208 L ib ro para e l maest ro

Propósito de la sesión. Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos desarrollen su capacidad para estimar resultados, es decir que den aproximaciones sin utilizar la calculadora

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que en este momento deben buscar la manera de simplificar las operaciones para encontrar resultados aproximados sin utilizar la calculadora. Por ejemplo, pueden considerar el valor de π como 3.1 o como 3, también pueden redondear los resultados intermedios, o cambiarlos por múltiplos de 10 o de 100 que estén cercanos, para que puedan hacer las operaciones. Observe los procedimientos para estimar los resultados y recupere algunos para que los expliquen a todo el grupo.

Los resultados que se indican son los resultados exactos, se tomó el valor π = 3.1416.

Propósito del programa 53. Mostrar ejemplos en donde se relaciona el cálculo de volumen y la capacidad de recipientes en forma cónica o cilíndrica

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

Propósito del Interactivo. Resolver problemas que impliquen estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que recuerden la equivalencia que obtuvieron en la sesión pasada entre centímetros cúbicos y mililitros (un mililitro equivale a un centímetro cúbico).

Respuesta. Tiene 90 cm 3. Son 282.74 mililitros.

192

secuencia 29

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen estimar y calcular volúmenes de cilindros y conos.

problemas prácticosLo que aprendimosEstimar volúmenes

i. Primero, estimen el resultado aproximado de los siguientes problemas.

a) ¿Cuál es la capacidad en mililitros de una lata de jugo con las

medidas indicadas a la izquierda?

b) Anoten la medida del radio y la altura de un envase cilíndrico con

capacidad para un litro.

c) Don Fernando necesita un tinaco cilíndrico para almacenar 2 000litros de agua; el señor de la tienda le ofrece uno que mide 1 m de diámetro, ¿cuál es la altura mínima del tinaco para que alma-

cene lo que requiere don Fernando?

d) Carlos cortó un triángulo rectángulo que mide 10 cm de hipotenusa y su cateto menor mide 6 cm. Si lo hace girar uno de sus catetos se genera un cono. ¿Cuál cono tiene mayor volumen: el que se genera cuando se gira sobre su cateto mayor

o el que se genera cuando se gira sobre su cateto menor?

e) ¿Cuánto tendría que medir la altura de un cono con una base de 5 cm de radio para tener el mismo volumen que el de la iz-

quierda?

f) Un chapoteadero (alberca para niños pequeños), en forma de ci-lindro, tiene una base de 2 m de radio y quiere llenarse hasta que el agua alcance 1

2 m de altura. Si el agua se suministra con tres mangueras que arrojan 5 de agua por minuto cada una, ¿en

cuánto tiempo el agua alcanzará la altura deseada?

sesión 1

Estimar volúmenes

15 cm

20 cm

10 cm

6 cm

MAT3 B5 S29.indd 192 12/10/08 6:42:00 PM

Sugerencia didáctica. Para calcular la medida del cateto mayor hay que usar el teorema de Pitágoras. Si los alumnos tienen dificultades invítelos a que tracen el triángulo y lo giren cómo se indica.

Respuesta. El cateto mayor mide 8 cm. Si se gira sobre el cateto mayor, el cono tiene un radio de 6 cm y una altura de 8 cm. Su volumen es de 301.59 cm 3. Si se gira sobre su cateto menor, el cono tiene un radio de 8 cm y una altura de 6 cm. Su volumen es de 402.12 cm 3.

Posibles procedimientos. Una manera de resolver el problema es calculando el volumen del cono dibujado (500 cm 3), sustituir este valor y la medida del radio en la fórmula y, despejar la altura, se obtiene un valor de h = 60cm.

Otra manera es analizar que, si el radio se reduce a la mitad (de 10 a 5), al elevarlo al cuadrado (en la fórmula aparece r 2) el resultado se reduce cuatro veces (de 100 a 25) por lo que, para tener el mismo volumen, la altura tendrá que multiplicarse por cuatro: 15 × 4 = 60. Comente este procedimiento con todo el grupo.

Respuesta. El agua va a ocupar un volumen de 2 m 3 = 6.283 m 3. Es decir 6 283 litros. Se llenará en 418.86 minutos (casi 7 horas).

Sugerencia didáctica. Este problema tiene muchas respuestas correctas, durante la puesta en común pida a los alumnos que comenten lo práctico o útil que pueden resultar ciertos envases en comparación de otros.

Posibles procedimientos. La manera más directa de resolver este problema es aplicando la fórmula: sustituir el volumen y el radio y despejar la altura. La principal dificultad está en las conversiones que tienen que hacerse. Puede ser que se pase todo a decímetros cúbicos y entonces el volumen tendrá que sustituirse por 2000 dm3 y el radio por 5 dm, pero también puede ser que se utilicen metros cúbicos, por lo que el volumen tendrá que expresarse como 2 m 3 y el radio como 0.5 m.

Respuesta. La altura mínima es de 25.46 dm (o también 2.546 m).

MAT3 B5 S29 maestro.indd 208 12/11/08 1:59:53 PM

209L ib ro para e l maest ro

Posibles respuestas. El área de la base del cilindro y del cono es la misma, aproximadamen-te 4.9 m 2. Los alumnos tienen que decidir la altura del cono y del cilindro. Una manera de hacerlo es dar un valor para la altura del cono, por ejemplo 2 m, calcular el volumen de ese cono y restarlo de 25 m 3, esa diferencia es el volumen del cilindro y de ahí se calcula al altura del cilindro. La siguiente tabla muestra algunos resultados siguiendo este procedimiento. En esta tabla se tomó el valor = 3.1416.

área base

altura cono

volumen cono

volumen cilindro

altura cilindro

4.90875 1 1.63625 23.36375 4.759612944.90875 2 3.2725 21.7275 4.42627964.90875 3 4.90875 20.09125 4.092946274.90875 4 6.545 18.455 3.759612944.90875 5 8.18125 16.81875 3.42627964.90875 6 9.8175 15.1825 3.092946274.90875 7 11.45375 13.54625 2.759612944.90875 8 13.09 11.91 2.42627964.90875 9 14.72625 10.27375 2.092946274.90875 10 16.3625 8.6375 1.759612944.90875 11 17.99875 7.00125 1.42627964.90875 12 19.635 5.365 1.092946274.90875 13 21.27125 3.72875 0.759612944.90875 14 22.9075 2.0925 0.42627964.90875 15 24.54375 0.45625 0.092946274.90875 16 26.18 –1.18 –0.240387064.90875 17 27.81625 –2.81625 –0.5737204

Sugerencia didáctica. No todos los valores en la tabla son factibles para este problema (hay alturas negativas), otros no son prácticos en la realidad (por ejemplo, cuando la altura del cono es mayor que la del cilindro). De entre los diferentes resultados que surjan comenten cuáles son más adecuados y por qué lo consideran así. Si los alumnos tienen acceso a una hoja de cálculo pueden hacer una tabla similar y explorar ellos mismos con diferentes valores.

193

IIIMATEMÁTICASg) ¿Cuál es la altura de un cono al que le caben 250 ml de agua si el radio de su base

mide 3 cm?

h) ¿Cuál es el radio de un vaso en forma de cilindro al que le caben 400 ml de agua

si su altura es de 12 cm?

i) Consideren la siguiente información:

Los silos de cemento son elementos verticales, formados por un cilindro y un cono. Los silos se caracterizan, generalmente, por el tonelaje almacenado, su vo-lumen varía entre los 15 y 50 m 3 y su diámetro varía de 2.40 a 2.80 m.

Vean una foto y un dibujo de un silo de cemento:

Eliminador de polvo

Escobilla

Tubo de llenado

Pies

Cuerpo del silo

Si se desea que el silo tenga un volumen de 25 m 3 y un diámetro de 2.5 m para el cilindro y el cono, ¿cuáles pueden ser las posibles alturas del cono y del cilindro?

y

Comparen sus estimaciones con las de otras parejas. Aún no es necesario que hagan cálculos para saber qué estimaciones son mejores.

II. Haciendo operaciones escritas o con la calculadora, encuentren el resultado de los problemas anteriores. Anótenlo al lado de sus estimaciones. Para el caso del problema d) comprueben su respuesta calculando el volumen de ambos conos.

Comparen sus respuestas y procedimientos con los de otros compañeros. Si alguna pareja hizo una estimación muy buena pídanle que compartan su estrategia.

Para conocer más acerca de cómo se aplican las fórmulas del volumen del cilindro y del cono, pueden ver el programa Problemas prácticos.

Para saber másSobre volumen y capacidad, consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Peña, José Antonio de la. “¿Cuánta agua le cabe a un tinaco?” en Geometría y el mundo. México: SEP/San-tillana, Libros del Rincón, 2004.

MAT3 B5 S29.indd 193 12/10/08 6:42:01 PM

EjeForma, espacio y medida.

TemaFormas geométricas.

SubtemaCuerpos geométricos.

AntecedentesA partir de lo que ya trabajaron en las secuencias 27 y 28, los alumnos aplicarán lo aprendido a diversas situaciones en las que tendrán oportunidad de hacer estimaciones y encontrar datos faltantes a partir de otros conocidos.

Propósito de la secuencia Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos.

Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1

Problemas prácticos Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos. Calcular datos faltantes dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

Programa 53 Interactivo

Programa 54

26.52 cm.

3.25 cm.

Propósito del programa 54. Mostrar ejemplos en los que se calcula el volumen del cilindro y del cono usando las fórmulas.

Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.

MAT3 B5 S29 maestro.indd 209 12/11/08 1:59:56 PM