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3.8 Algoritmo de Floyd-Warshall (2)

Alberto Conejero

Cristina Jordn

Universitat Politcnica de Valncia

Aplicaciones de la

Teora de Grafos

a la vida real

Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real

Ejemplo introductorio

L1 L2 L3 L4 L5

L1 1 6 3

L2 3 4

L3 3 -3

L4 -2 3

L5 4 4

Sergio se traslada entre varios puntos de la ciudad, L1, L2, L3, L4 y L5, en

su viejecito pero til coche. Ha analizado el gasto entre diferentes lugares

y lo ha recogido en la tabla siguiente. Dado que cada vez se desplaza entre

sitios distintos le gustara disponer de una tabla que le indicara en cada

ocasin cul sera el coste del trayecto ms barato y el recorrido a realizar.

3.8. Floyd-Warshall(2)

Observaciones

Cules son los vrtices que forman el camino ms corto entre dos

vrtices dados?

La solucin se obtendr a partir de una matriz de vrtices, A=(aij),

cuyos elementos vienen definidos de la siguiente manera:

aij es el elemento anterior al j en el camino ms corto de i a j


El camino se obtiene aplicando reiteradamente de atrs hacia adelante

la definicin anterior


Ejemplo


55214

34214

35334

35224

31211

El camino se obtiene aplicando reiteradamente de atrs hacia adelante

la definicin anterior

Camino de v2 a v4:

a24= 5

luego 5 es el anterior a 4 en el camino ms

corto de 2 a 4

2....4

2.5 4

a25= 3


corto de 2 a 5

2..3 5 4 a23= 2


corto de 2 a 3 2 3 5 4

Luego el camino es v2 v3 v5 v4


Observacin


Si probamos con un vrtice intermedio vk, k {1,2,3,4,5},

el vrtice anterior a j en el camino ms corto de i a j coincide con

el vrtice anterior a j en el camino ms corto de k a j,

es decir,

aij = akj

Cules son los vrtices que forman el camino ms corto entre dos

vrtices dados?



Matriz de vrtices (Algoritmo de Floyd-Wharsall)

Caminos ms cortos de vi a vj, i j, i , j {1,2,3,4,5} en G

0

101

204

10

270 v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

0

101

3203

10

54250

Actualizando

p( v1,v5) = 8, pasando por v2

p( v3,v5) = 5, pasando por v2 p( v1,v2) = 6, pasando por v3


p( v1,v5) = 7, pasando por v3 p( v1,v2) = 5, pasando por v4 p( v1,v5) = 5, pasando por v4 p( v3,v2) = 3, pasando por v4





v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos

p( v1,v5) = 8, pasando por v2 a15= a25 = 2

55555

44444

33333

22222

11111

Matriz de inicio




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos

55555

44444

33333

22222

21111





v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

33333

22222

21111


55555

44444

23333

22222

21111



v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos





v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23333

22222

21111




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23333

22222

21131




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23333

22222

23131




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23333

22222

23141




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23333

22222

43141




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

23343

22222

43141




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

Actualizamos


55555

44444

43343

22222

43141




v2

v3 v4

7

2

4

2

1

1

1 v5

55555

44444

43343

22222

43141


De v3 a v2: Buscamos a32=4, luego v4 es el anterior a v2 en el camino de v3 a v2

34 2 Buscamos a34=3, luego v3 es el anterior a v4 en el camino de v3 a v4 3 4 2

De v1 a v5: Buscamos a15=4, luego v4 es el anterior a v5 en el camino de v1 a v5

14 5 Buscamos a14=3, luego v3 es el anterior a v4 en el camino de v1 a v4 1..3 4 5 Buscamos a13=1, luego v1 es el anterior a v3 en el camino de v1 a v3 1 3 4 5

Cul es el camino

ms corto?


Algoritmo de Floyd-Wharsall

Proporciona en un grafo G de n vrtices :

el peso de los caminos ms cortos entre dos vrtices mediante P=(pij)nxn (pij= peso del camino ms corto del i al j)

los vrtices que los forman mediante A=(aij)nxn (aij= vrtice anterior al j en el camino ms corto del i al j)

PASO 1. Se considera como matriz inicial P = (pij) la matriz de pesos asociada al grafo

Se considera la matriz inicial A = (aij) donde aij = vi

PASO 2. Para cada vrtice k = 1, 2,, n comprobar

si para cada par de vrtices i, j {1,2,,n}, tales que i j, i k, j k, pik y pkj

se verifica

pik + pkj < pkj

En caso afirmativo

pij := pik + pkj y aij:=akj

NOTA. Si en algn momento aparece un valor pii < 0 (valor de la diagonal negativo),

significa que hay un ciclo negativo y por tanto no hay solucin.


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