedes, esta noche me ha sucedido la cosa mássorprendente. Me dirigía hacia aquí, a dar laconferencia, y entré en el aparcamiento. ¡Y no van acreer lo que sucedió! Vi un automóvil con la matrículaARW 357. ¿Se lo pueden imaginar? De todos losmillones de matrículas que hay en el estado, ¿cuál era laprobabilidad de que yo viera esa matrícula concretaesta noche? ¡Sorprendente!». Un punto que inclusomuchos científicos no pueden captar fue hecho evidentemediante el notable «sentido común» de Feynman. En35 años en el Caltech (de 1952 a 1987), Feynmanfiguró como profesor en treinta y cuatro cursos.Veinticinco de ellos eran cursos avanzados,estrictamente limitados a estudiantes graduados, amenos que los no graduados pidiesen permiso para

seguirlos (a menudo lo hacían, y el permiso eraconcedido casi siempre). El resto fueron principalmentecursos introductorios para graduados. Solamente unavez impartió Feynman cursos para estudiantes delicenciatura, y ésa fue la celebrada ocasión en los añosacadémicos 1961-1962 y 1962-1963, con una brevereanudación en 1964, cuando impartió las clases queiban a convertirse en las Lecciones de física deFeynman. En esa época existía en el Caltech ciertoconsenso en que los estudiantes de primero y segundocurso se estaban sintiendo alejados, más queespoleados, por sus dos años de física obligatoria. Pararemediar la situación, se le pidió a Feynman queplanease una serie de lecciones para ser impartidas alos estudiantes a lo largo de dos años, primero a losnovatos, y luego a estos mismos alumnos comoestudiantes de segundo curso. Cuando él accedió, sedecidió inmediatamente que las lecciones deberían sertranscritas para su publicación. Esa tarea resultó sermucho más difícil de lo que cualquiera hubieraimaginado. Convertirlas en libros publicables requirióuna enorme cantidad de trabajo por parte de suscolegas, así como del propio Feynman, quien hizo la

edición final de cada capítulo. Y había que abordartodas las cuestiones prácticas que implica impartir uncurso. Esta tarea se vio enormemente complicada porel hecho de que Feynman tenía sólo una vaga idea de loque quería cubrir. Esto significaba que nadie sabía loque Feynman iba a decir hasta que se pusiese delantedel aula llena de estudiantes y lo dijera. Los profesoresdel Caltech que le ayudaban se las arreglarían entonceslo mejor que pudieran para trotar los detalles másmundanos, tales como hacer problemas para trabajaren casa. ¿Por qué dedicó Feynman más de dos años arevolucionar la forma en que se enseñaba la física a losprincipiantes? Sólo podemos especular, peroprobablemente había tres razones básicas. Una es quea él le gustaba tener una audiencia, y esto leproporcionó un auditorio mayor del que él solía teneren los cursos de graduados. La segunda era que él sepreocupaba auténticamente por los estudiantes, ypensaba sencillamente que enseñar a los novatos eraalgo importante. La tercera, y quizá más importante,razón era el enorme desafío que suponía reformular lafísica, tal como él la entendía, de modo que pudierapresentarse a estudiantes jóvenes. Esta era su

especialidad, y era el patrón por el que él medía si algoestaba realmente bien entendido. En cierta ocasión unmiembro del claustro del Caltech pidió a Feynman queexplicase por qué las partículas de espín un-medioobedecen a la estadística de Fermi-Dirac. Él calibró asu audiencia perfectamente y dijo: «Prepararé unalección sobre este tema para los novatos». Pero unosdías más tarde regresó y dijo: «Sabéis, no pudehacerlo. No pude reducirlo al nivel de los novatos. Estosignifica que realmente no lo entendemos». Estaespecialidad de reducir ideas profundas a términossencillos y comprensibles es evidente a lo largo de lasLecciones de física de Feynman, pero en ninguna partelo es más que en su tratamiento de la mecánicacuántica. Para los que conocen el campo, lo que él hahecho es evidente. Ha presentado, para los estudiantesprincipiantes, el método de integrales de camino, latécnica que él mismo concibió y que le permitió resolveralgunos de los problemas más profundos de la física. Supropio trabajo utilizando integrales de camino, entreotros logros, le llevó al premio Nobel de 1965 quecompartió con Julian Schwinger y Sin-Itero Tomanaga.A través del lejano velo de la memoria, muchos de los

estudiantes y profesores que asistieron a las leccioneshan dicho que el haber seguido dos años de física conFeynman fue la experiencia de toda una vida. Pero noes esta la impresión que entonces se tuvo. Muchos delos estudiantes temían la clase, y a medida que el cursoavanzaba la asistencia por parte de los estudiantesmatriculados empezó a descender de forma alarmante.Pero al mismo tiempo, cada vez más profesores yestudiantes graduados empezaban a asistir. El aulaseguía llena, y quizá Feynman nunca supo que él estabaperdiendo parte de su pretendida audiencia. Peroincluso en opinión de Feynman, su objetivo pedagógicono tuvo éxito. En el prefacio a las Lecciones de 1963,él escribió: «No creo que hiciera mucho por losestudiantes». Releyendo los libros, uno parece a vecesver a Feynman mirando por encima de su hombro, no asu audiencia joven, sino directamente a sus colegas,diciendo: «¡Miren eso! ¡Miren cómo aclaro estacuestión! ¿No fue eso ingenioso?». Incluso cuando élpensaba que estaba explicando las cosas con lucidez alos novatos o estudiantes de segundo año, no eranrealmente éstos quienes fueron capaces de beneficiarsede lo que él hacía. Eran sus colegas -científicos, físicos

y profesores- quienes serían los principalesbeneficiarios de su soberbio logro, que fue nada menosque ver la física a través de la perspectiva fresca ydinámica de Richard Feynman. Feynman fue más queun gran profesor. Su don consistía en que era unextraordinario maestro de maestros. Si el objetivo deimpartir las Lecciones de física fue el de preparar unaula llena de estudiantes de licenciatura para resolverproblemas de física en los exámenes, no puede decirseque hubiese tenido un gran éxito. Más aún, si sepretendía que los libros sirviesen como textosintroductorios para instituto, no puede decirse que hayaconseguido su objetivo. De todas formas, los libros hansido traducidos a diez idiomas y están disponibles encuatro ediciones bilingües. El propio Feynman creía quesu contribución más importante a la física no sería laQED, o la teoría del helio superfluido, o los polarones olos partones. Su contribución más importante sería lostres libros rojos de las Lecciones de física de Feynman.Esta creencia justifica por completo esta ediciónconmemorativa de estos celebrados libros. David L.Goldstein Gerry Neugebauer Instituto Tecnológico deCalifornia Abril de 1989

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Prefacio de Feynman

De las Lecciones de Física

Estas son las lecciones de física que impartí durante losdos últimos años a los estudiantes de primero ysegundo curso en el Caltech. Las lecciones no se hanreproducido, por supuesto, de forma literal, sino quehan sido revisadas, unas veces con gran extensión yotras con menos. Las lecciones constituyen sólo unaparte del curso completo. Los 180 estudiantes delgrupo se reunían en un aula grande dos veces porsemana para asistir a estas lecciones y luego se dividíanen grupos pequeños de 15 a 20 estudiantes en sesiones

de repaso bajo la guía de un profesor ayudante.Además, había una sesión de laboratorio una vez a lasemana.

Con estas lecciones tratábamos de resolver unproblema especial: mantener el interés de los muyentusiastas y bastante inteligentes estudiantes que salíande los institutos de enseñanza media e ingresaban en elCaltech. Ellos habían oído muchas cosas sobre lointeresante y excitante que es la física: la teoría de larelatividad, la mecánica cuántica y otras ideasmodernas. Al terminar los dos años del curso anterior alnuestro, muchos parecían sentirse muy desanimadosporque realmente se les habían presentado muy pocasideas grandes, nuevas y modernas. Se les hacía estudiarplanos inclinados, electrostática y cosas similares, y alcabo de dos años esto acababa por anquilosarles. Elproblema consistía en si podíamos o no hacer un cursoque atrajese a los estudiantes más avanzados y con másinterés, manteniendo su entusiasmo.

Las lecciones no pretendían en modo alguno dar un

repaso completo a la física, pero son muy serias. Quisedirigirlas a los estudiantes más inteligentes de la clase yquería estar seguro, en la medida de lo posible, de queni siquiera el estudiante más inteligente fuera capaz deabsorber completamente todo lo que había en laslecciones, para lo que planteaba sugerencias deaplicaciones de las ideas y conceptos en variasdirecciones al margen de la línea de ataque principal.Por esta razón, no obstante, puse mucho interés en quetodas las afirmaciones fueran lo más precisas posible,en señalar en cada caso dónde encajaban lasecuaciones y las ideas en el cuerpo de la física, y cómo-cuando ellos aprendieran más- se modificarían lascosas. También creía que para tales estudiantes esimportante señalar qué es lo que ellos deberían -sifueran suficientemente inteligentes- ser capaces decomprender por deducción a partir de lo que se habíadicho antes, y qué es lo que se estaba planteando comoalgo nuevo. Cuando intervinieran nuevas ideas, yotrataría o bien de deducirlas si eran deducibles, o deexplicar que eran ideas nuevas que no se basaban encosas ya aprendidas y que no se suponía que fuerandemostrables, sino que eran simplemente un añadido

más.

Al comenzar estas lecciones, yo suponía que losestudiantes tenían ciertos conocimientos cuando salíandel instituto: óptica geométrica, ideas simples dequímica, y cosas de este tipo. Tampoco veía quehubiera ninguna razón para seguir las lecciones en unorden definido, en el sentido de que no se pudieramencionar algo hasta que estuviera listo para discutirloen detalle. Habría muchas cosas que mencionar, sindiscusiones completas. Éstas vendrían más adelante,cuando la preparación hubiera llegado a un estadio másavanzado. Ejemplos de ello son las discusiones de lainductancia, y de los niveles energéticos, queinicialmente se exponen de forma muy cualitativa y másadelante se desarrollan con más extensión.

Al mismo tiempo que me estaba dirigiendo al estudiantemás activo, también quería preocuparme del estudiantepara quien los fuegos de artificio extra y las aplicacionesmarginales son meramente intranquilizadores, y de quienno puede esperarse que aprenda la mayor parte delcontenido de la lección. Para tal estudiante, yo quería

que hubiese al menos un núcleo central o columnavertebral de material que él pudiera asimilar. Pretendíaque no se pusiese nervioso aunque no entendiese todoel contenido de una lección. No esperaba que loentendiese todo, sino los aspectos centrales y másdirectos. Se necesitaba, por supuesto, cierta inteligenciapor su parte para ver cuáles son los teoremas y lasideas centrales, y cuáles son las cuestiones másavanzadas y las aplicaciones que sólo podría entenderen años posteriores.

Había una seria dificultad para dar estas lecciones: talcomo se impartía el curso, no había ningunarealimentación desde los estudiantes al profesor queindicase cómo se estaban asimilando las lecciones. Estaes realmente una dificultad muy seria, y yo no sé si laslecciones fueron realmente buenas. Todo erabásicamente un experimento. Si lo volviera a hacer nolo haría de la misma forma; ¡espero no tener quehacerlo otra vez! Creo, sin embargo, que las cosasfuncionaron -en lo que concierne a la física- de formabastante satisfactoria en el primer año.

Del segundo año no quedé tan satisfecho. En la primeraparte del curso, que trataba de la electricidad y delmagnetismo, yo no fui capaz de encontrar ningunamanera realmente única o diferente de explicarlo,ninguna manera que fuese particularmente más excitanteque la forma habitual de presentarlo. Así que yo nocreo que hiciera mucho en las lecciones sobreelectricidad y magnetismo. Para la parte final delsegundo año, mi idea original consistía en seguir dando,tras la electricidad y el magnetismo, algunas leccionesmás sobre las propiedades de los materiales, peroexplicando fundamentalmente cosas como modosnormales, soluciones de la ecuación de difusión,sistemas vibratorios, funciones ortogonales…,desarrollando así las primeras etapas de lo quenormalmente se denominan «los métodos matemáticosde la física». Visto en retrospectiva, creo que si lohiciese otra vez volvería a la idea original. Pero puestoque no estaba previsto que volviese a dar estaslecciones, se sugirió que podría ser una buena ideatratar de dar una introducción a la mecánica cuántica,que ustedes encontrarán en el volumen III.

Está perfectamente claro que los estudiantes que van agraduarse en física pueden esperar hasta su tercer añopara estudiar mecánica cuántica. Por otra parte, seadujo el argumento de que muchos de los estudiantesde nuestro curso estudiaban física como base para suinterés primario en otros campos. Y la forma habitualde tratar la mecánica cuántica hace el tema casiinabordable para la gran mayoría de estudiantes porquenecesitan mucho tiempo para aprenderlo. Sin embargo,en sus aplicaciones prácticas -especialmente en susaplicaciones más complejas, tales como la ingenieríaeléctrica y la química- no se utiliza realmente toda laherramienta del tratamiento mediante ecuacionesdiferenciales. Por ello traté de describir los principiosde la mecánica cuántica de una forma que no requirieseuna formación previa en las matemáticas de lasecuaciones en derivadas parciales. Creo que el intentode presentar la mecánica cuántica de esta forma inversaes algo interesante incluso para un físico, por variasrazones que se harán evidentes en las propias lecciones.Sin embargo, creo que el experimento en la parte demecánica cuántica no tuvo un éxito completo, debido,en gran parte, a que yo no tuve realmente tiempo

suficiente al final (por ejemplo, hubiera necesitado treso cuatro lecciones más para tratar con más extensióntemas tales como las bandas de energía y ladependencia espacial de las amplitudes). Además,nunca había presentado antes la materia de esta forma,de modo que la falta de realimentación fueparticularmente grave. Ahora creo que la mecánicacuántica debería darse más tarde. Quizá tengaoportunidad de hacerlo de nuevo algún día. Entonces loharé bien.

La razón de que no haya lecciones sobre cómo resolverproblemas es que había sesiones de repaso. Aunque sípuse tres lecciones el primer año sobre resolución deproblemas, éstas no están incluidas aquí. También hubouna lección sobre guía inercial que ciertamente deberíair tras la lección de sistemas rotatorios, pero, pordesgracia, fue omitida. Las lecciones quinta y sexta sedeben realmente a Matthew Sands, ya que yo estabafuera de la ciudad.

La cuestión, por supuesto, es saber si el experimentotuvo éxito. Mi punto de vista -que, sin embargo, no

parece ser compartido por la mayoría de las personasque trabajaron con los estudiantes- es pesimista. Nocreo que haya servido de mucho a los estudiantes.Cuando veo la forma en que la mayoría de ellostrataron los problemas en los exámenes, pienso que elsistema es un fracaso. Por supuesto, mis amigos meseñalan que hubo una o dos docenas de estudiantes que-de forma muy sorprendente- comprendieron casi todolo que había en las lecciones, y que se mostraron muyactivos en su trabajo con el material y en su interés porlos puntos principales de una forma entusiasta yanimada. Estas personas tienen ahora, creo yo, unosfundamentos de primer orden en física, y son, despuésde todo, los únicos a los que yo estaba tratando decaptar. Pero «el poder de la instrucción no suele sermuy eficaz excepto en los felices casos en que es casisuperfluo» (Gibbon).

Además, yo no quería que ningún estudiante se quedasecompletamente rezagado, como quizá sucedió. Creoque una forma en la que podríamos ayudar más a losestudiantes sería dedicando un mayor esfuerzo aldesarrollo de un conjunto de problemas que aclaren

algunas de las ideas contenidas en las lecciones. Losproblemas dan una buena oportunidad para completarel contenido de las lecciones y hacer más realistas, máscompletas y más asentadas en la mente las ideas que sehan expuesto.

Creo, no obstante, que la solución a este problema dela educación no es otra que darse cuenta de que lamejor enseñanza sólo puede hacerse cuando hay unarelación individual directa entre un estudiante y un buenprofesor: una situación en la que el estudiante discutelas ideas, piensa sobre las cosas y habla sobre lascosas. Es imposible aprender mucho asistiendosimplemente a una lección, o incluso haciendosimplemente los problemas que se proponen. Pero ennuestros tiempos tenemos tantos estudiantes a los queenseñar que debemos encontrar algún sustituto paraeste ideal. Quizá mis lecciones puedan aportar algunacontribución. Quizá en algún pequeño lugar dondeexista una relación más personal entre profesores yestudiantes, puedan sacar alguna inspiración o algunasideas de las lecciones. Quizá se diviertan reflexionandosobre ellas, o desarrollando más algunas de ellas.

Richard P Feynman

Junio de 1963

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Átomos en movimiento

Introducción

Este curso de física en dos años se presenta partiendode la base de que usted, el lector, va a ser físico. Esteno es necesariamente su caso, por supuesto, ¡pero es loque suponen todos los profesores en todas lasdisciplinas! Si usted va a ser un físico, tendrá muchoque estudiar: doscientos años del campo de

conocimiento con más rápido desarrollo que existe.Tanto conocimiento, de hecho, que usted quizá pienseque no puede aprenderlo todo en cuatro años, yrealmente no puede hacerlo; ¡tendrá que ir a cursospara graduados!

Resulta bastante sorprendente el hecho de que, a pesarde la tremenda cantidad de trabajo realizado durantetodo este tiempo, es posible condensar en gran medidala enorme masa de resultados; es decir, encontrar leyesque resuman todo nuestro conocimiento. Incluso así, lasleyes son tan difíciles de captar que no es justo queusted empiece a explorar esta enorme disciplina sinalgún tipo de mapa o panorámica de la relación entrelas diversas disciplinas científicas. De acuerdo con estoscomentarios preliminares, los primeros tres capítulosesbozarán la relación de la física con el resto de lasciencias, las relaciones de las ciencias entre sí, y elsignificado de la ciencia, lo que nos servirá parahacernos una «idea» del tema.

Usted podría preguntarse por qué no podemos enseñar

física exponiendo simplemente las leyes básicas en lapágina uno y mostrando luego cómo se aplican en todaslas circunstancias posibles, tal como hacemos con lageometría euclidiana, donde establecemos los axiomasy luego hacemos todo tipo de deducciones. (¿De modoque, no contento con aprender física en cuatro años,quiere usted aprenderla en cuatro minutos?) Nopodemos hacerlo de esta forma por dos razones. Laprimera es que no conocemos aún todas las leyesbásicas: la frontera entre el conocimiento y la ignoranciaestá en continua expansión. La segunda razón es que elenunciado correcto de las leyes de la física implicaalgunas ideas no muy familiares cuya descripciónrequiere matemáticas avanzadas. Por lo tanto, esnecesaria una considerable cantidad de entrenamientopreparatorio incluso para aprender lo que significan laspalabras. No, no es posible hacerlo de ese modo.Sólo podemos hacerlo fragmento a fragmento.

Todo fragmento, o parte, de la totalidad de lanaturaleza es siempre una mera aproximación a laverdad completa, o la verdad completa hasta donde laconocemos. De hecho, todo lo que sabemos es tan

sólo algún tipo de aproximación porque sabemos quetodavía no conocemos todas las leyes. Por lo tanto,las cosas deben ser aprendidas sólo para serdesaprendidas de nuevo o, lo que es más probable,para ser corregidas.

El principio de la ciencia, casi la definición, es elsiguiente: La prueba de todo conocimiento es elexperimento. El experimento es el único juez de la«verdad» científica. Pero ¿cuál es la fuente delconocimiento? ¿De dónde proceden las leyes que van aser puestas a prueba? El experimento por sí mismoayuda a producir dichas leyes, en el sentido de que nosda sugerencias. Pero también se necesita imaginaciónpara crear grandes generalizaciones a partir de estassugerencias: conjeturar las maravillosas, y simples, peromuy extrañas estructuras que hay debajo de todas ellas,y luego experimentar para poner a prueba una vez mássi hemos hecho la conjetura correcta. Este proceso deimaginación es tan difícil que hay una división deltrabajo en la física: están los físicos teóricos, quienesimaginan, deducen y conjeturan nuevas leyes pero noexperimentan, y luego están los físicos experimentales,

que experimentan, imaginan, deducen y conjeturan.

Decíamos que las leyes de la naturaleza sonaproximadas: que primero encontramos las «erróneas»,y luego encontramos las «correctas». Ahora bien,¿cómo puede ser «erróneo» un experimento? En primerlugar, de un modo trivial: si algo está mal en el aparatoque usted no advirtió. Pero estas cosas se puedenarreglar fácilmente, y comprobar una y otra vez. Así, sinreparar en estos detalles menores, ¿cómo pueden sererróneos los resultados de un experimento? Sólo siendoimprecisos. Por ejemplo, la masa de un objeto nuncaparece cambiar: una peonza en movimiento tiene elmismo peso que una peonza en reposo. De este modose concibió una «ley»: la masa es constante,independiente de la velocidad. Ahora se ha encontradoque esta «ley» es incorrecta. Resulta que la masaaumenta con la velocidad, pero un aumento apreciablerequiere velocidades próximas a la de la luz. Una leyverdadera es: si un objeto se mueve con una velocidadmenor que 100 kilómetros por segundo, su masa esconstante dentro de un margen de una parte en unmillón. En esta forma aproximada, esta es una ley

correcta. Uno podría pensar que la nueva ley nosupone ninguna diferencia significativa en la práctica.Bien, sí y no. Para velocidades ordinarias podemosciertamente olvidarla y utilizar la sencilla ley de la masaconstante como una buena aproximación. Pero si lasvelocidades son altas cometeremos errores, y cuantomás alta es la velocidad, mayor será el error.

Finalmente, y lo que es más interesante,filosóficamente estamos completamenteequivocados con la ley aproximada. Nuestra imagenentera del mundo tiene que ser modificada incluso si loscambios en las masas son muy pequeños. Esto es algomuy peculiar de la filosofía, o las ideas, que subyacenen las leyes. Incluso un efecto muy pequeño requiere aveces cambios profundos en nuestras ideas.

Ahora bien, ¿qué deberíamos enseñar primero?¿Deberíamos enseñar la ley correcta pero pocofamiliar con sus extrañas y difíciles ideas conceptuales,por ejemplo la teoría de la relatividad, el espacio-tiempo tetradimensional y cosas similares? ¿Odeberíamos enseñar primero la sencilla ley de la «masa

constante», que es sólo aproximada pero no implicaideas tan difíciles? La primera es más excitante, másmaravillosa y más divertida, pero la segunda es másfácil de captar al principio, y es un primer paso haciauna comprensión real de la segunda idea. Esta cuestiónsurge una y otra vez al enseñar física. En diferentesmomentos tendremos que resolverla de diferentesformas, pero en cada etapa vale la pena aprender loque ahora se conoce, cuán aproximado es, cómoencaja en todo lo demás, y cómo puede cambiarcuando aprendamos más cosas.

Sigamos ahora con la panorámica, o mapa general, denuestra comprensión de la ciencia actual (en particular,la física, pero también otras ciencias en la periferia), demodo que cuando nos con centremos más tarde enalgún punto concreto tendremos alguna idea delcontexto general, de por qué este punto particular esinteresante y cómo encaja en la gran estructura. Así que¿cuál es nuestra imagen global del mundo?

La materia está hecha de átomos

Si, por algún cataclismo, todo el conocimiento quedaradestruido y sólo una sentencia pasara a las siguientesgeneraciones de criaturas, ¿qué enunciado contendría lamáxima información en menos palabras? Yo creo quees la hipótesis atómica (o el hecho atómico, o comoquiera que ustedes deseen llamarlo) según la cual todaslas cosas están hechas de átomos: pequeñaspartículas que se mueven en movimiento perpetuo,atrayéndose mutuamente cuando están a pocadistancia, pero repeliéndose al ser apretadas unascontra otras. Verán ustedes que en esa simplesentencia hay una enorme cantidad de informaciónacerca del mundo, con tal de que se aplique un poco deimaginación y reflexión.

1.1 Agua ampliada mil millones deveces

Para ilustrar la potencia de la idea atómica,supongamos que tenemos una gota de agua de 5milímetros de diámetro. Si la miramos muy de cerca novemos otra cosa que agua: agua uniforme y continua. Sila ampliamos con el mejor microscopio ópticodisponible -aproximadamente dos mil veces- la gota deagua tendrá aproximadamente 10 metros de diámetro,el tamaño aproximado de una habitación grande, y si

ahora la miráramos desde muy cerca, aún veríamosagua relativamente uniforme, pero aquí y allí nadan deun lado a otro pequeñas cosas con forma de un balónde rugby. Muy interesante. Son paramecios. Quizáustedes se queden en este punto y sientan tantacuriosidad por los paramecios con sus cilioscimbreantes y cuerpos contorsionados que ya no siganmás adelante, excepto quizá para ampliar aún más losparamecios y ver qué hay en su interior. Esto, porsupuesto, es un tema para la biología, pero por elmomento continuaremos y miraremos aún más de cercaal propio material acuoso, ampliándolo dos mil vecesmás. Ahora la gota de agua se extiende hasta 20kilómetros de diámetro, y si la miramos muy de cercavemos una especie de hormigueo, algo que ya no tieneuna apariencia lisa; se parece a una multitud en unpartido de futbol vista a gran distancia. Para ver qué eseste hormigueo, lo ampliaremos otras doscientascincuenta veces y veremos algo similar a lo que semuestra en la figura 1.1. Esta es una imagen del aguaampliada mil millones de veces, pero idealizada envarios sentidos. En primer lugar, las partículas estándibujadas de una forma muy simple con bordes

definidos, lo que no es exacto. En segundo lugar, y porsimplicidad, están esbozadas casi esquemáticamente enuna formación bidimensional, pero por supuesto semueven en tres dimensiones. Nótese que hay dos tiposde «manchas» o círculos que representan los átomos deoxígeno (negros) e hidrógeno (blancos), y que a cadaoxígeno hay unidos dos hidrógenos. (Cada grupopequeño de un oxígeno con sus dos hidrógenos sedenomina una molécula.) La imagen aún está másidealizada por el hecho de que las partículas reales en lanaturaleza están agitándose y rebotando continuamente,girando y moviéndose unas alrededor de las otras.Ustedes tendrán que imaginarse esto como una imagendinámica más que estática. Otra cosa que no puedeilustrarse en un dibujo es el hecho de que las partículasestán «adheridas»: que se atraen entre sí, ésta atraídapor esa otra, etc. El grupo entero está «pegado», porasí decir. Por otra parte, las partículas no seinterpenetran. Si ustedes tratan de comprimir dos deellas y juntarlas demasiado, ellas se repelen.

Los átomos tienen 1 o 2 x 10-8 cm de radio. Ahora

bien, 10-8 cm se denomina un ångström (tan sólo otronombre), de modo que decimos que tienen 1 o 2ångströms () de radio. Otra manera de recordar estetamaño es la siguiente: si se ampliara una manzana hastael tamaño de la Tierra, entonces los átomos de lamanzana tendrían aproximadamente el tamaño de lamanzana original.

Imaginemos ahora esta gran gota de agua con todasestas partículas zigzagueantes adheridas y siguiéndoseunas a otras. El agua mantiene su volumen; no sedeshace, porque hay una atracción mutua entre lasmoléculas. Si la gota está en una pendiente, dondepuede moverse de un lugar a otro, el agua fluirá, perono desaparece simplemente -las cosas no sedesvanecen- porque existe una atracción molecular.Este movimiento de agitación es lo que representamoscomo calor: cuando aumentamos la temperatura,aumentamos el movimiento. Si calentamos el agua, laagitación aumenta y aumenta el volumen entre losátomos, y si el calentamiento continúa llega un momentoen que la atracción entre las moléculas no es suficientepara mantenerlas juntas y se disgregan separándose

unas de otras. Por supuesto, así es como producimosvapor a partir del agua: aumentando la temperatura; laspartículas se separan debido al incremento delmovimiento.

En la figura 1.2 tenemos una imagen del vapor. Estaimagen del vapor falla en un aspecto: a la presiónatmosférica ordinaria podría haber tan sólo unas pocasmoléculas en toda una habitación, y difícilmente llegaríaa haber tres en una figura como esta. La mayoría de loscuadrados de este tamaño no contendrían ninguna, peronosotros tenemos accidentalmente dos y media o tresen la imagen (sólo para que no estuviera completamentevacía). Ahora bien, en el caso del vapor vemos lasmoléculas características de forma más clara que en elagua. Por simplicidad, las moléculas se han dibujado demodo que haya un ángulo de 120° entre los átomos dehidrógeno. En realidad el ángulo es de 105° 3’, y ladistancia entre el centro de un hidrógeno y el centro deloxígeno es de 0,957, de modo que conocemos muybien esta molécula.

1.2 Vapor de agua

Veamos cuáles son algunas de las propiedades delvapor de agua o cualquier otro gas. Las moléculas,estando separadas unas de otras, rebotarán contra lasparedes. Imaginemos una habitación con varias pelotasde tenis (un centenar más o menos) rebotando enmovimiento perpetuo. Cuando bombardean la pared seproduce un empuje sobre la misma. (Por supuesto,nosotros tendríamos que empujar la pared desde atráspara mantenerla fija.) Esto significa que el gas ejerce

una fuerza agitatoria que nuestros torpes sentidos (al noestar nosotros mismos ampliados mil millones de veces)sienten sólo como un empuje promedio. Para confinarun gas debemos aplicar una presión.

1.3 Recipiente estándar paramantener

gases

La figura 1.3 muestra un recipiente estándar paramantener gases (utilizado en todos los libros de texto),un cilindro provisto de un pistón. Ahora bien, no hayninguna diferencia en cuáles sean las formas de lasmoléculas de agua, de modo que por simplicidad lasdibujaremos como pelotas de tenis o puntos pequeños.Estas cosas están en movimiento perpetuo en todasdirecciones. Tantas están golpeando el pistón superiorcontinuamente que para evitar que se salgan del tanquepor este golpeteo tendremos que sujetar el pistónmediante una cierta fuerza que llamamos presión (enrealidad, la fuerza es la presión multiplicada por elárea). Evidentemente, la fuerza es proporcional al área,pues si aumentamos el área pero mantenemos constanteel número de moléculas por centímetro cúbico,aumentamos el número de colisiones con el pistón en lamisma proporción en que aumenta el área.

Pongamos ahora el doble de moléculas en este tanque,de modo que se duplique la densidad, y hagamos quetengan la misma velocidad, es decir, la mismatemperatura. Entonces, en una buena aproximación, el

número de colisiones se duplicará y, puesto que cadauna de ellas será igual de «energética» que antes, lapresión será proporcional a la densidad. Siconsideramos la verdadera naturaleza de las fuerzasentre los átomos, cabría esperar una ligera disminuciónen la presión debida a la atracción entre los mismos, yun ligero incremento debido al volumen finito queocupan. De todas formas, con una aproximaciónexcelente, si la densidad es lo suficientemente baja paraque no haya muchos átomos, la presión esproporcional a la densidad.

También podemos ver algo más: si aumentamos latemperatura sin cambiar la densidad del gas, o sea, siaumentamos la velocidad de los átomos, ¿qué sucederácon la presión? Bien, los átomos golpean con másfuerza porque se están moviendo con más rapidez, yademás golpean con más frecuencia, de modo que lapresión aumenta. Vean ustedes qué simples son lasideas de la teoría atómica.

Consideremos otra situación. Supongamos que elpistón se mueve hacia adentro, de modo que los

átomos son lentamente comprimidos en un espaciomenor. ¿Qué sucede cuando un átomo golpea contra elpistón en movimiento? Evidentemente gana velocidaden la colisión. Ustedes pueden intentarlo haciendorebotar una pelota de ping-pong en una pala que semueve hacia ella, por ejemplo, y encontrarán que salerebotada con más velocidad con la que chocó.(Ejemplo especial: si resulta que un átomo está enreposo y el pistón le golpea, el átomo ciertamente semoverá.) Así pues, los átomos están «más calientes»cuando vuelven del pistón que antes de que chocasenen él. Por consiguiente, todos los átomos que están enel recipiente habrán ganado velocidad. Esto significaque cuando comprimimos lentamente un gas, latemperatura del gas aumenta. De este modo, en unacompresión lenta, un gas aumentará su temperatura, yen una expansión lenta disminuirá su temperatura.

Volvamos ahora a nuestra gota de agua y consideremosotro aspecto. Supongamos que disminuimos latemperatura de nuestra gota de agua. Supongamos quela agitación de las moléculas de los átomos del aguaestá decreciendo continuamente. Sabemos que existen

fuerzas atractivas entre los átomos, de modo que alcabo de algún tiempo ya no serán capaces de agitarsetanto. Lo que sucederá a temperaturas muy bajas estáindicado en la figura 1.4: las moléculas se quedaránbloqueadas en una nueva estructura, el hielo. Estediagrama esquemático concreto del hielo no es muybueno porque está en dos dimensiones, pero escualitativamente correcto. El punto interesante es queen el material hay un lugar definido para cada átomo,y ustedes pueden apreciar fácilmente que si de un modou otro mantuviéramos todos los átomos de un extremode la gota en una cierta disposición, cada uno de ellosen un determinado lugar, entonces, debido a laestructura de las interconexiones, que es rígida, el otroextremo a kilómetros de distancia (en nuestra escalaampliada) tendría una posición definida. Así, siagarramos una aguja de hielo por un extremo, el otroextremo aguanta nuestra fuerza, a diferencia del casodel agua en el que la estructura se desmorona debido ala agitación creciente que hace que todos los átomos semuevan de formas diferentes. La diferencia entresólidos y líquidos consiste entonces en que en un sólidolos átomos están dispuestos en algún tipo de formación,

llamada una red cristalina, y no tienen una posiciónaleatoria a grandes distancias; la posición de los átomosen un extremo del cristal está determinada por la deotros a millones de átomos de distancia al otro extremodel cristal. La figura 1.4 es una disposición imaginariapara el hielo pero, aunque contiene muchas de lascaracterísticas correctas del hielo, no es la disposiciónverdadera. Una de las características correctas es quehay una parte de la simetría que es hexagonal. Ustedespueden ver que, si giramos la figura 120° alrededor deun eje, la imagen vuelve a ser la misma. Así pues, hayuna simetría en el hielo que explica por qué los coposde nieve aparecen con seis lados. Otra cosa quepodemos ver de la figura 1.4 es por qué el hielo secontrae cuando se funde. La estructura cristalinaconcreta del hielo mostrada aquí tiene muchos«agujeros» en su interior, como los tiene la verdaderaestructura del hielo. Cuando la organización sedesmorona, estos agujeros pueden ser ocupados pormoléculas. La mayoría de las sustancias simples, con laexcepción del agua y algún metal, se expanden alfundirse, porque los átomos están empaquetados másestrechamente en el sólido cristalino y al fundirse

necesitan más sitio para agitarse; pero una estructuraabierta colapsa, como es el caso del agua.

1.4 Hielo

Ahora bien, aunque el hielo tiene una forma cristalina«rígida», su temperatura puede cambiar: el hielo tienecalor. Si queremos, podemos cambiar la cantidad decalor. ¿Qué es el calor en el caso del hielo? Los átomosno están en reposo. Están agitándose y vibrando. Así

pues, incluso si hay un orden definido en el cristal -unaestructura definida-, todos los átomos están vibrando«en su sitio». A medida que aumentamos latemperatura, vibran con una amplitud cada vez mayor,hasta que se salen de su sitio. Llamamos a esto fusión.A medida que disminuimos la temperatura, la vibracióndisminuye cada vez más hasta que, en el cero absoluto,se reduce a una cantidad mínima de vibración quepueden tener los átomos, aunque no nula. Estacantidad de movimiento mínima que pueden tener losátomos no es suficiente para fundir una sustancia, conuna excepción: el helio. El helio simplemente reduce losmovimientos atómicos tanto como puede, pero inclusoen el cero absoluto hay todavía movimiento suficientepara evitar la congelación. El helio no se congela nisiquiera en el cero absoluto, a menos que la presión seatan grande como para hacer que los átomos se aplastenunos contra otros. Si aumentamos la presión, podemoshacer que se solidifique.

Procesos atómicos

Hasta aquí la descripción de sólidos, líquidos y gasesdesde el punto de vista atómico. Sin embargo, lahipótesis atómica describe también procesos, y por ellovamos a ver ahora algunos procesos desde un punto devista atómico.

1.5 Agua evaporándose en el aire

(•=Oxígeno, o=Hidrógeno,ø=Nitrógeno)

El primer proceso que consideraremos está asociado ala superficie del agua. ¿Qué sucede en la superficie delagua? Haremos ahora la imagen más complicada -ymás realista- suponiendo que la superficie está al aire.La figura 1.5 muestra la superficie del agua al aire.Vemos las moléculas de agua como antes, formando unbloque de agua líquida, pero ahora vemos también lasuperficie del agua. Por encima de la superficieencontramos varias cosas: ante todo hay moléculas deagua, como en el vapor. Esto es vapor de agua, quesiempre se encuentra por encima del agua líquida. (Hayun equilibrio entre el vapor de agua y el agua quedescribiremos más adelante.) Además encontramosotras moléculas: aquí dos átomos de oxígeno adheridos,formando una molécula de oxígeno, allí dos átomos denitrógeno también adheridos para formar una molécula

de nitrógeno. El aire consiste casi por completo ennitrógeno, oxígeno, algo de vapor de agua y cantidadesmenores de dióxido de carbono, argón y otras cosas.Así que por encima de la superficie del agua está elaire, un gas, que contiene algo de vapor de agua. Ahorabien, ¿qué está sucediendo en esta imagen? Lasmoléculas en el agua están en continua agitación. Decuando en cuando, una molécula en la superficie esgolpeada con una fuerza algo mayor de lo normal, y esexpulsada. Es difícil ver esto en la imagen porque esuna imagen estática. Pero podemos imaginar que unamolécula próxima a la superficie acaba de ser golpeaday se está desprendiendo, y quizá otra ha sido golpeaday se separa. Así, molécula a molécula, el aguadesaparece: se evapora. Pero si cerramos el recipientepor arriba, al cabo de algún tiempo encontraremos ungran número de moléculas de agua entre las moléculasdel aire. De cuando en cuando, una de estas moléculasde vapor llega hasta el agua y se queda adherida denuevo. De este modo vemos que lo que parecía algopoco interesante y muerto -un vaso de agua con unatapa, que ha estado allí durante quizá veinte años-realmente contiene un fenómeno dinámico e interesante

que prosigue continuamente. A nuestros ojos, nuestrostorpes ojos, nada está cambiando, pero si pudiésemosverlo ampliado mil millones de veces veríamos quedesde este punto de vista está cambiandocontinuamente: hay moléculas que están dejando lasuperficie y moléculas que regresan a ella.

¿Por qué nosotros no vemos ningún cambio? ¡Porqueestán abandonando la superficie exactamente tantasmoléculas como están volviendo a ella! A la larga «nadasucede». Si ahora quitamos la tapa del recipiente ysoplamos para apartar el aire húmedo, reemplazándolocon aire seco, entonces el número de moléculas queabandonan la superficie es exactamente el mismo queantes, porque este número depende de la agitación delagua, pero el número de moléculas que regresan sereduce mucho debido a que hay muchas menosmoléculas de agua por encima de la superficie del agualíquida. Por consiguiente, hay más moléculas saliendoque entrando, y el agua se evapora. De modo que siustedes quieren evaporar agua ¡pongan en marcha elventilador!

Aquí hay algo más: ¿qué moléculas se van? Cuando unamolécula se va es debido a una acumulación accidentalde energía algo mayor de la habitual, que es lo que senecesita para liberarla de las atracciones de sus vecinas.Así pues, puesto que las moléculas que se van tienenmás energía que la media, las moléculas que quedantienen en promedio un movimiento menor que el quetenían antes. De modo que el líquido se enfría poco apoco cuando se evapora. Por supuesto, si una moléculade vapor llega desde el aire hasta el agua que está pordebajo, aparece de repente una gran atracción cuandola molécula se aproxima a la superficie. Esto acelera lapartícula incidente y da lugar a una generación de calor.Así, cuando las moléculas dejan la superficie robancalor; cuando regresan generan calor. Por supuesto,cuando no hay evaporación neta el resultado es nulo: elagua no cambia de temperatura. Si soplamos en el aguapara mantener una preponderancia continua en elnúmero de moléculas que se evaporan, entonces elagua se enfría. Por lo tanto, ¡hay que soplar en la sopapara enfriarla!

Ustedes comprenderán, por supuesto, que los procesosque acabamos de describir son más complicados de loque hemos indicado. No sólo el agua penetra en el aire,sino que también, de cuando en cuando, una de lasmoléculas de oxígeno o nitrógeno penetrará y se«perderá» entre la masa de las moléculas de agua, yseguirá su camino dentro del agua. Así, el aire sedisuelve en el agua; las moléculas de oxígeno ynitrógeno seguirán su camino dentro del agua y el aguacontendrá aire. Si repentinamente extraemos el aire delrecipiente, entonces las moléculas de aire dejarán elagua con más rapidez de la que entran en ella, y alhacerlo así formarán burbujas. Esto es muy malo paralos buceadores, como ustedes quizá ya sepan.

Vayamos ahora a otro proceso. En la figura 1.6 vemos,desde un punto de vista atómico, un sólido que sedisuelve en agua. Si colocamos un cristal de sal en elagua, ¿qué sucederá? La sal es un sólido, un cristal, unadisposición ordenada de «átomos de sal».

1.6 Sal disolviéndose en agua

(O=Cloro o=Sodio)

La figura 1.7 es una ilustración de la estructuratridimensional de la sal común, el cloruro sódico.Estrictamente hablando, el cristal no está compuesto deátomos, sino de lo que denominamos iones. Un ión esun átomo que o bien tiene algunos electrones de más obien ha perdido algunos electrones. En un cristal de salencontramos iones de cloro (átomos de cloro con un

electrón extra) e iones de sodio (átomos de sodio a losque les falta un electrón). Todos los iones se adhierenpor atracción eléctrica en la sal sólida, pero cuando loscolocamos en el agua encontramos que, debido a lasatracciones del oxígeno negativo y el hidrógeno positivohacia los iones, algunos de los iones se agitan máslibremente.

1.7 Distancia entre primeros vecinos d

= a/2

En la figura 1.6 vemos un ión de cloro que se libera yotros átomos que flotan en el agua en forma de iones.Esta imagen se ha hecho con cierto cuidado. Nótese,por ejemplo, que los terminales de hidrógeno de lasmoléculas de agua suelen estar más cerca del ión cloro,mientras que cerca del ión sodio es mucho másprobable encontrar el terminal de oxígeno, porque elsodio es positivo y el terminal de oxígeno del agua esnegativo, y ambos se atraen eléctricamente. ¿Podemosdecir a partir de esta imagen si la sal se estádisolviendo en el agua o está cristalizando a partirdel agua? Por supuesto que no podemos decirlo,porque mientras que algunos de los átomos estándejando el cristal, otros átomos se están volviendo aunir a él. Se trata de un proceso dinámico, igual que enel caso de la evaporación, y depende de si hay más omenos sal en el agua que la cantidad necesaria para elequilibrio. Por equilibrio entendemos esa situación en laque el ritmo al que los átomos están dejando el cristal

ajusta exactamente con el ritmo al que están volviendoa él. Si no hubiese apenas sal en el agua, habría másátomos que lo dejan que átomos que regresan a él, y lasal se disolvería. Si, por el contrario, hubierademasiados «átomos de sal», regresarían más de losque se van, y la sal estaría cristalizando.

Mencionemos de paso que el concepto de unamolécula de una sustancia es sólo aproximado y existesolamente para cierta clase de sustancias. Es evidenteen el caso del agua que los tres átomos están realmenteadheridos. No es tan claro en el caso del clorurosódico en el sólido. Hay tan sólo una disposición deiones sodio y cloro en una estructura cúbica. No haymanera natural de agruparlos como «moléculas de sal».

Volviendo a nuestra discusión de la solución y laprecipitación, si aumentamos la temperatura de lasolución salina se incrementa el ritmo al que los átomosse van, y también lo hace el ritmo al que los átomosvuelven. Resulta muy difícil, en general, predecir qué eslo que va a pasar, si se va a disolver más o menos

sólido. La mayoría de las sustancias se disuelven más,pero algunas sustancias se disuelven menos a medidaque la temperatura aumenta.

Reacciones químicas

En todos los procesos que se han descrito hasta ahora,los átomos y los iones no han cambiado decompañeros, pero por supuesto hay circunstancias enlas que los átomos cambian sus combinaciones paraformar nuevas moléculas. Esto se ilustra en la figura 1.8.Un proceso en el que tiene lugar una recombinación delos compañeros atómicos es lo que denominamos unareacción química.

1.8 Carbono quemándose en oxígeno

Los otros procesos descritos hasta ahora se denominanprocesos físicos, pero no hay una distinción tajanteentre ambos tipos de procesos. (La naturaleza no sepreocupa de cómo lo llamemos, simplemente siguetrabajando.) Se supone que esta figura representacarbono quemándose en oxígeno. En el caso deloxígeno, dos átomos de oxígeno están adheridos muyfuertemente. (¿Por qué no se adhieren tres o inclusocuatro átomos? Esta es una de las características muy

peculiares de tales procesos atómicos. Los átomos sonmuy especiales: les gustan ciertos compañerosconcretos, ciertas direcciones concretas, y asísucesivamente. La tarea de la física consiste en analizarpor qué cada uno de ellos quiere lo que quiere. Encualquier caso, dos átomos de oxígeno forman,saturados y felices, una molécula.)

Se supone que los átomos de carbono están en uncristal sólido (que podría ser grafito o diamante).Ahora, por ejemplo, una de las moléculas de oxígenopuede llegar al carbono, y cada uno de sus átomospuede recoger un átomo de carbono y salir en unanueva combinación -«carbono-oxígeno»-, que es unamolécula de un gas denominado monóxido de carbono.Se le da el nombre químico CO. Es muy simple: lasletras «CO» son prácticamente una imagen de dichamolécula. Pero el carbono atrae al oxígeno con muchamás fuerza que el oxígeno atrae al oxígeno o que elcarbono atrae al carbono. Por lo tanto, en este procesoel oxígeno puede llegar con sólo una pequeña energía,pero el oxígeno y el carbono saldrán juntos con una

enorme violencia y conmoción, y cualquier cosa quehaya cerca de ellos recogerá la energía. Entonces segenera una gran cantidad de energía de movimiento,energía cinética. Esto, por supuesto, es la combustión;estamos obteniendo calor a partir de la combinación deoxígeno y carbono. El calor está ordinariamente enforma de movimiento molecular del gas caliente, peroen ciertas circunstancias puede ser tan enorme quegenere luz. Así es cómo se obtienen las llamas.

Además, el monóxido de carbono no está totalmentesatisfecho. Es posible que se una a otro oxígeno, demodo que podríamos tener una reacción mucho máscomplicada en la que el oxígeno se está combinandocon el carbono y al mismo tiempo tiene lugar unacolisión con una molécula de monóxido de carbono. Unátomo de oxígeno podría unirse al CO y formarfinalmente una molécula, compuesta de un carbono ydos oxígenos, que se designa CO2 y se denominadióxido de carbono. Si quemamos el carbono con muypoco oxígeno en una reacción muy rápida (porejemplo, en un motor de automóvil, donde la explosiónes tan rápida que no hay tiempo para hacer dióxido de

carbono), se forma una gran cantidad de monóxido decarbono. En muchas de tales recombinaciones se liberauna cantidad muy grande de energía, que produceexplosiones, llamas, etc., dependiendo de lasreacciones. Los químicos han estudiado estasordenaciones de los átomos y han encontrado que todasustancia es algún tipo de disposición de átomos.

1.9 Aroma de violetas

Para ilustrar esta idea, consideremos otro ejemplo. Sientramos en un campo de pequeñas violetas, enseguidasabemos qué es «ese olor». Es algún tipo de molécula,o disposición de átomos, que se ha abierto caminohasta el interior de nuestras fosas nasales. Antes denada, ¿cómo se abrió camino? Eso es bastante fácil. Siel olor es algún tipo de molécula en el aire, agitándose ysiendo golpeada desde todas direcciones, podría haberllegado accidentalmente al interior de la nariz.Ciertamente no tiene ningún deseo particular de entraren nuestra nariz. Es simplemente una indefensa parte deuna multitud zigzagueante de moléculas, y en su errar sinrumbo esta porción concreta de materia acabaencontrándose en nuestra nariz.

Ahora los químicos pueden tomar moléculas especialescomo las del aroma de las violetas y analizarlas ydecirnos la disposición exacta de los átomos en elespacio. Sabemos que la molécula de dióxido decarbono es recta y simétrica: O-C-O. (Esto tambiénpuede determinarse fácilmente con métodos físicos.)Sin embargo, incluso para las enormemente más

complicadas disposiciones de átomos que hay en laquímica es posible, mediante un largo y notable procesode trabajo detectivesco, encontrar las disposiciones delos átomos. La figura 1.9 es una imagen del aire cercade una violeta; de nuevo encontramos nitrógeno yoxígeno en el aire, y vapor de agua. (¿Por qué hayvapor de agua? Porque la violeta está húmeda. Todaslas plantas transpiran.) Sin embargo, vemos también enla figura 1.10 un «monstruo» compuesto de átomos decarbono, átomos de hidrógeno y átomos de oxígeno,que han elegido una cierta estructura concreta en la quedisponerse. Es una disposición mucho más complicadaque la del dióxido de carbono; de hecho, es unadisposición enormemente complicada. Por desgracia,no podemos representar todo lo que de verdad seconoce sobre ella químicamente, porque la disposiciónprecisa de todos los átomos se conoce realmente entres dimensiones, mientras que nuestra imagen es sólobidimensional. Los seis carbonos que forman un anillono forman un anillo plano, sino un tipo de anillo«arrugado». Se conocen todos los ángulos y lasdistancias. Así pues, una fórmula química essimplemente una imagen de semejante molécula.

Cuando el químico escribe una cosa semejante en lapizarra está tratando de «dibujar», hablando grossomodo, en dos dimensiones. Por ejemplo, vemos un«anillo» de seis carbonos, y una «cadena» de carbonosque cuelga en un extremo, con un oxígeno en elsegundo lugar a partir del extremo, tres hidrógenosunidos al carbono, dos carbonos y tres hidrógenosadheridos aquí, etc.

1.10 La sustancia representada es

a-irona.

¿Cómo descubre el químico cuál es la disposición? Élmezcla botellas llenas de algún material, y si éste sevuelve rojo, significa que consiste en un hidrógeno ydos carbonos unidos aquí; si se vuelve azul, por elcontrario, no es esa la forma ni mucho menos. Esta esuna de las más fantásticas piezas de trabajodetectivesco que se han hecho nunca: la químicaorgánica. Para descubrir la disposición de los átomosen estas formaciones enormemente complicadas, elquímico observa qué sucede cuando mezcla dossustancias diferentes. El físico nunca se acababa decreer que el químico supiera de lo que estaba hablandocuando describía la disposición de los átomos. Desdehace aproximadamente veinte años ha sido posible, enalgunos casos, examinar moléculas semejantes (no tancomplicadas como estas, pero sí algunas que contienenpartes de ella) por un método físico, y ha sido posiblelocalizar cada átomo, no observando colores, sinomidiendo dónde están. Y ¡como por arte de magia!,los químicos tienen casi siempre razón.

Resulta, de hecho, que en las violetas hay tres

moléculas ligeramente distintas, que difieren sólo en ladisposición de los átomos de hidrógeno.

Un problema de la química consiste en dar nombre auna sustancia, de tal modo que sepamos qué es.¡Encontrar un nombre para esta forma! El nombre nosólo debe decir la forma, sino que también debe decirque aquí hay un átomo de oxígeno, ahí hay unhidrógeno: exactamente qué es y dónde está cadaátomo. Es fácil comprender entonces que los nombresquímicos deban ser complejos para poder sercompletos. Vean ustedes que el nombre de esta cosaen la forma más completa que les revele su estructuraes 4-(2,2,3,6 tetrametil-5-ciclohexanil)-3-buten-2-uno,y eso les dice que esta es la disposición. Podemosdarnos cuenta de las dificultades que tienen losquímicos, y darnos cuenta también de la razón denombres tan largos. ¡No es que ellos quieran seroscuros, sino que se enfrentan a un problemaextremadamente difícil al tratar de describir lasmoléculas con palabras!

¿Cómo sabemos que existen los átomos? Por uno de

los trucos antes mencionados: hacemos la hipótesis deque existen átomos, y los resultados se siguen uno trasotro de la forma que predecimos, como debería ser silas cosas están hechas de átomos. Existe también unaevidencia algo más directa, un buen ejemplo de la cuales el siguiente: los átomos son tan pequeños queustedes no pueden verlos con un microscopio óptico;de hecho, ni siquiera con un microscopio electrónico.(Con un microscopio óptico ustedes sólo pueden vercosas que son mucho más grandes.) Ahora bien, si losátomos están siempre en movimiento, digamos en agua,y ponemos una bola grande de algo en el agua, unabola mucho más grande que los átomos, la bola seagitará de un lado a otro, de forma muy parecida a unjuego en donde un balón muy grande es empujado entodas direcciones por muchas personas. Las personasestán empujando en diferentes direcciones, y el balónse mueve en el campo de una forma irregular. De lamisma forma, la «gran bola» se moverá debido a lasdesigualdades de las colisiones en un lado y en otro, yde un instante al siguiente. Así, si miramos partículasmuy pequeñas (coloides) en el agua a través de unmicroscopio excelente, vemos una agitación perpetua

de las partículas que es el resultado del bombardeo delos átomos. Esto se denomina movimiento browniano.

Tenemos evidencia adicional de los átomos en laestructura de los cristales. En muchos casos lasestructuras deducidas por análisis de rayos X coincidenen sus «formas» espaciales con las formas querealmente muestran los cristales tal como se dan en lanaturaleza. Los ángulos entre las diversas «caras» de uncristal coinciden, dentro de un margen de segundos dearco, con los ángulos deducidos de la hipótesis de queun cristal está hecho de muchas «capas» de átomos.

Todo está hecho de átomos. Esta es la hipótesis clave.La hipótesis más importante de toda la biología, porejemplo, es que todo lo que hacen los animales lohacen los átomos. En otras palabras, no hay nadaque hagan los seres vivos que no pueda sercomprendido desde el punto de vista de que estánhechos de átomos que actúan de acuerdo con lasleyes de la física. Esto no era conocido desde elprincipio: se necesitó alguna experimentación yteorización para sugerir esta hipótesis, pero ahora se

acepta, y es la teoría más útil para producir nuevasideas en el campo de la biología.

Si un pedazo de acero o de sal, que consiste en átomoscolocados uno detrás de otro, puede tener propiedadestan interesantes; si el agua -que no es otra cosa queestos pequeños borrones, un kilómetro tras otro de lamisma cosa sobre la tierra- puede formar olas yespuma y hacer ruidos estruendosos y figuras extrañascuando corre sobre el cemento; si todo esto, toda lavida de una corriente de agua, no es otra cosa que unmontón de átomos, ¿cuánto más es posible? Si enlugar de disponer los átomos siguiendo una pautadefinida, repetida una y otra vez, aquí y allí, o inclusoformando pequeños fragmentos de complejidad comolos que dan lugar al olor de las violetas, construimosuna disposición que es siempre diferente de un lugar aotro, con diferentes tipos de átomos dispuestos demuchas formas, con cambios continuos y sin repetirse,¿cuánto más maravilloso podrá ser el comportamientode este objeto? ¿Es posible que este «objeto» que sepasea de un lado a otro delante de ustedes, hablándolesa ustedes, sea un gran montón de estos átomos en una

disposición muy compleja, tal que su enormecomplejidad sorprenda a la imaginación con lo quepuede hacer? Cuando decimos que somos un montónde átomos no queremos decir que somos meramenteun montón de átomos, porque un montón de átomosque no se repiten de un lugar a otro muy bien podríatener las posibilidades que ustedes ven ante sí en elespejo.

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Física básica

Introducción

En este capítulo examinaremos las ideas másfundamentales que tenemos acerca de la física: la

naturaleza de las cosas tal como las vemos actualmente.No discutiremos la historia de cómo sabemos quetodas estas ideas son verdaderas; ustedes aprenderánestos detalles a su debido tiempo.

Las cosas que nos interesan en ciencia aparecen enmúltiples formas y con muchos atributos. Por ejemplo,si estamos de pie en la costa y miramos el mar, vemosel agua, las olas que rompen, la espuma, el movimientodel agua, el sonido, el aire, los vientos y las nubes, el soly el cielo azul, y la luz; hay arena y hay rocas de diversadureza y permanencia, color y textura. Hay animales yalgas, hambre y enfermedad, y el observador en laplaya; incluso puede haber felicidad y pensamiento.Cualquier otro punto en la naturaleza presenta unavariedad similar de cosas e influencias. Siempre hay lamisma complejidad, independientemente de dónde esté.La curiosidad exige que planteemos preguntas, quetratemos de unir las cosas y de comprender estamultitud de aspectos como resultantes tal vez de laacción de un número relativamente pequeño de cosas yfuerzas elementales que actúan en una infinita variedad

de combinaciones.

Por ejemplo: ¿es la arena distinta de las rocas? Esdecir, ¿es la arena algo más que un gran número depiedras minúsculas? ¿Es la Luna una gran roca? Sientendiéramos las rocas, ¿entenderíamos también laarena y la Luna? ¿Es el viento un chapoteo del aireanálogo al movimiento confuso y ruidoso del agua en elmar? ¿Qué características comunes hay en movimientosdiferentes? ¿Qué es común a los diferentes tipos desonidos? ¿Cuántos colores diferentes existen? Y asísucesivamente. De esta forma tratamos de analizarpoco a poco todas las cosas, unir cosas que a primeravista parecen diferentes, con la esperanza de quepodamos ser capaces de reducir el número de cosasdiferentes y, por consiguiente, comprenderlas mejor.

Hace algunos cientos de años se concibió un métodopara encontrar respuestas parciales a tales preguntas.Observación, razonamiento y experimentoconstituyen lo que llamamos el método científico.Tendremos que limitarnos a una descripción desnudade nuestra visión esencial de lo que a veces se

denomina física fundamental, o las ideasfundamentales que han surgido de la aplicación delmétodo científico.

¿Qué entendemos por «comprender» algo?Imaginemos que esta serie complicada de objetos enmovimiento que constituyen «el mundo» es algoparecido a una gran partida de ajedrez jugada por losdioses, y que nosotros somos observadores del juego.Nosotros no sabemos cuáles son las reglas del juego;todo lo que se nos permite hacer es observar lasjugadas. Por supuesto, si observamos durante el tiemposuficiente podríamos llegar a captar finalmente algunasde las reglas. Las reglas del juego son lo queentendemos por física fundamental. No obstante,quizá ni siquiera conociendo todas las reglas seríamoscapaces de entender por qué se ha hecho unmovimiento particular en el juego, por la sencilla razónde que es demasiado complicado y nuestras mentes sonlimitadas. Si ustedes juegan al ajedrez sabrán que esfácil aprender todas las reglas y, pese a todo, es amenudo muy difícil seleccionar el mejor movimiento oentender por qué un jugador ha hecho la jugada que ha

hecho. Así sucede en la naturaleza, sólo que muchomás; pero al menos podemos ser capaces de encontrartodas las reglas. Realmente no tenemos ahora todas lasreglas. (De tanto en tanto sucede algo, como unenroque; que aún no entendemos.) Aparte de noconocer todas las reglas, lo que realmente podemosexplicar en términos de dichas reglas es muy limitado,porque casi todas las situaciones son tan enormementecomplicadas que no podemos seguir las jugadasutilizando las reglas, y mucho menos decir lo que va asuceder a continuación. Debemos, por lo tanto,limitarnos a la cuestión más básica de las reglas deljuego. Si conocemos las reglas, consideramos que«entendemos» el mundo.

¿Cómo podemos decir que las reglas del juego que«conjeturamos» son realmente correctas si no podemosanalizar muy bien el juego? Hablando en términosgenerales, hay tres maneras de hacerlo. Primero, puedehaber situaciones donde la naturaleza se las haarreglado, o nosotros hemos arreglado a la naturaleza,para ser simple y tener tan pocas partes que podamospredecir exactamente lo que va a suceder, y en

consecuencia podamos comprobar cómo trabajannuestras reglas. (En una esquina del tablero puedehaber sólo algunas piezas de ajedrez en acción, y eso lopodemos entender exactamente.)

Una buena segunda manera de comprobar las reglas eshacerlo a partir de reglas menos específicas derivadasde las primeras. Por ejemplo, la regla del movimientode un alfil en un tablero de ajedrez consiste en que semueve sólo en diagonal. Uno puede deducir,independientemente de cuántos movimientos puedanhacerse, que un alfil determinado estará siempre en unacasilla blanca. De este modo, aun sin ser capaces deseguir todos los detalles, siempre podemos comprobarnuestra idea sobre el movimiento del alfil mirando siestá siempre en una casilla blanca. Por supuesto, loestará durante mucho tiempo, hasta que de repenteencontramos que está en una casilla negra (lo quesucedió, por supuesto, es que mientras tanto el alfil fuecapturado, y además un peón coronó y se convirtió enun alfil en una casilla negra). Eso mismo pasa en física.Durante mucho tiempo tendremos una regla que trabajade forma excelente en general, incluso si no podemos

seguir los detalles, y luego podemos descubrir en algúnmomento una nueva regla. Desde el punto de vista dela física básica, los fenómenos más interesantes estánpor supuesto en los nuevos lugares, los lugares dondelas reglas no funcionan, ¡no los lugares donde sífuncionan! Así es como descubrimos nuevas reglas.

La tercera manera de decir si nuestras ideas soncorrectas es relativamente burda pero probablementees la más poderosa de todas ellas: por aproximación.Aunque quizá no seamos capaces de decir por quéAlekhine mueve esta pieza concreta, quizá podamoscomprender en un sentido muy amplio que él estáreuniendo sus piezas alrededor del rey para protegerlo,más o menos, puesto que es lo más razonable que sepuede hacer en las circunstancias dadas. De la mismaforma, a veces podemos entender la naturaleza, más omenos, sin ser capaces de ver qué está haciendo cadapieza menor, en términos de nuestra comprensión deljuego.

Al principio, los fenómenos de la naturaleza fuerondivididos de forma muy general en categorías como

calor, electricidad, mecánica, magnetismo, propiedadesde las sustancias, fenómenos químicos, luz u óptica,rayos X, física nuclear, gravitación, fenómenosmesónicos, etc. Sin embargo, el objetivo es ver toda lanaturaleza como aspectos diferentes de un conjuntode fenómenos. Este es el problema con que seencuentra actualmente la física teórica básica:encontrar las leyes que hay tras el experimento;amalgamar estas categorías. Hasta ahora siemprehemos sido capaces de amalgamarlas, pero con el pasodel tiempo se encuentran cosas nuevas. Estábamosamalgamando muy bien cuando, de repente, sedescubrieron los rayos X. Luego amalgamamos algomás, y se descubrieron los mesones. Por lo tanto, encualquier fase del juego, éste siempre parece bastanteconfuso. Se ha amalgamado mucho, pero siempre haymuchos cables o hilos sueltos en todas direcciones.Esta es la situación actual, que vamos a tratar dedescribir.

Algunos ejemplos históricos de amalgamación son lossiguientes. Consideremos, en primer lugar, el calor y lamecánica. Cuando los átomos están en movimiento,

cuanto mayor es el movimiento más calor contiene elsistema, y por ello el calor y todos los efectos de latemperatura pueden ser representados por las leyesde la mecánica. Otra amalgamación enorme fue eldescubrimiento de la relación entre la electricidad, elmagnetismo y la luz, que se mostraron como aspectosdiferentes de un mismo objeto, que hoy llamamos elcampo electromagnético. Otra amalgamación es launificación de los fenómenos químicos, las diversaspropiedades de las diversas sustancias y elcomportamiento de las partículas atómicas, que se daen la mecánica cuántica de la química.

Por supuesto, la cuestión es: ¿será posible amalgamarlotodo, y descubrir simplemente que este mundorepresenta aspectos diferentes de una cosa? Nadie losabe. Todo lo que sabemos es que a medida queseguimos adelante descubrimos que podemosamalgamar piezas, y luego encontramos algunas piezasque no encajan con las otras y seguimos tratando decomponer el rompecabezas. La cuestión de si hay o noun número finito de piezas, o incluso de si hay o no unlímite para el rompecabezas, es, por supuesto, una

incógnita. Nunca se sabrá hasta que terminemos elcuadro, si lo hacemos alguna vez. Lo que queremoshacer aquí es ver hasta qué punto se ha llegado en esteproceso de unificación, y cuál es la situación actual en lacomprensión de los fenómenos físicos en términos delmenor conjunto de principios. Para expresarlo de unmodo simple, ¿de qué están hechas las cosas ycuántos elementos existen?

La física antes de 1920

Es un poco difícil empezar de golpe con la visión actual,de modo que primero veremos cómo se veían las cosasalrededor de 1920 y luego sacaremos algunas cosas dedicha imagen. Antes de 1920, nuestra imagen delmundo era algo parecido a esto: el «escenario» en elque se presenta el universo es el espacio tridimensionalde la geometría, tal como es descrito por Euclides, y las

cosas cambian en un medio llamado tiempo. Loselementos sobre el escenario son las partículas, porejemplo los átomos, que tienen ciertas propiedades. Enprimer lugar, la propiedad de inercia: si una partícula seestá moviendo continuará moviéndose en la mismadirección a menos que sobre ella actúen fuerzas. Elsegundo elemento, por lo tanto, son las fuerzas, queentonces se pensaba que eran de dos tipos: el primero,un enormemente complicado y detallado tipo de fuerzade interacción que mantenía los diferentes átomos endiferentes combinaciones de una forma complicada,que determinaba si la sal se disolvería más rápida o máslentamente cuando aumentamos la temperatura. La otrafuerza que se conocía era una interacción de largoalcance -una atracción suave y silenciosa- que variabade forma inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia, y fue denominada gravitación. Esta ley eraconocida y era muy simple. Lo que no se conocía, porsupuesto, era por qué las cosas permanecen enmovimiento cuando se están moviendo, o por quéexiste una ley de la gravitación.

Lo que aquí nos interesa es una descripción de lanaturaleza. Desde este punto de vista, un gas, y enrealidad toda la materia, es una infinidad de partículasen movimiento. Así, muchas de las cosas que vimosmientras permanecíamos de pie en la orilla del marpueden ser relacionadas inmediatamente. Primero lapresión: ésta procede de las colisiones de los átomoscon las paredes o lo que sea; el impulso de los átomos,si todos se están moviendo en una cierta dirección enpromedio, es el viento; los movimientos aleatoriosinternos son el calor. Hay ondas de exceso dedensidad, donde se han reunido demasiadas partículasy, por ello, cuando se separan precipitadamenteempujan a montones de partículas situadas más lejos, yasí sucesivamente. Esta onda de exceso de densidad esel sonido. Constituye un enorme logro que seamoscapaces de comprender tanto. Algunas de estas cosasse describieron en el capítulo anterior.

¿Qué tipos de partículas existen? En esa época seconsideraba que había 92: 92 tipos diferentes deátomos se descubrieron finalmente. Tenían nombresdiferentes asociados a sus propiedades químicas.

La siguiente parte del problema era: ¿cuáles son lasfuerzas de corto alcance? ¿Por qué el carbono atrae aun oxígeno o quizá dos oxígenos, pero no a tresoxígenos? ¿Cuál es el mecanismo de la interacciónentre los átomos? ¿Es la gravitación? La respuesta esno. La gravedad es demasiado débil. Pero imaginemosuna fuerza análoga a la gravedad, que varíe de formainversamente proporcional al cuadrado de la distancia,aunque enormemente más potente y con una diferencia:en la gravedad cada objeto atrae a todos los demás,pero imaginemos ahora que existen dos tipos de«objetos», y que esta nueva fuerza (que, por supuesto,es la fuerza eléctrica) tiene la propiedad de que lossemejantes se repelen pero los diferentes se atraen. El«objeto» que porta esta interacción fuerte se denominacarga.

Entonces ¿qué es lo que tenemos? Supongamos quetenemos dos objetos diferentes que se atraenmutuamente, un más y un menos, y que están muypróximos. Supongamos que tenemos otra carga a ciertadistancia. ¿Sentiría alguna atracción? No sentiría

prácticamente ninguna, porque si las dos primerascargas tienen el mismo tamaño, la atracción de una y larepulsión de la otra se cancelan. Por lo tanto, hay unafuerza muy pequeña a distancias apreciables. Por elcontrario, si nos acercamos mucho con la carga extraaparece una atracción, porque la repulsión de losiguales y la atracción de los diferentes hará que losdiferentes se coloquen más próximos y los iguales seaparten. Entonces la repulsión será menor que laatracción. Esta es la razón de que los átomos, que estánconstituidos por cargas eléctricas más y menos,experimenten una fuerza muy pequeña (aparte de lagravedad) cuando están separados por una distanciaapreciable. Cuando se acercan pueden «ver dentro» delotro y redistribuir sus cargas, con el resultado de quetienen una interacción muy fuerte. La base última de lainteracción entre los átomos es eléctrica. Puesto queesta fuerza es tan enorme, todos los más y todos losmenos se unirán normalmente en una combinación taníntima como sea posible. Todas las cosas, inclusonosotros mismos, tienen un granulado fino, con partes«más» y «menos» que interaccionan fuertemente, todasellas globalmente compensadas. De cuando en cuando,

por accidente, podemos robar algunos menos o algunosmás (normalmente es más fácil robar menos), y en talescircunstancias encontramos la fuerza de la electricidaddescompensada y podemos ver los efectos de estasatracciones eléctricas.

Para dar una idea de lo mucho más fuerte que es laelectricidad respecto a la gravitación, consideremos dosgranos de arena de un milímetro de diámetro,separados a una distancia de treinta metros. Si la fuerzaentre ellos no estuviera compensada, si cualquier cosaatrajese a cualquier otra en lugar de repeler a losiguales, de modo que no hubiera cancelación, ¿quéintensidad tendría la fuerza? ¡Habría una fuerza de tresmillones de toneladas entre los dos! Verán ustedesque basta con un exceso o un déficit muy pequeño delnúmero de cargas negativas o positivas para producirefectos eléctricos apreciables. Esta es, por supuesto, larazón de que ustedes no puedan ver la diferencia entreun objeto eléctricamente cargado y otro descargado:están implicadas tan pocas partículas que apenassupone diferencia en el peso o el tamaño de un objeto.

Con esta imagen, los átomos eran más fáciles decomprender. Se pensaba que los átomos tienen un«núcleo» en el centro, con carga eléctrica positiva ymuy masivo, y el núcleo está rodeado de cierto númerode «electrones», que son muy ligeros y están cargadosnegativamente. Ahora avancemos un poco más ennuestra historia para comentar que en el propio núcleose encontraron dos tipos de partículas, protones yneutrones, ambos muy pesados y casi de la mismamasa. Los protones están eléctricamente cargados y losneutrones son neutros. Si tenemos un átomo con seisprotones en su núcleo, y éste está rodeado por seiselectrones (las partículas negativas en la materiaordinaria son todas electrones, y son muy ligerascomparadas con los protones y los neutrones queconstituyen los núcleos), sería el átomo número seis enla tabla química, y se llama carbono. El átomo númeroocho se llama oxígeno, etc., porque las propiedadesquímicas dependen de los electrones en el exterior y,de hecho, sólo de cuántos electrones hay. De estemodo, las propiedades químicas de una sustanciadependen sólo de un número, el número de electrones.(La lista entera de elementos químicos podría haber

sido en realidad 1, 2, 3, 4, 5, etc. En lugar de decir«carbono», podríamos decir «elemento seis»,entendiendo seis electrones, pero, por supuesto,cuando los elementos se descubrieron por primera vezno se sabía que podían ser numerados de esta forma y,además, hubiera hecho que todo pareciese muycomplicado. Es mejor tener nombres y símbolos paraestas cosas, más que llamar a todas las cosas por unnúmero.)

Muchas cosas se descubrieron acerca de la fuerzaeléctrica. La interpretación natural de la interaccióneléctrica es que dos objetos se atraen mutuamente: elmás atrae al menos. Sin embargo, se des cubrió queesta era una idea inadecuada para representarlo. Unarepresentación más adecuada de la situación consisteen decir que la existencia de la carga positivadistorsiona o crea en cierto sentido una «condición» enel espacio, de modo que cuando en dicho espaciocolocamos la carga negativa, ésta siente una fuerza.Esta potencialidad para producir una fuerza sedenomina un campo eléctrico. Cuando colocamos unelectrón en un campo eléctrico, decimos que es

«atraído». Tenemos entonces dos reglas: a) las cargascrean un campo, y b) las cargas situadas en los camposexperimentan fuerzas y se mueven. La razón para estose hará clara cuando discutamos los fenómenossiguientes: si cargamos eléctricamente un cuerpo,digamos un peine, y luego colocamos un pedazo depapel cargado a cierta distancia y movemos el peine deun lado a otro, el papel responderá apuntando siempreal peine. Si lo movemos más rápidamente, se verá queel papel se queda un poco rezagado, hay un retraso enla acción. (En la primera etapa, cuando movemos elpeine lentamente, nos encontramos con unacomplicación que es el magnetismo. Las influenciasmagnéticas tienen que ver con cargas en movimientorelativo, de modo que las fuerzas eléctricas y lasfuerzas magnéticas pueden atribuirse realmente a unmismo campo, como dos aspectos diferentes deexactamente la misma cosa. Un campo eléctricovariable no puede existir sin magnetismo.) Si alejamosmás el papel cargado, el retraso es mayor. Entonces seobserva algo interesante. Aunque las fuerzas entre dosobjetos cargados deberían variar de formainversamente proporcional al cuadrado de la distancia,

cuando movemos una carga se encuentra que lainfluencia se extiende mucho más lejos de lo quepodríamos conjeturar a primera vista. Esto es, el efectodecrece más lentamente que la inversa del cuadrado.

He aquí una analogía: si estamos en una piscina y existeun corcho flotando muy cerca, podemos moverlo«directamente» desplazando el agua con otro corcho.Si ustedes mirasen sólo los dos corchos, todo lo queverían sería que uno se movía inmediatamente enrespuesta al movimiento del otro: hay algún tipo de«interacción» entre ellos. Por supuesto, lo querealmente hacemos es perturbar el agua; el aguaperturba entonces al otro corcho. Podíamos construiruna «ley» según la cual si ustedes desplazan el agua unpoco, un objeto próximo en el agua se moverá. Siestuviese más lejos, por supuesto, el segundo corcho semovería menos, pues nosotros movemos el agualocalmente. Por el contrario, si agitamos el corchoaparece un nuevo fenómeno: el movimiento del aguahace que se mueva el agua que hay más allá, etc., y sepropagan ondas, de modo que, por agitación, hay unainfluencia mucho más lejana, una influencia oscilatoria,

que no puede entenderse a partir de la interaccióndirecta. Por consiguiente, la idea de interacción directadebe ser reemplazada por la existencia del agua, o en elcaso eléctrico, por lo que denominamos el campoelectromagnético.

2.1 El espectro electromagnético

El campo electromagnético puede transportar ondas;algunas de estas ondas son luz, otras se utilizan enemisiones radiofónicas, pero el nombre general es deondas electromagnéticas. Estas ondas oscilantespueden tener diversas frecuencias. La única cosa quees realmente diferente de una onda a otra es lafrecuencia de oscilación. Si movemos una carga de unlado a otro cada vez con mayor rapidez y observamoslos efectos, obtenemos toda una serie de tiposdiferentes de efectos, todos los cuales quedanunificados al especificar solamente un número, elnúmero de oscilaciones por segundo. La «toma decorriente» normal que sacamos de los circuitoseléctricos de las paredes de un edificio tiene unafrecuencia del orden de 100 ciclos por segundo. Siaumentamos la frecuencia a 500 o 1.000 kilociclos (1kilociclo = 1.000 ciclos) por segundo, estamos «en elaire», pues este es el intervalo de frecuencias que seutiliza para emisiones radiofónicas. (Por supuesto, ¡estono tiene nada que ver con el aire! Podemos teneremisiones radiofónicas en ausencia de aire.) Siaumentamos de nuevo la frecuencia, entramos en elintervalo que se utiliza para FM y TV. Yendo aún más

lejos, utilizamos ciertas ondas cortas, por ejemplo pararadar. Aumentamos aún más la frecuencia y ya nonecesitamos un instrumento para «ver» el material:podemos verlo con el ojo humano. En el rango defrecuencia entre 5 x 1014 y 5 x 1015 ciclos por segundonuestros ojos verían la oscilación del peine cargado, sipudiéramos agitarlo con tanta rapidez, como luz roja,azul o violeta, dependiendo de la frecuencia. Lasfrecuencias por debajo de este intervalo se denominaninfrarrojas, y por encima del mismo, ultravioletas. Elhecho de que podamos ver en un intervalo defrecuencias concreto no hace que esta parte delespectro electromagnético sea más impresionante quelas otras partes desde el punto de vista de un físico,pero desde el punto de vista humano, por supuesto, síes más interesante. Si subimos aún más alto enfrecuencias, obtenemos rayos X. Los rayos X no sonotra cosa que luz de frecuencia muy alta. Si vamos aúnmás arriba, obtenemos rayos gamma. Estos dostérminos, rayos X y rayos gamma, se utilizan casi comosinónimos. Normalmente los rayos electromagnéticosprocedentes de los núcleos se denominan rayosgamma, mientras que aquellos de alta energía

procedentes de átomos se denominan rayos X, pero ala misma frecuencia son físicamente indistinguibles, noimporta cuál sea su fuente. Si vamos a frecuencias aúnmás altas, digamos a 1024 ciclos por segundo,encontramos que podemos producir dichas ondasartificialmente, por ejemplo con el sincrotrón que existeaquí en el Caltech. Podemos hallar ondaselectromagnéticas con frecuencias enormemente altas -incluso con una oscilación mil veces más rápida- en lasondas encontradas en los rayos cósmicos. Estas ondasno pueden ser controladas por nosotros.

Física cuántica

Después de describir la idea de campoelectromagnético, y de que este campo puedetransportar ondas, pronto aprendemos que dichas

ondas se comportan realmente de una manera extrañaque parece muy poco ondulatoria. ¡A frecuencias másaltas se comportan de forma mucho más parecida apartículas! Es la mecánica cuántica, descubiertainmediatamente después de 1920, la que explica esteextraño comportamiento. En los años anteriores a 1920la imagen del espacio como un espacio tridimensional, ydel tiempo como algo separado, fue transformada porEinstein, primero en una combinación que llamamosespacio-tiempo y luego aún más en un espacio-tiempocurvo para representar la gravitación. De este modo, el«escenario» se cambió por el espacio-tiempo, y lagravitación es presumiblemente una alteración delespacio-tiempo. Luego se descubrió también que lasreglas para los movimientos de las partículas eranincorrectas. Las reglas mecánicas para la «inercia» y las«fuerzas» son erróneas -las leyes de Newton sonerróneas- en el mundo de los átomos. En su lugar sedescubrió que las cosas a pequeña escala no secomportan como las cosas a gran escala. Esto es loque hace la física difícil, y muy interesante. Es difícilporque a pequeña escala las cosas se comportan deuna forma muy «poco natural»; no tenemos experiencia

directa de ellas. Aquí las cosas no se comportan comonada que conozcamos, de modo que es imposibledescribir este comportamiento de otra manera que nosea una forma analítica. Es difícil, y requiere una granimaginación.

La mecánica cuántica tiene muchos aspectos. En primerlugar, la idea de que una partícula tiene una posicióndefinida y una velocidad definida ya no está permitida;es errónea. Para dar un ejemplo de lo errónea que es lafísica clásica existe una regla en la mecánica cuánticaque dice que uno no puede saber a la vez dónde estáalgo y a qué velocidad se está moviendo. Laincertidumbre del momento y la incertidumbre de laposición son complementarias, y el producto de las doses constante. Podemos escribir la ley de esta forma: x ph/2, pero la explicaremos luego con más detalle. Estaregla explica una paradoja muy misteriosa: si los átomosestán formados de cargas más y menos, ¿por qué lascargas menos no se sitúan sencillamente encima de lascargas más (se atraen mutuamente) y se acercan hastacancelarse completamente? ¿Por qué los átomos son

tan grandes? ¿Por qué está el núcleo en el centro y loselectrones a su alrededor? Se pensaba al principio queesto se debía a que el núcleo era grande; pero no, elnúcleo es muy pequeño. El átomo tiene un diámetro deunos 10-8 cm. El núcleo tiene un diámetro de unos 10-13 cm. Si tuviéramos un átomo y quisiésemos ver elnúcleo, tendríamos que ampliarlo hasta que el átomocompleto tuviese el tamaño de una gran habitación, y elnúcleo sería una simple mota que usted apenas podríaver a simple vista. Pero todo el peso del átomo estácasi por completo en este núcleo infinitesimal. ¿Quéimpide que los electrones caigan simplemente dentro?Este principio: si estuvieran en el núcleo sabríamos suposición exactamente, y el principio de incertidumbreexigiría entonces que tuvieran un momento muy grande(aunque incierto), es decir, una energía cinética muygrande. Con esta energía saldrían despedidos delnúcleo. Ellos llegan a un compromiso: se permiten algúnespacio para esta incertidumbre y luego se mueven conuna cierta cantidad de movimiento mínimo de acuerdocon esta regla. (Recuerden que dijimos que cuando seenfría un cristal hasta el cero absoluto, los átomos nodejan de moverse, sino que aún se agitan. ¿Por qué? Si

dejasen de moverse sabríamos dónde estaban y quetenían movimiento nulo, y eso está en contra delprincipio de incertidumbre. No podemos saber dóndeestán y con qué velocidad se están moviendo, ¡demodo que deben estar agitándose allí continuamente!)

Otro cambio muy interesante en las ideas y la filosofíade la ciencia que trajo la mecánica cuántica es este: noes posible predecir exactamente lo que va a sucederen cualquier circunstancia. Por ejemplo, es posiblepreparar un átomo que esté a punto de emitir luz, ypodemos medir cuándo ha emitido la luz si registramosun fotón, algo que describiremos en breve. Sinembargo, no podemos predecir cuándo va a emitir laluz, o, en el caso de que haya varios átomos, cuál deellos es el que va a hacerlo. Ustedes podrían decir queesto se debe a algunos «engranajes» internos que nohemos mirado suficientemente de cerca. No, no hayengranajes internos; la naturaleza, tal como laentendemos hoy, se comporta de tal modo que esfundamentalmente imposible hacer una predicciónprecisa de qué sucederá exactamente en unexperimento dado. Esto es algo horrible; de hecho, los

filósofos habían dicho antes que uno de los requisitosfundamentales de la ciencia es que siempre que ustedesfijen las mismas condiciones debe suceder lo mismo.Esto sencillamente no es cierto, no es una condiciónesencial de la ciencia. El hecho es que no suceden lasmismas cosas, que sólo podemos encontrar unpromedio estadístico de lo que va a suceder. De todasformas, la ciencia no ha colapsado por completo. Dichosea de paso, los filósofos dicen muchas cosas acercade lo que es absolutamente necesario para la ciencia,y siempre, hasta donde podemos ver, son bastanteingenuas y probablemente erróneas. Por ejemplo, algúnfilósofo dijo que es fundamental para la empresacientífica que si un experimento se realiza en, digamos,Estocolmo, y luego se lleva a cabo el mismoexperimento en, digamos, Quito, deben darse losmismos resultados. Esto es completamente falso. Noes necesario que la ciencia sea así; puede ser un hechoexperimental, pero no es necesario. Por ejemplo, siuno de los experimentos consiste en mirar al cielo y verla aurora boreal en Estocolmo, ustedes no la verán enQuito; el fenómeno aquí es diferente. «Pero -diránustedes- esto es algo que tiene que ver con el exterior;

¿pueden ustedes encerrarse en una caja en Estocolmo ybajar las persianas, y obtener alguna diferencia?Ciertamente. Si tomamos un péndulo con unasuspensión universal, lo desplazamos de la vertical yluego lo soltamos, entonces el péndulo oscilará casi enun plano, pero no del todo. Los planos de oscilacióncambian lentamente en Estocolmo, pero no en Quito.Las persianas siguen estando bajadas. El hecho de queesto suceda no lleva a la destrucción de la ciencia.¿Cuál es la hipótesis fundamental de la ciencia, lafilosofía fundamental? La enunciamos en el primercapítulo: la única prueba de la validez de cualquieridea es el experimento. Si resulta que la mayoría delos experimentos dan lo mismo en Quito que enEstocolmo, entonces esta «mayoría de experimentos»se utilizará para formular alguna ley general, y se diráque aquellos experimentos que no den el mismoresultado fueron consecuencia del entorno próximo aEstocolmo. Inventaremos alguna manera de resumir losresultados del experimento, y no se nos tiene que decirpor adelantado qué aspecto tendrá. Si se nos dice queel mismo experimento producirá siempre el mismoresultado, que todo está muy bien, pero cuando lo

intentamos no resulta, entonces no va bien.Simplemente tenemos que tomar lo que vemos, yformular entonces el resto de nuestras ideas en términosde nuestra experiencia real.

Volviendo a la mecánica cuántica y la físicafundamental, no podemos, por supuesto, entrar ahoraen los detalles de los principios mecanocuánticosporque son bastante difíciles de entender.Supondremos que están allí, y proseguiremos paradescribir cuáles son algunas de las consecuencias. Unade las consecuencias es que las cosas que solemosconsiderar como ondas se comportan también comopartículas, y las partículas se comportan como ondas;de hecho, todas las cosas se comportan de la mismaforma. No hay distinción entre una onda y una partícula.De este modo, la mecánica cuántica unifica la idea delcampo, con sus ondas, y la de partículas en una sola.Es cierto que cuando la frecuencia es baja, el aspectode campo del fenómeno es más evidente, o más útilcomo descripción aproximada en términos deexperiencias cotidianas. Pero a medida que aumenta lafrecuencia, los aspectos de partícula del fenómeno se

hacen más evidentes con el equipamiento con el quenormalmente hacemos las medidas. De hecho, aunquemencionamos muchas frecuencias, todavía no se hadetectado directamente ningún fenómeno que impliqueuna frecuencia superior a aproximadamente 1012 ciclospor segundo. Sólo deducimos las frecuenciassuperiores a partir de la energía de las partículas,mediante una regla que supone que es válida la ideapartícula-onda de la mecánica cuántica.

Tenemos así una nueva visión de la interacciónelectromagnética. Tenemos un nuevo tipo de partículaque añadir al electrón, el protón y el neutrón. Estanueva partícula se denomina fotón. Y la nueva visión dela interacción de electrones y protones que constituye lateoría electromagnética, pero ahora con todo correctomecanocuánticamente, se denomina electrodinámicacuántica. Esta teoría fundamental de la interacción deluz y materia, o campo eléctrico y cargas, constituyenuestro mayor éxito hasta ahora en física. En esta solateoría tenemos las reglas básicas para todos losfenómenos ordinarios excepto para la gravitación y losprocesos nucleares. Por ejemplo, de la electrodinámica

cuántica salen todas las leyes eléctricas, mecánicas yquímicas: las leyes para el choque de bolas de billar, losmovimientos de conductores en campos magnéticos, elcalor específico del monóxido de carbono, el color delos tubos de neón, la densidad de la sal, y lasreacciones del hidrógeno y el oxígeno para formaragua, son todas consecuencias de esta única ley. Todosestos detalles pueden ser calculados si la situación essuficientemente simple para hacer una aproximación, loque no sucede casi nunca, aunque a menudo podemosentender más o menos lo que está sucediendo. Por elmomento no se encuentran excepciones a las leyes dela electrodinámica cuántica fuera del núcleo, y nosabemos si dentro de él hay una excepción porquesencillamente no sabemos qué está sucediendo en elnúcleo.

En principio, entonces, la electrodinámica cuántica es lateoría de toda la química, y de la vida, si la vida sereduce finalmente a química, y por consiguiente a físicaporque la química ya está reducida (al ser ya conocidala parte de la física implicada en la química). Más aún,la misma electrodinámica cuántica, esta gran cosa,

predice un montón de cosas nuevas. En primer lugar,predice las propiedades de fotones de muy alta energía,rayos gamma, etc. Predijo otra cosa muy notable:además del electrón debería haber otra partícula de lamisma masa, pero de carga opuesta, llamada positrón,y ambas partículas, al encontrarse, podrían aniquilarsemutuamente con emisión de luz o rayos gamma.(Después de todo, la luz y los rayos gamma son lomismo, son tan sólo diferentes puntos en una escala defrecuencias.) La generalización de esto, el hecho de quepara cada partícula existe una antipartícula, resulta sercierta. En el caso de los electrones, la antipartícula tieneotro nombre -se denomina un positrón, pero para lamayoría de las demás partículas se denomina anti-tal-o-cual, como antiprotón o antineutrón. En electrodinámicacuántica se introducen dos números y se supone que lamayoría de los otros números en el mundo salen de allí.Los dos números que se introducen se denominan lamasa del electrón y la carga del electrón. En realidad,esto no es completamente cierto, pues tenemos todo unconjunto de números para la química que nos dice cuánpesados son los núcleos. Esto nos lleva a la siguienteparte.

Núcleos y partículas

¿De qué están hechos los núcleos y cómo se mantienenunidos? Resulta que los núcleos se mantienen unidospor fuerzas enormes. Cuando los núcleos se liberan, laenergía liberada es enorme comparada con la energíaquímica, en la misma proporción que hay entre unaexplosión de una bomba atómica y una explosión deTNT, porque, por supuesto, la bomba atómica tieneque ver con cambios en el interior del núcleo, mientrasque la explosión de TNT tiene que ver con cambios delos electrones en el exterior de los átomos. La cuestiónes: ¿cuáles son las fuerzas que mantienen unidos losprotones y los neutrones en el núcleo? De la mismaforma que la interacción eléctrica puede relacionarsecon una partícula, un fotón, Yukawa sugirió que lasfuerzas entre neutrones y protones también tienen algún

tipo de campo, y que cuando este campo se agita secomporta como una partícula. Así pues, podría haberalgunas otras partículas en el mundo además de losprotones y los neutrones, y él fue capaz de deducir laspropiedades de estas partículas a partir de lascaracterísticas ya conocidas de las fuerzas nucleares.Por ejemplo, predijo que deberían tener una masa dedoscientas o trescientas veces la masa de un electrón;¡y, abracadabra, en los rayos cósmicos se descubrióuna partícula con la masa correcta! Pero más tarde sevio que era la partícula equivocada. Se denominó unmesón-, o muón.

Sin embargo, un poco después, en 1947 o 1948, seencontró otra partícula, el mesón-, o pión, quesatisfacía el criterio de Yukawa. Además del protón yel neutrón, para tener fuerzas nucleares de hemosañadir el pión. Ahora ustedes dirán: «¡Qué grande!,hagamos con esta teoría la nucleodinámica cuántica,utilizando los piones tal como precisamente queríahacerlo Yukawa, y veamos si funciona, y entonces todoquedará explicado». Mala suerte. Resulta que los

cálculos implicados en esta teoría son tan difíciles quenadie ha sido nunca capaz de calcular cuáles son lasconsecuencias de la teoría, o comprobarlaexperimentalmente, y ¡esto ha estado sucediendodurante casi veinte años!

Así que estamos bloqueados con una teoría, y nosabemos si es correcta o errónea, aunque sabemos quees algo errónea, o al menos incompleta. Mientrasnosotros hemos estado divagando teóricamente,tratando de calcular las consecuencias de esta teoría,los físicos experimentales han estado descubriendoalgunas cosas. Por ejemplo, ellos ya habían descubiertoeste mesón- o muón, y nosotros no sabemos aún dóndeencaja. También en los rayos cósmicos se encontró ungran número de otras partículas «extra». Resulta quehoy tenemos aproximadamente treinta partículas, y esmuy difícil comprender las relaciones entre todas estaspartículas y para qué las quiere la naturaleza, o cuálesson los vínculos entre unas y otras. Hoy no entendemosestas diversas partículas como aspectos diferentes de lamisma cosa, y el hecho de que tengamos tantaspartículas inconexas es un reflejo del hecho de que

tenemos mucha información inconexa sin una buenateoría. Comparado con los grandes éxitos de laelectrodinámica cuántica, el conocimiento que se tienede la física nuclear es conocimiento aproximado, amitad de camino entre la experiencia y la teoría: sesupone un tipo de fuerza entre protones y neutrones yse trata de ver qué sucederá, pero sin entenderrealmente de dónde procede la fuerza. Aparte de esto,hemos hecho muy pocos progresos. Hemoscoleccionado un número enorme de elementosquímicos. En el caso de la química apareció de repenteuna relación entre dichos elementos que no se esperabay que está incorporada en la tabla periódica deMendeleiev. Por ejemplo, el sodio y el potasio tienencasi las mismas propiedades químicas y se encuentranen la misma columna de la tabla de Mendeleiev. Hemosestado buscando una tabla del tipo de la de Mendeleievpara las nuevas partículas. Una de estas tablas de lasnuevas partículas fue construida de forma independientepor Gell-Mann en los Estados Unidos y Nishijima enJapón. Su clasificación se basa en un nuevo número,similar a la carga eléctrica, que puede asignarse a cadapartícula, y se denomina «extrañeza», S. Este número se

conserva, como la carga eléctrica, en las reaccionesque tienen lugar mediante fuerzas nucleares.

En el cuadro 2.2 se da la lista de todas las partículas.No podemos discutirlas mucho en esta etapa, pero elcuadro les mostrará al menos cuánto ignoramos.Debajo de cada partícula se da su masa en una unidaddeterminada, llamada MeV Un MeV es igual a 1,782 x10-27 gramos. La razón por la que fue escogida estaunidad es histórica, y no entraremos en ello ahora. Laspartículas más masivas se sitúan más arriba en elcuadro; vemos que un neutrón y un protón tienen casi lamisma masa. En columnas verticales hemos colocadolas partículas con la misma carga eléctrica: todos losobjetos neutros en una columna, todos los cargadospositivamente a la derecha de ésta, y todos los objetoscargados negativamente a la izquierda.

Las partículas se muestran con una línea continua y las«resonancias» con una línea a trazos. Se han omitidovarias partículas del cuadro. Entre las omitidas seincluyen las importantes partículas de masa nula y carganula, el fotón y el gravitón, que no entran en el esquema

clasificatorio barión-mesón-leptón, y también algunasde las resonancias más recientes (k*,,). Lasantipartículas de los mesones figuran en el cuadro, perolas antipartículas de los leptones y bariones tendrían quedarse en otro cuadro exactamente igual a éste peroreflejadas en la columna de carga cero. Aunque todaslas partículas salvo el electrón, el neutrino, el fotón, elgravitón y el protón son inestables, sólo se hanmostrado los productos de la desintegración para lasresonancias. Las asignaciones de extrañeza no sonaplicables a los leptones, puesto que no interaccionanfuertemente con los núcleos.

2.2 Partículas elementales.

Todas las partículas que están junto a los neutrones ylos protones se denominan bariones, y existen lossiguientes: hay una partícula «lambda», con una masa de1.154 MeV y otras tres, llamadas sigmas, menos,neutra y más, con masas diferentes pero casi iguales.Hay grupos o multipletes casi de la misma masa, conuna diferencia de un 1 o un 2 por 100. Todas laspartículas de un multiplete dado tienen la mismaextrañeza. El primer multiplete es el doblete protón-neutrón, y luego hay un singlete (el lambda), luego eltriplete sigma, y finalmente el doblete xi. Muyrecientemente, en 1961, se encontraron algunas

partículas más. Pero ¿son partículas? Viven un tiempotan corto, se desintegran casi instantáneamente encuanto se han formado, que no sabemos si deberían serconsideradas como nuevas partículas o como algún tipode interacción de «resonancia» de cierta energíadefinida entre los productos y en los que se desintegra.

Además de los bariones, las otras partículas implicadasen la interacción nuclear se denominan mesones. Estánen primer lugar los piones, que se dan en tresvariedades, positiva, negativa y neutra; forman otromultiplete. También hemos encontrado algunas cosasnuevas denominadas mesones-K, y se dan como undoblete, K+ y K°. Además, cada partícula tiene suantipartícula, a menos que una partícula sea su propiaantipartícula. Por ejemplo, el - y el + son antipartículasuno del otro, pero el ° es su propia antipartícula. El K- yel K+ son antipartículas uno del otro, como lo son el K°y el K’°. Además, en 1961 se encontraron tambiénalgunos mesones más o quizá mesones que sedesintegran casi inmediatamente. Algo llamado que se

desintegra en tres piones tiene una masa de 780 en estaescala, y con algo menos de seguridad hay un objetoque se desintegra en dos piones. Estas partículas,llamadas mesones y bariones, y las antipartículas de losmesones están en la misma tabla, pero las antipartículasde los bariones deben colocarse en otra tabla,«reflejada» en la columna de carga cero.

De la misma forma que la tabla de Mendeleiev era muybuena, excepto por el hecho de que había un númerode elementos de tierras raras que colgaban algo sueltos,también tenemos algunas cosas que cuelgan algo sueltasde esta tabla: partículas que no interaccionanfuertemente en los núcleos, no tienen nada que ver conla interacción nuclear, y no tienen una interacción fuerte(entiendo por esto el poderoso tipo de interacción de laenergía nuclear). Éstas se denominan leptones, y son lossiguientes: está el electrón, que tiene una masa muypequeña en esta escala, tan sólo 0,510 MeV. Luegohay otra, el mesón-, el muón, que tiene una masamucho mayor, 206 veces más pesada que un electrón.Hasta donde podemos decir, por todos losexperimentos realizados hasta ahora, el electrón y el

muón sólo difieren en la masa. Todo funcionaexactamente igual para el muón que para el electrón,excepto que uno es más pesado que el otro. ¿Por quéhay uno más pesado que otro; para qué sirve? No losabemos. Además, existe un leptón que es neutro,denominado un neutrino, y esta partícula tiene masanula. De hecho, ahora se sabe que existen dos tiposdiferentes de neutrinos, uno relacionado con loselectrones y el otro relacionado con los muones.

Finalmente, tenemos otras dos partículas que nointeraccionan fuertemente con las nucleares: una es elfotón, y quizá, si el campo gravitatorio tiene también unanálogo mecanocuántico (todavía no se ha elaboradouna teoría cuántica de la gravitación), entonces habráuna partícula, un gravitón, que tendrá masa nula.

¿Qué es esta «masa nula»? Las masas dadas aquí sonlas masas de las partículas en reposo. El hecho de queuna partícula tenga masa nula significa, en cierto modo,que no puede estar en reposo. Un fotón nunca está enreposo, siempre se está moviendo a 300.000 km porsegundo. Entenderemos mejor lo que significa esta

masa cuando comprendamos la teoría de la relatividad,lo que llegará a su debido tiempo.

De este modo nos enfrentamos a un gran número departículas que, en conjunto, parecen ser losconstituyentes fundamentales de la materia.Afortunadamente, estas partículas no son todasdiferentes respecto a sus interacciones mutuas. Dehecho, parece haber sólo cuatro tipos de interacciónentre partículas que, en orden de intensidaddecreciente, son la fuerza nuclear, las interaccioneseléctricas, la interacción de la desintegración-beta y lagravedad. El fotón se acopla a todas las partículascargadas y la intensidad de la interacción se mide porcierto número cuyo valor es 1/137. Se conoce la leydetallada de este acoplamiento, que es laelectrodinámica cuántica. La gravedad se acopla concualquier energía, pero su acoplamiento esextraordinariamente débil, mucho más débil que el de laelectricidad. Esta ley es también conocida. Luegoexisten las denominadas desintegraciones débiles: ladesintegración-beta, que provoca que el neutrón se

desintegre en un protón, un electrón y un neutrino, deforma relativamente lenta. Esta ley sólo se conoce enparte. La denominada interacción fuerte, la interacciónmesón-barión, tiene una intensidad de 1 en esta escala,y la ley es completamente desconocida, aunque existeun cierto número de reglas conocidas, tales como queel número total de bariones no cambia en ningunareacción.

Esta es la horrible situación de nuestra física actual.Para resumirla, yo diría esto: fuera del núcleo, pareceque lo conocemos todo; dentro de él, la mecánicacuántica es válida: no se ha encontrado ningún fallo enlos principios de la mecánica cuántica. El escenario enel que situamos todo nuestro conocimiento, por asídecir, es el espacio-tiempo relativista; quizá la gravedadestá implicada en el espacio-tiempo. No sabemoscómo comenzó el universo, y nunca hemos hechoexperimentos que pongan a prueba con precisiónnuestras ideas de espacio y tiempo por debajo dealguna distancia minúscula, de modo que solamentesabemos que nuestras ideas funcionan por encima dedicha distancia. Deberíamos añadir también que las

reglas del juego son los principios mecanocuánticos, ydichos principios se aplican, hasta donde podemosdecir, tanto a las nuevas partículas como a las viejas. Elorigen de las fuerzas en los núcleos nos lleva a nuevaspartículas, pero por desgracia éstas aparecen en granprofusión y carecemos de una comprensión completade su interrelación, aunque ya sabemos que existenalgunas relaciones muy sorprendentes entre ellas.Parece que poco a poco vamos a tientas hacia unacomprensión del mundo de las partículas subatómicas,pero realmente aún no sabemos hasta dónde tendremosque seguir en esta tarea.

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La relación de la física con lasotras ciencias

Introducción

La física es la más fundamental y general de lasciencias, y ha tenido un efecto profundo sobre todo eldesarrollo científico. De hecho, la física es elequivalente actual a lo que se solía llamar filosofíanatural, de la que surgieron la mayoría de nuestrasciencias modernas. Quienes estudian muchos otroscampos tienen que estudiar también física debido alpapel básico que ésta desempeña en todos losfenómenos. En este capítulo trataremos de explicarcuáles son los problemas fundamentales en las otrasciencias, aunque, por supuesto, es imposible tratar enun espacio tan pequeño las materias complejas, sutiles ybellas que constituyen estos otros campos. La falta deespacio nos impide también discutir las relaciones de lafísica con la ingeniería, la industria, la sociedad y laguerra, e incluso la relación más notable entrematemáticas y física. (La matemática no es una cienciadesde nuestro punto de vista, en el sentido de que no esuna ciencia natural. La prueba de su validez no es el

experimento.) Dicho sea de paso, debemos dejar clarode entrada que el hecho de que algo no sea una cienciano quiere decir necesariamente que sea malo. Porejemplo, el amor no es una ciencia. Por lo tanto, si sedice que algo no es una ciencia, no quiere decir quehaya algo erróneo en ello; quiere decir simplemente queno es una ciencia.

Química

La ciencia que quizá está más profundamente afectadapor la física es la química. Históricamente, la químicaempezó siendo casi exclusivamente lo que ahorallamamos química inorgánica, la química de lassustancias que no están asociadas con los seres vivos.Se necesitó mucho trabajo analítico para descubrir laexistencia de los diversos elementos y sus relaciones:cómo se forman los diversos compuestos relativamente

simples encontrados en las rocas, la tierra, etc. Estaquímica primitiva fue muy importante para la física. Lainteracción entre las dos ciencias fue muy intensaporque la teoría de los átomos estaba apoyada en granmedida en experimentos de química. La teoría de laquímica, o sea, de las propias reacciones, estabaresumida en gran medida en la tabla periódica deMendeleiev, que revelaba muchas relaciones extrañasentre los diversos elementos; y fue la colección dereglas acerca de qué sustancias se combinaban concuáles, y cómo, lo que constituyó la química inorgánica.Todas estas reglas fueron finalmente explicadas por lamecánica cuántica, de modo que la química teórica esde hecho física. Por otra parte, debe resaltarse que setrata de una explicación en teoría. Ya hemos discutidola diferencia entre conocer las reglas del juego deajedrez y ser capaz de jugarlo. Por eso podemosconocer las reglas y no ser capaces de jugar muy bien.Resulta que es muy difícil predecir exactamente lo quesucederá en una reacción química dada; en cualquiercaso, la parte más profunda de la química teórica debeterminar en la mecánica cuántica.

Existe también una rama de la física y la química que fuedesarrollada por ambas ciencias a la par, y que esextraordinariamente importante. Se trata de losmétodos estadísticos aplicados a situaciones para lasque existen leyes mecánicas, lo que con propiedad sedenomina mecánica estadística. En cualquier situaciónquímica están implicados un gran número de átomos, yhemos visto que todos los átomos están agitándose deuna forma muy aleatoria y complicada. Si pudiéramosanalizar cada colisión y ser capaces de seguir en detalleel movimiento de cada molécula, quizá podríamoscalcular lo que iba a suceder, pero los enormesnúmeros necesarios para seguir la pista a todas estasmoléculas superan tan abrumadoramente la capacidadde cualquier ordenador, y ciertamente la capacidad delcerebro, que se hacía necesario desarrollar un métodopara tratar con situaciones tan complicadas. Lamecánica estadística es entonces la ciencia de losfenómenos del calor, o termodinámica. La químicainorgánica, como ciencia, está ahora reducidaesencialmente a lo que se denominan química física yquímica cuántica; la química física para estudiar las

velocidades a las que tienen lugar las reacciones y loque está sucediendo en detalle (¿cómo chocan lasmoléculas?, ¿qué fragmentos se desprenden primero?,etc.), y la química cuántica para ayudar a entender loque sucede en términos de las leyes físicas.

La otra rama de la química es la química orgánica, laquímica de las sustancias que están asociadas con seresvivos. Durante un tiempo se creyó que las sustanciasque están asociadas con seres vivos eran tanmaravillosas que no podían fabricarse artificialmente apartir de materiales inorgánicos. Esto no es cierto enabsoluto: son simplemente las mismas sustanciasfabricadas en la química inorgánica, aunque ahora esténimplicadas disposiciones más complejas de átomos. Laquímica orgánica tiene obviamente una relación muyestrecha con la biología que le suministra sus sustancias,y con la industria; y además, mucha química física ymucha mecánica cuántica pueden aplicarse a loscompuestos orgánicos tanto como a los inorgánicos.Sin embargo, los principales problemas de la químicaorgánica no radican en estos aspectos, sino más bien enel análisis y la síntesis de las sustancias que se forman

en sistemas biológicos, en seres vivos. Esto conduceimperceptiblemente, paso a paso, hacia la bioquímica, yluego a la propia biología, o la biología molecular.

Biología

Así es como llegamos a la ciencia de la biología, quees el estudio de los seres vivos. En los primeros días dela biología los biólogos tenían que tratar el problemapuramente descriptivo de descubrir qué seres vivoshabía, y así tenían simplemente que contar cosas talescomo los pelos de las patas de las moscas. Una vezque todas estas materias hubieran sido desarrolladascon una gran dedicación, los biólogos se adentraron enla maquinaria interior de los cuerpos vivientes, primerodesde un punto de vista muy general, naturalmente,porque se necesita algún esfuerzo para entrar en losdetalles más finos.

Hubo una interesante relación inicial en la que labiología ayudó a la física en el descubrimiento de laconservación de la energía, que fue demostradainicialmente por Mayer en relación con la cantidad decalor tomada y cedida por una criatura viviente.

Si consideramos más de cerca los procesos de labiología de los animales vivos vemos muchosfenómenos físicos: la circulación de la sangre, elbombeo, la presión, etc. Están los nervios: sabemosqué está sucediendo cuando pisamos una piedrapuntiaguda, y que de un modo u otro la informaciónviene de la pierna. Es interesante cómo sucede esto. Ensu estudio de los nervios, los biólogos han llegado a laconclusión de que los nervios son tubos muy finos conuna pared compleja y muy delgada; las célulasbombean iones a través de esta pared, de modo quehay iones positivos en el exterior e iones negativos en elinterior, como en un condensador. Esta membrana tieneuna propiedad interesante; si se «descarga» en un lugar,es decir, si algunos de los iones son capaces deatravesarla en un lugar, de modo que la tensión eléctrica

se reduce en ese punto, la influencia eléctrica se hacesentir en los iones próximos, y afecta a la membrana detal forma que hace que los iones también la atraviesenen puntos vecinos. Esto, a su vez, afecta a las zonassituadas un poco más lejos, etc.; y así hay una onda de«penetrabilidad» de la membrana que recorre la fibracuando es «excitada» en un extremo al pisar la piedrapuntiaguda. Esta onda es análoga en cierto modo a unalarga hilera de fichas de dominó verticales; si se empujauna ficha en un extremo, ésta empuja a la siguiente, etc.Por supuesto, esto transmitirá sólo un mensaje a menosque las fichas de dominó se pongan de pie de nuevo; yde forma análoga, en las células nerviosas existenprocesos que bombean de nuevo los iones lentamentepara dejar al nervio dispuesto para el próximo impulso.Así es como sabemos lo que estamos haciendo (o almenos dónde estamos). Por supuesto, los efectoseléctricos asociados con este impulso nervioso debenser registrados con instrumentos eléctricos, y puestoque hay efectos eléctricos, la física de los efectoseléctricos ha tenido obviamente mucha influencia en lacomprensión del fenómeno.

El efecto opuesto consiste en que, desde alguna partedel cerebro, se envía un mensaje a lo largo de unnervio. ¿Qué sucede en el extremo del nervio? Allí elnervio se ramifica en cosas pequeñas y finas,conectadas a una estructura próxima a un músculo,denominada placa terminal. Por razones que no seentienden exactamente, cuando el impulso llega alextremo del nervio se desprenden pequeños paquetesde una sustancia química denominada acetilcolina (cincoo diez moléculas cada vez), y éstos afectan a la fibramuscular y hacen que se contraiga, ¡qué fácil! ¿Quéhace que un músculo se contraiga? Un músculo consisteen un número muy grande de fibras juntas, quecontienen dos sustancias diferentes, miosina yactomiosina, pero el mecanismo por el que la reacciónquímica inducida por la acetilcolina puede modificar lasdimensiones de la molécula no se conoce aún. Así pues,los procesos fundamentales en el músculo que crean losmovimientos mecánicos no son conocidos.

La biología es un campo tan enormemente amplio quehay muchos otros problemas que ni siquiera podemosmencionar: problemas acerca del mecanismo de la

visión (qué hace la luz en el ojo), el mecanismo deloído, etc. (La forma en que trabaja el pensamiento ladiscutiremos más adelante en la psicología.) Ahorabien, estas cosas concernientes a la biología queacabamos de discutir no son, desde un punto de vistabiológico, realmente fundamentales, no están en la basede la vida, en el sentido de que incluso si lascomprendiéramos seguiríamos sin comprender la propiavida. Para ilustrarlo: los hombres que estudian losnervios piensan que su trabajo es muy importanteporque, después de todo, no puede haber animales sinnervios. Pero ustedes pueden tener vida sin nervios.Las plantas no tienen nervios ni músculos, pero estántrabajando, están vivas, en cualquier caso. De modoque para ver los problemas fundamentales de labiología debemos mirar más profundamente; cuando lohacemos descubrimos que todos los seres vivos tienenmuchas características en común. La característica máscomún es que están hechos de células, dentro de cadauna de las cuales hay una maquinaria compleja parahacer cosas por medios químicos. En las células de lasplantas, por ejemplo, hay maquinaria para captar la luzy generar sacarosa, que es consumida en la oscuridad

para mantener viva la planta. Cuando un animal lacome, la propia sacarosa genera en éste una serie dereacciones químicas relacionadas muy estrechamentecon la fotosíntesis (y su efecto opuesto en la oscuridad)en las plantas.

En las células de los sistemas vivos se producen muchasreacciones químicas elaboradas, en las que uncompuesto se transforma en otro y en otro más, y asísucesivamente. Para dar alguna idea de los enormesesfuerzos que están implicados en el estudio de labioquímica, la gráfica de la figura 3.1 resume nuestroconocimiento hasta la fecha de sólo una pequeña partede las muchas series de reacciones que tienen lugar enlas células, quizá un 1 por 100 más o menos de ellas.

Aquí vemos una serie completa de moléculas que setransforman unas en otras en una secuencia o ciclo depasos bastante pequeños. Se denomina el ciclo deKrebs, el ciclo respiratorio. Cada una de las sustanciasquímicas y cada uno de los pasos es bastante simple, entérminos de los cambios que se producen en lamolécula, pero y este es un descubrimiento de capital

importancia en la bioquímica estos cambios sonrelativamente difíciles de llevar a cabo en unlaboratorio. Si tenemos una sustancia y una segundasustancia muy similar, una no se transforma simplementeen la otra, porque las dos formas están normalmenteseparadas por una «colina» o barrera energética.Consideremos esta analogía: si quisiéramos llevar unobjeto de un lugar a otro, situado al mismo nivel pero alotro lado de una colina, tendríamos que subirlo hasta lacima, pero hacer eso requiere añadir alguna energía.Así pues, la mayoría de las reacciones químicas noocurren porque existe lo que se denomina una energíade activación en el camino. Para añadir un átomo extraa nuestra sustancia química es necesario acercarlo losuficiente para que puedan producirse algunasrecombinaciones; entonces se quedará adherido. Perosi no podemos darle bastante energía para acercarlo losuficiente, no llegará a la culminación, sino que sequedará sin llegar a la cima de la «colina» y volverá abajar. Sin embargo, si pudiéramos tomar literalmentelas moléculas con nuestras manos y empujar y apartarlos átomos para abrir un hueco hasta el nuevo átomo, yluego tapar el hueco de nuevo, habríamos encontrado

otra vía, alrededor de la colina, que no requeriríaenergía extra y la reacción tendría lugar fácilmente.Ahora bien, existen realmente, en las células, moléculasmuy grandes, mucho mayores que aquellas cuyoscambios hemos estado describiendo, que de un modocomplicado mantienen a las moléculas más pequeñas enla forma precisa para que la reacción pueda ocurrirfácilmente. Estas cosas muy grandes y complicadas sedenominan enzimas. (Inicialmente se denominaronfermentos, porque fueron originalmente descubiertos enla fermentación del azúcar. De hecho, algunas de lasprimeras reacciones del ciclo se descubrieron allí.) Enpresencia de una enzima la reacción continuará.

3.1 El ciclo de Krebs.

Una enzima está hecha de otra sustancia denominadaproteína. Las enzimas son muy grandes y complicadas,y cada una es diferente de la otra, pues cada una deellas está construida para controlar una determinadareacción. Los nombres de las enzimas están escritosjunto a cada reacción en la figura 3.1. (A veces lamisma enzima puede controlar dos reacciones.)Hacemos énfasis en que las propias enzimas no estánimplicadas directamente en la reacción. Ellas nocambian; simplemente llevan un átomo de un lugar aotro. Una vez hecho esto, la enzima está dispuesta parahacerlo con la siguiente molécula, como una máquina enuna fábrica. Por supuesto, debe haber un suministro deciertos átomos y un medio de desprenderse de otrosátomos. Tomemos el hidrógeno, por ejemplo: existenenzimas que tienen unidades especiales que transportanel hidrógeno para todas las reacciones químicas. Porejemplo, existen tres o cuatro enzimas reductoras dehidrógeno que se utilizan en diferentes lugares a lo largode nuestro ciclo completo. Es interesante que lamaquinaria que libera parte del hidrógeno en un lugartomará dicho hidrógeno y lo utilizará en algún otrolugar.

El aspecto más importante del ciclo de la figura 3.1 esla transformación de ADP en ATP (difosfato deadenosina en trifosfato de adenosina) debida a que unasustancia tiene una energía mucho mayor que la otra.De la misma forma que hay una «caja» en ciertasenzimas para transportar átomos de hidrógeno, existen«cajas» especiales para transportar energía en las queestá implicado el grupo trifosfato. Así, el ATP tiene másenergía que el ADP y, si el ciclo tiene lugar en unadirección, estamos produciendo moléculas que tienenenergía extra y que pueden dar impulso a algún otrociclo que requiera energía, por ejemplo la contracciónde un músculo. El músculo no se contraerá a menos quehaya ATP. Podemos tomar una fibra muscular, ponerlaen agua y añadir ATP, y la fibra se contrae,transformando ATP en ADP si están presentes lasenzimas correctas. De este modo, el sistema realconsiste en la transformación ADP-ATP; en laoscuridad el ATP que ha sido almacenado durante eldía se utiliza para recorrer el ciclo entero en sentidocontrario. Ven ustedes que una enzima no se preocupade la dirección en que marcha la reacción, pues si lo

hiciera violaría una de las leyes de la física.

La física es de gran importancia en biología y otrasciencias por una razón adicional, que tiene que ver conlas técnicas experimentales. De hecho, si no fuera porel gran desarrollo de la física experimental estas tablasbioquímicas no serían conocidas hoy. La razón es quela herramienta más útil de todas para analizar estesistema fantásticamente complejo consiste en etiquetarlos átomos que se utilizan en las reacciones. Así, sipudiéramos introducir en el ciclo algún dióxido decarbono que tenga una «marca verde» encima, y luegomedir dónde está la marca verde al cabo de tressegundos, y medirla otra vez al cabo de diez segundos,etc., podríamos rastrear el curso de las reacciones.¿Cuáles son las «marcas verdes»? Son diferentesisótopos. Recordemos que las propiedades químicasde los átomos están determinadas por el número deelectrones, no por la masa del núcleo. Pero, porejemplo, en el carbono puede haber seis neutrones osiete neutrones, además de los seis protones que tienentodos los núcleos de carbono. Químicamente, los dosátomos C12 y C13 son iguales, pero difieren en peso y

tienen propiedades nucleares diferentes, y por ello sondistinguibles. Utilizando estos isótopos de pesosdiferentes, o incluso isótopos radiactivos como el C14,que proporcionan un medio más sensible para rastrearcantidades muy pequeñas, es posible seguir el curso delas reacciones.

Volvamos ahora a la descripción de las enzimas y lasproteínas. No todas las proteínas son enzimas, perotodas las enzimas son proteínas. Existen muchasproteínas, tales como las proteínas de los músculos, lasproteínas estructurales que están, por ejemplo, en loscartílagos y el pelo, la piel, etc., que no son enzimaspropiamente dichas. Sin embargo, las proteínas sonunas sustancias muy características de la vida: en primerlugar, constituyen todas las enzimas, y en segundo lugarconstituyen buena parte del resto del material viviente.Las proteínas tienen una estructura simple y muyinteresante. Cada una de ellas es una serie, o cadena,de aminoácidos diferentes. Existen veinte aminoácidosdistintos, y todos ellos pueden combinarse entre sí paraformar cadenas en las que la columna vertebral es CO-NH, etc. Las proteínas no son otra cosa que cadenas

de varios de estos veinte aminoácidos. Cada uno de losaminoácidos sirve probablemente para algún propósitoconcreto. Algunos, por ejemplo, tienen un átomo deazufre en un determinado lugar; cuando dos átomos deazufre están en la misma proteína forman un enlace, esdecir, se unen a la cadena siguiente en dos puntos yforman un lazo. Otras tienen átomos de oxígeno extraque las convierten en sustancias ácidas, otras tienen unacaracterística básica. Algunas de ellas tienen gruposgrandes que cuelgan de un extremo, de modo queocupan mucho espacio. Uno de los aminoácidos,llamado prolina, no es realmente un aminoácido, sino uniminoácido. Hay una ligera diferencia, con el resultadode que, cuando la prolina está en la cadena, hay uncodo en la misma. Si quisiéramos fabricar una proteínaparticular daríamos estas instrucciones: colóquese aquíuno de aquellos ganchos de azufre; a continuaciónañádase algo para ocupar espacio; únase entonces algopara poner un codo en la cadena. De este modo,obtendríamos una cadena de apariencia complicada,retorcida sobre sí misma y con cierta estructuracompleja; esta es presumiblemente la manera en que sehan hecho todas las diversas enzimas. Uno de los

grandes triunfos de los tiempos recientes (a partir de1960) fue el descubrimiento final de la disposiciónatómica espacial exacta de ciertas proteínas, queimplican aproximadamente cincuenta y seis o sesentaaminoácidos en una hilera. Más de mil átomos (máscerca de dos mil, si contamos los átomos de hidrógeno)han sido localizados en una estructura compleja en dosproteínas. La primera fue la hemoglobina. Uno de losaspectos decepcionantes de este descubrimiento es queno podemos ver nada a partir de la estructura; noentendemos por qué funciona tal como lo hace. Porsupuesto, este es el siguiente problema que hay queatacar.

Otro problema es: ¿cómo saben las enzimas lo que hayque hacer? Una mosca de ojos rojos hace una moscabebé de ojos rojos, de modo que la información de laestructura global de las enzimas para hacer pigmentorojo debe ser transmitida de una mosca a la siguiente.Esto se hace mediante una sustancia que hay en elnúcleo de la célula, y que no es una proteína,denominada ADN (abreviatura de ácidodesoxirribonucleico). Esta es la sustancia clave que se

transmite de una célula a otra (por ejemplo, las célulasdel esperma consisten básicamente en ADN) ytransporta la información sobre cómo hacer lasenzimas. El ADN es el «plano». ¿Qué aspecto tiene elplano y cómo funciona? En primer lugar, el plano debeser capaz de reproducirse a sí mismo. En segundolugar, debe ser capaz de instruir a la proteína. Respectoa la reproducción, podríamos pensar que ésta procedecomo la reproducción celular. Las células sencillamentese hacen más grandes y luego se dividen por la mitad.¿Sucederá entonces lo mismo con las moléculas deADN, que se hacen demasiado grandes y se dividenpor la mitad? ¡Ciertamente cada átomo no se hace másgrande ni se divide por la mitad! No, es imposiblereproducir una molécula salvo que sea por algún mediomás astuto.

La estructura del ADN fue estudiada durante muchotiempo, primero químicamente para encontrar lacomposición, y luego con rayos X para encontrar laestructura espacial. El resultado fue el siguientedescubrimiento notable: la molécula de ADN consisteen un par de cadenas, enroscadas una alrededor de la

otra. La columna vertebral de cada una de estascadenas, que son análogas a las cadenas de lasproteínas aunque bastante diferentes químicamente,consiste en una serie de grupos de azúcares y fosfatos,tal como se muestra en la figura 3.2. Ahora vemoscómo puede la cadena contener instrucciones, pues sipudiera dividirse esta cadena por la mitad tendríamosuna serie BAADC… y cada ser viviente podría teneruna serie diferente. Es posible así que las instruccionesespecíficas para la fabricación de proteínas esténcontenidas de algún modo en las secuencias específicasdel ADN.

3.2 Diagrama esquemático del ADN

Unidos a cada azúcar en la línea, y enlazando las doscadenas, hay ciertos pares de eslabones. Sin embargo,no todos ellos son del mismo tipo; existen cuatro tipos,llamados adenina, timina, citosina y guanina, pero losllamaremos A, B, C, y D. Lo interesante es que sólociertos pares pueden emparejarse, por ejemplo A conB y C con D. Estos pares están colocados en las doscadenas de tal modo que «encajan», y tienen una fuerteenergía de interacción. Sin embargo, C no encaja conA, y B no encaja con C; sólo encajan ciertas parejas, Afrente a B y C frente a D. Así pues, si uno es C, el otrodebe ser D, etc. Cualesquiera que puedan ser las letrasen una cadena, cada una de ellas debe tener su letracomplementaria específica en la otra cadena.

¿Qué sucede entonces en la reproducción?Supongamos que dividimos esta cadena en dos.¿Cómo podemos hacer otra exactamente igual? Si enlas sustancias de las células hay un departamento defabricación que aporta fosfato, azúcar, y unidades A, B,C, D que no están conectadas en una cadena, lasúnicas que se unirán a nuestra cadena escindida serán

las correctas, las complementarias de BAADC…, asaber, ABBCD… Así pues, lo que sucede es que lacadena se divide por la mitad durante la división celular,y una mitad va finalmente a una célula y la otra mitadtermina en la otra célula; cuando se han separado, cadamedia cadena construye una nueva cadenacomplementaria.

Ahora viene la pregunta, ¿cómo queda determinadaexactamente la disposición de los aminoácidos en laproteína por el orden de las unidades A, B, C y D?Este es el problema central todavía no resuelto en labiología. No obstante, las primeras claves, ofragmentos de información, son estas: hay en la célulaminúsculas partículas llamadas microsomas, y se sabeahora que es en este lugar donde se fabrican lasproteínas. Pero los microsomas no están en el núcleo,que es donde está el ADN y sus instrucciones. Pareceque falta algo. Sin embargo, se sabe también quefragmentos de pequeñas moléculas salen del ADN, notan largos como la gran molécula de ADN quetransporta toda la información, sino como una pequeñasección de ella. Esto se denomina ARN, pero esto no

es esencial. Es una especie de copia del ADN, unacopia abreviada. El ARN, que de algún modo lleva unmensaje acerca de qué tipo de proteína hacer, llega almicrosoma; esto es conocido. Cuando está allí, laproteína es sintetizada en el microsoma. Esto tambiénes conocido. Sin embargo, los detalles de cómo entranlos aminoácidos y se ordenan de acuerdo con uncódigo que está en el ADN son todavía desconocidos.No sabemos cómo leerlo. Si conociésemos, porejemplo, la «secuencia» A, B, C, C, A, no podríamosdecirles qué proteína iba a ser fabricada.

Ciertamente ninguna disciplina o campo está haciendoactualmente más progresos en tantos frentes como labiología, y si tuviéramos que nombrar la hipótesis máspoderosa de todas, que nos lleva a perseverar en elintento de comprender la vida, tal hipótesis es quetodas las cosas están hechas de átomos, y que todolo que hacen los seres vivos puede entenderse entérminos de las agitaciones y oscilaciones de losátomos.

Astronomía

En esta rápida explicación del mundo en conjunto,debemos dirigirnos ahora a la astronomía. Laastronomía es más vieja que la física. De hecho, laastronomía puso en marcha la física al mostrar la bellasimplicidad del movimiento de las estrellas y losplanetas, cuya comprensión constituyó el principio dela física. Pero el descubrimiento más notable de toda laastronomía es que las estrellas están hechas deátomos del mismo tipo que los de la Tierra[2].¿Cómo se hizo? Los átomos liberan luz que tienefrecuencias definidas, algo parecido al timbre de uninstrumento musical que tiene unos tonos o frecuenciasde sonido definidos.

Cuando estamos oyendo diferentes tonos podemossepararlos, pero cuando miramos con nuestros ojos unamezcla de colores no podemos decir de qué partes está

compuesta porque el ojo no discrimina tan bien como eloído en este aspecto. Sin embargo, con unespectroscopio podemos analizar las frecuencias de lasondas luminosas y de este modo podemos ver lospropios tonos de los átomos que hay en diferentesestrellas. De hecho, dos de los elementos químicosfueron descubiertos en una estrella antes de que sedescubrieran en la Tierra. El helio fue descubierto en elSol, de ahí su nombre, y el tecnecio fue descubierto enciertas estrellas frías. Esto nos permite, por supuesto,entrar en la comprensión de las estrellas, ya que estánhechas de los mismos tipos de átomos que hay en laTierra. Ahora sabemos muchas cosas sobre losátomos, especialmente respecto a su comportamientoen condiciones de alta temperatura pero no muy altadensidad, de modo que podemos analizar elcomportamiento de la sustancia estelar mediante lamecánica estadística. Aunque no podemos reproducirestas condiciones en la Tierra, sí podemos decir amenudo, utilizando las leyes físicas básicas, lo que va asuceder exactamente, o con mucha aproximación. Asíes como la física ayuda a la astronomía. Por extrañoque pueda parecer, entendemos la distribución de

materia en el interior del Sol mucho mejor de lo queentendemos el interior de la Tierra. Lo que sucededentro de una estrella se entiende mejor de lo quecabría imaginar ante la dificultad de tener que mirar unpequeño punto luminoso a través de un telescopio, yello se debe a que podemos calcular lo que harían losátomos en las estrellas en la mayoría de lascircunstancias.

Uno de los descubrimientos más impresionantes fue elorigen de la energía de las estrellas, que hace que siganquemándose. Uno de los hombres que lo descubrióestaba con su novia la noche siguiente al momento enque comprendió que en las estrellas deben tener lugarreacciones nucleares para hacer que brillen. Ella dijo:«¡Mira qué bellas brillan las estrellas!». Él dijo: «Sí, y eneste momento yo soy el único hombre en el mundo quesabe por qué brillan». Ella simplemente le sonrió. Noestaba impresionada por estar con el único hombreque, en ese instante, sabía por qué brillan las estrellas.Bien, es triste estar solo, pero así son las cosas en estemundo.

Es la «combustión» nuclear del hidrógeno la queproporciona la energía del Sol; el hidrógeno setransforma en helio. Más aún, la fabricación de losdiversos elementos químicos tiene lugar, en definitiva,en los centros de las estrellas a partir del hidrógeno. Lamateria de la que nosotros estamos hechos fue«cocinada» alguna vez en una estrella y luego escupida.¿Cómo lo sabemos? Porque hay una clave. Laproporción de los diferentes isótopos cuánto C12,cuánto C13, etc. es algo que permanece invariable enlas reacciones químicas, porque las reaccionesquímicas son exactamente las mismas para los dos. Lasproporciones son simplemente el resultado dereacciones nucleares. Mirando las proporciones de losisótopos en el rescoldo frío y muerto que somosnosotros, podemos descubrir cómo era el horno en elque se formó la materia de la que estamos hechos. Estehorno era como las estrellas, y por ello es muyprobable que nuestros elementos fueran «hechos» enlas estrellas y escupidos en las explosiones quellamamos novas y supernovas. La astronomía está tancerca de la física que estudiaremos muchas cosasrelativas a la astronomía a medida que sigamos

adelante.

Geología

Dirijámonos ahora a lo que se denominan ciencias dela Tierra, o geología. En primer lugar, la meteorologíay la predicción del tiempo. Por supuesto, losinstrumentos de la meteorología son instrumentosfísicos, y el desarrollo de la física experimental hizoposibles estos instrumentos, como se explicó antes. Sinembargo, la teoría de la meteorología nunca ha sidodesarrollada de forma satisfactoria por los físicos. «Biendirán ustedes-, no hay nada más que aire, y conocemoslas ecuaciones de los movimientos del aire.» Sí, lasconocemos. «Entonces, si conocemos la situación delaire hoy, ¿por qué no podemos calcular la situación delaire mañana?» En primer lugar, no sabemos realmentecuál es la situación hoy, porque el aire está moviéndose

y girando en todas partes. Resulta ser muy sensible, eincluso inestable. Si ustedes han visto alguna vez el aguaque circula suavemente en una presa, y luego seconvierte en un gran número de pegotes y gotas cuandocae, ustedes entenderán lo que quiero decir porinestable. Ustedes conocen la situación del agua antesde que llegue al aliviadero: es perfectamente uniforme.Pero en el momento que comienza a caer, ¿dóndeempiezan a formarse las gotas? ¿Qué es lo quedetermina el tamaño de las gotas y dónde estarán? Estono se conoce, porque el agua es inestable. Incluso unamasa de aire en movimiento suave se transforma envórtices y remolinos complejos cuando rebasa unamontaña. En muchos campos encontramos estasituación de flujo turbulento que no podemos analizarhoy. ¡Dejemos rápidamente el tema de la predicción deltiempo y discutamos la geología!

La pregunta básica de la geología es: ¿qué hace que laTierra sea como es? Los procesos más obvios estándelante de sus propios ojos: los procesos de erosión delos ríos, los vientos, etc. Son bastante fáciles de

entender, pero por cada cantidad de erosión hay unacantidad equivalente de algún otro proceso. Lasmontañas no son hoy más bajas, en promedio, de loque eran en el pasado. Debe haber procesos deformación-de-montañas. Ustedes descubrirán, siestudian geología, que hay procesos de formación demontañas y vulcanismo, que nadie entiende pero que esla mitad de la geología. El fenómeno de los volcanes noes realmente entendido. No hay una comprensióndefinitiva de lo que da lugar a un terremoto. Se entiendeque si algo empuja a alguna otra cosa, la aparta y laarrastra, esto es correcto. Pero ¿qué es lo que empujay por qué? La teoría es que hay corrientes dentro de laTierra corrientes circulatorias, debidas a la diferencia detemperaturas en el interior y el exterior que, en sumovimiento, arrastran lentamente a la superficie.Entonces, si hay dos circulaciones opuestas próximas,la materia se acumulará en la región donde ambas seencuentran y se formarán cinturones de montañas queestán en condiciones de mucha tensión, y producen asívolcanes y terremotos.

¿Qué pasa en el interior de la Tierra? Se conoce mucho

sobre la velocidad de las ondas de un terremoto através de la Tierra y sobre la distribución de la densidaden la Tierra. Sin embargo, los físicos han sido incapacesde obtener una buena teoría acerca de la densidad quedebería tener una sustancia a las presiones que cabríaesperar en el centro de la Tierra. En otras palabras, nopodemos calcular muy bien las propiedades de lamateria en estas circunstancias. Sabemos mucho menosde la Tierra de lo que sabemos sobre las condicionesde la materia en las estrellas. Las matemáticasimplicadas parecen demasiado difíciles, por ahora. Peroquizá no pase mucho tiempo antes de que alguien se décuenta de que es un problema importante, y realmentelo resuelva. El otro aspecto, por supuesto, es queincluso si conociéramos la densidad, no podríamosconcebir las corrientes circulatorias. Ni podemoscalcular realmente las propiedades de rocas a altapresión. No podemos decir con qué rapidez «cederían»las rocas; todo esto debe ser estudiado a partir deexperimentos.

Psicología

A continuación, vamos a considerar la ciencia de lapsicología. Dicho sea de paso, el psicoanálisis no esuna ciencia: como mucho es un procedimiento médico,y quizá algo más parecido a la brujería. Tiene una teoríasobre las causas de la enfermedad: montones de«espíritus» diferentes, etc. El hechicero tiene la teoría deque una enfermedad como el paludismo es causada porun espíritu que está en aire; no se cura agitando unaserpiente, pero la quinina sirve para el paludismo. Poresto, si ustedes se ponen enfermos yo les aconsejaríaque vayan al hechicero porque él es la persona de latribu que sabe más sobre la enfermedad; por otra parte,su conocimiento no es ciencia. El psicoanálisis no hasido puesto a prueba cuidadosamente porexperimentos, y no hay forma de encontrar una lista delnúmero de casos en el que funciona, el número decasos en los que no funciona, etc.

Las otras ramas de la psicología, que incluyen cosascomo la psicología de la sensación qué sucede en elojo, y qué sucede en el cerebro son, si ustedes quieren,menos interesantes. Pero se han hecho algunosprogresos pequeños aunque reales en su estudio. Unode los problemas técnicos más interesantes puede o nopuede ser llamado psicología. El problema central de lamente, si ustedes quieren, o del sistema nervioso, eseste: cuando un animal aprende algo, puede hacer algodiferente de lo que podía hacer antes y, si está hechode átomos, sus células cerebrales deben habercambiado también. ¿De qué manera es diferente? Nosabemos dónde mirar, o qué buscar, cuando algo esmemorizado. No sabemos lo que significa, o quécambio hay en el sistema nervioso, cuando se aprendealgo. Este es un problema muy importante que no hasido resuelto en absoluto. Suponiendo, sin embargo,que existe algún tipo de memoria, el cerebro es unamasa tan enorme de cables interconectados y nerviosque probablemente no pueda ser analizado de unaforma directa. Hay una analogía con los ordenadores yelementos de computación, en cuanto que también

tienen un montón de líneas, y tienen algún tipo deelemento análogo quizá a la sinapsis o conexión de unnervio con otro. Este es un tema muy interesante que notenemos tiempo de discutir más: la relación entrepensamiento y máquinas computadoras. Debeentenderse, por supuesto, que este tema nos dirá muypoco sobre las complejidades reales delcomportamiento humano ordinario. Los seres humanosson muy diferentes. Necesitaríamos mucho tiempoantes de llegar a ello. Debemos empezar mucho másatrás. Si pudiéramos siquiera concebir cómo funcionaun perro, habríamos llegado muy lejos. Los perros sonmás fáciles de entender, pero nadie sabe todavía cómofunciona un perro.

¿Cómo se llegó a ello?

Para que la física sea útil a otras ciencias de un modo

teórico, además de por la invención de instrumentos, laciencia en cuestión debe suministrar al físico unadescripción del objeto en el lenguaje del físico. Sepuede preguntar «¿porqué salta una rana?», y el físicono puede responder. Si le dicen lo que es una rana, quetiene tantas moléculas, hay un nervio aquí, etc., eso esdiferente. Si nos dicen, más o menos, cómo es la Tierrao las estrellas, entonces podemos trabajar. Para queuna teoría física sea útil debemos saber dónde estánsituados los átomos. Para entender la química debemossaber exactamente qué átomos están presentes, puesde otra forma no podemos analizarla. Esto no es másque una limitación, por supuesto.

Hay otro tipo de problemas en las ciencias hermanasque no se dan en la física; podríamos llamarlo, a falta deun término mejor, la cuestión histórica. ¿Cómo llegó aser así? Si entendemos todo sobre la biología,querremos saber cómo llegaron a ser todas las cosasque hay en la Tierra. Existe la teoría de la evolución,una parte importante de la biología. En geología no sóloqueremos saber cómo se forman las montañas, sino

cómo se formó toda la Tierra en el principio, el origendel Sistema Solar, etc. Eso, por supuesto, nos lleva aquerer saber qué tipo de materia había en el mundo.¿Cómo evolucionaron las estrellas? ¿Cuáles eran lascondiciones iniciales? Este es el problema de la historiaastronómica. Se ha descubierto mucho acerca de laformación de las estrellas, la formación de loselementos de los que estamos hechos, e incluso algosobre el origen del universo.

No hay cuestión histórica por estudiar en la física en elmomento actual. No nos planteamos una pregunta:«Aquí están las leyes de la física, ¿cómo llegaron a serasí?». No imaginamos, por el momento, que las leyesde la física estén cambiando de algún modo con eltiempo, que fueran diferentes en el pasado de lo queson ahora. Por supuesto, podrían serlo, y en elmomento en que descubramos que lo son, la cuestiónhistórica de la física será tratada con el resto de lahistoria del universo, y entonces el físico estaráhablando de los mismos problemas que los astrónomos,los geólogos y los biólogos.

Finalmente, existe un problema físico que es común amuchos campos, que es muy viejo y que no ha sidoresuelto. No es el problema de encontrar nuevaspartículas fundamentales, sino algo que se vienearrastrando desde hace mucho tiempo, durante uncentenar de años. Nadie en la física ha sido realmentecapaz de analizarlo de forma matemáticamentesatisfactoria a pesar de su importancia para las cienciashermanas. Es el análisis de los fluidos circulantes oturbulentos. Si observamos la evolución de una estrellallega un momento en el que podemos deducir que va aempezar la convección, y a partir de entonces ya nopodemos deducir qué sucederá. Unos millones de añosmás tarde la estrella explota, pero no podemosconcebir la razón. No podemos analizar el tiempometeorológico. No sabemos la pauta de losmovimientos que debería haber dentro de la Tierra. Laforma más simple del problema consiste en tomar untubo muy largo y hacer pasar a través de él agua a granvelocidad. Preguntamos: ¿cuánta presión se necesitapara impulsar una cantidad dada de agua a través dedicho tubo? Nadie puede analizarlo a partir de primerosprincipios y las propiedades del agua. Si el agua fluye

muy lentamente, o si utilizamos algo muy viscoso comola miel, entonces lo podemos hacer bastante bien.Ustedes encontrarán eso en sus libros de texto. Lo querealmente no podemos hacer es tratar el agua real yhúmeda que fluye a través de un tubo. Este es elproblema central que deberíamos resolver un día, y queno hemos hecho.

Un poeta dijo en cierta ocasión: «Todo el universo estáen un vaso de vino». Probablemente nunca sabremosen qué sentido lo decía, pues los poetas no escribenpara ser entendidos. Pero es cierto que si miramos unvaso de vino suficientemente cerca, vemos el universoentero. Están los objetos de la física: el líquido que semueve y que se evapora dependiendo del viento y delclima, los reflejos en el vaso, y nuestra imaginaciónañade los átomos. El vaso es una destilación de lasrocas de la Tierra, y en su composición vemos lossecretos de la edad del universo y la evolución de lasestrellas. ¿Qué extraña ordenación de elementosquímicos hay en el vino? ¿Cómo llegaron a formarse?Existen los fermentos, las enzimas, los substratos y losproductos. Allí en el vino se encuentra la gran

generalización: toda la vida es fermentación. Nadiepuede descubrir la química del vino sin descubrir, comohizo Louis Pasteur, la causa de muchas enfermedades.¡Qué vivo es el color, que impone su existencia en laconsciencia de quien lo observa! Aunque, porconveniencia, nuestras pequeñas mentes dividan estevaso de vino, este universo, en partes física, biología,geología, astronomía, psicología y demás-, es buenorecordar que ¡la naturaleza no lo sabe! Así quevolvamos a situarlo todo en su sitio, sin olvidar en últimainstancia para qué sirve. Permitámonos un placer final:¡bebámoslo y olvidémoslo todo!

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La conservación de la energía

¿Qué es la energía?

Una vez acabada nuestra descripción de las cosas engeneral, iniciamos en este capítulo nuestro estudio másdetallado de los diferentes aspectos de la física. Parailustrar las ideas y el tipo de razonamientos que podríanutilizarse en física teórica vamos a examinar ahora unade las leyes más básicas de la física, la ley deconservación de la energía.

Hay un hecho, o si ustedes prefieren, una ley, quegobierna todos los fenómenos naturales conocidoshasta la fecha. No hay excepción conocida a esta ley:es exacta hasta donde sabemos. Se denomina ley deconservación de la energía. Establece que hay unacierta magnitud, que llamamos energía, que no cambiaen los múltiples cambios que sufre la naturaleza. Esta esuna idea muy abstracta, porque es un principiomatemático; dice que hay una magnitud numérica queno cambia cuando algo sucede. No es una descripciónde un mecanismo, o algo concreto; se trata sólo delextraño hecho de que podemos calcular cierto número,

y que si lo volvemos a calcular después de haberestado observando a la naturaleza haciendo sus trucos,este número es el mismo. (Algo parecido al alfil en unacasilla blanca que, después de varias jugadas cuyosdetalles se desconocen-, sigue estando en una casillablanca. Es una ley de este tipo.) Puesto que es una ideaabstracta, ilustraremos su significado con una analogía.

Imaginemos a un niño, quizá «Daniel el Travieso», quetiene unos bloques que son absolutamenteindestructibles y no pueden dividirse en piezas. Cadauno de ellos es igual que los otros. Supongamos quetiene 28 bloques. Su madre le ha dejado por la mañanacon sus 28 bloques en una habitación. Al caer la tarde,sintiendo curiosidad, ella cuenta los bloques con muchocuidado y descubre una ley fenoménica: haga él lo quehaga con los bloques, ¡siempre sigue habiendo 28! Estocontinúa durante varios días, hasta que un día sólo hay27 bloques; pero tras una pequeña búsqueda la madreencuentra que hay uno bajo la alfombra; ella debe miraren todas partes para estar segura de que el número debloques no ha variado. Un día, sin embargo, el númeroparece haber cambiado: hay sólo 26 bloques. Una

investigación cuidadosa pone de manifiesto que laventana estaba abierta, y al buscar fuera aparecen losotros dos bloques. Otro día, un recuento cuidadosoindica que ¡hay 30 bloques! Esto provoca unaconsternación considerable, hasta que la madre cae enla cuenta de que Bruce vino de visita trayendo suspropios bloques, y dejó algunos en casa de Daniel. Unavez que ella se ha deshecho de los bloques extra, cierrala ventana, no deja que entre Bruce, y entonces todosigue correcto… hasta que en cierto momento cuenta yencuentra sólo 25 bloques. Sin embargo, hay una cajaen la habitación, una caja de juguetes; la madre va aabrir la caja de juguetes pero el niño dice: «No, noabras mi caja de juguetes», y chilla. La madre tieneprohibido abrir la caja de juguetes. Como esextraordinariamente curiosa y algo ingeniosa, ¡ellainventa una treta! Sabe que cada bloque pesa 100gramos, así que pesa la caja en un instante en que ellave 28 bloques y el peso de la caja es de 600 gramos.Cada nueva ocasión en que quiere hacer lacomprobación, pesa de nuevo la caja, resta 600gramos y lo divide por 100. Descubre lo siguiente:

Número de bloques vistos +

(peso de la caja – 600 g) / 100 g =

constante (4.1)

En otras ocasiones parece que hay algunas nuevasdesviaciones, pero un cuidadoso estudio indica que elnivel del agua sucia de la bañera está cambiando. Elniño está arrojando bloques al agua y la madre nopuede verlos porque el agua está muy sucia, peropuede descubrir cuántos bloques hay en el aguaañadiendo otro término a su fórmula. Puesto que laaltura original del agua era de 15 centímetros y cadabloque eleva el agua medio centímetro, esta nuevafórmula sería:

Número de bloques vistos +

(peso de la caja – 600 g) / 100 g +

(altura del agua – 15 cm / 0,5 cm =

constante (4.2)

A medida que aumenta la complejidad de su mundo, lamadre encuentra toda una serie de términos querepresentan formas de calcular cuántos bloques hay enlos lugares donde ella no puede mirar. Como resultado,encuentra una fórmula compleja, una magnitud quedebe ser calculada, que siempre tiene el mismo valor.

¿Qué analogía hay entre esta historia y la conservaciónde la energía? El aspecto más notable que debeabstraerse de esta imagen es que no hay bloques.Quitemos los primeros términos en 4.1 y 4.2 y nosencontraremos calculando cosas más o menosabstractas. La analogía abarca los puntos siguientes. Enprimer lugar, cuando estamos calculando la energía, aveces parte de ella sale del sistema y se pierde, o aveces algo de ella entra. Para verificar la conservaciónde la energía debemos tener cuidado en no introducir niquitar nada. En segundo lugar, la energía tiene muchasformas diferentes, y hay una fórmula para cada una.Estas son: energía gravitatoria, energía cinética, energíatérmica, energía elástica, energía eléctrica, energía

química, energía radiante, energía nuclear, energía demasa. Si sumamos las fórmulas para cada una de estascontribuciones, la suma no cambiará, salvo que entre osalga energía.

Es importante darse cuenta de que en la física actual notenemos conocimiento de qué es la energía. Notenemos una imagen en la que la energía aparezca enpequeñas gotas de un tamaño definido. No es así. Sinembargo, existen fórmulas para calcular cierta magnitudnumérica, y cuando las sumamos dan «28»: siempre elmismo número. Es algo abstracto en cuanto que no nosdice el mecanismo o las razones para las diversasfórmulas.

Energía potencial gravitatoria

La conservación de la energía sólo puede entenderse si

disponemos de las fórmulas para todas sus formas.Quiero discutir la fórmula para la energía gravitatoriacerca de la superficie de la Tierra, y quiero derivar estafórmula de una manera que no tiene nada que ver con lahistoria, sino que es simplemente una línea derazonamiento concebida para esta lección concreta a finde ofrecerles una ilustración del hecho notable de quemuchas cosas acerca de la naturaleza pueden extraersede unos pocos hechos y por razonamiento riguroso. Esuna ilustración del tipo de trabajo en que se venenvueltos los físicos teóricos. Está estructuradosiguiendo un excelente razonamiento del señor Carnotsobre la eficiencia de las máquinas de vapor[3].

Consideremos máquinas para levantar pesos: máquinasque tienen la propiedad de que levantan un pesomediante el descenso de un segundo peso. Hagamostambién una hipótesis: que no hay nada semejante aun movimiento perpetuo en estas máquinas delevantar pesos. (De hecho, el que no hay movimientoperpetuo en absoluto es un enunciado general de la leyde la conservación de la energía.) Debemos tener

cuidado al definir el movimiento perpetuo. Hagámoslo,en primer lugar, para las máquinas de levantar pesos.Si, una vez que hemos elevado y bajado muchos pesosy restituido la máquina a la condición original,encontramos que el resultado neto consiste en haberlevantado un peso, entonces tenemos una máquina demovimiento perpetuo porque podemos utilizar dichopeso levantado para mover alguna otra cosa. Esto es,siempre y cuando la máquina que levantó el peso seadevuelta a su condición original exacta, y que ademássea completamente autocontenida: que no hayarecibido la energía para levantar el peso de algunafuente externa, como los bloques de Bruce.

Una máquina de levantar pesos muy sencilla se muestraen la figura 4.3. Esta máquina levanta pesos de tresunidades de «fuerza». Colocamos tres unidades en unplato de una balanza, y una unidad en el otro plato. Sinembargo, para hacer que realmente funcione debemosquitar un peso pequeño del plato izquierdo.Recíprocamente, podríamos levantar un peso de unaunidad bajando un peso de tres unidades si hacemosuna pequeña trampa quitando un pequeño peso del otro

plato. Por supuesto, nos damos cuenta de que encualquier máquina de levantar pesos real debemosañadir algo extra para hacerla funcionar. Pasaremosesto por alto, por el momento. Las máquinas ideales,aunque no existen, no requieren nada extra. Unamáquina que realmente usamos puede ser, en ciertomodo, casi reversible: es decir, si levantásemos un pesode tres bajando un peso de uno, entonces tambiénlevantaríamos la misma altura el peso de uno bajando elpeso de tres.

4.3 Máquina simple para levantar

pesos.

Imaginemos que hay dos clases de máquinas, las que

no son reversibles, que incluyen todas las máquinasreales, y las que son reversibles, que por supuesto noson realmente alcanzables por muy cuidadosos queseamos en nuestro diseño de los engranajes, brazos,etc. Supondremos, sin embargo, que existe tal cosa unamáquina reversible que hace descender una unidad depeso (un kilo o cualquier otra unidad) una unidad dedistancia, y al mismo tiempo levanta un peso de tresunidades. Llamemos Máquina A a esta máquinareversible. Supongamos que esta máquina reversibleparticular levanta el peso de tres unidades una distanciaX. Supongamos además que tenemos otra máquina, laMáquina B, que no es necesariamente reversible, quetambién hace descender un peso unidad una unidad dedistancia pero que eleva tres unidades de peso a unadistancia Y. Podemos ahora probar que Y no está másalto que X; es decir, es imposible construir una máquinaque levante un peso a una altura mayor que la quesería levantado por una máquina reversible. Veamospor qué. Supongamos que Y fuera mayor que X.Tomemos un peso de una unidad y hagámoslodescender una altura unidad con la Máquina B, lo quehace que se eleve el peso de tres unidades a una

distancia Y. Entonces podríamos bajar el peso desde Yhasta X, obteniendo potencia libre, y utilizar luego laMáquina A reversible, funcionando al revés, para hacerdescender el peso de tres unidades una distancia X yelevar el peso de una unidad a una altura unidad. ¡Estovolvería a situar el peso de una unidad donde estabaantes, y dejaría ambas máquinas listas para serutilizadas de nuevo! Tendríamos entonces movimientoperpetuo si Y estuviera más alto que X, pero habíamossupuesto que el movimiento perpetuo era imposible.Con estas hipótesis deducimos que Y no está más altoque X, de modo que, de todas las máquinas quepueden ser diseñadas, la máquina reversible es lamejor.

Podemos ver también que todas las máquinasreversibles deben levantar el peso exactamente a lamisma altura. Supongamos que B fuese tambiénrealmente reversible. El argumento de que Y no estámás alto que X sigue siendo, por supuesto, igual debueno que lo era antes, pero también podemos seguirnuestro argumento al revés, utilizando las máquinas en

el orden contrario, y probar que X no está más altoque Y. Esta es una observación muy notable porquenos permite analizar la altura a la que diferentesmáquinas van a levantar algo sin mirar el mecanismointerior. Inmediatamente sabemos que si alguienconstruye un sistema de palancas enormementeelaborado que levanta tres unidades de peso una ciertadistancia al tiempo que hace descender una unidad depeso en una distancia unidad, y lo comparamos con unabalanza simple que hace lo mismo y esfundamentalmente reversible, su máquina no levantarámás alto, sino probablemente a menos altura. Si sumáquina es reversible, sabemos también exactamente aqué altura levantará. Para resumir: cualquier máquinareversible, independientemente de cómo opere, quebaja un kilogramo un metro y con ello eleva un peso detres kilogramos, lo eleva siempre la misma distancia, X.Esta es evidentemente una ley universal de gran utilidad.La siguiente pregunta es, por supuesto, ¿cuánto vale X?

4.4 Una máquina reversible.

Supongamos que tenemos una máquina reversible queva a levantar esta distancia X, con la misma proporción

de pesos tres a uno. Coloquemos tres bolas en unaestantería fija, como se muestra en la figura 4.4. Unabola se mantiene en una plataforma a una distancia deun metro sobre el nivel del suelo. La máquina puedelevantar tres bolas, haciendo descender una bola unadistancia 1. Ahora bien, hemos dispuesto que laestantería móvil que sostiene las tres bolas tiene unsuelo y dos baldas más, exactamente espaciadas unadistancia X, y, además, que las baldas de la estanteríafija también están espaciadas una distancia X, (a). Enprimer lugar hacemos rodar las bolas horizontalmentedesde la estantería fija a las baldas de la estanteríamóvil, (b), y supongamos que esto no necesita energíaporque no cambiamos la altura. Entonces entra enacción la máquina reversible: baja la bola individual alsuelo y levanta la estantería móvil una distancia X, (c).La estantería móvil está dispuesta ingeniosamente demodo que dichas bolas están de nuevo niveladas conlas baldas fijas. Entonces descargamos las bolas de laestantería móvil en la fija, (d); habiendo descargado lasbolas, podemos devolver la máquina a su situaciónoriginal. Ahora tenemos tres bolas en las tres baldassuperiores y una bola en el suelo. Pero lo curioso es

que, en cierto modo, no hemos levantado dos de ellasen absoluto porque, después de todo, antes ya habíabolas en las baldas 2 y 3. El efecto neto resultante hasido el de levantar una bola a una distancia 3X. Ahorabien, si 3X excediera de un metro, podríamos bajar labola para devolver la máquina a la situación inicial, (f), ypodríamos volver a poner en marcha el aparato. Por lotanto, 3X no puede ser mayor que un metro, pues si lofuera podríamos tener movimiento perpetuo.Análogamente, podemos probar que un metro nopuede ser mayor que 3X haciendo que toda lamáquina funcione al revés, puesto que es una máquinareversible. Por lo tanto, 3X no es ni mayor ni menorque un metro, y descubrimos así, mediante purorazonamiento, la ley según la cual X = 1/3 de metro. Lageneralización es clara: un kilogramo desciende unacierta distancia al operar una máquina reversible; luegola máquina puede elevar p kilogramos a esta mismadistancia dividida por p. Otra forma de poner elresultado es que tres kilogramos multiplicado por laaltura elevada, que en nuestro problema era X, es iguala un kilogramo multiplicado por la distancia descendida,que es un metro en este caso. Si tomamos todos los

pesos y los multiplicamos por las alturas a las que estáninicialmente sobre el nivel del suelo, dejamos operar lamáquina, y luego volvemos a multiplicar todos los pesospor todas las nuevas alturas, no habrá cambio.(Tenemos que generalizar el ejemplo en el quemovíamos sólo un peso al caso en el que, cuandobajamos uno, elevamos varios pesos diferentes, peroesto es fácil.)

La suma de los productos de los pesos por sus alturasse denomina energía potencial gravitatoria: es laenergía que tiene un objeto debido a su posición en elespacio con respecto a la Tierra. Así, la fórmula para laenergía gravitatoria, siempre que no estemos demasiadolejos de la Tierra (la fuerza se debilita a medida quesubimos más alto) es

Energía potencial gravitatoria de un objeto = peso xaltura (4.5)

Esta es una bella línea de razonamiento. El únicoproblema es que quizá no sea verdadera. (Después de

todo, la naturaleza no tiene que ir a la par con nuestrorazonamiento.) Por ejemplo, quizá el movimientoperpetuo sea de hecho posible. Algunas de las hipótesispueden ser falsas, o quizá hayamos cometido un erroren el razonamiento, de modo que siempre es necesariocomprobarlo. De hecho, experimentalmente resultaser verdadero.

El nombre genérico de la energía que tiene que ver conla posición con respecto a alguna otra cosa sedenomina energía potencial. En este caso particular,por supuesto, la llamamos energía potencialgravitatoria. Si en lugar de trabajar contra fuerzasgravitatorias es contra fuerzas eléctricas contra las queestamos trabajando, si estamos «elevando» cargasalejándolas de otras cargas mediante un montón depalancas, entonces la energía contenida se denominaenergía potencial eléctrica. El principio general es queel cambio en la energía es la fuerza multiplicada por ladistancia que se desplaza dicha fuerza; en general

Cambio en energía = fuerza x distancia a lo largo de laque actúa la fuerza (4.6)

Volveremos a muchos de estos otros tipos de energía amedida que avancemos en el curso.

4.7 Plano inclinado.

El principio de la conservación de la energía es muy útilpara deducir lo que sucederá en diversascircunstancias. En la escuela secundaria aprendimosmuchas leyes sobre poleas y palancas utilizadas dediferentes maneras. Podemos ahora ver que todasestas «leyes» son la misma, y que no había necesidad

de memorizar 75 reglas para descubrirla. Un ejemplosimple lo constituye un plano inclinado liso que es,afortunadamente, un triángulo rectángulo de lados tres-cuatro-cinco (figura 4.7). Colguemos un peso de unkilogramo en el plano inclinado con una polea, y en elotro extremo de la polea colguemos un peso W.Queremos saber cuánto debe pesar W para equilibrarel peso de un kilogramo en el plano inclinado. ¿Cómopodemos descubrir la respuesta? Si decimos que estáexactamente equilibrado, el sistema es reversible y porlo tanto puede subir y bajar, y podemos considerar lasituación siguiente. En la situación inicial, (a), el peso deun kilogramo está en el extremo inferior del planoinclinado y el peso W está arriba. Una vez que W se hadeslizado hacia abajo de modo reversible, tenemos unpeso de un kilogramo en la parte superior y el peso Wha descendido una distancia igual a la longitud del planoinclinado, (b), es decir, cinco metros, desde el nivel enel que estaba antes. Hemos elevado el peso de unkilogramo sólo tres metros y hemos hecho descendercinco metros el peso de W kilogramos. Por lo tanto, W= 3/5 de kilogramo. Nótese que dedujimos esto a partirde la conservación de la energía, y no a partir de

componentes de fuerzas. La astucia, sin embargo, esrelativa. Puede deducirse de un modo que es inclusomás brillante, descubierto por Stevinus y grabado en sutumba. La figura 4.8 explica que tiene que ser 3/5 dekilogramo, porque la cadena no desliza y no da vueltas.Es evidente que la parte más baja de la cadena estáequilibrada por sí misma, de modo que la tracción delos cinco pesos en un lado debe compensar la tracciónde los tres pesos en el otro, o cualquiera que sea laproporción de los brazos. Mirando este diagrama venustedes que W debe ser 3/5 de kilogramo. (Si ustedesconsiguen un epitafio como este en su tumba, están enel buen camino.)

4.8 El epitafio de Stevinus

Ilustremos ahora el principio de la energía con unproblema más complicado, el tornillo elevadormostrado en la figura 4.9 Para girar el tornillo, que tieneun paso de rosca de 4 vueltas por centímetro, se utilizauna manivela de medio metro de longitud. Nos gustaríasaber cuánta fuerza habría que aplicar a la manivelapara levantar una tonelada (1.000 kilogramos).

4.9 Un tornillo elevador.

Si queremos elevar la tonelada un centímetro,

pongamos por caso, debemos dar cuatro vueltascompletas a la manivela. Cuando ésta da una vueltacompleta recorre aproximadamente 3,14 metros. Por lotanto, la manivela debe recorrer un total de 12,5metros, y si utilizásemos un sistema de poleas, etc.,estaríamos levantando la misma tonelada con un pesomenor W desconocido aplicado al extremo de lamanivela. Así es como encontramos que W esaproximadamente 0,8 kilogramos. Esto es un resultadode la conservación de la energía.

4.10 Barra con pesos apoyada en un

extremo

Tomemos ahora el ejemplo algo más complicadomostrado en la figura 4.10. Una varilla o barra de 2metros de longitud está apoyada en un extremo. Enmitad de la barra hay un peso de 30 kilo gramos, y auna distancia de medio metro del apoyo hay un peso de50 kilogramos. ¿Qué fuerza debemos aplicar haciaarriba en el extremo libre de la barra para mantenerlaequilibrada, suponiendo que el peso de la propia barraes despreciable? Imaginemos que ponemos una poleaen un extremo y colgamos un peso de la polea. ¿Cuáltendría que ser el peso W para mantener la barraequilibrada? Supongamos que el peso desciende unadistancia arbitraria -para hacerlo fácil, supongamos quedesciende 10 centímetros-, ¿a qué altura deberían subirlos dos pesos de carga? El centro se eleva 5centímetros, y el punto que está a un cuarto de ladistancia desde el extremo fijo se eleva 2,5 centímetros.Por lo tanto, el principio de que la suma de las alturasmultiplicadas por los pesos no cambia nos dice que elpeso W multiplicado por 10 centímetros hacia abajo,más 30 kilogramos multiplicados por 5 centímetroshacia arriba, más 50 kilogramos multiplicados por 2,5centímetros tiene que sumar cero:

–10W + (5)(30) + (2,5)(50) = 0; W = 27,5 Kg (4.11)

Así pues, debemos colgar un peso de 27,5 kilogramospara equilibrar la barra. De esta forma podemoscalcular las leyes del «equilibrio»: la estática de puentescomplicados, y demás. Este tratamiento se denominaprincipio de los trabajos virtuales, porque paraaplicar este argumento tuvimos que imaginar que laestructura se mueve un poco; incluso si en realidad nose está moviendo o ni siquiera es móvil. Utilizamos elpequeñísimo movimiento imaginario para aplicar elprincipio de conservación de la energía.

Energía Cinética

Para ilustrar otro tipo de energía consideremos unpéndulo (figura 4.11). Si tiramos de la masa hacia un

lado y luego la soltamos, oscilará de un lado a otro. Ensu movimiento pierde altura cuando va de cualquiera delos extremos hasta el centro. ¿Dónde va a parar laenergía potencial? Desaparece energía gravitatoriacuando la masa está abajo del todo; pero, en cualquiercaso, volverá a subir. La energía gravitatoria debehaber ido a otra forma de energía. Evidentemente es envirtud de su movimiento por lo que es capaz de subirde nuevo, de modo que tenemos conversión de energíagravitatoria en alguna otra forma de energía cuandollega al fondo.

4.11. Péndulo.

Debemos obtener una fórmula para la energía demovimiento. Ahora, recordando nuestros argumentossobre máquinas reversibles, podemos ver fácilmenteque en el movimiento cuando la masa está en el fondodebe haber una cantidad de energía que le permite subira una cierta altura, y que no tiene nada que ver con elmecanismo por el que actúa o con la trayectoria por laque sube. Así que tenemos una fórmula equivalente,algo similar a la que escribimos para los bloques delniño. Tenemos otra forma para representar la energía.Es fácil decir cuál es. La energía cinética en el fondo esigual al peso multiplicado por la altura a la que podríasubir de acuerdo con su velocidad: EC = WH. Lo quenecesitamos es la fórmula que nos dice la alturamediante alguna regla que tenga que ver con elmovimiento de objetos. Si partimos de algo con unacierta velocidad, digamos hacia arriba, llegará a unacierta altura; todavía no sabemos cuál es, pero dependede la velocidad; hay una fórmula para eso. Entoncespara encontrar la fórmula para la energía cinética de unobjeto en movimiento con velocidad V, debemoscalcular la altura que podría alcanzar y multiplicarla porel peso. Descubriremos pronto que podemos escribirla

de este modo:

Ec = WV2 / 2g (4.12)

Por supuesto, el hecho de que el movimiento tengaenergía no tiene nada que ver con el hecho de queestemos en un campo gravitatorio. No importa dedónde proceda el movimiento. Esta es una fórmulageneral para diversas velocidades. Tanto (4.5) como(4.12) son fórmulas aproximadas, la primera porque esincorrecta cuando las alturas son grandes, es decir,cuando las alturas son tan altas que la gravedad sedebilita; la segunda, debido a la corrección relativista aaltas velocidades. Sin embargo, cuando obtenemosfinalmente la fórmula exacta para la energía, la ley deconservación de la energía es correcta.

Otras formas de energía

Podemos continuar de este modo para ilustrar laexistencia de otras formas de energía. En primer lugar,consideremos la energía elástica. Para comprimirverticalmente un muelle debemos hacer algún trabajo,pues cuando lo tenemos comprimido podemos levantarpesos con él. Por lo tanto, en su condición comprimidatiene una posibilidad de hacer algún trabajo. Sicalculásemos la suma de los productos de los pesospor las alturas, ésta no cuadraría: debemos añadir algomás para dar cuenta del hecho de que el muelle estábajo tensión. La energía elástica es la fórmula para unmuelle cuando está comprimido. ¿Cuánta energía es? Silo soltamos, la energía elástica se convierte en energíacinética cuando el muelle pasa por el punto deequilibrio, y pasa alternativamente de una forma a otra,entre compresiones o estiramientos del muelle y laenergía cinética de movimiento. (Hay también algunaenergía gravitatoria que entra y sale, pero podemoshacer este experimento «en horizontal» si queremos.)Sigue así hasta que todo se para: ¡Ajá! Hemostrampeado todo el rato colocando pequeños pesos

para mover cosas, o diciendo que las máquinas sonreversibles o que siguen actuando indefinidamente, peroahora podemos ver que las cosas llegan a pararse.¿Dónde está la energía cuando el muelle ha dejado desubir y bajar? Esto nos lleva a otra forma de energía: laenergía térmica.

En el interior de un muelle o una palanca hay cristalesque están formados por montones de átomos; con grancuidado y delicadeza en la disposición de las partespodemos tratar de ajustar las cosas de modo que,cuando algo rueda sobre alguna otra cosa, ninguno delos átomos se agite en absoluto. Pero hay que ser muycuidadosos. Normalmente, cuando las cosas ruedanhay un bamboleo y una agitación debidos a lasirregularidades del material, y los átomos empiezan avibrar en su interior. De este modo perdemos la pistade dicha energía; una vez que el movimiento se hadetenido, encontramos que los átomos están vibrandoen el interior de un modo aleatorio y confuso. Siguehabiendo energía cinética, por supuesto, pero no estáasociada con movimiento visible. ¡Qué imaginación!

¿Cómo sabemos que sigue habiendo energía cinética?Resulta que con termómetros es posible descubrir queel muelle o la palanca están más caliente, y querealmente hay un aumento de energía cinética en unacantidad precisa. Llamamos a esta forma de energíaenergía térmica, pero sabemos que no es realmenteuna forma nueva: es simplemente energía cinética,movimiento interno. (Una de las dificultades con todosestos experimentos que hacemos con materia a granescala es que no podemos demostrar realmente laconservación de la energía y no podemos hacerrealmente nuestras máquinas reversibles, porque cadavez que movemos un gran montón de materia losátomos no quedan absolutamente imperturbables, y deeste modo entra en el sistema atómico cierta cantidadde movimiento aleatorio. No podemos verlo, peropodemos medirlo con termómetros, etc.)

Hay otras muchas formas de energía, y por supuesto nopodemos describirlas ahora con más detalle. Hayenergía eléctrica, que tiene que ver con las atraccionesy repulsiones de cargas eléctricas. Hay energía radiante,la energía de la luz que sabemos que es una forma de

energía eléctrica porque la luz puede representarsecomo oscilaciones del campo electromagnético. Hayenergía química, la energía que se libera en lasreacciones químicas. En realidad, la energía elástica es,en cierta medida, similar a la energía química, porque laenergía química es la energía de la atracción mutua delos átomos, y por lo tanto es energía elástica. Nuestracomprensión moderna es la siguiente: la energía químicatiene dos partes, energía cinética de los electronesdentro de los átomos, de modo que una parte escinética, y energía eléctrica de interacción entreelectrones y protones, de modo que el resto es energíaeléctrica. A continuación llegamos a la energía nuclear,la energía implicada en la disposición de las partículasdentro del núcleo, y tenemos fórmulas para ella aunqueno tenemos las leyes fundamentales. Sabemos que noes eléctrica ni gravitatoria, ni puramente química, perono sabemos qué es. Parece ser una forma adicional deenergía. Finalmente, asociada con la teoría de larelatividad hay una modificación de las leyes de laenergía cinética, o como quiera que ustedes prefieranllamarla, de modo que la energía cinética se combinacon otra cosa llamada energía de masa. Un objeto

tiene energía por su sola existencia. Si yo tengo unpositrón y un electrón quietos sin hacer nadaprescindiendo de la gravedad, prescindiendo decualquier cosa y se juntan y desaparecen, se liberaráenergía radiante en una cantidad definida, que puedeser calculada. Todo lo que necesitamos saber es lamasa del objeto. No depende de qué objeto sea:hacemos que dos cosas desaparezcan y obtenemos unacierta cantidad de energía. La fórmula fue descubiertapor primera vez por Einstein; es E = mc2.

Resulta obvio de nuestra discusión que la ley de laconservación de la energía es enormemente útil parahacer análisis, tal como hemos ilustrado en algunosejemplos sin conocer todas las fórmulas. Si tuviéramostodas las fórmulas para todos los tipos de energíapodríamos analizar cuántos procesos deberían estar enacción sin tener que entrar en detalles. Por lo tanto, lasleyes de conservación son muy interesantes.Naturalmente surge la cuestión de qué otras leyes deconservación hay en física. Hay otras dos leyes deconservación que son análogas a la conservación de laenergía. Una se denomina conservación del momento

lineal. La otra se denomina conservación del momentoangular. Descubriremos más cosas sobre estas leyesmás adelante. En última instancia, no entendemos enprofundidad las leyes de conservación. No entendemosla conservación de la energía. No entendemos laenergía como un cierto número de pequeñas gotas.Quizá ustedes hayan oído decir que los fotones vienenen gotas y que la energía de un fotón es la constante dePlanck multiplicada por la frecuencia. Esto es ciertopero, puesto que la frecuencia de la luz puede sercualquiera, no hay ninguna ley que diga que la energíatiene que ser una cierta cantidad definida. A diferenciade los bloques de Daniel, puede haber cualquiercantidad de energía, al menos tal como se entiendeactualmente. Así pues, por ahora no entendemos estaenergía como el recuento de algo, sino sólo como unamagnitud matemática, lo que es una circunstanciaabstracta y bastante peculiar. En mecánica cuánticaresulta que la conservación de la energía está muyíntimamente relacionada con otra importante propiedaddel mundo: las cosas no dependen del tiempoabsoluto. Podemos montar un experimento en uninstante dado y hacerlo, y luego hacer el mismo

experimento en un instante posterior, y se comportaráexactamente de la misma forma. Si esto esestrictamente cierto o no, no lo sabemos. Si suponemosque es cierto, y añadimos los principios de la mecánicacuántica, entonces podemos deducir el principio de laconservación de la energía. Es algo sutil e interesante, yno es nada fácil de explicar. Las otras leyes deconservación también están relacionadas. Laconservación del momento está asociada en mecánicacuántica con la afirmación de que, independientementede dónde hagan ustedes el experimento, los resultadossiempre serán los mismos. Del mismo modo que laindependencia respecto al espacio tiene que ver con laconservación del momento, la independencia respectoal tiempo tiene que ver con la conservación de laenergía; y finalmente, si giramos nuestro aparato, estotampoco supone ninguna diferencia, y así la invarianciadel mundo respecto a la orientación angular estárelacionada con la conservación del momento angular.Además de estas, existen otras tres leyes deconservación, exactas hasta donde hoy podemos decir,que son mucho más simples de entender porque sonmás parecidas al recuento de bloques.

La primera de estas tres es la conservación de lacarga, que significa simplemente que ustedes puedencontar el número de cargas eléctricas positivas y restarel número de cargas negativas que tienen, y el númeroresultante nunca cambia. Ustedes pueden cancelar unacarga positiva con una negativa, pero no pueden crearun exceso neto de cargas positivas sobre cargasnegativas. Otras dos leyes son análogas a esta: una sedenomina la conservación de bariones. Hay ciertonúmero de partículas raras, un neutrón y un protón sonejemplos de ellas, que se denominan bariones. Encualquier reacción que tenga lugar en la naturaleza, sicontamos cuántos bariones intervienen en un proceso,el número de bariones[4] que resulta de ello seráexactamente el mismo. Hay otra ley: la conservaciónde leptones. Podemos decir que el grupo de partículasdenominadas leptones está constituido por el electrón,el mesón-µ y el neutrino. Existe un antielectrón que esun positrón, es decir, – 1 leptón. Contando el númerototal de leptones en una reacción se pone de manifiestoque el número inicial es siempre igual que el número

final, al menos hasta donde sabemos actualmente.

Estas son las seis leyes de conservación, tres de ellassutiles, que implican el espacio y el tiempo, y tres deellas simples, en el sentido de contar algo.

Con respecto a la conservación de la energíadeberíamos advertir que la energía disponible es otracuestión: hay un montón de agitación en los átomos delagua del mar, porque el mar tiene una ciertatemperatura, pero es imposible encauzarlos en unmovimiento definido sin tomar energía de alguna otraparte. Es decir, aunque sabemos y damos por hechoque la energía se conserva, la energía disponible parautilización humana no se conserva tan fácilmente. Lasleyes que gobiernan cuánta energía hay disponible sedenominan leyes de la termodinámica e implican unconcepto denominado entropía para procesostermodinámicos irreversibles.

Para terminar, haremos un comentario sobre la cuestiónde dónde podemos obtener hoy nuestros suministros

energéticos. Nuestros suministros energéticos procedendel Sol, la lluvia, el carbón, el uranio y el hidrógeno. ElSol provoca la lluvia, y también provoca el carbón, demodo que todos ellos proceden del Sol. Aunque laenergía se conserva, la naturaleza no parece interesadaen ello: ella libera un montón de energía desde el Sol,pero sólo una parte en dos mil millones llega a la Tierra.La naturaleza conserva la energía, pero no se preocuparealmente; malgasta un montón en todas direcciones.Ya hemos obtenido energía del uranio; tambiénpodemos obtener energía del hidrógeno, pero por elmomento sólo en situaciones explosivas y peligrosas. Sipudiera ser controlada en reacciones termonucleares,resultaría que la energía que puede obtenerse de 10litros de agua por segundo equivale a toda la potenciaeléctrica generada en los Estados Unidos. Con 600litros de agua corriente por minuto, ¡ustedes tendríancombustible suficiente para suministrar toda la energíaque se utiliza hoy en los Estados Unidos! Por lo tanto,es tarea del físico descubrir la forma de liberarnos de lanecesidad de disponer de energía. Puede hacerse.

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La teoría de la gravitación

Movimientos planetarios

En este capítulo discutiremos una de lasgeneralizaciones de mayor alcance hechas por la mentehumana. Aunque estamos admirando la mente humana,deberíamos dedicar algún tiempo a reverenciar a unanaturaleza que pudo seguir con tal perfección ygeneralidad un principio tan elegantemente simple comola ley de la gravitación. ¿Cuál es esta ley de lagravitación? Se trata de que cualquier objeto en eluniverso atrae a cualquier otro objeto con una fuerzaque para dos cuerpos cualesquiera es proporcional a lamasa de cada uno de ellos y varía de formainversamente proporcional al cuadrado de la distanciaentre ambos. Este enunciado puede expresarse

matemáticamente mediante la ecuación

(5.1)

Si a esto añadimos el hecho de que un objeto respondea una fuerza acelerándose en la dirección de la fuerzaen una cantidad que es inversamente proporcional a lamasa del objeto, habremos dicho todo lo necesariopara que un matemático con suficiente habilidad puedadeducir luego todas las consecuencias de estos dosprincipios. Sin embargo, puesto que se supone queustedes todavía no tienen la habilidad suficiente,discutiremos las consecuencias con más detalle, y nonos limitaremos a dejarles sólo con estos dos principiosdesnudos. Relataremos brevemente la historia deldescubrimiento de la ley de la gravitación ydiscutiremos algunas de sus consecuencias, sus efectosen la historia, los misterios que entraña una ley

semejante y algunos refinamientos de la ley hechos porEinstein; discutiremos también las relaciones entre estaley y las otras leyes de la física. Todo esto no puedehacerse en un capítulo, sino que estos temas serántratados a su debido tiempo en capítulos posteriores.

La historia empieza con los antiguos observando losmovimientos de los planetas entre las estrellas, ydeduciendo finalmente que aquéllos daban vueltasalrededor del Sol, un hecho que fue redescubierto mástarde por Copérnico. Para descubrir cómo se muevenexactamente los planetas alrededor del Sol, y con quémovimiento exacto, se necesitó algo más de trabajo. Acomienzos del siglo XV había grandes debates sobre sirealmente giraban alrededor del Sol o no. Tycho Brahetuvo una idea diferente de cualquier cosa propuesta porlos antiguos: su idea era que estos debates acerca de lanaturaleza de los movimientos planetarios se resolveríanmejor si se midiesen con suficiente precisión lasposiciones reales de los planetas en el cielo. Si lasmedidas mostraran exactamente cómo se movían losplanetas, entonces quizá sería posible establecer unpunto de vista u otro. Esta fue una idea espectacular:

que para descubrir algo es preferible realizar algunosexperimentos cuidadosos antes que desarrollarprofundos argumentos filosóficos. Siguiendo esta idea,Tycho Brahe estudió las posiciones de los planetasdurante muchos años en su observatorio de la isla deHven, cerca de Copenhague. Construyó tablasastronómicas voluminosas que luego fueron estudiadaspor el matemático Kepler, tras la muerte de Tycho. Apartir de estos datos, Kepler descubrió algunasrelaciones muy bellas y notables, aunque sencillas,acerca del movimiento planetario.

5.2 Una elipse.

Leyes de Kepler

En primer lugar, Kepler descubrió que cada planeta semueve alrededor del Sol siguiendo una curvadenominada elipse, con el Sol en uno de los focos dedicha elipse. Una elipse no es exactamente un óvalo,sino que es una curva muy concreta y precisa quepuede obtenerse utilizando dos tachuelas, una en cadafoco, un lazo de cuerda y un lápiz; de forma másmatemática, es el lugar geométrico de los puntos talesque la suma de sus distancias a dos puntos fijos (losfocos) es constante. O, si ustedes quieren, es un círculoen escorzo (5.2).

La segunda observación de Kepler era que los planetasno se mueven alrededor del Sol a una velocidad

uniforme, sino que se mueven más deprisa cuando estánmás próximos al Sol y más despacio cuando están másalejados del Sol, precisamente de la forma siguiente:supongamos que se observa un planeta en dos instantessucesivos, digamos con un intervalo de una semana, yque se traza el radio vector[5] hasta el planeta paracada posición observada. El arco orbital recorrido porel planeta durante la semana y los dos radios vectoreslimitan una cierta área plana, el área rayada que semuestra en la figura 5.3. Si se hacen otras dosobservaciones similares con un intervalo de una semanaen una parte de la órbita más alejada del Sol (donde elplaneta se mueve más lentamente), el área acotada deeste mismo modo tiene exactamente el mismo valor queen el primer caso. Así, de acuerdo con la segunda ley,la velocidad orbital de cada planeta es tal que el radiovector «barre» áreas iguales en tiempos iguales.

5.3 Ley de las áreas de Kepler.

Finalmente, una tercera ley fue descubierta por Keplermucho más tarde; esta ley es de una categoría diferentede las otras dos, porque no trata con un solo planetasino que relaciona un planeta con otro diferente. Estaley dice que cuando se comparan los periodos orbitalesy los tamaños de las órbitas de dos planetas

cualesquiera, los periodos son proporcionales a lapotencia 3/2 del tamaño de la órbita. En este enunciadoel periodo es el tiempo que necesita un planeta pararecorrer completamente su órbita, y el tamaño se midepor la longitud del diámetro mayor de la órbita elíptica,conocido técnicamente como eje mayor. De forma mássencilla, si los planetas siguieran trayectorias circulares,que es lo que hacen aproximadamente, el tiemporequerido para recorrer el círculo sería proporcional ala potencia 3/2 del diámetro (o del radio). Así pues, lastres leyes de Kepler son:

I. Cada planeta se mueve alrededor del Sol en unaelipse, con el Sol en uno de los focos.

II. El radio vector desde el Sol al planeta barre áreasiguales en intervalos de tiempo iguales.

III. Los cuadrados de los periodos de dos planetascualesquiera son proporcionales a los cubos de lossemiejes mayores de sus respectivas órbitas: T a3/2.

Desarrollo de la dinámica

Mientras Kepler estaba descubriendo estas leyes,Galileo estaba estudiando las leyes del movimiento. Elproblema era: ¿qué hace que los planetas den vueltas?(En aquellos días, una de las teorías propuestas decíaque los planetas daban vueltas porque en su parteposterior había ángeles invisibles que batían sus alas yempujaban los planetas hacia adelante. ¡Verán ustedesque esta teoría se ha modificado ahora! Resulta quepara mantener los planetas dando vueltas, los ángelesinvisibles deben volar en una dirección diferente y notienen alas. ¡Por lo demás, es una teoría en cierto modosimilar!) Galileo descubrió un hecho muy notable acercadel movimiento que resultó esencial para comprenderdichas leyes. Se trata del principio de inercia: si algo seestá moviendo, sin que nadie lo toque y completamenteimperturbado, continuará moviéndose para siempre,

manteniendo una velocidad uniforme en línea recta.(¿Por qué sigue moviéndose? No lo sabemos, pero asíes.)

Newton modificó esta idea al decir que la única formade cambiar el movimiento de un cuerpo es aplicandouna fuerza. Si el cuerpo se acelera es que ha sidoaplicada una fuerza en la dirección del movimiento.Por otra parte, si su movimiento cambia hacia unanueva dirección, ello implica que una fuerza ha sidoaplicada transversalmente. Newton añadió así la ideade que una fuerza es necesaria para cambiar lavelocidad o la dirección del movimiento de un cuerpo.Por ejemplo, si una piedra está atada en el extremo deuna cuerda y se la hace dar vueltas en un círculo, senecesita una fuerza para mantenerla en dicho círculo.Tenemos que tirar de la cuerda. De hecho, la leyconsiste en que la aceleración producida por la fuerzaes inversamente proporcional a la masa, o que la fuerzaes proporcional a la masa multiplicada por laaceleración. Cuanto más masiva es una cosa, másintensa es la fuerza necesaria para producir una

aceleración dada. (La masa puede medirse colocandootras piedras en el extremo de la misma cuerda yhaciéndolas girar en el mismo círculo y con la mismavelocidad. De esta forma se encuentra que se requieremás o menos fuerza: cuanto más masivo es el objeto,más fuerza se requiere.) La idea brillante que resulta deestas consideraciones es que no se necesita ningunafuerza tangencial para mantener un planeta en su órbita(los ángeles no tienen que volar tangencialmente)porque el planeta seguiría en dicha dirección por símismo. Si no hubiera nada en absoluto que loperturbara, el planeta seguiría en una línea recta. Peroel movimiento real se desvía de la línea que hubieraseguido el cuerpo si no hubiera fuerza, y la desviaciónse produce esencialmente a ángulos rectos respecto almovimiento, no en la dirección del movimiento. En otraspalabras, debido al principio de inercia, la fuerzanecesaria para controlar el movimiento de un planetaalrededor del Sol no es una fuerza alrededor del Solsino hacia el Sol. (Si hay una fuerza hacia el Sol, ¡el Solpodría ser el ángel, por supuesto!)

Ley de la gravitación de Newton

Partiendo de su mejor comprensión de la teoría delmovimiento, Newton se dio cuenta de que el Sol podríaser la sede u organización de fuerzas que gobiernan elmovimiento de los planetas. Newton se demostró parasí (y quizá seremos capaces de demostrarlo pronto)que el hecho mismo de que áreas iguales son barridasen tiempos iguales es un indicador preciso de laproposición según la cual todas las desviaciones sonexactamente radiales: que la ley de las áreas es unaconsecuencia directa de la idea de que todas las fuerzasestán dirigidas exactamente hacia el Sol.

Seguidamente, analizando la tercera ley de Kepler esposible demostrar que cuanto más lejos está el planeta,más débiles son las fuerzas. Si se comparan dosplanetas a distancias diferentes del Sol, el análisismuestra que las fuerzas son inversamente

proporcionales a los cuadrados de las distanciasrespectivas. Combinando ambas leyes, Newtonconcluyó que debe haber una fuerza, inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia, dirigida a lolargo de la línea que une los dos objetos.

Siendo un hombre con una gran preferencia por lasgeneralizaciones, Newton supuso, por supuesto, queesta relación era válida para el caso más general y nosólo para el Sol que mantiene a los planetas. Era yaconocido, por ejemplo, que el planeta Júpiter tienelunas que giran a su alrededor como la Luna de laTierra gira alrededor de la Tierra, y Newton dio porcierto que cada planeta mantiene a sus lunas con unafuerza. El conocía ya la fuerza que nos mantiene sobrela Tierra, de modo que propuso que esta era una fuerzauniversal: que todas las cosas atraen a todas lasdemás.

El problema siguiente era si la atracción de la Tierrasobre sus habitantes era la «misma» que su atracciónsobre la Luna, es decir, inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia. Si un objeto en la superficiede la Tierra cae 4,9 metros durante el primer segundouna vez que ha sido liberado partiendo del reposo,¿cuánto caerá la Luna en el mismo tiempo? Podríamosdecir que la Luna no cae en absoluto. Pero si nohubiera ninguna fuerza sobre la Luna, ella seguiría enlínea recta, mientras que de hecho sigue en un círculo,de modo que realmente cae desde donde habría estadosi no hubiera ninguna fuerza. A partir del radio de laórbita de la Luna (que es de aproximadamente 384.000kilómetros) y el tiempo que necesita para dar una vueltaalrededor de la Tierra (aproximadamente 29 días)podemos calcular cuánto se mueve la Luna en su órbitaen 1 segundo, y podemos calcular entonces cuánto caeen un segundo[6]. Esta distancia resulta seraproximadamente 4/3 mm por segundo. Esto encajamuy bien con la ley de la inversa del cuadrado, porqueel radio de la Tierra es de unos 6.400 kilómetros, y sialgo que está a 6.400 kilómetros del centro de la Tierracae 4,9 metros en un segundo, algo que esté a 384.000kilómetros, o 60 veces más, caería sólo 1/3.600 de 4,9metros, que también es aproximadamente 4/3 demilímetro. Deseando poner a prueba esta teoría de la

gravitación por cálculos similares, Newton hizo suscálculos con mucho cuidado y encontró unadiscrepancia tan grande que consideró que la teoría eracontradicha por los hechos, y no publicó sus resultados.Seis años más tarde, una nueva medida del tamaño dela Tierra demostró que los astrónomos habían estadoutilizando una distancia incorrecta a la Luna. CuandoNewton oyó esto, hizo de nuevo el cálculo, con lascifras corregidas, y encajó a la perfección.

5.4 Aparato para demostrar la

independencia de los movimientos

vertical y horizontal.

Esta idea de que la Luna «cae» es algo confusa,porque, como ustedes ven, ella no se acerca. La ideaes suficientemente interesante para merecer unaexplicación adicional: la Luna cae en el sentido de quese aparta de la línea recta que hubiera seguido deno haber fuerzas. Veamos un ejemplo en la superficiede la Tierra. Un objeto liberado cerca de la superficiede la Tierra caerá 4,9 metros en el primer segundo. Unobjeto disparado horizontalmente también caerá 4,9metros; incluso si se está moviendo horizontalmente,aún cae los mismos 4,9 metros en el mismo tiempo. Lafigura 5.4 muestra un aparato que lo pone demanifiesto. En el carril horizontal hay una bola que va aser impulsada hacia adelante a una pequeña distancia.A la misma altura hay una bola que va a caerverticalmente, y hay un interruptor eléctrico dispuestode modo que en el momento en que la primera boladeja el carril, se libera la segunda bola. El hecho de quehan descendido la misma altura en el mismo tiempo

queda de manifiesto porque colisionan en el aire. Unobjeto como una bala, disparada horizontalmente,podría recorrer un largo camino en un segundo quizá700 metros-, pero seguiría cayendo 4,9 metros si estádisparada horizontalmente. ¿Qué sucede si disparamosuna bala con una velocidad cada vez mayor? Noolvidemos que la superficie de la Tierra es curva. Sidisparamos con velocidad suficiente, entonces despuésde haber caído 4,9 metros puede estar precisamente ala misma altura del suelo que estaba antes. ¿Cómopuede ser eso? Sigue cayendo, pero la Tierra se curvapor debajo de ella, de modo que cae «alrededor» de laTierra. La cuestión es: ¿cuánto tiene que recorrer en unsegundo para que la Tierra esté a 4,9 metros bajo elhorizonte?

5.5 Aceleración hacia el centro de

una trayectoria circular. De lageometría plana, x/s = (2R – S)/x= 2R/x, donde R es el radio de laTierra, 6.400 kilómetros; x es la

distancia «recorridahorizontalmente»

en un segundo; y S es la distancia«caída» en un segundo (4,9 metros).

En la figura 5.5 vemos la Tierra con su radio de 6.400kilómetros, y la trayectoria tangencial en línea recta quehubiera seguido la bala si no hubiera ninguna fuerza.Ahora bien, si utilizamos uno de esos maravillososteoremas de la geometría, que dice que nuestratangente es la media proporcional entre las dos partesen que una cuerda igual divide al diámetro, vemos quela distancia horizontal recorrida es la mediaproporcional entre los 4,9 metros (0,0049 kilómetros)caídos y los 12.800 kilómetros de diámetro de laTierra. La raíz cuadrada de 0,0049 x 12.800 está muycercana a 8 kilómetros. Entonces vemos que si la balase mueve a 8 kilómetros por segundo, continuarácayendo hacia la Tierra a la misma velocidad de 4,9metros cada segundo, pero nunca estará más cerca dela Tierra porque la Tierra sigue curvándose por debajode ella. Así es como Gagarin se mantuvo en el espaciomientras viajó 40.000 kilómetros alrededor de la Tierraa aproximadamente 8 kilómetros por segundo. (Élnecesitó un tiempo un poco mayor porque estaba unpoco más alto.)

Cualquier gran descubrimiento de una nueva ley es útilsólo si podemos sacar más de lo que hemosintroducido. Ahora bien, Newton utilizó la segunda y latercera de las leyes de Kepler para deducir su ley de lagravitación. ¿Qué es lo que él predijo? En primer lugar,su análisis del movimiento de la Luna era una predicciónporque relacionaba la caída de objetos en la superficiede la Tierra y la de la Luna. En segundo lugar, lapregunta es: ¿es la órbita una elipse? Veremos en uncapítulo posterior cómo es posible calcular exactamenteel movimiento, y de hecho podemos probar quedebería ser una elipse[7], de modo que ningún hechoextra se necesita para explicar la primera ley deKepler. Así es como Newton hizo su primerapredicción poderosa.

La ley de la gravitación explica muchos fenómenos queno se entendían antes. Por ejemplo, la atracción de laLuna sobre la Tierra provoca las mareas, hastaentonces misteriosas. La Luna atrae el agua que hay

debajo de ella y causa las mareas (había gente quehabían pensado antes en eso, pero no eran taninteligentes como Newton y por ello pensaban quedebería haber sólo una marea cada día). El argumentoera que la Luna atrae el agua que está debajo de ella,dando lugar a una marea alta y una marea baja; ypuesto que la Tierra está girando alrededor de su ejebajo la Luna, esto hace que la marea en un lugar suba ybaje cada 24 horas. En realidad, la marea sube y bajacada 12 horas. Otra escuela de pensamiento afirmabaque la marea alta debería producirse en el lado opuestode la Tierra porque, razonaban ellos, ¡la Luna atrae a laTierra apartándola del agua! Ambas teorías sonerróneas. Realmente funciona así: la atracción de laLuna hacia la Tierra y hacia el agua está «equilibrada»en el centro. Pero el agua que está más próxima a laLuna está más atraída que la media y el agua que estámás alejada de la Luna es atraída menos que la media.Además, el agua puede fluir mientras que la Tierra esmás rígida y no puede hacerlo. La imagen correcta esuna combinación de estas dos cosas.

5.6 El sistema Tierra-Luna, con

mareas.

¿Qué entendemos por «equilibrada»? ¿Qué es lo queequilibra? Si la Luna atrae a toda la Tierra hacia ella,¿por qué la Tierra no «sube» directamente hacia laLuna? Porque la Tierra hace el mismo truco que laLuna, da vueltas en un círculo alrededor de un puntoimaginario que está en el interior de la Tierra pero no ensu centro. La Luna tampoco da vueltas exactamente

alrededor de la Tierra, sino que la Tierra y la Luna giranalrededor de un punto central, cayendo cada una deellas hacia este punto común, como se muestra en lafigura 5.6. Este movimiento alrededor del centro comúnes el que equilibra la caída de cada una de ellas. Asípues, la Tierra tampoco sigue una línea recta; viaja enun círculo. El agua en el lado lejano está«desequilibrada» porque la atracción de la Luna allí esmás débil que en el centro de la Tierra, dondejustamente equilibra a la «fuerza centrífuga». Elresultado de este desequilibrio es que el agua se eleva,alejándose del centro de la Tierra. En el lado próximo ala Luna, la atracción de ésta es más fuerte, y eldesequilibrio está dirigido en dirección opuesta en elespacio, pero de nuevo alejándose del centro de laTierra. El resultado neto es que tenemos dosabultamientos de marea.

Gravitación universal

¿Qué otra cosa podemos entender cuando entendemosla gravedad? Todo el mundo sabe que la Tierra esredonda. ¿Por qué la Tierra es redonda? Es fácil; esdebido a la gravitación. Se puede entender que laTierra es redonda simplemente porque cada cosa atraea todas las demás, y así ¡tiene que atraerse a sí mismaentera todo lo que pueda! Si vamos un poco más lejos,la Tierra no es exactamente una esfera porque estágirando sobre su eje y esto produce efectos centrífugosque tienden a oponerse a la gravedad en la proximidaddel ecuador. Resulta que la Tierra debería serelipsoidal, e incluso obtenemos la forma correcta parael elipsoide. Podemos así deducir que el Sol, la Luna yla Tierra deberían ser (casi) esferas, solamente a partirde la ley de la gravitación.

¿Qué otra cosa pueden hacer ustedes con la ley de lagravitación? Si miramos las lunas de Júpiter podemosentenderlo todo sobre la forma en que se muevenalrededor del planeta. Dicho sea de paso, hubo en

tiempos una cierta dificultad con las lunas de Júpiter quevale la pena comentar. Dichos satélites fueronestudiados muy cuidadosamente por Roemer, quiennotó que las lunas parecían a veces ir adelantadasrespecto a su horario, y a veces retrasadas. (Podemoscalcular sus horarios esperando un largo tiempo ymidiendo cuánto tiempo se necesita en promedio paraque las lunas den una vuelta.) Resulta que estabanadelantadas cuando Júpiter estaba particularmentepróximo a la Tierra, y estaban retrasadas cuandoJúpiter estaba más alejado de la Tierra. Esto hubierasido algo muy difícil de explicar según la ley de lagravitación; hubiera sido, de hecho, la muerte de estamaravillosa teoría si no hubiera otra explicación. Bastaque una ley no funcione tan sólo en una situación endonde debiera hacerlo para que sea sencillamenteerrónea. Pero la razón para esta discrepancia era muysimple y bella. Se necesita un pequeño intervalo paraver las lunas de Júpiter debido al tiempo que tarda laluz en viajar desde Júpiter hasta la Tierra. CuandoJúpiter está más cerca de la Tierra el tiempo es algomenor, y cuando está más alejado de la Tierra eltiempo es mayor. Esta es la razón de que las lunas

parezcan estar, en promedio, un poco adelantadas o unpoco retrasadas, dependiendo de si están máspróximas o más alejadas de la Tierra. Este fenómenodemostró que la luz no viaja instantáneamente, yproporcionó la primera estimación de la velocidad de laluz. Esto sucedió en 1656.

5.7 Un sistema de estrella doble.

Si todos los planetas se empujan y se atraen, la fuerzaque controla, digamos, el viaje de Júpiter alrededor delSol no es solamente la fuerza del Sol; existe también

una atracción de, digamos, Saturno. Esta fuerza no esrealmente muy intensa, puesto que el Sol es mucho másmasivo que Saturno, pero existe cierta atracción, demodo que la órbita de Júpiter no debería ser una elipseperfecta, y no lo es; se aparta de ella ligeramente y«oscila» alrededor de la órbita elíptica correcta.Semejante movimiento es un poco más complicado. Sehicieron intentos de analizar los movimientos de Júpiter,Saturno y Urano basados en la ley de la gravitación. Secalcularon los efectos de cada uno de estos planetassobre cada uno de los demás para ver si podíanentenderse por completo las minúsculas desviaciones eirregularidades de dichos movimientos a partir de estasola ley. Como, por arte de magia, para Júpiter ySaturno, todo iba bien, pero Urano era «extraño». Secomportaba de una manera muy peculiar. No estabaviajando en una elipse exacta, pero eso eracomprensible debido a las atracciones de Júpiter ySaturno. Pero incluso si se tenían en cuenta dichasatracciones, Urano aún no seguía la curva correcta, demodo que las leyes de la gravitación estaban en peligrode ser desbordadas, una posibilidad que no podíadescartarse. Dos hombres, Adams y Leverrier, en

Inglaterra y Francia, llegaron independientemente a otraposibilidad: quizá hubiera otro planeta, oscuro einvisible, que los hombres no habían visto. Este planeta,N, podría atraer a Urano. Ellos calcularon dóndetendría que estar semejante planeta para provocar lasperturbaciones observadas. Enviaron mensajes a losrespectivos observatorios, diciendo: «Señores, apuntensu telescopio a tal y cual lugar, y ustedes verán unnuevo planeta». A menudo, el que se les preste o noatención depende de con quien estén ustedestrabajando. Prestaron atención a Leverrier; miraron y¡allí estaba el planeta N! El otro observatorio seapresuró en mirar también en los días siguientes ytambién lo vio.

5.8 Órbita de Sirio B con respecto

a Sirio A.

5.9 Un cúmulo globular de estrellas.

Este descubrimiento muestra que las leyes de Newtonson absolutamente correctas en el Sistema Solar; pero¿se extienden más allá de las distancias relativamentepequeñas que hay hasta los planetas más próximos? Elprimer test radica en la cuestión ¿se atraen las estrellasentre sí, igual que lo hacen los planetas? Tenemosevidencia precisa de que sí lo hacen en las estrellas

dobles. La figura 5.7 muestra una estrella doble: dosestrellas muy próximas (hay también una tercera estrellaen la imagen que nos permitirá saber que la fotografíano está invertida). Las estrellas se muestran también talcomo aparecen varios años más tarde. Vemos que, conrespecto a la estrella «fija», el eje que une el par harotado; es decir, las dos estrellas han girado cada unaalrededor de la otra. ¿Rotan de acuerdo con las leyesde Newton? Medidas cuidadosas de las posicionesrelativas de un sistema semejante de estrellas dobles semuestran en la figura 5.8. En ella vemos una bellaelipse, con medidas que empiezan en 1862 y continúanhasta 1904 (en el momento actual deben haber giradootra vuelta). Todo coincide con las leyes de Newton,excepto que la estrella Sirio A no está en el foco. ¿Aque podría deberse esto? Se debe a que el plano de laelipse no coincide con el «plano del cielo». No estamosmirando perpendicularmente a la órbita plana, y cuandouna elipse se ve con cierta inclinación sigue siendo unaelipse pero el foco ya no está en el mismo lugar. Asípues, podemos analizar estrellas dobles, moviéndoseuna alrededor de la otra, de acuerdo con los requisitosde la ley gravitatoria.

5.10. Una galaxia.

El hecho de que la ley de la gravitación es verdadera adistancias incluso mayores viene indicado en la figura5.9. Si alguien no puede ver aquí la gravitación enacción, es que no tiene alma. Esta figura muestra una delas cosas más bellas que hay en el cielo: un cúmuloglobular de estrellas. Todos los puntos son estrellas.Aunque se ven como si estuviesen sólidamenteagrupados en el centro, eso es debido a la falta de

precisión de nuestros instrumentos. En realidad, lasdistancias entre las estrellas incluso más próximas alcentro son muy grandes y muy raramente colisionan.Hay más estrellas en el interior que en la región másexterna, y a medida que nos movemos hacia afuera haycada vez menos. Es obvio que hay una atracción entreestas estrellas. Está claro que la gravitación existe aestas dimensiones enormes, quizá 100.000 vecesmayores que el tamaño del Sistema Solar. Vayamosahora más lejos, y miremos una galaxia completa,mostrada en la figura 5.10. La forma de esta galaxiaindica una tendencia obvia de su materia a aglomerarse.Por supuesto, no podemos demostrar que la ley aquísea exactamente de la inversa del cuadrado, sino sóloque sigue habiendo una atracción a estas enormesdimensiones que mantiene unido el conjunto. Unopodría decir: «Bien, todo esto es muy ingenioso, pero¿por qué no es simplemente una bola?». Porque estágirando y tiene momento angular que no puede cedercuando se contrae; debe contraerse fundamentalmenteen un plano. (Dicho sea de paso, si ustedes estánbuscando un buen problema, los detalles exactos decómo se forman los brazos y qué es lo que determina

las formas de dichas galaxias todavía no han sidocalculados.) Está claro, sin embargo, que la forma de lagalaxia se debe a la gravitación incluso si lascomplejidades de su estructura no nos han permitidoanalizarla completamente por el momento. En unagalaxia tenemos una escala de quizá 50.000 a 100.000años-luz. La distancia de la Tierra al Sol es de 8 1/3minutos-luz, así que ustedes pueden ver qué grandesson estas dimensiones.

5.11. Un cúmulo de galaxias y

5.12. Una nube de polvo

interestelar.

La gravedad parece existir a dimensiones incluso másgrandes, como se indica en la figura 5.11 que muestramuchas cosas «pequeñas» acumuladas. Se trata de uncúmulo de galaxias, similar a un cúmulo de estrellas.Así pues, las galaxias se atraen mutuamente a talesdistancias y están también agrupadas en cúmulos. Quizála gravitación exista incluso a distancias de decenas demillones de años-luz; hasta donde sabemos ahora, lagravedad parece seguir para siempre inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia.

No sólo podemos entender las nebulosas, sino que apartir de la ley de la gravitación podemos inclusohacernos alguna idea sobre el origen de las estrellas. Sitenemos una nube grande de polvo y gas, como seindica en la figura 5.12, las atracciones gravitatoriasmutuas de los fragmentos de polvo podrían hacerlesformar pequeños grumos. Apenas visibles en las figuras

hay «pequeños» puntos negros que quizá sean elcomienzo de las acumulaciones de polvo y gases que,debido a su gravitación, empiezan a formar estrellas.Aún se debate si hemos visto o no formarse una estrellaalguna vez. La figura 5.13 muestra la única pieza deconvicción que sugiere que sí lo hemos visto. A laizquierda hay una fotografía de una región de gas conalgunas estrellas en ella tomada en 1947, y a la derechahay otra fotografía, tomada sólo 7 años más tarde, quemuestra dos nuevos puntos brillantes. ¿Se haacumulado gas, ha actuado la gravedad con fuerzasuficiente y ha reunido una bola lo bastante grande paraque en su interior se inicien reacciones nuclearesestelares y la conviertan en una estrella? Quizá sí, yquizá no. Es poco razonable que en sólo 7 añostuviéramos la suerte de ver una estrella transformarse enforma visible; ¡es mucho menos probable que viéramosdos!

5.13. ¿Formación de nuevas

estrellas?

El experimento de Cavendish

5.14. Un diagrama simplificado del

aparato utilizado por Cavendish paraverificar la ley de la gravitación

universal para objetos pequeños ymedir

la constante gravitatoria G.

La gravitación, por lo tanto, se extiende sobredistancias enormes. Pero si hay una fuerza entrecualquier par de objetos, deberíamos ser capaces demedir la fuerza entre nuestros propios objetos. En lugarde tener que observar estrellas que giran una alrededorde la otra, ¿por qué no tomar una bola de plomo y unacanica y observar cómo la canica va hacia la bola deplomo? La dificultad de este experimento, cuando sehace de una forma tan simple, es la propia debilidad odelicadeza de la fuerza. Debe hacerse con extremocuidado, lo que significa cubrir el aparato paramantenerlo al abrigo del aire, estar seguros de que noestá eléctricamente cargado, y cosas parecidas;entonces puede medirse la fuerza. Fue medida porprimera vez por Cavendish con un aparato que semuestra esquemáticamente en la figura 5.14. Estomostró por primera vez la fuerza directa entre dos bolasgrandes y fijas de plomo y dos bolas más pequeñas deplomo situadas en los extremos de un brazo sustentadopor un hilo muy fino, llamado hilo de torsión. Midiendocuánto se retuerce el hilo, uno puede medir la intensidad

de la fuerza, verificar que es inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia y determinar su intensidad.Así, uno puede determinar de forma precisa elcoeficiente G en la fórmula

(5.15)

Todas las masas y distancias son conocidas. Ustedespensarán: «Ya lo conocíamos para la Tierra». Pero locierto es que no conocíamos la masa de la Tierra.Obteniendo G a partir de este experimento yconociendo con qué fuerza atrae la Tierra, ¡podemossaber indirectamente cuál es la masa de la Tierra! Esteexperimento se denominó «pesar la Tierra». Cavendishafirmó que él estaba pesando la Tierra, pero lo queestaba midiendo era el coeficiente G de la ley de lagravedad. Esta es la única manera en que puededeterminarse la masa de la Tierra. G resulta ser

(5.16)

Es difícil exagerar la importancia del efecto producidoen la historia de la ciencia por este gran éxito de lateoría de la gravitación. Comparemos la confusión, lafalta de confianza, el conocimiento incompleto queprevalecía en épocas anteriores, cuando había debatesy paradojas interminables, con la claridad y simplicidadde esta ley: este hecho según el cual hay una regla tansimple que gobierna todas las lunas, los planetas y lasestrellas; y además, ¡que el hombre pudo entenderla ydeducir cómo deberían moverse los planetas! Esta fuela razón del éxito de las ciencias en los años siguientes,pues hizo concebir esperanzas de que los otrosfenómenos del mundo podrían tener también leyes tanhermosamente simples.

¿Qué es la gravedad?

Pero ¿es esta una ley tan simple? ¿Cuál es sumecanismo? Todo lo que hemos hecho es describircómo se mueve la Tierra alrededor del Sol, pero nohemos dicho qué la hace moverse. Newton no hizohipótesis sobre esto; se contentó con encontrar quéhacía sin entrar en su mecanismo. Nadie haproporcionado desde entonces ningún mecanismo.Es característico de las leyes físicas el que tengan estecarácter abstracto. La ley de la conservación de laenergía es un teorema concerniente a magnitudes quetienen que ser calculadas y sumadas sin mención delmecanismo; y, del mismo modo, las grandes leyes de lamecánica son leyes matemáticas cuantitativas para lasque no se dispone de ningún mecanismo. ¿Por quépodemos utilizar las matemáticas para describir lanaturaleza sin un mecanismo subyacente? Nadie losabe. Tenemos que continuar porque descubrimos máscosas de ese modo.

Se han sugerido muchos mecanismos para lagravitación. Es interesante considerar uno de ellos, en elque han pensado muchas personas de cuando encuando. Al principio, uno se siente bastan te excitado yfeliz cuando lo «descubre», pero pronto comprendeque no es correcto. Fue propuesto por primera vezalrededor de 1750. Supongamos que hubiera muchaspartículas moviéndose en el espacio a gran velocidad entodas direcciones y que son sólo ligeramenteabsorbidas al atravesar la materia. Cuando sonabsorbidas por la Tierra, le comunican un impulso. Sinembargo, puesto que hay tantas marchando en unadirección como en cualquier otra, todos los impulsos secompensan. Pero cuando el Sol está próximo, laspartículas que llegan hacia la Tierra a través del Sol sonparcialmente absorbidas por éste, de modo que lleganmenos procedentes del Sol que las que llegan del ladoopuesto. Por consiguiente, la Tierra experimenta unimpulso neto hacia el Sol y no se necesita muchotiempo para ver que es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia, debido a la variación delángulo sólido que subtiende el Sol en función de la

distancia. ¿Qué está mal en este mecanismo? Implicaalgunas consecuencias nuevas que no son ciertas. Estaidea concreta presenta la siguiente dificultad. La Tierra,al moverse alrededor del Sol, sería golpeada por máspartículas procedentes del lado frontal que del ladoposterior (cuando ustedes corren bajo la lluvia, ¡la lluviaen su cara es más intensa que en la parte trasera de sucabeza!). Por consiguiente, la Tierra recibiría másimpulso desde la parte frontal, y la Tierraexperimentaría una resistencia al movimiento y seestaría frenando en su órbita. Podemos calcular eltiempo que sería necesario para que la Tierra se parasecomo consecuencia de esta resistencia y esto nos diceque no pasaría mucho tiempo antes de que la Tierra sequedase quieta en su órbita, de modo que estemecanismo no funciona. No se ha concebido nuncaningún mecanismo que «explique» la gravedad sinpredecir también algún otro fenómeno que no existe.

A continuación discutiremos la posible relación entre lagravitación y otras fuerzas. No hay ninguna explicaciónde la gravitación en términos de otras fuerzas en elmomento actual. No es una variante de la electricidad o

nada semejante a eso, de modo que no tenemosexplicación. Sin embargo, la gravitación y las otrasfuerzas son muy similares, y es interesante advertir lasanalogías. Por ejemplo, la fuerza de la electricidad entredos objetos cargados es muy semejante a la ley de lagravitación: la fuerza de la electricidad viene dada poruna constante, con signo menos, multiplicada por elproducto de las cargas, y varía de forma inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia. Está dirigidaen dirección opuesta: los iguales se repelen. Pero ¿nosigue siendo muy notable que en las dos leyes aparezcala misma función de la distancia? Quizá la gravitación yla electricidad estén relacionadas mucho másestrechamente de lo que pensamos. Se han hechomuchos intentos para unificarlas; la denominada teoríade campo unificado es sólo un intento muy elegante decombinar electricidad y gravitación; pero, al compararla gravitación y la electricidad, lo más interesante estáen las intensidades relativas de las fuerzas. Cualquierteoría que contenga a ambas debe ser capaz de deducirtambién qué intensidad tiene la gravedad.

5.17. Las intensidades relativas de

las interacciones eléctrica ygravitatoria entre dos electrones.

Si tomamos, en alguna unidad natural, la repulsión dedos electrones (la carga universal de la naturaleza)

debida a la electricidad y la atracción de dos electronesdebida a sus masas, podemos medir la razón entre larepulsión eléctrica y la atracción gravitatoria. La razónes independiente de la distancia y es una constantefundamental de la naturaleza. La razón se muestra en lafigura 5.17. El valor de la atracción gravitatoria conrespecto a la repulsión eléctrica entre dos electrones es¡1 dividido por 4,17 X 1042! La cuestión es, ¿dedónde sale un número tan grande? No es accidental,como lo es la razón del volumen de la Tierra conrespecto al volumen de una pulga. Hemos consideradodos aspectos naturales de la misma cosa, un electrón.Este número fantástico es una constante natural, demodo que implica algo profundo en la naturaleza. ¿Dedónde podría salir un número tan extraordinario?Algunos dicen que algún día encontraremos la«ecuación universal», y una de sus raíces será estenúmero. Es muy difícil encontrar una ecuación de la queun número tan fantástico sea una raíz natural. Se hanimaginado otras posibilidades; una consiste enrelacionarla con la edad del universo. Evidentemente,tenemos que encontrar otro número grande en algunaparte. Pero ¿queremos decir la edad del universo en

años? No, porque los años no son «naturales»; fueronideados por los hombres. Como ejemplo de algonatural, consideremos el tiempo que tarda la luz enatravesar un protón, 10-24 segundos. Si comparamoseste tiempo con la edad del universo, 2x1010 años, larespuesta es 10-42. Tiene aproximadamente el mismonúmero de ceros, de modo que se ha propuesto que laconstante gravitatoria está relacionada con la edad deluniverso. Si fuera así, la constante gravitatoria cambiaríacon el tiempo, porque a medida que el universo se hacemás viejo la razón entre la edad del universo y el tiempoque necesita la luz para atravesar un protón estaríaaumentando poco a poco. ¿Es posible que la constantegravitatoria esté cambiando con el tiempo? Porsupuesto, los cambios serían tan pequeños que esbastante difícil estar seguros.

Un test que podemos imaginar para ello consiste endeterminar cuál habría sido el efecto del cambio durantelos últimos 109 años, que es aproximadamente eltiempo transcurrido desde la aparición de las formas de

vida más primitivas en la Tierra hasta ahora, un intervaloequivalente a una décima parte de la edad del universo.Durante este tiempo la constante gravitatoria habríaaumentado aproximadamente en un 10 por 100.Resulta que si consideramos la estructura del Sol elbalance entre el peso de su material y el ritmo al que segenera energía radiante en su interior-, podemosdeducir que, si la gravedad fuera un 10 por 100 másintensa, el Sol sería mucho más que un 10 por 100 másbrillante: ¡el brillo iría como la sexta potencia de laconstante gravitatoria! Si calculamos lo que le sucede ala órbita de la Tierra cuando la gravedad estácambiando, encontramos que la Tierra habría estadoentonces más cerca. En conjunto, la Tierra estaríaaproximadamente 100 °C más caliente, y el agua nohabría estado en el mar sino en forma de vapor en elaire, de modo que la vida no habría comenzado en elmar: Por esta razón no creemos ahora que la constantede la gravedad esté cambiando con la edad deluniverso. Pero argumentos tales como el que acabamosde dar no son muy concluyentes, y el tema no estácompletamente cerrado.

Es un hecho que la fuerza de la gravitación esproporcional a la masa, la magnitud que esfundamentalmente una medida de la inercia, de concuánta fuerza hay que sujetar algo que está dandovueltas en un círculo. Por consiguiente, dos objetos,uno pesado y uno ligero, que giran alrededor de unobjeto más grande debido a la gravedad, describiendoun mismo círculo y a la misma velocidad, permaneceránjuntos porque para ir en un círculo se requiere unafuerza que es más intensa cuanto más grande es lamasa. Es decir, la gravedad es más intensa para unamasa dada en la proporción exacta para que los dosobjetos sigan dando vueltas juntos. Si un objetoestuviera dentro del otro seguiría estando dentro. Es unbalance perfecto. Por lo tanto, Gagarin o Titovencontrarían las cosas «ingrávidas» dentro de una naveespacial; si ellos soltasen un trozo de tiza, por ejemplo,éste seguiría dando vueltas a la Tierra exactamente dela misma forma que la nave espacial entera, y por lotanto parecería estar suspendido ante ellos en elespacio. Es muy interesante que esta fuerza seaexactamente proporcional a la masa con granprecisión, porque si no fuera exactamente proporcional

habría algún efecto en el que la inercia y el pesodiferirían. La ausencia de un efecto semejante ha sidoverificada con gran precisión mediante experimentoshechos por primera vez por Eötvös en 1909 y másrecientemente por Dicke. Para todas las sustanciasensayadas, las masas y los pesos son exactamenteproporcionales dentro de un margen de 1 parte en1.000 millones, o menos. Este es un experimentonotable.

Gravedad y relatividad

Otro tema que merece discusión es la modificación deEinstein a la ley de la gravitación de Newton. A pesarde toda la excitación que creó, ¡la ley de la gravitaciónde Newton no es correcta! Fue modificada por Einsteinpara tener en cuenta la teoría de la relatividad. SegúnNewton, el efecto gravitatorio es instantáneo, es decir,

si moviéramos una masa, experimentaríamos de golpeuna nueva fuerza debido a la nueva posición de dichamasa; por medios semejantes podríamos enviar señalesa velocidad infinita. Einstein presentó argumentos quesugieren que no podemos enviar señales más rápidasque la velocidad de la luz, de modo que la ley de lagravitación debe ser errónea. Corrigiéndola para teneren cuenta los retrasos, tenemos una nueva ley, llamadaley de la gravitación de Einstein. Una característica deesta nueva ley que es bastante fácil de entender es lasiguiente: en la teoría de la relatividad de Einstein,cualquier cosa que tenga energía tiene masa; masa enel sentido de que es atraída gravitatoriamente. Incluso laluz, que tiene una energía, tiene una «masa». Cuando unhaz de luz, que tiene energía, pasa cerca del Sol hayuna atracción sobre él por parte del Sol. Así pues, la luzno sigue en línea recta, sino que es desviada. Duranteun eclipse de Sol, por ejemplo, las estrellas que se vencerca del Sol aparecerán desplazadas del lugar dondese verían si el Sol no estuviera allí, y esto ha sidoobservado.

Para terminar, comparemos la gravitación con otrasteorías. En años recientes hemos descubierto que todala masa está hecha de partículas minúsculas y queexisten varios tipos de interacciones, tales como fuerzasnucleares, etc. Todavía no se ha encontrado ninguna deestas fuerzas nucleares o eléctricas que explique lagravitación. Los aspectos mecanocuánticos de lanaturaleza no han sido todavía trasladados a lagravitación. Cuando la escala es tan pequeña quenecesitamos los efectos cuánticos, los efectosgravitatorios son tan débiles que la necesidad de unateoría cuántica de la gravitación no se ha desarrolladotodavía. Por otra parte, para la consistencia de nuestrasteorías físicas sería importante ver si la ley de Newtonmodificada en la ley de Einstein puede ser modificadaposteriormente para ser consistente con el principio deincertidumbre. Esta última modificación no ha sidotodavía completada.

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Comportamiento cuántico

Mecánica atómica

En los últimos capítulos hemos discutido las ideasesenciales necesarias para una comprensión de lamayoría de los fenómenos luminosos importantes, o dela radiación electromagnética en general. (Hemosdejado unos pocos temas especiales para el próximoaño. Concretamente, la teoría del índice de refracciónde los materiales densos y la reflexión total interna.) Loque hemos tratado se denomina «teoría clásica» de lasondas eléctricas, que resulta ser una descripción muyadecuada de la naturaleza para muchos efectos. Nohemos tenido que preocuparnos todavía por el hechode que la energía luminosa se da en porciones o«fotones».

Como nuestro siguiente tema, nos gustaría abordar elproblema del comportamiento de pedazos de materiarelativamente grandes: sus propiedades mecánicas ytérmicas, por ejemplo. Al discutir éstas, encontraremosque la teoría «clásica» (o más antigua) falla casi deinmediato, porque la materia está hecha realmente departículas de tamaño atómico. Seguiremos tratandosólo con la parte clásica, porque esa es la única parteque podemos entender utilizando la mecánica clásicaque hemos estado aprendiendo. Pero no tendremosmucho éxito. Veremos que en el caso de la materia, adiferencia del caso de la luz, nos encontraremos endificultades relativamente pronto. Podríamos, porsupuesto, prescindir sistemáticamente de los efectosatómicos, pero en lugar de ello insertaremos aquí unapequeña digresión en la que describiremos las ideasbásicas de las propiedades cuánticas de la materia, esdecir, las ideas cuánticas de la física atómica, de modoque ustedes podrán hacerse una idea de lo que estamosomitiendo. Pues, en efecto, tendremos que dejar fueraalgunos temas importantes aunque inevitablemente nosacerquemos a ellos.

Así pues, daremos ahora una introducción al tema dela mecánica cuántica, pero no seremos realmentecapaces de profundizar en el tema hasta mucho mástarde.

La «mecánica cuántica» es la descripción delcomportamiento de la materia en todos sus detalles y,en particular, de lo que sucede a escala atómica. Lascosas a una escala muy pequeña no se comportancomo nada de lo que ustedes tengan experienciadirecta. No se comportan como ondas, no secomportan como partículas, no se comportan comonubes, o como bolas de billar, o como pesos colgadosde muelles, o como nada que ustedes hayan vistoalguna vez.

Newton pensaba que la luz estaba hecha de partículas,pero luego se descubrió, como hemos visto aquí, quese comporta como una onda. Sin embargo,posteriormente (a comienzos del siglo XX) se encontróque la luz sí se comportaba a veces como una partícula.En épocas pasadas se pensaba que el electrón, porejemplo, se comportaba como una partícula, y luego se

encontró que en muchos aspectos se comportaba comouna onda. Así que realmente no se comporta comoninguna de las dos cosas. Ahora hemos cedido.Decimos: «No es ni una cosa ni otra».

Hay, no obstante, una feliz circunstancia: los electronesse comportan exactamente igual que la luz. Elcomportamiento cuántico de los objetos atómicos(electrones, protones, neutrones, fotones y demás) es elmismo para todos; todos son «partículas-ondas», ocomo quiera que ustedes prefieran llamarlos. Así que loque aprendamos sobre las propiedades de loselectrones (que utilizaremos como ejemplos) se aplicarátambién a todas las «partículas», incluyendo los fotonesde la luz.

La acumulación gradual de información sobre elcomportamiento atómico y a pequeña escala durante elprimer cuarto de este siglo, que proporcionó algunosindicios sobre el comportamiento de las cosaspequeñas, produjo una confusión cada vez mayor quefue resuelta finalmente en 1926 y 1927 porSchrödinger, Heisenberg y Born. Estos obtuvieron

finalmente una descripción consistente delcomportamiento de la materia a pequeña escala.Abordaremos las principales características de estadescripción en este capítulo.

Puesto que el comportamiento atómico es tan diferentede la experiencia ordinaria, resulta muy difícilacostumbrarse a él y se presenta como algo peculiar ymisterioso para todos, tanto para el novato como parael físico avezado. Ni siquiera los expertos lo entiendentan bien como quisieran, y es perfectamente razonableque no lo hagan porque toda la experiencia y laintuición humana directa se aplican a objetos grandes.Sabemos cómo actuarán los objetos grandes, pero lascosas a pequeña escala no actúan de ese modo. Asíque tenemos que aprender acerca de ellas de maneraabstracta o imaginativa y no mediante una conexión connuestra experiencia directa.

En este capítulo nos encontraremos inmediatamente conel elemento básico del misterioso comportamiento en suforma más extraña. Decidimos examinar un fenómenoque es imposible, absolutamente imposible, de

explicar de cualquier forma clásica, y que contiene elcorazón de la mecánica cuántica. En realidad, contieneel único misterio. No podemos explicar el misterio en elsentido de «explicar» cómo funciona. Les contaremoscómo funciona. Para contarles cómo funcionatendremos que hablarles de las peculiaridades básicasde toda la mecánica cuántica.

Un experimento con balas

Para tratar de entender el comportamiento cuántico delos electrones, compararemos y contrastaremos sucomportamiento, en un montaje experimental concreto,con el comportamiento más familiar de partículas talescomo balas y con el comportamiento de ondas talescomo las ondas de agua. Consideremos primero elcomportamiento de las balas en el montaje experimentalmostrado esquemáticamente en la figura 6.1. Tenemos

una ametralladora que dispara un chorro de balas. Noes una ametralladora muy buena, pues las balas sedispersan (aleatoriamente) sobre una extensión angularbastante grande, tal como se indica en la figura. Frentea la ametralladora tenemos una pared (constituida poruna lámina acorazada) que tiene dos agujeros deltamaño suficiente para permitir el paso de una bala.Detrás de la pared hay una pantalla (digamos una paredgruesa de madera) que «absorberá» las balas cuandoincidan en ella. Delante de la pantalla tenemos un objetoque llamaremos un «detector» de balas. Podría ser unacaja que contenga arena. Cualquier bala que entre en eldetector quedara frenada y almacenada. Cuando lodeseemos, podemos vaciar la caja y contar el númerode balas que han sido recogidas. El detector puedemoverse de un lado a otro (en lo que denominaremos ladirección x).

6.1 Experimento de interferencia con

balas.

Con este aparato podemos encontrarexperimentalmente la respuesta a la pregunta: «¿Cuál esla probabilidad de que una bala que pasa a través delos agujeros de la pared llegue a un punto de la pantallasituado a una distancia x del centro?». En primer lugar,ustedes deben darse cuenta de que tenemos que hablarde probabilidad, porque no podemos decir

categóricamente dónde irá a parar cada bala concreta.Una bala que incida por casualidad en uno de losagujeros puede rebotar en los bordes del mismo yterminar en cualquier parte. Por «probabilidad»entendemos las posibilidades de que la bala llegue aldetector, que podemos medir contando el número debalas que llegan al detector en un intervalo de tiempodado y tomando luego el cociente entre este número yel número total de balas que inciden en la pantalladurante este tiempo. O, si suponemos que laametralladora dispara siempre al mismo ritmo durantelas medidas, la probabilidad que buscamos essimplemente proporcional al número de balas que lleganal detector en un intervalo de tiempo estándar.

Para nuestros propósitos actuales nos gustaría imaginarun experimento algo idealizado en el que las balas noson balas reales, sino que son balas indestructibles,que no pueden partirse en dos. En nuestro experimentoencontramos que las balas siempre llegan en porciones,y cuando encontramos algo en el detector, se tratasiempre de una bala entera. Si el ritmo al que dispara la

ametralladora se hace muy lento, encontramos que encualquier instante dado o bien no llega nada o bien llegauna y sólo una exactamente una bala a la pantalla.Además, el tamaño de la porción no depende del ritmode disparo de la ametralladora. Diremos: «Las balasllegan siempre en porciones idénticas». Lo quemedimos con nuestro detector es la probabilidad dellegada de una porción. Y medimos la probabilidadcomo una función de x. El resultado de tales medidascon este aparato (aún no hemos hecho el experimento,de modo que en realidad estamos imaginando elresultado) se representa en la gráfica dibujada en laparte (c) de la figura 6.1. En la gráfica representamos laprobabilidad hacia la derecha y x en vertical, de modoque la escala x se ajusta al diagrama del aparato.Llamaremos a esta probabilidad P12 porque las balaspueden haber atravesado el agujero 1 o el agujero 2.Ustedes no se sorprenderán de que P12 sea alta cercadel centro de la gráfica y se haga pequeña si x es muygrande. Ustedes pueden preguntarse, sin embargo, porqué P12 tiene su valor máximo en x = 0. Podemosentender este hecho si repetimos nuestro experimento

después de tapar el agujero 2 y lo volvemos a repetirmientras está tapado el agujero 1. Cuando el agujero 2está tapado, las balas sólo pueden pasar a través delagujero 1, y obtenemos la curva marcada P1 en la parte(b) de la figura. Como ustedes esperarían, el máximode P1 ocurre en el valor de x que está alineado con laametralladora y el agujero 1. Cuando el agujero 1 estácerrado, obtenemos la curva simétrica P2 dibujada en lafigura. P2 es la distribución de probabilidad para lasbalas que pasan a través del agujero 2. Comparandolas partes (b) y (c) de la figura 6.1, encontramos elimportante resultado de que

P12= P1+ P2 (6.2)

Las probabilidades simplemente se suman. El efectocuando ambos agujeros están abiertos es la suma de losefectos con cada agujero abierto por separado.Llamaremos a este resultado una observación de«ausencia de interferencia», por una razón que veránmás adelante. Hasta aquí lo relativo a las balas. Ellasllegan en porciones, y su probabilidad de llegada no

muestra interferencia.

Un experimento con ondas

Ahora queremos considerar un experimento con ondasde agua. El aparato se muestra esquemáticamente en lafigura 6.3. Tenemos una cubeta profunda de agua. Unpequeño objeto etiquetado como «fuente de ondas»oscila verticalmente movido por un motor y produceondas circulares. A la derecha de la fuente tenemos denuevo una pared con dos agujeros, y más allá de ellahay una segunda pared que, para simplificar las cosas,es un «absorbente», de modo que no hay reflexión delas ondas que llegan a ella. Puede hacerse construyendouna «playa» de arena en pendiente. Delante de la playacolocamos un detector que puede moverse de un ladoa otro en la dirección x, como antes. El detector esahora un dispositivo que mide la «intensidad» del

movimiento del agua. Ustedes pueden imaginar unaparato que mida la altura del movimiento del aguapero cuya escala esté calibrada en proporción alcuadrado de la altura real, de modo que la lectura seaproporcional a la intensidad de la onda. Nuestrodetector lee entonces en proporción a la energíatransportada por la onda; o más bien, al ritmo al que laenergía es transportada al detector.

Lo primero que hay que notar, con nuestro aparato deondas, es que la intensidad puede tener cualquiervalor. Si el movimiento de la fuente es muy pequeño,entonces hay solamente un movimiento muy pequeñode ondas en el detector. Cuando hay más movimientoen la fuente, hay más intensidad en el detector. Laintensidad de la onda puede tener cualquier valor. Nodiríamos que haya «saltos» en la intensidad de la onda.

6.3 Experimento de interferencia con

ondas de agua.

Midamos ahora la intensidad de la onda para variosvalores de x (manteniendo siempre igual la actividad dela fuente de ondas). Obtenemos la interesante curvamarcada I12 en la parte (c) de la figura.

Ya hemos calculado cómo pueden surgir tales figuras

cuando estudiamos la interferencia de las ondaseléctricas. En este caso observaríamos que la ondaoriginal se difracta en los agujeros, y nuevas ondascirculares se dispersan a partir de cada agujero. Sitapamos un agujero cada vez y medimos la distribuciónde intensidades en el absorbente encontraremos lascurvas de intensidad bastante simples mostradas en laparte (b) de la figura. I1 es la intensidad de la ondaprocedente del agujero 1 (la que encontramos midiendocuando el agujero 2 está bloqueado) e I12 es laintensidad de la onda procedente del agujero 2 (vistacuando el agujero 1 está bloqueado).

La intensidad I12 observada cuando ambos agujerosestán abiertos no es ciertamente la suma de I1 e I2.Decimos que hay «interferencia» de las dos ondas. Enalgunos lugares (donde la curva I12 tiene sus máximos)las ondas están «en fase» y los picos de las ondas sesuman para dar una gran amplitud y, por consiguiente,una gran intensidad. Decimos que las dos ondas están«interfiriendo constructivamente» en tales lugares.Habrá tal interferencia constructiva donde quiera que la

distancia desde el detector a un agujero sea un númeroentero de longitudes de onda mayor (o menor) que ladistancia desde el detector al otro agujero.

En aquellos lugares donde las dos ondas llegan aldetector con una diferencia de fase de (donde están en«oposición de fase») el movimiento ondulatorioresultante en el detector será la diferencia de las dosamplitudes. Las ondas «interfieren destructivamente» yobtenemos un valor pequeño para la intensidad de laonda. Esperamos estos valores pequeños donde quieraque la distancia entre el agujero 1 y el detector difierende la distancia entre el agujero 2 y el detector en unnúmero impar de semilongitudes de onda. Los bajosvalores de I12 en la figura 6.3 corresponden a loslugares donde las dos ondas interfierendestructivamente.

Recordarán ustedes que la relación cuantitativa entre I1,I2 e I12 puede expresarse de la siguiente forma: la alturainstantánea de la onda de agua en el detector para laonda procedente del agujero 1 puede escribirse como

(la parte real de) 1eiwt, donde la «amplitud» 1 es, engeneral, un número complejo. La intensidad esproporcional a la altura media al cuadrado o, cuandoutilizamos los números complejos, a |1|2. Análogamente,para el agujero 2 la altura es 2eiwt y la intensidad esproporcional a |2|2. Y cuando ambos agujeros estánabiertos, las alturas de las ondas se suman para dar laaltura (1+2)eiwt y la intensidad |1+2|2. Omitiendo laconstante de proporcionalidad para nuestro propósitoactual, las relaciones adecuadas para las ondas queinterfieren son

I1 = |1|2, I2 = |2|2, I12 = |1+2|2 (6.4)

Notarán ustedes que el resultado es completamentediferente del que se obtenía con balas (6.2). Sidesarrollamos |1+2| vemos que

|1+2|2 = |1|2 + |2|2 + 2 |1| |2| cos (6.5)

donde es la diferencia de fases entre 1 y 2. En términosde intensidades escribiríamos

I12 = I1 + I2 + 2 (I1I2)1/2 cos (6.6)

El último término en (6.6) es el «término deinterferencia». Hasta aquí lo relativo a las ondas deagua. La intensidad puede tener cualquier valor, ymuestra interferencia.

Un experimento con electrones

Imaginemos ahora un experimento similar conelectrones. Se muestra esquemáticamente en la figura6.7. Tenemos un cañón de electrones que consiste enun filamento de tungsteno calentado mediante unacorriente eléctrica y rodeado por una caja metálica conun agujero. Si el filamento está a un voltaje negativo con

respecto a la caja, los electrones emitidos por elfilamento serán acelerados hacia las paredes y algunospasarán a través del agujero. Todos los electrones quesalgan del cañón tendrán (aproximadamente) la mismaenergía. Frente al cañón hay de nuevo una pared(simplemente una placa metálica delgada) con dosagujeros. Detrás de la pared hay otra placa que serviráde «pantalla». Delante de la pantalla colocamos undetector móvil. El detector podría ser un contadorgeiger o, quizá mejor, un multiplicador electrónico, queestá conectado a un altavoz.

6.7 Experimento de interferencia con

electrones.

Habría que decir antes de seguir que ustedes nodeberían tratar de montar este experimento (comopodrían haber hecho con los dos que ya hemosdescrito). Este experimento nunca ha sido realizadoexactamente así. La dificultad está en que el aparatotendría que construirse a una escala imposiblementepequeña para mostrar los efectos en los que estamosinteresados. Estamos realizando un «experimentomental», que hemos escogido porque es fácil deimaginar. Sabemos los resultados que se obtendríanporque se han realizado muchos experimentos en losque la escala y las proporciones han sido escogidaspara mostrar los efectos que vamos a describir.

Lo primero que notamos con nuestro experimento conelectrones es que oímos «clicks» agudos procedentes

del detector (esto es, del altavoz). Y todos los «clicks»son iguales. No hay «medios clicks».

Deberíamos notar también que los «clicks» se producende forma muy errática. Algo parecido a: click… clickclick… click… click… click click… click…, etc.,como, sin duda, ustedes habrán oído en un contadorgeiger en acción. Si contamos los clicks que llegandurante un intervalo de tiempo suficientemente largodigamos muchos minutos y luego los contamos denuevo durante otro periodo de tiempo igual,encontramos que los dos números sonaproximadamente iguales. De este modo podemoshablar del ritmo promedio al que se oyen los clicks(tantos y tantos clicks por minuto en promedio).

Cuando desplazamos el detector, el ritmo con el queaparecen los clicks se hace más rápido o más lento,pero el tamaño (el ruido) de cada click es siempre elmismo. Si bajamos la temperatura del filamento en elcañón, el ritmo de clicks disminuye, pero cada clicksigue sonando igual. Tendríamos que notar también quesi colocamos dos detectores separados en la pantalla,

uno u otro hará click, pero nunca los dos a la vez.(Salvo que, de cuando en cuando, si hubiera dos clicksmuy próximos en el tiempo, nuestro oído quizá nonotase la separación.) Concluimos, por consiguiente,que sea lo que sea lo que llega a la pantalla lo hace en«porciones». Todas las «porciones» son del mismotamaño: sólo llegan «porciones» enteras, y llegan a lapantalla de una en una. Diremos: «Los electrones llegansiempre en porciones idénticas».

Podemos proceder ahora de la misma forma quehicimos en nuestro experimento con balas paraencontrar experimentalmente la respuesta a la pregunta:«¿Cuáles son las probabilidades relativas de que una«porción» electrónica llegue a la pantalla a diferentesdistancias x del centro?». Como antes, obtenemos laprobabilidad relativa observando el ritmo de clicksmientras se mantiene constante la actividad del cañón.La probabilidad de que llegue una porción a un xconcreto es proporcional al ritmo promedio de clicksen dicho x.

El resultado de nuestro experimento es la interesante

curva señalada P12 en la parte (c) de la figura 6.7. ¡Sí!Así es como funcionan los electrones.

La interferencia de las ondas

electrónicas

Tratemos ahora de analizar la curva de la figura 6.7para ver si podemos entender el comportamiento de loselectrones. Lo primero que tendríamos que decir esque, puesto que llegan en porciones, cada porción, quepodemos llamar un electrón, ha atravesado o bien elagujero 1 o bien el agujero 2. Escribamos esto enforma de una «Proposición»:

Proposición A: cada electrón y atraviesa el agujero 1 oatraviesa el agujero 2. (6.8)

Aceptando la Proposición A, todos los electrones quellegan a la pantalla pueden dividirse en dos clases: 1) losque han atravesado el agujero 1, y 2) los que hanatravesado el agujero 2. Nuestra curva observada debeser entonces la suma de los efectos de los electronesque atraviesan el agujero 1 y los electrones queatraviesan el agujero 2. Comprobemos esta ideamediante el experimento.

En primer lugar, haremos una medida para loselectrones que atraviesan el agujero 1. Bloqueamos elagujero 2 y hacemos nuestro recuento de clicks deldetector. A partir del ritmo de recuento, obtenemos P1.El resultado de la medida se muestra en la curvaseñalada P1 en la parte (b) de la figura 6.7. El resultadoparece bastante razonable. De modo análogo medimosP2, la distribución de probabilidad para los electronesque atraviesan el agujero 2. El resultado de esta medidase muestra también en la figura.

Es evidente que el resultado P12 obtenido con ambosagujeros abiertos no es la suma de P1 y P2, las

probabilidades para cada agujero por separado. Poranalogía con nuestro experimento con ondas de agua,decimos: «Hay interferencia».

Para electrones: P12: P1 + P2 (6.9)

¿Cómo puede producirse una interferencia semejante?Quizá deberíamos decir: «Bien, esto significa,presumiblemente, que no es verdad que las porcionesatraviesen el agujero 1 o el agujero 2, porque, si asífuera, las probabilidades deberían sumarse. Quizásiguen un camino más complicado. Se dividen por lamitad y…». Pero ¡no! No pueden, llegan siempre enporciones… «Bien, quizá algunos de ellos pasan através de 1, y luego vuelven a pasar a través de 2, yluego vuelven algunas veces más, o por algún otrocamino complicado… entonces, al cerrar el agujero 2cambiamos las posibilidades de que un electrón queempezó atravesando el agujero 1 llegue finalmente a lapantalla…» ¡Pero, un momento! Hay algunos puntos alos que llegan muy pocos electrones cuando ambosagujeros están abiertos, pero que reciben muchoselectrones si cerramos un agujero, así que cerrar un

agujero aumenta el número de electrones procedentesdel otro. Nótese, sin embargo, que en el centro de lafigura P12 es más del doble de la suma P1 + P2. Escomo si cerrar un agujero disminuyese el número deelectrones que atraviesan el otro agujero. Parece difícilexplicar ambos efectos proponiendo que los electronesviajan por caminos complicados.

Todo esto es bastante misterioso. Y cuanto más lomiren, más misterioso parece. Se han propuestomuchas ideas para tratar de explicar la curva P12 entérminos de electrones individuales que siguen víascomplicadas a través de los agujeros. Ninguna de ellasha tenido éxito. Ninguna de ellas puede dar la curvacorrecta para P12 en términos de P1 y P2.

Pero, de forma bastante sorprendente, lasmatemáticas que relacionan P1 y P2 con P12 sonextraordinariamente sencillas. En efecto, P12 esexactamente igual que la curva I12 de la figura 6.3, yésta era sencilla. Lo que está pasando en la pantallapuede describirse mediante dos números complejos

que podemos llamar ø1 y ø2 (son funciones de x, porsupuesto). El cuadrado del valor absoluto de ø1 da elefecto cuando sólo el agujero 1 está abierto. Es decir,P1 = |ø1|2. El efecto cuando sólo el agujero 2 estáabierto viene dado por ø2 de la misma forma. Es decir,P2 = |ø2|2. Y el efecto combinado de los dos agujeroses simplemente P12 = |ø1+ ø2|2. ¡Las matemáticas sonlas mismas que teníamos para las ondas de agua! (Esdifícil ver cómo se podría obtener un resultado tansencillo a partir de un juego complicado de electronesque van y vienen a través de la placa siguiendo algunatrayectoria extraña.)

Concluimos lo siguiente: los electrones llegan enporciones, como partículas, y la probabilidad de lallegada de estas porciones se distribuye como ladistribución de la intensidad de una onda. En estesentido es en el que decimos que un electrón secomporta «a veces como partícula y a veces comoonda».

Dicho sea de paso, cuando estábamos tratando conondas clásicas definíamos la intensidad como la mediatemporal del cuadrado de la amplitud de la onda, yutilizábamos números complejos como un trucomatemático para simplificar el análisis. Pero enmecánica cuántica resulta que las amplitudes debenrepresentarse con números complejos. Las partesreales solas no bastan. Este es un punto técnico, por elmomento, porque las fórmulas parecen exactamenteIguales.

Puesto que la probabilidad de llegada a través deambos agujeros viene dada de una forma tan simple,aunque no sea igual a (P1+P2), esto es realmente todolo que hay que decir. Pero hay muchas sutilezasimplicadas en el hecho de que la naturaleza funcione deeste modo. Quisiéramos ahora ilustrar para ustedesalgunas de estas sutilezas. En primer lugar, puesto queel número que llega a un punto concreto no es igual alnúmero que llega a través de 1 más el número que llegaa través de 2, tal como hubiéramos concluido a partirde la proposición A, indudablemente deberíamosconcluir que la Proposición A es falsa. No es verdad

que los electrones pasen o bien a través del agujero 1 obien a través del agujero 2. Pero esta conclusión puedeser verificada con otro experimento.

Observando los electrones

Intentaremos ahora el siguiente experimento. A nuestroaparato de electrones le añadiremos una fuente lumínicamuy intensa, colocada detrás de la pared y entre losdos agujeros, como se muestra en la figura 6.10.Sabemos que las cargas eléctricas dispersan la luz. Así,cada vez que pase un electrón, e independientementede por dónde pase, en su camino hacia el detectordispersará luz hacia nuestros ojos y podremos verdónde está el electrón. Si, por ejemplo, un electrónfuera a tomar el camino a través del agujero 2 que estáindicado en la figura 6.10, deberíamos ver un destelloluminoso procedente de la vecindad del lugar señalado

en la figura. Si un electrón atraviesa el agujero 1esperaríamos ver un destello en la vecindad del agujerosuperior. Si se diera el caso de recibir luz de amboslugares al mismo tiempo, porque el electrón se dividepor la mitad… ¡Hagamos simplemente el experimento!

6.10 Un experimento diferente con

electrones.

Esto es lo que vemos: cada vez que oímos un «click»procedente de nuestro detector electrónico (en lapantalla), vemos también un destello luminoso o biencerca del agujero 1 o bien cerca del agujero 2, ¡peronunca ambos al mismo tiempo! Y observamos elmismo resultado sea cual sea la posición del detector.A partir de esta observación concluimos que, cuandomiramos los electrones, encontramos que ellosatraviesan un agujero o el otro. Experimentalmente, laProposición A es necesariamente verdadera.

¿Qué es entonces lo que está mal en nuestro argumentoen contra de la Proposición A? ¿Por qué P12 no esexactamente igual a P1 + P2? ¡Volvamos alexperimento! Sigamos la pista de los electrones ydescubramos qué están haciendo. Para cada posición(localización x) del detector contaremos los electronesque llegan y también tomaremos nota de qué agujeroatraviesan, observando los destellos. Podemos tomarnota de las cosas del modo siguiente: cada vez queoigamos un «click» anotaremos un punto en la columna1 si vemos el destello cerca del agujero 1, y si vemos el

destello cerca del agujero 2, anotaremos un punto en lacolumna 2. Cada electrón que llega queda registrado enuna de las dos categorías: aquellos que atraviesan 1 yaquellos que atraviesan 2. A partir del númeroregistrado en la columna 1 obtenemos la probabilidadP’1 de que un electrón llegue al detector vía el agujero1; y a partir del número registrado en la columna 2obtenemos P’2, la probabilidad de que un electrónllegue al detector vía el agujero 2. Si ahora repetimostales medidas para muchos valores de x, obtenemos lascurvas para P’1 y P’2 mostradas en la parte (b) de lafigura 6.10.

Bien, ¡esto no es demasiado sorprendente! Obtenemospara P’1 algo bastante similar a lo que obtuvimos antespara P1 al bloquear el agujero 2; y P’2 es similar a loque obtuvimos al bloquear el agujero 1. Así pues, nohay ningún asunto complicado como pudiera ser el pasoa través de ambos agujeros. Cuando los observamos,los electrones los atraviesan simplemente comoesperaríamos que los atravesasen. Ya estén losagujeros abiertos o cerrados, aquellos electrones que

vemos pasar a través del agujero 1 se distribuyen de lamisma forma independientemente de que el agujero 2esté abierto o cerrado.

¡Pero esperen! ¿Qué tenemos ahora para laprobabilidad total, la probabilidad de que un electrónllegue al detector por cualquier camino? Ya tenemosesa información. Simplemente hagamos como si nohubiéramos mirado los destellos luminosos yacumulemos los clicks del detector que hemosseparado en las dos columnas. Tan sólo debemossumar los números. Para la probabilidad de que unelectrón llegue a la pantalla atravesando un agujero uotro encontramos P’12 = P1 + P2. Es decir, aunquetuvimos éxito en observar por qué agujero pasó elelectrón, ya no obtenemos la antigua curva deinterferencia P12, sino una nueva, P’12, ¡que ahora nomuestra interferencia! Si desconectamos la luz,recuperamos P12.

Debemos concluir que cuando miramos loselectrones la distribución de los mismos en la pantalla

es diferente de cuando no los miramos. ¿Quizá es elencendido de nuestra fuente luminosa lo que perturbalas cosas? Probablemente los electrones son muydelicados, y la luz, cuando es dispersada por loselectrones, les da un empujón que cambia sumovimiento. Sabemos que el campo eléctrico de la luzactuando sobre una carga ejercerá una fuerza sobreella. Quizá deberíamos esperar por ello que elmovimiento sea alterado. En cualquier caso, la luzejerce una gran influencia sobre los electrones. Al tratarde «observar» los electrones hemos alterado susmovimientos. Es decir, el empujón dado a un electróncuando el fotón es dispersado por él es tal que altera elmovimiento del electrón lo suficiente para que, sihubiera podido ir allí donde P12 tenía un máximo, en sulugar aterrizará donde P12 tenía un mínimo; por esto espor lo que ya no vemos los efectos de interferenciaondulatoria.

Quizá ustedes estén pensando: «¡No utilicemos unafuente tan brillante! ¡Reduzcamos la intensidad! Lasondas luminosas serán entonces más débiles y noperturbarán tanto a los electrones. Seguramente al

hacer la luz cada vez más tenue llegará a ser finalmentesuficientemente débil para tener un efectodespreciable». Muy bien. Intentémoslo. Lo primero queobservamos es que los destellos luminosos dispersadospor el paso de los electrones no se hacen más débiles.Los destellos tienen siempre el mismo tamaño. Loúnico que sucede cuando la luz se hace más tenue esque a veces oímos un «click» procedente del detectorpero no vemos ningún destello en absoluto. Elelectrón ha pasado sin ser «visto». Lo que estamosobservando es que la luz actúa también como loselectrones; sabíamos que era «ondulada», pero ahoraencontramos también que viene «en porciones».Siempre llega o es dispersada en porciones quellamamos «fotones». Cuando disminuimos la intensidadde la fuente lumínica no cambiamos el tamaño de losfotones, sino sólo el ritmo al que son emitidos. Estoexplica por qué, cuando nuestra fuente es tenue,algunos electrones pasan sin ser vistos. Resulta que nohabía ningún fotón presente en el instante en que elelectrón atravesó el agujero.

Todo esto es algo descorazonador. Si es cierto que

cada vez que «vemos» el electrón vemos un destello delmismo tamaño, entonces los electrones que vemos sonsiempre los perturbados. Intentemos, en cualquiercaso, el experimento con una luz tenue. Ahora, cadavez que oigamos un click en el detector anotaremos unpunto en alguna de las tres columnas: en la columna (1)los electrones vistos en el agujero 1, en la columna (2)los electrones vistos en el agujero 2, y en la columna (3)los electrones no vistos. Cuando juntamos nuestrosdatos (para calcular las probabilidades) encontramosestos resultados: los «vistos en el agujero 1» tienen unadistribución similar a P’1; los «vistos en el agujero 2»tienen una distribución similar a P’2 (de modo que los«vistos por el agujero 1 o por el agujero 2 tienen unadistribución similar a P’12); y los «no vistos» tienen unadistribución «ondulatoria» exactamente igual que P12 dela figura 6.6! Si los electrones no son vistos, ¡tenemosinterferencia!

Esto es comprensible. Cuando no vemos el electrón,ningún fotón lo perturba, y cuando lo vemos es que unfotón lo ha perturbado. Hay siempre la misma cantidad

de perturbación, puesto que todos los fotones de la luzproducen efectos del mismo tamaño, y el efecto de losfotones al ser dispersados es suficiente para borrarcualquier efecto de interferencia.

¿No hay alguna forma de que podamos ver loselectrones sin perturbarlos? Aprendimos en un capítuloanterior que el momento) transportado por un «fotón»es inversamente proporcional a su longitud de onda (p= h/). Ciertamente el empujón dado al electrón cuandoel fotón es dispersado hacia nuestros ojos depende delmomento que transporta el fotón. ¡Ajá! Si sóloqueríamos perturbar ligeramente a los electrones nodeberíamos haber disminuido la intensidad de la luz,sino que deberíamos haber disminuido su frecuencia(que es lo mismo que incrementar su longitud de onda).Utilicemos luz de un color más rojo. Podríamosentonces utilizar luz infrarroja, o radioondas (como elradar), y «ver» dónde fue el electrón con ayuda dealgún equipo que pueda «ver» luz de estas longitudes deonda más largas. Si utilizamos luz «más suave» quizápodamos evitar el perturbar tanto a los electrones.

Intentemos el experimento con ondas más largas.Seguiremos repitiendo nuestro experimento cada vezcon luz de una mayor longitud de onda. Al principio,parece que nada cambia. Los resultados son losmismos. Luego sucede algo terrible. Recordaránustedes que cuando discutimos el microscopioseñalamos que, debido a la naturaleza ondulatoria dela luz, hay una limitación a lo próximos que dos puntospueden estar y seguir viéndose como dos puntosseparados. Esta distancia es del orden de la longitud deonda de la luz. Por ello, ahora, al hacer la longitud deonda más larga que la distancia entre nuestros agujeros,vemos un gran destello borroso cuando la luz esdispersada por los electrones. ¡Ya no podemos decirpor qué agujero pasó el electrón! ¡Simplementesabemos que fue a alguna parte! Y es solamente con luzde este color cuando encontramos que los empujonesdados a los electrones son suficientemente pequeñospara que P’12 empiece a parecerse a P12, queempezamos a obtener algún efecto de interferencia. Yes sólo con longitudes de onda mucho más largas que laseparación de los dos agujeros (cuando no tenemosninguna posibilidad de decir dónde fue el electrón)

cuando la perturbación debida a la luz se hacesuficientemente pequeña para que obtengamos denuevo la curva P12 mostrada en la figura 6.7.

En nuestro experimento encontramos que es imposibledisponer la luz de tal modo que uno pueda decir porqué agujero pasó el electrón y al mismo tiempo no seperturbe la figura. Heisenberg sugirió que las entoncesnuevas leyes de la naturaleza sólo podrían serconsistentes si hubiera alguna limitación básica anuestras capacidades experimentales que hastaentonces no se había reconocido. Él propuso, como unprincipio general, su principio de incertidumbre, quepodemos establecer en términos de nuestroexperimento de la siguiente forma: «Es imposiblediseñar un aparato para determinar por qué agujeropasó el electrón y que no perturbe al mismo tiempo loselectrones lo suficiente para destruir la figura deinterferencia». Si un aparato es capaz de determinar porqué agujero pasó el electrón, no puede ser tan delicadoque no perturbe la figura de una forma esencial. Nadieha encontrado nunca (ni siquiera imaginado) una formade evitar el principio de incertidumbre. Por ello

debemos suponer que describe una característicabásica de la naturaleza.

La teoría completa de la mecánica cuántica queutilizamos ahora para describir los átomos y, de hecho,toda la materia, depende de la corrección del principiode incertidumbre. Puesto que la mecánica cuántica esuna teoría tan acertada, nuestra creencia en el principiode incertidumbre se ve reforzada. Pero si sedescubriera alguna vez una forma de «batir» al principiode incertidumbre, la mecánica cuántica daría resultadosinconsistentes y tendría que ser descartada como unateoría válida de la naturaleza.

«Bien dirán ustedes, ¿qué pasa con la Proposición A?¿Es cierto, o no es cierto, que el electrón pasa a travésdel agujero 1 o pasa a través del agujero 2?» La únicarespuesta que puede darse es que hemos encontrado apartir de experimentos que tenemos que pensar de unaforma especial para no caer en inconsistencias. Lo quedebemos decir (para evitar hacer prediccioneserróneas) es lo siguiente: si uno mira los agujeros, o másprecisamente, si uno tiene un aparato que es capaz de

determinar si los electrones atraviesan el agujero 1 o elagujero 2, entonces uno puede decir que atraviesan elagujero 1 o el agujero 2. Pero, cuando uno no trata dedecir qué camino sigue el electrón, cuando no hay nadaen el experimento que perturbe a los electrones,entonces uno no puede decir que un electrón atraviesao el agujero 1 o el agujero 2. Si uno dice eso, yempieza a hacer deducciones a partir de dichoenunciado, cometerá errores en el análisis. Esta es lacuerda floja lógica sobre la que debemos caminar siqueremos describir acertadamente la naturaleza.

Si el movimiento de toda la materia así como el de loselectrones debe describirse en términos de ondas, ¿quépasa con las balas en nuestro primer experimento? ¿Porqué no vimos allí una figura de interferencia? Resultaque para las balas las longitudes de onda eran tanminúsculas que las figuras de interferencia se hacíanmuy apretadas. Tan apretadas, de hecho, que conningún detector de tamaño finito se podrían distinguirlos máximos y los mínimos separados. Lo que vimosera sólo una especie de promedio, que es la curvaclásica. En la figura 6.11 hemos tratado de indicar

esquemáticamente lo que sucede con objetos a granescala. La parte (a) de la figura muestra la distribuciónde probabilidad que podría predecirse para las balas,utilizando la mecánica cuántica. Se supone que lasrápidas oscilaciones representan la figura deinterferencia que se obtiene para ondas de muy cortalongitud de onda. Cualquier detector físico, sinembargo, promediará varias oscilaciones de la curva deprobabilidad, de modo que las medidas muestran lacurva suave dibujada en la parte (b) de la figura.

6.11 Figura de interferencia con

balas: (a) real (esquemática); (b)observada.

Primeros principios de la mecánicacuántica

Escribiremos ahora un resumen de las principalesconclusiones de nuestros experimentos. Sin embargo,pondremos los resultados en una forma que los hagaverdaderos para una clase general de talesexperimentos. Podemos escribir nuestro resumen deforma más sencilla si definimos primero un«experimento ideal» como uno en el que no hayinfluencias externas inciertas, es decir, no hay agitaciónu otras cosas que pasan y que no podemos tener encuenta. Seríamos bastante precisos si dijéramos: «Unexperimento ideal es uno en el que todas lascondiciones iniciales y finales del experimento estánperfectamente especificadas». Lo que llamaremos «unsuceso» es, en general, sólo un conjunto específico decondiciones iniciales y finales. (Por ejemplo: «unelectrón sale del cañón, llega al detector, y no sucedeninguna otra cosa».) Ahora nuestro resumen.

RESUMEN

1) La probabilidad de un suceso en un experimentoideal viene dada por el cuadrado del valor absoluto deun número complejo ø que se denomina amplitud deprobabilidad.

P = probabilidad

ø = amplitud de probabilidad

P= |ø|2 (6.12)

2) Cuando un suceso puede ocurrir de varias formasalternativas, la amplitud de probabilidad para el sucesoes la suma de las amplitudes de probabilidad para cadaforma considerada por separado. Existe interferencia.

ø = ø1 + ø2

P = |ø1 + ø2|2 (6.13)

3) Si se realiza un experimento que es capaz dedeterminar si se ha seguido una u otra alternativa, laprobabilidad del suceso es la suma de lasprobabilidades para cada alternativa. Se pierde lainterferencia.

P = P1+ P2 (6.14)

A uno aún le gustaría preguntar: «¿Cómo funciona?¿Cuál es el mecanismo que subyace en la ley?». Nadieha encontrado ningún mecanismo tras la ley. Nadiepuede «explicar» nada más que lo que acabamos de«explicar». Nadie les dará ninguna representación másprofunda de la situación. No tenemos ninguna ideasobre un mecanismo más básico a partir del cualpuedan deducirse estos resultados.

Nos gustaría resaltar una diferencia muyimportante entre la mecánica clásica y la cuántica.Hemos estado hablando de la posibilidad de que unelectrón llegue en una circunstancia dada. Hemos dadopor hecho que en nuestro montaje experimental (oincluso en el mejor montaje posible) sería imposiblepredecir exactamente lo que sucedería. ¡Sólo podemospredecir las probabilidades! Esto significaría, si fueracierto, que la física ha abandonado el problema detratar de predecir exactamente lo que sucederá en unacircunstancia definida. ¡Sí! La física ha abandonado.No sabemos cómo predecir lo que sucedería en unacircunstancia dada, y ahora creemos que esimposible, que lo único que puede predecirse es laprobabilidad de sucesos diferentes. Hay que reconocerque esto es un retroceso en nuestro ideal primario decomprender la naturaleza. Quizá sea un paso atrás,pero nadie ha visto la forma de evitarlo.

Haremos ahora unos pocos comentarios sobre unasugerencia que se ha propuesto a veces para tratar deevitar la descripción que hemos dado: «Quizá el

electrón tiene algún tipo de mecanismo interno -algunasvariables internas- que aún no conocemos. Quizá seapor esto por lo que no podemos predecir lo quesucederá. Si pudiéramos mirar más de cerca el electrónpodríamos ser capaces de decir dónde acabaría».Hasta donde sabemos, esto es imposible. Seguiríamosestando en dificultades. Imaginemos que dentro delelectrón hay algún tipo de mecanismo que determinadónde va a ir a parar. Este mecanismo debe determinartambién por qué agujero va a pasar en su camino.Pero no debemos olvidar que lo que está dentro delelectrón no debería ser dependiente de lo que nosotroshacemos, y en particular de si abrimos o cerramos unode los agujeros. Así, si un electrón, antes de salir, hadecidido ya a) por qué agujero va a pasar, y b) dóndeva a acabar, deberíamos encontrar P1 para aquelloselectrones que han elegido el agujero 1, P2 paraaquellos que han elegido el agujero 2, ynecesariamente la suma P1 + P2 para aquellos quellegan a través de los dos agujeros. No parece haberninguna forma de evitar esto. Pero hemos verificadoexperimentalmente que este no es el caso. Y nadie ha

imaginado una forma de escapar a este rompecabezas.Así, en el momento actual debemos limitarnos a calcularprobabilidades. Decimos «en el momento actual», perosospechamos con mucha fuerza que hay algo queseguirá para siempre con nosotros que es imposibleromper el rompecabezas y que así es realmente lanaturaleza.

El principio de incertidumbre

Esta es la forma en que Heisenberg establecióoriginalmente el principio de incertidumbre: si ustedeshacen una medida en cualquier objeto, y puedendeterminar la componente x de su momento con unaincertidumbre p, entonces ustedes no pueden, al mismotiempo, conocer su posición x con precisión mayor quex = h/p. Los productos de las incertidumbres en laposición y en el momento en cualquier instante deben

ser mayores que la constante de Planck. Este es uncaso especial del principio de incertidumbre que fueestablecido antes con más generalidad. El enunciadomás general era que no hay modo de diseñar unmontaje para determinar cuál de las dos alternativas estomada sin destruir al mismo tiempo la figura deinterferencia.

Mostremos para un caso particular que el tipo derelación dada por Heisenberg debe ser cierta paraevitar el vernos en dificultades. Imaginemos unamodificación del experimento de la figura 6.6, en la quela pared con los agujeros consiste en una placamontada sobre rodillos de modo que se puede moverlibremente arriba y abajo (en la dirección x), como semuestra en la figura 6.15. Observando cuidadosamenteel movimiento de la placa podemos tratar de decir porqué agujero pasa un electrón. Imaginemos lo quesucede cuando el detector está colocado en x = 0.Cabría esperar que un electrón que pasa a través delagujero 1 fuera desviado hacia abajo por la placa parallegar al detector. Puesto que la componente vertical del

momento del electrón es alterada, la placa deberetroceder con un momento igual en dirección opuesta.La placa recibirá un empujón hacia arriba. Si el electrónatraviesa el agujero inferior, la placa deberíaexperimentar un empujón hacia abajo. Es evidente que,para cada posición del detector, el momento recibidopor la placa tendrá un valor diferente para un paso através del agujero 1 que; para un paso a través delagujero 2. ¡Así, sin perturbar los electrones enabsoluto, sino simplemente observando la placa,podemos decir qué camino siguió el electrón!

6.15 Un experimento en el que se

mide el retroceso de la pared.

Ahora bien, para hacer esto es necesario saber cuál esel momento de la pantalla antes de que el electrón laatraviese. De este modo, cuando medimos el momentodespués de que ha pasado el electrón, podemoscalcular cuánto ha cambiado el momento de la placa.

Recordemos, no obstante, que según el principio deincertidumbre no podemos conocer al mismo tiempo laposición de la placa con una precisión arbitraria. Pero sino sabemos exactamente dónde está la placa nopodemos decir exactamente dónde están los dosagujeros. Estarán en un lugar diferente para cadaelectrón que pase. Esto significa que el centro denuestra figura de interferencia tendrá una posicióndiferente para cada electrón. Las oscilaciones de lafigura de interferencia quedarán borradas. Se podríamostrar cuantitativamente que si determinamos elmomento de la placa con precisión suficiente paradeterminar a partir de la medida del retroceso quéagujero fue utilizado, entonces la incertidumbre en laposición x de la placa será, según el principio deincertidumbre, suficiente para que la figura observadaen el detector se desplace en un sentido u otro a lolargo de la dirección x una distancia aproximadamenteigual a la que hay desde un máximo a su mínimo máspróximo. Tal desplazamiento aleatorio es suficiente paraborrar la figura de modo que no se observeinterferencia.

El principio de incertidumbre «protege» a la mecánicacuántica. Heisenberg reconoció que si fuera posiblemedir el momento y la posición simultáneamente conuna precisión mayor, la mecánica cuántica se vendríaabajo. Por ello, propuso que debe ser imposible. Luegola gente se sentó y trató de imaginar formas de hacerlo,y nadie pudo imaginar una forma de medir la posición yel momento de algo una pantalla, un electrón, una bolade billar, cualquier cosa con una precisión mayor. Lamecánica cuántica mantiene su peligrosa pero precisaexistencia.

[1] La intensidad es una medida adimensional de laconstante de acoplamiento de la interacción.

[2] ¡Estoy yendo muy rápido! ¡Cuánto contenido hayen cada frase de esta breve historia! «Las estrellasestán hechas de átomos del mismo tipo que los de laTierra.» Suelo escoger temas como este para daralguna conferencia. Los poetas dicen que la ciencia

despoja de belleza a las estrellas, meros montones deátomos de gas. Nada es «mero». También yo puedover las estrellas en una noche clara, y sentirlas. Pero¿veo menos o veo más? La vastedad de los cielosextiende mi imaginación: atado a este carrusel mi ojopuede captar luz de hace un millón de años. En estavasta estructura -de la que yo formo parte- tal vez lamateria que me constituye fue vomitada desde algunaestrella olvidada, del mismo modo otra está siendovomitada allí. O vemos las estrellas con el gran ojo dePalomar, alejándose rápidamente de un punto departida común en el que quizá estaban juntas. ¿Cuál esla estructura, o el significado, o el porqué? Al misteriono le perjudica que se sepa algo sobre él. ¡Pues laverdad es mucho más maravillosa que lo que cualquierartista del pasado pudo imaginar! ¿Por qué los poetasdel presente no hablan de ello? ¿Qué clase de hombresson los poetas que pueden hablar de Júpiter como sifuera un hombre, pero deben guardar silencio si es unainmensa esfera de metano y amoniaco en rotación?

[3] Nuestro interés aquí no es tanto el resultado (4.3),que de hecho ustedes quizá ya conozcan, como laposibilidad de llegar al mismo mediante razonamientoteórico.

[4] Restando los antibariones.

[5] Un radio vector es una recta trazada desde el Sol aun punto de la órbita del planeta.

[6] Es decir, cuánto cae el círculo de la órbita de laLuna por debajo de la tangente; a la órbita en el puntodonde estaba la Luna un segundo antes.

[7] No daremos la demostración en este curso.

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30/06/2009

LRS to LRF parser v.0.9; Mikhail Sharonov, 2006; msh-tools.com/ebook/