Los elementos de Euclides. Los Elementos. Es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el

segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante

varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se

exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como

introducción básica de la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época,

representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de

una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

Principios fundamentales

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones

(como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas

proposiciones se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de Los Elementos son:

1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.

2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.

3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.

4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.

5. El todo es mayor que la parte.

Los postulados de Los Elementos son:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.

2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y

distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la

suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras

dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores

que dos rectos.

Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometría:

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela

Cabe señalar que este es el postulado que hace que la geometría sea euclidiana.

Negándolo se obtienen las geometrías no-euclidianas.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al

igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.

Contenido

A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se

pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en

teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación

constructiva a la aritmética.

El contenido de los libros es el siguiente:

Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana.

Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones.

Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de los cuerpos sólidos.

Libro ILos fundamentos de la Geometría

Teoría de los triángulos, paralelas y el área

Las 48 proposiciones se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos. De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados, del Teorema de Pitágoras y su inverso.

Definiciones ( 23 )Postulados ( 5 )  

Nociones comunes ( 5 )   Proposiciones ( 48 )

Libro IIÁlgebra geométrica

Transformaciones de áreas y álgebra geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización del Teorema de Pitágoras conocida como la ley del coseno. Parece querer ilustrar este Libro II el uso del desarrollo elemental del método de aplicación de áreas.

Definiciones ( 2 )Proposiciones ( 14 )

Libro IIITeoría de la circunferencia

Este volumen trata de aquellos Teoremas relativos a la circunferencia, las cuerdas, las tangentes y la medición de ángulos. Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones, 5 de las cuales son problemas y las

otras teoremas. No se puede considerar un volumen excelente por lo que se refiere al carácter sistemático deductivo.

Definiciones ( 11 )Proposiciones ( 37 )

Libro IVFiguras inscritas  y circunscritas

Este volumen contempla las construcciones pitagóricas, con  regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que son todas problemas. Se estudian inscripciones y circunscripciones de figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos regulares, como el pentágono y el hexágono con el método de la duplicación de lados.

Definiciones ( 7 )Proposiciones ( 16 )

Libro VTeoría de las proporciones abstractas

Este volumen contiene una exposición magistral de la teoría de la proporción aplicable a magnitudes conmensurables y inconmensurables. Se resolvió así el problema planteado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales.

Definiciones ( 18 )Proposiciones ( 25 )

Libro VIFiguras geométricas semejantes y proporcionales

Este volumen contiene la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la

media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales

a los otros dos lados.

Definiciones ( 4 )Proposiciones ( 33 )

Libro VIIFundamentos de la teoría de los números

Junto  a los Libros VIII y IX forman un bloque diferente a la estructura que se da de los volúmenes I-VI y acumula las definiciones en este Libro VII. En total comprenden 102 proposiciones y podemos decir que

son investigaciones de carácter teórico con la intención, por ejemplo, de determinar la medida común

máxima entre sí de dos números no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.

Definiciones ( 22 )Proposiciones ( 39 )

Libro VIIIContinuación de proporciones a la teoría de números

Este Libro VIII se ocupa de series de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto y noción que no queda definida.

Proposiciones ( 27 )

Libro IXTeoría de los números

Este Libro IX es una especie de miscelánia aritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema que establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares y sus relaciones.

Proposiciones ( 36 )

Libro XClasificación de los inconmensurables

Este volumen contiene y trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de traducción como de interpretación. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides completó, ordenó y acabó.

Definiciones I ( 4 )Proposiciones 1-47Definiciones II ( 6 )

Proposiciones 48 - 84Definiciones III ( 6 )Proposiciones 85-115

Libro XIGeometría de los sólidos

Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras definiciones en este Libro XI y ningún postulado configuran un total de 75 proposiciones, 63 de

las cuales son teoremas y las demás 12 problemas, aunque estén presentadas éstas últimas como proposiciones mixtas.

Definiciones ( 28 )Proposiciones ( 39 )

Libro XIIMedición de figuras

Este Libro XII nutre datos básicos para el desarrollo del Libro XIII con menos cohesión y menor capacidad sistemática. Se emplea el método de exhausción comentada por Arquímedes.

Proposiciones ( 18 )

Libro XIIISólidos regulares

De estructura interna sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro,octoedro, dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático sin precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo de Platón.

Proposiciones ( 18 )