secretos geom en arq

8/7/2019 SECRETOS GEOM EN ARQ

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Los secretos geomtricos en diseo y arquitectura

Claudi Alsina i CatalCatedrtico de Ciencias de la Computacin e Inteligencia Artificial

Departamento de Estructures a l'Arquitectura, Universitat Politcnica de Catalunya

Introduccin

La Geometra es una rama fundamental de las Matemticas cuyo objetivo primordiales el conocimiento y la creatividad, en el espacio tridimensional. Por ello, la Geometra estpresente en la creacin del Diseo y de la Arquitectura. La Geometra es, a la vez, uninstrumento capaz de dar formas geomtricas, dar mtodos de diseo y representacin,aportar medidas y proporciones y suministrar transformaciones con las que establecersimetra, modularidad o repeticin, etc.

Las dimensiones del Diseo y de la Arquitectura son muchas y muy diversas: las tresespaciales, la temporal, el color, la luminosidad, la acstica, el confort, la percepcin... y la

Geometra incide muy especialmente en el apartado espacial. Quizs pudiramos recordaraqu lo dicho por Giancarlo de Carlo:

La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un slido, sino la envolturacncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vaco, sino el lugar volumtricoen el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y variadas.

Es de la fiel alianza del arquitecto con la geometra para delimitar porciones delespacio libre para el uso de las personas que nace la Arquitectura, y de la utilizacin deldiseador de los principios geomtricos nace el Diseo.

Dado que la relacin entre Geometra, Diseo y Arquitectura es milenaria, nuestrapropuesta en este taller es hacer ver algunos secretos de esta relacin, a travs de desvelar

algunas claves. Para cualquier persona interesada en el tema la descripcin puede resultarcuriosa, pero para profesores y estudiantes desearamos transmitir la idea didctica de que,ms all de la curiosidad, pueden encontrar en el estudio de esta relacin Geometra-Diseo-Arquitectura una buena oportunidad para comprender cosas, desarrollar la capacidad dedesenvolverse tridimensionalmente e iniciarse en los procesos de creatividad espacial.

A continuacin iremos comentando algunos de estos aspectos geomtricos ligados alDiseo y a la Arquitectura.

1Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2005


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Los secretos geomtricos en diseo y arquitectura Mdulo 3: La geometra y la historia

Orientacin geogrfica

La buena orientacin de los edificios ha sido un tema siempre importante enArquitectura. Haba (y hay) motivos de ndole muy prctica: maximizar las horas de sol(iluminacin, calefaccin,...), pero tambin otros motivos de tipo simblico (encarar hacia eloriente, iluminacin especial en ciertos das santos o de solsticio, etc.). Ello llev a lanecesidad de usar mtodos geomtricos y de clculo ya en las propias ceremonias quemarcaban el inicio de las construcciones. Los relojes solares son bellos testimonios de esteencuentro entre Arquitectura, Geometra y Naturaleza. Incluso hay edificios que son ellosmismos relojes de sol: Museo Arqueolgico de Npoles, Torre de Santiago Calatrava enBarcelona, Pirmide en el CosmoCaixa de Barcelona, etc.

Nota didctica: Construir un reloj de sol para una ventana de la clase es una magnfica

leccin de Geometra.

La modelizacin geomtrica

Trabajar con maquetas a escala 1:10, 1:25,... o incluso 1:1 ha sido una tcnicasimple para favorecer la creatividad y la ejecucin de obras arquitectnicas. Consta quealgunas pirmides se hicieron partiendo de maquetas grandes (1:10). Los picapedrerosmedievales tenan maquetas de madera (1:1) de los elementos a esculpir en piedra. Hoy siguesiendo comn el uso de maquetas de yeso o madera como soporte creativo.

Nuevas tcnicas con resinas y cortes robticos estn revolucionando hoy elmaquetaje, siendo el lenguaje geomtrico esencial para programar dichas realizaciones.

Nota didctica: A qu escala deja de verse un objeto de medida real 10cm?

La representacin geomtrica

La elaboracin de modelos grficos para Arquitectura surge a partir del siglo XII.Ser con la invencin de la perspectiva lineal y la Geometra Descriptiva de Monge que elmtodo grfico adquirir rango cientfico, pudiendo unirse a l el clculo riguroso o estticagrfica.

Gracias a la computacin y las ltimas generaciones de ordenadores y de software

grfico, con mtodos geomtricos es posible hoy hacer magnficas representaciones quellegan a la creacin de maquetas y de espacios virtuales.

Nota didctica: Junto a la regla y el comps era utilizada siempre una escuadra (dosreglas de madera formando ngulo recto). Qu trazados facilitaba la escuadra?

2 Curso Interuniversitario Sociedad, Ciencia, Tecnologa y Matemticas 2005


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Mdulo 3: La geometra y la historia Los secretos geomtricos en diseo y arquitectura

Modularidad

Muy a menudo, la Arquitectura exige la repeticin de elementos iguales. Surgeentonces la modularidad. El mdulo puede ser un sistema de medidas (palmos y canasmedievales; metros en el sistema mtrico decimal; el Modulor de Le Corbusier con las seriesd, d, d

2,... y su doble, siendo el nmero de oro;...). Y tambin puede tratarse de un

mdulo geomtrico (el mdulo L de Rafael Leoz en 4 cubos; el tatami japons; el capitelromnico, etc.). La modulacin conlleva armona, simetra, plasticidad,... pero tambin es, yha sido, una forma de construir simple y eficaz (por repeticin o por subdivisin). En pocasindustriales la modulacin ha facilitado tambin la economa de la obra.

Nota didctica: Con un rectngulo ureo (tarjeta de crdito) dibujado en papel recorte elmayor cuadrado que pueda quedndole una pieza rectangular. Verifique que dicha piezaes semejante a la de partida.

Proporcin

La teora de la proporcin nace de la creatividad arquitectnica: la relacin de laparte con el todo; las relaciones del todo con todas sus partes,... Esta teora, ya aplicada enEgipto y descrita literariamente por primera vez por el arquitecto romano Vitruvio, va unida alos trazados geomtricos con regla y comps, y en ella conviven las proporciones estticasinherentes a la modularidad (1, 1/4, 1/2, 3/4, 1/3, 2/3, 1/5,...) con las bellsimas proporciones

dinmicas ( 2, 3 , 5 , (1 5) /2, ...+ ). La teora de la proporcin ha perdurado a lo largo de

la historia, buscando siempre euritmia, armona entre partes, belleza derivada de lasproporciones de los seres humanos... y ha sido siempre un mtodo compositivo.

Nota didctica: Cmo define la proporcin en una caja de aristas a, b, c?

Inclinacin estructural

La Arquitectura se basa esencialmente en la verticalidad. Para lograr edificios cadavez ms altos y ms profundos se han tenido que desarrollar tcnicas constructivas yestructurales, recursos geomtricos de apoyo y una constante investigacin de materiales quepermitiesen superar los lmites naturales de cada caso.

Si bien hay casos de patologa constructiva donde aparecen inclinaciones (la Torre

de Pisa es emblemtica), fue Gaud el primero en trabajar con columnas inclinadas (ParqueGell, Colonia Gell,...) que adaptadas al terreno permitan una distribucin ptima decargas.

Otro tipo de inclinacin interesante es el clsico de las cubiertas de desage,propias de pases lluviosos o con nieve (los ngulos de dichas cubiertas van ligadas al clima).

Nota didctica: Abran una lata de Coca-Cola y vayan bebiendo. Llegar un momento enque la lata medio llena se puede aguantar inclinada sobre la mesa, aprovechando la formade la base.



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Fractalidad

El principio arborescente de las ramas de un rbol es un ejemplo natural bellsimode fractalidad. La fractalidad se corresponde con el principio de dividir iterativamente.

Principios de fractalidad proyectual se encuentran en obras de Frank Lloyd Wright, enlas columnas de la Sagrada Familia,... y en modernos diseos de plantas de aeropuertos oagregados de viviendas.

Nota didctica: Observen la estructura de un paraguas plegable al abrirse,... unaestructura fractal interesante!

Acstica

La geometra de la sala (medidas y superficies en paredes, techo y suelo) influye enla buena acstica, con lo cual sta puede modificarse geomtricamente. Un casoextraordinario de acstica se halla en un castillo de Kyoto donde las propias vigas del suelo alandar sobre ellas producen tonos musicales. Un dueo desconfiado resolvi con ello sustemores.

Nota didctica: Por qu al poner la mano junto a la oreja se intenta mejorar la recepcindel s nid ?

Preparacin para terremotos y desgracias

La flexibilidad de la estructura (por ejemplo, madera), la colocacin del edificio,sobre base flexible de arena y piedras que permite oscilacin no destructiva, la presencia enla azotea de contrapesos oscilantes... hay diversos recursos para contrarrestar el efecto de unterremoto suave.

Para otras situaciones lmite (avisos de bombas, incendios, inundaciones, viento,...)la geometra tambin ayuda a realizar un diseo de prevencin eficiente (escaleras deevacuacin, caminos ptimos de salida, carcter aditivo de las medidas de las puertas segnse acercan a la salida, etc.).

Formas poligonales y circulares

Si bien a nivel de edificio las formas poligonales no rectangulares son escasas(Pentgono en Washington; ciudades fortificadas, etc.), en el nivel de distribuir espacios,delimitar aberturas, etc., las formas circulares o poligonales son omnipresentes. Muchasformas curvas en Arquitectura se construyen mediante aproximaciones poligonales.

En algunos casos cabe destacar problemas de carcter simblico motivadores del usoobstinado de determinadas formas. As el carcter mgico del pentgono regular y su estrella,el carcter religioso de la figura vesica piscis, el cuadrado representando a Al, el trazado



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del heptgono en el semicrculo alrededor del altar en las grandes catedrales, etc., son

ejemplos de presencias poligonales o circulares cargadas de simbolismo.

Nota didctica: Sabra construir una buena aproximacin al heptgono regular en unacircunferencia?

Las curvas y los arcos

Ventanas, puertas, claustros, patios, etc. han motivado desde siempre la creacinde arcos sustentando o delimitando tales aberturas. Destacan los arcos semicirculares,elpticos, parablicos, hiperblicos, de media vesica piscis o gtico, de herradura,lobulados, etc.

La construccin en piedra de dichos arcos llev a crear el comps de la geometray oblig a crear sistemas exteriores de apoyo (contrafuertes) para aguantar determinadosempujes.

El mejor arco del mundo (introducido por Gaud) es el catenario

( [ ]exp( / ) exp( / ) / 2y a x a x a= + ), pues se aguanta a s mismo al ser la simetrizacinespecular de la forma de una cadena que cuelga por su propio peso de dos puntos fijos.

Nota didctica: Mantenga una cadena colgando de entre sus manos y coloque el conjuntoencima de un espejo horizontal donde pueda ver el arco catenario.

Formas polidricas

Cubos y ortoedros son las formas polidricas ms omnipresentes en Arquitectura.Otras formas polidricas han aparecido tambin en construcciones singulares, siendodestacables las cpulas geodsicas. Muchas de ellas derivan del icosaedro por triangulacionessucesivas proyectadas en la esfera que circunscribe al conjunto. As, la gran esfera del EpcotCenter en Orlando, la del Museo Dal en Figueres o la del cine de La Vilette en Pars resultansorprendentes edificaciones. El secreto de la rigidez espacial es siempre la triangulacin.

Nota didctica: Haga una visita a un gran web de poliedros como el de George Hart[http://www.georgehart.com].

Superficies quebradas

Las superficies formadas por trozos rectangulares articulados en forma de zig-zagconstituyen interesantes biombos, cubiertas de fbricas y escaleras.

Las inclinaciones de rampas y escaleras deben ser adecuadas. Si un escaln es de

altura Cy huella Hnormalmente se considera H+2C=63cm. Si recuerdan que 3 puntos de

http://www.georgehart.com/http://www.georgehart.com/


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zapato son 2cm pueden discutir medidas ptimas para H y luego calcular C. Pueden notar

tambin que (C:H)100 les dar el tanto por ciento de pendiente.

Nota didctica: Qu peso puede aguantar con una hoja de papel apoyada entre doslibros?... Muy poco, si no hace nada a la hoja. Mucho, si crea con ella una superficiequebrada.

Formas conoidales y cilndricas

Mientras las formas cnicas son arcaicas culminaciones de torres cilndricas, lasformas cilndricas como paredes o como cubiertas siempre han tenido especial presencia. Sonformas regladas simples y en ellas se pueden albergar escaleras de caracol. Tambin hayrascacielos combinando formas cilndricas, sin olvidar la forma cilndrica fundamental encolumnas, trazados de tneles, chimeneas, etc.

Nota didctica: Marque varias rectas paralelas en un papel y forme con l un cilindro.Podr observar en la superficie cilndrica sus lneas geodsicas bsicas: las hlices.

Esferas y paraboloides de revolucin

Dichas figuras forman parte de famosas cpulas de piedra: la de San Pedro delVaticano, la de Florencia, la del Capitolio en Washington, la del Palacio Gell de Gaud, etc.

El valenciano Guastavino triunf en Estados Unidos fabricando grandes cpulas conla tcnica rpida, barata y resistente de la vuelta catalana.

Con porciones de una esfera (basndose en cortes de una manzana con un cuchillo)Utson dise la gran pera de Sidney en Australia, no sin antes resolver grandes problemastcnicos para la construccin de dichas formas.

Nota didctica: Si tiene un vaso medio lleno de agua y lo agita girando ver como lasuperficie del lquido forma un paraboloide de revolucin.

Los hiperboloides de una hoja

Estas superficies regladas (cuyas rectas unen puntos correspondientes entrecircunferencias paralelas giradas entre s) son las formas ideales para dar sonoridad a lascampanas; diversos objetos de diseo tienen esta forma. Gaud introdujo el uso de dichassuperficies en columnas, chimeneas y grandes entradas de luz en la Sagrada Familia.

A nivel de ingeniera es una forma idnea para grandes chimeneas de centralestrmicas, al precisarse un mnimo grosor llegando a una gran altura.



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Nota didctica: Pueden disfrutar de hiperboloides de una hoja haciendo pasar (seguido)hilo elstico por los agujeros correspondientes en dos crculos agujereados.

El paraboloide hiperblico

Esta sorprendente superficie reglada nace al apoyar rectas entre puntoscorrespondientes de dos rectas que se cruzan en el espacio (situadas en dos planos paralelos),ortogonales a un plano paralelo a todas las rectas que se apoyan. Fu Gaud el primero enusarla para techos, cubiertas y otros detalles, siendo un elemento clave en laespectacularidad de ciertos diseos gaudinianos. Flix Candela la us en monumentalesconstrucciones; Nervi, Calatrava, etc. tambin la han empleado.

Nota didctica: Tome un lpiz en cada mano. Sitelos paralelos y entre ellos apoye

algunos lpices. Tendr un plano. Si levanta ligeramente un lpiz de una mano ver surgirla figura.

La simetrizacin

La teora de la simetra con su juego de transformaciones isomtricas en el plano oen el espacio ha dado lugar a ingeniosos recursos compositivos, considerados en muchos casoscomo referentes de belleza.

Un primer nivel e investigacin es el de figuras con centro, con formascalidoscpicas.

Es la simetra con centro y rotaciones. Es la de la ciudad-estrella de Karlsruhe; es lade las fortificaciones poligonales medievales; es la de las plantas de templos circularesrenacentistas dibujados por Leonardo da Vinci, es la de la Place de l'Etoile de Pars,... Losgrupos cclicos y diedrales que se corresponden con los polgonos convexos regularesorientados o no-orientados rigen la generacin de estos espacios.

Los juegos de agua en los jardines, los mdulos con espejos interiores, lasdistribuciones geometrizadas de flores y plantas en el jardn ingls... son exponentes de estatcnica simetrizadora central.

Los ejes de simetra en el plano y los planos de simetra en el espacio son elementoscompositivos esenciales, sobre los cuales se basa el concepto de equilibrio arquitectnico y

de ordenacin.

Encontramos este efecto en las plantas de Palladio, en las fachadas y plantas de lasgrandes catedrales, en la mayora de fachadas y distribuciones interiores de apartamentos, engrandes ejes viales, en los rascacielos... la parte izquierda se corresponde con la partederecha... la simetrizacin como principio de la repeticin.

La verticalidad de la Arquitectura y la obstinada horizontalidad de los estanques olagos permiten crear un efecto visual curioso externo a la obra: el reflejo de las fachadas en



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el agua. De esta manera nace una bella imagen doble. Una es real y corprea. La otra es

virtual, reflejada, dependiente del reposo del agua o de su movilidad.

Podemos ver este efecto en la Alhambra de Granada con sus reflejos en estanquesinteriores, donde se ha logrado una magistral quietud de agua circulante. Tuduri us esteprincipio en el estanque adjunto a la Sagrada Familia de Barcelona. En grandes fachadasmartimas de ciudades costeras (Nueva York, Boston, San Francisco,...) tambin el mar actacomo espejo vivo.

Un tercer nivel de simetrizacin se encuentra en frisos, mosaicos y decoraciones delplano donde los conocidos grupos de simetra respectivos permiten la generacin al infinito degrandes diseos partiendo de mdulos muy simples.

Los 17 grupos de simetra del plano presentes en La Alhambra de Granada o en el

mudjar aragons; los frisos griegos, romanos o de la cermica valenciana; los mosaicos detodos los grandes palacios... son bellsimos ejemplos de simetra. Pero las tramas del diseourbano en Nueva York o en el Ensanche de Barcelona son tambin el resultado de una simetrade la repeticin puesta al servicio de las distribuciones urbanas.

Nota didctica: Aprenda a recortar los 7 tipos de frisos con bandas de papel y tijeras.

Forma y funcin en Diseo

El Diseo busca soluciones geomtricas ptimas para dar formas y medidas a objetos

que deben cumplir determinadas funciones. En esta bsqueda para dar respuestas a lasrelaciones formas-funciones surge la Geometra aportando figuras o transformaciones. Pero eldiseo no se reduce a la creatividad geomtrica, sino que debe conjugar la dimensingeomtrica con las consideraciones ergonmicas, econmicas, perceptivas, las texturas, loscolores, etc. La Geometra cotidiana no es, en consecuencia, un corolario de la Geometraeucldea, sino una componente de un proceso creativo ms complejo.

Entre las curvas ms relevantes en diseo encontraremos las cnicas, las espirales,la catenaria, las hlices, las sinusoides Entre las superficies las planas, las cuadrticas yciertas superficies regladas, mnimas y de revolucin. Las formas polidricas tambin tienensu papel.

Podramos citar, por ejemplo, las espirales en las mecedoras de Thonet, el uso de

catenarias en arcos, el uso del tringulo de Reuleaux en motores, taladros y en las pastillasde menta SMINT, conos para helados, espirales en discos de vinilo, hiperboloide de una hojaen gramfonos, campanas y trompetas, paraboloide hiperblico en patatas fritas, etc., etc.,etc.

El diseo minimalista, el tecnolgico avanzado o el ms creativo nos puedesorprender con soluciones (propuestas) inesperadas: las escaleras plegablestelescpicamente, las estructuras plegables de mesas, los paraguas super-plegables, lasnuevas llaves de habitaciones de hotel basadas en bandas magnticas, la tecnologa WIFI, loslpices digitales, etc.



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Objetos como los clips, las pinzas de tender la ropa o las tradicionales hueveras

contienen en su minimalismo, su economa y su funcionalidad duradera esta perfeccin dediseo donde se tiene una forma ptima para una solucin estupenda.

La Geometra tiene aspectos curiosos e interesantes, y debemos contemplarla no comoun producto del pensamiento puramente abstracto, sino como el resultado de un largoproceso histrico, social y cultural. Nos gustara haber evidenciado que en los objetos deDiseo y toda la Arquitectura del mundo tenemos gratis, y para siempre, un magnficolaboratorio de Geometra.

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