segundo parcial: evaluaciones

Segundo parcial: evaluaciones

• Ernesto Javier Espinosa Herrera

• Ignacio Canals Navarrete

• Manuel Meda Vidal

• Carlos Antonio Ulín Jiménez

Básicas

Portal de Problemas de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1


Este material fue aprobado para su publicación por el Consejo Editorial de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería de la Unidad Azcapotzalco de la UAM , en su sesión del día 5 de octubre del 2004.

.

Portal de Problemas de Matemáticas

Cál.culo Diferencial e Integral I


Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador) Ignacio Canals Navarrete

Manuel Meda Vidal Carlos Antonio Ulín Jiménez

A!l\ AZCAPOTlALCO . COSE. 118UOJfCA

28 92 863

Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotza1co 2005

Universidad hlónoma lIelropolilana

REeroR Mtro. Víctor Manuel Sosa Godínez

SECRETARIO Miro . Cri stiaa Eduardo Lcriche Guzmán

DIRECTOR DE LA DIVISiÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

Mtro. José Ángel Rocha Martínez

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS Dr. Juan Manuel Velázquez Arcos COORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACAD~lICO Mtra. María Aguirrc Tamez

COORDINADORA DE EXTl:iNSIÓN Ul'iIVERSITARIA oca Ma. Teresa Olaldc Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCiÓN Y D1STlUBUCIÓN EDITORIALES DCa Silv ia Guzmán Bofill

UUI-hcapolzalco Cl M. en C. Ernesto Javier Es pinosa Herrera

Dr. Ignacio Cana l s Navarrcte M. en C. Manuel Meda Vidal Dr. Carlos An tonio Ulín Jiménez

o Departamento de Ciencias Básicas Divis ión de Ciencias Básicas e Ingeni ería

Captura de datos: Jorge Ulises Ramírcz Guerrero Diseño de portada: Lucila Mo ntoya García l'ort:l!ja: Modesto Serrano Ramírez Cu idado editorial : Concepción Asuar

Sección de producción y distribución editori ales Te!. 5318-9222/9223 Fax 53 18-9222

Universidad Autónoma Metropo lita na Unidad AzcapolzaJco Av. San Pab lo 180 Col. Reynosa Tamau lipas Delegación Azcapotzalco C. P. 02200 México, D.E

Número de regi stro de obra ISBN de la colecció n: 970-31 0372-3

ISBN del volumen: 970-31 -0410-X

Primera edición 2005 Impreso en México

Todo el materi al de este trabajo se encuentra en línea en la dirección: ht tp://canek.azc.uam.mx

, Indice general

Prefacio ........... . IX

Segundo parcial, evaluación 1 1




Segundo parcial , evaluación 5 23





Segundo parcial, evaluación 10 <13





Segundo parcial , evaluación 15 69

Segundo parcial, eval uación 16 73


Segundo parcial, evaJuación 18 83

VII

Prefacio

El material de este trabajo es parte de un Proyecto aprobado por el Consejo Divisional de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, con

el nombre de Mater-ial de Apoyo para los Cursos de Cálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones

Diferenciales. Portal de Problemas. El material completo del Proyecto, desarrollado por los autores del

presente Cuaderno, se encuentra en línea, en la dirección http: \ \canek.azc.uam.rnx.

El Proyecto, hoy conocido como Canek, nace con el objetivo de proporcionar, a los alumnos de Ciencias

Básicas e Ingeniería, la solución y el desarrollo detallado de Evaluaciones Departamentales de las

Unidades de Enseñanza - Aprendizaje (UUEEAA), del Tronco Básico de las carreras de Ingeniería, aplicadas

por el Departamento de Ciencias Básicas, en fechas anteriores. En este Cuaderno, el lector encontrará

Evaluaciones del Segundo Parcial de la VEA Cálculo Diferencial e Integral I j en otros cuadernos, se irán

publicando diferentes partes del material disponible en la red_

IX

Segundo parcial, evaluación 1

1. Si ¡ (X)= 4 -X2,

usando la definición de la derivada, calcular ¡'(a).

Calcular también, usando lo anterior , 1'(- 2) , 1'(1) .

... Calculamos el cociente diferencial

¡(x) - ¡(a) (4 - X2) -(4 - a2) x - a x - a x - a

= x- a _ (x2 _ a2 )

=-=~'--'x - a

(x- a)(x+a) -"'..-CC=--'-'-'- = -(x + a) si x - a i O.

x- a

Así: /,(a) = lím ¡ (x) - ¡(a) = lím [-(x + a)[ = -2a.

x-+a x - a x __ a

Hemos demostrado por lo tanto que, en todo punto (a,/(a» = (a,4 - ,,2 ) de la gráfica de la función ¡ (x) , la pendiente de la recta tangente vale /, (a) = - 2a.

Concluimos con esto que ¡'(x) = - 2x, para x E IR.

Usando este resultado, tenemos que

/'( - 2) = 4;

/' (1) = -2.

o

2. Graficar una función ¡(x) colltinua en los intervalos (-00, - 2), (-2, 1), (1, 3), (3, +00), que cumpla l:lSsiguientes condiciones:

lím ¡(x) = 2; x-+-oo

lím ¡(x) = +00 ; x_3 -

¡(I) = O;

lím ¡(x) = +00; z--> - 2 -

lím ¡(x) = +00; :.: -> 3+

¡ (x) t iene discontinuidad removible en x = 1.

lím ¡(x) = -00; x - . - 2 +

lím ¡(x) = - 2; :1:_+00

1

2 Cálculo Diferencial e Integral 1

... Una gráfica que cumple las anteriores condiciones es:

3. Sea

l '

n I '

.---J i •• __ •• __ -- 1

- -----------------~---, , , · 2

- -- - - - - - - - - - - - - --~ -,'-, , , : I I I

I , ,

y

i :1 1 ,

/ii i q

2 ---y---iy-- --- --- ------- : \ , ~

"-, -------· 2 ---- -----~--- -- ---- - ----

3

f(x) = x' - 5x2 + 7x - 9,

x

explique y demuestre que hay, al menos, un número a entre O & 10 tal que ¡(a) = 500.

... Calculamos

¡(O) = - 9;

¡(lO) = lO' - 5 X 102 + 7 x 10 - 9 = 1000 - 500 + 70 - 9 = 561.

o

Puesto que f (x) es una función polinomial, entonces es continlla y, por el teorema de Valor Intermedio, se sabe que torna todos los valores del intervalo [-9, 561j cuando la variable x recorre el intervalo [0,10) .

En particular, 500 E (-9,561); entonces existe a E (0, 10), tal que ¡ (a) ~, 500.

4. Considere la fu nción

determinar para la función g:

(a) Dominio y raíces

T

Dominio: Dg = IR - {4}.

{

x - 2

g(x )= t - 6x+8 six ¡i2 yx¡i4

si x = 2¡

Raíces: HOS damos cuenta de que, para x#-2

x-2 x - 2 ~=-,...=---c = ,-----;:;~_____;_, X2 - 6x + 8 (x - 2)(x - 4)

con lo cual concluimos que la función no tiene raíces.

o

o


(h) Intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades

" La función no es continua en x = 2, ya que

g(2 ) = 1;

y que

límg(x) = lím _1_ = _! . %_2 x __ 2 X - 4 2

Aquí g(x) tiene una discontinuidad removible.

La función tampoco es continua en x = 4, ya que g(4) no existe pues (4 rt Dg ).

Aún más:

Si x está a la derecha de 4,

x > 4 => x - 4 > O;

lím g(x) = lím _ 1_ = +00. x __ 4+ z--4+ X - 4

Si x está a la izquierda de 4,

x < 4 => x - 4 < O;

lím g(x) = lím _ 1_ = -oo . .1:-+4 - .1: ...... 4 - X - 4

Por lo que g(x) tiene una discontinuidad esencial infinita en x = 4. Entonces, g(x) es continua en IR - (2, 4} = (-00, 2) U (2, 4) U (4, +(0).

(c) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales " Por lo anterior se ve que x = 4 es una asíntota vertical.

Si calculamos Iím g(x) = lím _ 1_ = 0,

x-+±oo x-+±oo x - 4

vemos que y = O es una asíntota horizontal.

(d) Bosquejo gráfico

" Su gráfica es:

g ( lt: }

: \ : \ , \

\ 1 ----------- - - .

, 2 '~-_. __ .-

~ x

·1

3

o

o

o

4 Cálculo Diferencial e Integral I

5. Determinar los valores de las constantes a, b E IR para que la función h definida por

h { 2x + 1 si x ¡t [-2,2] (x) = ax2 + bx si x E [- 2,21

sea continua en todos los reales.

• La función h(x) es continua en todos los reales excepto posiblemente en x = -2 & x = 2.

Para que la función sea continua en x = - 2 se debe cumplir

lím h(x) = h( - 2), .z __ 2

por lo que

lím h(x) = lím h(x) => :1:-. -2- x - . - 2 +

=> lím (2x + 1) = lím (ax2 + bx ) => :1; ...... - 2 - ;r ..... -2+

=> - 4 + 1 = 4a - 2b,

o sea, 4a - 2b = - 3;

y para que sea continua en x = 2, lím h(x) = h(2 ), %_2

por lo que

lím h(x) = lím h(x ) => z-2- :r --+2+

=> lím (ax 2 + bx) = lím (2x + 1) => :1: __ 2 - z-2+

=> 4a +2b = 4+ 1,

o sea, 4a+2b=5.

Así, para que h(x) tenga límite en x = - 2 Y en x = 2, se deben cumplir las condiciones

4a - 2b = - 3 ;

4a+2b = 5 .

Éste es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sumando las ecuaciones se tiene

1 8a=2=>a=-.

4

Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos

4 (~) - 2b = 1 - 2b = - 3 => 2b = 1 + 3 = 4 => b = 2.

Con estos valores a, b la función que result.a es

(

2X + 1 Six <-.2

h(x) = ~ X2 + 2x si x E [-2, 21

2x + 1 s i x > 2,


cuya gráfica es

.,

h (x )

/ 5 ---------/

/ '

// ¡

/'

, .-,,jL----~---•• ~ x ,

Por la forma en que ha sido construida la gráfica sí cumple

Iím h(x) = - 3 & Iím h(x) = 5. x ___ 2 x ...... 2

Además,

h( - 2) = ~(_2) 2 + 2( - 2) = 1 - 4 = - 3 & Iím h(x) = h( -2) '* h, por lo que es continua en x = - 2 ; 4 x-o-2

h(2 ) = ~(2)2 + 2(2) = 1 + 4 = 5 & lím h(x) = h(2) '* h, con lo cual es continua en x = 2 . 4 x __ 2

[J

5


l . Sea la función 1

f(x) = -2' x -usando la definición de la derivada, calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (l ,j(l )). Escribir además la ecuación de la recta tangente.

... Calculamos primero el cociente diferencial en x = 1. Es decir, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (1, f(l)) & (x, f (x)), con x # 1:

1 1 f(x ) - f (l) x - 2 - 1

1 --+ 1 x - 2 x- 1 1

=

1 + x - 2 x- 2 x - 1

=--x - 1 x - 1 x- 1 (x - 2)(x - 1) x-2

Calculamos f'(l) que es la pendiente de la recta tangente en el punto (1,j(I )) = (1 , - 1):

J'(1) = lím f(x) - f(l ) = ¡íro _ 1_ = - l . :1;-- 1 x - ] x-+lx- 2

La ecuación de la recta tangente es

y - f( l ) = J'( l ). x- 1

y - (- 1) = - 1 o? Y + 1 = -(x - 1) = -x + lo? Y = -x. x- 1

Lo cual nos da una recta con pendiente - 1 y ordenada eu el origen O (pasa por el origen)

Su gráfica es:

y

01

!\ :\ , \ : \ : \

: \ : ........... _----

·r·--~ __ ' ~;_._----_.

\ ' . , \ : \ ' \ : \: ., i:

7

.. .. x

o


2. Considere la gráfica de la función ¡(x) dada en la figura

, --- ---- --- ---------~--lO

i: i: l'

Ji ._/ , -1

De la gráfica obtenga los siguientes valores:

lím ¡ (x); lím ¡ (x); x --o-oo x __ s-

·2 / ,

, I , 1 , I : I : i : ¡

y

,. lím ¡(x) = O; O ,. lím ¡(x) = - 00; O :1: ___ 00 x--5 -

lím ¡(x); lím ¡(x);

\ , , \ I

i

lím ¡(x); x_l

,

,. lírn ¡(x) = ¡(1) = 2. x_l

Clasifique las discontinuidades

O

x ___ 2- x __ 5+

,. lím ¡ (x) = + 00; O ,. lím ¡(x) = -00; O 'Y La fu.nción tiene dos discontinuidades esen-z ....... -2- :1: -5+ ciales (inlinitas) en x = - 2 Y en x = 5. O

lím ¡(x) ; x---2 +

lím ¡(x); 2: __ +00

,. lím ¡ (x) = - 00; O :1:--+ - 2+

,. lím ¡(x); :1:--+00

O

3. El costo de fabricación de q automóviles eléctricos, en miles de pesos, es de

C(q) = 5q3 + 13q2 + 14 ,

mientras que el ingreso, también en miles de pesos, es de

I (q) = q4 - 5q.

Demostrar que existe un valor entre 2 & la , de la variable q, donde la f,ibrica sale a mano, es decir, ni gana ni pierde.

'Y La ganancia de la fábrica cuando se fabrican CJ automóviles viene dada por

Calculamos

G(q) = I (q) - C (q)(ganancias mensuales de fabricación) = = (q4 _ 5q) - (5q' + 13q' + 14) =

= q4 _ 5q3 - 13q' - 5q - 14.

G(2) = 24 - 5 X 23

- 13 X 22 - 5 x 2 - 14 =

= 16 - 40 - 52 - 10 - 14 =

= - lOO ,

G(IO) = l O' - 5 X 103 - 13 X 102

- 5 x 10 - 14 = = 10000 - 5000 - 1300 - 50 - 14 :.

= 5000 - 1364 = 3636.


Puesto que G(q) es función continua, por el teorema del Valor Intermedio, la función toma todos los valores del intervalo [- 100,3636] cuando q recorre el intervalo [2, lO].

En particular

Entonces existe

Es decir ,

O E [-100,3636] .

q E [2, lO] tal que G(q) = O.

I (q) - C(q) = O ;

I (q) = C(q).

Si el ingreso es igual al costo de producción, la fábrica no gana ni pierde.

4. Considere la función 9 definida por

determine sus:

(a) Dominio y raíces ".

Dominio de g(x):

Puesto que

{

2X - 4

g(x) = 32 - x si x f 2

si x = 2 ;

Dg = IR .

2x- 4 = - 2(2-x) = -2six .~2. 2 -x 2 -x .

Raíces: vemos que g(x) no tiene raíces.

(b) Intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades ... La función t iene una discontinuidad removible en x = 2, ya que

lím g(x) = - 2, pero g(2) = 3 . • ~2

Entonces la función es continua en JR - { 2 }.

(e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales .. La función no tiene asíntotas verticales & y = - 2 es asintota horizontal.

o

o

o

o


(d) Bosquejo gráfico

'1' Su gráfica es:

9(X )

3 _ _________________ __ ____ fl ,

- 2 , ._-_._---_ .. __ ._._-_ .. _~-_._ .. _--_.

5. Determinar los valores de las constantes a, b E iR para que la función h definida por

{

ax + 1 Si x < - 2 h(x) = x, - 1 Si -2 < x <;; 3

x - b Si x > 3

sea continua en todos los reales. Graficar la función determinada.

... La función es continua en todos los reales excepto posiblemente en .1: = -2 Y en x = 3.

Para que en estos puntos exista continuidad se debe cumplir

lím !t(x ) = h( - 2) & lílI) h(x) = h(3). x_ - 2 x_3

Aseguremos primero la existencia de los límites.

(a) En x =-2

lím h(x) = lím h(x) => x ....... -2- %-+-2+

=> lím (ax + 1) = lím (x' - 1) => % ___ 2- x_-2+

Luego entonces, líro h(x) existe si x--o -2

(b) En x = 3

=> - 2a + 1 = 4 - 1 = 3.

- 2a = 2 => a = - 1.

¡ím h(x) = ¡ím h(:e ) => x __ 3- x ...... 3 -'

=> lím (x'_ l ) = lím (x - b) => x __ 3 - x_3+

", 9 - 1 = 3 - b =>

* b = -5 .

o

Segundo pa,rcial , evaluación 2

Con estos valores la función que resulta es

h(x) = {

cuya gráfica es

·2

- x+l X2 - 1 x+5

h(x)

.,

Si x :<;-2 Si - 2 < x:<; 3 Si x > :J,

La cual, por la forma en que fue construida cumple

lím h(x) = 3 & lím h(x) = 8 . .% --> -2 .%--+3

Además,

• x

h( - 2) = -(-2) + 1 = 3 => lím h(x) = h( - 2) => h es continua en x = - 2; .% --+-2

h(3) = 3' - 1 = 8 => lím h(x) = h(3) => h es continua en x = 3 . • -3

11

o


L La función f tiene la gráfica siguiente

) ,. -----~

/.~ - - 1 · / : _________ _

t-- + 7--------~--------------~ ----f--- •

/ - 1 1 2

(a) Determine:

Hm ¡ (x); %--- 1-

,. ¡ím ¡(x) = 1; !I:--t- l -

Hm ¡(x) ; x-l -,. Iím ¡(x) = 1;

:,1: ...... 1-Iím ¡(x);

x_2-

,. Iím ¡ (x) = ~; % ...... 2 - 2

Hm ¡(x); z ...... -oo ,. Iím ¡(x) = - 00:

z-o-oo

/ /

(b) Calcule ¡ (1), ¡ (2) & ¡(- 1) ,.

o

o

o

o

I I

lím ¡(x) ; z--I+

,. ¡ím ¡(x) = -00; 3: _ _ 1+

Iím ¡(x); %-01+

,. lím ¡ (x) = 1; :.:_1+

Iím ¡(x); %_2+

,. Iím ¡(x) = ~; %-2+ 2

Iím ¡(x) :r:-+oo

1 ,. lím ¡(x) = -2 -

%-+00

3 1 ¡ (1) = O, ¡ (2) = 2.1(- 1) = 2

(e) ¿Existen ¡os límites Iím ¡(x); Iím ¡(x); ¡¡ro ¡(x)? % ___ 1 %_1 z-2 ,.

Iím ¡(x) no existe pues no existe Iím ¡(x ); % _ _ } z _ _ } +

13

o

o

o

o

o


lím ¡(x) = 1 pues lím ¡(x) = lím ¡(x) = 1; :1'-1 x_l - %_1 +

lím f(x) = -23

pues lím ¡(x) = lím f(x ) = ~2. x_2 :1:-2 - :1:_2+

2. Se deja. caer una pelota desde lo alto de un ed ificio. La función de posición de la pelota a l tiempo t es

8(t) = 78.4 - 4.9t2

(a) Calcule la velocidad instantánea en el tiempo t = 4, calculando el límite

• Tenemos

l' 8(4+ h) - 8(4) h.~ h

8(4 + h) = 78.4 - 4.9(4 + h)2 = 78.4 - 4.9(16 + 8h + h2) = = 78.4 - 78.4 - 39.2h - 4.9h2 = -39.2h - 4.9h2;

8(4) = 78.4 - 4.9(42) = 78.4 - 4.9(16) = 78.4 - 78.4 = O;

8(4 + h) - 8(4) = - 39.2h - 4.9h2 - 0 = h( - 39.2 - 4.9h);

8(4 + h) - 8 (4) = h( - 39.2 - 4.9h) = -39 _ 9h . h -J. . h h .2 4. SI T O,

lím 8('1 + h) - 8 (4) = lím h( - 39.2 - 4.9h) = h-O h h-O h

= lím (- 39.2 - 4.9h) = h-O

= lím - 39.2 - lím 4.9h = -3!J.2 - 4.9 x lím h = h.-O h-O h-O

= - 39.2 - 4.9(0) = - 39.2 - O = -39.2 .

Que nos indica la velocidad de la pelota en el instante t = 4.

(b) Calcule la posición de la pelota en t = 4 ... 8(4) = O, calculado en inciso (a).

(e) Dé una interpretación de su resultado

• Al llegar al suelo la pelota tiene una velocidad de - 39.2.

3. Considere la fu nción

(

3X2 - A

g(x) = B v'X+3 - 2

x2 - 1

si x < 1 ;

si x = 1 ;

si x > 1.

Determinar lo~ valores de A, B para que la función sea continua en el punto x = 1.

... Para que g(x) sea continua en el punto x -= 1, se tiene que cumplir q ue

lím g(x) = 9(1). x -~l

o

o

o

o


Es decir , que lím g(x ) = B. x _ l

y por lo tanto, que Iím g(x) = B Y que lím g(x) = B.

x __ l - x __ l l·

Calculamos entonces Iím g(x) = lím (3x2 - A) = 3 - A.

x ..... 1- .:z:: ...... l -

Calculamos también

1, () l' ,;x:t3 - 2 l' (,;x:t3- 2)(,;x:t3+2) 1m 9 x = 1m = 1m .

x_ l + x-l+ x2- 1 x_l+ (x2- 1){vx+ 3 +2)

Observe que aquí hemos racionalizado el numerador multiplicándolo , al igual que el denominador, por el binomio conjugado vx + 3 + 2; luego tenemos que

1, () l' x + 3 - 4 1m 9 x = 1m x _ l + x_ l ' (x - 1)(x + 1)(Jx + 3 + 2)

1, (x- l )x l 1m

x_l+ (x - 1)(x + 1)( vx + 3 + 2) 1 1 1

1, 1

= 1m x_l+ (x + 1)( vx + 3 + 2) 2(V4 + 2) = 2(4) = 8

Luego también 1 1 23 - = B &3-A= B =,> A = 3 - B = 3-- = -. 8 8 8

4. Considere la función

y determine:

(a) El dominio, las raíces y paridad de h 'f

x h(x) = x2 _ 25

Dominio de h(x ): Dh = IR - ( ±5) pues X2 - 25 = O si x = ± 5 Raíz de h(x) : x = O, pues es el único punto donde h(x) = O. La función h es impar, ya que

-x x h( -x) = (- x)2 _ 25 = - X'- 25 = - h(x ).

(b) Las asíntotas horizontales y verticales de h

'f 1

lím h(x) = lím __ x_ = lím ~~ = Q = O .:z:: _±0Cl x- deo x2 - 25 .:z:: ___ ± oo 25 1

) --X2

Luego, y = O es asíntota horizontal.

x lím h(x) = lím ( )( ) = -00 , por ser :c < O, X + 5 < O & x - 5 < O;

x ...... -5- % ...... -5 - X + 5 x - 5 x

lírn h(x) = lím () = +00, por ser x < O, x + 5 > O & x - 5 < O; x ...... - 5 + x ...... -5+ (x + 5) x - 5

x lím h(x) = lím (. 5)( 5) = -00, por ser X > 0, x + 5 > O & x - 5 < O;

x ...... 5 - x ..... 5 - X + X -

lím h(x) = lírn ( ~ ) = +00, por ser x > 0, x + 5 > O & x - 5> O. x ..... 5+ x ...... 5 ¡. X + 5 x - 5

o

o

16

Luego entonces las rectas x = -5 & x = 5 son asíntotas verticales.

(c ) Un bosq uejo de la gráfica de h

., La gráfica de la función h(x) es:

, '1

11 :¡ :¡ : \ : ',,-

h ( x )

5

, ----_ ..

5. Sea J: [1, 3) ~ IR la función definida por

J(x) = x 3 - 2x' - 1030.

~\~ \ : \1

1:

¿Existe un punto a E [1, 3) tal que J (a) = - 15? J ustifique su respuesta .

.,

Cálculo Diferencial e Int.egral 1

\

~--.. x

o

o

J(l) = 1 - 2 - la = - 11 & J(3) = 27 - 18 - 30 = - 2l.

Como - 15 E [- 21 , - ll ] Y como f es continua en [1, 3], por el teorema del Valor Intermedio, existe al menos un punto a E (1,3) tal que J(a ) = - 15.

o


l . La función f tiene la gráfica siguiente

I : /5 -- --------- , / :===:~~~----~--~~~~~=-- -- -- -

//~_----_-/-__ -_ 2 \--- i----~'d-/ /' ~-- 1 r- -~ \ !

~ -L---________ ~ .. ~

/" -2 I\J' \ ~ , \: -) --_: \:

Ir l ' \:

(a) De la gráfica calcular: lím ¡(x); lím ¡(x);

:z:~-2- :z: ..... -2+

~ lím ¡(x) = 2; O ~ lím ¡ (x) = 1; O x-o-2 - %->-2+

lím ¡ (x); lím ¡(x); x_O- %_0+ ~ lím ¡(x) = 00; O ~ lím ¡(x) = 00; O :z:_o- % __ 0+

lím ¡(x); lím ¡(x); X""" 1- x_ 1+

~ lím ¡(x) = - 3; O ~ lím ¡(x) = 3; O x-t 1- x_l +

lím ¡ (x) ; lím ¡(x); x-- 3- x __ 3+

~ lím ¡ (x) = -00; O ~ lím ¡ (x) = 2; O :1: --03- x--3+

lím f (x); X ___ CXl lím f(x); X_+CXl ~ lím ¡(x) = -00; O ~ lím f(x ) = 4. O x __ _ oo x_+oo

(b) Del inciso anterior clasifique las discontinuidades del la función y escriba la.<; ecuaciones de las asíntotas

... En x = - 2 Y en x = 1 hay discontinuidad de salto, esencial;

en x = O hay una discontinuidad infin ita;

en x = 3 hay una discontinuidad esencial , infinita;

'Y = 4 f".s asíntota horizontal;

x = O es asíntota vertical;

17

18 Cálculo Diferencia] e lntegral ]

x = 3 es asíntota vertical.

2. Para la función

determine:

3x2 - 12 f(x) = X2 + X - 2

(a) Los puntos de discont inuidad y su clasificación

'f Sabemos que

Entonces, ¡(x) no es continua en x = 1 ni en x = -2.

- 1±3 = {1 2 - 2.

En x = 1 hay una discontinuidad esencial, ya que lím ¡ (x) no existe . • _ 1

En x = - 2 hay una discontinuidad removible pues

3X2 + 12 3(x - 2)(x + 2) ~-'-~ = ~--'-;7-'-=7-x2 +x- 2 (x - l)(x + 2)

Tenemos que líl11 ¡(x) existe: :1:-+ -2

3(x - 2; -'-'------,-' s i x oF - 2 . x- 1

3(x - 2) 3( - 4) Iím f(x) = lím = - - = 4 .

=1:--0-2 x--2 X - 1 - 3

Si definimos f( - 2) = 4 ,

f (x ) resulta continua en x = - 2.

(b) Los intervalos de continuidad.

,. De lo anterior, f (x) es continua en (-00, - 2) U(- 2, 1) U (1, 00) .

(e) Las asíntotas verticales y horizontales ,. Calculamos

3X2 - 12 lím

:r._±::xI X2 + X - 2

3 _ 12 Iím x2

z-±oo 1 2 1 + - - -

X x 2

. ( 12 lim 3 --) Z -+±1X> x 2

1 2 = Iím (1 + - - -)

x_ ±oo X X 2

Iím 3 - Iím ( 122

) 3 _ ,) 3 :t:-± oo z-±oo X = ---"-'==-:.:;.==-='-----;, = --- = - = 3 .

Iím 1 + Iím ~ _ Iím ~ 1 + O -- O 1 %- :/;: oo z _±oo x r _ ± oo x 2

Entonces, y = 3 es una asín tota horizontal. Como

Iim 3x2 - 12 = lím 3(x2-=-iL = Iím 3(x - 2)(x + 2) _ l' 3(x - 2) . _ I- x 2 +x - 2 . _ I-(x - l )(x+ 2) ._1- (x - l )(x+ 2) - .~i'- (x - 1) =00

y ya que x - 1 < O & x - 2 < O,

Y que también

o

o

o


l' 3x' - 12 1m = -oo .

• ~ l+ (x - l ){x + 2) entonces, x = 1 es una asíntota vertical. También comprobamos que en x = 1 la discontinuidad es infinita.

(d) Por último, esboce su gráfica

., Observemos que f(2) = 0, entonces la gráfica es

f (x)

i , !

--~--- ---------- -- --- - --, ----_.---

3_ Calcular el límite

-, (

, ! : I : I : I

1, v'3x+l- 2x 1m 2 .

;1: ..... 1 x +2x-3

.. Racionalicemos el numerador y factor icemos el denominador

. x

v'3X+I - 2x (v'3x+l - 2x){ v'3x+l + 2x) 3x+ 1 -4x'

x'+2x-3 (x+3){x- l ){v'3x+ l + 2x) (x+3)(x- l ){v'3x+ l +2x) -

Ya que x = 1 es raíz de - 4x2 + 3x + 1, entonces x - 1 divide al trinomio

- 4x -1

x - 1 1 4x'+3x+l

+4x' - 4x

- x+ l

+x - 1

O.

Luego entonces, -4x' + 3x + 1 = (x - 1){ --4x - 1), por lo cual si x ¡ 1

3x + 1 - 4x' l ' - 4x - 1 lím = 1m "--C7CC~==~--:-"7 .~ I (x + 3)(x - 1){ v'3x + 1 + 2x) .~ I (x + 3){ ,f3x + 1 + 2x )

- 4 - 1 -5 5

(1 + 3){ v'3+T + 2) 4(2 + 2) 16

o

o

o


.. . 4x+ 1 4. Calcular el hmlte hm .

'--00 v'9x2 + 5

T Supongamos que x < O; entonces, multipliquemos numerador y denominador por

Con ello 1

. 4x + 1 . - 4 - ;: - 4 4 lun = 11m = - = - - .

'--00 v'9x2 + 5 '--00 R v'9 3 9+ -

X2

En este caso Ixl = - X, pues x ---jo -00; además


g(x) = (

2x - 3 4 X2 - 2 3

si x < 1 si x = 1 sil <x:S 2 si 2 < x.

Determine sus discontinuidades; clasifíquelas.

... Calculamos

lím g(x) = lím (2x - 3) = lím 2x - 3 = 2 - 3 = -1; :1: ..... 1- 2: ..... 1- x-- I -

lím g(x ) = lím (x2 - 2) = lím x2 - 2 = 1 - 2 = - l. x-l + :r;--l+ x_ l +

Como

el lím g(x) = - 1 i g(l) = 4, ._1

o

entonces en x = 1, g(x) tiene una discont,inuidad removible: si redefinimos 9(1) = - 1, g(x) se hace continua.

Ahora bien,

lím g(x) = lím (x2 - 2) = lím x, - 2 = 4 - 2 = 2 ; :r::_2 - 2:_2 - :1:-2 -

lím g(x) = lím 3 = 3. x __ 2+ :1: __ 2+

Como

lím g(x) i lím g(x) , :1:-2 - z-2+

entonces en x = 2 la función g(x) t iene una discontinuidad esencial, de salto .

o


6. La expresión

L = LoVl - ::

indica la longitud de IIn objeto en función de su velocidad (v) , donde Lo es la longitud del objeto en reposo y e es la velocidad de la luz.

¿Qué pasa con la longitud del objeto cuando su v se aproxima a la velocidad de la luz?

v2 ... En primer lugar observemos que 1 - 2 tiene que ser ;::: O.

e Entonces,

v2 _< 1 ::::>v2 <c2 c2 - -

y extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos que

Con lo cual la velocidad del objeto no puede ser mayor que la de la luz:

o


1. Dar una posible gráfica para una funci ón f que sea continua en su dominio IR - { - 2 , O, 2 } Y que satisfa.ga las condiciones:

... Su posible gráfica es


lím f(x ) = O; x-+ - oo

lím f (x) = 3; %-0-2+

lím f(x) = O; , _1

lím f(x) = 00; '_00 lím f(x) = 00;

x __ o-lím f(x) = 3; ,_2

f ( x )

j

!

/, , ,

.. _ .. __ ~-- 1

-, ;

I I

()_ 2x2 + 1

gX - x2 _ 4 "

lím f(x) = 1; x-t-2-lím f (x) = - 00;

:.: ..... 0+

f (l) = O.

x

(a) Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de y

... Para averiguar las posibles asíntotas hori;"ont.ales, calculamos

1, 2X2 + 1 un --

x __ ±oo x2 - 4

1 , 2+,-

11m ~4 !I: __ ±OC 1 _ _

x 2

, 1 x .!.!~oo (2 + ;y)

, 4 10 m (1 - - )

x __ ±oo x2

Entonces la recta y = 2 es asÍntot.a horizontal.

23

2 + I:~~OO x2 2 + O 2 .=--:::..::.:c;- = -_ = _ = 2 .

1 _ lím ~ 1 - O 1 r_ ±oo x2

D


Como x, - 4 = O ... (x + 2)(x - 2) = O ... x = ±2 & 2x" + 1 > O, para cada x

calculamos , 2x' + 1 , 2x' + 1

hm --- = 11m ,. = ±oo. x-" x, - 4 x_" (x + 2)(x - 2)

Entonces x = 2 es asíntota vertical, y como la función es par, x = - 2 también lo es. o

(b) Obtener el dominio, raíces e intervalos de continuidad de es ta función

,. Dominio: Dg = IR - (±2 ¡.

No tiene raíces, pues el numerador 2x' + 1 > O; la función 9 es continua en (-00, - 2) U ( -2,2) U(2, +00). O

(e) Bosquejar su gráfica 1 1

,. Adicionalmente g(O) = -4 = -¡. La gráfica de la función g(x) es:

g(x )

.. x ·2 i , ! \ , , , , , , I

" , ! l ' :1 j: :1 j.

'i 1: :/

:; 1:

O

3. La temperatura T (en OC) a (a que el agua hierve está dada aproximada.mente por la fórmula

T = 100.862 - 0.04 15Vh + 431.03

donde h es la a lt ura sobre el nivel del Jllar (medida en metros).

Use el teorema del Valor Intermedio y diga si ent re los 4000 Y 4 500 metros sobre el nivel del mar hay una a ltitud a la cual hierve a 98°C. J ustifique su respuesta.

~ Por un lado sabemos que la función T(h) es continua en su dominio, el cua l es el conjunto de los h que cumplen

/¡ + 431 .03 2 O => h 2 - 431.03 m ;

por otro, T( 4000) = 100.862 - 0.0415V4 000 + 431.03 '" 98.099512 oC;

también T(4500) = 100.862 - 00415)4 500 + 43103 '" 97.947816 oC.


Como 98 E (97.9,98.1) oC,

Entonces efectivamente existe una h E (4000, 4500) tal que T(h) = 98 "C.

4. Considere la función:

(a) Calcule lím h(x) :1: ___ 00

(

x- I

vx2-2x-x h(x) =

..;x:¡:5 - 2

x+ 1

si x :S - 1

si x> - l .

... Cuando x ---+ -00, podemos pensar que x < O; entonces

h(x) = x - I VX2 - 2x x

25

o

1 - 1 1 - 1 - 1 También - = -1 -1 j en este caso y multiplicando el numerador por - y el denominador por -1 -1 = 1')'

x x x x vx2 tenemos que

1 1 - -

h(x) = x -(vx2 - 2x - x)

1 1- -

x

)x2 - 2x x

1 1- -

x

- f¡-~+3:....

y también que

Ri - X2 + fXT VJ x -x

1 1 - - 1 1

x _ _ oo x __ oo 2 lím h(x) = lím R X = '-2 = --2

- 1 - - - 1 x

(b) ¿Existe lim h(x)? Justifique su respuesta :I: __ - }

,. Calculemos los límites laterales de h(x) en x =-1.

1 1- -

x

-)1-; -1

o

Racionalizando el numerader (multiplicando por el conjugado del numerador ambas partes de la fracción) , tenemos para x :f= - 1

jx + 5 - 2 (vx + 5 - 2)( Jx + 5 + 2) x + 1 = -'-'-c(:-X-+-=lcc)(:-,¡'r?ox + 5 + 2)

x + 5 - 4 x + l 1 (x + 1)(..;x=5 + 2) = --;V;=x ~+~5-+-::C2 . (x + 1)(..;x:¡:5 + 2)

Entonces

l' VX + 5 - 2 l' 1 1 1 1 1 .~~, + x+1 = • ..'.~IVx+5+2 = v- I +5+2 = ..;4 + 2 = 2+2 = ;¡

y también

x - l lím h(x) = lim

x---1 - x-o-l - VX2 2x x

- 1 - 1

J( 1)2 2(· 1)

por lo que no existe el lím h(x) pues el lím h(x) el lim h(xl· x ..... - l x-- I+ x _ _ I -

-2 - 2 1) v'f+2+ 1 = .,!3+ 1 '

o


5. La gráfica de la función f (t) = - t2 +2t+3

pasa por los puntos (1.999,j(1.999» y (2.00 1,j(2.001».

(a) Obtenga el valor de la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de f que pasen por el punto (2, 3) Y por los puntos dados ,.

m = 3 - f(1.999) = 3 - (- 3.996001 + 3.998 + 3) = 3 - (3. 001999) = - 0.001999 = - 1.999. 1 2 - 1.999 0.001 0.001 0.001 '

3 - f(2.001) 3 - (-4.004001 + 4.002 + 3) 3 - (2.997999) 0.002001 m2 = 2 _ 2.001 = - 0.001 = - 0.001 = - 0.001 = - 2.001 .

(b) ¿Qué puede decir de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2,3)?

" Que debe ser muy cercana a - 2, pues debe estar entre - 1.999 y - 2.001.

o

o


1. Averigüe si en la siguiente fórmula existe el límite:

T Ya que Ixl = x para x > O Y también que Ixl = - x para x < O, entonces:

lím Ixl-x= lím x - x = lím (': - ':)= lím(l - I ) = lím(O)=O ; :-->0+ X ;1: ..... 0+ X %--0+ X X x--o+ %--0+

y además lím Ix 1- x - x - x -2x

lím --- = Iím lím - 2 = - 2. % __ 0 - X % __ 0 - x % __ 0 - X ::[ __ 0 -

Entonces no existe lím Ixl - X I pues los límites laterales son distintos. x __ o x

2. Averigüe si en la siguiente fórmula existe el límite:

... Efectuamos operaciones primero.

Se sabe que

lím (_1 __ 1_) :_ 1 I - x l -x3

1 - x3 = (1 - x)(1 + x + X2).

Por lo tanto, 1 1 l+x+x2_ 1 x +X2 x(x+ l )

1 - x - 1 - x3 = 1 - x3 = 1 - x3 ;:; 1 - x3

o

Como lím (l-x3) = O Y como lím x(x + 1) = 1 x 2 = 2, lím ( -1 1 - _ 1_3 ) no existe (de hecho los límites x __ l % __ 1 % __ 1 - X 1 - x

laterales son ±oo).

3. Encontrar el valor de las constantes a , b de manera que la función

{

X2 + 3

f (x) = x+a

6 + b

27

si x E (- 00, 01

siO <x< l si XE[!,+oo)

o


sea continua en IR.

,. La función f (x) es continua en (- 00, O) U(O, 1) U(1, +00).

Tenemos que obligar a que también sea continua en x = O Y en ~; = 1 haciendo que

lím f(x) = f eO) y lím f(x) = f( I ). :r ..... 0 z ...... l

Calculemos pues lím f(x) = lím (X2 + 3) = 0+ 3 ; , 3;

%- 0 - x_O-

y también

lím f(x) = lím (x + a) = O + a = a . :z: ..... o+ :z:->o+

Entonces, Hm f (x) existe s i y sólo si a = 3. <- o

Así también

lím f(x) = lím (x + a) = 1 + u = 1 + 3 = 4; x ..... ] - :.: ..... 1-

lím f(x) = lím (6 + b) = 6 + b, ,:¡: --o l + z_ l +

entonces lím f (x) existe si y sólo si 4 = 6 + b "" b = - 2. < - 1

o

4. Halle las raíces, las discont inuidades y su tipo, las asíntotas vert icales y horizontales y bosqueje la gráfica de la fu nción

X2 + x - 12 g(x) = X2 _ 8x + 15 .

" Las raíces son los puntos X tales que g(x) = O; es decir, donde

x2 + x - 12 = O;

y como

X 2 + X - 12 = (x + 4)(x - 3),

éstas serían x = - 4 & x = 3.

Pero g(x) es discontinua en los puntos x donde x2 - 8x + 15 = O;

Y como

X2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5),

g(x ) €'S discont inua en x = 3 Y en l : = 5.

Desde luego, en L = 5 hay una discontinuidad esencial (de hecho es infi nita).

En x = 3 la discontinuidad es rellloviblc pues

1, X2 + X - 12 l. (x + 4)(x - 3) ," + 4 7 1m = 1111 = hm __ _ - _ .

• - 3 x2 - 8x + 15 <- 3 (x - 3)(x - 5) <-3" - 5 - -2 '

7 Y si defi niéranlOs g(3 ) = - 2 1 la función resultaría continua en x = 3.

Así queda que la única raíz es x = - 4 1 pues 3 f$. Dgo


Para calcular las asíntotas horizontales veamos

1 12

l' X2 + x - 12 1m

1+--- 1 O- O 1 , X X2 + hm =~-- =- =1

:r;--±oo x2 - 8x + 15 x_±~ 8 15 1 - [) + O 1 1 - - + -x X2

luego, la recta y = 1 es asíntota horizontaL

Para determinar las asíntotas verticales calculemos

, ,(x+ 4)(x - 3) x+4 hm g(x ) = hm ( 3)( 5) = lím - - = -00, ya que x + 4> O & x - 5 < O ;

:r; __ 5- x __ 5 - X - X - :r; __ 5- X - 5

lim g(x) = lím x + 45 = +00, ya que x + 4 > O & x - 5> O ; :r; __ 5+ :r; __ S+ X -

luego, la recta x = 5 es asíntota verticaL

Por último, la gráfica se verá de la siguiente forma

q (x )

\

\ ~,

~._------.-, ----- -------- ----- · 1 - -- -- ----;--- - - ----- ----- -- --

· 4 -----_ 3

- 2 ~! -f -- ---,

\

29

o

5. Verifique que la ecuación x3 + x - 1 = O t iene una raíz entre O & l . Dé un intervalo de longitud ~ que contenga

dicha raíz.

T Sea f (x) = x3 + X - l.

Notamos que f(x) es continua en IR, en particular en [0, 11 y que f (O) .= - 1 < O y también que f (l ) = 1 > O;

luego, por el teorema del Valor Intermedio, en (0, 1) habrá un punto x ta l que f (:1:) = O.

Vemos que f ( ~) = ~ + ~ - 1 < O.

Por lo que la raíz debe estar en (~ , 1). 3 27 3

También vemos que f( '4 ) = 64 + '4 - 1 > O.

Por lo que, por último, la raíz debe de estar en (~ ~) 2 ' 4 .

3 1 3 - 2 1 Este último intervalo tiene longitud 4" - "2 = - 4- = 4"'

o


1. Dada la función ¡(x) = X2 - 2x + 1

x3 -x

(a) Obtenga su dominio y sus raíces ... Dominio: DJ = IR - {XE IR Ix'-x= O}. Raíces: como

x' - x = x(x' - 1) = x(x - l )(x + 1) = O <* x = O, x = ± 1 ,

entonces DJ = IR - {O.±l}.

Las raíces deberían ser los puntos donde

x2-2x+ l = 0 ,

pero X2 - 2x + 1 = (x _ 1)2 es cero solamente si x = 1, pero 1 (j. Dr. Entonces, la función ¡(x) no tiene raíces.

(b) Clasifique, de la misma función , sus puntos de discontinuidad ... La función f(x) es continua en todo su dominio.

En x = O tiene una discontinuidad infinita pues

x2-2x+ 1 (x- 1f x- 1 }!.r¡¡± ¡(x) = x~~" --x"'---x-- = x~~'± x(x - l )(x + 1) = x~r¡¡± x(x + 1) = '1'00.

Además x = O es una asíntota vertical.

En x = - 1 también tiene una discontinuidad infinita, pues

(x _ I )2 x- 1 lím ¡(x) = Jím ( )( ) = Jím -(--) = ±oo; e igualmente

:J:--o- l ± x-->_ ¡:t: X x - l x+ 1 x __ l ± x x+l

x = - 1 también es una asíntota vertical;

pero en x = 1 la discontinuidad es removible pues

(x - 1)' x -- 10 Jím f(x) = lím = Jírn ---- = - = O. x-1 x_ 1 x(x - l)(x + 1) x_1 x(x + 1) 2

En fin, la función ¡(x) es continua en x = 1, redefiniendo ¡( I ) = o.

31

o

o

32 Cálculo Diferencial e Integral

(e) Dé las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales

" En el inciso anterior vimos que x = O Y que x = - 1 son asíntotas verticales.

Para hallar las asíntotas hori7.ontales calculamos

1, f() l ' ",2 - 2x + 1 1m x = 1m r __ ±oo a:_±oo x 3 - X

Hrn x_±oo

Entonces, y = O es asíntota horizontal.

1 2 1 ---+--X X2 x 3

1 1 - -

",2

(d) En base a la información obtenida en los incisos anteriores, haga un bosquejo de la gráfica de J ,. La gráfica de la función f(x) e"

---~

\ \ ,

\

2. Resuelva el siguiente límite:

-,

f (x l

! 1

\ ¡ \ i \.j

( I I

lím JX2 16

%--+-00 x+4

.. Como x --+ -00, podemos pensar que x < O por lo que

1 1 1 1 1 -- = -- = - o bien - = - -- . .¡:;ji Ixl - x x .¡:;ji ,

... . x

v'X2 - 16 1, 1 y, multiplicando a l numerador y denominador de -'-----c- por - o bien por - r7l' tenemos que

x+4 x vx2

Jx2 - 16

f(x) = JX2-16 = _:;.¡:;ji",x;2_ x+4 x + 4 4

1 + x

4 1 +

x

o

o

Segundo parcial , evaluación 7

Por lo que

1, vx' - 16 l' un = 1m z __ oo X + 4 :z; _ _ oo

)1 - 16 x'

4 1 +

x

lím (1 _ 16) :r:_-oo x2

1, ,pJ6 1m 1 --:1:--.-00 X2

lím (1+~) :1: __ (>0 x

1+0 v'1-=ü

= ---1- = - 1.

3. Resuelva el siguiente límite:

lím J2xTl - Y3 . z_l+ X - 1

33

o

" Racionalicemos el numerador multiplicando al numerador y al denominador por la expresión conj ugada V2x + 1 + Y3:

J2xTl - Y3 ( V2x + 1 - Y3)( V2x + 1 + Y3) x - 1 = ~-("-X'----I"")"':( v'--'2~x~+=1~+--'---Y3-;=3c-) -'----'-

2x -2 2(x - 1)

(x - 1)( V2x + 1 + v'3) (x - 1)(V2x + 1+ v'3)

2x + 1 - 3

(x - 1)( V2x + 1 + Y3) 2

r. Y3, con x i'l. v2x+1+ 3

Entonces obtenemos que

4, Si

V2x+ 1 - Y3 Hm

z_l+ X - 1 l' 2 2 1

z..'.~+ V2x + 1+ v'3 = V:l + Y3 = Y3

{ kx - 3 si x< - 1

g(x) = x' + k si x ;: - 1 .

¿Cuánto tiene que valer k para que la función 9 sea continua en todo su dominio?

o

" Sabemos que para que g(x) sea continua en x = - } (único punto donde hay duda) se t iene que cumplir que el lím g(x)=g( - I ).

:1: ..... - 1

Como lím g(x) = 1 + k & lím g(x) = - k - 3, :1: __ 1+ x_ - l -

entonces lím g( x) existe si x - - l

1 + k = -k - 3 "* 2k = -4 "* k = - 2.

Con k = -2 se tiene que 28~2863 {

- 2X - 3 six <-1 g(x) = x'- 2 si x~ - I .

Notamos ahora que lím g(x) = - 1 Y además que g(- I) = 2 - 3 = - 1, por lo cual :r: __ l

lím g(x) =g( - I ) . x--.- l

9 es continua en x = - l.

o

34

5. Grafique una función que cumpla con los siguientes requisitos:

" La gráfica de la función f(x) es

f(O) = O; Iím f(x) = 3;

:.-_2-lím f(x) = 3;

:.: ..... +00 Iím f(x) = 4; .-5

f (x )

f (5) = 1; lím f(x) = +00;

z-2+ Iím f(x) = -3.

% ..... -00

, I : i : \ , \ , ,

. ----¡-~ ----, ----- - i--~~~~ , ,

, ' 1 -- -r----- - e

Cálculo Diferencial e Integral I

________ ~------------~~~~~-----L'-------~ , . y ~:-:-::-:-.::-=~--:~-:.-::-..-: --- . 3

o


1. Un helicóptero se está elevando verticalmente desde el suelo. La distancia del helicóptero al suelo t segundos después del despegue es 8(t) metros, donde

8(t) = t' + t .

(a) ¿En qué tiempo se encuentra el helicóptero a 20 metros?

'1' 8(t) = 20 '* t' + t = 20 ,* t' + t - 20 = O '* (t + 5)(t - 4) = O '* t = - 5 o bien t = 4 .

Luego entonces, s(t ) = 20 metros cuando t = 4 segundos} ya que t = - 5 se desecha por ser negativo.

o

(b) Use la definición de derivada para determinar la velocidad instantánea del helicóptero cuando este se encuentra a 20 metros.

.. La velocidad instantánea en t = 4 es

v(4) = lim 8(4 + h) - 8(4) = lím [(4 + h)2 + (4 + h)J - [42 + 4J = h_O h h_ O h

= lím 16 + 8h + h' + 4 + h - 20 = lím 9h + h2

h _O h h_O h

= lím (9+ h) = 9. h-O

Es decir , v(4) = 9 mi s.

2. Gra6que una función que cumpla con los siguientes requisitos:

'1' La gráfica de la función f(x) es

f (O) = O, lím f( x) = 3,

%_2-lím f(x) = 3,

2:-+00

lím f (x) = 4; x-5

35

f (5) = 1, lím f(x) = +oc·,

% __ 2+

lím f(x) = -3. % __ 00

o


f (x )

., /

--_._-----_/ --- ---------- --------- ·'1

x'-5x+4 3. Sea la función f( x) = x, + x _ 2 .

(a) Determinar dominio y raíces

" Por ser f una función racional, su dominio es

DI = IR - {x I x, + x - 2 = O} =, = IR - { x I (x + 2)(x - 1) = O} =

= IR - { - 2, 1 } .

x

Raíces: f(x) = O <* X2 - 5x + 4 = O <* (r - l )(x - 4) = O <* x = 1 o bien x = 4. Pero, x = 1 rf. D I! por lo cual f tiene sólo una raíz, que es x = 4.

(b) Determinar intervalos de continuidad y clasificar las discontinuidades

o

o

" Por ser una función racional¡ f es continua en todo su dominio¡ es decir , f es continua en el conjunto (-00, - 2) U (-2,1) U (l, +00). Las discontinuidades de J están en x = -2 Y en x = ].

1, f() l ' x, - 5x + 4 1m x = 1m =

%--1 % __ 1 x2 +x - 2

= lím (x - l )(x - 4) ,= ._1 (x + 2)(2· - 1) x -4 = lím --=

% __ 1 x+2 1 - 4 - 3

=--=-=-1 . 1 + 2 3

Entonces f tiene en x = 1 una discontinuidad evitable o removible.

lím f(x) = lím x - 4 = 00, % __ 2 %- . - 2 X + 2

ya que (r + 2) ~ O & (x - 4) - - 6 cuando x ~ -2.

Por esto podemos decir que la función J tiene en ."C = - 2 una. discoHtinuidad esencial infinita.

o


(e) Determinar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales ... Asíntotas verticales: precisamos lím f(x) vía sus límites laterales.

x ..... - 2

i. Si x ----t - 2-, entonces x < - 2, por lo que x + 2 < Oi Y como x - 4 < O (ya que x - 4 -t - 6), entonces x-4 --2 > O. Por lo tanto x+

x - 4 Iím -- = +00.

x ..... -2- X + 2

x - 4 ii . Si x -+ - 2+, entonces x > -2, por lo que x + 2 > O; Y como x - 4 < O, entonces -- < O. Luego,

x + 2

x - 4 lím -- = -oo.

x ____ 2+ X + 2

Podemos afirmar ahora que la recta x = - 2 es una asíntota vert ica.l de f y que además es la única. Asíntotas horizontales:

4 4 1 --

lím f(x) = lím ~ = lím --.1<.2 = ~ = 1. x ..... +oo x __ +oo x + 2 x ..... +oo 1 1 +

x

Entonces la recta y = 1 es una asíntota horizontal de f. Además es la única, ya que lím f (x ) = l.

(d) En base a lo anterior hacer el esbozo gráfico de f ,. La gráfica de la función f (x) es

f ( x )

-------- ---- ------- -- ~ ------- --- ---------- ---------------~'o;_-+_,.-=~-. .._ ..... - x

_ ~ ...;.-__ --.- 4

I I ,

I

x ..... -oo

4. Determinar un intervalo de longitud 0.5 que contenga una raíz de la ecuación x 3 + 2x + 4 = O.

O

O

... Sea f(x) = x 3 + 2x + 4, que por ser polinomial es una fundón continua en todo IR. Vemos ahora que feO) = 4; f( - I ) = - 1 - 2 + 4 = 1; f (- 2) = -8 - 4 + 4 = - 8 .

Ya que f ( - 2) = -8 < O y que f ( - 1) = 1 > O, entonces por e l tc.'orema del Valor Intermedio, existe al menos una raíz en el intervalo (- 2, - 1).

El punto medio del intervalo (-2, - 1) es -~ y como f (- ~)

existe al menos una raíz en el intervalo ( - ~ . - 1) .

27 8

27 19 3 + 4 = 1 - - = - - < O entonces

8 8 '


Ya que la longitud del intervalo ( - ~ 1 - 1) es ~, entonces se puede afirmar que ( - ~, - 1) es un intervalo de

longitud 0.5 que contiene al menos una raíz de la ecuación x 3 + 2x + 4 = O.

o


1. Obtenga el valor del siguiente límite:

l' 2x + 3 1m f¡;j~' ._00 V (3x - 2)0

l' Multipliquemos numerador y denominador por ~ y como x ......... 00, podemos suponer que ~ = _11

I y por x x x

1 1 ende que - = r-<i j entonces

x vx2

2x +3 3

2+ -x

3 2+ -

x

3 2+ -

x J(3x 2)' J(3x 2)3

Vi' J 36 8 27x -54 + - - -

X X2

y también , 3

2 3 2 +-lím x + = lím x = O.

' - 00 J(3x - 2)3 ._00 J 36 8 27x - 54 + - -- -

X x2

2. Obtenga el valor del siguiente límite:

lím Ix 13 (x + 1 -~) . :1:-0 X

... Como Ixl cambia de signo en O, calculamos por separado

lím Ixl3 ( x + 1 - ~) = lím x3 (x + 1 - ~) = lím (x4 + x 3 - 2x2 ) = O, :r-O+ X :¡:-O+ :r: :-=-0-+

así como

lím IxI3 (X + l -~) = lím (-x)3(X + I - ~) = lím (- x 4 - x3 +2x2 ) = O. :1: _0- x :.; ..... 0 - X ;t ...... 0 -

Entonces,

lím Ix 13 (x + 1 - ~) = O. :1:-0 X

39

o

o

40 Cálculo Diferencial e Integral [

3. Sea

t(·) ~ ¡ x si x < O

x-} x-x

si O<x< 1 r;-=IT 2x+ 1 si x > 1 .

¿Se puede definir feO) y f(l) de manera que f(x) sea continua en IR?

... Debemos calcular lim f(x) y lím f(x), Y, para ello, los cuatro límites laterales respectivos, a saber z-O :\:-1

lím f(x) = lím ~ = ...9_ = () x-o- x_ o- X - 1 - 1

y también x - X2 O - O O

lím f(x) = lím -- = -- = - = O. x - O+ --o+ lx- ! 1 10- 11 1

Entonces, definiendo feO) = O, la función f(x) resulta continua en o. Ahora,

x - x2 x(l - x) x(l-x) lím f (x) = lím - -- = lím = lím __ o -- = lím x = 1

._1- __ l -l x-ll __ 1- - (x - l) ._1- l - x) __ 1-

y también

lím f(x) = lím (2x + 1) = 2 x 1 + 1 = 2 + 1 = 3. % ..... 1+ %-1+

Entonces, no existe lím f(x) por lo que en x = 1, la función f(x) tiene una discontinuidad esencial, de salto, ._1 pues lím f(x)! lím f (x) y no podemos defin ir f( l ) de manera que 1" función f(x) resulte cont inua en 1-

x __ l - x __ l +

4. Hallar dónde es continua la función

{

2X2.¡x + 3x - 2x.¡x - 3 h(x) = x- l

5

si x! !

si x = l .

... En el único punto x 2': O donde hay duda es en x = 1; luego, calcularnos lím h(x) y observamos que ._l h(x) = 2x2.¡x + 3x - 2x.¡x - 3 = 2x.¡x(x - 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(2x.¡x + 3) .

x - l x - l x- I

Si x =F 1 => x - 1 '1 0, entonces, por lo anterior

h(x) = 2x.¡x + 3.

Por lo que

lírn h(x) = lím (2x.¡x+ 3) = 2 x l v1+3 = 2" 1 + 3 = 5. % ..... 1 %_ 1

Comprobamos que la fUllción h(x ) resulta continua en x = 1 pues lím h(x) = h(I). __ 1

También comprobamos que h(x) resulta. continua en todo su dominio, que es el intervalo [O, +00).

D

D


5. Sea la función X2 + X - 12

g(x) = x2 - 8x+ 15 '

41

Bosqueje la gráfica de g(x) y obtenga explícitamente: raíces, discontinuidades y su clasificación , asÍnt.otas e intervalos de continuidad .

.-Las raíces de la función g(x) son los puntos de su dominio tales que g(x) = O.

Sabemos que Dg = IR - { x E IR I X2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) = O} = IR - ( 3, 5 } .

Para que g(x) = O, se necesita que

X2 + X - 12 = (x + 4)(x - 3) = O,

es decir, que x = 3 o bien que x = - 4.

Pero, como x = 3 rt Dg entonces la única raíz de g(x) es x = - 4.

Discontinuidades:

La función g(x) es discontinua en x = 3 Y en x = 5, por lo que es contin.ua en su dominio

(-00, 3) U (3, 5) U 5, +00)

que son los tres intervalos de continuidad.

La discontinuidad en x = 3 es removible, ya que calculando

Iím g(x) = Lím (x - 3)(x + 4) = Iím x + 4 = :3 + 4 = _~ ._3 .-3 (x - 3)(x - 5) ._3 X -- 5 :3 - 5 2 '

7 si definimos g(3) = - 2' g(x) resulta cont inua también en 3.

En cambio en x = 5 la discontinuidad es esencial , de hecho es infinita pues

1, () l' x + 4 1m 9 x = 1m -- = ±oo. ,:r ..... s± ,:r ..... s± X - 5

Asíntotas:

Aquí mismo vemos que x = 5 es asíntota vertical.

Para hallar las asíntotas horizontales calculemos

, x 2 +x- 12 Iím g(x) = 11m

~_±oo :a:--±uo x2 - Sx + 15

1 12 1+-- ,

lím x8

x15

= 1 x-±oo

1 - -+x x

con lo que comprobamos que la recta y = 1 es la asíntota horizontal.

42 Cálculo Diferencial e Integral l

La gráfica de la función g(x) es:

Q(X)

\

~-------.------ - - - 1 --- --- -------- -~- -- - -- --- --------

x

7 -, "-_ 3 5

---->~ \ \

\ , o


1. Calcular el siguiente límite x3 -3x2 -5x

lím 2 . x-o X - 7x

" Observamos que x 3 - 3X2 - 5x X(X2 - 3", - 5)

= X2 - 7x X(X - 7)

Y. si x =f:. O, entonces x3 - 3X2 - 5x X2 - 3x - 5

X2 - 7x x - 7

por lo que , :e3 - 3X2 - 5x ,x2 - 3x - 5 --5 5

hm = hm =--= -x-o X2 -7x 2:-0 x - 7 --7 7

o

2. Calcular el siguiente límite

... Observamos que x = 1 es una raiz de x3 _2X2 + 2x -1, luego este último polinomio es divisible entre x - 1i efectuando esa división

llegamos al resultado

Entonces,

x - 1 I x 3 - 2x2 + 2x - 1

x3 +x2

- X2 + 2x - 1

x2 - x

x - I -x+ 1

O

x=-3_-~2=x_2~+~2=x~-~1 2 = x - x+ l. x- I

x 3 - 2x2 + 2x - 1 2 lím = lím (x - x + 1) = 1 . x--1 X - 1 %- 1

43

o


3. Probar, usando € - 8 que Hm (3x - 2rr) = rr. <~.

... Sea € > O arbitrario, tenemos que ha llar 8 > O tal que [ (3x - 2rr) - rr [ < € si [x - rr [ < 8;

pero, [( 3x - 2rr)-,,[ = [3x-3,, [ = [3[ [x - ,, [ = 3 [x - rr[;

luego entonces [ (3x - 2,,) -" [ < € es lo mismo que 3[ x - " [ < € y, como esta última desigualdad equivale a € €

[x - rr [ < 3' basta COIl tomar 8 = 3 para que [x - 1r [ < 8 implique que [(3x - 27r) - rr [ < €.

4. Calcular, si es que existe, lím [x2

- 1[; si no existe, probarlo. z-1 X - 1

... Sabemos que x' - 1 = (x - I )(x + 1) Y que

[x- I [= - = {X- I six- I >O { X- I -(x - 1) si x - 1 < O -(x - 1)

luego entonces

s i x ~ 1

s i x < 1 ;

x'- I (x+ l )(x- l ) Hm -[ --1-[ = Hm = lím :x + 1) = 2

:z; ..... I + X - %_1 + X - 1 z- I +

y también

lím x' - 1 = Hm (x + I )(x - 1) = Hm x + .!. = ~ = -2. <~ I -[ x - I [ .-1- -(x - I) <_ 1- -1 - 1

1, I . l ' x' - 1 or o que no eXIste 1m -[ --[' ya que :z: ........ 1 x - 1

X2 _ 1 x2 - 1 lím --- t lím --- .

• - I - [x- I [ <_ I+[x- I [

. x2-1 De hecho, la función -[ --[ tiene una discontinuidad de salto en x = l.

x - I

5. Dada la función

(a) Calcular f(-2) & f(2)

...

{X' + 2

f(x) = _ (x' + 2) si - 2:Sx<O

siO :Sx:S2.

f( -2) = (- 2)' + 2 = 4 + 2 = 6;

f(2) = _ (2' + 2) = -(4 + 2) = - 6.

(b) ¿Existe e E (- 2, 2) tal que f(e) = O?

... No existe tal Cj de hecho la gráfica tiene el aspecto siguie.nte:

o

o

o


f ( x )

~--------------- , : "~ , , I ~-_. J

, --, , , 2

----~------~'-------+---------------~2 · 2 · 1

, ,

: .• ~ Observe que f(x) no es continua en [- 2,2], por lo que no cumple con el teorema del Valor Intermedio.

6. Hallar los valores de las constantes a, b de manera que la función

{

X' + 3

¡(x) = :+a

sea continua en IR.

si x E (-00, 01 siO < x < 1

si x E 11 , +(0)

... Se tiene que cumplir que la función f (x) sea continua en O y en 1, luego entonces,

Hm ¡(x) = Hm (x' + 3) = 0 + 3 = 3 .% -+0 - % __ 0 -

y también Hm ¡(x) = lím (x + a) = O + a = a;

%--- 0+ 2: __ 0 ·"

en conclusión, a = 3.

Observemos que la función f (O) = 3 también, por lo que con a = 3 se tienc

Hm ¡(x) = ¡(O) . • - 0

Análogamentc,

lím ¡ (x) = lím (x + a) = Hm (x + 3) = J + 3 = 4; % __ 1- :.: _ 1- z-- I -

lím ¡ (x) = lím b = b , z-- l + %_1 +

por lo tanto b = 4, que es también ¡ ( I ).

D

D

45

46 Cálculo Diferencial e Integral .


1. Un objeto se lanza hacia arriba según la ley de movimiento:

.(t) = 15t - 4.9t2

donde .(t) denota la posición en metros del objeto a los t segundos. Calcular la velocidad instantánea del objeto a los 2 segundos .

., Calculamos el cóciente diferencial de la función .(t) en el t iempo t = 2:

8(t) - 5(2) (15t - 4.9t2) - (15 x 2 - 4.9 X 22) 15(.: - 2) - 4.9(t2 - 4) t-2 = t-2 = t - 2 =

_ 15(t - 2) - 4.9(t - 2)(t + 2) _ (t - 2)115 - 4.9(t + 2)J _ _ ( ) - t _ 2 - t _ 2 - 15 4.9 t + 2 .

Esta expresión representa la velocidad media para valores de t cercanos a 2 segundos.

La velocidad instantánea del objeto a los 2 segundos se calcula mediante

.'(2) = lím 8(t) - 8(2) = lím (15 - 4.9(t + 2» = 15 - 4.9(4) = - 4.6 mi s. t ..... 2 t - 2 t - 2

2. Sea la función definida por

¡ax + b si x < - 3

( ) e si x = - 3

9 x = 4 - x2 si - 3 < x< 1

ax + b si l ~ x .

Determinar los valores de las constantes a, b, e para que la función f (x ) resulte continua en su dominio.

• La función es continua en todos los números, excepto posiblemente en x = - 3 Y en x = 1.

En estos puntos se tiene que, para que exista continuidad , se dehe cumplir:

lím f (x) = f ( -3) & lím f(x ) = f{l )· x- - 3 :.: _ 1

(a) En x = -3 existe lím f(x ) si x - -3

lím f(x) = lím f(x). %--3- .1: -·- 3+

Calculamos cada límite por separado:

lím f(x ) = lím (ax + b) = - 3" + b ; :r;-. -3 - :r; ...... -3 -

lím f( x ) = lím (4 - x2) = 4 - (--3)' =, 4 - 9 = - 5 . x ---- 3+ :1: - - 3 +

47

o


Igualando ambos límites obtenemos la condición

- 3a+b= - 5.

(b) En x = 1 existe lím f(x) si .-1 lím f(x) = lím f (x).

% ..... 1- :\:-.1 +

Calculamos cada límite por separado:

lím f(x) = lím (4-",2) = 4-1 = 3 :1: ....... 1- %-- } -

lím f (x) = lím (ax+ b)= a +b. %-- J + %-+1+

Igualando ambos límites obtenemos la condición

a+b =3.

Entonces, las condiciones que deben cumplir a , b pa ra la continuidad de la función f (x) son

- 3a + b=-5;

a + b = 3.

Éste es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Multiplicando la segunda ecuación por - 1, obtenernos - a - b = - 3.

Se suma esta ecuación a la primera y se obtiene - 4a = -8 => a = 2.

Sustitu imos este valor en la segunda ecuación y obtenemos 2 + b = 3 => b = 3 - 2 = 1.

Tenemos, por último, que para que la función sea continua en x = - 3 SE~ debe cumplir la condición

lím f (x) = f ( - 3). % ..... - 3

Por lo anterior , esto se traduce en -5 = c.

Con estos valores la función continua en todos los números reales es

cuya gráfica es

1

2x + 1

-5 g(x) = 4 _ X2

2x+ 1

si x < - 3

si x = -3

si -3<x< 1

si 1 ~ x

g (x )

x

o


3. Sea el polinomio

p(x) = x 3 - 4x + 2.

Aproxime en el intervalo 11 ,2] una raíz del polinomio con error menor que ~ . 4

... Calculamos el valor del polinomio en los extremos del intervalo

p(I) = 13 -4 x 1+2 = 1 - 4 + 2 = - 1 ;

p(2) = 23 - 4 x 2 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2 .

49

Ya que el polinomio es una función continua, por el teorema del Valor Intermedio, toma todos los valores entre [- 1,2] cuando x recorre el intervalo [1, 2].

En particular O E [-1,2] .

Entonces, existe e E (1,2) tal que p(c) = O (una raíz del polinomio).

El intervalo [1,2] tiene longitud 2 - 1 = 1.

1 Se desea UD intervalo de longitud menor que 4 = 0.25 donde se garantice la existencia de una raíz.

Para esto, tomamos arbitrariamente un número el a la derecha de 1 y otro número C%! que cumpla las condiciones 1 < el < C2 < 2; comprobamos si continúa existiendo un cambio de signo al evaluar el polinomio en estos puntos.

Tomemos CI = 1.3 Y C2 = 1.6:

Ambos valores negativos.

p(1.3) = (1.3)3 - 4(1.3) + 2 = 2.197 - 5.2 + 2 = - 1.003 ;

p(1.6) = (1.6)3 - 4(1.6) + 2 = 4.096 - 6.4 + 2 = - 0.304.

Para intentar alcanzar un valor positivo del polinomio, los calculos anteriores sugieren tomar, arbitrariamente , C3 = 1.8

p(1.8) = (1.8)3 - 4(1.8) + 2 = 5.832 - 7.2 + 2 = 0.632.

Es decir, la función cambia de signo en los extremos del intervalo [1.6, 1. 8].

Esto garantiza que existe una raíz dentro de este intervalo.

. 1 Lo longItud de [1.6,1.8] es 1.8 - 1.6 = 0.2 < 4 = 0.25.

Éste es uno de los posibles intervalos solicitados.

4. Considere la función f(x) definida por x2 +3x - 4

f (x) = x' + 7x + 12 .

(a) Determine dominio, raíces e intervalos de continuidad

... "Simplificamos" la función:

x' T 3x - 4 (x + 4)(x - 1) x - 1 . O f (x) = x2+ 7x + 12 = (x +4)(x + 3) = x +3 SI X + 4 # .

Entonces, hallamos:

Dominio: DI = IR - {- 4, - 3} .

&.íces: x = 1. IIIIIIIII1 2892863

o


La función es continua en todo su dominio ya que

x- l - 4 - 1 -5 l ím ¡(x) = Iím -- = -- = -- = 5 Y que

• __ 4 • _ _ 4 X + 3 - 4 + 3 - 1

Iím ¡(x) = lím x - l = ±cx:,. :.: ---3 %-0 - 3 X + 3

Podemos afirmar que existe una discontinuidad rernovi ble en x = - 4 Y una discontinuidad esencial (infinita) en x = -3.

(b) Determine las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales ., Calculamos el límite:

1 - 1 [ - - 1 - 0

lím ¡(x) = lím =---3 = l ím -L3 = -1 O = 1. x-±oo :;¡:;-±oo X + x_±oo '[ + +-

ASÍ, Y = 1 es una asíntota horizontal.

La ecuación de la asíntota vertical es x = - 3.

Vamos a calcular los límites laterales en x = - 3:

i. Por la derecha, es decir, si x > - 3 => x + 3 > 0, el

x

lím ~= lím (x- I )x lím --=(--4) x I 1 " (01+ ) " -- -00. %-0 - 3+ x + 3 x--3+ %--3+ X + 3

ii. Por la izquierda, es decir, si x < - 3 => x + 3 < O, el

lím x - l = lím (x- 1)x lím _ 1_=( __ 4)X %- - 3- x + 3 x-- -3- % __ 3- X + 3

(e) Haga un esbozo gráfico de la función 'f' La gráfica de la función es

I ! ,

f (x)

(--j---------- 5 _/¡ I

__ --- , 1 _- "

" ( 1 ) " - = +00. 0-

- ----------- ~-- - ~----- ----- . 1 ----------------

· 4

'( 1

.. x

I

o

o

o

5. Sea la función definida por

¡ (x) = n, para cada x E In, n + 1), donde n = ... - 3, - 2, - 1, O, 1, 2,3 ...

Segundo parcial , evaluación 11

(a) Grafique la función ¡(x) T La gráfica de la función ¡(x) es:

.............. -..

• - ) - 2 , -- -, ,

~() · 2

, . . )

(h) Calcular para n = . .. , -3, -2, - 1, 0, 1, 2,3, . ..

" Tenemos que

Hm ¡ (x); Hm ¡(x) ; Hm ¡ (x ) ; x -on - z-on+ x-on

Hm ¡ (x) = Hm (n - 1) = n -- 1 ; x-on - z-on -

Hm ¡(x) = Hm n =n_ z-on+ z-on+

Puesto que Hm ¡(x) i' Hm ¡(x), no existe Jím ¡(x)_

;r-on - z-on + x - "n

Así también constatamos que Hm ¡(x) = n si a E (n , n + 1) _ x-a

51

o

o


1. Trace la gráfica de una función f que 5.:'l.tisfaga las sig uientes condicio ne):

lím ¡(x) = O; :c __ 4 lím ¡ (x ) = +00; z __ 2- lím ¡ (x) = O; x--. -2+

lím ¡(x) = - 3; .-0 lím ¡(x) = - 00; : ..... 1-

lím ¡ (x) = 2; %_ 1+

lím ¡(x) = 4; z--3 -

lím ¡(x) = 1; :_3+

lírrl ¡(x) = O; z ..... . )

lím ¡ (x) = - 1; ]; - .-CX)

lím ¡(x) = 5; x ..... +oo

,. La gráfica posible de la función f(x ), con estas condiciones, es:


y

/ '

/ :7 7 J 2 --,.- I / 1 __ , ____ _ -.1 ,

- 4 - 2 I "\ J

"~-=::-~-- -~ ----- - 1 3 V ,

·3 , , \

\ I

\ ' , , , , " \:

¡ (x) = x2 + X - 2 . x2 - 1

...

(a) Obtener dominio, ratces e intervalos de continuidad de la fun ción f T

Dominio:

{ 1

",2 + X - - 2 } D, = {x E IR I ¡(x) E IR } = x E IR x2 _ 1 E IR =

,

= {x E IR I x2 - 1 i O} = { x E R I ~2 i 1 ]- = {x E R Ix i ± l } ;

D, = IR - { - l , ! } .

53

o

54 Cálculo Diferencial e Integral J

Raíces:

X2 + X - 2 f(x) = O *> 2 = O *> X2 + X - 2 = O *>

x - 1

*> (x + 2) (x - 1) = O *> x + 2 = O o bien x .- 1 = O *>

<=> x = - 2 o bien x = 1 .

Aparentemente hay dos raÍCes (x = - 2 & x = 1), pero x = 1 no es tá en el dominio de J; luego entonces, -f tiene sólo una ra íz: x = - 2.

Intervalos de continuidad: por ser f una función racional, es cont inua en todo su dominio; luego entonces, f es cont inua en ( - 00, - 1) U (- 1, 1) U (1, 00).

(b) Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función J " Asíntotas verticales: analicemos los puntos de discontinuidad

lím f(x ) = lím x2 + x - 2 = lírn (x + 2)(x ·- 1) = lím x + 2 = 1 + 2 = ~ . x_1 x - J x 2 - 1 x_1 (x + I )(x - 1) x_1 X + 1 2 + 1 2 '

o

la función J t iene en x = 1 una discont inuidad removible; por lo cua l, la recta x = 1 no es una asíntota vert ical. Ahora vernos que

ya que

Aún más:

Además:

1, f() l' X2 + X - 2 1m x = 1m x ___ l %--0- 1 x2 - 1 , x + 2

hm --- = 00 x ..... - l:1;+ 1

lím (x+ I)=-I + I = O& lím (x+ 2) '=-1 + 2 = 1. x ..... - 1 %-+-1

lím f(x) = lím x + 2 = - 00, ya que x + 2 > O y que x + 1 < O. x ........ - ¡ - x ___ l- x+ I

lírn f (x ) = lím x + 2 = 00, ya que x + 2 > O y que x + 1 > O. x ..... - }+ z ->-! + X + 1

Luego entonces, la recta x = - 1 es la única asíntota vertical. Asíntotas horizontales: analicemos en el infinito

')

2 1 +-: 1 1, f() l ' x + l ' ' C un x = 1m --= 1m --'1- = - = 1 .

x __ rOO X_+oo x + 1 X ..... ,.oo 1 1 + --

" De igual manera se obtiene que lím f(x) = lo

x ..... -oo

Luego entonces, la recta y = 1 es la única asíntota horizonta l.

o

Segundo pa rcia l, evaluación 12

(e) Obtener gráfica e imagen de la función ¡ ,. Un bosquejo de la gráfica de la función ¡(:e) es

t( .. )

:1 i\ , , : \ , \

(1,312)

-'~ .. _--- - - - - - - - -- -':'-~:'':'-':'~~

Imagen:

R¡ = IR - (l j.

3, Se define la función como

1

2x

¡(x) = a bx' + 1

2x

si x < L

si x = L

si1 <x<3

si3:$x.

.. x

(a) Determinar los valores de las constantes a, b q ue hacen ele f una función continua en .J; = 1 ~ Primero aseguramos la existencia de Iím f(xL exigiendo la igua.ldad de los límitc<3 laterales:

%_ 1

lím ¡ (x) = lím (2x) = 2(1) = 2; z_l - z .... 1

lím ¡(x) = lím (bx' + 1) = b( l ) + 1 = b + 1 ; x ..... 1 , z _ l

lím ¡ (x ) = Ihu ¡ (x)'" 2 = b + 1 ~. b = 1 . z- j - :c _ l ~

Entonces, con b = 1 aseguramos que lím f(x) = 2. %_ 1

Luego exigimos que Iím f(x) = f( t ), para asegurar la continuida.d de J en J,' = l. %_ 1

Ya que lím ¡(x) = 2 & ¡(1) = a, entonces Iím ¡(x) = ¡(1) ~ 2 = a; es deci r, a = 2. x_ l 2; - .\

Luego entonces, con a = 2 & b = t , aseguramos la continuidad de f en x = L.

55

o

o (b) Reescriba la función f con los valores calculados a, b. Estud ie la ccntinuidad o discontinuidad de f en el

punto 3 ~ La función f continua en x = 1 es

1

2x ' )

¡ (x) = ~2 + 1

2:1:

si x < 1

si x = I

sil < ,-r < 3

si 3 S x,


¿Es continua f en x = 3? Veamos:

f(3) = 2(3) = 6;

lím f(x) = lím(x2 + 1) = 32 + 1 = 10 ; x __ 3- x ..... 3

lím f(x) = lím(2x) = 2(3) = 6. 2: __ 3+ z ..... 3

Ya que 10 '" 6, entonces lím f(x ) "Í lím f(x), por lo cual lím f(x) no existe. x __ 3 - x ..... 3+ x __ 3

Por lo tanto, la función f no es continua en x = 3; aún más, f tiene en x = 3 una discontinuidad esencial de salto.

o

4. La función h tiene la siguiente tabla de valores:

x h(x) 2.99 769.605

2.995 795.755 2.999 816.801

3 822.08 3.001 827.366 3.005 848.58 3.009 869.907

Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de h que pasen por el punto (3, h(3)). Con base en estos resultados, estima un intervalo de variación para la pendiente de la recta tangente a la gráfica de h en (3 , h(3)).

... Para que el intervalo de variación resulte aceptable, conviene que una recta secante SI pase por un punto (X l , h(XI)) con x, < 3 Y que la otra secante S2 pase por un punto ("2, h(X2) ) con X2 > 3. Claro está, el resultado será mejor cuando Jos números x 1 y X2 sean los más cercanos a 3.

Consideremos que S, pasa por los puntos (2.999,816.801 ) Y (3 ,822.08). La pendiente de S, es

m, = 822.08 - 816.801 = 5.279 = 5279. 3 - 2.999 0.001

Consideremos que S2 pasa por los puntos (3.001,827.366) Y (3,822.08). La pendiente de S2 es

= 827. 366 - 822.08 = 5.286 = 5236 m2 3.001 - 3 0.001 .

Luego entonces, la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de h en el punto (3, h(3 )), es un número tal que: 5 279 'S m 'S 5286.

5. Se lanza una pelota al aire desde un puente. La posición de la pelota al tiempo t 2:: O está dada por y(t) = - 16t2 + 50t + 36 pies.

(a) ¿Cuál es la altura del puente?

o

... Ya que y(t ) pies es la posición de la pelota (con respecto al suelo) en el segundo t 2::, O, entonce.c; la altura del puente es, precisamentc 1

y(t = O) = 36 pies.

o


(b) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando se encuent ra a 70 pies sobre el suelo?

T La velocidad instantánea en t 2: O es

d d v(t) = dty(t) = dt (-16t' + 50t + 36) = -32t + 50 pies/s.

La pelota está a 70 pies sobre el sucIo cuando y(t) = 70.

y(t) = 70 '" - 16t' + 50t + 36 = 70 '" - 16t' + 50t - .34 = O '"

'" 2( -8t' + 25t - 17) = O '" - 8t' + 25t - 17 = O =>

- 25 ± )(25)' - 4( -8)( -17) - 25 ± ";625 - 544 - 25 ± 9 => t = =>

2( - 8) - 16 - 16 -~+ 9 - 16 -~-9 -M

=> t[ = =-= 1 &t,=--- = -= 2.125 ; - 16 - 16 -16 - 16

57

es decir, la pelota está a 70 pies sobre el suelo en los instantes tl = 1 s (cuando la pelota va hacia arriba) y t, = 2.125 s (cuando va hacia abajo). Las velocidades en esos instantes son:

v [ = v(ttl = -32t [ + 50 = - 32(1) +.50 = 13 pies/s.

v, = v(t, ) = -32t, + 50 = - 32(2.125) + 50 = -18 pies/s.

Esto es, v[ = 18 pies/s (de subida) y v, = - 18 pies/s (de bajada). o


1. Sea

ha lla r:

(a) Dominio y ra íces y

¡ (x) = 6x' + 3x2 - 3x 2x3+3x2 - 2x l

Dominio: D ¡ = (x E IR 12x' + 3x2 - 2x '" Oj .

Calculemos los ceros del denominador

2x' + 3x2 - 2x = x(2x2 + 3x - 2) = O;

2 - 3 ± "'9 + 16 -3 ± 5 -

{

1

2x + 3x -2= 0.,;x = =---= 2 4 4 - 2. ,

luego entonces,

2x' + 3x2 - 2x = x(2x2 + 3x - 2) = 2x(x + 2) ( x - ~) = O .,;

.,; x E { - 2, O, ~ } ,

entonces,

D¡ = IR- {- 2,0, H ·

Ahora para hallar las raíces, observemos análogamente que

6x' + 3X2 - 3x = 3x(2x2 + 2 · - 1) Y que

{

l 2 - 1 ±J1+8 - L10 3 -

2x +x- l = O<*x = ----- = - -= 2 4 4 - l. ,

por lo tanto,

6x'+ 3x2 - 3x = 3x(2x2 +x - 1) = 6x(x + 1) (x - ~) = O <* 2· = - 1, O o biell ~.

Pero, como tanto O como ~ no pertenecen al dominio de J, su única raíz es x = - 1.

59

o

60 Cálculo Diferencial e Int;egral

(b) Intervalos de continuidad , clasificando las discontinuidades ,. Intervalos de continuidad: (-00, - 2) ,(-2, O), (O, ~) & G, +00 ).

Para clasificar las discontinuidades calculemos

3' 6X(X+1) (X - ~) lím ¡ (x) = lím 6x + 3x - 3x = lím _ 2

._-'" • __ 2'F 2x 3 + 3x' - 2x .-~-2'F ( ) ( 1) 2xx + 2 x--

2

3(x+ 1)_± :tE~'F x + 2 - 00 ,

por lo tanto la discontinuidad en x = - 2 es infinita y la recta x = -2 es una asíntota vertical¡

lím ¡(x) = lím 3(x + II = 3 x 1 = ~ , x--o x-o X + 2 O + 2 2

con lo que la discontinuidad en x = O es removible;

3 (~) 9 lím ¡(x) = lím 3(x + 1) = __ 2_ =, i = ~ .-! x-t x + 2 ~ + 2 ~ 5 '

2 2

1 con lo cual la discontinuidad en x = '2 también es removible,

(e) Ecuaciones de asíntotas horiw ntales y verticales " Ya vimos que la única asíntota vertical es la recta x = - 2. Para hal lar las asíntotas horizontales calculemos

3 3 6 3 3 ' 3 6+--- 6

1, ¡() l ' x + x - x l' X ;c, 3 1m x = lnl = 1m = -- = . :r-±oo x-deo 2x3 + 3x2 - 2x :r-doo 2 + ~ _ ~ 2

X x'

o

Puesto que dividimos el numerador y el denominador de la función racional entre x 3 , que es la mayor potencia que aparece, inferimos de aquí que y = 3 es la única asíntota horizontal.

(d) Esbozo gráfico. ,. La gráfica de la función ¡(x) es:

-------_._------

I

-----// --- ---- --- -- --------- ----~- ----, , ,

· 1

! , I I

: I

o

f ( x )

) ------- - - -- - - ---

1 1

o

Segundo parcial, eval uación 13

2. Si la representación gráfica de ¡(x) es

f (x )

_ .... --- 2 / , , ,

· 2

/ Ji " 1:

i ~ /--_ ..

j : í / '1 --- ,.

-- '1 ::

(al Hallar su dominio

(b)

'1' Dominio: DI = IR - {0,4}.

Encontrar además los siguientes límites: lím ¡(xl; x_~

.., lím ¡(xl = O; x_~

lím ¡(x); x-o-2 -

o

.., lím ¡(x) = 2; O x __ 2 -

lím ¡ (x) ; x_-2

T lím f(x) no existe pues los límites laterales son diferentes;D x __ 2

lím ¡(x) ; x_o-'1' lím ¡(x) = - 4; O x_o-lím ¡(x); x-o .., lím ¡ (x) = - 4, que es el límite lateral de f tanto por la.

x-o izquierda como por la duecha; O lím ¡(x) ;

.:r:_4 -

'1' lím f(x ) = +00 ; O x _ 4 -

lím ¡(xl; x_4

'1' lím¡(x) no existe; O x-4

61

o

lím ¡(x); 7;--00

.., lím ¡(x) = -00; 7;->-00

o lím ¡(x);

x- ... - 2+

'1' lím ¡ (x) = - 6; x __ · 2 + o

lím ¡(x); x ___ o+

'1' lím f(x) = - 4; x-o+

lím ¡(x); 7;- 4+

'1' lím ¡(x) = -00; 7;_4 +

o

De aquí se sigue que la recta y = O (el eje de las x) es la única asíntot.a. horizontal y que x = 4 es la única asíntota vertical.

La función ¡(:e) es continua en (-00, - 2], (-2, O), (0, 4) Y en (4, +(0).

En x = - 2 hay una discontinuidad (esencial) de salto , en x = O la discc ntinuidad es removible y en x = 4 la discontinuidad también es esencial pues es infinita.

3. Sea J: IR --1' IR una función continua en el punto - 4.

¿Es g(x) continua en el punto a = 3? Diga por qué.

X 2 - 2 Se define 9: IR - , R por g(x) = f (2x - 10) + x + 3 .

62 Cálculo Diferencial e Int.egral

" Como 32 - 2 7

g(3 ) = f(6 - 10) + 3 + 3 = f ( - 4) + ¡¡ y adem{1S como

lím g(x ) = lím [f(2X - 10) + X2 - 2] = lím f(2x _ 10) + lím x2 -32 =

x __ 3 :E-t3 X + 3 x-3 x_3 X + 32 - 2 7

= f (6 - 10) + 3+ 3 = f(-4 ) + ¡¡ = g(3),

efectivamente, 9 es continua en 3.

En el cálculo del límite usamos que el límite de una suma es la suma. de los límites, cuando ellos existen. Además como la función 2x - 10 es continua en toda la recta y como la función ¡(x) es continua en - 4, y como su dominio son todos los reales, entonces la función composición f(2x - 10) es continua en x = 3.


(

S - 12X-3 1 siX E(-oo,- l ]

f (x)= ax2+b siX E(-1,2) 14 .

2 1 SI XE[2,00), x +x+

calcule los valores de las constantes a, b para que esa función sea continua en IR.

y Tenemos que

lím f(x) = lím (ax2 +b)=a+b; x __ I+ :t- - } +

x~~- f(x) = x~~JS -12x - 3 1) = S -lx~:r\J2X - 3) 1= = S - 1-2 - 3 1 = S - 1- 5 1 = S - 5 = 3 = f ( - 1);

para que f sea continua en x = -1, lím f(x) = f( - l ). Entonces, o + b = 3. 2;' _ _ } +

Análogamente calculemos

lím f(x) = lím (ax2+ b)=4a+b; x __ 2 - :.:: _2-

. . 14 14 14 x~~J(x) = x~~+ X2 + X + 1 4+ 2+ 1 = 7' = 2 = f(2) .

o

Entonces para que f sea continua en 2, es necesario y suficiente que 4a + b = 2, por lo que tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas:

{o+ b = 3

40 + b = 2.

Restándoles tenemos: -30 = 1 '" o = - ~ & b = 3 - a = 3 - ( - ~) = <: + ~ = 130

.

En IR - {-1,2} = (-00, - 1)U(- 1,2) U (2,+00), la función f es obviamente continua pues 12:1:- 31 es la composición de dos funciones continuas, 2x - 3 y el valor absolutoj 8 - 12:c - 31 es la diferencia de dos funciones

. 2 b 1 2 + lO f " l ' . I 14 b'é . d I contlnuasj ax + = --3x -3 es una unClon po momia; 2 tarn 1 n es contmua en to a a recta x +x + 1

pues es una racional sin raíces en el denominador ya que para todo x E IR, x2 + X + 1 #: O dado que su discri minante es

b2 - 4ac = 1 - 4(1 )( 1) = - 3 < O.

1 2 10 14 Siendo entonces S -1 2x - 31, - -3 x + -3 & 2 1 continua., en IR, también lo son en (-00, - 1), (- 1 2) x +x+ 1

yen (2,00), respectivamente, pues son subconj untos de R.

o


1. A partir de la gráfica de una función f:

f (x )

~-, -- 2 - - - - - ..=:_:.:.:.:_~"~ ---- , , , ., ~ _. ________ .~ _ x

/ \: -1 - - --. ---- --- - -------- .-. -- - -

\ ' , , \ ' \ : i: ¡¡

Obtener:

(a) Los intervalos de continuidad de la función f ,. La función f es continua en: (-00, - 3) U [- 3, O) U (O, 4) U [4,00).

(b) Las ecuaciones de las asíntotas de f ... La a.."íntota vertical es x = - 3 Y la horizontal es y = - 1

(e) Los límites siguientes: lím f(x) ;

x ..... -3 -

,. lím f(x) = - 00; :1:- - 3 --

lím f( x ); 2: __ 4 -

,. lím f(x ) = 2; % ..... 1 -

lím f(x ) x _oo ,. lím f(x) = - 1;

x_oo


lím f(x ); x---3+

o ,. lím f (x ) = 2; x---3+

lím f (x); % - .... 4 +

o ,. lím f(x ) = O: :1: __ 4 '"

o

2 .) 3 f( )

= x - _x-x 9 _ x2 .

63

Iím f(x ); x-o

o ,. Iím f (x) = 1; x-o

Iím ¡ (x); x ....... -oo

o ,. lím f (x) = -oo. x---oo

o

o

o

o


(a) Obtener dominio, raíces e intervalos de continuidad de la {unción f '1'

Por ser f una función racional, su dominio es:

Raíces:

D¡ = IR -(xI9 - x2 = O) = IR _ (XIX2 = 9)= IR - ( - 3,3).

f(x) = O *> X2 - 2x - 3 = O *> (x + l )(x - 3) = O *> x + I = O o bien x - 3 = O *>

*> x = -1 o bien x = 3.

Pero x = 3 ~ D f I por lo cual sólo hay una raíz, que es x = - l. Intervalos de cont inuidad:

Por ser f una función racional , es continua en todo su dominio

D¡ = (-00,-3) U (- 3, 3) U (3,+00).

(b) Obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función f(x) • La función f tiene dos discontinuidade.'5: en x = - 3 Y en x = 3.

Entonces, si x - 3 =1= O

, , x2 - 2x - 3 , (x+ l )(x - 3) hm f( x) = IlIn 9 2 = hm (3 )(3 ) = :l:--3 z __ 3 - X :1: __ 3 - ;r; + x

= lím x + 1 3 + I = _ ~ = _~ %-3-(3 + x ) - (3 + 3) 6 3

Entonces, la función I (x) tiene en x = 3 una discontinuidad removible.

o

, x + 1 ,-(x + 1) hm f(x ) = lím (3 ) = hm 3 = oo . Ya que (3 + xl ~ O Y que - (x + 1) ~ 2 cuando x ~ ::z:--3 % __ 3 - + X z --3 + X

Aún más,

• Cuando x < - 3 & x próximo a - 3:

-x - 1 lím f(x) = lím --- = - oo. Ya que - x .- I > O Y que 3 + x < O.

x - -3- z __ 3 - 3 + x

• Cuando x > -3 & x próximo a - 3:

- x - 1 lím f (x) = lím --- = + 00. Ya que - x -- I > O Y que 3 + x > O.

x _ _ 3+ %--3+ 3 + x

Entonces la recta x = - 3 es una asíntota vertical.

Ahora bien, I

-1- -1, f () l ' - x - I l' _~df.x - 1 1m x = 1m --- = 1m 3 ,= - 1 = - 1 .

.:z; -oo .:z; .... oo X + 3 .:z; ___ oo

Así también,

1+x

lím ¡(x) = - l . .:z;· ... -oo

Entonces, la recta y = - 1 es una as íntota horizontal.

o


(e) Obtener gráfica e imagen de la función f (x)

T Un bosquejo de la gráfica de la función f(x) es:

y

\

. ~ ------------- .~----~~ .• ,~--~~---.---__ ._--_-.• ----~~~ ... _~. x

- -- ------------ 1 -----------o o o

· 1

Imagen: R, = IR - {- l} .

3. Dada la siguiente función

¡X 3 +7 six <-2

f(x ) = ax2

- 3 si - 2 ~ x < 2 b SI X = 2 - x + 7 si 2 < x _

o

(a) Determinar los valores de las constantes a, b que hacen de ella una función continua en el punto x = 2

.. Primero aseguramos la existencia de Iím f (x): .-2 Hm f (x ) = Hm (ax2 - 3) = a(2 )2 - 3 = 4a - 3; ~-2- ~-2

Hm f (x ) = Hm (- x+ 7)=-2+ 7 = 5 . %_2+ %_2

Entonces Hm f (x) existe si el ._2 Hm f (x ) = HIlI f (x) <* 40 - 3 = 5 <o} 4a = 8.

x_2 -· %_2+

De donde a = 2.

Con el valor de a = 2 se asegura el Hm f (x) = 5 . • _2

Ahora bien, como f (2) = b y se quiere la continuidad de f ell x = 2, deberá cum plirse que

Hm f (x) = f (2) . • _2

Esto es, que b = 5.

65

o (b) Reescriba la función f(x) con los valores calculados de a o b. Estudie la continuidad o discontinuidad de

dicha función en el punto x = - 2


T La función resultó ser

¡X

3 + 7

f(x) = ~X2 - 3

- x+7

si x < - 2 si-2:Sx<2

si x = 2

si 2 < x.

Veamos ahora si f es continua O no en x = -2.

f( - 2) = 2( _ 2)2 - 3 = 8 - 3 = 5 '* f( --2) existe y f( - 2) = 5;

lím ¡(x) = lím (x3 + 7) = (_2)3 + 7 = - 8 + 7 = - 1 ; :1:-0-2- ;);--0 - 2 -

lím ¡(x) = lím (2x2 - 3) = 2( _ 2)2 - 3 = 8 - 3 = 5; %--> - 2 + x --->-2+

Ya que lím ¡(x) = - 1 Y que lím f(x) = 5, entonces x ..... -2- x--> - 2 +

lím ¡(x) '" lím ¡ (x), lo cual implica que lím ¡(x) no existe_ x ...... - 2 - x--+-2+ z ...... -2

Con esto basta para asegurar que la función f(x) no es continua en x = - 2. Aún más, en x = - 2 la función tiene una discontinuidad esencial (de salto).

4. La función h tiene la siguiente tabla de valores:

x h(x ) 1.9 20.9701

- 1.99 26.3638 - 1.999 26.936

- 2 27 -2.001 27.064 - 2.01 27.6438

2.1 33.7901

o

Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de h que pasen por el punto (- 2, h( - 2)). Con base en estos resultados estime un intervalo de variación para la pendiente de la recta tangente a la gráfica de h en (-2, h( - 2) ).

T Consideramos una recta secante SI que pase por los puntos (-2, h( - 2» y (Xl, h(x¡)), y otra secante 82 que pase por los puntos (- 2, h( -2)) Y (X2, h(X2))'

Conviene considerar que Xl < - 2 Y que X2 > - 2. Por ejemplo, sean Xl ,= - 2.01 Y X2 = - 1.99.

La pendiente mI de la recta secante SI es

h(x l ) - h( - 2) 27.6438 - 27 0.6438 mI = = = --- = - 6438

Xl - (-2) - 2.01 + 2 -0.01 '.

La pendiente m2 de la recta secant.e 82 es

h(X2) - h( - 2) 26.3638 - 27 - 0.6362 m2 = X2 _ (- 2) = - 1.99 + 2 = 0.01 = - 63.62.

Las pendientes mI = -64 .38 Y m2 = - 63.62 nos definen el intervalo de variación de la pendiente mr de la recta tangente a la gráfica de h en el punto (- 2, h( -2)). A saber,

- 64.38 :S mT :S - 63.62.

o


5. El desplazamiento en metros de una partícula que se mueve en línea recta está dado por s(t) = t 2 - 6t + 10, donde t (tiempo) se mide en segundos.

(a) Calcule la velocidad instantánea en el tiempo I

• La velocidad instantánea es

v(l) = Hm s(1 + h) - s(t) . h ..... O h '

s(t) = t2 - 6/+ 10 ;

s(t + h) = (t + h)2 - 6(t + h) + 10 = t2 + 2th + h2 - 61 - 6h + 10 ;

s(1 + h) - 8(t) = (12 + 21h + h2 - 61 - 6h + 10) - (12 - 6t + 10) ;

s(1 + h) - 8(1) = 2th + h2 - 6h = h(21 + h - 6);

v(t) = Hm s(t + h) - s(t) = h-O h

= lím h(2t + h - 6) = h_O h

= Hm (2t + h - 6); h_O

v(t ) = 2t - 6 mis,

que es la velocidad instantánea en cualquier instante t ~ O.

(b) Determine la velocidad instantánea cuando la posición de la partícula es 10 metros • Primero determinarnos el instante en que s(t ) = 10 m.

s(t) = 10 ,,* t2 - 6/ + 10 = 10 "* ¡2 - 6/ = O ~. t(t - 6) = O "* "* t = O o bien / - 6 = O '* t = O o bien t = 6.

Luego, calculamos las velocidades en estos instantes

V(t = O) = 2(0) - 6 = - 6 ,* V (O) = --6 m/ s;

V (t = 6) = 2(6) - 6 = 6 '* V(6 ) = 6 mis.

o

o


1. La función f tiene la gráfica siguiente:

(a) De la gráfica determine los lími tes; lím f(x) ;

%-+-2 -

,. lím f(x) = 00; O 3;->-2 -

lím f (x ); :1:; ..... 2+ ,. lím f(x) = O; O

x--+2+

lím f(x) ; x_3 -,. lím f (x) = 1;

x_3-O

lím f(x ); <~=

,. lím f( x) = 2; x~=

O

(b) Calcule f ( - 2), f(l) así como f(2 ). ,.

, , :

: / : I , I : 1

: I :1

f Ix)

lím f(x); :1:--+-2+

,. lím f(x ) = -00; x ___ 2+

lím f( x); :1: ..... 1-

,. lím f(x) = ~; 3;-- } - 2

lím ¡ (x); x __ 3+

,. lím f (x) = 2; x ..... 3+

lím ¡(x); z __ 2 -

O ,. lím f(x) = oc; x __ 2 -

lím ¡ (x); x __ 1+

,. lím ¡(x) = ~ ; x ........ ¡+ 2

O

lím ¡(x); X ___ OC)

O ,. lím ¡(x) = ~ . x--. - oo 2

f ( - 2) no existe; f( l ) no existe y además ¡(2) = O.

(e) ¿Existen o no los siguientes límites: lím ¡ (x); lím ¡(x); lím ¡(x) : lím ¡(x)? x ...... -2 %- 1 x-.2 r-3

... Tenemos que

O

. 1 lím f(x) no existe; [¡m ¡(x) = ~2; lím ¡ (x) no existe; lím ¡(x) no existe. O

x- - 2 z- l :.:-2 z-J

69

O

O

O

70 Cálculo Diferencia l e Integral 1

2. Se lanza una pelota hacia arriba. La ecuación de posición de la pelota al t iempo t es

s{t) = 5t - lOe.

(a) Calcule la velocidad instantánea (v) en el tiempo t = 1/ 4 calculando el límite

l' s{1/ 4 + h) - s{1/ 4) h~~ h

'" Tenemos que

s{t ) = 5t - 10t2 =>

=> s (¡) = 5 (¡) - lO (¡) 2 = ~ - 10 (1~) = ~ - ~ = ~ ;

S(¡ +h) =5 (¡ +h) - 10(¡ + h)' = ~ + 5h - lOC~ + ~h+h2) =

5 5 2 5 2 = - + 5h - - - 5h - 10h = - - 10h . 4 8 8 '

(1 ) (1) 5 ,5 2 S 4 + h - s 4 = 8 - lOh - 8 ,= - IOh ;

lím s{I / 4 + h) - s{ I/4 ) = lím - lOh2

= lím{-lOh) = o. h. ...... 0 h h---O h h- .... O

La velocidad instantánea en t = ¡ es v = Q.

lb) Calcule la posición de la pelota en t = 1/ 4

... La posición en t = ~ es s (¡) =~ .

o

o (e) Dé una interpretación de sus resultados .

1 ... Se infiere que la posición en t = 4" es la altura máxima de la pelota, por lo que su velocidad instantánea

1 en t = 4 es v = O.


¡ vrr;-2 g(x) = ~x

41x l

si x> O

si x = O

si x < O

y determine sus puntos de continuidad

• Para x < O se tiene que Ixl = - x, por lo que

x x 1 g(x) = - = - - =--41xl 4( -x) 4

que es una función constante .

Entonces 9 es una función continua para x < O.

o


Para x > O se t iene que

() y'4+X- 2

9 x = x

que es una función continua para cada x f; O tal que 4 + x 2: O; es decir: para x f; O tal que x 2: - 4.

Esto es, 9 es una función continua para x > O.

Pero 9 es disC'.ontinua en x = O. Basta ver que "

y que

Ni falta hace calcular el Iím g(x). x __ o+


Determinar:

1 9(0) = -

4

lím g(x) ~ 9(0). 2: __ 0 -

x '2 - 1 h(x) = -2--'

x - 4

(a) El dominio, las raíces y paridad de h(x) l'

Por ser una función racional , su dominio es:

D h = IR - {x I x2 - 4 = O} = IR - {x I x2 = 4} = IR - {- 2, 2} .

Raíces: h(x) = O.,. X 2 - 1 = O.,. X2 = 1 .,. x = ± l. Paridad :

( _ x)2 - 1 x2 - 1 !t( - x) = (2) = -2-- = h(x). - x - 4 x - 4

o

Se trata de una función par, por lo que cual su gráfica es simétrica con respecto al eje de las ordenadas.

O

(b) Las asíntotas verticales y horizontales de "(x)

71

• Las rectas x = - 2 & x = 2 podrían ser asíntotas vertic.:'1.les. Por la paridad de la funciólI, basta con analizar sólo una, por ejemplo x = 2.

1, !t() l ' X 2 - 1 un x = 1m ~4 = -00 , x ..... 2 ~ x ..... 2 - X -

ya que (x2 - 4) --+ O con valores negativos y ya que (x2 - 1) -+ 3 que es positivo cua ndo .x -t 2-.

2 Iím h(x) = Iím X

2 - 1 = +0::',

x ..... 2+ 2: __ 2 ¡. X - 4

ya que (x2 - 4) --+ O con valores positivos y ya que (x2 - 1) --+ 3 qUI! es posit. ivo cua ndo x -t 2+.

Luego entonces, la recta x = 2 es 11na asíntota vertical.


Por la paridad de esta función resulta que la recta x = - 2 es también una asíntota vertical, cumpliéndose que

lím h(x) = +00 = lím h(:<) 3:-0-2- %· ..... 2+

y que lím h(x) = -00 = lím h(x).

x->-2+ % __ 2 -

Para las asíntotas horizontales, analizamos cuando x ~ +00:

1 x2 - 1 1 - , 1

lím h(x) = lím - 2-- = lím _x4

= - = 1 . :r __ +<x> x-++<Xl X - 4 x--.+oo 1 _ _ 1

X2

Luego entonces, la recta y = 1 es una asíntota horizontaL Y por la paridad de esta función se tiene que lím h(x) = 1, por lo cual, la recta y = 1 es la única asíntota horizontal de h.

x-+-co

(e) Dé un bosquejo de la gráfica de la función l' Un bosquejo (raquítico) de la gráfica de h (x ) puede ser

" 1: i : " , , I ,

/ ' =-="=-=-::-:::---: - - - - - - - .... - - - - - - 1 , ,

., ·1 , ! : , ' , ,

, I : I :/ " :/

5. Sea 1 : [-3,31 --> IR la función definida por

y

1/4

, I

:1 : \ : \ : \ :"-.

'\ ; , ' \ : 1: . , :1 ¡, " 1;

.. x

f(x) = 48 - 98x - 343x2 + 287x3 - 343x' + 287x' ·- 391x 6 + 385x7 .

Evalúe f( - 2), f( - 1), f (O) , f ( l) , f(2).

¿ Cuántas raíces reales tiene al menos el polinomio ¡(x) en el intervalo [- 3, 3]?

.. Evaluando tenemos que

f( - 2) = - 92400; f ( - l ) = - 1890; f ( l ) = - 168; Y que

f(O) = 48; f (2) = 28728.

o

o

Ya que f es una función continua en todo IR, por ser polinomial , entonces f es continua en el intervalo [-3, 3}.

Por ser f( - 2) < O, 1(- 1) < o, f (O) > O, 1(1) < O, f(2) > O, por el teorema del Valor Intermedio, la función 1 tiene al menos una raíz en los intervalos ( - 1, O), (0, 1) Y en (1, 2).

Luego entonces, la función f tiene al menos 3 raÍCes reales en el intervalü [-3,3].

o


1. Dar una posible gráfica para una función f que sea continua en su dominio IR - { - 2, 0, 2} Y que satisfaga las condiciones:

tim f (x) = O; %--0-00

lím f(x) = 00; ._00 lím f(x) = 1; x __ - 2-

lím f (x) = 3; % __ _ 2+ lím f (x) = 00;

:1;: ....... 0 -tim f (x) = -00;

:1: __ 0+

lím f (x) = O; ._1 lím f (x) = 3; ._2 f( l ) = O.

Clasifique sus discontinuidades.

.. Una posible gráfica de la función f es la siguiente

y

/ / /, ./

_._~---- -- - 1 / :

·2

/ Discontinuidades:

En x = - 2 se tiene una discontinuidad esellcial de salto.

En x = O se tiene una discontinuidad esencial infini ta.

En x = 2 se tiene una discontinuidad evitable o removible.

2. Considere la fu nción 2X2 - 18

h(x ) = x2 _ 25 .

(a) Obtener el dominio, raíces e intervalos de continuidad de la función h ,. Por ser h una función racional, su domin io es

x

Dh = IR - {x I X2 - 25 = O} = IR - {x I x 2 = 25} = IR - { - 5, 5} .

73

o


Raíces: h(x) = O <* 2x2 - 18 = O <* X2 = 9 <* x = ± 3.

Por ser h una función racional, es continua en todo su dominio; es decir, en

(- 00, - 5) U (- 5, 5) U (5,00) .

(b) Obtener las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de h

.. La función es discontinua en x = - 5 Y en x = 5.

1, h() l ' 2X2 - 18 1m X = 1m 2 = +00 1

r---5 - 2: ..... -5 - X - 25

o

ya que (x2 - 25) ~ O con valores positivos y ya que (2x2 - 18) ~ 32 que es positivo cuando x ~ - 5- . Análogamente:

1, h() l ' 2x2 - 18 .1m x = 1m 2 = -00 ,

2:--0-5· 2: __ 5+ X - 25

ya que (x2 - 25) ~ O con valores negativos y ya que (2x2 - 18) ~ 32 que es positivo cuando x ~ - 5+ De lo anterior podemos afirmar que la recta x = - 5 es una asíntota verticaL

De manera semejante se obtiene que la recta x = 5 es una asíntota. vertical y además que

lím h(x) = -00 & lím h(x) = +00. %-5- x __ 5+

También se pueden obtener estos resul tados considerando que la función es par.

En cuanto a las asíntotas horizontales vemos que

l ' h() ¡- 2x2 - 18 :c...!~oo x = x ...... ~oo X2 - 25

18 2 -"2 2

lím __ x_ - - - 2 '::_-00 1 __ 25 - 1 -

x2

y que

1, h() l ' 2x2 - 18 .1 m x = 1m 2 = 2 ,

%_+00 %_+00 X - 25

lo cual DOS permite afirmar que la recta y = 2 es la única aslntota horizonta l de la función.

(e) Bosquejar la gráfica de la función h

'1' Un bosquejo de la gráfica de h puede ser así

I )

---- - - ---~ - -----------, : -C:==.

t(' , , , I : I : I , I : i

y

, ,

\ \

2 -- -- ----- -- ---~- --- ----- . 8 / 2~ I -- ,

,

\ \

\

x

o

o

Segundo parcial ) evaluación 16


¡ JX2='T - "';X2 - 3x

g(x) = (x+3) !x+2 ! x+2

~

si ;r: ~-8

si - 8 < x < - 2

(a) Calcule lím g(x) % ___ 00

.. Tenemos que

lím g(x) = lím (v'x2=l - }x2 -3x) = % __ 00 % ___ 00

= 11 m = , (JX2='T- "';x2 3x "';X2 - 1 + "';x2 - 3X ) %--~ 1 "';x2 - 1 + "';x' - 3x

l' (x'- I) -(x' - 3x) l' 3x - 1

= 1m = ln1 %--~ "';x2 - I + "';x2 - 3x .--~ v'x2 - 1 + "';x2 - 3x

3x - l 3x 1 - - -= lím ! x! = lím _ - x -x %--~ "';x2 - 1 1X2 - 3x %--~ 1X2 - 1 "';x2 - 3x -'--,----,-- + + .:.=..-;=;.:.::

Ix! Ix! yX2 yX2 1 1

- 3 + - - 3+ -= lím x = lím x = %--~ JX'-I+Jx2 - 3X %--~ Jl - 1 + Jl-~

x2 X2 x2 x

- 3 3 = 1+1 = - 2

Luego entonces)

3 lím g(x) = -- . % __ 00 2

(b) ¿Existe el lím g(x)? J ustifique su respuesta :1:- - 2

... Veamos los límites I ~tel'ales lím g(x) & lím g(x). % ...... - 2 - x-+ - 2 +

Cuando x .- - 2- ) se tiene que

x < - 2 => x + 2 < O => ! x + 2! = - (x + 2) =. => !x+2! = - (x + 2) = - 1 =>

x+2 x+2

l' () l' (x + 3) ! x + 2 ! :;::} 1m 9 x = 1m

%_ - 2 - ;1: _ _ 2 - X + 2

= lím I- (x + 3)1 = - (- 2 + 3) = - 1 => lím g(x) = - l . ;1: _ _ 2 : ___ 2 -

Cuando x --+ -2+ ) se t iene que

x > - 2 => g(x) = }9 - x2 =>

lím g(x) = lím }9 - X2 = }"'"9--""(-- "'2)"2 = 1 9 - 4 = v'5 => :c--2 -+- % __ 2

lím g(x) = v'5 , % __ 2+

75

o


luego entonces,

lím g(x) fe lím g(x ), .:1;--<- 2 - x ...... - 2+

por lo cual podernos afirmar que lím g(x ) no existe . x ...... - 2

o

4. Sea f: IR --> IR una función continua tal que 1(- 10) = -4, f( - 3) = 2, f(l) = O, f(2) = 8, f(4) = - 5.

Determine el número de raíces que al menos tiene la función f y en qué intervalos se encuentran.

,. Ya que 1(-10) = - 4 Y que f( - 3) = 2, entonces 1(- 10) < O & f (-3) > O; por lo tanto, por el teorema del Valor Intermedio, existe al menos una raíz en el intervalo (- 10, - 3) .

Análogamente, f(2) = 8 & f(4) = - 5 implican que f(2) > O Y que f(4 ) < O; de nuevo, por el teorema del Valor Intermedio, existe al menos una raíz en el intervalo (2,4).

Luego entonces, la función f tiene al menos tres raíces en el intervalo (-- 10,4) pues x = 1 también es raíz.

O

5. La gráfica de la función f(t) = - t' + 2t + 3 pasa por los puntos (1.999, f(1.999)) Y (2.001, f(2.001)).

(a) Obtenga el valor de las pendientes de dos rectas secantes a la gráfica de f que pasen por el punto (2, 3) Y por los puntos mencionados

,. Ya que f = -t' + 2t + 3, entonces

f(1.999) = -(1.999)' + 2(1.999) + 3 = 3.001999; así como

f (2.001) = - (2.001)' + 2(2.001) + 3 = 2.997999.

Si SI es la recta secante que pasa por los puntos A(1.999, 3.001999) Y P(2, 3) , entonces la pendiente de SI es

3 - 3.001999 mi = 2 - 1.999

- 0.001999 0.001 = -1.999.

Si S, es la recta secante que pasa por los puntos P(2,3) y B(2.001 , 2.997999), entonoes la pendiente de S, es

= 2.997999 - 3 = - 0.002001 = - 2 O m, 2.001 _ 2 0.001 . 01.

(b) ¿Qué puede decir aoerca de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2,3)?

... La pendiente de la recta tangente es un número m tal que: - 2.001 5 m 5 - 1.999.

o

o


1. Determinar los valores de A, B para los cuales la siguiente función es continua en x = -1 Y en x = l . Bosquejar la gráfica.

{

X2 + X+ l si x <-1

f(x )= Ax+ B si - 1 :O;x:O; 1

2x - 4 si x> 1.

,. Para que la función sea continua en - 1 debe cumplir Hm f (x ) = 1(- 1). : ___ 1

En particular el límite debe existir y por lo tanto los límites laterales deben ser iguales.

Hm f (x) = Hm (x2 + x+ l ) = (- I )'+(-I )+ I = I ; %--0 - 1- % ...... -1 -

Hm f( x) = lím (Ax + B) =-A + B . : ___ 1+ :1: __ 1+

Igualando obtenemos

- A+B = l. (*)

También, para que la función sea continua en 1 debe cumplir lím f (x) =, f (I ) . . -. En particular el límite debe existir y por lo tanto los límites laterales deben ser iguales.

lím f (x) = lím (Ax + B ) = A + B ; %----- 1- %- 1-

Hm f (x) = Hm (2x - 4) = - 2 . :_ 1+ % ...... 1+

Igualando obtenemos

A + B = - 2 . ('*)

Resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, formado por (-+: ) y por (**), obtenemos

A = -~ & B = -~ . 2 2

Al sustituir estos valores, obtenemos la función continua de la. qUE' se no~; pide bosquejar su gráfica

(

X 2 + x + 1 si x < - 1 3 1

f (x) = - 2 x + - 2 si - 1 ~ x :O; 1

2x - 4 si x>l.

Esta función consta de tres partes:

77


i) La parábola y = X2 + X + 1. Vemos que

X2 + X + 1 = X2 + X + ~ - ~ + 1 = (x + ~)\ ~ . 4 4 2 4

Es decir ) es la parábola y = X2 desplazada a la izquierda ~ y levantada ¡. Pasa por los puntos (- 1, 1) Y (- 2, 3).

3 1 ii) La recta y = - -x - - .

2 2 ·31 Esta es una recta de pendiente - '2 y ordenada en el origen -'2" Pasa por los puntos (-1,1) Y (1, - 2). Une los extremos de los otros pedaws.

iii ) La recta y = 2x - 4. Esta es una recta de pendiente 2 y ordenada en el origen - 4. Pasa por los puntos (1, - 2) Y (2, O).

Con esta información, un bosquejo de la gráfica de la función f(3.:) es

f (x )

\

\ \

\ 'It- -- ------

!\~ ~-- 1 ,

·2 ·1 _~ - 1/2 1:

- 2 -----

, x2 + 4x - 12 2. De la funcien ¡(x) = X2 - 7x + 10 ' encontrar:

(a) El dominio, raíces, puntos de discontinuidad y su clasificación y

Dominio: vemos que

• x

¡(x) __ x' + 4x - 12 __ (x + 6)(x - 2) __ x + 6

x2 - 7x + 10 (x - 5)(x - 2) x - 5 ' " i x i 2 .,. x - 2 i O.

Así: D¡ = IR - {5, 2}.

La raíz es: x = - 6. Discontinuidades:

En x = 2 se tiene una discontinuidad removible. Además lím f(x) = - ~. 2: ___ 2 3

En x = 5 se tiene una discontinuidad esencial infinita.

o

o


(b) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales

't' Puesto que 6

1 +-[ím ¡(x) = lím ----"-5 = 1 ,

x __ ±oo x ....... ±oo 1 _ _

x

tenemos que y = 1 es una asíntota horizontal.

Se t iene que x = 5 es una asíntota vertical. Vamos a examinar los limites laterales:

i. Si x ~ 5- '* x < 5 '* x - 5 < O '* (x - 5) ~ 0-, entonces

x+6 "(11 )" [ím ¡(x) = lím -- = -::- = -oo. :2:--5 - :2: ....... 5- X - 5 O

ii. Si x ~ 5+ '* X > 5 '* x - 5 > O '* (x - 5) ~ 0+, entonces

+6 "(11) " [ím ¡(x) = lím ~5 = 0+ = +00. x--5+ :2:---5+ X -

(e) Esbozar la gráfica utilizando la información obtenida en los incisos (2a) y (2b).

Un e:sb07..o de la gráfica de la función f(x) es el siguiente

f ( x )

\

\. '~----

------ ------------- 1 -- - - - -- -----~--- ------ - --- --- . ,

3. De la función

.. 2 ~

¡ J5x2 + 3x + 1

J2x' - 3 ¡ (x) =

16 - x' 5- JX2+9

determinar los límites laterales en - 4 y el límite en -oo.

~ Primero, cuando x ---+ -oo. La x cumple x < - 4 < O.

.. \

\

\

si x ~ -4

si --1 <x< 1 ,

x

79

o


Tenemos

Por lo tanto)

V2 3 1 V 3 1 v'5 2 + 3 + 1 x (5 + - + 2) Ixl 5 + - + 2 ¡(x) = x x = x x _ = x X

v'2X2 - 3 J X2 (2 - ~) Ixl J 2 _ 3 x2 x2

(V 3 1) 5+-:+ 2 v'5 5

lím ¡(x) = lím x x = - = ~ '" 1.581. .~-~ .~-~ R /'i V'2

2-x2

Segundo, cuando x --+ -4-. En este caso la función es continua y el límite lo calculamos por evaluación:

lím ¡(x) = J5( _ 4)2 + 3( -4) + 1 = v'61! '" 1.5425 . • ~-, - J 2( - 4)2 - 3 /'ill

Tercero , cuando x --+ - 4+. La x cum ple - 4 < x < 1. Se tiene ahora:

Por lo tanto

¡(x) = 16 - x2 16 - X2 5 + v'X'+9 5 - v'X'+9 5 - v'X'+9 5 + v'X'+9

(16 - x2)(5 + v'X2 + 9) ----=2::-5 -'--'-;( x--;2c-+~9 )---'---'- =

(16 - x2)(5 + v'X2 + 9) ~ = = 5 + V X2 + 9 pues x 1~ ± 4.

16 - x2

lím ¡(x) = lím (5 + Jx2 + 9) = 5 + 55 = 10, pues x -1 ± 4 ~ 16 - x2 -1 O. % _ _ 4+ x-o-4+

Vemos que la función es discontinua en x = - 4, pues los Iímiteas laterales son distintos.

4. En un movimiento rectilíneo la posición de un automóvil a las t horas es

7 8(1) = 50t - -- km. 1+1

(a) ¿Cuál es la velocidad promedio durante las dos primeras horas?

.. La velocidad promedio se calcula como

8(2) - 8(0) 2-0

7 (100 - -) - (- 7)

3 2

321 - 7

7 100 --+ 7

3 2

3 314 ---"-2- = 6 = 52.3 km/ h.

o

o


(b) ¿Cuál es la velocidad instantánea a las 2 horas? Obtenerla mediante la definición de derivada • Calcularnos el cociente diferencial

7 293 150t(t + 1) - 21 - 293(t + 1) .(t) - .(2) (50t - t + 1) - 3 :I(t + 1)

t - 2 = t _ 2 = ---~~tl:.C_-c2~----

150t2 + 150t - 21 - 293t - 293 150t2 - 143t - 314 = ~

3(t + 1)(t - 2) 3(t + l )(t - 2)

81

(*)

"(O) " Si tratamos de calcular el límite por evaluación cuando t --lo 2, obtenemos una indeterminación .6 . Esto significa que t - 2 divide al polinomio 1501' - 143t - 314.

Hagamos la división:

Sustituyendo en (*):

.(t) - .(2) t - 2

Calculando el límite

150t + 157

t - 21 150t2 - 143t - 314

- 150t2 + 300!

(150t + 157)(t - 2) 3(t + 1)(t - 2)

+ 157t

- 157t + 314

O.

150t T 157 . 3(t +1)' SI t f 2 ~ t - 2 f O.

v(2) = .'(2) = lím .(t) - .(2) = %_2 t - 2

= lím 150t + 157 300 + 157 = 457 = 50.7 km/ h . • _2 3(t + l ) 9 9

o


l . Determinar los valores de a , b para que la siguiente función sea continua. en los reales

¡2x + a si x < O

f(x) = 4 - v'4x+4 si x ? O Y x ¡i 3 x' - 2x - 3

b si x = 3.

l' Para que la función sea cont inua en x = O debe cumpli r Iím f (x) = f(O). En particular el límite debe ._0 existir, por lo tanto se debe cumplir Iím f(x) = Iím f(x ). Calculamos a mbos límites laterales:

:.; ->0 -- :1: __ 0 +

lim f (x) = Iím (2x+ a) = a ; ::z: ...... o- :.: __ 0 -

Iím f(x) = Iím (4 - v'4x+4) = 4 --J4 = - ~ = f(O). :.r; ...... 0+ x--+o+ X 2 - 2x - 3 - 3 3

Igualando ambos límites:

2 a = - - .

3

Ahora en x = 3 se debe cumplir que Iím f( x ) = f (3) . • _3

(4- yf4X + 4) 4-.,/i6 "(O) " Jím f(x) = Jím = =-

._3 %_3 x' - 2x - 3 9 - 6 - 3 O

Tenemos una indeterminación, entonces

(x _ 4 - v'4x+4 = 4 - v'4x+4 x 4 + v'4x+4 = f ) - x' _ 2x - 3 x' - 2x - 3 4 + .¡'4x + 4

16-(4x + 4) 12 - 4x

= (x ' - 2x - 3)(4 + yf4x + 4) (x' - 2x - 3)(4 + v '4x + 4)

- 4(", - 3) - 4 _ si x ¡i 3 '* x - 3 t O. = (x - 3)(x + 1)(4 + yf4x + 4) (x + 1)(4 + .¡.¡x:¡:-4)'

Por lo cual

!~ f(x ) = !~ ex + 1)(4 ~4v'4x+4» ) = 4 ~48 = - ~. 1

Igualando, tenemos b = f (3) = - S'

83

o

84 Cálculo Diferencial e Integr:

2. De la función

encontrar:

X2 - X - 6 ¡(x) = x2+3x+2

(a) El dominio, las raíces, puntos de discontinuidad y su clasificación

'" Tenemos

X2 - X - 6 ¡(x) = x2+3x+2

Por lo tanto, podemos indicar ahora:

Dominio: DI = IR - { -1, -2}.

Raíces: x = 3.

(x - 3)(x + 2) x - 3 (x + I )(x + 2) = x + l ' si x#-2<*x+2# 0.

Discontinuidades: en x = - 2 se tiene una discontinuidad removible.

Ya que lím ¡(x) = lím x - 3 = - 5 = 5, en x = - 1 se t iene una discontinuidad esencial infinita. % ...... -2 ::.:-__ 2 X + 1 - 1

(b) Las ecuaciones de las asíntotas vert icales y horizontales ,. Como

entonces

3 1- -

¡ (x) = -----t ' 1 +

x

3 1 - - 1

lím ¡(x) = lím ~I = - ,= 1 . :l:_±OO :z:-±oo 1

1 +x

Se tiene que y = 1 es una asíntota horizontaL

Calculamos los límites laterales en x = - 1.

i . Si x ~ - 1- ~ x < - 1 ~ x + 1 < O ~ (x + 1) ~ 0-. Así

lím ¡(x) = lím -- = - = +00. x - 3 "(-4)" z-- I - %_ - 1 X + 1 0-

ii . Si x ~ - 1+ ~ x > - 1 ~ x+ 1 > O:} (x + 1) ~ 0+ . Así

Hm ¡(x) = lím -- = - = -oo. x - 3 "(-4)" %- - 1+ ::.:-__ 1+ X + 1 0+

(e) Esbozar la gráfica ut ilizando la información obtenida en los incisos (20) y (2b).

o

o


,. La gráfica de la función j(x) es:

f ( x )

, ,

, , , , , , , , )~Js

---~ :: - ------- --- - ------~ -- ~--1 ------ --- ------------

. 2 - 1 .--~--,

!

I 3. Calcular el siguiente límite:

" Tenemos que

v'XTI - v'6-X v'XTI - v'6-X v'XTI + "jFx x-2

x x - 2 v'x + 2 + v'6 - x

(x + 2)-(6 - x) 2x,·=-¡.4_==:-= (x-2)(v'x + 2 +v'6 - x) = (x - 2)(y'X+2+v'6-x) =

2(x - 2) 2 si x'" 2 .,. x - 2 '" O. = (x-2)(v'x+2+ v'6-·x) = v':>:+2+ y'6-x'

Por lo tanto v'x + 2 - v'6 - x 2 2 2 I

lím = lím = = - = - . • -2 x - 2 ._2 v'x+2+ v'6-x v'4 + v'4 4 2

4. Calcular el siguiente limite:

" Tenemos que

x +5v'?TI v'2x2 + I

lím x + 5v'X2+1 . :;r-·+oo J2x2 + 1

1+5R

)2+ I X2

si x > O.

85

o

o


Así

lím 1 + 5v'X2+1 = lím 1 + 5V 1 + :2 = 1 + 50 = _6_ .

• -+~ v'2X2 + 1 .-+~ R v'2 v'2 2+ -

X2

5. En un movimiento rectilíneo la posición de una partícula a los t segundos es s(t) = 2t2 - 3t + 1.

(a) Encontrar la velocidad promedio en el recorrido efectuado entre los 3 y 5 segundos

.. Tenemos que

8(5) - 8(3) = (2 x 52 - 3 x 5 + 1) - (2 X 32 - 3 x 3 + 1) = 26 = 13 unidades/segundo.

5-3 2 2

(b) Encontrar la velocidad instantánea a los 3 segundos. Obtenerla mediante la definición de derivada .. Calculamos el cociente diferencial en x = 3

8(t) - 8(3) t -3

2t2 -3t+1-1O t-3

2t2 -3t-9 t-3

o

o

(*)

Si tratamos de calcular el límite por evaluación obtenemos una indeterminación del tipo ~ , lo cual nos

dice que t - 3 divide al polinomio del numerador.

Hagamos la división

Sustituyendo en (*)

Entonces,

2t+ 3

t - 31 2t2 - 3t - 9

2t2 + 6t

3t

-3t+ 9

O.

8(t) - 8(3) (1 - 3)(2t + 3) t _ 3 = I _ 3 = 2t + 3, si t " 3 *'> t - 3 " O.

, . 8(t) - 8(3) . . v(3) = 8 (3) = hm = hm (2t + 3) = 9 umdades/segundo.

:1:_3 t - 3 ~_3

o

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