Sistemas Numéricos

Sección 2.1

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Introducción

A través de la historia se han utilizado diferentes

Sistema Numéricos.

Sistema Numérico: una colección de propiedades

y símbolos que se usan para representar números

sistemáticamente.

Comparar el sistema numérico que usamos en la

actualidad con sistemas más antiguos nos ayudan

a apreciar con mayor claridad el nuestro.

Definición

Números Cardinales (Whole Numbers):

Los números cardinales corresponden al conjunto

numérico compuesto por los números naturales

en adición al cero:

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}

Son los números que utilizamos para indicar el

número de objetos en un conjunto.

Definición

Numerales se refieren a los símbolos escritos que

representan números cardinales.

Sistema Indo-arábigo

1. Los numerales se construyen de 10 digitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2. El valor de posición de dígitos se basa en

potencias de 10.

El valor posicional asigna un valor a un dígito

dependiendo de su posición en el numeral.

El valor posicional

Forma Expandida

Para escribir un número en su forma expandida,

multiplicamos cada dígito por su valor posicional.

El valor de la posición se puede representar con

notación exponencial.

Sistema Babilonico de Numeración

El sistema de numeración babilónico utiliza un

sistema de valor posicional.

Números mayores que 59 eran representados por

potencias de 60, similar a como utilizamos grupos de 10

en el sistema indo-arábigo.

Sistema Babilonico de Numeración

Ejemplo: Expresar como un numeral indo-arábigo.

El espacio entre los símbolos indica cambios de valor

posicional.

Por lo tanto, representa 2 x 601 + 20 x 1,

o sea 140.

Ejemplos – Convertir a hindu-arábico

=

=

=

Ejemplo

Represente el número 305,470, usando el

sistema Babilónico de numeración.

Para convertir el número, dividimos entre 60

repetidamente, guardando cada vez el residuo.

Usamos los

residuos, en

orden invertido,

multiplicados por

la potencia de 60

apropiada.

305,470 ÷ 60 = 5091 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 10

5091 ÷ 60 = 84 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 51

84 ÷ 60 = 1 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 24

1 ÷ 60 = 0 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 1

Los residuos invertidos son: 1, 24, 51, 10

Ejemplo – cont.

51 60 10 1+ 24 602 + +

86,400 3060 10 = 305,470+ + +

51 60 10 1

Verifiquemos:

Sistema de Numeración Egipcio

Use el sistema egipcio de numeración para

representar el número 2,345,123.

Ejemplo

Note que el sistema egipcio de numeración usa la

propiedad aditiva , esto es que, el valor del número es

la suma del valor de cada símbolo. Por lo tanto no

depende de la posición del símbolo.

Convertir al sistema indo-arábigo.

Ejemplo

Sistema de Numeración Romano

Sistema de Numeración Romano

Para evitar la repetición de un símbolo más de tres

veces, como en IIII, una propiedad de sustracción se

introdujo en la Edad Media

Además, en la Edad Media, una barra que se

coloca sobre un número romano implica la

multiplicación del valor del numeral por 1,000.

Por ejemplo,

Use el sistema de numeración Romano para

representar cada número decimal.

Práctica 1

a) CCLXXIV

b) LXXXVII

c) CXLIX

Representar cada número decimal usando el

sistema de numeración Romano:

Práctica 2

a) 99

b) 348

c) 967

Use el sistema de numeración Romano para

representar 15,478.

Ejemplo

Sistemas con otras bases:

El Sistema Binario (base 2)El sistema binario solamente tiene 2 digitos: 0 y 1

Aritmetica en base dos es especialmente importante

debido a su uso en las computadoras.

Uno de los dos dígitos representa por la presencia de una

señal eléctrica y el otro, la ausencia de una señal eléctrica.

Convertir 101112 a base diez.

Ejemplo

Convertir 27 a base dos.

Ejemplo

Convertir 102 10 a base dos.

Ejemplo

Convertir 112445 to base 10.

Otras bases

Bloques Base-diez

1 unidad →100 = 1 cubo

1 varilla →101 = 1 fila de 10 unidades

1 pieza plana →102 = 1 fila de 10 varillas, o 100

cubos

1 bloque→103 = 10 filas of 10 varillas, o 10 piezas

planas, o 1000 unidades

Práctica Bloques Base-diez

Instrucciones: Tomar un conjunto de bloques base

diez que representa un número e intercambiar las

piezas hasta que tengan el número menor de

piezas posible que representa el número original.

¿Cuál es el número menor de piezas que representa

el mismo número que 11 piezas planas, 17 varillas, y

16 unidades?

Ejemplo