s5 aplicaciones de_las_edo (1)
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ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
APLICACIONES DE LAS EDO
DE PRIMER ORDEN
OBJETIVOS OBJETIVOS
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real
Reconocer los modelos matemáticos más comunes
que involucran E.D.O.
Formular E.D. en base a información dada en un
problema contextualizado.
Resolver diversos problemas de aplicación de las
E.D.O. en diversos campos de estudio.
MODELOS MATEMÀTICOS
Hipótesis Expresar las hipótesis en
términos de las
ecuaciones diferenciales
Formulación
matemática
Resolver las ED
Obtener
soluciones
Presentar las predicciones
del modelo (por ejemplo
en forma geométrica)
Comprobar las
predicciones del
modelo con
hechos conocidos
Si es necesario, modificar
las hipótesis o aumentar la
resolución del problema
Modelos más comunes
Ley de enfriamiento de Newton
Cuando un cuerpo o sustancia está a una temperatura mayor
(o menor) que la del ambiente, el calor se disipa hasta que el
cuerpo quede a la misma temperatura.
La velocidad a la que se enfría el cuerpo es proporcional a la diferencia
de temperaturas entre el cuerpo y el medio que lo rodea.
𝒅𝑻
𝒅𝒕= 𝒌 𝑻 𝒕 − 𝑻𝒂𝒎𝒃
Donde
𝑻 = 𝑻(𝒕): es la temperatura del cuerpo en el instante 𝑡
𝒕 : Tiempo transcurrido desde que el cuerpo se expuso a la
temperatura ambiente
𝑻𝒂𝒎𝒃 : Temperatura ambiente
Ejemplo 1
Un objeto expuesto al frío entra en una habitación donde la
temperatura se mantiene a 50°C. A los 5 minutos, el objeto se
calienta, teniendo una temperatura de 25°C y en otros 10
minutos llega a 35°C. Calcule la temperatura inicial del
objeto.
Solución:
Definamos nuestras variables:
𝑻 = 𝑻(𝒕): Temperatura del objeto en el instante 𝒕
𝑻𝒂𝒎𝒃 = 𝟓𝟎𝟎𝑪: Temperatura de la habitación 𝒅𝑻
𝒅𝒕= 𝒌(𝑻 − 𝟓𝟎)
Condiciones iniciales del problema TIEMPO (𝒕) TEMP(𝑻)
0 𝑻𝟎
5 25
15 35
Ejemplo 1
Resolvemos la ecuación diferencial, considerando las condiciones
iniciales.
𝒅𝑻
𝑻 − 𝟓𝟎
𝟑𝟓
𝟐𝟓
= 𝒌𝒅𝒕
𝟏𝟓
𝟓
⇒ 𝒍𝒏 𝑻 − 𝟓𝟎 𝑻=𝟐𝟓
𝑻=𝟑𝟓= 𝟏𝟎𝒌 ⇒ 𝒍𝒏
𝟏𝟓
𝟐𝟓= 𝟏𝟎𝒌
𝒌 =𝟏
𝟏𝟎 𝒍𝒏
𝟑
𝟓≈ −𝟎. 𝟎𝟓𝟏
Con la otra condición del problema tenemos
𝒅𝑻
𝑻 − 𝟓𝟎
𝟐𝟓
𝑻𝟎
= 𝒌𝒅𝒕
𝟓
𝟎
⇒ 𝒍𝒏 𝑻 − 𝟓𝟎 𝑻=𝑻𝟎
𝑻=𝟐𝟓= 𝟓𝒌
⇒ 𝒍𝒏𝟐𝟓
𝟓𝟎 − 𝑻𝟎=
𝟏
𝟐𝒍𝒏 𝟑/𝟓 ⇒
𝟐𝟓
𝟓𝟎 − 𝑻𝟎= 𝒆
𝟏𝟐𝒍𝒏 𝟑/𝟓
⇒ 𝑻𝟎 = 𝟓𝟎 − 𝟐𝟓𝒆−
𝟏𝟐𝒍𝒏
𝟑𝟓 ≈ 𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟓
La temperatura inicial del objeto era aprox. de 17,7250 C
Ejercicio 1
Supongamos que encontramos un cadáver de un felino. En
dicho momento, se toma la temperatura del mismo y resulta
ser de 35ºC. Una hora después se vuelve a tomar la
temperatura y ésta es de 34,5ºC. Suponiendo constante la
temperatura ambiental e igual a 27ºC se pide calcular a qué
hora se produjo la muerte del animal. (Suponemos que la
temperatura del animal en vida es de 36,5ºC)
Solución:
Modelos más comunes
Desintegración radiactiva
Cuando se tiene un material radiactivo, sus átomos se
desintegran a medida que pasa el tiempo.
La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva en un
instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese
instante
𝒅𝑸(𝒕)
𝒅𝒕= 𝒓𝑸(𝒕)
Donde
𝑸 = 𝑸(𝒕): Es la cantidad presente de sustancia en el instante 𝑡
𝒕 : Tiempo transcurrido desde que la sustancia comenzó a
desintegrarse.
𝒓 < 𝟎: Constante de proporcionalidad (razón de decaimiento)
Ejemplo 1
Se quiere comprar el cuadro “la adoración de los magos”, del
pintor Giotto. Se sabe que el pintor nació en 1267 y murió en
1337. Antes de comprarlo este año (2009), al cuadro se le ha
hecho una prueba de Carbono 14 (C14) y se ha encontrado
que contiene el 99,5% de su carbono original. Diga usted si el
cuadro es original o es una falsificación si se sabe que la
vida media del Carbono 14 es de 5700 años
Solución: Definamos nuestras variables:
𝒙 = 𝒙(𝒕): Cantidad de C14 presente en el cuadro
Vida media del C14: 5700 años 𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒌𝒙
Año: 1267 Año:1337
Periodo de vida del
pintor
Año:2009
Ejemplo 1
𝒅𝒙
𝒙
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝒌𝒅𝒕
𝟓𝟕𝟎𝟎
𝟎
⇒ 𝒍𝒏𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎= 𝟓𝟕𝟎𝟎𝒌 ⇒ 𝒌 =
𝟏
𝟓𝟕𝟎𝟎𝒍𝒏
𝟏
𝟐
Con la otra condición del problema tenemos
𝒅𝒙
𝒙
𝟗𝟗,𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝒌𝒅𝒕
𝐭𝟎
𝟎
⇒ 𝒍𝒏𝟗𝟗, 𝟓
𝟏𝟎𝟎= 𝒕𝟎𝒌 ⇒ 𝒕𝟎 =
𝟓𝟕𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟏𝟐
𝒍𝒏
𝟗𝟗, 𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝒕𝟎 ≈ 𝟒𝟏, 𝟐𝟐𝟎
Tiempo
transcurrido (𝒕) % de
sustancia (𝒙)
0 100%
𝒕𝟎 99,5%
5700 50%
Condiciones iniciales del problema.
Resolvemos la ecuación diferencial,
considerando las condiciones
iniciales.
𝒕 = 𝟎 𝒕 = 𝒕𝟎
Comienza la desintegración del C14 % de C14: 99,5
𝒕 = 𝟓𝟕𝟎𝟎
% de C14: 50
Ejemplo 1
Es decir, la desintegración comenzó hace aprox. 41 años,
aproximadamente en el año 1968
Luego la pintura es FALSA.
Ejercicio 1
Los veterinarios anestesian animales con pentobarbital
sódico. La razón con la que desaparece el citado
pentobarbital sódico en la sangre es proporcional a la
cantidad que aún está presente. Calcule el tamaño de una
dosis única para anestesiar durante 45 minutos a un perro
que pesa 20kg., si se sabe que para que el perro se mantenga
anestesiado deben existir 30mg por cada kilogramo de su
peso. También se sabe que en 4 horas, la dosis siempre baja
a la mitad
Solución:
Modelos más comunes
Crecimiento y decaimiento demográfico
Un modelo que se usa con mucha frecuencia para modelar
poblaciones de bacterias y animales durante cortos periodos
de tiempo sigue el siguiente principio:
La tasa de crecimiento de una cierta población aumenta en forma
proporcional a la población presente en ese momento
𝒅𝑷
𝒅𝒕= 𝒌 𝑷(𝒕)
Donde
𝑷 = 𝑷(𝒕): Población en el instante 𝑡
𝒕 : Tiempo transcurrido
𝒌: Constante de proporcionalidad
Ejemplo 1
En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es
proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo
se duplica en 4 horas, determine la cantidad que puede a
esperarse al cabo de 16 horas.
Solución:
Definamos nuestras variables:
𝒙 = 𝒙(𝒕): Cantidad de levadura existente en el instante 𝒕 𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒌𝒙
Condiciones iniciales del problema
TIEMPO (𝒕) Levadura (𝒙)
0 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
4 𝟐𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
16 𝒙𝟎
Ejemplo 1
𝒅𝒙
𝒙
𝟐𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
= 𝒌𝒅𝒕
𝟒
𝟎
⇒ 𝒍𝒏 𝟐 = 𝟒𝒌 ⇒ 𝒌 =𝟏
𝟒𝒍𝒏 𝟐
Resolvemos la ecuación diferencial, considerando las condiciones
iniciales.
Con la otra condición del problema tenemos
𝒅𝒙
𝒙
𝒙𝟎
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
= 𝒌𝒅𝒕
𝟏𝟔
𝟎
⇒ 𝒍𝒏𝒙𝟎
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍= 𝟏𝟔𝒌 ⇒ 𝒍𝒏
𝒙𝟎
𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍= 𝟒𝒍𝒏(𝟐)
⇒ 𝒙𝟎 = 𝒙𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝟒𝒍𝒏 𝟐 = 𝟏𝟔𝒙𝟎
La cantidad de levadura luego de 16 horas es de 16 veces la cantidad
inicial.
Ejercicio 1
En un cierto cultivo una bacteria crece a una tasa que es
proporcional al cuadrado del número presente de bacterias
en ese instante. Si inicialmente el número de bacterias es 𝒏𝟎
y si después de 𝟓 minutos el número es 20, determine el
número de bacterias luego de 12 horas.
Solución:
Modelos más comunes
Problemas geométricos
La interpretación de la derivada como la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de una función permite formular
ecuaciones diferenciales
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función 𝒚 = 𝒇(𝒙)
en un punto cualquiera de ella es igual a la derivada de la función
evaluada en la abscisa del punto considerado
𝒅𝒚
𝒅𝒙𝒙 = 𝐏𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚 𝐥𝐚 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚 𝐞𝐧 𝒙
Ejemplo 1
Halle la ecuación de una curva que pase por el punto (0; 2) y
que verifique que la pendiente de su recta tangente en cada
punto sea igual a la ordenada del punto aumentada en 3
unidades
Solución:
Sea la curva de ecuación 𝒚 = 𝒚 𝒙 . Por condición del problema
tenemos: 𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝒙 + 𝟑
Condiciones inicial del problema 𝒚 𝟎 = 𝟐
Tenemos:
𝒅𝒚 = 𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 ⇒ 𝒚 =𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝑪
Con la condición inicial obtenemos: 𝑪 = 𝟐. Luego la curva buscada
es: 𝒚 =𝟏
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Ejercicio 1
Halle la ecuación de una curva que pase por el punto (3;2) y
de tal manera que el segmento de cualquiera de sus
tangentes comprendido entre los ejes coordenados del
primer cuadrante, esté dividido en el punto de tangencia en
dos segmentos de igual longitud
Solución:
Modelos más comunes
Modelos variados
Se pueden presentar variados modelos que llevan a una E.D.
Para esto se necesita información sobre la tasa de cambio de
una función desconocida (variable) que se relaciona con la
función y la variable de dicha función. Por ejemplo en la
diseminación de una enfermedad se cumple el principio
La tasa de difusión de una enfermedad es proporcional a la cantidad de
personas que la han contraido y también a la cantidad de sujetos que no
han sido expuestos al contagio
𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒌𝒙(𝒏 + 𝟏 − 𝒙)
𝒙 = 𝒙(𝒕): Cantidad de personas infectadas en el instante 𝒕 𝒏 : Tamaño de la población
(se supone que se introduce un infectado en una población
constante de 𝒏 personas)
Ejemplo 1
Supóngase que un alumno es portador del virus de la gripe y
a pesar de ello va a la universidad donde hay 5000
estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga
el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados
sino también a la cantidad de no infectados. Determine la
cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se
observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50
estudiantes
Solución:
Definamos nuestras variables:
𝒙 = 𝒙(𝒕): Cantidad de alumnos infectados en el instante 𝒕
𝒏: Población total 𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒌𝒙(𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙)
Ejemplo 1
Condiciones iniciales del problema: TIEMPO (𝒕) INFECTADOS (𝒙)
0 1
4 50
6 𝒙𝟎
Resolvemos la ecuación diferencial,
considerando las condiciones
iniciales.
𝒅𝒙
𝒙(𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙)
𝟓𝟎
𝟏
= 𝒌𝒅𝒕
𝟒
𝟎
𝟏
𝟓𝟎𝟎𝟏𝒍𝒏
𝒙
𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙 𝒙=𝟏
𝒙=𝟓𝟎
= 𝟒𝒌 ⇒ 𝒍𝒏
𝟓𝟎𝟒𝟗𝟓𝟏
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎
= 𝟒 𝟓𝟎𝟎𝟏 𝒌
𝒌 =𝟏
(𝟒)(𝟓𝟎𝟎𝟏)𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟗𝟓𝟏
Ejemplo 1
Con la otra condición del problema tenemos
𝒅𝒙
𝒙(𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙)
𝒙𝟎
𝟏
= 𝒌𝒅𝒕
𝟔
𝟎
⇒𝟏
𝟓𝟎𝟎𝟏𝒍𝒏
𝒙
𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙 𝒙=𝟏
𝒙=𝒙𝟎
= 𝟔𝒌
𝒍𝒏
𝒙𝟎𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎
= 𝟔 𝟓𝟎𝟎𝟏 𝒌 ⇒ 𝒍𝒏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙𝟎= 𝟔 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟏 𝒌
𝒍𝒏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙𝟎= 𝟔 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟏
(𝟒)(𝟓𝟎𝟎𝟏)𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟗𝟓𝟏
=𝟑
𝟐𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟗𝟓𝟏
𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙𝟎
𝟓𝟎𝟎𝟏 − 𝒙𝟎= 𝒆
𝟑𝟐𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟓𝟏 ⇒ 𝒙𝟎 =
𝟓𝟎𝟎𝟏 𝒆𝟑𝟐𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟓𝟏
𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝒆𝟑𝟐𝒍𝒏
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟗𝟓𝟏
≈ 𝟑𝟑𝟒, 𝟖𝟓𝟔
A los 6 días, la cantidad de alumnos infectados será de
aproximadamente 𝟑𝟑𝟒, 𝟖𝟓𝟔
Ejercicio 1
Halle la ecuación de una curva 𝒚 = 𝒚(𝒙) si se sabe que la
pendiente en cualquiera de sus puntos (𝒙; 𝒚) es directamente
proporcional a 𝟒𝒆−𝟐𝒙 . Además dicha curva pasa por el punto
(0; 0) y su recta tangente en el punto de abscisa 𝟎 tiene un
ángulo de inclinación de 𝟒𝟓𝟎
Solución:
Bibliografía
2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-
José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez
3. Calculus - James Stewart
4. Calculus_12th Edition – George B. Tomas, Jr.
1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-
Dennis G. Zill
5. Calculus – Larson Edwards