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Sistemas con Retardos: enfoque temporal y frecuencial

Sabine MondiéDepartamento de Control Automático

[email protected]

19 de junio 2012

Sabine Mondié () Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 1 / 32

Organización de la ponencia

Motivación: presencia de retardos en los sistemas dinámicos

Modelado de sistemas con retardos, caracteristicas relevantes

Herramientas para el análisis en el dominio de la frecuencia:

- Estudio del cuasipolinomio caracteristico- Metodos grácos

Análisis de Lyapunov en el dominio del tiempo:

- Propuesta de funcionales predeterminadas- Funcionales con derivada prescrita

Problemas de interés en el tema de sistemas con retardos

Sabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 2 / 32

Example (Balanceo de una regla)

Modelo de balanceo:x(t) 6g

l x(t) = u(t)

l : largo del péndulog : aceleración de la gravedad

Control:u(t) = k1x(t h) + k2x(t h)

k1, k2 : ganancia prop. y deriv.x : posisión angularh s 0,1s : tiempo de reejo

I Aprendizaje consiste en ajustar las ganancias k1 y k2,I Cualquiera (casi...) logra balancear un palo de 30 cm o mas,I Es mas fácil balancear palos mas largos (escoba). Es imposiblebalancear un lápiz.


Example (Dinámica post transplante en leucemia)Células cancerosas del huésped: CCélulas anticancerosas del donador: T

Las interraciones toman tiempo: RETARDOS!!!!υ : tpo. de recuperación de cel. T σ : tpo. de interacción sin reacciónτ : tpo. de division celular ρ : tpo. de interacción cel. T


Example (Modelo de un sistema de perforación)

Ecuación de onda:(modelo de parametros distribuidos)GJ ∂2v

∂ξ2(ξ, t) I ∂2v

∂t2 (ξ, t) = 0,

ξ 2 (0, L), t > 0

con condiciones de frontera:v(0, t) = Ωt;

GJ ∂v∂ξ (L, t) + IB

∂2v∂t2 (L, t) = T (t)

v(ξ, t) : ángulo de rotaciónT : torque en el extremo inferiorΩ : vel. angular en supercieL, IB , β, I ,G , J : parametros mecánicos


Example (continuación...)Transformación de DAlembert o análisis frecuencial:Nuevo modelo: Sistema con retardos de tipo neutral

w(t) w(t 2Γ) +

pIGJIB

w(t) +

pIGJIB

w(t 2Γ) =

1IBT (t) +

1IBT (t 2Γ) +

2pIGJIB

Ω(t Γ).

dondew(t) = v(L, t) : ángulo de rotación en el extremo inferior,

Γ =q

IGJ L : retardo base introducido por la transformación.

Este modelo permite:I una descripción exacta de las principales variables de interésI hacer simulaciones de manera sencillaI diseñar estrategias de control utilizando la teoría de sistemas conretardos.


Presencia de retardos en los sistemas

Retardos en la entrada y/o salida:

1 tiempo de medición2 tiempo de calculo3 retardo de transporte4 retardo en el control

Retardos en el estado1 Lazo cerrado de un sistema con retardo en la entrada2 Estructura del sistema: interconeciones, transporte, tiempo demaduración

Retardos por modelado de ecuaciones diferenciales parciales


Modelado de sistemas con retardos

Ecuaciones diferenciales funcionales, o diferenciales en diferencias..x(t) = A0x(t) + A1x(t h), h:retardo.

Condiciones iniciales: x(θ) = φ(θ), θ 2 [h, 0], φ función continua apedazos denida en [h, 0]

Estado del sistema: el estado del sistema es denotado xt . Estadenido con x(t + θ), θ 2 [h, 0].Su norma esta denida como kxtkh = sup

θ2[h,0]kx(t + θ)k


Clasicación de sistemas con retardos

Sistemas con retardos concentrados

x(t) = A0x(t) + A1x(t h1) + A2x(t h2) + ...+ Amx(t hm)múltiples de un retardo elemental (hi = kih, i = 1,m y ki enterospositivos) o no (se denominan "no conmensurables")Sistemas con retardos distribuidos

x(t) = A0x(t) + A1x(t h) +DZ 0

hx(t + θ)dθ

Sistemas de tipo neutral

x(t) + C1x(t h) = A0x(t) + A1x(t h)Sistemas integrales

x(t) =Z 0

hG (θ)x(t + θ)dθ

además...lineales, nolineales, con parametros inciertos, autónomos o no,estocasticos etc...Sabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 9 / 32

Métodos para el análisis de sistemas con retardo

Dominio de la frecuencia:

- Análisis del cuasipolinomios- Métodos grácos

Dominio del tiempo: (enfoques de Lyapunov Krasovskii y Razhumikin)

- funcionales predeterminadas (LMI: Desigualdadeslineales matriciales)

- funcionales de tipo completo (con derivada prescrita)


Métodos del Enfoque Frecuencial


Ecuación característica de sistemas con retardos

x(t) = A0x(t) + A1x(t h1) + A2x(t h2) + ...+ Amx(t hm) (1)

con Ai 2 Rnn y hi positivos.Su ecuación característica es el cuasipolinomio

∆(s) = det

sI A0

m

∑i=1Aieshi

!= p(s, esh1 , ..., eshm )

TeoremaEl sistema (1) es estable si y solo si todas las raices de ∆(s) tienen partereal estrictamente negativa.


Example (Raíces de cuasipolinomios de tipo retardado )

3 2 .5 2 1 .5 1 0 .5 0 100

50

0

50

100

R ea l

Imag

inar

io

R a ic es de un c uas ipo l inom io de tipo r e ta r dado

I Un cuasipolinomio tiene un numero innito de raíces,I Están todas ubicadas a la izquierda de una línea vertical.I La estabilidad depende de la ubicacion de las raices que estan mas a laderecha.Sabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 13 / 32

Métodos analíticos para el estudio de las raíces de loscuasipolinomios

TeoremaLas raices del cuasipiolinomio

∆(s) = detsI A0 A1esh

= p(s, esh)

varian de manera CONTINUA con respecto al retardos h.

CONSECUENCIA: Si un sistema es estable para unos valores nominalesdel retardo, solo puede volverse inestable si para algunos pares (h,ω) tieneraíces en el eje imaginario:

∆(jω) = detjωI A0 A1e jωh

= 0

El desarrollo de métodos analíticos y numéricos para determinar estosvalores críticos (h,ω) es un campo activo de investigaciónSabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 14 / 32

Example (Control Proporcional retardado de un segundo orden)

Sistema de segundo orden: θ(t) + 2δνθ(t) + ν2θ(t) = bu(t)

Ley de control prop. retardada: u(t) = kpθ(t) + kr θ(t h)kp y kr : ganancias proporcional y retardada,h: parametro de diseño.

Cuasipolinomio en lazo cerrado:

p(s, kp , kr , h) = s2 + 2δνs + ν2 + bkp bkr ehs

Problema: estabilizar el sistema con decaimiento exponencial σ

El cambio de variable s ! (s σ) reduce el problema al análisis de

pσ(s, kp , kr , h) = s2+ σ2+ 2(δν σ)s + (ν2 2δνσ+ bkp) bkr ehσehs .


Example (Continuación...)El análisis frecuencial permite:I una parametrización de las zonas de σ estabilidad:

I Decaimiento máximo σ = δν+q

ν2(1 δ2) + bkpI Sintonización del Control PR para sistema de segundo orden.

h = 2(δν σ)

ν2 + (σ)2 2δνσ + bkp, kr =

2(δν σ)

bheσh .


Example (Control PR de un servomotor de CD)

Buena atenuacion del ruido comparado con otros esquemas de control


Métodos grácos para el estudio de las raíces de loscuasipolinomios

están basados en el principio de exclusión del cero:

TeoremaEl cuasipolinomio

∆(s) = det

sI A0

m

∑i=1Aieshi

!= sn +

n1∑l=1

al (esh1, ..., eshm)s l

es estable si y solo si el cambio del argumento neto Φ[0,jR ] de ∆(jω) paraω 2 [0,∞] satisface:

nπ

2 π

2< Φ[0,j∞] < n

π

2+

π

2.


Cambio del argumento de un cuasipolinomio: ejemplo

Nota: Los cuasipolinomios no satisfacen la propiedad de incremento de fase


Aplicación: robustez de familias politópicas dequasipolinomios

F =

(T

∑l=1

µl fl (s)j µl 0,T

∑l=1

µl = 1

), fl (s), l = 1,T dados

Figura: Conjunto de valores y sectoresSabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 20 / 32

Métodos del Enfoque Temporal


Recordatorio: Caso libre de retardos

Ün sistema es estable si existe una función positiva cuya derivada a lolargo de las trajectorias del sistema es negativa"Para el sistema libre de retardos

x = Ax ,

la derivada de la función de Lyapunov v(x) = xTPx a lo largo de lastrajectorias es :

v(x) = xT (ATP + PA)x = xTQx

TheoremEl sistema x = Ax es asintoticamente estable si y solo si para Q > 0existe P > 0 tal que

ATP + PA = Q.


Teorema de Lyapunov-Krasovskii

Los resultados de Lyapunov se extienden a los sistemas con retardos:

TeoremaSea un sistema

.x(t) = A0x(t) + A1x(t h).

Si existen constantes positivas α1, α2, y β y una funcional continua ydi¤erenciable V (t, xt ) que mapea conjuntos [h,∞) C ([h, 0],Rn) en Rtal

α1 kx(t)k2 V (xt ) α2 kxtk2h , 8t 0y

.V (xt ) β kx(t)k2 , 8t 0

entonces el sistema es asintoticamente estable.

Existen un gran numero de publicaciones con propuestas para lafuncionales V (xt ) .


Example (Estabilidad independiente del retardo)

Sistema:.x(t) = A0x(t) + A1x(t h)

Funcional de Lyapunov-Krasovskii:

v(xt ) = xT (t)Px(t) +Z t

thxT (θ)Sx(θ)dθ (λm«axP + hλm«axS) kx(t)k2

derivada a lo largo de las trajectorias del sistema:

dv(xt )dt

= xT (t)Sx(t) xT (t h)Sx(t h)

+xT (t)P(A0x(t) + A1x(t h)) + (xT (t)AT0 + xT (t h)AT1 )Px(t)

odv(xt )dt

=

x(t)

x(t h)

T AT0 P + PA0 + S PA1

AT1 P S

| z

M

x(t)

x(t h)

Teorema: El sistema es asintoticamente estable para todo h si existenmatrices P y S positivas denidas tales queM es negativa denida.


Funcionales de Lyapunov Krasovskii de tipo completo

Espíritu del Teorema Converso de Lyapunov: derivada prescrita.

Teorema(Kharitonov and Zhabko, 2003) sea el sistema lineal con retardo estable.x(t) = A0x(t) + A1x(t h). Para las matrices positivas denidas W0,W1

y W2, la functional

v(x t ) = xT (t)U(0)x(t) + 2xT (t)Z t

th[U(h+ θ t)] TA1x(θ)dθ

+Z t

th

Z t

thxT (θ1)AT1 U(θ1 θ2)A1xT (θ2)dθ1

dθ2,

+Z t

thxT (θ)[W1 + (h+ θ t)W2]x(θ)dθ.

es tal que su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es

ddtv(xt ) = xT (t)W0x(t) xT (th)W1x(th)

Z t

thxT (θ)W2x(θ)dθ.


Matriz y ecuación de Lyapunov para sistemas con retardos

U(θ), θ 2 [0, h]es el análogo de la matriz de LyapunovSatisface 3 propiedades que son el análogo de la ecuación de Lyapunov:

Propiedad de simetría

U(τ) = UT (τ), 8τ,

Propiedad Algebraica

AT0 U(0)+U(0)A0+AT1 U(h)+ [U(h)]

T A1 = W , con W = W0+W1+hW2

Propiedad Dinámica

U 0(τ) = U(τ)A0 + U(τ h)A1, t 0.


Example (Aproximación polinomial de U)Un elemento esencial de la teoría es la construcción de U: aqui se propone

U (N )(θ) = U0 + U1θ + U2θ2 + ...+ UN θN , θ 2 [0, h]


Problemas de interés: Análisis

Condiciones de estabilidad, independientes o dependientes del retardo,de inestabilidad

Cotas exponenciales k y η para la respuesta: x(t) k kϕkh eηt

Cotas de robustez δ0 y δ1 para el sistema incierto.y(t) = (A0 + ∆0)y(t) + (A1 + ∆0)y(t h)

donde k∆0k δ0; k∆1k δ1 (∆0, ∆1 pueden ser unanolinealidad).

Robustez ante variaciones del retardo h1 h h2.Efectoestabilizante/desestabilizante del retardo.

Dominio de atracción del equilibrio de sistemas con retardos nolineales.Todos los problemas anteriores en el contexto de control


Problemas de interés (control)

Control estabilizante u(t) = K1x(t) para.x(t) = A0x(t) + A1x(t h) + Bu(t)

Control óptimo, control con costo garantizado

u(t) = K1x(t) +K2Z 0

hx(t + θ)dθ

Control predictivo para sistemas con retardo en la entrada:.x(t) = Ax(t) + Bu(t h)

u(t) = K1xp(t + h) = K1

eAhx(t) +

Z h

0eAθBu(t θ)dθ

.

Realización de controladores distribuidosSabine Mondié (CINVESTAV - IPN ) Sistemas con Retardos 19 de junio 2012 29 / 32

Referencias generales

Gu K., Kharitonov V. and J. Chen, Stability of Time Delay Systems,Birkhäuser, 2003.

Hale, J. K. Introduction to functional di¤erential equations, SpringerVerlag, New York, 1993.

Kolmanovskii, V. B. y V. R. Nosov, Stability of Functional Di¤erentialEquations, Mathematics in Science and Eng., 180, Academic Press,New York, 1996.

Niculescu S. (2001). Delays e¤ects on stability, A robust controlapproach, Springer, Heidelberg.

Kharitonov, V. L. and Zhabko, A.P., Lyapunov Krasovskii approach tothe robust stability analysis of time delay systems, Automatica, vol.39, no. 1, 15-20, 2003.


Referencias especícas

Fridman, S. Mondié , B. Saldivar, Bounds on the response of a drillingpipe model, IMA Journal of Mathematical Control and Information,27(4), 513-526, 2011.

S. Mondié, G. Ochoa and B. Ochoa, Instability conditions for lineartime delay systems: a Lyapunov matrix function approach,International Journal of Control, 84(10), 16011611, 2011.

S. Mondié, D. Melchor-Aguilar, Exponential Stability of Integral DelaySystems with a Class of Analytic Kernels, IEEE Trans. Autom. Contr.,2012, acceptado.

S. Mondié, Assessing the exact stability region of the single delayscalar equation via its Lyapunov function, IMA J. of Math. Contr. AndInf., 2012, aceptado.

Villafuerte R., Mondié S., R. Garrido, Proportional retarded control ofa DC servomotor, IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012, acceptado.


Gracias por su Atención


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