segunda parte

NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** PRIMER TRIMESTRE **** 2.015

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2. CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos). Los

conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad el

término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática

de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Se atribuye a Georg

Cantor la invención de la teoría de conjuntos.

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y se pueden representar por medio de diagramas o

escribiendo sus elementos entre llaves:

DIAGRAMA DE VENN DIAGRAMA LINEAL ENTRE LLAVES

2.1 DETERMINACION DE UN CONJUNTO :

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto. Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del

conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año , se nombra:

Por extensión:

M= {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: M= {meses del año} o M= {x/x es un mes del año}

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano, se nombra

Por extensión: D= {pulgar, índice, mayor, anular, meñique}

Por comprensión: D= {dedos de la mano} ó D= {x/x es dedo de la mano}

2.2 RELACION DE PERTENENCIA :

Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.

Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...


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2.3 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS :

1. RELACION DE CONTENENCIA O INCLUSION :

Se dice que el conjunto A está incluido ampliamente en un conjunto B, o que A es subconjunto de B, y se escribe A⊆ B , si todo elemento de A es también elemento de B.

Cuando queremos distinguir expresamente que no se cumple la igualdad, o sea cuando A⊆ B y A≠B , decimos

que A está incluida estrictamente en B, o que A es subconjunto propio de B y escribimos A ⊂ B. Esto implica

que todo elemento de A pertenece a B, pero hay elementos de B que no pertenecen a A.

Si existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B, se dice que A no está contenido en B o A no es

subconjunto de B y se simboliza A⊄B.

2. RELACION DE IGUALDAD :

Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, decimos que dichos conjuntos son iguales. Por ejemplo:

A = { x | x es un número que se obtienen al lanzar un dado corriente }

B = { x | x ∈ ℕ , 𝑥 es divisor de 60 ∧ x < 10}

Luego, A = {1,2,3,4,5,6}

Los divisores naturales de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, pero, de ellos, los menores que 10 son

solamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6, por tanto el conjunto A = B.


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Si dos conjuntos A y B no son iguales, se indica con la siguiente notación A ≠ B (A es distinto de B).

3. CONJUNTOS INTERSECANTES:

Dos conjuntos A y B son intersecantes cuando tienen elementos comunes pero A⊄B y B⊄A. Es decir, A no

está contenido en B y B no está contenido en A.

4. CONJUNTOS DISYUNTOS:

Dos conjuntos A y B son disyuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

EJEMPLO: Sean:

A = { x |x es un múltiplo de 3 menor que 65 } B = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 }

C = { x | x es un número impar menor que 20 } D = { 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 }

Determinar las relaciones entre cada par de conjuntos:

a. La relación entre A y B

Rta : Los conjuntos A y B son intersecantes pues tienen los siguientes elementos en común:

30 y 60. Además, A⊄B ni B⊄A .


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b. La relación entre B y D

Rta: Los conjuntos B y D son disyuntos porque no tienen elementos comunes.

c. La relación entre D y C

Rta: La relación entre los conjuntos C y D es de inclusión, debido a que todos los elementos del

conjunto C pertenecen al conjunto D. Por eso, se escribe C ⊂ D .

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EJERCICIO N° 3 :

1. Los músculos son un componente del sistema locomotor que tienen la función de ejercer la fuerza necesaria

para el movimiento. El esquema muestra algunos músculos del cuerpo humano.

Determinar por extensión cada uno de los

siguientes conjuntos:

a. C = { x|x es un músculo de la cabeza } b. S = { x|x es un músculo de las extremindades superiores } c. I = { x|x es un músculo de las extremidades inferiores }


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2. Determina por extensión los siguientes conjuntos numéricos:

a. N = { x|x ∈ ℕ , x < 20 }

b. M = { x|x ∈ ℤ , - 5 < x ≤ 20 }

c. P = { x|x ∈ ℕ , x < 10 y x tiene raíz cuadrada exacta }

d. Q = { x|x ∈ ℝ, x es primo y par }

e. R = { x|x ∈ ℤ , x es dígito y x ≥ 4 }

3. Determina por comprensión los siguientes conjuntos:

a. W = { 1,2,3,5,10,15,30}

b. N = {2,4,6,8,10,12,14,…}

c. S = { -5, -6 , -7 , -8 , -9 }

d. P = { 1, 4, 9, 16, 25 , 36 }

e. B = { 0 , 3 ,6 , 9, 12 ,15 }

4. Dados los conjuntos :

5. Dibuja un diagrama de Venn que muestre cada situación:

a. A ⊂ B , C ⊂ D , con B y D sin elementos comunes.

b. D ⊂ F , F ⊂ G y n ∉ D


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PRUEBA DE MATEMÁTICAS


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CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSAL

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO :

Es lo que falta al conjunto para ser igual al Conjunto Universal (U). Notación A’ o Ac

Ejemplo : Dado los siguientes conjuntos: A = {1, 3, 5, 7}

U = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

Halla: A'

2.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos permiten combinar dos o más conjuntos para producir otros conjuntos bajo

reglas bien definidas. Así, se tiene el conjunto referencial o universal U, los conjuntos A y B, se pueden definir

entre ellos las siguientes operaciones :

1. UNION ENTRE CONJUNTOS

La Unión de Conjuntos es una de las operaciones básicas que pueden realizarse a dos o más conjuntos y cuyo resultado es un nuevo conjunto, que está formado por todos los elementos que eran parte de aquellos a los que se les aplicó la operación de Unión de Conjuntos.

La unión de dos conjuntos A y B, que de denota por A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B (Elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos). En diagramas se representan primero todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego se colorea todo el diagrama. Simbólicamente:


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La operación unión es conmutativa, asociativa y tiene elemento neutro:

Conmutativa :

Asociativa :

Elemento neutro:

2. INTERSECCION ENTRE CONJUNTOS

La Intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por los elementos que tienen en común ambos

conjuntos. La intersección de A y B se denota . En diagramas se representan primero todos los

elementos en sus respectivos conjuntos y luego se colorea la zona que pertenece a ambos conjuntos.

Simbólicamente:

La operación intersección es conmutativa, asociativa y tiene elemento neutro e inverso:

Conmutativa: :

Asociativa:

elemento neutro:

elemento inverso:

A continuación, hay unas propiedades que se cumplen entre las intersecciones y las uniones:


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3. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS

Se llama diferencia de dos conjuntos A y B (A menos B) y se escribe A - B , al conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen a la vez al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente:

4. DIFERENCIA SIMETRICA ENTRE CONJUNTOS

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A-B y los elementos

de B-A. Se denota

Simbólicamente:

:

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EJERCICIO N° 4 :

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas

respectivos:

a) A U C b) B U C c) A U B


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2. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

3. Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.

a) A B b) (A B)´ c) (D E) – A

d) B C e) A´ f) B´

g) E´ D h) B E i) B E

j) A C k) ( B C)´ l) ( C D )´

m) ( A D )´ n) ( E C )´

4. Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación de conjuntos pedida:

a) A ∩ C b) B ∩ C c) A ∩ B

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }

A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 }

D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }


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5. La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer bronquitis, y presión sistólica.

6. En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no estudian ninguna de las dos lenguas?.

7. Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que # 24)( BA

# 4)( BA , # 16)( CB , # ( ) 11A C , # 10)( CB

8. Una población consume tres tipo de jabón: A, B y C. Hecha una investigación de mercado , conociéndose los resultados en la tabla siguiente:

Responda:

a) El número de personas consultadas

b) El número de personas que sólo consumen la marca A

c) El número de personas que no consumen las marcas A o C.

d) El número de personas que consumen al menos dos marcas.

HABITO DE FUMAR

SI NO

Bronquitis

Presión Sistólica Presión Sistólica

ALTA NORMAL ALTA NORMAL

SI 400 300 150 100

NO 200 50 40 30

Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres

Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

a) Determine el número de personas que fuman o

tienen bronquitis :

b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen bronquitis?

c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son fumadoras?

Se pide calcular:

a) # ( )A B

b) # )( CBA

c) # ))(( ACB

d) # ))(( CBA

e) # ))(( BAB


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9. Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con "ascaris" . Exprese las

siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjuntos A y B, realice los diagramas de Venn

correspondientes:

a. El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades. b. El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades. c. El paciente no tiene las enfermedades descritas. d. El paciente tiene sólo tifoidea.

10. Resuelva los siguientes problemas, recuerda que debe valerse de diagramas de VENN :

a. De 140 personas 60 no leen y 50 no escriben, sabiendo que 30 solo leen. ¿Cuántas personas leen y escriben?

b. En una encuesta realizada a 100 personas, por la preferencia de los artículos A y B; 56 no prefieren A, 58 no prefieren B y 28 no prefieren ninguno de los dos. Determinar el número de personas que prefieren los dos.

c. En un grupo de 50 alumnos, 24 no llevan lenguaje y 28 no llevan matemáticas, si 14 estudiantes no llevan matemáticas ni lenguaje, determinar, cuantos estudiantes llevan exactamente uno de tales cursos.

d. De los 15 alumnos de una clase, 3 siempre llegan a ella caminando, 6 usan microbús, 7 usan bicicleta. ¿Cuántos alumnos van en microbús y en bicicleta?

e. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemáticas 30, física 30, castellano 35, matemáticas y física 18, física y castellano 19, matemáticas y castellano 20 y 10 alumnos aprueban los tres cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los tres cursos?

f. De 95 alumnos que dieron exámenes de historia y geografía, se observó que 40 aprobaron historia, 50 aprobaron geografía y 20 no aprobaron ninguno de los dos cursos, ¿Cuántos aprobaron los dos cursos?

g. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 hablan francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?

h. De 64 personas de un hotel, 42 son amables 17 son serviciales y 24 son prudentes. Si 5 personas tienen

las 3 cualidades .¿Cuantas de ellas tiene 2 de dichas cualidades?

i. En un curso conformado por 22 alumnos, se sabe que 12 estudian alemán; 14 estudian Ingles y 13 francés; 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian inglés y francés y 2 de ellos estudian los 3 idiomas. ¿cuantos estudian únicamente un idioma?.

j. De 200 personas consultadas sobre el deporte que practican, se obtuvo la siguiente información: 68 juegan fútbol, 138 juegan básquet, 160 juegan vóley, 20 juegan fútbol y no básquet, 13 juegan fútbol y no vóley, 15 juegan fútbol, vóley pero no básquet ¿cuántos juegan básquet, vóley pero no fútbol?

k. En un salón de clase de 60 alumnos, se tomaron 3 exámenes para aprobar un curso y se observó que los que aprobaron un solo examen es el quíntuple de los que aprobaron los 3 exámenes y los que aprobaron sólo 2 exámenes es el triple de los que desaprobaron los 3 exámenes. Si el número de los que desaprobaron los 3 exámenes es igual al número de los que aprobaron los 3 exámenes, ¿cuántos aprobaron el curso si para aprobarlo es necesario que aprueben por lo menos 2 exámenes?

************************************************************************ PREPARA LA EVALUACION N° 2 : CONJUNTOS

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segunda parte

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