Clculo Integral Pgina 1 BLOQUE I

APLICASLADIFERENCIALEN ESTIMACINDEERRORESY APROXIMACIONESDEVARIABLESEN LASCIENCIASEXACTAS,SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS. Clculo Integral Pgina 2 Desempeos a demostrar: -Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representacin grfica y la determinacin de su diferencial. -Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medicin de una magnitud en diferentes situaciones. Competencias a desarrollar: -Interpreta grficamente el modelo matemtico de fenmeno de su entorno y aproxima el comportamiento de su derivada a partir del clculo de la diferencial. -Analiza el error obtenido mediante la aplicacin de la diferencial para determinar la precisin en la medicin de una magnitud y como afecta la confiabilidad de sta en situaciones reales de su contexto. -Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimacin de errores. Clculo Integral Pgina 3 Burbujas de jabn en la feria Enuna feriahayunlocalqueofrecealosjvenes, jabonaduraconsuarillorevestidocon tela,este permite hacer burbujascon tan solo llenar el arillo con jabonadura y soplar. La burbuja que se forma tieneunaradiode3pulgadasyesteaumentaa3.025pulgadas.Considerequelasuperficiedela esfera es:A = 4r2 De acuerdo a lo anterior, responde a las siguientes preguntas: 1)Cul es el valor del radio de las burbujas?

2)En cunto aumenta el radio de las burbujas?

3)Cul es el smbolo con el que se designa el incremento? 4)Cul es la forma en qu se expresa la diferencial de A = 4r2? 5)Cul es el resultado de diferenciar A = 4r2? 6)Cul es el resultado al sustituir valores?INTRODUCCIN Clculo Integral Pgina 4 Calculando reas y permetros Dibuja un cuadrado y calculen su permetro y rea 1.Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, cunto se incrementar su permetro? 2.Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, cunto se incrementar su rea? 3.Comprueben algebraicamente las respuestas anteriores. 4.Fueron acertadas tus respuestas?, por qu? 5.De qu forma se incrementan el permetro y el rea del cuadrado, cuando se incrementan sus lados? 6.Expresa el permetro del cuadrado como funcin de uno de sus lados. 7.Expresa el rea del cuadrado como funcin de uno de sus lados. 8.De qu manera puedes relacionar las dos funciones con los clculos que realizaron para la comprobacin? 9.Si la longitud de sus lados se incrementa en 0.05 unidades, cunto se incrementar su rea y su permetro? Clculo Integral Pgina 5 1.1.1 Concepto de la Diferencial COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Interpreta grficamente el modelo matemtico de fenmeno de suentorno y aproxima el comportamiento de su derivada a partir del clculo de la diferencial. DESEMPEOS: -Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemticos relativos a diversasdisciplinas,apartirdesurepresentacingrficayladeterminacindesu diferencial. Existen muchas situaciones, dentroy fuera de las matemticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo: -En las aproximaciones de valores de funciones. -En el clculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado). -Calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente vara "un poco", etc.. Seauna funcin cualquiera y sean los puntos dos puntos sobre la funcin como se muestra en la siguiente figura: Elrepresentaelincrementoenlavariableindependiente,porloqueelincrementoreal quesufreunafuncinlodenotaremoscomoysedefinecomoladiferenciaqueexiste entrey , es decir: Clculo Integral Pgina 6 Dicho incremento real, lo podemos apreciar en la siguiente figura:

1.1.2 Anlisis grfico: Al trazar una recta tangente a la funcinen el punto , se observa un incremento aproximadoatravsdelarectatangentealcualdenominaremos,comosepuede observar en la figura: Clculo Integral Pgina 7 Como se observa en la figura, la tangente del ngulo de inclinacin (pendiente) equivale a la razn que existe entrey, lo cual representa a la derivada deuna funcin por lo que podemos decir que:

Sise denota comoentonces tendremos que

, por lo que al despejar a se obtiene: A lo que se le llama la diferencial deen el punto , con respecto al incremento, conocido tambin como valor aproximado del cambio total . 1.Realizarunainvestigacinenbibliografabsicaocopiasdedireccioneselectrnicasque contengan informacin sobre la diferencial. Sugerencias de fuentes de informacin: http://www.youtube.com/watch?v=bb9z6m3S7lo&NR=1&feature=endscreenhttp://www.youtube.com/watch?v=a-J70vXe87k&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=A6Vp18ctfWc&feature=related Clculo Integral Pgina 8 EC01: La diferencial Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: __6_______ Instrucciones:Elaboraunesquemaquemuestreelconcepto,importanciayexplicacindela diferencial, incluyendo 3 ejemplos concretos sobre el concepto y su uso en la vida. Clculo Integral Pgina 9 1.2.1 Determina y analiza el error, utilizando la diferencial COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Analizaelerrorobtenidomediantelaaplicacindeladiferencialparadeterminarla precisinenlamedicindeunamagnitudycomoafectalaconfiabilidaddestaen situaciones reales de su contexto. DESEMPEOS: -Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medicin de una magnitud en diferentes situaciones El Error de Aproximacines una medida del ajuste o clculo de una magnitud con respecto alvalorrealotericoquedichamagnitudtiene.Unaspectoimportantedeloserroresde aproximacin es su estabilidad numrica. Se obtiene por la diferencia queexiste entre el valor real y el valor aproximado , es decir: Ejemplo 1: Hallar y E.A, cuandoy, si

Como

, entonces, Calculamos:

(1 +0.1)2 =(1.1)2= 1.21

= ( 1 )2 = 1 Al sustituir estosvalores en obtenemos:

Estevalorcorrespondealincrementorealquesufrelafuncin

,cuandose incrementa de 1 a 1.1. Comoladiferencialestdadapor

ylafuncines

,seobtieneque . Al sustituir valores dey en la diferencial obtenida, entonces:

Estevalorcorrespondealvaloraproximadodelafuncin

,atravsdelarecta tangente cuandose incrementa de 1 a 1.1 Clculo Integral Pgina 10 Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que: E.A= Ejemplo 2: Hallar y E.A, cuandoy, si

Como

, entonces, Calculamos con:

, = (1 +0.05)2 + 2(1+ 0.05) - 3 = = ( 1.1025) + (2.1) - 3 = 0.2025

= ( 1)2 + 2(1) - 3= 0 Al sustituir estosvalores en obtenemos:

Este valor corresponde al incremento real que sufre la funcin

, cuandose incrementa de 1 a 1.05. Comoladiferencialestdadapor

ylafuncines

,se obtiene que. Al sustituir valores dey en la diferencial obtenida, entonces:

Estevalor corresponde al valor aproximado de la funcin

, a travs de la recta tangente cuandose incrementa de 1 a 1.05 Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que: E.A= Clculo Integral Pgina 11 Completarelsiguientecuadrousandoelmtodoplanteado,apartirdelejemploanterior cuandoy x E.A 10.5 10.1 10.01 Ejemplo 3: Hallar y E.A, cuando

y, si Como , entonces, Calculamos: sen(

+0.5) = 0.50753= sen(

) = 0.5 Al sustituir estosvalores en obtenemos:

Estevalorcorrespondealincrementorealquesufrelafuncin,cuandose incrementa de

a (

) . Como la diferencial est dada por

y la funcin es , se obtiene que . Al sustituir valores de

y en la diferencial obtenida, entonces:

Estevalor corresponde al valor aproximado de la funcin, a travs de la recta tangente cuandose incrementa de

a

Al calcular el Error Aproximado partiendo de que E.A= y sustituir se obtiene que: E.A= Clculo Integral Pgina 12 Actividad 1: Diferenciales Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, sobre operaciones diferenciales. EjercicioDesarrollo y solucin 1. , cuando x= 2, 2. , cuando

, 3.

, cuando x=3, 4. , cuando x= 4, 5., cuando x= 8, Clculo Integral Pgina 13 6.f(x) = X2 si dx= 0.005 y x=2 7. f(x) = sen x cuando x=0 y dx=0.1 8. f(x) = xsi x=1 y dx=25/1000 9. f(x) = ln x cuando x=2 y dx=0.02 10. f(x) = x2 x + 3 para x=1 y dx=0.01 11. f(x) = x3 x +1 para x=-1 y dx=0.002 Clculo Integral Pgina 14 1.2.2 Aplicaciones de la Diferencial Confrecuenciaenlavida,nosenfrentamosconelproblemadeencontrarlamejorformadehacer algo,porejemplo:Unmdicodeseaseleccionarlamejordosisparacurarciertaenfermedad,un granjeroalelegirlamezcladecultivosparatenerlamayorganancia,aunfabricanteminimizarlos costosdedistribucindesusproductos.Algunasvecesunproblemadeestetipopuedeformularun modo que implique maximizar o minimizar una funcin. Si es as, los mtodos de clculo proporcionan una herramienta para resolverlo. Ejemplo1:Unfabricantedeetiquetasparaunabebidarefrescantetieneunpedidopor10000 etiquetas cuadradas cuyo lado mide 20 cm. Durante el proceso se observa un desajuste en la guillotina de corte al final del turno de produccin y al medir las etiquetas se incremento en 0.1 cm.A.Calcula el incremento aproximado del rea. B.Sielmillardeetiquetastieneuncostode$500.00Cuntoasciendelaprdidaparael fabricantedeetiquetasalincrementarseen0.1cmelpapelenexcesoempleadoenla impresin y recorte de las mimas? Solucin: Datos:

Frmula del rea de un cuadrado. Calculando a , se tiene que

y sudiferencial es Al sustituir los datos tenemos que: , por lo tanto

En conclusin, se tiene un incremento de en el rea de 4 centmetros cuadrados. 20 cm dl = 0.1 cm Clculo Integral Pgina 15 Ejemplo 2: Un cascarn esfrico metlico, cuyo radio interior es de 8 cm y con un espesor de 0.12 cm, sesometeatemperaturadetalmaneraqueincrementasuvolumen.Culeselincrementode volumen al someterlo a temperatura? Solucin: Datos:

Frmula del volumen de una esfera. Calculando a , se tiene que

y sudiferencial es

Al sustituir los datos tenemos que:

, por lo tanto

. Esto es

En conclusin, se tiene un incremento de en el volumen de 96.54 centmetros cbicos. Ejemplo3:ElcostoendlaresporfabricarreproductoresdeCDporttilesseexpresacon

, dondees la cantidad de CD porttiles fabricados. Para calcular el costo de produccin marginal y estimar el costo de fabricar 50,001 tocadiscos de CD, partimos de: Solucin: Datos:

El costo de produccin marginal se obtiene por:

Por lo que al sustituir que x= 50,000 se obtiene:

por tocadiscos de CD Como C'(x) expresa los dlares por unidad(x), el costo de producir 50,001 unidades de CD, subira si la produccin aumentara de 50,000 a 50,001 CD porttiles. Sabemos que El costo real de producir 50,001 unidades es:

Elcostomarginalesmuyparecidoalcostoreal,porloquepodemosdecirquelatasanoseve afectada, ya que se estimaba que subira el costo total en la produccin. Clculo Integral Pgina 16 Actividad 2: Aplicaciones de la diferencial Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, sobre operaciones con diferenciales. 1.La pared lateral de un depsito cilndrico de radio 30 m y una altura de 100 m, debe revestirse con unacapadeconcretode3cmdeespesor.Culeslacantidadaproximadadeconcreto quese requiere, si el volumen del cilindro se obtiene por

? 2.Si el lado de un cubo mide 4 cm, calcula el incremento aproximado del volumen si su lado aumenta 0.02 cm. 3.Calculaladisminucinaproximadadelreadeunaquemadurade formacircularcuandoelradio disminuye de 2 a 1.98 cm. 4.Un tumor de forma esfrica, presenta un radio de 3 cm y aumenta a 3.2 cm en 6 meses. Cul es el incremento del volumen de dicho tumor en ese tiempo? 5.Unapelotadehulede20cmdedimetroy0.1 cmdeespesor;Calculeelvaloraproximadodel volumen de material de la pelota. 6.Se mide el dimetro de una medalla circular y se obtiene que es aproximadamente 5.5 cm con un error mximo de 0.05cm. calcula el error que se obtiene al calcular el dimetro de la medalla. 7.Una pelota de beisbol consta de un material elstico forrado por cuero de 1.2mm de espesor. Si el radio de la pelota es de 5.2 cm, calcula el valor aproximado de volumen de material de la pelota. 8.Un tubo de cobre tiene una longitud de 25cm de largo. Si el dimetro interior del tubo es de 2 cm y el espesor de este es de 0.54 cm calcula el valor aproximado del cobre empleado en el tubo. Clculo Integral Pgina 17 1.3.1 Calcula e Interpreta aproximaciones en modelos matemticos. COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Analizaelerrorobtenidomediantelaaplicacindeladiferencialparadeterminarla precisinenlamedicindeunamagnitudycomoafectalaconfiabilidaddestaen situaciones reales de su contexto. -Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimacin de errores. DESEMPEOS: -Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medicin de una magnitud en diferentes situaciones Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supngase que la grfica de y = f (x) corresponde a la de la figura. Cuandosedaaxunincremento,lavariable recibeunincremento,quepuede considerarsecomounvaloraproximadodealafuncinalrededordelpuntode tangencia

, lo que nos permite afirmar que:

Clculo Integral Pgina 18 Ejemplo: Encontrar elvalor aproximado de Como podemos definir una funcin que nos permite aproximar dicho valor, esto esy de igual manera determinar un punto

, punto que podemos conocer con exactitud el valor de la funcin evaluada, que por conveniencia y para estecaso

.Se sabe que:

Resolviendo el modelomatemtico, para este ejercicio se tiene que:

, entonces

, por lo que al derivar se tiene

. si y

Paraencontrar else tiene que

, por lo que Entonces:

El valor de , por lo que el error de aproximacin sera: E.A= = | 4.03969 - 4.05| = 0.000159 Estonospermiteobservarquelaaproximacindifieredelvalorrealenunacantidadmuy pequea. Clculo Integral Pgina 19 Ejemplo 2: Encuentra la aproximacin de Como la funcin es , la derivada de esta funcin es si

y

Paraencontrarelsetieneque

,porloque

,al expresarla en radianes es

Entonces:

= 0.501202 El valor real de

Por lo que el E.A= | 0.501202 - 0.507538|= 0.006336. Actividad 3: Encuentra las siguientes aproximaciones en equipo de 2 personas. 1. si 2. si 3. si

4. si Cos 30.50 Clculo Integral Pgina 20 LISTA DE COTEJO Datos de Identificacin: Alumno Grupo EvidenciaEv1: Estimacin de errores y aproximacin de variables AsignaturaClculo integral Bloque I: Aplicas la diferencial en estimacin de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas Evala Criterios de desempeo(Valor mximo 30%) Evaluacin: ________ Observaciones y comentarios: Criterios de desempeoSINO 1.Presenta en tiempo establecido 2.Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3.Desarrolla los procedimientos de manera correcta para llegar a resultados adecuados 4.Presenta la actividad 1: Diferenciales 5.Presenta la actividad 2: Aplicaciones de los diferenciales 6.Resuelve correctamente y presenta la situacin inicial Clculo Integral Pgina 21 BLOQUE II

DETERMINASLAPRIMITIVADEUNA FUNCINEINTEGRASFUNCIONES ALGEBRAICASYTRASCENDENTES COMOUNAHERRAMIENTAAUTILIZAR EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS Clculo Integral Pgina 22 Desempeos a demostrar: -Determina la primitiva de una funcin, como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas. -Aplica el clculo de las primitivas a problemas de su entorno referentes al mbito de las ciencias. -Obtiene integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y mediante el uso de tcnicas de integracin, en un contexto terico como herramienta en la resolucin de problemas reales. Competencias a desarrollar: -Resuelve problemas que involucren la obtencin de la primitiva de una funcin y la interpreta en situaciones reales de su entorno. -Desarrolla la habilidad en el manejo de tcnicas de integracin en un contexto terico. -Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el clculo de integrales indefinidas. Clculo Integral Pgina 23 2.1 Antiderivada COMPETENCIAS A DESARROLLAR: -Analizaelerrorobtenidomediantelaaplicacindeladiferencialparadeterminarla precisinenlamedicindeunamagnitudycomoafectalaconfiabilidaddestaen situaciones reales de su contexto. DESEMPEOS: -Determina la primitiva de una funcin, como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas. -Aplica el clculo de las primitivas a problemas de su entorno referentes al mbito de las ciencias. Al aplicar fuerza sobre una liga, esta se estira, al dejarle aplicar fuerza regresa asu estado original.Lasegundaoperacinanullaprimera,asdelamismamanerahayoperaciones que son inversas tales como la multiplicaciones y la divisin, la suma y la resta. En clculodiferencial se estudia el problema de la derivada de una funcin, ahora veremos la operacin inversa, es decir dada una funcinahorabuscaremos la funcin , tal que al derivar F se obtiene la funcina lo que se le conoce como antiderivada. Ejemplo: Si buscamos a la funcinque satisfaga a la igualdad

,entonces: Derivada

Antiderivada Sin embargo sabemos que no esla nica, pues si se derivan otras funciones que tengan una constante el resultado es el mismo, por ejemplo:

,

F(x)= X2 f'(x)= 2x Clculo Integral Pgina 24 EC02: Actividad de repaso Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: __6_______ Instrucciones: Completa correctamente el siguiente cuadro FuncinDerivadaDiferencialAntiderivada 3x y = 24xdxdy= dx x dy36 =x x x y694252 4+ = 1 Clculo Integral Pgina 25 Actividad 1: Antiderivadas Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, sobre antiderivadas. EjercicioDesarrollo y solucin 1. 2. 3. 4. 5.

Clculo Integral Pgina 26 2.1.2 Primitiva de una Funcin. Siesunaantiderivadade,laantiderivadamsgeneral ,sellamafuncion primitiva o integral indefinida dey se representa con la notacin: El smbolo se lee como Integral Indefinida dey se representa a la antiderivada msgeneral del integrando. Es decir: Donde C se llama constante de integracin. Como la integracin y la derivacin son operaciones inversas, a cada frmula de derivacin le corresponde una frmuladeintegracin. Las siguientes frmulasy propiedades facilitan la integracin: 1.2.3. 4. 5.

Por ejemplo: 1.

2.

3.

4.

Clculo Integral Pgina 27 5.

6. 7.

, por lo que el resultado es

8.

9.

10.

Clculo Integral Pgina 28 EC02: Primitivas de una funcin Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: __6_______ Instrucciones: En los siguientes ejercicios, obtener la primitiva de la funcin. 1. 2.

3. . 4.

5.

. 6. 7.

8.

9.

10. . Clculo Integral Pgina 29 Actividad 2: Antiderivadas Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, sobre antiderivadas. EjercicioDesarrollo y solucin 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Clculo Integral Pgina 30 7.

8.

9.

10.

11.

12.

Clculo Integral Alumno:Pgina 31 RUBRICA DE EVALUACION Datos de Identificacin: AlumnoAsignaturaCalculo Integral GrupoEvidenciaFunciones primitivas Bloque II:Determinaslaprimitivadeunafuncineintegrasfuncionesalgebraicasytrascendentescomouna herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. Criterios de la rbrica (Valor mximo 30%) CriterioExcelente (10)Bueno(8)Suficiente(6)Deficiente (5)Puntos Determina la primitiva de una funcin Losejercicioscontienen datospertinentes,muestran limpieza,orden,claridady adems se entrega en tiempo y forma. Losejercicioscontienenlos datospertinentes,muestran limpieza,ordenperono claridadniseentregaen tiempo y forma Losejercicioscontienenlos datospertinentes,perono muestranlimpieza,orden, claridadniseentregaen tiempo y forma Losejerciciosnocontienenlos datospertinentes,tampoco muestranlimpieza,orden, claridadniseentregaen tiempo y forma Obtienelaprimitivadeuna funcindemaneracorrecta, utilizandolosprocedimientos adecuados.Obtienelaprimitivadeuna funcindemaneracorrecta, peronoutilizalos procedimientos adecuados. Obtienelaprimitivadeuna funcindemaneraincorrecta, y noutiliza los procedimientos adecuados. Noobtienelaprimitivadeuna funcindemaneracorrecta,y noutilizalosprocedimientos adecuados. Tiempo de entrega El da que se pideAl siguiente daDos das despusUna semana despus Evaluacin: _______ Clculo Integral Alumno:Pgina 32 2.2 Mtodos de integracin por cambio de variable 2.2.1 Integracin por cambio de variable. Objeto de aprendizaje: Integral Indefinida Desempeodeseadodelestudiantealconcluir:Obtieneintegralesindefinidasdefunciones algebraicasytrascendentesdemanerainmediataymedianteelusodetcnicas deintegracin,enuncontextotericocomoherramientaenlaresolucinde problemas reales. Competencias a desarrollar:Desarrolla la habilidad en el manejo de tcnicas de integracin en un contexto terico. Valoraeltrabajoenequipocomounaalternativaparamejorarsushabilidades operacionales en el clculo de integrales indefinidas. Con un cambio de variables formal, se escribe de nuevo toda la integral en trminos de u y du(odecualquierotravariableconveniente).Latcnicadecambiodevariablesusala notacin de Leibniz para la derivada. Es decir, si,( ) u g x =entonces ( )dx x g du'=y la integral toma la forma: Acontinuacinseresumenlospasosquesesiguenenlaintegracinporcambiode variables, tambin conocido como mtodo de integracin por sustitucin: Directrices para hacer un cambio de variables. 1. Elija una sustitucin( ) x g u = . Casi siempre es mejor elegir la parteinterna de una funcin compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia. 2. Calcule3. Escriba de nuevo la integral en trminos de la variable. u 4. Evale la integral resultante en trminos de. u5. Sustituyau por( ) x gpara obtener una antiderivada en trminos de. x6. Si quiere comprobar puede realizar la derivacin. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c u F u d u f dx x g x g f + = =}'( ) .'dx x g du =Clculo Integral Alumno:Pgina 33 En los siguientes tres ejemplos se pueden observar tres de los diferentes tipos de integracin por este mtodo. Ejemplos: 1. Encuentre:Solucin: Primero, haga quesea la funcin interna, Despus, calcule la derivadaduque es. 2dx du = Posteriormente despeje 2du quedando igual adxAhora, usandou x = 1 2y,2dudx = sustituya para obtener lo siguiente: Integral en trminos de u. du u}=2121 cu+||||.|

\|=232123 Antiderivada en trminos de u. c u + =2331 ( ) c x + = 231 231Antiderivada en trminos de x. 2. Encuentre:Solucin: Como en el ejemplo anterior, haga quey obtenga.2dudx =Como el integrando contiene un factor de x, tambin debe despejar x en trminos de u como sigue: . 1 2} dx xu . 1 2 = x u} }|.|

\|= 21 2duu dx x. 1 2} dx x x. 1 2 = x uClculo Integral Alumno:Pgina 34 1 2 = x u( )21 +=uxDespeje x en trminos deu. Ahora, usando sustitucin, se obtiene lo siguiente: du u u}||.|

\|+ =212341 cu u+||||.|

\|+ =2325412325( ) ( ) c x x + + = 23251 2611 2101 Para completar el cambio de variables del ejemplo 2, se despej x en trminos de u. Algunas veces esto es muy difcil. Por fortuna, no siempre es necesario, como se muestra en el ejemplo siguiente: 3. Encuentre. 3 cos 32xdx x sen} Solucin: Como( )2 23 3 x sen x sen = , puede hacer. 3x sen u =Entonces( )( )dx x du 3 3 cos = . Ahora, comoxdx 3 cos es parte de la integral dada, puede escribirxdxdu3 cos3 = . Si sustituye uy3duen la integral dada produce lo siguiente: } }=33 cos 322duu xdx x sen

}= du u231cu+||.|

\|=3 313 c x sen + = 3913 Puede comprobarlo mediante derivacin. ( )( ) ( )( ) 3 3 cos 3 3913912 3x x sen x sendxd|.|

\|=((

x x sen 3 cos 32=En virtud de que la derivacin produce el integrando original, usted sabe que ha obtenido la antiderivada correcta. |.|

\||.|

\| += } }2 211 221duuudx x xClculo Integral Alumno:Pgina 35 Actividad 3: Mtodo de Integracin por cambio de variable Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve las siguientes integrales mediante el mtodo de cambio de variable EjercicioDesarrollo y solucin 1.( ) = }xdx x426 Solucin:( ) c x + 526101 2.=+}23 42xxdx Solucin:c x + +23 432 3.( ) ( ) = + +}dx x x x x 2 32312 3 Solucin:( ) c x x + +232 3392 4.( ) =}dx x sen 6 2 Solucin:( ) c x + 6 cos31 5.( ) = +}dx x 2 3 cos Solucin:( ) c x sen + + 2 331 6.=|.|

\|}dyy2tan Solucin:cy+ 2sec ln 2 Clculo Integral Alumno:Pgina 36 7.( )( ) = dx x x x 10 2 5 22 Solucin:( ) c x x + 225 221 8.=}dx x 5 5 Solucin:( ) c x + 23532 9.( )( ) = }dx x x x x32 4 35 2 4 Solucin: ( )cx x+ 4542 4 10.= }wdw w23 1Solucin: ( )cw+93 1232 Clculo Integral Alumno:Pgina 37 2.3.1 Mtodo de Integracin por partes Objeto de aprendizaje: Integral Indefinida Desempeodeseadodelestudiantealconcluir:Obtieneintegralesindefinidasde funcionesalgebraicasytrascendentesdemanerainmediataymedianteel uso de tcnicas de integracin, en un contexto terico como herramienta en la resolucin de problemas reales. Competencias a desarrollar:Desarrollalahabilidadenelmanejodetcnicasdeintegracinenuncontexto terico. Valoraeltrabajoenequipocomounaalternativaparamejorarsushabilidades operacionales en el clculo de integrales indefinidas. El mtodo de integracin por partes se usa para integrar gran nmero de integrales no inmediatasqueseplanteancomoproductodefuncionesalgebraicas,productodefunciones logartmicas y producto de funciones trigonomtricas inversas, como: Lafrmulaparalaintegracinporpartesprovienedelafrmuladeladerivadadela multiplicacin de dos funciones Integrando ambas partes de la igualdad: Y despejando, queda udv uv vdu = } }2; ; 3 ; ; xCosxdx lnxdx x x dx Sen xdx arctanxdx } } } } }( ) d uv udv vdu = +( ) d uv udv vduuv udv vdu= += +} } }} }Clculo Integral Alumno:Pgina 38 Ejemplos: 1.- Calcular la siguiente integral por medio del mtodo de integracin por partes. Primero encontramos u y dv.Se define a u comola parte mas sencilla de la funcin y dv al resto.En este caso quedara de la siguiente manera: Se encuentra el diferencial de u

Lo que resta de la funcin se toma como diferencial de v (dv) y se realiza su integral Se aplica la formula del mtodo de integracin por partes 2.- Encuentra la siguiente integral por el mtodo de integracin por partes: xCosxdx}u xdu dx==dv Cosxdxdv Cosxdxv Senx===} }udv uv vdu = } }Resultado de la integral( )( )u u v v du dvx Cosxdx x Senx Senx dxxSenx Cosx cxSenx Cosx c= = += + +} }udvxCosxdx x Cosxdx =} }xCosxdx xSenx Cosx c = + +}x xu dvxe dx x e dx =} }u xdu dx==xxxdv e dxdv e dxv e===} }( 1)x x xu v v dux xxxe dx x e e dxcx cxe ee= + +==} }( 1)x xe x c xe dx + =}Clculo Integral Alumno:Pgina 39 3.- Calcular la siguiente integral por medio del mtodo de integracin por partes. 4.- Resuelve la siguiente integral por medio de la integracin por partes: 22u xdu xdx==dv Senxdxdvv CosxSenxdx=== } }2 2udvx Senxdx x Senxdx =} }( )( )222Se realiza de nuevointegracion por partes22(2 )( )22 ( )2 22 2x Cosx xdx Cosxx Cosx xCosxdxx Cosx x Senx Senxdx Cx Cosx xSenx Cosx CCosx x xSenx C ( = = = += + += +++++}}}( )2 22 2 x Senxdx Cosx x xSenx C = + +}ln1dxu xdux==dv dxdv dxv x===} }ln xdx}()( )lnlnlnln 1lnlnv uvdudxxdx xxx x dxx x x cx x cx xxdxx xx== = += += }}}}( ) ln ln 1 xdx x x c = +}Clculo Integral Alumno:Pgina 40 Actividad 4: Mtodo de Integracin por partes Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Identifica correctamente el valor de u y dv EjercicioSolucin u= dv= 22. xSec xdx } u= dv= 43. ln x xdx } u= dv= 24. 1xx e dx| | |\ . } u= dv= 3 25.xx e dx} u= dv= 1.xxe dx }Clculo Integral Alumno:Pgina 41 Actividad 5: Mtodo de Integracin por partes Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve correctamente las siguientes integrales por medio de integracin por partes. EjercicioSolucin 21. 2x Cosxdx } 22.xx e dx } 23. x lnxdx } 4. 5xSenxdx } Clculo Integral Alumno:Pgina 42 BLOQUE II Escala de Clasificacin Actividades 3 y 5 5 Excelente4 Muy bien3 Bien 2 Regular1 Deficiente Nm.Aspectos a Evaluar54321Anotaciones especiales Mtodos de Integracin Mtodo de cambio de variable 1 Identifique correctamente la funcin y la diferencial 2 Realiza correctamente la sustitucin para la obtencin de la integral 3 Realiza correctamente el regreso a cambio de variable 4 Comprueba correctamente el resultado Mtodo de Integracin por partes 5Identifica correctamente u y dv 6 Obtiene correctamente la diferencial de u 7 Obtiene correctamente la integral del diferencial de v 8 Aplica correctamente la formula del mtodo de Integracin por partes 9 Comprueba correctamente el resultado final Clculo Integral Alumno:Pgina 43 BLOQUE III

CALCULAS E INTERPRETAS EL REA BAJO LA CURVA EN EL CONTEXTO DE LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS. Clculo Integral Alumno:Pgina 44 Desempeos a demostrar: -Calcula e interpreta reas bajo la curva mediante las Sumas de Riemann en la resolucin de problemas en un entorno terico. -ComparaelmtododelasSumasdeRiemannconlasreasobtenidas mediantelaintegraldefinidaydeterminalasfortalezasydebilidadesde ambosmtodos,comprobndolomediantesoftwaregraficador (GeoGebra, mathgv, graph). -Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto terico y las visualiza como herramientas en la resolucin de problemas reales. Competencias a desarrollar: -ResuelveproblemasdereasmediantelasumasdeRiemannen cualquier disciplina que tenga relacin con su entorno. -Resuelveproblemasdereasmediantelaintegraldefinidaencualquier disciplina que tenga relacin con su entorno. -Asumeunaactitudconstructivaycongruenteconlascompetenciascon las que cuenta en el uso de las TICs como herramientas para el modelado y la simulacin de problemas de reas bajo la curva en el contexto de la fsica, la geometra y la qumica. Clculo Integral Alumno:Pgina 45 3.1 Sumatoria de Riemann 3.1.1 La suma de Riemann Objeto de aprendizaje: Sumas de Riemann Desempeo deseado del estudiante al concluir: Calcula e interpreta reas bajo la curva mediante la suma de Riemann en la resolucin de problemas en un entorno terico. Competencias a desarrollar:ResuelveproblemasdereasmediantelasumadeRiemannencualquier disciplina que tenga relacin con su entorno. Asume una actitud constructivay congruente con las competencias con las que cuenta en el uso de las TICs como herramientas para el modelado y la simulacin de problemas de reas bajo la curva en el contexto de la fsica, la geometra y la qumica. La suma de n trminos { }1 2 3, , ,...,na a a ase expresa as: Donde:: es la letra sigma mayscula del alfabeto griego.En nuestro alfabeto corresponde a la letra s y en matemticas se emplea para identificar una suma. i: es el ndice de la suma o variable de la suma. a: representa el i-simo trmino de la suma. nym:indicanlosvaloresextremosysonelextremosuperioreinferiordelasuma, respectivamente, dondem n sEjemplos:1.- Calcula la siguiente sumatoria: Para este ejemplo tenemos: 2 1ia i = + m=1n=4 1 2 31...nn iia a a a a== + + + +412 1ii=+412(1) 1 2(2) 1 2(3) 1 2(4) 13 5 7 9242 1ii= (((( = + + + + + + +=+ ++=+Clculo Integral Alumno:Pgina 46 2.- Calcula la siguiente sumatoria: En este caso m=0n=6 Actividad 1: Sumatoria de Riemann Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve correctamente las siguientes sumatorias. EjercicioSolucin 511. (3 1)ii= + 32012.1ii=+ 7243. (3 2)ii= 604. 2i 6022iii=+22iaii=+970602(0) 2(1) 2(2) 2(3) 2(4) 2(5) 2(6)0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2222 6 4 10 30 13 5 3 7 29iii= (((((((+ + + (((((((+ + + + + + + = + + ++= + + + + + +=Clculo Integral Alumno:Pgina 47 3.1.2.Propiedades de la Suma de Riemann. Objeto de aprendizaje: Sumas de Riemann Desempeo deseado del estudiante al concluir: Calcula e interpreta reas bajo la curva mediante la suma de Riemann en la resolucin de problemas en un entorno terico. Competencias a desarrollar:Asume una actitud constructivay congruente con las competencias con las que cuenta en el uso de las TICs como herramientas para el modelado y la simulacin de problemas de reas bajo la curva en el contexto de la fsica, la geometra y la qumica. 1.-1 1n ni ii ika k a= == donde k es una constante 2.- ( )1 1 1n n ni i i ii i ia b a b= = = = Formulas de la Suma de Riemann. 1.- 1nik kn==La suma de una constante k, n naturales. 2.- ( )112nin ni=+=La suma de los n primeros nmeros naturales. 3.- ( )( )211 2 16nin n ni=+ +=La suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales 4.- ( )223114nin ni=+=La suma de los cubos de los n primeros nmeros naturales. Ejemplos: Calcula la sumatoria que se indica. 1.-( )( ) ( )6 6 61 1 11 66 12 2(6) 752 23 2 3 2 3 3i i in nn i i= = =+ +((+ + = + = (( + = = 2.-( )( ) ( )23 3 3 3 321 1 1 1 13 2 1 2 3 2 3i i i i ii i i i i i= = = = == + = + + Clculo Integral Alumno:Pgina 48 Actividad 2: Sumatoria de Riemann Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Resuelve correctamente las siguientes sumatorias aplicando las propiedades. EjercicioSolucin ( )811. 4 3ii= ( )4212. 2 1ii= + ( )( )513. 2 3 1ii i= ( )( ) ( )( )( ) ( )1 2 1 12 36 23 3 1 2(3) 1 3 3 12 3(3) 256 2n n n n nn ( ( ( ( ( ( + + += + + + += + =Clculo Integral Alumno:Pgina 49 3.1.3 Clculo e interpretacin de reas. Objeto de aprendizaje: Sumas de Riemann Desempeo deseado del estudiante al concluir: Calcula e interpreta reas bajo la curva mediante la suma de Riemann en la resolucin de problemas en un entorno terico. Competencias a desarrollar:ResuelveproblemasdereasmediantelasumadeRiemannencualquier disciplina que tenga relacin con su entorno. Asume una actitud constructivay congruente con las competencias con las que cuenta en el uso de las TICs como herramientas para el modelado y la simulacin de problemas de reas bajo la curva en el contexto de la fsica, la geometra y la qumica. Cuando las reas estn limitadas por lneas rectas los clculos son sencillos, pero existen otros ejemplos en los que las reasestn delimitadas por curvas. Comopor ejemplo, supongamos que desconocemos la frmula para calcular el rea de una circunferencia de radio 10, entonces el problema es calcular el rea usando figuras auxiliares como los rectngulos.Para que el clculo sea ms sencillo dividmosla en cuatro, calculemos el rea de un cuadrante y al final tendremos que el rea total ser igual al rea de un cuadrante por cuatro. El rea de un cuadrante no se puede calcularconvirtindolo en rectngulos o tringulos, entonces Cmo hacerlo? Pues tendremos que realizar aproximaciones sucesivas del rea, llenando la regin con rectngulos,observa: Clculo Integral Alumno:Pgina 50 Con esto mediante, el rea del cuadrante sera: La pregunta natural es: ser sta el reatotal del cuadrante? Obviamente, no lo es, ya que falta el rea siguiente: Cmo lograramos una mejor aproximacin al rea real del cuadrante? Claro! Podemos hacer unos rectngulos ms pequeos para tratar de abarcar un rea ms grande. 1.3 * 9.7 = 12.61 1.3 * 9.5 = 12.35 1.3 * 8.5 = 11.05 1.3 * 8 = 10.4 1.3 * 7 = 9.1 1.3 * 5 = 6.5 1.3 * 3 = 3.9 9 3 7 3 5 3 Clculo Integral Alumno:Pgina 51 Observaque an quedan reasdel sector sin cubrir, la solucin sera hacer rectngulos cada vez mas pequeos en la base y tratar de cubrir mas rea del sector, entonces tendramos que al final haciendo esta particin cada vez ms fina tendramos que el rease acercara cada vez ms a 78, es decir, el lmite de la suma de las particiones sera 78, dato que al multiplicarlo por 4 esigual al rea de la circunferencia: Unidades cuadradas Lo cual se puedecomprobar aplicando la frmula del rea de la circunferencia y observamos que se aproxima mucho: unidades cuadradas Ahora bien, volviendo a una funcin cualquiera y recordando que xi representa cada una de las particiones de la regin, si sta se hace tan pequea como se pueda, se obtendrn un mayor nmero de rectngulos que dar una mejor aproximacin al rea que se busca, como se puede observar en la siguiente figura: De aqu se puede deducir que si se halla el lmite cuando el nmero de rectngulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectngulos sean muy pequeas, se lograr la mejor y ms exacta aproximacin del rea. Esto se representa as: 1lim ( ( ))( )ni inif x x=A Con esto ya se encontr la mejor aproximacin del rea. Clculo Integral Alumno:Pgina 52 Ahora s se puede enunciar la integral definida ya que: 1( ) lim ( ( ))( )bni iniaf x dx f x x== A} Ejemplo 1 Evale la suma de Riemann para 2( ) 1 f x x = + , en el intervalo [-1,2]; utilice la particin de puntos igualmente espaciados1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 < < < < <