sec. 3.1-3.2 funciones polinomicas · cuadratica) •p(x) factoriza ... polinomios de grado 2:...
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FUNCIONES POLINOMICAS
Sec. 3.1-3.2
Función Polinómica
Un polinomio o una función polinómica es una expresión
algebraica de la forma
donde los coeficientes an, an - 1, …, a1, a0 son números reales y
los exponentes de las variables son enteros positivos.
1 2
1 2 1 0( ) ... ,n n n
n n nP x a x a x a x a x a
• an, an -1 ... a1 , ao son números, llamados coeficientes.
• an es el coeficiente principal
• ao es el término constante.
• Para cualquier polinomio, (0, ao ) es el intercepto en y.
• Para cualquier polinomio, f(h)=k es el punto (h, k ) de la gráfica de f(x).
Función Polinómica
1 2
1 2 1 0( ) ... ,n n n
n n nP x a x a x a x a x a
Para cada polinomio, identificar:
• el grado
• el coeficiente principal
• el término constante
• el intercepto en y
• f(-1)
1.
2.
3.
4. f(x) = (x − 3)(2x + 6)( − 4x− 21)
Función Polinómica
• Polinomio de grado cero (función constante)
P(x) = 2
• Para cualquier valor de x, el valor de y
correspondiente es siempre 2.
P(1) = 2 P(10) = 2 P(-15) = 2 P(.0001) = 2
• El intercepto en y es
• P(0) = 2, es el punto (0,2).
• El intercepto en x lo hallamos resolviendo P(x) = 0.
En este caso y = 2 siempre, así que y NUNCA será
igual a 0.
• NO HAY INTERCEPTO EN X.
Interceptos: polinomio de grado 0
• Polinomio de grado cero (función constante)
P(x) = 2
Les recuerdo que la gráfica de una función
constante es una recta horizontal que pasa por
(0,2).
Gráfica de un polinomio de grado 0
• Polinomio de grado uno (función lineal)
• P(x) = 1 – 2x (modelo: f(x) = mx+b)
• El intercepto en y es
• P(0) = 1, es el punto (0,1).
• El intercepto en x lo hallamos resolviendo P(x) = 0.
• 1 – 2x = 0
• x = ½
• La gráfica toca el eje de x en el punto (½ , 0).
• La gráfica de una función lineal es una recta,
• la pendiente es
• intercepto en y es ó .
Polinomio de grado 1 – repaso
-2
y=1 (0,1)
Polinomio de grado uno (función lineal)
Trazar la gráfica de P(x) = 1 – 2x
Gráfica de un polinomio de grado 1
• Polinomio de grado dos (función cuadrática)
• P(x) = 1 + 2x – 3x2 (modelo: f(x) = ax2+bx+c)
• El intercepto en y es
• P(0) = 1, es el punto (0,1).
• El intercepto en x
1 + 2x – 3x2 = 0 (resolvemos mediante FACTORIZACION o la FORMULA
CUADRATICA)
• P(x) factoriza : (1 – x)(1 + 3x) = 0
• Fórmula cuadrática: 𝒙 =−𝟐± 𝟐𝟐−𝟒(−𝟑)(𝟏)
𝟐(−𝟑)
Polinomios de grado 2: repaso
Polinomios de grado 2: repaso
=4
3
• Como el coeficiente principal
es negativo,
• la gráfica es una parábola
invertida y P(x) tiene un
máximo.
El vértice es el punto 𝟏
𝟑,
𝟒
𝟑.
Las gráficas de polinomios de grados mayores
que 2 son más complicadas que las gráficas que
hemos visto hasta ahora.
Se caracterizan por ser curvas suaves y
contínuas (no tienen picos punteagudos, huecos,
ni brincos)
El dominio de una función polinómica es el
conjunto de todos los reales, −∞, ∞ .
Polinomios de grado > 2
Ejemplos de Funciones Polinómicas
Ejemplos de Funciones No-Polinómicas
Los polinomios tienen un comportamiento
igual que el monomio Q(x)=an xn en los
extremos, o sea se comportan como su
término principal.
El comportamiento en los extremos de un
polinomio es determinado por el grado del
polinomio, n y el signo del coeficiente
principal an
Gráficas de polinomios de grado > 2 1 2
1 2 1 0( ) ... ,n n n
n n nP x a x a x a x a x a
Características de polinomios de grado impar
a > 0 a < 0
puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;
existen A LO MAS (n – 1) puntos de retorno, donde n es el grado del
polinomio.
ceros de la función: existen A LO MAS n ceros, donde n es el grado
del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int-x de la gráfica.
comportamiento
en los extremos:
En los extremos,
la gráfica de un
polinomio de
grado IMPAR,
apunta en
direcciones
opuestas
dependiendo del
signo de a.
Características de polinomios de grado par
puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;
existen A LO MAS (n – 1) puntos de retorno, donde n es el grado del
polinomio.
ceros de la función: existen A LO MAS n ceros, donde n es el grado
del polinomio. Si los ceros son reales, indican los int-x de la gráfica.
comportamiento en
los extremos:
En los extremos, la
gráfica de un
polinomio de grado
PAR, apunta en
la misma dirección,
ambos hacia arriba o
ambos hacia abajo
dependiendo del
signo de a.
Práctica
Determine si cada función es de grado PAR o IMPAR.
Identifique los puntos de retorno y los ceros de la función.
Diga el grado mínimo posible.
Ejemplo
Utilizando la prueba del coeficiente principal, paree cada
ecuación con su gráfica.
a)
b)
c)
d)
4 3( ) 3 2 3f x x x
5 1
4( ) 1f x x x
6 5 3( ) 4f x x x x
3 2( ) 5 4 2f x x x x
Soluciones
ambos extremos
apuntan hacia
abajo, C
Negativo 6, par d) x6
los extremos apuntan
en direcciones
opuestas, izquierda
hacia arriba, A
Positivo 5, impar c) x5
los extremos apuntan
en direcciones
opuestas, izquierda
hacia abajo, B
Negativo 3, impar b) 5x3
ambos extremos
apuntan hacia
arriba, D
Positivo 4, par a) 3x4
Gráfica Signo del
coeficiente
principal
Grado del
término
principal
Coeficiente
principal
Dado la gráfica de un polinomio si podemos determinar
los interceptos en x de la gráfica
y un punto adicional
podemos determinar una ecuación para el polinomio
Como los interceptos en x coinciden con los ceros reales de
la función, podemos expresar la ecuación en forma
factorizada.
Con el punto adicional, podemos determinar el coeficiente
principal.
Ecuaciones de polinomios
Ej 1: Determinar una posible ecuación para la
gráfica que se muestra
De la gráfica de un polinomio, tratamos
de identificar los interceptos en x ya que
coinciden con los los ceros reales de la
función.
En este caso:
x= -4, x= -1, x= 3
De los ceros llegamos a los factores:
𝑔 𝑥 = 𝑎(𝑥 + 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
Determinamos a con algún otro punto.
int-y es (0, -12)
Reemplazamos en g(x)
-12= 𝑎(0 + 4)(0 + 1)(0 − 3)
-12= −12𝑎
𝑎 =12
12=1
𝑔 𝑥 = 1 (𝑥 + 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
𝑔 𝑥 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)
𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 11𝑥 − 12
Ej 2: Determinar una ecuación para f(x)
De la gráfica de un polinomio, tratamos de
identificar los interceptos en x ya que
coinciden con los los ceros reales de la
función.
En este caso:
x= -2, x= 1
De los ceros llegamos a los factores:
f(x) = a(x 1)(x + 2)
Sabemos que el polinomio es de grado par y
que su grado es mayor que 2.
Por la forma de la gráfica en x=1, tenemos
f(x) = a(x 1)3(x + 2)
Usamos el int-y (0,-10) para determinar a.
-10 = a(0 1)3(0 + 2)
-10 = -2a
a = 5
un cero repetido.
f(x) = 5(x 1)3(x + 2)
f(x) = 5x4 5x3 15x2 + 25x 10
Uno de los primeros esfuerzos que se
hacen para trazar gráficas de
polinomios, es determinar los ceros
reales de la función ya que coinciden
con los interceptos en x.
Es posible determinar los interceptos
en x con un esfuerzo mínimo en
algunos casos.
Gráficas de polinomios (cont.)
Hallar los interceptos en x del siguiente
polinomio
Este es un polinomio de grado 3 que
tiene 3 términos
Todos los términos tienen un factor de x
en común.
xxxxf 107)( 23
)107()( 2 xxxxf
Se comienza la factorización de
xxxxf 107)( 23
removiendo el máximo común divisor, o
sea un factor de x.
)107()( 2 xxxxf
Luego, se factoriza la cuadrática
que queda dentro de los
paréntesis
Para factorizar la cuadrática,
debemos encontrar (si existen)
factores de 10 que sumen -7.
)2)(5()( xxxxf
Usaremos los factores -5 y -2.
Esta es la factorización final
del polinomio.
)107()( 2 xxxxf
)2)(5()( xxxxf
Los ceros de la función se consiguen
igualando cada factor a 0.
2 x cuando 02
5 x cuando 05
0
x
x
x
)2)(5()( xxxxf
Los interceptos en x de la gráfica de
)0,2(y (5,0) 0,0)(
son:
Trazar la gráfica de xxxxf 107)( 23 Sabemos que los
interceptos en x son:
Sabemos que es de grado
impar
Sabemos que apunta en
direcciones opuestas en las
esquinas
Sabemos que a=1 y a>0
Sabemos que la gráfica
apunta hacia abajo en el
extremo izquierdo y hacia
arriba en el extremo
derecho
)0,2(y (5,0) 0,0)(
Práctica 1
El método presentado anteriormente se puede
aplicar para hallar los interceptos en x de la
gráficas de las siguientes funciones:
xxxxf 65)( a) 23
xxxxg 232)( b)
xxxxp 963)( c) 23
Un ejemplo adicional
De hecho, el método practicado anteriormente se puede aplicar a algunos polinomios de grado mayor que 3.
Por ejemplo, consideremos
345 6144)( xxxxf
345 6144)( xxxxf
•Este es un polinomio de
grado 5 y tiene 3 términos
•Todos los términos tienen un
factor de x3 en común.
•Todos los términos tienen un
factor de 2 en común.
345 6144)( xxxxf
Se comienza la factorización
removiendo el máximo común
divisor, o sea el factor 2x3.
3722)( 23 xxxxf
Luego, se factoriza la cuadrática
que queda dentro de los
paréntesis.
Para factorizar la cuadrática,
debemos encontrar (si existen)
factores de 6 que sumen 7.
3722)( 23 xxxxf
3622)( 23 xxxxxf
Usaremos los factores 1 y 6.
3722)( 23 xxxxf
123122)( 3 xxxxxf
3122)( 3 xxxxf
La factorización completa de f(x) es:
-3 x cuando 03
2
1- x cuando 012
0 x cuando 02 3
x
x
x
3122)( 3 xxxxf
Los ceros de la función se consiguen
igualando cada factor a 0.
Los interceptos en x de la gráfica de
)0,3(y ,02
1- 0,0)(
son:
3122)( 3 xxxxf
Práctica 2
El método presentado anteriormente se puede
aplicar para hallar los interceptos en x de la
gráficas de las siguientes funciones:
103)( a) 24 xxxg35)( b) xxxh
345 24183)( c) xxxxq
Soluciones
Práctica 1
a) x(x – 2)(x – 3)
b) x(2x + 1)(x – 1)
c) 3x(x – 1)(x + 3)
Práctica 2
a) x2(x – 5)(x + 2)
b) x3(x + 1) (x – 1)
c) 3x3(x + 2)(x + 4)