s ntesis y caracterizaci n estructural de los materiales · 14 redes de bravais, 3d el apilamiento...

Ángel Carmelo Prieto Colorado

Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.Facultad de Ciencias.

Universidad de Valladolid.

Síntesis y Caracterización Estructural de los Materiales

©A. Carmelo Prieto Colorado

Simetría característica de los Sistemas Cristalinos

Redes y Celdas de Bravais

Ejes helicoidales y planos de deslizamiento

Grupos de Simetría Espacial tridimensional

Símbolos de los Grupos Espaciales de Simetría

Tablas Internacionales de Cristalografía

Tema 11


7 Sistemas Cristalográficos, 3D

€

Sistema Parámetros FundamentalesCúbico a = b = c; α = β = γ = 90°

Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120°

Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90°

Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90°

Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°

Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β

Triclinico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90°


Simetría característica de los 7 SC, 3D

€

Sistema Parámetros Fundamentales Simetría esencial DirecciónTriclínico a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90° - -

Monoclínico a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ β 2 010Ortorrombico a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90° 222 100 010 001

Trigonal a = b = c; 120° ≥α = β = γ ≠ 90° 3 001Tetragonal a = b ≠ c; α = β = γ = 90° 4 001Hexagonal a = b ≠ c; α = β = 90°,γ =120° 6 001

Cúbico a = b = c; α = β = γ = 90°4 ∗ 33∗ 4

111 1 11 11 1 111

100 010 001


Simetría puntual compatible con los 7 SC, 3D

€

SistemaCentro Simétricos

G.LaueEnantiomorfos Polares

Triclínico 1 1 1Monoclínico 2 /m 2 2,mOrtorrombico mmm 222 mm2

Trigonal 3 ;3 m 3,32 3,3mTetragonal 4 /m;4 /mmm 4,422 4,4mmHexagonal 6 /m;6 /mmm 6,622 6,6mm

Cúbico m3;m3m 23,432


14 Redes de Bravais, 3D

Se generan las redes 3D, primitivas, por apilamiento de las 2D.

€

ρ = p a + q

b + z; ∀p,q∈ R{ };0 ≤ p,q ≤1( )

a

bγ

a

bγ

a

bγ

γa b γa

ba ≠ b; γ ≠ 90ºRed Oblicua

a ≠ b; γ = 90ºRed Rectangular

a = b; γ = 90ºRed Cuadrada

a = b; γ≠60º, 90º, 120ºRed Rómbica

a = b; γ = 60º ó 120ºRed Hexagonal



€

Oblicúa ρ = p a + q

b + z

Triclínico :P

€

Rectangular P ρ = p a + 0

b + z

Monoclínico :P

€

Rectangular C ρ = p a + 0

b + z

Monoclínico :C



€

Rectangular P ρ = 0 a + 0

b + z

Ortorrómbico :P

€

Rectangular C ρ = 0 a + 0

b + z

Ortorrómbico :C

€

Rectangular P ρ = 0.5 a + 0.5

b + z

Ortorrómbico : I

€

Rectangular C ρ = 0.5 a + 0

b + z

Ortorrómbico :F



€

Cuadrada P ρ = 0 a + 0

b + z

Tetragonal :P

€

Cuadrada P ρ = 0.5 a + 0.5

b + z

Tetragonal : I



€

Hexagonal P ρ = 0 a + 0

b + z

Hexagonal :P

€

Hexagonal P ρ =

13 a + 1

3 b + z

Trigonal ó Romboedrica : R



€

Cuadrada P ρ = 0 a + 0

b + a

Cúbico :P

€

Cuadrado P ρ = 0 a + 0.5

b + a

2Cúbico :F

€

Cuadrada P ρ = 0.5 a + 0.5

b + a

2Cúbico : I



El apilamiento de redes bidimensionles h a c i e n d o c o i n c i d i r e l e m e n t o s d e simetría, dan lugar a 14 redes de Bravais t o d a s e l l a s P R I M I T I VA S c o n parámetros a1, a2 y a3.

Ahora bien, si consideramos como sistemas referenciales las direcciones reticulares de máxima simetría, A1, A2 y A3, surgen 14 celdas de Bravais algunas PRIMITIVAS y otras MULTIPLES, p e ro a g r u p a d a s e n 7 s i s t e m a s d e re f e re n c i a q u e s o n l os 7 S i s te m a s Cristalinos.


14 Celdas de Bravais, 3D

P, Triclínicoa≠b≠c;

α≠β≠γ≠90º

P, Monoclínicoa≠b≠c;

α=β= 90º≠γ

C, Monoclínicoa≠b≠c;

α=β= 90º≠γ

P, Ortorrómbicoa≠b≠c;

α=β= γ=90ºC, Ortorrómbico

a≠b≠c;α=β= γ=90º

I, Ortorrómbicoa≠b≠c;

α=β= γ=90ºF, Ortorrómbico

a≠b≠c;α=β= γ=90º



R, Trigonala=b=c;

α≠β≠γ≠90º

P, Tetragonala=b≠c;

α=β=γ=90º

I, Tetragonala=b≠c;

α=β=γ=90º

H, Hexagonala=b≠c;

α=β=90º γ=120ºC, Cúbico

a=b=c;α=β= γ=90º

I, Cúbicoa=b=c;

α=β= γ=90ºF, Cúbico

a=b=c;α=β= γ=90º


Ejes helicoidales: np

€

T = u a + v

b + w c ;(u,v,w ∈ {Z})

Ejes helicoidales : np = n ∗ τ τ =

pn

; τ = n ∗ a ; τ < a ⇔ p < n T = n τ T = u a = n τ ⇔ u a = np a ⇒ u = np⇒ p =

un

Si p <1 y u,n ∈ {Z}⇒ p 1,2,3.....,n −1.{ }



€

n u p =un τ = p a np

2 1 12

12 a 21

3 1 13

13 a 31

2 23

23 a 32

4 1 14

14 a 41

2 24

24 a 42

3 34

34 a 43

6 1 16

16 a 61

2 26

26 a 62

3 36

36 a 63

4 46

46 a 64

5 56

56 a 65


Planos de deslizamiento: a, b, c, n, d


230 Grupos de Simetría Espacial (GSE)



€

Sistema Monoclínico : P, C.

GSP : 2m

P2 /m P21 /m P2 /c P21 /cC2 /m C2 /c

Sistema Tetragonal : P, I.GSP : 4 2mP4 2m P4 21m P4 2c P4 21c P4 m2 P4 b2 P4 c2 P4 n2I4 2m I4 2d I4 m2 I4 c2


Tablas Internacionales de DRX


Simetría Cristalina

E. Monodimensional

E. Bidimensional

E. TridimensionalCRISTAL

RED + MOTIVO ESTRUCTURA CRISTALINA=

32 GSP

10 GSP 17 GSE

14 Redes de Bravais 230 GSE

5 Redes Planas

7 GSE


Elementos de Simetría

G.T. G.t.f.G.R.

E.S.P. E.S.I. E.S.t

32 GSP 230 GSE

14 Redesde Bravais

7 SistemasCristalinos

66 GParitméticos

α,β,γ

Parametrosde Red

a,b,c

Ángel Carmelo Prieto Colorado

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