secuencia didáctica con problemas abiertos - irma noemí no - 2014

Irma Noemí No Secuencia Didáctica

1

Enseñar con TIC Matemática 2

TITULO: DESCUBRIENDO FUNCIONES Curso: 1° año

Asignatura/Espacio curricular: Análisis Matemático I (o Cálculo I)

Propósitos de la secuencia:

● Promover un acercamiento al manejo de herramientas tecnológicas aplicadas a la

resolución de problemas, visualización de conceptos, y desarrollos alternativos para las

propuestas didácticas planteadas, respetando la empatía personal por los recursos

individualmente seleccionados.

● Invocar el uso de pensamientos de orden superior, a través de operaciones de analogía,

análisis, comparación, selección, jerarquización, adecuación, conveniencia y efectividad

en los procesos cognitivos involucrados.

● Sembrar inquietudes en el alumno por conocer, investigar, preguntar, ir más allá, pedir

ayuda, colaborar, producir y crear en libertad.

● Conmocionar al alumno por el descubrimiento de la hermosa cohesión interna y la

extensa aplicación que posee la ciencia matemática, promoviendo un aprendizaje

significativo.

Objetivos de la secuencia: Que los alumnos:

● Incorporen hábitos de conveniencia y oportunidad, en la aplicación de propiedades de los

objetos matemáticos trabajados.


2

● Naturalicen el uso de herramientas tecnológicas para deducir, calcular, visualizar,

compartir, corroborar, reflexionar y mejorar sus producciones.

● Desarrollen habilidades de aproximación en el manejo de datos al azar.

● Descubran y fortalezcan el uso del soporte informático como en actividades ligadas a

prácticas que emergen de la realidad.

● Fortalezcan sus competencias en investigación, explorando sin temores, buscando la

mejora continua y la optimización.

● Reflexionen sobre “cuánto saben” y “cuánto hay por saber”.

Contenidos:

● Características de los grandes grupos funciones matemáticas de una variable.

● Ajuste de curvas.

● Papel gráfico semilogarítmico.

Saberes previos necesarios: En relación a la disciplina:

● Expresión analítica de las funciones matemáticas básicas, gráficos y características.

● Propiedades algebraicas y aritméticas en el campo de los números reales.

● Cálculo de áreas bajo curvas (optativo en el arte de actividad 3).

En relación a las TIC:

● Uso de los comandos básicos de los utilitarios Geogebra y Graphmatica.

● Uso de Internet con fines de investigación.

● Uso de aula virtual.

Secuencia de actividades: (al menos 3 actividades) Actividad 1: Consigna

¿Cuántos puntos de la gráfica de una función se necesitan para conocer su

expresión algebraica?


3

Momento de Apertura:

Se divide a los alumnos en pequeños grupos para trabajar con la consigna.

Se sugiere el uso de programas que logren identificar entradas de puntos, para graficarlos

y realizar ajustes de curvas, además del trabajo algebraico manuscrito que consideren

necesario.

Puede resultar útil la visualización de una ayuda como:

http://www.youtube.com/watch?v=R6A8HqFuBEk

En este período se espera un cierto momento de organización de tareas, los alumnos

pueden plantear:

“¿Por dónde empezamos?” ó

“¿De dónde sacamos los puntos?”

Una posible INTERVENCIÓN sería enfocarlos hacia un camino creciente en dificultad, es

decir, empezar por las funciones más sencillas que conozcan, y moverse hacia otros

grupos de funciones de mayor dificultad, para explorar los requerimientos del enunciado.

Seguramente los alumnos optarán por comenzar con funciones lineales, que es un campo

conocido, en referencia a la tarea propuesta.




4

Una segunda INTERVENCIÓN invocaría la importancia del valor del ajuste, recalcando

que su valor igual a 1, indica que hallamos la fórmula exacta “para los puntos dados”, y

que si el ajuste no se puede realizar, es porque la cantidad de puntos es insuficiente, para

proponer una expresión algebraica funcional del grupo especificado en el comando

“ajuste”.

Momento de Desarrollo:

Al comenzar el análisis de funciones de mayor complejidad, será necesario para el

alumno un doble abordaje de la consigna, la correspondiente al cálculo visual soportado

por los programas informáticos, y la manuscrita con el planteo de ecuaciones surgidas de

la forma algebraica general del grupo funcional en estudio.

Algunos alumnos podrán encarar la tarea ingresando puntos cualesquiera (tal y como

ejemplifica el video), y moviéndolos en pos de lograr un mejor ajuste, otros realizarán el

recorrido inverso, ingresando puntos de una tabla de valores de una expresión específica,

partiendo entonces de un ajuste igual a “1”, para posteriormente, jugar con la cantidad

de puntos que eliminan o incorporan para que el ajuste sea posible.

También es deseable un abordaje analítico en cuanto sistema de n-ecuaciones con n-

incógnitas/parámetros de la forma algebraica de la función, para deducir la cantidad de

puntos necesarios.

Se esperan situaciones “particulares”, como la presencia de simetrías en las gráficas,

dando paso a una INTERVENCIÓN docente disparadora:

¿Todos los puntos de una gráfica aportan la misma información para el hallazgo de

la expresión algebraica?

Es natural que algún grupo sugiera por ejemplo que para hallar una expresión polinómica

cuadrática, son necesarios 3 puntos de su gráfica, mientras que otro sugiera que con dos

puntos es suficiente, se presenta entonces un importante momento de reflexión, sobre el

protagonismo de puntos destacados, como el vértice de la parábola.


5

¿Cómo demuestro que el vértice aporta doble información por situarse en el eje de

simetría de la gráfica?, Respuesta: Invocando la expresión algebraica del polinomio de

segundo grado con mención del vértice:

( ) ( )

Se abrirá entonces un camino nuevo de trabajo para algunos grupos en función de las

simetrías existentes en otras funciones polinómicas.

En el campo de las funciones trigonométricas, ante el planteo de la ausencia del “ajuste

tipo coseno” se puede INTERVENIR invocando a la revisión de la relación de

“corrimiento” entre las expresiones de las funciones seno y coseno.

Por último es esperable una situación de asombro ante las funciones exponenciales, las

cuales, siendo expresiones tan importantes, con tan sólo dos puntos logramos conocer su

expresión algebraica exacta.

Momento de Cierre:

Se invita a los alumnos a compartir sus hallazgos, y argumentar sus conclusiones.

Es esperable que surjan diferencias y queden campos inexplorados o explorados sólo en

parte.

Algunos muy puntos valiosos de rescatar por INTERVENCIÓN del docente, serían por

ejemplo: la posibilidad de expresar una misma gráfica exponencial en su base “a” o en la

base neperiana “e”.

La última INTERVENCIÓN, se orientará a brindar aliento para la continuación de la

investigación de manera domiciliaria, encarando la tarea con los dos ingredientes básicos

de los niños: “La curiosidad y el Juego”.


6

En forma domiciliaria: Los alumnos documentan digitalmente sus producciones, con los

agregados que consideren1, y las elevan al aula virtual, construyendo un breve portafolio.

Los alumnos cuentan con un tutorial de acceso y navegación del aula virtual:

http://www.youtube.com/watch?v=9ZIITIsuruM

Tiempo previsto de cada momento: 20 minutos – 3 horas – 40 minutos Actividad 2: Consigna

¿Qué propiedades tienen las gráficas de las funciones cuando se muestran en una

escala semi-logarítmica?

1 Con mención de las fuentes bibliográficas y links consultados si los hubiere.




7


Se define el concepto de escala semi-logarítmica, mencionando su enorme utilidad para

visualizar datos cuyo rango de variación es muy amplio (“se observan conjuntamente

valores muy pequeños y muy grandes”).

Se indica cómo cambiar el papel gráfico en el programa Graphmatica (también disponible

en: http://www.youtube.com/watch?v=QT9_TIJpp6g ), dado que el Geogebra no posee

esa opción2.



Los alumnos ensayan fórmulas en su nuevo papel gráfico, registrando lo observado.

Algunos grupos plantean que les falta parte de la gráfica, por lo cual es el momento de

realizar una INTERVENCIÓN sugiriendo que analicen las restricciones de dominio que

impone el uso de un papel con escala logarítmica.

2 La planilla de cálculo Microsoft Excel, también posee la propiedad de cambiar la escala de cada eje a

formato semi-logarítmico.

http://www.youtube.com/watch?v=QT9_TIJpp6g

http://www.youtube.com/watch?v=QT9_TIJpp6g


8

Se espera que detecten que existe una “desaceleración” en el crecimiento de las

funciones, entonces se INTERVIENE para invitarlos a pensar las propiedades

“aritméticas” del logaritmo, esperando que realicen conjeturas al respecto.

En general se observa asombro en el estudio de las funciones trigonométricas, que

parecen nunca terminar “hacia abajo”.

Una última INTERVENCIÓN los invita a realizar el camino contrario: Dada una gráfica en

escala semi-logarítmica, hallar su expresión algebraica, mediante el siguiente planteo:

¿Es posible hallar la fórmula del gráfico inicial de la actividad? ¿Será el único tipo

de función que tiene la característica de los puntos ( ( )) están alineados?

Este planteo involucra varias habilidades o destrezas como leer coordenadas desde esta

escala, hasta utilizar propiedades logarítmicas y exponenciales para despejar la expresión

original de la función y=f(x).

Momento de Cierre:


Un punto interesante de rescatar por INTERVENCIÓN del docente es: el planteo de la

posible variación o no en las conclusiones obtenidas, por la utilización de una escala

logarítmica, en otra base diferente de la utilizada.

La última INTERVENCIÓN se orientará a brindar aliento para la continuación de la

investigación de manera domiciliaria, sobre la utilidad de la escala logarítmica, programas

de tecnologías fijas y móviles que la incorporan, y otras escalas gráficas disponibles

(polar, trigonométrico, etc); mostrándoles como ejemplo la siguiente escala utilizada en

problemas de iluminación:


9


agregados que consideren3, y las elevan al aula virtual.

Tiempo previsto de cada momento: 20 minutos – 1 hora 20 min – 20 minutos.

Actividad 3: ¿Cómo hallar la expresión algebraica de un dibujo libre?


Se invita a los alumnos a utilizar el programa Geogebra para experimentar posibles

caminos de ejecución de la consigna, enfatizando la idea de libertad de creación en esta

propuesta.

Si es necesario, se INTERVIENE introduciendo para quienes lo requieran algunas

herramientas básicas de trabajo disponibles en el utilitario informático indicado (lápiz,

bosquejo, etc).




10


Se deja actuar libremente a los alumnos, es muy probable que intuyan la necesidad de

esbozar un gráfico de tipo funcional, ahora requieren de un ajuste algebraico para la figura

creada.

En la actividad 1, los alumnos trabajaron con ajuste de listas de puntos, por lo cual

deberán marcar puntos dentro del objeto “bosquejo” que hayan creado, para utilizar sus

conocimientos previos, en el manejo de los ajustes funcionales. Este sería el camino

estándar, si optan por otro, sería muy enriquecedor, si no encuentran cómo proceder, se

puede INTERVENIR indicándoles que revisen la actividad 1.

Se realiza entonces una INTERVENCIÓN docente proponiéndoles agregar un poco de

“arte” a su producción, colores, figuras, etc. ¿El arte y la matemática tienen relación?

Se los invita a investigar en Internet.4

Posibles producciones esperadas son colores dinámicos en el nivel de adecuación o

ajuste de la expresión algebraica al bosquejo, puntos dinámicos en el bosquejo, áreas

debajo de curvas ajustadas al bosquejo creado, etc.

Momento de Cierre:


Se les pregunta ¿Por qué creen ellos que se les presentó esta secuencia de trabajo

funcional?

Se comenta la realidad de los trabajos de campo, los laboratorios, los ensayos, en los

cuales las expresiones algebraicas surgen de esta manera, a través de múltiples

mediciones. Se muestra el video disponible en http://www.ramoptical.com/qvi-snap.jsp el

cual contiene ejemplos de medición óptica digitalizada.

4 Por ejemplo visitando:

http://web.educastur.princast.es/cpr/gijon/biblioteca/recursos/arte%20y%20matematicas.pdf

http://www.ramoptical.com/qvi-snap.jsp

http://web.educastur.princast.es/cpr/gijon/biblioteca/recursos/arte%20y%20matematicas.pdf


11


agregados que consideren5, y las elevan al aula virtual.

También se los invita a escribir una reflexión final sobre la secuencia6, en un documento

colaborativo disponible en el aula virtual (formato wiki).

Tiempo previsto de cada momento: 10 minutos – 1 hora 20 minutos – 30 minutos

Recursos:

Computadoras fijas y/o portátiles y/o dispositivos móviles con Graphmatica,

Geogebra y Microsoft Excel instalados (este último es optativo).

Conexión a Internet.

Evaluación de la secuencia: Considerando que los alumnos merecen un trato personalizado tanto en la enseñanza

como en la evaluación7, y siendo ésta última una instancia decisiva en el proceso de

aprendizaje8, consideramos la modalidad de evaluación continua la más adecuada para

el presente trabajo.


6 Que consta de las tres actividades.

7 Bloom, B. y otros, "La evaluación del aprendizaje ", Buenos Aires, Troquel, 1975.

8 Nirenberg, O. y otros, "Evaluar para la transformación ", Buenos Aires, Paidós, 2000.

http://www.ramoptical.com/qvi-snap.jsp


12

El alumno podrá entregar parcialmente los resultados que ha obtenido hasta el momento,

recibiendo una devolución favorable y sin agregados, ó bien, la descripción de

sugerencias para la mejora de su actuación hasta el momento, construyendo un portafolio

digital en el aula virtual disponible.

"El saber es una construcción de la realidad a partir de una acción-operación por el

encuentro con el otro. En ese marco, la evaluación de los aprendizajes desde un enfoque

procesal y formativo permite que el discente amplíe el conocimiento de sí mismo

sirviéndole para mejorar sus propias capacidades". 9

Instrumentos de Evaluación:

Observación directa en forma presencial.

Portafolio digital (formado por el recorrido de producciones subidas al aula virtual)

Participación en Wiki de cierre (aula virtual)

Escala de calificación:

Se calificará en la escala:

Muy Pertinente (80 – 100 puntos)

Pertinente (60 – 80 puntos)

Poco Pertinente (40 – 60 puntos)

No Aprobado – No Entregó ( < 40 puntos)

Criterios de evaluación :

9 Mancini, L. "La evaluación. Enfoque teórico-práctico ", Buenos Aires, Santillana, 1998.


13

En concordancia con los objetivos especificados, no nos orientamos a evaluar por

contenidos, sino por competencias (básicas, transversales, específicas y actitudinales)10,

por lo cual los criterios seleccionados son:

Claridad conceptual comunicada en forma coloquial ó gráfica.

Capacidad de Argumentación adecuada para el concepto desarrollado.

Selección válida y correcta utilización de recursos y procedimientos.

Habilidad de autogestión de recursos e información.

Actitud crítica ante los resultados obtenidos.

Nivel de apropiación de recursos tecnológicos disponibles.

Predisposición positiva y colaborativa ante la tarea propuesta.

Se marcará en cada celda una cruz, la misma indicará la presencia del aspecto analizado

en la resolución:

INDICADORES ALUMNO 1 ALUMNO 2

Act.1 Act.2 Act.3 Act.1 Act.2 Act.3

Posee claridad comunicacional

Argumenta con solidez conceptual

Selecciona adecuadamente los recursos

Demuestra autonomía en el manejo de

recursos e información

Mantiene una actitud crítica ante los

resultados obtenidos

Se apropia de los recursos tecnológicos

disponibles

Mantiene una actitud proactiva en la tarea

Acepta ayuda y colabora con pares

La valoración en base a los indicadores anteriores, otorgarán una primera escala de

calificación del alumno,

ÓPTIMO Satisface todos los indicadores, en al

10

http://www.confedi.org.ar/content/competencias-de-ingreso



14

menos 2 actividades de las tres

propuestas.

INTERMEDIO Satisface el total de indicadores en el

recorrido de las tres actividades, de manera

alternada.

ELEMENTAL Satisface al menos la mitad de los

indicadores en la mayoría de las

actividades propuestas.

Esta escala, junto con la rúbrica que se detalla a continuación, conformarán la calificación

final del alumno.

En el proceso de evaluación por rúbrica, se utilizará una grilla de seguimiento de

características similares a la siguiente:

1-Comprensión del problema

1-1 ¿Identifica los datos /variables /supuestos?

1-2 ¿Comprende las relaciones que los vinculan?

1-3 ¿Accede a una representación del Estado Inicial /Estado Final y de las operaciones

viables?

1-4 ¿Representa, grafica, diagrama? ¿Utiliza los sistemas de notificación/notación

adecuados?

1-5 ¿Reformula el problema cuando el procedimiento no promueve la solución?

2-Diseño del plan

2-1 ¿Formula una estrategia general?

2-2 ¿Recupera saberes previos, al servicio de la transferencia?

2-3 ¿Evidencia habilidad para abordar el problema sobre la base de datos conocidos?

2-4 ¿Realiza procesos inductivos pertinentes?

2-5 ¿Descompone el problema en Unidades?

2-6 ¿Realiza adecuadas generalizaciones?

3-Ejecución del plan


15

3-1 ¿Realiza adecuados procesos deductivos?

3-2¿Interactúa con pares?

3-3¿Logra argumentar su postura y debatir diferencias?

3-4¿Naturaliza el uso de herramientas tecnológicas para la resolución y análisis?

4- Verificación de los resultados

4-1 ¿Resuelve el problema de un modo diferente?

4-2 ¿Verifica las implicancias de la solución?

5- Competencias centradas en el pensamiento creativo

5-1 ¿Evidencia capacidad para reorganizar la información de un modo nuevo (original

y adecuado)?

5-2 ¿Evidencia capacidad de producción? (Fluidez ideacional, capacidad de

asociación eficaz y pertinente)

5-3 ¿Evidencia capacidad en términos de pensamiento crítico?

La evaluación contemplará en detalle el logro de los alumnos de acuerdo a la siguiente

rúbrica:

CRITERIO Aún no

satisfactorio Bueno Distinguido Puntaje

COMPRENSIÓN

DEL PROBLEMA

No identifica

claramente datos /

variables o

supuestos.

Desatiende

relaciones

vinculante entre

datos / variables.

No representa o

diagrama

adecuadamente

sus

procedimientos.

Notación confusa.

No logra

reformular el

problema ante

Identifica variables

y datos,

necesarios; define

relaciones válidas

entre ellos, pero

no siempre las

más convenientes

o exactas.

Expresa con

claridad en

lenguaje coloquial

y gráfico, aunque

no estrictamente

formal ó científico.

Reconoce la

existencia de

estrategias que

Reconoce las

variables, datos

e incógnitas del

problema,

establece

formalmente los

vínculos

relacionales y

funcionales que

entre ellos

existen.

Desarrolla un

camino válido y

óptimo entre los

estados inicial y

final (del

planteo a la

Hasta

20

puntos


16

eventuales

dificultades.

mejoran la

resolución del

problema

planteado.

solución) de

cada

interrogante.

Representa,

simboliza y

comunica

formalmente y

en lenguaje

científico sus

resultados y

procedimientos.

Reconoce

procedimientos

alternativos de

resolución,

seleccionando

el óptimo.

DISEÑO Y

EJECUCIÓN DE

LA

RESOLUCIÓN

El desarrollo de la

resolución no

evidencia el

seguimiento de

estrategias

adecuadas.

No transfiere

debidamente los

saberes previos al

servicio de la

resolución del

problema

planteado.

Existe confusión

entre datos

conocidos y datos

supuestos.

No logra

descomponer

adecuadamente el

problema en

subunidades de

desarrollo.

Se detectan

dificultades para

generalizar ó

Ejecuta una

estrategia de

resolución,

mediante una

transferencia

aceptable de

saberes previos,

al servicio de la

obtención de una

respuesta.

Distingue los

datos reales, de

los supuestos

propios.

Soluciona el

problema en

etapas, mediante

el planteo de

subproblemas

intermedios.

Logra argumentar,

justifica (cuando le

es requerido),

puede generalizar

y deducir, cuando

es necesario.

Desarrolla una

estrategia

integral de

resolución,

seleccionando

los saberes

previos que se

ajustan de

manera óptima

a los datos

existentes y los

objetivos que se

persiguen.

Argumenta la

pertinencia y

necesidad de

supuestos

propios,

relacionándolos

con el planteo y

los datos

reales.

Planifica las

subetapas de

resolución,

evidenciando

Hasta

40

puntos


17

deducir.

Argumenta

débilmente.

Se observan

obstáculos en el

desarrollo de

procesos

inductivos.

Encuentra

dificultades en

incorporar los

programas

informáticos a su

tarea.

Posee capacidad

de pensamiento

inductivo

(medianamente

demostrado).

Posee un manejo

adecuado de

utilitarios

informáticos para

el desarrollo de la

consigna.

una estrategia

general en el

abordaje del

problema.

Deduce,

argumenta, y

justifica sus

procedimientos

en todo

momento y de

manera formal.

Realiza

procesos

inductivos más

allá del

problema

planteado.

Incorpora

nuevas miradas

al uso

tecnológico, lo

naturaliza como

parte de la

resolución,

análisis y

corroboración

del problema.

VERIFICACIÓN

DE

RESULTADOS

No define

claramente cuál es

la respuesta o se

observan

dificultades en su

comunicación.

Existe un grado de

confusión con

respecto a la

finalización de la

tarea, es decir no

logra distinguir que

ya tiene una

solución.

No verifica la

validez de los

Responde con

claridad al

problema, sin

agregados.

Demuestra

reconocer el final

de su tarea,

aunque en el

arribo a ella

realiza algún lazo

resolutorio.

Utiliza los

resultados

parciales para

construir la

solución final,

Comunica en

lenguaje formal

las respuestas

parciales y la

respuesta final

del problema.

Finaliza las

tareas

intermedias sin

agregados,

desarrollando

exactamente lo

necesario y

suficiente para

obtener

conclusiones

Hasta

20

puntos


18

resultados

parciales, o la

respuesta final al

problema.

No corrobora

sesgos o

propagación de

posibles errores.

Confunde el

concepto de

exactitud con el de

aproximación.

Olvida considerar

las unidades de

medida en parte

de la resolución ó

en la respuesta.

No elabora

conclusiones

finales sobre los

resultados

obtenidos.

Existe ausencia de

criterio.

puede no haber

verificado alguno

de ellos, pero

verifica el ajuste

final.

Se preocupa por

sesgos aunque no

logra identificar

totalmente su

fuente o una

estrategia

mejorada.

Reconoce los

errores por

aproximación, y

conserva las

unidades de

medida en cada

resolución.

Elabora una

conclusión final,

correcta y

escueta.

Demuestra cierto

criterio en la

selección de

respuestas o la

justeza de las

mismas.

válidas.

Verifica en cada

paso la validez

de sus

resultados,

utiliza

adecuadamente

y en todo

momento las

unidades de

medida propias

del planteo.

Analiza errores

por

aproximación y

los sesgos

observados,

indicando

razones de

tolerancia y

argumentando

su presencia.

Sus

conclusiones

son correctas,

comunicadas

adecuadamente

, y las puede

extrapolar a

otras

situaciones

análogas que él

mismo plantea.

Se observa un

muy buen

criterio en la

selección de

estrategias y

ante las

soluciones

obtenidas.

PENSAMIENTO

CREATIVO

No logra organizar

la información más

Utiliza los

procedimientos

Reorganiza la

información y

Hasta

10


19

allá de las

mecánicas

aprendidas.

Su capacidad de

asociación, no se

expresa en nuevas

posibilidades de

producción, con

los datos dados y

las herramientas

disponibles.

Su análisis crítico

está ausente ó no

es constructivo en

la propuesta de

alternativas.

convencionales

con leves y

adecuadas

variantes.

Demuestra un

nivel medio de

producción

creativa, incorpora

pequeños

cambios, pero

desaprovecha

parte de la

capacidad de las

herramientas y

datos.

Analiza en forma

crítica, pero sólo

propone

alternativas

inmediatas ó

"naturales".

utiliza

procedimientos

válidos y

creativos.

Establece

diferentes

modalidades de

resolución,

alguna de ellas

muy original.

Asocia

eficazmente, y

de manera

autónoma,

estableciendo

nuevos vínculos

entre datos.

Posee un

criterio

adecuado al

campo de la

matemática,

demostrado

mediante la

propuesta de

soluciones

alternativas ó la

utilización

mejorada de

herramientas y

procedimientos.

puntos

USO DEL

TIEMPO Y

CALIDAD DE

ENTREGA

Entrega con

demoras.

La presentación

está desordenada

o desprolija.

No guarda un

formato uniforme.

No está de

acuerdo a los

estándares de

entrega fijados.

No menciona las

La entrega se

efectúa en el

tiempo acordado.

El trabajo guarda

el formato fijado

por los estándares

de entrega.

Se menciona la

bibliografía

utilizada, en algún

momento.

El trabajo guarda

La entrega es

anticipada o a

tiempo.

La calidad de

comunicación

de procederes y

resultados es

óptima, en

presentación y

prolijidad.

Las fuentes son

mencionadas

Hasta

10

puntos


20

fuentes de

consulta

bibliográfica.

las características

de un instrumento

de comunicación,

plausible de

entendimiento

entre las partes.

con detalles y

referidas en el

desarrollo.

Respeta los

estándares

fijados para la

presentación

del trabajo en

todo momento.

Fundamentación de la secuencia: Hace algún tiempo escribí una fundamentación para la propuesta de aprendizaje basado

en problemas11:

“Etimológicamente, problema equivale a "lanzarse hacia delante superando dificultades"

de orden cognitivo. En el año 300 a.C., Pappus desarrolló un constructo sobre el arte de

resolver problemas para enseñar a analizar y sintetizar. En el siglo XVII Descartes,

aspirando a romper con la rutina escolar, desarrolla un método para avanzar en las tareas

científicas, a través de la resolución de problemas. Correspondió a Wurzburg la

realización de las primeras investigaciones en el campo de la resolución de problemas,

que dieron lugar a la conformación de dos corrientes diferentes: el asociacionismo y la

teoría de la Gestalt. Esta última, al indagar sobre los procesos mentales, pone el acento

en la comprensión y la organización estructural del pensamiento, como habilidades que se

despliegan en el proceso de resolución de problemas12. En vistas al desarrollo y

fortalecimiento de estas habilidades, hemos pensado en la resolución de problemas como

eje del presente trabajo.

La presentación de problemáticas concretas de carácter integrador, para la aplicación y

uso de los conocimientos adquiridos, posee un amplio sustento psicopedagógico, desde

la concepción del aprendizaje significativo, ya que, la nueva información puede

relacionarse de modo no arbitrario y sustancial con lo que el alumno ya sabe.13 Con este

basamento, el problema a resolver que se presentará en el presente trabajo, tendrá un

carácter integrador de conocimientos.

11

No, Irma N. “Informe de seguimiento del Trabajo Práctico Integrador del Ciclo Intermedio” – FI UNLZ – Buenos Aires, Agosto 2007. 12

Mayer, R. "Pensamiento, resolución de problemas y cognición ", Barcelona, Paidós, 1986 13

Ausubel, D. "Psicología Educativa", México, Trillas, 1976


21

Los conceptos son las imágenes con que pensamos. Por consiguiente, enseñar a pensar

requiere de una intervención didáctica orientada a la formación y utilización de los

conceptos. En relación con la formación, los primeros conceptos se forman a través del

aprendizaje por descubrimiento. En las etapas posteriores el proceso de asimilación da

cuenta de la vinculación de las ideas nuevas con las existentes en la mente14. Por estas

razones, se ha propuesto un trabajo en el cual el alumno descubra mediante la propia

experimentación en laboratorio las propiedades y relaciones del material concreto de

estudio, para luego establecer vínculos con los conceptos estudiados en cada área del

conocimiento, aplicando métodos de modelización, cálculo y resolución. Posteriormente

contrastarán los resultados obtenidos en forma teórica con los estándares reales,

haciendo hincapié en el carácter crítico del alumno ante los sesgos observados.

Un trabajo práctico individualizado, como lo hemos pensado, brinda a los alumnos la

oportunidad de aprender por medio del razonamiento analítico, creativo y/o práctico, así

como por medio de la memoria, y dado que no existe una única forma correcta de

enseñar o aprender que sirva para todos los alumnos15, consideramos que esta propuesta

se adapta a cada intelecto en particular.

Por último, dado que la organización social de la enseñanza Universitaria es la forma de

cooperación entre el docente y el alumno, con vistas al autoaprendizaje en el ámbito

profesional, se prevé un sistema tutorial de consulta permanente, en las distintas áreas

del conocimiento, para que el alumno desarrolle personalmente y de manera asesorada

su trabajo.16 En este contexto se entiende la mediación como un proceso dialéctico que le

permite al alumno pasar de un nivel cognitivo a otro superior17.

Aspiramos al desarrollo de un pensamiento productivo 18 del alumno, de allí que este

trabajo, sugiera situaciones en las cuales la mera estrategia reproductora de

procedimientos y saberes, no sea suficiente para la resolución de la problemática

propuesta.”

Todo lo anterior se aplica a la fundamentación de la presente secuencia, pudiendo

además agregar algunos conceptos.

14 Rogoff, B. "Aprendices del pensamiento", Barcelona, Paidós, 1993 15

Sternberg, R.; Spear-Swerling, L.; "Enseñar a Pensar ", Madrid, Santillana, 1996 16

Chevalard, Y. "La transposición Didáctica ", Buenos Aires, Aique, 1991 17

Vygotsky, L "Pensamiento y Lenguaje ". Buenos Aires, Lautaro, 1964 18

Román Sánchez, J.M. y otros "Métodos activos para enseñanzas medias y universitarias ", Madrid, Cincel-Kapeluz, 1980.


22

La selección del tema se orientó a la aplicación de conocimientos previos, para promover

una auto-reflexión, sobre el verdadero nivel de conocimientos que poseemos, sobre

temas que consideramos “sabidos”. En otras palabras: intentamos retomar conceptos

para realizar una mirada global, enriquecedora, que invite a la reflexión sobre la

verdadera aprehensión de saberes en el ámbito matemático funcional.

La propuesta no persigue la obtención de resultados específicos, es una experiencia

exploratoria, de enriquecimiento mutuo. Es por ello que: nos orientamos a la propuesta

de enunciados “abiertos”, centrados en la producción del alumno.

También en la confección de la secuencia, se ha dado a la tecnología un papel

fundamental, convirtiéndose en parte indispensable de la resolución, la actividad

propuesta sería casi impracticable sin la incorporación de las TIC.

El uso de TIC favorece el aprendizaje basado en la revisión de errores, pues, cuando

una operación no se puede realizar, el usuario está obligado a reflexionar acerca de esta

limitación. Se fortalecen los análisis comparativos y se incrementan: el nivel, la calidad y

la cantidad de preguntas en la temática abordada. Cito textualmente19:

“…La tecnología remite hoy no a unos aparatos, sino a nuevos modos de

percepción y comprensión de nuestro mundo y, por lo tanto, a nuevas maneras de

construirnos como sujetos, es decir, nuevas sensibilidades y subjetividades.

Estos nuevos modos de conocer se ven impactados por las características de las

tecnologías que operan en escenarios dislocados espacial y temporalmente, signados por

la fugacidad, la instantaneidad, la saturación informativa, la fragmentación, la multiplicidad

de lenguajes, etc. Estas mediaciones desarman conceptos tradicionales del saber como

verdades absolutas, duraderas a lo largo tiempo, clasificables, con márgenes certeros

entre los diferentes campos del conocimiento, con claras demarcaciones entre la teoría y

la práctica, etcétera.”

19

Roldan P. (2013). Clase 2: Evaluación como problema para pensar la inclusión digital. Seminario Intensivo 1 Especialización docente de nivel superior en educación y TIC.

Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.


23

La evaluación por competencias parece la más adecuada para consignas de tipo

exploratorio, como las planteadas. En esta secuencia se han priorizado la socialización y

la investigación, por sobre el manejo abstracto de los contenidos en sí.

El trabajo grupal mejora la producción individual, afianza la exploración de campo y

fortalece la comunicación, ítems evaluados según los criterios expuestos en la rúbrica.

Por último, la secuencia presentada es sólo un modelo, que se adecuará a cada grupo de

alumnos, siguiendo el dinamismo propio de una enseñanza inclusiva.

Bibliografía:

Ausubel, D. "Psicología Educativa", México, Trillas, 1976

Bloom, B. y otros, "La evaluación del aprendizaje ", Buenos Aires, Troquel, 1975.

Chevalard, Y. "La transposición Didáctica ", Buenos Aires, Aique, 1991

Ferrero, María Carolina. (2013). Secuencia Didáctica 1 TIC Matemática II.

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Ministerio de Educación de la Nación.

Mancini, L. "La evaluación. Enfoque teórico-práctico ", Buenos Aires, Santillana,

1998.

Mayer, R. "Pensamiento, resolución de problemas y cognición ", Barcelona, Paidós,

1986

Nirenberg, O. y otros, "Evaluar para la transformación ", Buenos Aires, Paidós,

2000.

No, Irma N., “Informe de seguimiento del Trabajo Práctico Integrador del Ciclo

Intermedio” – FI UNLZ – Buenos Aires, Agosto 2007.

Rogoff, B. "Aprendices del pensamiento", Barcelona, Paidós, 1993

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universitarias ", Madrid, Cincel-Kapeluz, 1980.

Sternberg, R.; Spear-Swerling, L.; "Enseñar a Pensar ", Madrid, Santillana, 1996


24

Vygotsky, L "Pensamiento y Lenguaje ". Buenos Aires, Lautaro, 1964

http://www.geogebra.es/

http://www.geogebra.org/cms/es/


http://www.slideshare.net/irmanoemino/articulo-completo-sanjuan20102caim

http://www.geogebra.es/

http://www.geogebra.org/cms/es/


http://www.slideshare.net/irmanoemino/articulo-completo-sanjuan20102caim


25

PRUEBA PILOTO DE LA ACTIVIDAD 1

El abordaje de todos los grupos fue a la vez manuscrito y tecnológico, en general

realizaron un recorrido por algunas expresiones de los grandes grupos funcionales. La

metodología de estudio, a grandes rasgos, se dividió en dos: Lo manuscrito

deductivamente y lo tecnológico inductivamente.

En el grupo funcional “polinómico”, asumieron que la función lineal queda determinada por

exactamente dos puntos, justificando con la frase “Por un punto pasan infinitas rectas” y

“Por dos puntos pasa una única recta”. Fácilmente demostraron que con dos puntos

podían determinar únicas: Pendiente y ordenada al origen, y por lo tanto, construir la

expresión algebraica de la recta. También observaron que en el programa GeoGebra,

dispone de un ícono específico para graficar la recta que pasa por dos puntos.

Figura 1

Uno de los equipos preguntó: Da lo mismo con el método de ajuste ¿No?, a lo que se

responde: Intenténlo, y lo hicieron:

Introduciendo los puntos ya utilizados para crear la recta con el ícono disponible, en una

planilla de cálculo y creando una lista de dos elementos, con ellos, realizando el ajuste

lineal, obtuvieron la misma recta que la expresada directamente por el programa al utilizar

el ícono anterior, pero en la versión “explícita”.

Figura 2


26

Subiendo el grado…

Polinomios de segundo grado:

Los equipos empiezan graficando funciones de segundo grado, al azar, ahora deberán

señalar puntos de la gráfica, y ver cuántos de ellos necesitan para extraer unívocamente

la expresión algebraica que, procedimentalmente, ya conocen.

En GeoGebra disponen de una herramienta para señalar puntos de una gráfica: Llamada

“Punto en Objeto”:

Figura 3

Que algunos alumnos descubren por su cuenta y otros con ayuda del docente.

Algunos alumnos señalan puntos que analíticamente verifican la ecuación ingresada.

Armando una lista con dos puntos se intenta un ajuste, polinómico de grado 2, mostrando

que es insuficiente información para hallar una expresión algebraica:

Figura 4

Un grupo que resolvía analíticamente utilizando la forma con mención de vértice,

demuestra que con el vértice y un punto más puede hallar la expresión algebraica, pero

no logra el mismo efecto gráficamente con el ajuste de GeoGebra:


27

Figura 5

Se interviene pidiéndoles que busquen una opción de ingreso de puntos “distinguidos”, ya

que el programa puede construir muchas parábolas que pasen por esos puntos. Los

alumnos no encuentran tal sentencia, pero hallan otras de interés (Coeficientes, Completa

cuadrado, polinomio (lista de puntos), parábola (foco,directriz), etc.).

Todos los grupos llegan gráfica y analíticamente a probar que tres puntos son suficientes

para determinar una expresión polinómica cuadrática única.

Figura 6


28

Otro grupo trabajó diferente, ingresó la función, puntos cualesquiera y midió el ajuste de

los puntos en la descripción de la función, luego los movía hasta cerciorarse que esos

puntos fuesen suficientes para expresar la función (valor del ajuste=1).

Figura 7

Figura 8

Figura 9


29

Polinomio de grado 3

Los alumnos demuestran gráfica y analíticamente que cuatro puntos son suficientes para

hallar la expresión analítica de una función polinómica de grado 3.

Para el grado 4, y siguientes plantean la hipótesis general, “Para hallar la expresión

algebraica de una función polinómica de grado (n), es necesario y suficiente conocer

(n+1) puntos cualesquiera de su gráfica”

Se los invita a justificar su afirmación: La mayoría, plantea la resolución de un sistema

lineal de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas20, que será compatible y determinado, y cuya

solución aporta los n+1 coeficientes de la expresión algebraica deseada.

{

Figura 10

En el grupo “racionales” comenzaron por las homográficas, observando que no existe en

los programas, una sentencia de aproximación adecuada. Empiezan a ensayar como

“matemáticos” con diferentes pruebas, como tomar pares de puntos en las ramas y

construir los ajustes lineales, para ver si la división entre ellos se aproxima a la función

homográfica sin éxito en la clase, desistiendo de insistir para continuar investigando otros

campos funcionales.

20

surgido por el reemplazo de las coordenadas de los n+1 puntos en la expresión algebraica polinómica de grado n


30

Figura 11

En el momento de estudiar el grupo de las funciones exponenciales, algunos equipos

toman formas compuestas, del tipo:

( )

Figura 12

Se interviene recordándoles la expresión:

( )

Figura 13

Siendo a un número positivo diferente de 1.

Los alumnos demuestran gráficamente que dos puntos son necesarios y suficientes para

hallar la expresión algebraica de una función exponencial. También observan que

cualquiera sea la base propuesta, existe una expresión equivalente en base “e”. En la

figura que sigue, vemos cómo los colores rojo de f(x) y azul de g(x), se funden en un


31

violeta, porque las gráficas se superponen, también observamos que e^0.69 = 1.99 es

aproximadamente 2.

Figura 14

Casi no hay que intervenir para que demuestren analíticamente que dos puntos son

suficientes para hallar una expresión algebraica exponencial, siguiendo el razonamiento

de los polinomios, plantean un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

{

Figura 15

Algunos alumnos curiosean la sentencia “AjustePotencia”, poniendo y sacando puntos y

moviéndolos, ven que muchas veces la curva no pasa por los puntos, se los invita a

descubrir alguna característica de las curvas que van graficando. Descubren que con dos

puntos, no siempre el programa les propone una potencia 1 (=recta), que muchas veces

con tres puntos les queda indefinido, y que aparece el grupo de las funciones radicales:


32

Figura 16

Ajuste Logarítmico:

Algunos alumnos plantearon directamente la necesidad y suficiencia de dos puntos con

las experiencias anteriores y plantearon el sistema de ecuaciones a resolver para

determinar unívocamente la ecuación de la función:

{ ( ) ( )

Figura 17

Fue interesante que necesitaran rescatar sus conocimientos previos de propiedades

exponenciales y logarítmicas, como cambio de base y otras, para aplicar en la resolución

de planteos creados a partir de necesidades reales, como la búsqueda de fórmulas.

Ajuste sinusoidal:

Los alumnos descubren que no son suficientes dos puntos, ni tres, recién cuatro puntos

permiten identificar una función sinusoidal.


33

Figura 18

Esto se debe a la existencia de cuatro parámetros en la forma general de la función Seno:

( ( ))

Figura 19

Donde:

A es la amplitud

C es el desplazamiento vertical

es la frecuencia angular (=2Pi/Período)

es el desplazamiento de fase

Por lo cual serán necesarios cuatro pares ordenados (x, y) para determinar unívocamente

los cuatro parámetros de la expresión algebraica genérica de la función seno.

El ajuste “Coseno” no existe como opción, dada la relación entre Seno y Coseno:

Figura 20

Por último, si descargamos la aplicación GeoGebra móvil (disponible para Tablets, IPAD y

teléfonos inteligentes en diferentes sistemas operativos: Android, etc.), veremos la


34

potencialidad de este programa. Desde allí, con un par de puntos propusimos algunos

tipos de ajuste, y haciendo una toma de pantalla, podemos adjuntar la siguiente imagen:

Figura 21

Fin de la Actividad 1


35

PRUEBA PILOTO EVALUACIÓN

ALUMNO

XXXXXXX

EVALUACIÓN

CRITERIO

COMENTARIOS

CALIFICACIÓN

Comprensión del

Problema

El alumno comprende y cumple los

objetivos fijados en cada tarea de la

secuencia; reconociendo variables,

datos e incógnitas, los cuales

vincula adecuadamente.

Los desarrollos demuestran una

lógica consistente y válida.

Utiliza notación formal,

demostrando fluidez en el uso de la

simbología requerida.

Plantea, en numerosas consultas,

procedimientos alternativos,

(Evidencia ejemplo: Fig. 6, 7, 8, 9)

decidiéndose finalmente por el más

adecuado a los fines de cada

consigna.

Distinguida

(20 puntos)

Diseño y

Ejecución de la

resolución

Ejecuta una estrategia de resolución

pautada, por etapas, en un orden

adecuado para la consecución de las

tareas subsiguientes y con destacada

continuidad.

(Evidencia orden creciente en dificultad)

Demuestra un buen nivel de

transferencia de los saberes previos;

solicitando ayuda y consejo a los

docentes, cuando le es necesario,

Distinguida

(40 puntos)


36

con elevada capacidad

comunicacional.

Argumenta y justifica mediante el

desarrollo teórico de las consignas y

a través de gráficos.

(Evidencia ejemplo: Fig. 10, 12, 13)

Verificación de

Resultados

Finaliza las tareas intermedias sin

agregados, utiliza adecuadamente

los recursos propios del programa

Geogebra.

Analiza errores por aproximación y

los sesgos observados, (durante las

consultas a los docentes), indicando

razones de tolerancia y

argumentando su presencia.

(Evidencia ejemplo: Fig. 14)

Sus conclusiones son correctas, y

comunicadas adecuadamente.

Distinguida

(20 puntos)

Pensamiento

Creativo

Posee un perfil orientado al

resultado, con óptimas cualidades

comunicacionales y distinguidas

condiciones personales de

dedicación y perseverancia.

(Evidencia: Observación directa )

Distinguida

(10 puntos)

Uso del tiempo y

calidad de entrega.

Ha realizado numerosas entregas

parciales, prestando dedicada

atención a las sugerencias y

correcciones, demostrando

ductilidad en su desempeño.

(Evidencia: portafolio creado)

La calidad y tiempo de entrega son

inmejorables para la presente

actividad.

Distinguida

(10 puntos)

TOTAL: 100 puntos – Muy Pertinente


37

INDICADORES ALUMNO 1

Act.1 Act.2 Act.3

Posee claridad comunicacional X

Argumenta con solidez conceptual X

Selecciona adecuadamente los recursos X

Demuestra autonomía en el manejo de

recursos e información

X

Mantiene una actitud crítica ante los

resultados obtenidos

X

Se apropia de los recursos tecnológicos

disponibles

X

Mantiene una actitud proactiva en la tarea X

Acepta ayuda y colabora con pares X

Al momento, el nivel de habilidades demostradas en forma de competencias es óptimo,

restaría evaluar el resto de las actividades de la secuencia.

secuencia didáctica con problemas abiertos - irma noemí no - 2014

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