Algunos parámetros estadísticos de interés

Si se tiene un conjunto de n variantes:

n321 x,...,x,x,x

se lo suele caracterizar mediante dos parámetros estadísticos que facilitan el análisis final de los resultados, a saber:

Valor medio:

n

1iix

n1X (Media

aritmética o promedio)

(p.ej. valores de una medición repetida)

Desviación típica, normal o estándar:

2n

1ii

x 1n

Xx

o cuando n → :

2n

1ii

x n

Xx

Raíz cuadrada de la Varianza

(Da idea de la dispersión de las

variantes)

Funciones de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua, f(x):

dx)x(f)bXa(Pb

a

Área bajo la curva de densidad de probabilidad entre a y b

0)x(f

1dx)x(f

;dx)x(fx

dxxfx

)()( 2

Distribución de probabilidad Rectangular o Uniforme:

bxa,ab

1)x(f

Distribución de probabilidad Normal o de Gauss:

media :

desviación normal

:

)x(z

si :(forma

normalizada)

22

2)x(e

21)x(f

2

2ze

21)z(f

Distribución de probabilidad de Gauss “normalizada”

0 1

)x(z

2

2ze

21)z(f

)z(f

z

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

Área bajo la curva normal o de Gauss, entre - y z

Ejemplos de distribuciones de Gauss:

Ejemplo: supongamos que las mediciones efectuadas de lacorriente en un conductor tienen una distribución normal o“gaussiana” con valor medio (μ) 10 A y desviación () 2 A.¿Cuál es la probabilidad de que una medición arroje un valorsuperior a 13 A?

)x(z

5,12

)1013(

9332,0)13x(P

De la tabla del área bajo la curva normal o de Gauss, entre - y z :

)%32,93(

%)32,93100()x13(P %68,6

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

Área bajo la curva normal o de Gauss, entre - y z

Distribución “t” de Student (Gosset):

nx

desviación normal de la media

xx ts *

Teoría de las Pequeñas Muestras

nt *

Intervalo de Confianza

t

)t(f

1n )LibertaddeGrados(

Grados de libertad, v

Fracción p, en porcentaje

68,27 90 95 95,45 99 99,73

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80

2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21

3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51

6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90

7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53

8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28

9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96

(Guide to the expression of uncertainty in measurement - BIPM)

Tabla G.2 - Valor de tp() de la distribución t, para grados delibertad, que define un intervalo de −tp() a +tp(), que incluye lafracción p de la distribución.

i Ii [A]

1 10,01

2 10,03

3 10,02

4 10,01

5 10,00

5

1iiI

51I A014,10

2n

1ii )II(

1n1)I(s

1n A011,0

Ejemplo: Suponiendo que se han efectuado 5 mediciones de corriente en un dado circuito, determinar el “Intervalo de

Confianza” dentro del cual existe una probabilidad del 68,27% de que se encuentre la media de I.

A006,0A0056,0*ts II

Para hallar la desviación típica, debemos tener en cuentaque sólo poseemos 5 observaciones (4 grados de libertad).Así, mediante la distribución de Student, para 1(equivalente a una probabilidad del 68,27 %), obtenemos:

14,1t

nn

I1

AA 0049,05

011,0

La desviación de la media es:

Que define el “Intervalo de Confianza” dentro del cual existeuna probabilidad del 68,27 % de que se encuentre la media.

A)006,0014,10(I población

Grados de libertad v

Fracción p en porcentaje

68,27 90 95 95,45 99 99,731 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80

2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21

3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51

6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90

7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53

8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28

9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96

(Guide to the expression of Uncertainty in Measurement – BIPM)

Tabla G.2 - Valor de tp() de la distribución t, para grados de libertad, que define un intervalo de −tp() a +tp(), que incluye la fracción p de la distribución.

Error e Incertidumbre de Medición

Error:

Diferencia entre un resultado individual, valor medido, y el valor verdadero de la magnitud en cuestión. (Es un único valor).

Incertidumbre:

Parámetro que caracteriza la dispersión de los valoresque pueden atribuirse razonablemente a la magnituddeterminada. Toma la forma de una gama de valores.

La incertidumbre del resultado de una medición reflejala falta de un conocimiento completo del valor de talmagnitud.

Incertidumbre y Tolerancia

¿Cumple un dado producto con las especificaciones del fabricante?

La expresión del resultado de una medición está completa sólo cuando contiene tanto el Valor Medidocomo la Incertidumbre de medida asociada al mismo.

Incertidumbre en las Mediciones

Procedimiento aceptado mundialmente para la expresión de la incertidumbre de medición:

BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), “Evaluation of measurement data. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”, JCGM 100, First edition. September 2008 (GUM

1995 with minor corrections)

IRAM, Norma 35050, “Estadística. Procedimientos para la evaluación de la incertidumbre de la medición.”,

Primera edición, 2001-06-15

(Todas las magnitudes que no se conocen exactamente son tratadas como variables aleatorias, incluso las magnitudes de

influencia que pueden afectar al valor medido)

Fuentes de incertidumbre de una medición:

Muestreo no representativo.

Definición incompleta o imperfecta de la magnitud medida.

Efectos no adecuadamente conocidos de las condiciones ambientales o mediciones imperfectas de las mismas.

Desviaciones personales en la lectura de instrumentos analógicos.

Límites en la resolución del instrumento.

Fuentes de incertidumbre de una medición:

(Fuentes no necesariamente independientes)

Valores inexactos de los patrones y materiales de referencia utilizados.

Aproximaciones e hipótesis incorporadas en el método y el procedimiento de medición.

Variaciones en observaciones repetidas realizadas en condiciones aparentemente idénticas.

Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y utilizados en el algoritmo para la obtención de datos.

)X,...,X,X(fY N21

El conjunto de magnitudes de entrada Xi, puede agruparse en dos categorías, a saber: de valor estimado e incertidumbre determinados

directamente en la medición;

el valor estimado y la incertidumbre asociada se incorporan a la medición desde fuentes externas (patrones de medida calibrados, materiales de referencia o datos de manuales).

Si la función f representa el procedimiento de medición y el método de evaluación de una magnitud de salida Y, que depende de una serie de magnitudes de entrada : )N...,,2,1i(X i

RUI Ejemplo:

PatrónRUI

Si se dispone de estimaciones de entrada xi, se puede obtener una estimación de salida, y :

)x,...,x,x(fy N21

Se definen:

)y(u : incertidumbre típica de medida asociada a la estimación de salida o al resultado de la medición (desviación típica de Y). Se determina a partir de los valores estimados xi de las magnitudes de entrada Xi y sus incertidumbres típicas asociadas u(xi).

)x(u i : incertidumbre típica de xi (desviación típica de Xi)

Evaluación de la incertidumbre de medida de las estimaciones de entrada xi

Tipo A: La incertidumbre se determina mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones. La incertidumbre típica es la desviación típica experimental de la medida.

Tipo B: La incertidumbre típica se evalúa mediante un procedimiento distinto al análisis estadístico de una serie de observaciones. La estimación de la incertidumbre típica se basa en otros conocimientos científicos.

Evaluación Tipo A de la incertidumbre típicaSe utiliza cuando se han realizado n observaciones

independientes de una de las magnitudes de entrada Xi.

Llamando Q a la magnitud de entrada Xi, de la que se han efectuado n observaciones estadísticamente independientes (n > 1), se tiene:

media aritmética o promedio de todos los valores observados qj (j =1, 2, ..., n)

n

1jjq

n1q

2n

1jj )qq(

1n1)q(s

desviación típica experimental

n)q(s)q(s

2

)q(u)q(s

desviación típica experimental de la media

Incertidumbre Típica(Tipo A)

Los grados de libertad, :Número de términos de una suma, menos el número de restricciones sobre los términos de dicha suma.(n-1) para el caso más común y simple de incertidumbre, en el cual la media y la desviación se calculan a partir de n observaciones independientes.

Debe indicarse siempre que se evalúen componentes de incertidumbre de Tipo A.

Evaluación Tipo B de la incertidumbre típicaLa incertidumbre típica u(xi) se evalúa aplicando un

juicio científico basado en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de Xi.

Datos obtenidos de mediciones anteriores o de calibraciones u otros certificados.

Experiencia o conocimientos del comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos.

Especificaciones de los fabricantes o incertidumbres asignadas a los datos de referencia obtenidos de manuales.

Diferentes casos de Evaluación Tipo Ba) Se conoce un solo valor de Xi (p.e. el valor de una

única medición, un valor de referencia, etc.).

b) Se puede suponer una distribución de probabilidad para la magnitud Xi, basándose en la teoría o en la experiencia.

c) Sólo pueden estimarse unos límites superior e inferior, a+ y a- para la magnitud Xi. (p.e. especificaciones del fabricante de un instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de redondeo o de truncamiento, etc):

)aa(21xi

3a)x(u i (distribución

rectangular)

(Grados de libertad, = ∞)

a

a

2dx

a21xx )x(u

3a

i

a21

a a

1)axa(P i

BTipoi2

ATipoi2

i )x(u)x(u)x(u

Así, para cada estimación de entrada xi podemos expresar en general su incertidumbre típica como:

Cálculo de la incertidumbre típica de la estimación de salida, u(y)

)y(u)y(uN

1i

2i

(para magnitudes de entrada no correlacionadas)

)x(uc)y(u iii Con

NxNX...ixiXiii X

fxfc

N

1i

2

ii

)x(uxf)y(u

y (coeficientes de sensibilidad)

Incertidumbre Expandida de Medida

La incertidumbre expandida de medida U, se calcula multiplicando la incertidumbre típica u(y) de la

estimación de salida y por un factor de cobertura k.

)y(u.kU

Si la magnitud medida y la incertidumbre típica asociada a la estimación de salida poseen distribución normal, el factor de cobertura más utilizado es k = 2. La incertidumbre expandida asociada U corresponde a una probabilidad de cobertura de,

aproximadamente, un 95%.

Hipótesis de distribución normal basadas en las condiciones del Teorema del Límite Central

Cuando no pueda justificarse la hipótesis de una distribución normal, o la evaluación de la incertidumbre de Tipo A esté basada en pocas observaciones, debe utilizarse información sobre la distribución de probabilidad real, o una solución aproximada: La distribución t (Student) con un número

efectivo de Grados de Libertad ( eff )

N

1i i

4i

4eff

)y(u)y(u

N

1ii

22i

N

1i

2i

2 )x(uc)y(u)y(ucon:

Fórmula deWelch-Satterhwaite

Para determinar la incertidumbre expandida U, se podrá obtener elfactor k para una dada probabilidad de cobertura, empleando el númerode grados efectivos de libertad, eff , y la distribución t de Student.

Esquema de presentación de las magnitudes, estimaciones, incertidumbres típicas, coeficientes de sensibilidad y

contribuciones a la incertidumbre, utilizados en el análisis de la incertidumbre de una medida

magnitudXi

estimaciónxi

Incertidumbre típica u(xi)

Coeficiente de

sensibilidadci

Contribución a la

incertidumbre típica ui(y)

Grados de

libertad i

X1 x1 u(x1) c1 u1(y) 1

X2 x2 u(x2) c2 u2(y) 2

: : : : : :

XN xN u(xN) cN uN(y) N

Y y - - - - - - - - - - u(y) eff

Expresión de la incertidumbre de medida

El resultado una medición, que consiste en el estimado y de la magnitud de salida y la incertidumbre expandida asociada U, se expresa como:

)Uy( “La incertidumbre expandida de medida se ha obtenido

multiplicando la incertidumbre típica de medición por el factor de cobertura k = 2 que, para una distribución normal,

corresponde a una probabilidad de cobertura de aproximadamente el 95 %.”

Procedimiento, paso a paso, para el cálculo de la incertidumbre de medida

Expresar, en términos matemáticos, la dependencia de la magnitud de salida Y respecto de las magnitudes de entrada Xi.

)X,...,X,X(fY N21

;)x(uc)y(u iii

Identificar y aplicar todas las correcciones significativas.

Relacionar todas las fuentes de incertidumbre.

Para magnitudes medidas reiteradamente, calcular la incertidumbre típica )q(u (Evaluación Tipo A)

NxNX...ixiXiii X

fxfc

Evaluar la incertidumbre Tipo B, de las magnitudes de entrada correspondientes (valores únicos, se puede suponer una distribución de probabilidad, etc.) en función de los lineamientos dados antes.

N

1i

2

ii

)x(uxf)y(u

Calcular Xi, y la contribución ui(y) a la incertidumbre de salida u (y)

Determinar la incertidumbre expandida U, multiplicando la incertidumbre típica u(y) de la estimación de salida, por el factor de cobertura k elegido )y(ukU

y expresar el resultado como: )Uy(

Se efectúa la medición de la corriente en un circuito cuyoequivalente se muestra en la figura, utilizando la funciónamperímetro de continua de un multímetro del tipo delos que se emplearán en los Trabajos Prácticos.

Ejemplo de aplicación del cálculo de la Incertidumbre Expandida

Se pretende determinar el valor de I con su incertidumbre expandida, para un factor de cobertura del 95 %.

i Ii [A]

1 10,22

2 10,11

3 10,35

4 10,17

5 10,26

Resultado de las mediciones

5

1iiI

51I A222,10

Evaluación de la incertidumbre Tipo A

2

1)(

11)(

n

ii II

nIs

1n A0909,0(Se comprobó que

mediciones sucesivas arrojaban distintas

indicaciones, por lo que se decidió tomar 5 lecturas)

( Incertidumbre Tipo A )

n)I(s 1n

I_

1uA0407,05

A0909,0

La desviación de la media es:

(Para el desarrollo que sigue sólo consideraremos las dos primeras)

Evaluación de la incertidumbre Tipo B

a) Incertidumbre del multímetro en su función amperímetro de continua: se obtiene a partir de las especificaciones del aparato (manual del fabricante).

b) Resolución del instrumento: en nuestro caso está directamente relacionada con su número de dígitos.

c) Influencia de otras magnitudes tales como temperatura, campos externos, humedad, posición, etc.: surge de las especificaciones del fabricante, el control de las condiciones de contraste, o la experiencia previa.

Dato obtenido del manual del aparato, para lascondiciones en las que ha sido usado. Se detalla además,que esta incertidumbre posee una distribución rectangular.

a) Incertidumbre del multímetro:

)mA20I%1,0(U medidomultímetro

Para nuestro caso será:

A02,0222,10*100

1,0Umultímetro

A0302,0

Dado que se trata de una distribución rectangular:

A0174,03

A0302,03

Uu multímetro2

(componente de la incertidumbre Tipo B, correspondiente a la incertidumbre del instrumento )

podemos escribir entonces:

b) Resolución del instrumento:

3.2A01,0uu resolución3

Siendo un instrumento de 3½ dígitos, y para la mediciónen cuestión, su presentación es 10,00 A, por lo que suresolución será 0,01 A. De acuerdo a lo visto antes parauna distribución rectangular:

A01,01

005,0 005,0 ]A[I

A0029,0

(componente de la incertidumbre Tipo B, correspondiente a la resolución de la incógnita )

3A005,0

La incertidumbre final será entonces:

2332

222

11 u.cu.cu.c)I(u

Además, y ya que en nuestro caso se trata de una única medición directa:

1ccc 321

23

22

21 uuu)I(u

A0029,00174,00407,0 222

A0444,0

Así, ya estamos en condiciones de efectuar una primera presentación de los resultados de forma tabulada:

MagnitudXi

Tipo de incerti-dumbre

Incertidum-bre típica

u(xi)

Coeficiente de

sensibilidadci

Contribución a la

incertidumbre típicaui(y)

Grados de Libertad

νi

Repetibi-lidad A 0,0407 A 1 0,0407 A 4

Instrumento B 0,0174 A 1 0,0174 A ∞

Resolución B 0,0029 A 1 0,0029 A ∞

;A222,10I (Incertidumbre típica de la estimación de salida)

A0444,0)I(u

Resta ahora determinar la incertidumbre expandida U(I),multiplicando la incertidumbre típica u(I), por un factor decobertura k. Según lo solicitado en el enunciado delproblema se debe hallar la incertidumbre de medición parauna probabilidad de cobertura del 95 %.

Empleando la expresión de Welch-Satterhwaite, se tiene:

)I(u)I(u4

)I(u)I(u

)I(u)I(u

43

42

41

4

N

1i i

4i

4

eff

444

4

0029,00027,04

0407,00444,0

6

Así, mediante la distribución de Student, para una probabilidad de cobertura (p) del 95 % y 6 grados de libertad, se obtiene un factor de cobertura k ( tp() ) igual a 2,45.

La incertidumbre expandida U(I), se obtienen ahoramultiplicando la incertidumbre típica u(I), por el factorde cobertura k hallado:

A11,0A0444,0*45,2)I(u*k)I(U

Así, la expresión final del resultado, de acuerdo a lo sugeridoantes, se puede escribir como:

A)11,022,10(I “Correspondiente a una probabilidad de cobertura de aproximadamente el 95 %.”

Número de grados de libertad, v

Fracción p, en porcentaje

68,27a) 90 95 95,45 a) 99 99,73 a)

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76

Tabla G.2 - Valor de tp() de la distribución t, para grados de libertad, quedefine un intervalo de −tp() a +tp(), que incluye la fracción p de la distribución.