sanchez dario - algebra lineal

Daro Snchez H ALGEBRA LINEAL 1 .

Algebra Lineal

Jos Daro Snchez Hernndez Bogot-Colombia, Junio del 2005

[email protected] [email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuacin encontrar ms decien resultados bsicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos ejemplos, esposible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hgalo de forma que los puedarecordar despus. Para las demostraciones es indispensable el uso de una biblioteca con un buen nmerode textos de Algebra Lineal, en esta forma el estudiante utiliza tcticas de investigacin y emplea labiblioteca. Luego encontrar resultados en donde se ha dado una posible demostracin, la cual se suponees correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores, el lector deber revisarlas analizandocual de los resultados bsicos se han utilizado en la prueba.

1. RESULTADOS BASICOS

1.Un ANILLO es un conjunto , junto con dos operaciones yO B C B C B C BC, las cuales satisfacen los siguientes axiomas:E" O B C B C O es un grupo conmutativo bajo la operacin ( es un grupo conmutativo bajo la adicin).E# BC D B CD es multiplicativamente asociativo . E$ B C D BC BD C D B CB DB se tienen las dos leyes distributivas). B C O OSi BC CB para todo , en se dice que el anillo es conmutativo. Si existe un elemento en tal que para todo se dice un" O "B B" B B Oanillo con unidad identidad y a se le llama de " O2.Sea un anillo con elemento unidad, un nmero entero y sea una funcinO 8 Hque asocia a cada -matriz sobre , un escalar en . Se dice que8 8 E O H E O H 8 3 " 3 8 H 3 es " -lineal " si para cada , , es una funcin lineal en la -sima filacuando las otras filas se dejan fijas. 8 "3.Una combinacin lineal de funciones -lineales, es -lineal.8 84.Sea una funcin lineal. Decimos que es si las siguientesH 8 H alternada condiciones son equivalentes:EP" H E ! E siempre que , tenga dos filas iguales EP# E E Si es una matriz obtenida de por intercambiar dos filas, entoncesw

H E H E w

Daro Snchez H 2EPKIFVE PMRIEP

5.Sea un anillo con elemento unidad, un nmero entero y sea una funcinO 8 Hque asocia a cada -matriz sobre , un escalar en . Se dice que8 8 E O H E O H H 8 H M " es una si es -lineal, alternada y fun in determinantec 6. Sea una funcin -lineal con la propiedad de que para toda matrizH # H E ! E # # O Hsobre teniendo dos filas iguales. Entonces es alternada.7. Sea una funcin -lineal en las matrices sobre . Supngase que tieneH 8 8 8 O Hla propiedad de que siempre que dos filas adyacentes de son iguales.H E ! E Entonces es alternada.H8.Si y es una matriz sobre , denotemos por la matriz8 " E 8 8 O E 3l4 8 " 8 " 3 4 Eobtenida suprimiendo la -sima fila y la -sima columna de . SiH 8 " E 8 834 es una funcin -lineal y es una matriz , se denota H E HE 3l4 34 9.Sea y sea una funcin -lineal alternada en las matrices8 " H 8 " 8 " 8 " O 4 " 4 8 I sobre . Para cada , la funcin definida por4I E " E H E 8 E4 34 34

3"

8 34 , es una funcin -lineal alternada en el conjunto de las matrices sobre . Si es una funcin determinante, tambin lo es cada8 8 O Huna de las I 410. Sea un anillo conmutativo con elemento unidad y un nmero enteroO 8positivo. Existe al menos una funcin determinante en el conjunto de las matrices8 8 Osobre .11. Sea es una permutacin , definimos la 5 5 " # 8 " # 8 funcin si es par si es impar=31

" "5

55

./> 8 8 ODenotando por la funcin determinante en las matrices sobre dadapor

./> E =31 E " " E 8 8 5

5 5 5

donde E E 3 4 12. Sea un anillo conmutativo con unidad y sea un nmero entero positivo.O 8Existe exactamente una funcin determinante en el conjunto de las matrices 8 8sobre y es la funcin definida porO

./> E =31 E " " E 8 8 5

5 5 5

H 8 8 8 Si es cualquier funcin -lineal, alternada en el conjunto de las matrices sobre , entonces para cada una de tales matrices , se tiene .O E H E ./>E H M 13. Sean un anillo conmutativo con unidad, y matrices sobre .O E F 8 8 OEntonces , ./> EF ./>E ./>F ./> E ./> E >14. Una frmula muy prctica de hallar el determinante de una matriz 8 8debida a Cramer es dada por: Si fijamos cualquier columna 4


./> E " E ./>E 3l4 3"

8 3434

Al escalar es usualmente llamado el " ./>E 3l4 3 434 cofactor de E15.Si tomamos entonces la anterior frmula toma la forma;- " ./>E 3l434 34 ./>E E - 4 8 8 +.4E para cada La matriz , que es la transpuesta de la

3"

834 34

matriz de cofactores de es llamada E adjunta clsica de , asE +.4E - " ./>E 4l3 34 34 3416. Sea una matriz sobre . Entonces es invertible sobre si y slo siE 8 8 O E O./>E O E E es invertible en . Cuando es invertible, el nico inverso para es

E ./>E +.4E" " En particular, una matriz sobre un cuerpo es invertible si y slo si, su8 8determinante es diferente de cero.17. Sean subespacios de un espacio vectorial . Diremos que[ [ [ Z" # 5[ [ [ ! [ " # 5 " # 5 3 3 son linealmente independientes si entonces 3 ! a318.Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo Sean subespaciosZ J [ [ [" # 5de y sea . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:Z [ [ [ [" # 5 3 [ [ [ son linealmente independientes." # 5 33 [ Cada vector de puede ser nicamente expresado en la forma [ 3 " # 5" # 5 3 3 con en , . 333 4 # 4 5 [Para cada , el subespacio es disyunto con la suma4[ [ [ 3/[ [ [ [4 " ! " # 4" 4 " #+ + + 19.Sea un espacio vectorial de dimensin finita sobre un cuerpo y seanZ J[ [ [ Z" # 5 subespacios de . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 Z [ [ [" # 5. 33 [ 3 " # 5 Z 5Si es una base de entonces = es una base de " "3 3 33 "20. Si , entonces .Z [ [ [ .37Z .37[ .37[" # 5 " 5Sea un entero positivo y un subcuerpo de los nmeros complejos y sea el8 J Zespacio de las matrices sobre . Sea el subespacio de las matrices8 8 J ["simtricas, 3/ matrices tales que . Sea el subespacio de las matricesE E [> #8 8 3/ E E E Z [ [ anti-simtricas matrices tales que Entonces .> " # Si es cualquier matriz en , la nica expresin de como suma directa,E 8 8 Z Een y la otra en es donde .[ [ E E E E EE E E E" # " # " #" "# #> > 21. Sea un espacio vectorial y una transformacin lineal en . Si es unZ X Z [subespacio de , diremos que es Z [ invariante bajo X , si para cada vector en , el vector[ est en , est contenido en .X [ 3/ X [ [


22.Si , entonces existen operadores lineales Z [ [ [ 5 I I I" # 5 " # 5en tales queZ + I 3/ I ICada es una proyeccin o un proyector3 33# , I I ! 3 4 si 3 4 - I [El rango de es .3 3Inversamente, si son operadores lineales en que satisfacen lasI I 5 Z" 5condiciones y , y si es el rango de entonces . + , - [ I Z [ [ [3 3 " # 523.Sea un operador lineal en un espacio vectorial , sean y X Z [ [ I I" 5 5"como en Entonces una condicin necesaria y suficiente para que cada##subespacio sea invariante bajo es que conmute con cada proyector [ X X I 3/3 3XI I X 3 " 53 3 .24. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensin sobre unX 8cuerpo . Un J valor caracterstico o valor propio, o autovalor de es unXescalar en tal que existe un vector en tal que . Si es un- J Z X - -no nulo valor caracterstico de entonces cada tal que es llamado X X - vectorcaracterstico o vector propio o autovector de asociado con el valorXcaracterstico .-25.Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 - X es un valor caracterstico de 33 X -M El operador es singular no invertible 333 ./> X -M ! 26. Si es una matriz sobre , un valor caracterstico de es un escalar enE 8 8 J E -J E -M tal que la matriz es singular no inversible . 27. Para hallar los valores caractersticos se considera la matriz polinomial BM Ede donde se obtiene el polinomio . Claramente los valores0 B ./> BM E propios de son aquellos escalares tales que Por esta razn esE - J 0 - ! 0 llamado de . Es de notar que es un polinomiopolinomio caracterstico E 0mnico que tiene grado exactamente .8 Las matrices similares tienen el mismo polinomio caracterstico. PuesF T ET E F" entonces ./> BM F ./> BM T ET ./> T BME T ./>T ./> BME ./>T ./> BME " " "28.TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Sea un operador lineal en el espacio vectorial de. X Zdimensin sea una matriz sobre el cuerpo y sea el polinomio8 E 8 8 J 0caracterstico de o, Entonces o .X E 0 X ! 0 E ! 29. Sea un operador lineal en el espacio vectorial de dimensin Existe unX Z 8polinomio de grado no mayor que tal que . En el espacio de1 8 1 X ! Z Z# dimensin los operadores deben ser linealmente dependientes.8 M X X# 8# 1 J B 1 X !El conjunto de todos los polinomios en tal que es un ideal. Adems este ideal contiene un polinomio mnico de grado el polinomio8caracterstico de . As existe un nico polinomio mnico que genera al ideal deX :


todos los en tales que Este polinomio es llamado 1 J B 1 X ! : polinomiominimal de .X X Del teorema de Cayley-Hamilton se sigue que: El polinomio caracterstico de esdivisible por el polinomio minimal de . Se sigue tambin que los valoresXcaractersticos de son precisamente las races del polinomio minimal, y delXpolinomio caracterstico. As estos dos polinomios tienen exactamente las mismasraces.30. Sea un operador lineal en un espacio de dimensin finita . Diremos que X Z Xes cuyos componentes son los vectoresdiagonalizable si existe una base para Zcaractersticos de .X31. Sea cualquier operador lineal en un espacio de dimensin finita , seanX Z- - X [ X - M" 5 3 3 valores caractersticos distintos de y sea el ncleo de . Entonces los espacios son linealmente independientes.[ [" 532.Si es un operador diagonalizable en el espacio de dimensin finita yX Z- - X" 5 son valores caractersticos distintos de , entonces existen operadoreslineales en tales queI I Z" 5 + X - I - I " " 5 5 , M I I " 5 - I I ! 3 4 3 4 . I I #3 3 / I X El recorrido de es el espacio de vectores caractersticos de asociado con el3valor propio Vea el teorema Espectral-3 33. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensin finita .X ZSupngase que existen escalares distintos y operadores lineales no5 - - 5" 5nulos en que satisfacen las propiedades del numeral .I I Z + , - $#" 5 Entonces es diagonalizable, son precisamente los valores caractersticosX - -" 5de y los tambin satisfacen las condiciones y del numeral X I . / $#3 34. Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensin finita sobreX Zun cuerpo Entonces una condicin necesaria y suficiente para que seaJ Xdiagonalizable es que el polinomio minimal de sea de la formaX: B - B - - - J " 5 " 5 donde son escalares distintos de .35.Sea una matriz sobre un cuerpo . Entonces es similar sobre a unaE 8 8 J E Jmatriz diagonal si y solamente si el polinomio minimal de es de la forma:: E: B - B - - - J " 5 " 5 donde son escalares distintos de . T T ET E X Para hallar tal que sea diagonal, donde , se hace uso de los" polinomios de Lagrange de donde se hallan los y con losT I T X4 4 4

34

B-- -

# 34 3vectores de las bases de los s se obtiene .I T4


36.Para un operador diagonalizable , la dimensin del espacio de los vectoresXcaractersticos asociados a cada valor propio es la multiplicidad como raz del-3polinomio caracterstico de .X37. Sean y operadores lineales diagonalizables en un espacio de dimensinX Yfinita . Si y conmutan, entonces ellos son simultneamente diagonalizables;Z X Yesto es, existe una base para en la cual cada uno de sus vectores, es vectorZ caracterstico de y tambin vector caracterstico de .X Y38.Sean y matrices sobre un cuerpo , cada una de las cuales es similarE F 8 8 Jsobre a una matriz diagonal. Si y B conmutan, existe una matriz inversibleJ E T8 8 J T ET T FT sobre tal que ambas y son diagonales." "39.TEOREMA DE DESCOMPOSICION PRIMARIA. Sea un operador lineal en un espacio vectorial X Zde dimensin finita sobre un cuerpo . Sea el polinomio minimal para ,J : X: : : : : J


44. Si es cualquier vector en , el subespacio -ccloco generado por es el Z Xsubespacio de todos los vectores de la forma siendo en Si^ X 1 X 1 J B ^ X Z X , entonces es llamado para .vector cclico 45.Si es algn vector en , el -anulador de es el ideal en Z X Q X J B consistiendo de todos los polinomios sobre tal que El 1 J 1 X ! nicopolinomio mnico : X que genera estos ideales ser tambin llamado el -anuladorde . El -anulador divide al polinomio minimal del operador X : X 46. Sea cualquier vector no nulo en y sea el -anulador de Z : X + : ^ X El grado de es igual a la dimensin del subespacio cclico , : 5 X X X Si el grado de es , entonces los vectores forman la base # 5"de ^ X - Y ^ X X Si es un operador lineal en inducido por , entonces el polinomiominimal de es .Y : Una consecuencia particular de este resultado es el siguiente: Si sucede que esun vector cclico de , entonces el polinimio minimal de debe tener grado igual aX Xla dimensin del espacio ; Z por lo tanto el polinomio minimal de es el polinomioXcaracterstico de . Se sigue que X X tiene un vector cclico si y solamente si elpolinomio minimal y el polinomio caracterstico de son idnticos.X47. Si es un operador lineal en un espacio de dimensin finita , entonces Y [ Ytiene un vector cclico si y solamente si existe alguna base ordenada de en la[cual es representado por la matriz asociada acompaante del polinomioY minimal de . La matriz acompaante es: Y

! ! ! -" ! ! -! " ! - ! ! " -

"#$

5

48.Si es una matriz acompaante de un polinomio mnico , entonces esE : :simultneamente polinomio minimal y el polinomio caracterstico de E49. Sea un operador lineal en un espacio de dimensin finita sobre y sea X Z J [un subespacio de que es invariante bajo . Una condicin necesaria y suficienteZ Xpara que tenga un subespacio complementario -invariante es la siguiente: Si [ X "es un vector en y es un polinomio sobre tal que este en , entoncesZ 0 J 0 X [ "existe un vector en tal que . "[ 0 X 0 X 50.Un subespacio es llamado si[ subespacio -admisible X 3 [ es invariante bajo X 33 0 X [ [ 0 X 0 X Si esta en , existe un en tal que " "


51.Sea un subespacio -invariante de y sea algn vector en . Sea [ X Z Z W [" " el subespacio de todos los polinomios sobre el cuerpo de escalares tal que0 J0 X [ " esta en . Entonces + W [ J B es un ideal no nulo de " , [ W [ W [ Si es cualquier vector en , entonces " " - ^ X [ W [ X" " "es disyunto de si y slo si es el -anulador de , ie, si y slosi el generador mnico de es el -anulador de .W [ X " "52. Sea un subespacio propio -admisible de Entonces existe un vector no[ X Z nulo en tal que el subespacio cclico es disyunto de " "Z ^ X [ 53.Sea un subespacio -admisible de y sea un vector en tal que[ X Z Z" " ^ X [ es disyunto de " # ^ X [ tiene dimensin mxima entre todos los subespacios disyuntos de ,"esto es, si implica que .[ ^ X ! .37^ X .37^ X " " "Entonces el subespacio es -admisible.[ ^ X X "54. Sea un subespacio propio -admisible de . Entonces existe un vector no[ X Znulo en tal que es disyunto de . Si es escogido tal que " " " "Z ^ X [ ^ X tiene dimensin mxima entre todos los subespacios -cclicos disyuntos de ,X [tenemos + [ ^ X X El subespacio es -admisible." , ^ X [ ^ X Si es cualquier vector tal que es disyunto de , entonces" " "el -anulador de divide al -anulador de .X X" "55.TEOREMA DE DESCOMPOSICION RACIONAL. Sea un operador lineal en un espacio deXdimensin finita . Entonces existen vectores no nulos en Z .37Z " < Z " < -E F - >< E >< F >< EF >< FE


81.Sea un espacio de dimensin finita con producto interno. Si y sonZ X Yoperadores lineales sobre y es un escalarZ - + X Y X Y , -X -X - XY Y X . X X , , , . X X XUn operador lineal tal que es llamado . auto-adjunto hermitiano o Z X X XSi es una base ortonormal de entonces y entonces es auto- adjunto si y solamente si su matriz, en relacin a toda base ortogonal, es unamatriz auto-adjunta. Los operadores auto-adjuntos son importantes por las siguientes razones: " Para un operador de este tipo existe una base ortonormal formada por vectorescaractersticos # Muchos operadores que surgen en la prctica son auto-adjuntos.82. Sea un espacio vectorial con producto interno y un operador sobre SeaZ X Z : Z la funcin definida sobre las parejas ordenadas de vectores , en por ": X : " " . La funcin es un producto interno si y solamente si el operadorlineal satisfaceX X XX ! ! " " si Un operador que satisface es llamado X positivo. X :El operador lineal es positivo si y solamente si la funcin definida por: X X " " es un producto interno. Ntese que en este caso es auto-adjunto.83. Sea un espacio de dimensin finita con producto interno . Si es unZ : producto interno sobre , entonces existe un nico operador lineal positivo Z Xsobre tal que para cualquier , en .Z : X Z " " " Z XSea un espacio de dimensin finita con producto interno y un operadorlineal sobre . Entonces es positivo si y solamente si existe un operador linealZ Xinvertible sobre tal que .Y Z X Y Y Z X ZSea un espacio complejo con producto interno y un operador lineal sobre .Si es real para todo en , entonces es autoadjunto. X Z X XUn operador sobre un espacio con producto interno es positivo si y solamentesi su matriz, en relacin a una base ortogonal , satisface Adems si E E B B ! E B B !" 8 54 4 5

4 5entonces .

84. Sea una matriz con elementos complejos. Decimos que esE 8 8 E positivosi vale lo siguiente: Siempre que sean nmeros complejos no todos nulosB B" 8entonces .

4 554 4 5E B B !

ZSea un espacio de dimensin finita con producto interno y una baseordenada de . Si es un operador lineal sobre , entonces Z X Z X es positivo siy solamente si la matriz de en relacin a esta base ordenada esXpositiva.


E 8 8Si es una matriz con elementos complejos, entonces E es positiva siy solamente si existe una -matriz inversible tal que 8 8 T E T T .Si es una matriz positiva y posee elementos reales entonces donde esE E T T T>una -matriz invertible con elementos reales.8 8 8 8 E \ ] ] E\Una -matriz es positiva si y solamente si El criterio de positividad es basado en dos observaciones: 3 E ./>E ! Si es una matriz positiva, entonces 33 E " 5 8 E

E E EE E E

E E E

Si es una matriz positiva y , la matriz 5"" "# "5#" ## #5

5" 5# 55es una -matriz positiva.5 5Para ver basta observar que 3

./> E ./> T T ./> T ./> T ./> T ./> T ! 85.Sea una -matriz. Los de son los escalaresE 8 8 E 8menores principalesdefinidos por ../>E 5 " # 8 5 E 8 8Sea una -matriz sobre el cuerpo de los nmeros complejos y supongamosque es auto-adjunta hermitiana , entonces es positiva si y solamente si losE E menores principales de son todos positivos.E E 8 8Si es una -matriz sobre el cuerpo de los nmeros complejos las siguientesafirmaciones son equivalentes: 3 E B B ! B B A es positiva, esto es, siempre que son nmeros

4 554 4 5 " 8

complejos no todos nulos. 33 \ ] ] E\ 8 " es un producto interno sobre el espacio de las -matricescomplejas. 333 \ ] ] \ 8 " En relacin al producto interno cannico sobre las -matricesel operador lineal es positivo\ E\ 3@ E T T 8 8 T para alguna -matriz invertible sobre . @ E E E y los menores principales de son positivos. ESi todo elemento de es real, estas afirmaciones son equivalentes a: @3 E E E B B ! B B y siempre que sean nmeros reales no>

4 554 4 5 " 8

todos nulos. @33 \ ] ] E\ 8 " es un producto interno sobre el espacio de las -matrices>reales. @333 \ ] ] \ 8 " En relacin al producto interno cannico sobre las ->matrices reales, el operador lineal es positivo.\ E\ B3 T E T T Existe una matriz invertible con elementos reales, tal que .>86.Sean y espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea unaZ [ Xtransformacin lineal de en . Decimos que siZ [ X conserva productos internos X X Z Z [ " " " para todo , en . Un de en es unisomorfismo


isomorfismo del espacio vectorial en que tambin conserva productosX Z [internos.87.Sean y espacios de dimensin finita con producto interno sobre el mismoZ [cuerpo, que tengan la misma dimensin. Si es una transformacin lineal de X Zen las siguientes afirmaciones son equivalentes:[ 3 X conserva productos internos, 33 X es un isomorfismo de espacios con producto interno , 333 X Z [ lleva toda base ortonormal de en una base ortonormal de . 3@ X Z [ lleva alguna base ortonormal de en alguna base ortonormal de Z [Sean y espacios de dimensin finita con producto interno sobre el mismocuerpo. Entonces y son isomorfos si y solamente si tienen la mismaZ [dimensin. ZNotese que si la dimensin de no es finita todas las afirmaciones de estenumeral no son verdaderas como se puede ver tomandoZ 0 ! " 0 0 1 > 0 > 1 > .> ' es continua con como producto interno!" #[ Z 0 1 0 > 1 > .> X Z [ X0 > >0 > ' donde y dada por aqu!" 0 1 X0 X1 Z [ y no es isomorfo a .88.Sean y espacios con producto interno sobre el mismo cuerpo y sea unaZ [ Xtransformacin lineal de en . Entonces conserva producto interno si yZ [ Xsolamente si para todo en mX m m m Z Un sobre un espacio con producto interno es unoperador unitario isomorfismo del espacio en si mismo. Y Z YSea un operador lineal sobre un espacio con producto interno. Entonces es unitario si y solamente si el adjunto de existe y .Y Y YY Y Y M 8 8 E E E MUna -matriz compleja se dice si .unitaria Z YSea un espacio vectorial de dimensin finita con producto interno y sea unoperador lineal sobre . Entonces es unitario si y solamente si la matriz de enZ Y Yalguna toda base ortonormal ordenada es una matriz unitaria. 8 8 E E E MUna -matriz real o compleja se dice si ortogonal E F 8 8 FSean y -matrices complejas. Se dice que es unitariamenteequivalente a si existe una -matriz unitaria tal que .E 8 8 T F T ET F E 8 8 TDecimos que es a si existe una -matriz ortogonalmente equivalenteortogonal tal que .F T ET89. Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y un operadorZ Xlineal sobre Decimos que es si conmuta con su adjunta, esto es,Z X normalX X XX Todo operador auto-adjunto es normal, como tambin lo es todo operadorunitario.


Z XSea un espacio con producto interno y un operador lineal auto-adjuntosobre . Todo valor caracterstico de es real. Los vectores caractersticos de Z X Xasociados a valores caractersticos distintos son ortogonales.90.En un espacio de dimensin finita positiva con producto interno, todo operadorauto-adjunto posee un vector caracterstico no nulo . ZEs necesario que sea de dimensin finita, pues un operador auto-adjuntosobre un espacio de dimensin infinita con producto interno puede no tenervalores caractersticos, por ejemplo; sea el espacio vectorial de las funcionesZcomplejas o reales continuas, definidas sobre el intervalo unitario con el ! > "producto interno . El operador es auto-adjunto y '0 1 0 > 1 > .> X0 > >0 >!"no posee valores caractersticos. Z X Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y sea un operadorlineal arbitrario sobre . Supongamos que sea un subespacio de que seaZ [ Zinvariante bajo Entonces el suplemento ortogonal de es invariante bajo .X [ X91.Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y sea un operadorZ Xauto-adjunto sobre . Entonces existe una base ortonormal de cuyos vectoresZ Zson vectores caractersticos de .X divdase y mustrese el resultado por induccin Z [ [ E 8 8Sea una matriz hermitiana auto-adjunta . Entonces existe una matriz unitaria tal que sea diagonal ( es unitariamente equivalente a una matrizT T ET Ediagonal). Si es una matriz simtrica real, existe una matriz ortogonal real talE Tque sea diagonal.T ET> Z XSea un espacio de dimensin finita con producto interno y un operadornormal sobre . Entonces todo vector caracterstico de tambin es un vectorZ Xcaracterstico de .X * Z XSea un espacio complejo de dimensin finita con producto interno y sea unoperador normal sobre . Entonces posee una base ortonormal, donde cadaZ Zvector es un vector caracterstico de .X 8 8 E EE E EUna matriz compleja se dice si .normal E 8 8 TSea una matriz con elementos complejos. Existe una matriz unitaria talque sea diagonal si y solamente si . En otras palabras, esT ET EE E E E unitariamente equivalente a una matriz diagonal si y solamente si es normal.E92.Sea una proyeccin, . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:I I I# 3 I II I I es normal, . 33 I I I es auto-adjunta, 333 I es la proyeccin ortogonal sobre su imagen.93. Sean subespacios de y sea la proyeccin sobre ,[ [ [ Z I [" # 5 4 44 " 5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 3 Z [ [ y esta es una suma directa ortogonal" 5 33 M I I I I ! 3 4 y para " 5 3 4 333 [ 4 " 5 Si es una base ortonormal de , entonces la reunin de las 4 4 4es una base ortonormal de .Z


X X ! X !Sea un operador normal y un vector tal que , entonces . En #otras palabras, la imagen y el ncleo de un operador normal son disyuntos. X 0Sea un operador normal y un polinomio con coeficientes complejos.Entonces el operador es normal.0 X El polinomio minimal de un operador normal posee races distintas.94.TEOREMA ESPECTRAL. Sea un operador normal sobre el espacio complejo deX Zdimensin finita con producto interno. Sea los valores caractersticos- -" 5distintos de y sea la proyeccin ortogonal sobre el espacio de los vectoresX I4caractersticos asociados al valor propio . Entonces-4 + X - I - I ," " 5 5 , M I I ," 5 - I I ! 3 4 si .3 4Adems, la descomposicin en la parte es nica, en el siguiente sentido: +Supongamos que sean nmeros complejos distintos y - - I I I" 5 " # 5operadores lineales no nulos sobre tales que las condiciones y seanZ + , - satisfechas, entonces son exactamente los valores caractersticos- -" 5distintos de y para cada , es la proyeccin ortogonal de sobre el espacio deX 3 I Z3los vectores caractersticos de asociados al valor caracterstico .X -3 X - I - ISe denominar a la descompocin " " 5 5 resolucin espectralde . Es de resaltar que si es un operador lineal arbitrario que tiene unaX Xresolucin tal que y para , entonces X - I - I I I I I ! 3 4 X" " 5 5 4 3 44es normal. X ZSi es un operador normal, entonces posee una base ortonornal formada devectores caractersticos de .X X Z XSea un operador lineal sobre . Entonces es normal si y solamente si eladjunto es un polinomio en .X X X X - I - ISi es un operador normal con resolucin espectral " " 5 5entonces .X - I - I " " 5 5 X X X Decir que es auto-adjunto es decir que , o sea - - I - - I !" " " 5 5 5 .Usando el hecho de que para y el hecho de que ningn es elI I ! 3 4 I3 4 4operador nulo, vemos que es auto-adjunto si y solamente si .X - -4 495.Sea un operador normal sobre el espacio complejo de dimensin finita conX Zproducto interno. Entonces, siempre queX es auto-adjunto positivo o unitariotodo valor caracterstico de sea real, positivo o de valor absoluto .X " X Z Note que si es un operador lineal cualquiera sobre que tiene valores propiosreales no implica necesariamente que sea auto-adjunto pues X X debe ser normalpara que tal afirmacin acontezca. X ZSea un operador lineal sobre un espacio complejo con producto interno.Decimos que es si para todo en .X X ! Zno negativo Z XSea un espacio complejo de dimensin finita con producto interno y sea unoperador no negativo sobre . Entonces posee una nica raz cuadrada noZ X


negativa, esto es, existe uno y slo un operador no negativo sobre tal queR ZR X# Z XSea un espacio complejo de dimensin finita con producto interno y sea unoperador lineal arbitrario sobre . Entonces existe un operador unitario y unZ Yoperador no negativo sobre tal que . El operador no negativo esR Z X YR Rnico. Si es invertible, el operador tambin es nico. (Tmese yX Y R X X# Y XR X [ R" cuando sea inversible, en caso contrario sea la imagen de , existeun isomorfismo de en y se toma entonces Y [ X Z Y X Y ! ! " # " # R ).La descomposicin se denomina de .X RY X descomposicin polar 96.Sean y operadores normales sobre que conmutan. Entonces existe unX Y Zoperador normal sobre con estas propiedades:W Z 3 X Y W Tanto como son polinomios en 33 W Z X Y conmuta con todo operador lineal sobre que conmute con y . X X Z XSean un nmero finito de operadores normales sobre tales que " 8 3conmuta con para todos los . Entonces existe un operador normal sobre X 3 4 X Z4tal que sea un polinomio en .X X4 ZSea una familia arbitraria de operadores normales sobre , todos los cualesconmutan. Entonces existe un operador normal sobre tal que todo operadorX Zde la familia sea un polinomio en . X ZSi es una familia arbitraria de operadores normales sobre los cualesconmutan, existe una base ortonormal ordenada de tal que todo operador en Z sea representado por una matriz diagonal en relacin a la base .97. Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo . Una sobre esZ J Zforma bilinealuna funcin que asocia a cada par ordenado de vectores , en un escalar0 Z "0 J " en y que satisface

0 - -0 0 " " "" # " #0 - -0 0 " " " "" # " # .

Z Sea un espacio vectorial de dimensin finita y sea una base " # 8ordenada de . Si es una forma bilineal sobre , la matriz de en relacin a laZ 0 Z 0base ordenada es la -matriz con elementos . A veces, 8 8 E E 0 34 3 4indicaremos esta matriz por 0 Z JSea un espacio vectorial de dimensin finita sobre el cuerpo . Para cada baseordenada de , la funcin que asocia a cada forma bilineal sobre su matriz en Z Zrelacin a la base ordenada es un isomorfismo del espacio en el P Z Z J espacio de las -matrices sobre el cuerpo .8 8 J . P Z Z J 0 Z Z J0 es forma bilineal Z U P P Si es una base ordenada de y es la base dual " 8 " 8de , entonces las formas bilinealesZ 8 #

0 P P " 3 8 " 4 8 Z34 3 4 " " " , ,forman una base del espacio . En particular, la dimensin de P Z Z J P Z Z J es .8#


P Z Z P P 0Sea dada por de manera semejante, determina una0 0 0 transformacin lineal de en . Para cada fijo en , es lineal en .V Z Z Z 0 0 " " V Z Z V 0 0 0 " " " . 0 ZSea una forma bilineal sobre un espacio vectorial de dimensin finita. SeanP V Z Z0 0 y las transformaciones lineales de en definidas por

, P 0 V0 0 " " " entonces .


y tal que , . Adems, el nmero de vectores de la base0 " 4 " multiplicacin matricial.Si , entonces esta en este grupo matricial si y solamente si, E 0 Q Q X donde es un operador lineal que conserva .X 0 0 X 0Supongamos que sea una forma bilineal simtrica. Un operador conserva

si y solamente si, conserva la forma cuadrtica asociada a .X ; 0 0 Z 0 0 B CSea el espacio o el espacio . Sea la forma bilineal donde "8 8

4"

84 4

" B B C C 0 " 8 " 8y . El grupo que conserva es denominado el grupoortogonal 8-dimensional. Como la matriz de en relacin a la base cannica es , este grupo consiste de 0 Mlas matrices que satisfacen . Una tal matriz se denomina una Q Q Q M Q 8 8>matriz ortogonal.


0Sea la forma bilineal simtrica sobre con forma cuadrtica8

; B B B B 0 #: 8 " 84" 4:"

:# #4 4

8. Esta es no degenerada y tiene signatura .

El grupo de las matrices que conservan una forma de este tipo es denominado ungrupo seudo-ortogonal Sean

Z Z 0 " 3 4 3 3" " " " >,Z Z 0 " 3 4 3 3" " " "

el nmero es llamado de ..37Z .37Z 0 signatura Z 8Sea un espacio vectorial dimensional sobre el cuerpo de los nmeroscomplejos y sea una forma bilineal simtrica no degenerada sobre . Entonces el0 Zgrupo que conserva es isomorfo al complejo 0 8 grupo ortogonal b Z 8Sea un espacio vectorial dimensional sobre el cuerpo de los nmeros reales ysea una forma bilineal simtrica no degenerada sobre . Entonces, el grupo que0 Zconserva es isomorfo a un -grupo seudo-ortogonal.0 8 8 0Sea una forma bilineal simtrica sobre con forma cuadrtica%; B C D > > B C D X # # # # %. Un operador lineal sobre que conserva estaforma bilineal (o cuadrtica) particular es denominada una transformacin deLorentz Lorentz y el grupo que conserva se dice el grupo de 0 .

RESULTADOS PROBADOS#

1.Sea un espacio vectorial de dimensin , subespacios vectoriales deZ 8 [ [" 5Z tales que

y .Z [ [ [ .37Z .37[" # 5 33"

OProbar que .Z [ [ [" # 5SOLUCIN. En efecto, sea una base para , $3 34 3 3 3 [ " 3 5 " 4 .37[ mostremos que si = es una base para entonces 5

3 " 3 " # 5Z Z [ [ [

Sea entonces existen tal que @ + [ " 3 5 @ + [ [ [" # 5 3 3 33"

5 donde entonces por lo tanto genera .+ [ + - @ - Z3 3 3 34 34 34 34

4" 34 $3

Ahora # . Como # , genera y es.37Z .37Z .37Z Z53 "

3"

53 3$

una base de por tanto Z Z [ [ [" # 5.


2. Sea V un espacio vectorial sobre y . Si donde J 0 J B [ Z 0 > ! X es un endomorfismo lineal de entonces es invariante por .Z [ XSOLUCIN.-Usaremos el hecho fcilmente verificable de que si es lineal,X Z Z0 J B X0 X 0 X X entonces . As , [ 0 X !

0 X X 0 X X X0 X X 0 X X ! ! 0 X X ! X [ .

Luego o sea es invariante por .X [ [ [ X

3.Si es un espacio vectorial real y es un operador lineal indenpotente en ,Z I Zesto es una proyeccin, entonces es invertible. Determine .M I M I "SOLUCIN.- Supongamos que sea un espacio vectorial real cualquiera.+ ZMostremos que es inyectivo M I

5/< M I M I ! I ! I I ! #I ! I ! 5/


Por el ejercicio , tenemos que ." Z M7I 5/3.+. @ M7I @ I6 I@ I 6 I6 @M7I #

Il ! @ O/ BM E B " B #B " $ $ $ B " $$ $ B &

#El polinomio minimal divide al polinomio caracterstico y tiene a cada valorcaracterstico como raz; los nicos candidatos a polinomio mnimo son: B " B # B " B # o #Pero

E M E #M ! $ $ $ $ $ ! ! !$ ! $ $ $ $ ! ! ! $ $ ' $ $ $ ! ! !

Luego es el polinomio mnimo. B " B #

5.Si y son matrices sobre entonces y tienen los mismosE F 77 J EF FEvalores caractersticos.SOLUCIN.-Sea valor propio de o sea- ! EF ./> !M EF ./> EF ! ! ./>E ./>F ./> F ./> E ./> FE ./> !M FE - ! entonces es valorpropio de .FESea un valor caracterstico de entonces existe tal que .- ! EF @ ! EF @ -@ Pongamos as como , tenemos que .F@ A EA -@ @ ! - ! EA ! A !Ahora de donde . Como seEA -@ F EA F -@ FE A -F@ -A A ! sigue que es un valor propio de entonces es valor caracterstico de - FE - EF


6.Sea es continua , considerado como espacio vectorial real.Z 0 0 Muestre que el endomorfismo lineal definido por noX Z Z X0 B 0 > .> '!Bposee valores caractersticos.SOLUCIN.-Por absurdo, supongamos que existe valor propio de , entonces- Xexiste tal que entonces entonces 0 Z 0 ! X0 -0 X0 B 0 > .> -0 B 0 '!Bes diferenciable por tanto . Si entonces o sea 0 B -0 B - ! 0 B ! aB 0 ! wlo cual es contradictorio (pues )0 !Si la solucin de la ecuacin es de donde se- ! 0 B -0 B ! 0 B 5/ 5 ! w C-tiene que lo cual es contradictorio. 'X0 B 5/ .> 5/ l 5-/ " -0 B!B >- >- B B-!Observese que si entonces haciendo tenemos5-/ 5- -/ B !B- B-! 5- 5- - - ! - es supuesto diferente de cero.

7. Muestre que si es un valor caracterstico de la matriz sobre el cuerpo - E Jentonces es un valor caracterstico de donde .1 - 1 E 1 J B SOLUCIN.-Si valor propio de entonces existe tal que .- J E @ ! E@ -@Tenemos que . Por que para (por la hiptesis)E @ - @ a8 " 8 " E@ -@8 8supongamos que entonces tenemosE @ - @8" 8"

E @ E E @ E - @ - E@ - -@ - @8 8" 8" 8" 8" 8 As, si , entonces1 E + E + E + M 8 " !8

1 E @ + E @ + E@ + M@ + - @ + -@ + @ 8 " ! 8 " !8 8 + - + - + @ 1 - @ 8 " !8

o sea y .@ ! 1 E @ 1 - @ Luego es un valor propio de .1 - 1 E

8.Las matrices

E F G $ " " ' $ ## # " % " ## # ! "! & $

! " ! !! ! " !! ! ! "" ! ! !

Son -similares a matrices diagonales? Son -similares a matrices diagonales? SOLUCIN.-Se aplica el resultado: Si es una matriz en el cuerpo entoncesE 8 8 JE J : E en es similar a una matriz diagonal si y slo si el polinomio minimal de esde la forma , son distintos.: B - B - - - J 5 " 5+ E B " B # el polinomio caracterstico de es E

$ " "# # "# # !

#Como , el polinomio minimal de es entonces E M E #M ! E B " B # E#no es ni -similar, ni -similar a una matriz diagonal.


, : B # B " : B " tiene , es irreducible en F ' $ #% " #"! & $

- 3# # : B # B 3 B 3 F3 en , luego es -similar a una matriz diagonal pero no es -similar.

- G : B " B " B " B " :! " ! !! ! " !! ! ! "" ! ! !

, - 3% #B "# es irreducible en .Luego la matriz no es -similar pero es -similar a una matriz diagonal.G

9.Sea el operador lineal representado en relacin a la base cannica deX $ $$, por . Pruebe que no posee vector cclico. Cual es el espacio

# ! !! # !! ! "

X

X " " $-cclico de generado por el vector ?$ SOLUCIN.- el polinomio caracterstico de es+ X X

# ! !! # !! ! "

$ $ - X B # B " X B # B " @ # $ y el polinomio minimal de es , si existiese cclico, entonces esto es contradictorio..37 $ 1


11. Sea un operador cclico, ie, existe un vector cclico para . Pruebe queX Z Z Xsi es un operador que conmuta con , entonces es un polinomio en .Y Z Z X Y XSOLUCIN.-Si es un operador cclico existe tal que para todo X Z Z A @ Z @ + X A 5 X Y Z Z Y

3!

5"3

3 donde grado del polinomio minimal de . As , conmuta

con tenemos para todoX

@ Z Y @ Y + X A + Y X A + X + X A + + X X A 7 8 93! 3! 3! 4! 34"

5" 5" 5" 5" 5"3 3 3 4 3 4

3 3 3 4 3 4

+ X + X A + X @ 7 8 94! 3! 4!

5" 5" 5"4 3 4

4 3 4

Luego entonces es un polinomio en as Y + X Y X YA Z YA + X A 4! 4!

5" 5"4 4

4 4

12.Determine el polinomio minimal y la forma cannica racional de las siguientes

matrices reales:

! " " - ! "" ! ! ! - " " ! ! " " -

-9= =/8 =/8 -9=) )) )

SOLUCIN.- su polinomio caracterstico es , su+ E B

! " "" ! ! " ! !

$

polinomio mnimo es , ya que . Tenemos entonces que es cclicoB EE ! X$ #X X E $ $ $ es un operador tal que es la base cannica de . As laforma racional de es E + ! + ! + !! " #

! ! !" ! !! " !

, F su polinomio caracterstico es:

- ! "! - " " " -

B - B #-B - # B - B - # B - ## #que es igual al polinomio minimal de , y la forma cannica racional serF

- ! !! - # !! ! - #

- G B #-9= B " su polinomio caracterstico es: -9= =/8 =/8 -9=) )) ) # )como = tenemos que es irreductible en? ) ) )%-9= % %=/8 ! B #-9= B "# # # ). Luego el polinomio minimal es . Tenemos ahora algunasB #-9= B "#consideraciones.


3 =/8 ! - -M # Sea en ese caso el grado del polinomio minimal es . As el) #operador cuya matriz asociada a es cclico. La forma cannica racional esX G + " + #-9= ! "" #-9=! " ) )33 =/8 ! -9= ") ) que es la forma cannica racional. " !! " M333 =/8 ! -9= ") ) que es la forma cannica racional. " !! " M

13. Sea la matriz real determine la matriz real tal que E T T ET" $ $$ " $ $ $ &

"es una matriz en la forma racional.SOLUCIN.-Usaremos el hecho de que si son dos @ @ " 8 " 8wbases de y si es un operador lineal sobre y si es una matriz deZ X Z Z Z Tcambio de base entonces . As, calculemos la forma cannica paraX T X T w "

al matriz El polinomio caracterstico es E B # B *B $)

" $ $$ " $ $ $ &

. #puesto que el polinomio es un polinomio irreductible en se sigueB *B $)#

que la matriz en la forma cannica racional ser . CalculemosF # ! !! ! $)! " *

la base de en la que el operador (cuya matriz relativamente a la base w $ Xcannica de sea ) tenga por matriz . Pongamos sabemos que $ w " # $E F @ @ @ Z @ 5/< B # X" espacio generado por " Z @ @ 5/< B *B $) X# # $ #espacio generado por . Como es cclico, podemos tomar tal que . PeroZ @ @ X@# # $ #

A B C D Z X #M A ! XA #A ! " B $C $D $B C $D $B $C (D !

$B $C $D !$B $C $D ! B C ! D !

$B $C (D !

A B C D Z X A *XA $)M ! $!B $!C $!B $!C ! ! ! ! # #

B C.As tomamos @ " " ! @ " " ! @ X@ % % '" # $ # y la matriz dada por el cambio de base ser T T

" " % " " %! ! '

Por el resultado de arriba tenemos F T ET "


14.Considere dos matrices reales que son similares sobre el cuerpo de8 8 E C Flos nmeros complejos, entonces ellas son similares sobre el cuerpo de los reales. SOLUCIN.- y similares sobre existe compleja tal que E F T E T FT " """entonces

T E FT T E FT ! " " " " Consideremos la ecuacin matricial TE FT ! La ecuacin es un sistema lineal homogneo de incognita y ecuaciones; 8 8# #T E F" es una solucin no trivial de en . Pero los coeficientes y son reales y como existe solucin no trivial de en , tenemos que los coeficientes reales dados por los elementos de y cumplen las condiciones de la E F alternativa deRoche, luego existe una solucin de en o sea ; real entoncesT E T ET T "E F y son similares en .

15.Sea una matriz real tal que Pruebe que es par y que esE 8 8 E M ! 8 E#

similar, sobre el cuerpo de los reales a la matriz donde es la matriz ! MM ! Midentidad donde .5 5 8 #5SOLUCIN.- el polinomio minimal de es que tiene grado . El+ E M ! E B " ## #polinomio caracterstico de tiene grado y debemos tener que toda raz delE 8polinomio caracterstico es raz del polinomio minimal, se sigue que B "# 5debe ser el polinomio caracterstico de para entonces tiene gradoE 5 " B " # 5#5 8 #5 8 entonces es par., E X Pensando en como en un operador (relativa a la base cannica) 8 8tenemos que existe ; , , subespacios de tales que= < " 3 = Z Z 3 " = 88


La forma cannica racional de la matriz ser entonces F G F ! !! F ! ! ! F

"

#

5La misma de la matriz . As es similar a , es similar a de donde seE E G F Gconcluye que y son similares.E F

16. Sean matrices nilpotentes sobre el cuerpo . Demuestre que yR R $ $ J R" # "R# son similares si y solamente si ellas tienen el mismo polinomio minimal.SOLUCIN.- ) tienen el mismo polinomio caracterstico ya que R R R R" # " #

bTT R T R ./> BM R ./> BM T R T ./>T BM R T " " "" # # " " ./>T ./> BM R ./>T ./> BM R !" " "

R R R CSupongamos ahora que tienen el mismo polinomio caracterstico. " # "R < < R ! R ! B# <


18.Cual es el nmero de matrices complejas , dos a dos similares cuyo' 'polinomio caracterstico es - B B # B " % #SOLUCIN.-Posibilidades para el polinomio minimal. Si ,: B B # B " entonces" < # < " < < < < " < < "Forma cannica racional " # "" "# "$ "% #" ##Si , entonces: B B # B " ## < # < " < # < # < < "" # "" "# #" ## $ < # < " < # < < " < " < "" # "" #" ## "# "$Si , entonces: B B # B " $% < $ < " < $ < < " < " ." # "" #" ## "$Si , entonces: B B # B " %& < % < " < % < < "" # "" #" ##Si , entonces: B B # B " #' < " < # < " < # < < < "" # "" #" "# "$ "% .Si , entonces: B B # B " #( < # < # < < """ #" "# "$ .) < # < # < #"" #" "#Si , entonces: B - B "! < % < # < % < #" # "" #" .As tenemos diez posibilidades para la forma cannica o sea es le nmero de"!matrices complejas dos a dos similares.' 'Posibilidades para el polinomio mnimo.: : B # B " : B # B "7 7! "-

% # %

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! " # ! ! ! ! " # ! ! !! ! " # ! ! ! ! " # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

: B # B " : B # B "7 7# $$ # $

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! " # ! ! ! ! " # ! ! !! ! ! # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

: B # B " : B # B "7 7% %# # # #

" # : B # B # : B # B #/ /# # #" #


# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! " # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! " "

: B # B " : B # B "7 7& #

: B # B # : B # B #/ /# # #" #

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! " # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! ! " ! ! ! ! ! "

: B # B " : B # B "' (7 7#

# ! ! ! ! ! # ! ! ! ! !! # ! ! ! ! ! # ! ! ! !! ! # ! ! ! ! ! # ! ! !! ! ! # ! ! ! ! ! # ! !! ! ! ! " ! ! ! ! ! " !! ! ! ! " " ! ! ! ! ! "

19.Determine la forma cannica de Jordan de la matriz compleja

# ! ! ! ! !" # ! ! ! ! " ! # ! ! !! " ! # ! !" " " " # !! ! ! ! " "

E

SOLUCIN.-El polinomio caracterstico de es .E B # B " &El polinomio minimal de es E B # B " % , , < % < % < "" "" "# , , < " < " < "# ## #"

As la forma cannica de es:

-

E

# ! ! ! ! !" # ! ! ! !! " # ! ! !! ! " # ! !! ! ! ! # !! ! ! ! ! "

20.Pruebe que toda matriz compleja es similar a su transpuesta.8 8


SOLUCIN.- E E E ! ! E ! N

N ! " 5 -

As el polinomio minimal de es polinomio caracterstico de y es an elQ B Q B<

Pero Q Q Q Q! ! ! !" ! ! ! ! ! " !

> >Ahora el polinomio mnimo de entonces yN B - N - M !- < 3 - < 3< " > > > > >> " entonces As

E E E ! E ! ! E ! E

" "

5

>

>

5>

De y se deduce que . E E>

21.Usando la frmula para el binomio para la serie , determine una raz " > "#cuadrada para donde son matrices complejas la identidad y M R MR 8 8 M Rnilpotente.SOLUCIN.- + " B B lBl "

8!

88

donde ! 8 8x" 8" " 8 "


, y tenemos " " " " "! 8 " 8" 8 ! 8 - " B B lBl " As "# "#

8!

88

Tomando tenemos+ 8 8 "# 5!

85 85 ! 8 " 8" 8 ! 8 8

"+ + !, =3 8 #

. Mostremos ahora por induccin que 78 # + B " B 85!

8"5

5#

trminos de grado

Si 8 # + B " B " B B 7 5!

"5

5 ##

" "# 8

##

Supongamos que trminos de grado entonces 7 5!

8"5

5#

+ B " B 8 8 " #

7 7 7 5! 5! 5! 5!

8 8" 8" 8"5 5 8 5 5 8

5 5 8 5 # #8 85# # #

8+ B + B + B + B + B # + + B " B

8 " # + + B #+ + B 8 " trminos de grado + trminos de grado 5"

8"5 85 ! 8

8 8

+ B " B # + + B 8 " !

# #8 88

5!

8"5 85 trminos de grado

trminos de grado " B 8 " As trminos de grado 7

5!

8"5

5#

+ B " B 8 a8

/ R b8 R ! R ! a5 8 Ahora si es nilpotente tal que . Tomemos8 5

F + R5!

8"5

5 entonces

trminos de grado nF + R " B M R ! M R# #

5!

8"5

#

BR 7 ya que ,R ! a5 85

Luego es una raz cuadrada de F M R

22.Use el ejercicio anterior para mostrar que toda matriz compleja no8 8singular posee una raz cuadrada.SOLUCIN.-Aplicando el ejercicio es fcil ver que si entonces existe una#" - !raz cuadrada de . Sea el polinomio minimal de .-M R : B - B - E " 5<


Pero con polinomio minimal de , E E B - a3E ! ! E

" 5 3 3


24. Muestre que cualquier transformacin lineal , de dimensin finitaX Z Z Zsobre descompone en una suma directa de subespacios -invariantes yJ Z Xcclicos , tales que si es el polinomio minimal entoncesZ Z Z Xl 0 B" < Z 33 0 B l0 B # 3 < 0 X3 3" " para y =al polinomio minimal de . En particular, muestreque existe un vector tal que si entonces el polinomio@ Z Z @ X@ X @" 5minimal polinomio minimal de . Esto implica que si el polinomio minimalX l XZ"de polinomio caracterstico de entonces es cclico.X X XSOLUCIN.-Sabemos que existen subespacios y nmeros reales tales que siZ


As , es cclico y [ Z Z [ :96 738 X l :4 "4 54 4 [3"

5 .37[ $ # $ .37[ "


, " " " # # " B"m m " # #!

" > ""! # B " B >.> D l B

" # "" #

' " $ $ # " $ m m m m $ # '# #" " " B B B B

" " $ # $ "# " #

"#""#

1 " % % " # $ m m m m m m % # "'$ #" " " B B B B

" " " % " % # % $" # $# #

$ "%! "#!" ""# )!

B B B % $ #$ $ "# & #!

32.Sea un espacio vectorial de dimensin finita con producto interno .Z 8 Sea un operador tal que . Demostrar que es auto-adjuntoI Z Z I I I # II I I .

SOLUCIN.- ) es auto-adjunto entonces I I I II II I I II I I mI m mI m I ! I ! Z ) . Por consiguiente . Sea entonces entonces deI I I I ! I I ! I I ! # # donde entonces I I I ! I I I a I I I " Ahora I I I I I I I " "

33.Sea un espacio vectorial de dimensin finita con producto interno , .Z 8 Sea un operador positivo. Sea definida porX Z Z : Z Z X : X Y Z YX " " . Sea un operador lineal sobre y el operador adjunto.Probar que es unitario si y slo si .Y X Y XYSOLUCIN. ) unitario . Y : Y Y : X X X Ahora

: Y Y XY Y Y XY Y XY X Entonces

X Y XY a X Y XY , X Y XY entonces

X Y XY : : Y Y a , X X entonces es unitario.Y

34. Sea un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo deX Zdimensin finita, dotado de un producto interno. Pruebe que donde X X es una base ortogonal de .ZSOLUCIN.- Sea la base ortogonal de , sea la matriz de" Z X E " # 8 34X en esa base# X E E E puesto que , 7 $3 4 53 5 4 53 5 4 43 5 4 54

5" 5"

8 8

as E X 43 3 4 $ X F X Sea la matriz de es la base . En este caso siguiendo el mismo 34 raciocinio de recibimos .# X F 3 4 43


% F X X X E F E Pero as lo cual43 3 4 3 4 4 3 34 43 34 implica que es la transpuesta conjugada de as:F E 43 34

X F E X 34 34

35. Sea un operador lineal normal en un espacio vectorial complejo deX Zdimensin finita dotado de un producto interno y un subespacio de Puebe[ Z que es normal.X l[SOLUCIN. Con indicaremos a los subespacios de un espacio vectorial dado." ISea entonces .Z Z XZ Z X Z Zw w w w wI I I En efecto, sean , tales que y en este caso " " Z Z w w

,X Z a Z X ! X ! " "w w a Za Z" ww a Za Z w w w " ww X Z X Z Z"# Por otra parte

X[ [ X [ [ [ X [ [ "

$ X X X X [ a [ Sean entonces y las restricciones de y a respectivamente, " # a [" tenemos

X X X X X X X X X X[ [" # # [ # " [ " " " " " | |o sea "

% [ As para todo se tieneX X X X XX X X X l X" " [ "

[ X [

XX X X X [

X X X X l X X " " "[ "

[Luego

.X X X X" " " "Entonces

X l X l X l X l Xl[ [ [ [ [ es normal.

36.Sea operador lineal sobre el espacio complejo de dimensin finita conX Zproducto interno. Pruebe que es normal si y slo si , donde es noX X RY Rnegativo, unitario y conmuta con .Y R YSOLUCIN. . Si existen y tal que donde es unitario y positivo" Y R X YR Y Rluego auto-adjunto tenemos adems que: X YR R Y RY " X X RY YR R " # # X X. es un operador positivo por que

X X X X mX m ! mX m ! X ! y si como es un operador no singular tenemos que:X

o sea X ! ! ! X ! As,


! X ! mX m ! X X ! X X entonces es un operador positivo$. es un operador positivo luego no negativo y normal. Siendo un espacio X X Zcomplejo esto asegura la existencia de una raz cuadrada no negativa de .X XVamos a probar que esa raz cuadrada es de hecho positiva ya que lo es . X XSea la resolucin espectral de donde y ,- I - I X X - - !" " 5 5 3 3 3 " 5, .una vez que es positivoX XEn el caso su raz cuadrada no negativa tendr como resolucin espectral R

- I - I - !" " 5 5 3como , ser un operador positivo.- ! a3 R3% X R X X) Si es no singular tambin lo es por que:

X ! mX m ! X X ! X X !

X X R #

R ! R R ! mR m ! R !# .

Res positivo luego autoadjunto

Entonces es no singular inversible . ! X ! R ! R & X YR Y XR XR) Si entonces . Resta probar que es un operador unitario" "puesto que

YY XR XR XR R X XR R X " " " " " " RR" autoadjunto

autoadjunto

.XR X X R X X X X X XX X X M M M# # " " " "

R X X#

as . Luego es operador unitario.Y Y Y "' X) As tenemos que : Si es un operador lineal no singular normal sobre unespacio vectorial complejo con producto interno entonces

X YR Y

R donde unitario positivo

siendo raz cuadrada positiva de y .R X X Y XR "

37.Sea un cuerpo, un entero positivo y sea el espacio de las matrices J 8 Z 8 8sobre Si es una matriz fija sobre , sea el operador lineal sobre J F 8 8 J X ZFdefinido por . Consideremos la familia de los operadores linealesX E EF FEF XF obtenido haciendo que recorra el conjunto de las matricesFdiagonales. Demostrar que los operadores de esta familia son simultaneamentediagonalizables.SOLUCIN. Sea

/ /

" ! !! ! ! ! ! !

! ! ! ! " ! ! ! !

"" 34

4

3


/ Z Q 8 F34 "348 genera una base para . Supngase diagonalizable entonces F X /

, ! ! ,

" 8 F 34 34. Vamos a determinar la matriz de en la base .Basta notar que X / / F F/ F 34 34 34

! ! ! ! ! ! , ! , ! ! " ! ! " ! ! , ! , ! ! ! ! ! !

4 4

3 3" "

8 8

! ! ! ! ! ! ! , ! ! , , ! ! ! !

! ! ! ! , ! ! ! !

4 4

3 3

4

34 4 33 ! ! !

, , / 4 3 34Vamos a probar ahora que si y ,E Z F G

, ! - ! ! , ! -

" "8 8entonces esto es cualquier dos elementos de la familiaX X E X X EF G G F conmutan y entonces son diagonalizables

E Z E E / E / E / 3" 3" 3"

8 8 8"3 "3 #3 #3 83 83

y X X E X E X / E X / F G F "3 G "3 83 G 83

3" 3"

8 8 7 E X X / E X X /

3" 3"

8 8"3 F G "3 83 F G 83

E X - - / E X - - / 3" 3"

8 8"3 F 3 " "3 83 F 3 8 83

E - - X / E - - X / 3" 3"

8 8"3 3 " F "3 83 3 8 F 83

E - - , , / E - - , , / X X E 3" 3"

8 8"3 3 " 3 " "3 83 3 8 3 8 83 G F

38.Sea un cuerpo, un entero positivo y sea el espacio de las matrices J 8 Z 8 8sobre . Mostrar que , siendo cualquierJ + T ET T E T a8 aE Z T " " 88 matriz no singular de Sea un polinomio conZ , 1 B + + B + B + B ! " # 8# 8coeficientes en entonces , siendo cualquierJ 1 T ET T 1 E T aE Z T " "matriz no singular de Z SOLUCIN. +


T E T T E E E E T T ET T ET T ET T ET" 8 " " " " " 8T T M"

, 1 T ET + + T ET + T ET + T ET " " " "! " # 8# 8 + + T ET + T E T + T E T T + + E + E + E! " # 8 " # 8" " # " 8 " # 8 ! T T 1 E T "

39.Sea una matriz triangular sobre un cuerpo . Demostrar que losE 8 8 Jvalores caractersticos de son los elementos de la diagonal, esto es los escalaresEde la forma + 33SOLUCIN. Primero hallemos el determinante de una matriz triangular .E + 34Denotaremos con una permutacin cualesquiera del conjunto ,5 3 " # 8entonces

det E =38 3 + + +3"

8" " 8 85 5 5 # #5

Tenemos si entonces hay dos posibilidades o .5 5 5 " " " " " "Si , entonces en esta forma .5 " " + ! + + + !" " " " 8 85 5 5 # #5 Si entonces y no aparece como sumando.5 " " + ! + + +" " " " 8 85 5 5 # #5 Si , entonces o .5 5 5 # # # # # #Si por ser triangular entonces .5 # # E + ! + + + !# # " " 8 85 5 5 # #5 Si , algn estar por debajo de la diagonal y en ese caso5 # # +3 35 + + + !" " 8 85 5 # #5 . Continuando en esta forma llegamos a la conclusin de que el determinante deuna matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal. Comoconclusin, dado que la matriz es triangular tenemos queE M-./> E M + ! E #- -

3"

833 , luego los valores caractersticos de son los

elementos de la diagonal de .E

40.Sea un espacio vectorial de dimensin y sea un operador lineal sobre .Z 8 X ZSupongamos que sea diagonalizable. Si posee un vector cclico, mostrarX + Xque posee valores caractersticos distintos. Si posee vectoresX 8 , X 8caractersticos distintos y si es una base formada de vectores " # 8caractersticos de , mostrar que es un vector cclico de X X " 8SOLUCIN. Siendo diagonalizable entonces su polinomio caracterstico ser+ Xdado por y el polinomio mnimo ser0 B B - B - " 5. ." 5: B B - B - - - 3 4 X " 5 3 4 donde si . Si tiene un vector cclico ,entonces ^ X Z 1


Sea entonces de donde se sigue que [ 5/< X - M Z [ [ .37[ "3 3 " 8 3 o sea esto es se tiene . Sean las[ a@ [ @ I Z [3 3 3 3 3 3 3 3 3 - - 3 proyecciones asociadas a la descomposicin entoncesZ [ [" 8I @ @ @3 " 8 3 . Por el teorema de descomposicin primaria tenemos que cadaI X I 2 X 2 B J B3 3 3 3 es un polinomio en esto es, donde Si , entonces , donde , entonces @ Z @ @ @ @ [ @ " 8 3 3 " " 8 8- - donde , entonces ,- - - - - 3 " " 8 8 " " 8 8 @ I I @ 2 X 2 X entonces .@ 2 X 2 X 1 X ^ X- - " " 8 8

41. Sea un operador lineal sobre un espacio de dimensin finita y sea laX Z Vimagen de . Demostrar que posee un subespacio suplementario -X + V X invariante si y solamente si, es disyunto del ncleo de .V R X , V R R X Si y son disyuntos, demostrar que es el nico subespacio -invarianteque es un suplementario de .VSOLUCIN. + X ! es invariante bajo si y solamente si . Im Ker M V X V V R ! Z V R a R X ! R X R R y tenemos esto implica que es -invariante.R X [ Z Z V [ X [ [Si existe tal que . Entonces .37Z .37V .97[ .37[ .37Z .37 As como entonces o sea queX[ [ [ X [ X XZ V

[ Z

X [ X V X [ V ! [ V Z X ! ya que , entonces a [ [ [ Ker KerX R X R, as concluimos que y como[ V ! V R ! entonces . , R V ! Z R V [ X[ [ Z [ V R [si existe tal que .

42.Sea el operador lineal sobre que es representado en relacin con la baseX $

cannica por la matriz . Sea el ncleo de Demostrar que no # ! !" # !! ! $

[ X #M [

posee ningn subespacio suplementario invariante.X

SOLUCIN. Tenemos X #M B C D B ! C + D !! ! ! B !" ! ! C !! ! " D !

! " ! Ker X #M [ .Sea , entonces" " ! !

X #M ! ! ! " !" ! ! ! "! ! " ! !

" Ker X #Mentonces . X #M ["Mostremos ahora que , en efecto, sea yX[ [ [ ! " !# #


,X # [# ! ! ! ! !" # ! # "! ! $ ! ! !

#

esto nos indica que es invariante.[ X Supongamos ahora que y se tiene que .a [ a0 B J B 0 X 0 X " Tomando tenemos que0 X X #M 0 X X #M ! " ! X #M ! B !

! ! ! ! !" ! ! B !! ! " ! !

" " estoimplicara que uno es igual a cero lo cual es contradictorio, as no existe tal [que 0 X 0 X "

43.Sea el operador lineal sobre que es representado en relacin a la baseX J %

ordenada cannica por la matriz . Sea el ncleo de . - ! ! !" - ! !! " - !! ! " -

[ X -M

+ [ Demostrar que es el subespacio generado por .%% , Determinar los generadores unitarios de los ideales W [ W [ W [ % % %% $ #W [ %" .SOLUCIN. + B ! C ! D !

! ! ! ! B ! !" ! ! ! C B !! " ! ! D C !! ! " ! A D !

A A " cualquiera, en particular podemos tomar as tenemos que[ ! ! ! " %% , W A 0 J B0 X [ Se sabe que as 3 W [ 0 J B0 X [ 5 % %% % Tomemos el polinomio constante en estecaso entonces 5 [ W [ " J B J B% %% % 33 W [ 0 J B0 X [ 7 B B - % %$ $ #. Se afirma que , en efecto X -M ! ! ! " [ B -

! ! ! ! !" ! ! ! !! " ! ! "! ! " ! !

en esta forma es el polinomio

de menor grado posible.333W [ 0 J B0 X [ 7 B B - B #-B - % %# # $ # # # Afirmamos que en efecto X -M # #% X -M X -M ! ! " !

! ! ! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " " ! ! ! !! " ! ! ! ! " ! ! "! ! " ! ! ! ! " ! !

%%


esto indica que es el polinomio de menor grado pues B - X -M [# # $% %3@ W [ 0 J B0 X [ % %" " . En forma anloga se afirma que7 B B - B $-B $- B -% $ $ # # $ , ahora

X -M X -M X -M ! " ! ! ! ! ! ! "" ! ! ! !! " ! ! !! ! " ! !

$ # #" %% %

y es el de menor grado posible pues . B - X -M [$ # " $% %

44. Sea un operador lineal sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo . SeaX Z J0 J Z 0 0 X un polinomio sobre y est en , sea . Supongamos que " BM F ./> BT T T ET ./>T BM E T ./> T ./> BM E ./>T " " " " ./> BM E . Tambin si entonces ellas tienen el mismo ideal de anuladores puesT ET F"

1 E ! 1 F 1 T ET T 1 E T ! " " .Supongamos que y son tales que y se tiene:E F T T 0 0E EF F" T T 0 0 B + B + B + Supngase inicialmente que entoncesE EF F 9 #$ # "

E G G F! ! +" ! +! " +

T T!"#

E F=

# T T B + B + 0 0 B + TE E EF " ! F# , y se tiene E FG !! G

G !! G T B+ T B+E F

$T T B + 0 0 B +E EF F $ , entoncesE F

G ! !! G !! ! G

G ! !! G !! ! G

T T TT

TT

E

E

E

F

F

F

Veamos el contra ejemplo, tmese las siguientes matrices % %

E F T T B

! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " ! ! !! ! ! ! ! " ! !! ! ! ! ! ! ! !

, estas dos matrices tienen yE F #

0 0 B E F E F

! ! ! ! ! ! ! !" ! ! ! " ! ! !! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! " !

E F% pero , pero no es similar a .


47.Sea un subcuerpo del cuerpo de los nmeros complejos y sea una matriz E8 8 : E E sobre Sea el polinomio minimal de . Si consideramos como unamatriz sobre , entonces poseer un polinomio minimal , cuando es E 0considerada como una matriz sobre . Usar un teorema sobre ecuaciones8 8 lineales para demostrar que : 0SOLUCIN.-Sea entonces . Para cada ,: B + B : E E + E ! 55 4 5 4

4! 4!

5" 5"4 4

tenemos un sistema de ecuaciones en las incgnitas . Para8 + + +# ! " 5"5 1


, N < - Orden de multiplicidad de como raz del polinomio minimal- < 3 33 3 " - El nmero de matrices elementales de Jordan que cumplen a la matrizE .373 Ker X - M3En ese caso, tenemos por lo tanto- # - ( . $ . # < # < "" # " # " #E E $ $ . $ E # # . #E !! E " # " " # # donde es una matriz es una matriz dadas por , , finalmente se recibeE E N !! N ! N

N !" #

###" ("

(" E

# ! ! ! !" # ! ! !! ! # ! !! ! ! ( !! ! ! ! (

50.Clasificar a menos de semejanzas, todas las matrices complejas tales $ $ Eque E M$SOLUCIN. E M E M ! : E B "$ $ $7de donde es divisor de y tenemos la descomposicin siguiente:

=B " B " B B $ "3 $ "3 $# # Las posibilidades son: " : E B " : E B " - - 7 - " #$ "3 $ "3 $# #, con y es en este caso la forma cannica de JordanE

" ! !! " !! ! "

# : E B - E

- ! !! - !! ! -

7 ""

""

$ : E B - - ! !! - !! ! -

7 ##

## % : E B " B - 0 B " B -7 " - "#

o tambin E E " ! ! " ! !! " ! ! - !! ! - ! ! -

" "" & ' : E B " B - 0 B " B - 0 B " B -7 # - # - ## # ,o, ,o, E E

" ! ! " ! !! " ! ! - !! ! - ! ! -

# ## ( ) : E B - B - 0 B - B - 0 B - B -7 " # - " # - " ## # ,o,


,o, E E - ! ! - ! !! - ! ! - !! ! - ! ! -

" "# "# # * : E B " B - B - 07 " # - .E

" ! !! - !! ! -

" #

51.Clasificar a menos de semejanzas, todas las matrices complejas tales 8 8 Eque E M8SOLUCIN. E M E M ! : E B " : E8 8 87 7, entonces es divisor de entonces es divisor de donde son las races -simas de la B - B - B - - - 8" # 8 " 8unidad y luego es siempre diagonalizable . Las posibilidades para - - E : B3 4 son

Caso " : B B -B -B -

"#

8

tenemos entonces posibilidades, para de grado y a cada unaG : B "8" / 1 > .>"" .Sea el subespacio de las funciones impares, esto es, funciones que satisfacen[0 > 0 > [ . Determinar el suplemento ortogonal de .SOLUCIN. Se tiene que

Z 0 " " 0 ,es continuay

[ 0 Z 0 > 0 > .Ntese que si es impar tenemos:0' ' ' ' " " " "" " " "0 > .> 0 > .> 0 > .> 0 > . > ' ' ' ' ' ' " ! " ! " "! " ! " " "0 > . > 0 > . > 0 > .> 0 > .> 0 > .> 0 > .>

> >De donde se deduce que ' "" 0 > .> !Afirmamos que , en efecto si es impar y es par[ 1 Z 1 > 1 > 1 0 tenemos luego es impar entonces tenemos0 > 1 > 0 > 1 > 10


' 0 1 0 > 1 > .> !""impar

.

63.Sea el espacio con el producto interno cannico. Sea un operadorZ X#definido por . Si , determinar X " # X 3 " B B X % %" # " # SOLUCIN. Aqu # " # " # " # " # + , + , + 3+ , 3, + + , ,

X X " ! ! # " ! # ! "%" "! 8 9 % %" #

X X 3 " ! " ! " 3 "%# !" " # % %En esta forma la matriz asociada ser dada por

X X " 3 " 3 " 3 " # # " # " # " 3 " X B B B #B 3B B" # B 3 " B

" # " # " #"#

X C C B 3B #B B C C " 3 B # " B " "# " # " # " # " # B 3B C #B B C " " # " #" # X B B B B C #C 3C C " # C 3 " C "

" # " # " " #

"#

# B C #C B 3C C B C #B C B 3C B C " " # # " # " " # #" # " # B 3B C #B B C # " # " #" #De y se sigue que " # X X " "

64.Sea un operador lineal sobre definido por , X X " 3 # X 3 3 % %# " # Usando el producto interno cannico, determinar la matriz de en relacin a laXbase cannica. conmuta con ?X XSOLUCIN. X " ! " 3 " ! # ! " X ! " 3 " ! 3 ! " entonces tenemos queX X " 3 3 " 3 3 " 3 3 " 3 ## 3 # 3 # 3 3 3 y X X B B C C C C " 3 3 B# 3 B " " # " # " #"# " 3 B 3B #B 3B C C " 3 B 3B C #B 3B C " # " # " # " # " #" # X B B " 3 # C 3 3 C "

" #

"#

B B " 3 C #C 3C 3C B " 3 C #C B 3C 3C " # " # " # " " # # " # B " 3 C #C B B C 3 B C 3 " 3 B 3B C #B 3B C" " # # " # " #" # " # " # .Ahora veamos la conmutatividad entre X C X

XX " 3 3 " 3 # " 3 3 # #3 3 $ $ #3# 3 3 3 $ #3 #3 3 % 3

# # #

# #


X X " 3 # " 3 3 " 3 % 3 3 #3 ' $3 " 3 3 # 3 " $3 # 3 3 #3 3 3

# #

# # # Luego X X XX

65.Supongamos que sea con el producto interno cannico. Sea unZ X$operador lineal sobre cuya matriz en relacin a la base ordenada cannica esZdefinida por . Determinar una base del ncleo de E 3 3 " X45 45 # .SOLUCIN. X

E E E " 3 "E E E 3 " 3E E E " 3 "

3 3 33 3 33 3 3

"" "# "$#" ## #$$" $# $$

# $ %

$ % &

% & '

X " 3 " " 3 " " 3 " 3 " 3 3 " 3 3 " 3" 3 " " 3 " " 3 "

As tenemos que

X B B B " 3 " B !3 " 3 B !" 3 " B !

" # $

"#$

de donde el sistema B 3B B !" # $3B B B ! B B B" # $ # " $"3 B 3B B !" # $

tomando " B 3 B ! B 3 "" $ # "3 . # B ! B 3 B 3 "" $ #w w w "3Luego

KerX 3 " ! ! " 3 .

66.Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y un operadorZ Xlineal sobre . Si es inversible, mostrar que es inversible y Z X X X X "" SOLUCIN. Por hiptesis existe tal que entoncesX XX X X M" " "

XX X X M MX X X X M M X X X X M" " " " " " Luego es inversible y su inverso es tal que .X X X " "

67. Sea un espacio de dimensin finita y , vectores fijos en . Mostrar queZ Z" #X Z X " # define un operador lineal sobre . Mostrar que posee un adjunto ydescribir explcitamente. Supongamos ahora que sea con el productoX Z 8interno cannico, y . Cual es el elemento de la" # C C B B 4 5 " 8 " 8matriz de en relacin a la base ordenada cannica?X


SOLUCIN. Por hiptesis sea

X Z Z X " # 3 en efecto " "" "

" " " " " " ! ! ! ! " " " "Ahora " " " " # # " # " # ! ! a !" " ", ,entonces

" # " # X X" " 33 X es linealX - - - - " # " " # " " #" " " "

- - -X X " # " # " # " # " " " .Luego es un operador lineal.XComo no se sabe si es finita, no podemos aplicar el resultado . Debemos.37Z (*entonces hallar tal queX X X Z " # " # " # para todo X " # " # # " # "" " " # " # # " " # # "" # Entonces basta definir y tenemosX # " X X X X " # # " " # " #" # # " " # " # . 333 Z X X E " #8 34 por hiptesis , sea entonces . Para ladeterminacin de los sabemos queE34E X/ / / / / / / C / B / / 34 4 3 4 3 4 3 4 5 5 5 5 3

5" 5"

8 8 7 " # " # 5" 5"

8 85 4 44 5 5 5 3 3 3C / / B / / C B B C

/ / / / " =3 5 3! =3 5 35 3 5 3 53 $

68.Mostrar que el producto de dos operadores auto-adjuntos es auto-adjunto, si ysolamente si los dos operadores conmutan.SOLUCIN. 3 R R X X RX XR Hiptesis general y , as, si suponemos tenemos RX XR R X RX de donde es auto-adjuntoRX 33 RX RX Ahora la hiptesis es XR X R RX RX X R y conmutan.

69.Sea el espacio vectorial de los operadores sobre de grado menor o igual aZ $ 0 1 0 > 1 > .> >, con el producto interno . Si es un nmero real, determinar el '!"polinomio en tal que 1 Z 0 1 0 > > >


SOLUCIN. Definamos . es una funcin lineal y , usando J Z J .37Z %0 J > 0 >

el resultado bsico existe un nico tal que , es obtenido de() 1 Z J 0 0 1 1> > > la siguiente manera. Tmese una base ortonormal de y calculando0 0 0 0 Z" # $ %se tiene

1 J 0 0 0 > 0 0 > 0> 4 4 4 4 4 44" 4" 4"

% % % y por el resultado tenemos .() 0 > J > 0 1 >

70.Sea el espacio con producto interno y un operador lineal sobre . MostrarX Zque la imagen de es el suplemento ortogonal del ncleo de X X .SOLUCIN. Debemos mostrar que dondeX Z KerX

X Z X @ @ Z y Ker KerX X ? Z ? @ ! a@ , y ? Z ? @ ! X@ !Notemos primeramente que , en efecto yX Z X X Z KerX "# # " # # " # " X X X ! KerX tenemos , = ,

5/< T ETF >< T E TF >< TF T ET " " " "

>< EF >< FE >< T FT E >< E T FT E T FT E X F " " " T Luego .X XT T

72.Sea un espacio complejo de dimensin finita con producto interno y sea unZ Xoperador lineal sobre . Demostrar que es auto-adjunto si y slo si esZ X X real para todo en Z .SOLUCIN. + X X Supongamos que , tenemos


X X X X a Z , entonces , (recurdese que si X D D D D , X a Z Z Si , entonces dados , tenemos " X X X X X " " " " " "

entonces X X " "

Ahora X 3 3 " "

Z 3 Z " "

,

pero X 3 3 X 33 X 3 X 3 X " " " " " "= X X 3 X 3 X " " " " entonces

3 X 3 X " " En virtud de esto tenemos X X X X X X M " " " " " " 3 X 3 X 3 X 3 X 3 X 3 X MM" " " " " " Haciendo ahora tenemos3 MM M X X X X " " " "

X X X X " " " "entonces

# X # X X X " " " " ,as tenemos que

X X a Z X X" " ", *.

73.Determinar una matriz unitaria que no sea ortogonal y recprocamentedeterminar una matriz ortogonal que no sea unitaria.SOLUCIN. + E 5 =/8# !" !! /Consideremos la matriz donde 3) ) 1 )Tomemos entoncesE " !! /

3 )

E E M" ! " ! " !! / ! / ! /" !! "

3 3 3 3 ) ) ) )

Luego es una matriz unitaria, ahoraEE " !! />

3 ) y tenemos queE E " ! " ! " !! / ! / ! />

3 3 #3 ) ) )luego eso indica que no es ortogonal.E E M E> , + 3 , " 3 + , " #3 #3 " Sean , entonces " #" & # #


Consideremos la matriz y tenemosE + , , + E E M+ , + , + , +, ,+ " !, + , + ! "+, ,+ , +>

# #

# # Luego es ortogonal, ahoraE

E E + , + , ++ ,, +, ,+, + ,+ +, + , , +

# #

M" 3 " 3 " 3 3

+619 "

8 9 8 9 " & " ## #" & " &

As no es unitaria.E

74.Sea matrices complejas con producto interno dado porZ 8 8 EF >< EF Q Z X Q. Para cada sea el operador lineal definido porX E QE X QQ Q . Mostrar que es unitaria si y slo si es una matriz unitaria.SOLUCIN. X E X F EF >< EF aEF Z ") , Q Q X E X F QEQF >< QE QF >< QE F QQ Q

as es unitaria. >< Q Q EF >< EF Q Q M Q " Q Q Q M) Supongamos que es unitaria, es decir , entonces EF >< EF >< M EF >< Q Q EF >< EF Q Q >< QEF Q >< QE QF QEQF X E X F X Q Q Q

Hiptesis es unitario.

75.Sea el espacio con el producto interno cannico. Si es un operadorZ Y#unitario sobre , mostrar que la matriz de en relacin a la base ordenadaZ Ycannica es

-9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=) ) ) )) ) ) ),o, para algn , . Sea el operador lineal correspondiente a la primera) ) 1! # Y)matriz, esto es, es una rotacin de un ngulo . Ahora es posible convencerseY) )de que todo operador unitario sobre es una rotacin o una refleccin al eje Z ""seguida de una rotacin.+ Y Y Qu es ?) 9, Y Y Mostrar que ) ) - Sea un nmero real fijo e la base ortonormal obtenida girando9 " # Y% % 9 % )" # 4 4un ngulo , esto es, . Si es otro nmero real, cul es la matriz9de en relacin a la base ordenada ?Y)


SOLUCIN. Z Y Z Z Y Y M Z Y# , unitario . Como es real, va a ser ortogonal, esto es tenemos que hallar tal que ,o tal que .Y Y Y M E E E M> >

Tomemos , o donde . Entonces existe ,E E + , "+ , + ,, + , + # # )! # + -9= , =/8 ) 1 ) ) tal que , luego -9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=) ) ) )) ) ) ),o,

Y / -9= =/8-9= =/8 "=/8 -9= !) " ) )) ) ) )Y / -9= =/8-9= =/8 !=/8 -9= ") # ) )) ) ) )

donde da una rotacin de un ngulo con los ejesY) ) -Y / -9= =/8

-9= =/8 "=/8 -9= ! ") ) )) ) ) )

Y / =/8 -9= #) ) )Luego es la refleccin en relacin a y laY /" !! " ") rotacin de donde -9= =/8=/8 -9= Y) )) ) ) Y Y Y-9= =/8 " !=/8 -9= ! " ) ) ) ) )) )+Y Y -9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9=) 9 ) ) 9 9) ) 9 9 -9= -9= =/8 =/8 -9= =/8 =/8 -9==/8 -9= -9= =/8 =/8 =/8 -9= -9= ) 9 ) 9 ) 9 ) 9) 9 ) 9 ) 9 ) 9 Y-9= =/8 =/8 -9= ) 9 ) 9) 9 ) 9 ) 9, Y Y Y Y Y Y M) ) )) ) ) , de donde

Y Y Y Y M" !! " !) ) ) ) - Y / Y / / / 9 % sea una base donde siendo " # " " # # " #9 9la base cannica, entoncesY T Y T Y -9= =/8=/8 -9=) 9 % 9 %

" , donde , ahora 9 99 9 9 9" " " # 3" 3

3"

# Y / -9= / =/8 / T /9

9 9# # " # 3# 33"

# Y / =/8 / -9= / T /9

Por lo tantoT T T -9= =/8 -9= =/8=/8 -9= =/8 -9= 34 "9 9 9 99 9 9 9 y


76.Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y sea unZ [subespacio de Entonces , esto es, cada en puede serZ Z [ [ Z expresado de una nica manera bajo la forma , con en y en " # " # [ [ Definamos un operador lineal por .Y Y " # + Y Demostrar que es auto-adjunto y unitario. , Z [ Si es con el producto interno cannico y es el subespacio generado$por encontrar la matriz de en relacin a la base ordenada cannica. " ! " YSOLUCIN. + Y Y Notemos que pues" " #

YY Y " # " # " # Sean y , entonces tenemos " # " #" " " # # # Y " # " # " " # " " #" # " " # # " # " # " # # # " " # #" # " # " #

! !" # # "3 3 3 3 Anlogamente

Y " # " # " " # #" # " " # # " # " #Luego

Y Y Y Y " # " # Pero de donde y entonces , o sea es unitario.Y Y Y Y Y Y YY M Y" " , [ " ! " / / " $ [ ! " ! " ! " / / / # " $

- - - B / B / B / / / / / /" " # # $ $ " " $ # # $ " $ / / / - - - - -" $ " # # " $ $por lo tanto,- - - - - - - -" $ " # # " $ $ " # # $ "B B B B B B# # # B B B B B " $ " $ " $Entonces

/ / B / / / B B# #" $ # # " $B B" $ " #

[ [

" #

,

asY / / B / / / " # B B B B# #" $ # # " $" $ " $ B B B B# # # # # # # #B B B B" # # $ $ " # # " $" " " "$ $ $ $ / B / / B / B / B /

Y/ / Y/ / Y/ /" $ # # $ " luego

Y ! ! "! " !" ! !

77.Sea un espacio complejo interno con producto interno y un operador linealZ Xauto-adjunto sobre . Mostrar queZ + m 3X m m 3X m Z para todo en


, 3X 3X si y solamente si, . " " " - M 3X es no singular. . M 3X es no singular. / Z Y M 3X M 3XSupongamos que sea de dimensin finita; demostrar que es un operador unitario; es denominado una transformada de Cayley de . EnY Xcierto sentido, , donde Y 0 > 0 B "3B"3B SOLUCIN. + m 3X m 3X 3X # 3 X 3 X 33 X X 3 X 3 X X X X X " m 3X m 3X 3X #

3 X 33 X X 3 X 3 X 3 X 3 3 X X X X # De y tenemos " # + , 3X 3X 3X 3X 3X 3X ! y " " " " " " "Por la parte tenemos +! m 3X m 3X 3X " " " " " " # 3X 3X m m m3X m " " " " " " " # # m m mX m " " "# # - , Por tenemos " " " " 3X 3X 3X ! 3X! ! M 3X por lo tanto y entonces es no singular (ya que es inyectiva) . m M 3X m m 3X m m 3X m m M 3X m ! ! +Luego es singular.M 3X / Y M 3X M 3X M 3X M 3XNotemos que y que " " M 3X M 3X M XM 3X M 3X M X M 3X M 3X M 3X M 3X##luegoY Y M 3X M 3X M 3X M 3X M 3X M 3X M 3X M 3X M " " " "

78.Si un espacio real, demostrar que las matrices siguientes son unitariamente)equivalente.

-9= =/8 / !=/8 -9= ! /) )) ) , 3 3) )-SOLUCIN. Tenemos G / G /" #3 3) )

E G / B C-9= =/8 B=/8 -9= C ) )) )"

3 ) B-9= C=/8 / B -9= B 3=/8 B) ) ) )3)

B=/8 C-9= / C -9= C 3=/8 C) ) ) )3)


Z " 3 C=/8 3B=/8 B 3CB =/8 3C =/8 C 3B ) )) ) "E G / B C-9= =/8 B=/8 -9= C

) )) )#

3 ) B-9= C=/8 B/ B -9= 3B =/8

B =/8 C -9= C/ C-9= 3C =/8 ) ) ) )) ) ) )33)) Z " 3 C =/8 3B =/8 C 3BB =/8 3C=/8 B 3C ) )) ) #entonces como entoncesT l+l l,l "" " 3 3

w # # T

3 3" " 3 3

# ## #

# ## #

##

T T T M" 3 " " " 3 # !" 3 3 3 " 3 ! # #

# # #" " ,

luego es unitaria.TT ET " 3 -9= =/8 " "" 3 =/8 -9= 3 3 "

# ) )) ) -9= 3=/8 =/8 3-9= " "-9= 3=/8 =/8 3-9= 3 3

"# ) ) ) )) ) ) )

-9= 3=/8 3=/8 -9= -9= 3=/8 3=/8 -9=-9= 3=/8 3=/8 -9= -9= 3=/8 3=/8 -9="# ) ) ) ) ) ) ) )) ) ) ) ) ) ) )

F# -9= 3=/8 ! / !! # -9= 3=/8 ! /"#

3

3 ) ) ) ) ) )

79.Sea un espacio de dimensin finita con producto interno y un operadorZ Xlineal positivo sobre . Sea el producto interno sobre definido porZ T ZXT X Y Z YX " " . Sea un operador lineal sobre y su adjunto en relacin a Y T. Demostrar que es unitario en relacin al producto interno si y solamenteXsi X Y XY SOLUCIN. es unitario T Y Y T ) Si entonces en efecto,Y X X T Y Y XY Y

sanchez dario - algebra lineal

Documents