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ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES FORMACIÓN POR COMPETENCIAS Series de Fourier de funciones pares e impares , ecuaciones diferenciales parciales.

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ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Series de Fourier

de funciones pares e

impares , ecuaciones

diferenciales parciales.

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Objetivos

Reconoce la serie de Fourier de funciones

pares e impares.

Calcular la serie de Fourier de una función

no períódica.

Identifica el orden y grado de una ecuación

diferencial parcial.

Analiza la solución implícita e explicita de

EDP.

Reconoce la ecuación de la onda y del

calor.

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TEOREMA

Los coeficientes de Fourier de una función par

𝒇 𝒙 son

𝒂𝒏 =𝟐

𝝅 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙𝝅

𝟎

𝒃𝒏= 𝟎

Por consiguiente, la serie de Fourier de una

función par contiene sólo los cosenos, es decir

𝒇 𝒙 =𝒂𝟎𝟐+ (𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙))

𝒏=𝟏

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TEOREMA

Los coeficientes de Fourier de una función impar

𝒇 𝒙 son

𝒃𝒏 =𝟐

𝝅 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙𝝅

𝟎

𝒂𝒏= 𝟎

Por consiguiente, la serie de Fourier de una

función par contiene sólo los cosenos, es decir

𝒇 𝒙 = (𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙))

𝒏=𝟏

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Ejercicio 1

a) Desarrolle en serie de Fourier la función

periódica 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐; −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅

de periodo 𝟐𝛑.

b) Utiliza el resultado para calcular

𝟏

𝒏𝟐∞𝒏=𝟏

Solución.-

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Ecuación Diferencial Parcial

Una ecuación diferencial parcial es aquella que

contiene las derivadas de una o más variables

dependientes, con respecto a una o más variables

independientes.

Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales:

a) 𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐= 𝟎

b) 𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐=𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒕𝟐−𝝏𝒖

𝝏𝒕

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Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial parcial es el

orden de la derivada mayor en la ecuación.

La ecuación diferencial parcial

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐=𝝏𝒖

𝝏𝒙

Tiene orden 2.

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Ejemplo 2

Clasifique la siguiente ecuación:

Solución

(a)

0(c) (b) 3)(2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

u

x

u

y

u

x

u

y

u

x

ua

parabólicaACB

C,BAy

u

x

u

:04

;0,030;3

2

2

2

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Ejemplo 2 (2)

elípticaACB

CBAy

u

x

uc

ahiperbólicACB

CBAy

u

x

ub

:04

;1,0,1;0 )(

:04

;1,0,10; )(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Page 12: S13 series de_fourier_de_funciones_no_periodicas_-_ed_parciales (1)

Ecuación diferencial parcial lineal de

segundo orden

La forma general de una ecuación diferencial lineal de

segundo orden (EDP) con dos variables

independientes 𝑥 y 𝑦 tiene la forma

A𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝑩𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝒚+ 𝑪𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐+𝑫𝝏𝒖

𝝏𝒙+ 𝑬𝝏𝒖

𝝏𝒚+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)

1) Los coeficientes A,B,C,D,E y F son constantes o

dependen sólo de las variables independientes.

2) Cuando 𝑮 𝒙, 𝒚 = 𝟎, la ecuación se llama

homogénea; en cualquier otro caso es no

Homogénea.

Page 13: S13 series de_fourier_de_funciones_no_periodicas_-_ed_parciales (1)

Ejemplo

Ecuaciones lineal

de segundo orden

1

La ecuación diferencial parcial

a)𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐− 𝒖 = 𝟎 es una EDP homogénea.

b) 𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐= 𝒙𝟐 es una EDP no homogénea.

Page 14: S13 series de_fourier_de_funciones_no_periodicas_-_ed_parciales (1)

Tipos de EDP lineal homogénea con

coeficientes constantes

A la ecuación diferencial lineal parcial.

A𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐+𝑩𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝒚+ 𝑪𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐+𝑫𝝏𝒖

𝝏𝒙+ 𝑬𝝏𝒖

𝝏𝒚+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)

Tipo de EDP CONDICIÓN

HIPERBÓLICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0

PARABÓLICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0

ELIÍPTICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0

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Solución de una EDP

La solución de una ecuación diferencial en

derivadas parciales con dos variables

independientes 𝑥 y 𝑦 es una función 𝑢(𝑥, 𝑦) que

posee todas las derivadas parciales que indica la

ecuación y que la satisface en alguna región del

plano 𝑋𝑌.

La forma de la solución de una EDP para el caso

unidimensional puede ser de dos formas:

𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙

𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒈(𝒚)

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Ecuaciones clásicas EDP

a) Ecuación de calor

𝑲𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐=𝝏𝒖

𝝏𝒕, 𝐊 > 𝟎

b) Ecuación de la onda

𝒂𝟐𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐=𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒕𝟐

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Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau

Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado- Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.