FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS

DEPARTAMENTO DE FISICA TEORICA I

Trabajo Academicamente Dirigido:

Ruptura de simetrıa electrodebil en el LHC:

Scattering de bosones electrodebiles longitudinales en el lımite de

Gran N

John Vo MedinaLicenciatura en Ciencias Fısicas

Dirigido por:Dr. Antonio Dobado Gonzalez

Indice

1. Motivacion 11.1. Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Introduccion 42.1. Brevısima revision del Modelo Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Sector de Ruptura de Simetrıa 73.1. Mecanismo de Higgs en el MSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Generalizacion al coset O(N + 1)/O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1. Representacion en dobletes y cuadrupletes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Scattering de PSB y Bosones gauge electrodebiles longitudinalmente polari-zados 184.1. Cinematica del Centro de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. W+

LW−L → ZLZL a nivel arbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. π+π− → π0π0 a nivel arbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Paso al lımite de gran N 285.1. La masa del Higgs y su anchura espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Scattering de bosones gauge en el lımite de gran N y el Teorema de Equiva-lencia 34

7. Conclusiones 37

1. Motivacion

1.1. Generica

En los ultimos anos, el mayor esfuerzo por parte de los fısicos teoricos ha sido el de resolverel misterio del origen de la masa de la materia, tal y como la conocemos.

Es por esto por lo que el misterio de la ruptura de simetrıa espontanea ha queridoser desvelado, y mas ahora con el surgimiento de los ultimos aceleradores capaces de realizarexperimentos que sean capaces de corroborar o desbancar modelos aspirantes a explicar dichofenomeno.

Desde un punto de vista teorico, el problema tiene una posible solucion desde 1964. PeterHiggs, entre otros, propusieron lo que se conoce como Mecanismo de Higgs, cuya ventajaes la de introducir el menor numero de nuevas partıculas al zoo que representaba el ModeloEstandar (SM). El Modelo Estandar junto a este mecanismo se conoce como Modelo EstandarMınimo (MSM), por razones obvias. Este mecanismo introduce un campo de Higgs, cuya rea-lizacion fısica detectable es un nuevo boson homonimo, el cual permite el surgimiento explıcitode las masas de los bosones gauge electrodebiles W± y Z0, aunque tambien permite explicarla dotacion de masa de los fermiones, mediante los acoplamientos de estos al campo de Higgs,llamados comunmente acoplamientos de Yukawa. El unico pero del mecanismo es que nopredice numericamente la masa del boson de Higgs, MH .

Desde un punto de vista experimental, estamos totalmente inmersos en la era de la fısica departıculas. Con la nueva construccion y puesta en marcha del Gran Colisionador de Hadrones(LHC) en el CERN, acelerador de forma muy aproximada a circular, esta trabajando actual-mente en la escala Tera, y por tanto debe ser capaz de desentranar la naturaleza del fenomeno.De hecho, los ultimos resultados proporcionados por los experimentos ATLAS y CMS dictami-nan que han encontrado una nueva partıcula de naturaleza bosonica con una masa de 125 GeVy con una significancia estadıstica de 5σ, donde σ es la desviacion estandar de los resultados.

No acaba el misterio ahı, ya que el descubrimiento de esa nueva partıcula bosonica noimplica que sea la del SMS. Por consiguiente, la acumulacion de datos y sus posterior analisisson imprescindibles para determinar con precision sus propiedades, y determinar si se trata delboson de Higgs del SM, u otros posibles candidatos que podemos encontrar en [20], [21] y [25].

1.2. Especıfica

Supongamos por un momento que el SM es una teorıa efectiva, y que por tanto solamentees parte de una teorıa mayor, mas alla del SM. Si esto fuera cierto, debe haber una escalaasociada Λ a partir de la cual aparece una nueva fısica. El uso de argumentos de ındole teoricacomo unitariedad, trivialidad o estabilidad del vacıo, pueden dar algunas pistas sobrecotas a los valores, tanto de la masa desconocida del Higgs, MH ; como de la escala Λ a partirde la cual aparece nueva fısica; es decir, el punto en el que el SM empieza a carecer de sentidodebido, ya que entrarıamos en el terreno de un nuevo modelo mucho mas generico.

La cota superior para la masa del Higgs se puede obtener por consideraciones de trivialidad

1

en el sector de Higgs. Cuando la constante de acoplamiento cuartica, λ, en el sector escalar delpotencial de Higgs se renormaliza introduciendo un cut-off Λ; dicha constante de acoplamientova a cero cuando Λ va a infinito, implicando que MH va a cero tambien. No es el caso del SM, yaque precisa de una partıcula escalar masiva a bajas energıas para dar cuenta de los resultadosexperimentales, con lo cual el SM puede ser considerado una teorıa efectiva por debajo de unacierta escala de energıa [23]. Si conocieramos dicha escala serıamos capaces de predecir la masadel Higgs. Es mas, si el SM tuviera un Higgs con una masa del orden de 1 TeV, entonces elsector escalar serıa fuertemente interactivo y la teorıa que habrıa debajo de todo esto serıa noperturbativa.

Si el sector de Higgs fuera fuertemente interactivo, entonces las amplitudes de scattering anivel arbol violarıan unitariedad, con lo cual parece claro que una dinamica de mayor comple-jidad emergerıa.

Desde una optica practica, el terreno de juego natural para probar este tipo de dinami-ca es el scattering de bosones gauge electrodebiles. Como es sabido, las componenteslongitudinales de los bosones gauge electrodebiles W± y Z0 estan relacionados con los trespseudo-bosones de Goldstone (PBG) mediante el Teorema de Equivalencia, que vienea decir que a altas energıas (E >> MW ,MZ) los elementos de la matriz S del scattering de lascomponentes longitudinales de los bosones de gauge son los mismos (salvo terminos O(m/E),donde m = MZ ,MW ) que los que proporcionan sus correspondientes PSB. Es un teorema muyutil, ya que es mucho mas facil trabajar con PSB que con los bosones de gauge. Con la ayudade este teorema a orden mas bajo en las constantes de acoplamiento g y g′ del grupo de simetrıaSU(2)L × U(1)Y , seremos capaces de reducir el estudio de la dinamica de bosones de gaugelongitudinalmente polarizados.

Debido a que en el regimen de interaccion fuerte (λ grande) la teorıa de perturbacionesno sirve, se han tenido que desarrollar tecnicas alternativas no perturbativas; como pueden serel metodo N/D o los aproximantes de Pade, aunque otra alternativa a estos ultimos esel Lımite de gran N. La idea principal es la de extender el patron de ruptura de simetrıaO(4)/O(3) del modelo sigma lineal a O(N +1)/O(N). Una vez hecho esto, las amplitudes seobtienen a orden mas bajo en el parametro 1/N . Lo importante es que de esta forma simple deproceder es posible estudiar algunas propiedades de la dinamica del Higss, que de otras manerasno podrıan ser reproducidas.

Mas concretamente, las amplitudes del scattering elastico de PSB son unitarias (salvo co-rrecciones O(1/N2)) y satisfacen los teoremas de baja energıa de Weinberg, que provienende la simetrıa O(N).

Pretendemos aplicar la metodologıa del lımite de gran N a un modelo sigma lineal O(N +1)/O(N) que ha sido reparametrizado con la simetrıa SU(2)L × U(1)Y del SM. El objetivo deesta generalizacion es doble:

1. Podremos calcular las amplitudes del scattering elastico de las componentes longitudi-nales de los bosones gauge electrodebiles sin usar el teorema de equivalencia, lo cual esimportante ya que va a permitirnos aplicar nuestros resultados a bajas energıas tambien.Con todo, tambien mostraremos como el teorema de equivalencia funciona bastante bien

2

en el lımite de gran N , y podremos usarlo como comprobacion de que nuestros calculosson los acertados a altas energıas.

2. Seremos capaces de incluir las correcciones a orden g y g′, simplemente reparametrizandoel modelo sigma lineal; al mismo tiempo que salvaguardamos las ventajas del lımite agran N estandar. Mostraremos lo relativamente facil que resulta implementar esta apro-ximacion, ya que es lo apropiado para describir la fenomenologıa del Higgs en el LHC.

3

2. Introduccion

El Modelo Estandar (SM) es la teorıa fısica que refleja nuestro conocimiento profundo sobrela estructura de la materia, dando cuenta de las partıculas elementales, cuando en un prin-cipio no se creıa que hubiera ninguna estructura por debajo del proton o el neutron. Pese a seruna rama de la fısica relativamente nueva, incluso dentro de la Fısica Moderna, ha demostradoser una de las ramas con mas poder de prediccion de la fısica, ası como de concordancia entreprediccion teorica y resultado experimental.

No cabe decir que la fısica de partıculas; y en concreto el SM, ha sido una hazana conseguidasiempre a caballo entre la teorıa y el experimento. Si bien la primera planteaba modelos queluego los experimentos corroboraban o desmentıan, el segundo planteaba hallazgos y resultadosque la teorıa tenıa que enmarcar en sus modelos. Remarcados son los ultimos hallazgos experi-mentales, no predichos con anterioridad por los modelos teoricos, como puede ser la oscilacionde neutrinos.

2.1. Brevısima revision del Modelo Estandar

El Modelo Estandar es el marco que aloja la explicacion sobre 3 de las 4 interaccionesfundamentales que se manifiestan en la naturaleza. Puesto que vamos a jugar dentro del mun-do microscopico, la Mecanica Cuantica va a estar jugando un papel decisivo; ası como laRelatividad Especial, ya que las partıculas elementales son objetos cuya velocidad va a serrelativista. Por todo lo anterior, el terreno de juego natural es lo que se conoce por TeorıaCuantica de Campos, que combina los dos grandes pilares de la fısica moderna, dotando delrigor matematico que una teorıa fısica aspira a tener.

Como hemos comentado anteriormente, el SM es el marco teorico que abarca la interaccionfuerte, interaccion debil y la electromagnetica; quedando la interaccion gravitatoriafuera de este marco, ya que de momento la Relatividad General da perfecta explicacion delos fenomenos que inmiscuyen a la gravedad; pese a que hay multiples intentos por cuantizarlay poderla acomodar junto el resto de interacciones. No sobra decir que ninguno de ellos haconseguido nada consistente en los ultimos anos.

En el SM podemos diferenciar varias partes:

La interaccion electromagnetica viene descrita por la Electrodinamica Cuantica (QED),que viene a generalizar la teorıa clasica del electromagnetismo de Maxwell a una teorıacuantica de campos, con todo lo que eso conlleva. Algo como el concepto de invarianciagauge ha demostrado ser un ingrediente clave en la teorıa cuantica.

La interaccion debil, que sera unificada con la electromagnetica en el Modelo Elec-trodebil por Glashow, Salam y Weinberg; da cuenta de la desintegracion β que sufreel neutron o los fenomenos de radioactividad de muchos elementos. En el SM viene ca-racterizada por una simetrıa gauge del tipo SU(2) × U(1). Dicha simetrıa electrodebilacabara rompiendose espontaneamente, y las dos interacciones acabaran siendo muy di-ferentes a bajas energıas.

4

La interaccion fuerte viene descrita por la Cromodinamica Cuantica (QCD), querelaciona a los quarks y gluones interaccionando, mediante el intercambio de algo deno-minado carga de color. La teorıa goza de una simetrıa gauge del tipo SU(3). Partıculas queinteraccionan fuertemente, como pueden ser el proton, el neutron o el pion; apareceranen el espectro de la teorıa como estados ligados. QCD provee de una base tanto parael modelo de quarks de los Hadrones, como para el modelo de Partones.

Puesto que el lector estara familiarizado con el SM, simplemente vamos a hacer un escuetorepaso sobre algunas cuestiones de conceptos y notacion, con respecto a lo que nosotros nos vaa interesar para el desarrollo de este trabajo:

Recordemos que el grupo de simetrıa del sector electrodebil es del tipo SU(2)L × U(1)Y ;y en concreto la parte SU(2)L se denomina grupo de isospin debil, asociado a los numeroscuanticos T y T 3. De esta manera, los campos levogiros (left-handed) tienen isospin T = 1

2; y

se ordenan formando dobletes, ya que se comportan como tales bajo la accion de elementos delgrupo SU(2):

(νee

)L

(ud

)L

(νµµ

)L

(cs

)L

(νττ

)L

(tb

)L

y se transforman bajo elementos del grupo SU(2) del tipo U = eiαaτa , con a = 1, 2, 3; y τa son

las llamadas Matrices de Pauli.

Por otra parte, los campos dextrogiros (right-handed) tienen isospin debil T = 0; es decir,son invariantes bajo elementos del grupo SU(2), y en consecuencia vendran representados porsingletes :

eR, uR, dR µR, cR, sR τR, tR, bR

donde cabe notar que en el Modelo Estandar Mınimo (MSM) no se consideran los neutrinosdextrogiros, ya que se consideran explıcitamente con masa nula; y aunque se sepa actualmenteque tienen una masa distinta de cero por las evidencias experimentales de las oscilaciones deneutrinos; debido a que su masa es ınfima sigue siendo una buena aproximacion.

Por lo que concierne al otro grupo involucrado, U(1), su accion sobre dobletes o singletes no

es mas que la de multiplicar por una fase eiαY2 , donde Y es la denominada hipercarga debil.

Ası, la carga electrica de una partıcula viene determinada por la relacion de Gell-Mann-Nishijima

Q = T 3 +Y

2

Por todo lo anterior vienen los subındices L e Y de la notacion del grupo de simetrıa gaugedel sector electrodebil.

El grupo gauge electromagnetico U(1)em surge como un subgrupo de SU(2)×U(1)Y al ocurrirel fenomeno de ruptura espontanea de simetrıa, ya que el lagrangiano es invariante bajoel grupo de simetrıa SU(2)×U(1)Y y el estado de vacıo no, siendo el unico grupo bajo el

5

cual el vacıo es invariante, el subgrupo U(1)em. Se obtiene combinando adecuadamente unatransformacion de hipercarga y una transformacion de isospin debil de la siguiente forma paradobletes:

eiατ3

eiαY2 =

(eiα/2 0

0 e−iα/2

)eiα

Y2

que junto a la relacion de Gell-Mann-Nishijima, da un factor de fase eiαQ para cada compo-nente del doblete. Para singletes, simplemente tenemos que eiαQ = eiαY/2, y ası podemos haceruna asignacion de numeros cuanticos, que podemos encontrar en cualquier libro sobre SM opartıculas elementales.

De esta manera podemos decir que la estructura descrita puede ser alojada en una teorıade campos con invariancia gauge de las interacciones debil y electromagnetica unificadas, inter-pretando SU(2)×U(1)Y como el grupo de transformaciones gauge bajo el cual el lagrangianopermanece invariante. Esta simetrıa debe romperse a la simetrıa electromagnetica, ya que elfoton no tiene masa; mientras que los bosones gauge W± y Z0 tienen masas no nulas. Esteproceso de ruptura de simetrıa se consigue, en el MSM, con el denominado Mecanismo deHiggs, y aporta el mınimo contenido en partıculas nuevas al SM. Bautizado como campode Higgs, cuya representacion en el mundo fısico es el boson de Higgs, experimentalmentepodrıa haberse encontrado segun los ultimos datos aportados por los experimentos ATLAS yCMS del LHC en el CERN.

6

3. Sector de Ruptura de Simetrıa

El campo de Higgs del MSM es un doblete bajo SU(2)L. Sabiendo que el lagrangiano delmodelo electrodebil consiste en una suma de terminos apodados gauge, fermionico, Higgsy Yukawa de tal forma que:

LEW = Lg + Lf + LH + LYEn lo que a este trabajo respecta, nos va a interesar el sector de Higgs, que dicho sea de

paso, es el sector mas desconocido del SM.

Debido a la ruptura de simetrıa espontanea en el sector de Higgs, los bosones electrodebilesW y Z adquieren masa, ası como el resto de fermiones a traves de interacciones con el campo deHiggs. Ya que la simetrıa gauge, aunque oculta, aun se preserva; la teorıa de las interaccioneselectrodebiles es renormalizable.

En el SM, como ya hemos mencionado, se introduce un doblete de isospin debil que conduce ala existencia de una partıcula elemental, el boson de Higgs, tras el proceso de ruptura espontaneade la simetrıa electrodebil. El acoplamiento del boson de Higgs a los bosones gauge electrodebilesy a los fermiones hace que estos adquieran masa. El unico parametro desconocido del boson deHiggs es su masa, MH . Una vez conocida, todas sus propiedades de produccion y decaimientosestan fijados. La busqueda del boson de Higgs y el estudio de sus propiedades es una tareacrucial llevada a cabo en la actualidad y permitira resolver la ultima pieza del puzle de lamateria, que no es mas que el SM.

3.1. Mecanismo de Higgs en el MSM

Vamos a resumir muy brevemente como se produce el proceso de ruptura espontanea de lasimetrıa electrodebil mediante el mecanismo de Higgs [12],[13] y [15] :

En primer lugar, cabe mencionar que el sector del Higgs del SM consiste en un doblete deisospin con campos escalares complejos, ası:

Φ(x) =

(φ+(x)φ0(x)

)Este doblete tiene hipercarga Y = 1 segun nuestra relacion de Gell-Mann-Nishijima, ademas

de poder decir que φ+ tiene carga +1, y φ0 es electricamente neutro.

Optamos por la siguiente prescripcion para la derivada covariante:

Dµ = ∂µ − igτa

2W aµ + ig′

I2Bµ

con lo cual el termino Higgs del lagrangiano sera el siguiente:

LH = (DµΦ)†(DµΦ)− V (Φ)

donde la forma explıcita del potencial es:

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V (Φ) = −µ2Φ†Φ +λ

4(Φ†Φ)2 =

λ

4

(Φ†Φ− 2µ2

λ

)2

− µ4

λ

donde el ultimo termino no es mas que una constante, que podremos desechar en siguientesconsideraciones.

En el vacıo; es decir, en el estado fundamental de la teorıa, la energıa potencial del campodebe ser mınima. Para µ2 y λ positivos, el potencial V (Φ) tiene forma de sombrero de mexicano:

y tiene su mınimo para cualquier configuracion del campo que cumpla Φ†Φ = 2µ2/λ. Entretodas esas configuraciones, elegimos la que tiene el siguiente valor esperado del vacıo (VEV):

〈Φ〉 =1√2

(0ν

)con ν =

2µ√λ

Como se puede comprobar a simple vista, dicha configuracion no es invariante bajo transfor-maciones del tipo U = eiα

aτa/2 o una multiplicacion de fase eiαY , con lo cual al no tener el vacıola misma simetrıa que el lagrangiano, la simetrıa original del lagrangiano, SU(2)L×U(1)Y se haroto espontaneamente. Sin embargo, como la componente cargada 〈φ+〉 = 0 y la componenteneutra 〈φ0〉 = ν/

√2 sı que son invariantes bajo una transformacion del grupo electromagnetico,

U(1)em; esta ultima simetrıa sı que se preserva.

El estado de vacıo es un estado que no contiene partıculas, y las excitaciones de las partıculaspueden contemplarse simplemente como desviaciones del campo de su correspondiente VEV.Para verlo mejor, podemos escribir nuestro doblete de Higgs como:

Φ(x) =1√2

(φ1(x) + iφ2(x)

ν +H(x) + iχ(x)

)donde los campos H, χ, φ1, φ2 ∈ R; y tienen todos VEV nulos. Ası, el potencial de Higgs se

lee:

V = µ2H2 +µ2

νH(H2 + χ2 + φ2

1 + φ22) +

µ2

4ν2(H2 + χ2 + φ2

1 + φ22)

2

que si uno desarrolla, encuentra que el campo H describe una partıcula escalar compleja, elboson de Higgs, con una masa:

8

MH =√

2µ (1)

pero, sin embargo, no aparecen terminos de masa para los campos χ, φ1 y φ2. Podemosinterpretar los valores de estos como pequenas perturbaciones en las direcciones en el espaciodel campo, en la posicion donde V (Φ) tiene su mınimo.

Lo ultimo que hemos mencionado esta en perfecta concordancia con lo que dictamina elTeorema de Goldstone [11] y [14], que dictamina que por cada generador del grupo de unasimetrıa continua que se rompe1 espontaneamente, aparece una partıcula escalar con masa nu-la, denominada boson de Goldstone. En el caso de una simetrıa gauge local, estos campospueden ser eliminados del lagrangiano mediante una reparametrizacion adecuada; lo cual puedetraducirse como que no describen grados de libertad fısicos, si no puramente matematicos [16],[17]

En efecto, si realizamos una transformacion de SU(2)L al campo de Higgs, podemos llevarloa la forma:

Φ(x) =1√2

(0

ν +H(x)

)donde vemos que solo esta involucrado el campo de Higgs, H. En el gauge adecuado, llamado

gauge unitario, el potencial de Higgs es:

V =M2

H

2H2 +

M2H

2νH3 +

M2H

8ν2H4

donde podemos ver que las autointeracciones cubicas y cuarticas del campo de Higgsson proporcionales a M2

H con un ν dado.

Si metemos el doblete Φ(x) en funcion de H, χ, φ1 y φ2 en el termino cinetico LH , losacoplamientos del Higgs a los campos gauge se pueden obtener, al igual que los terminos demasa de los bosones vectoriales en una forma no diagonal:

1

2

(νg2

2

)2 (W 1µW

1,µ +W 2µW

2,µ)

+1

2

(ν

1

2

)2 (W 3µ , Bµ

)( g2 g′gg′g g′2

)(W 3,µ

Bµ

)pero estos no son los campos que se detectan en el mundo fısico real, con lo cual podemos

pasar de estos campos a los campos vectoriales reales de la siguiente forma:

W±µ =

1√2

(W 1µ ∓ iW 2

µ

)(ZµAµ

)=

(cos θw sin θw− sin θw cos θw

)(W 3µ

Bµ

)=

1√g2 + g′2

(gW 3

µ + g′Bµ

−g′W 3µ + gBµ

)ya que θw es el denominado angulo de mezcla debil (o angulo de Weinberg), con las

siguientes definiciones:

1que no deja invariante al vacıo

9

cos θw =g√

g2 + g′2sin θw =

g′√g2 + g′2

tan θw =g′

g

con lo cual, en funcion de estos campos fısicos reales y detectables, los terminos de masaya salen diagonales y tienen la siguiente forma:

M2W±W

+µ W

−µ +

1

2(Zµ, Aµ)

(M2

Z 00 0

)(Zµ

Aµ

)= M2

W±W+µ W

−µ +

1

2M2

ZZµZµ (2)

donde las masas son:

MW± =1

2gν MZ =

√g′2 + g2

2ν MA = 0 (3)

como era de esperar, ya que el campo Aµ no tiene masa, lo cual puede identificarse como elboson de gauge de la simetrıa U(1)em; es decir, con el foton.

Para resumir, podemos decir que hemos partido de 4 bosones de gauge W 1µ ,W

2µ ,Wmu

3 y Bµ

sin masa, y hemos acabado con 3 bosones de guage vectoriales con masa, Wmu± y Zµ, ya que

Aµ permanece sin masa. Podrıamos ver el proceso como que los campos gauge se han comidoa los bosones de Goldstone para adquirir masa. Los grados de libertad escalares han pasado aconvertirse en las polarizaciones longitudinales de los bosones vectoriales con masa.

3.2. Generalizacion al coset O(N + 1)/O(N)

Como ya hemos contado, la descripcion mas popular del sector de ruptura de simetrıa (SBS)del SM viene dada por el Modelo Estandar Mınimo (MSM), que no es mas que un modelo sigmalineal reparametrizado a SU(2)L×U(1)Y . De hecho, el sector oculto exhibe una simetrıa globalSU(2)L × SU(2)R que se rompe espontaneamente al subgrupo SU(2)L+R, denominada en laliteratura como simetrıa custodia [22]

Este mecanismo es responsable de la ruptura espontanea de las simetrıas gauge del mode-lo completo. En este esquema, tenems 3 PSB, los cuales proporcionaran masa a los bosonesW±, Z0 mediante el mecanismo de Higgs. Estos PSB parametrizan el espacio generado por los3 generadores rotos; a saber, el coset

SU(2)L × SU(2)RSU(2)L+R

' O(4)

O(3)(4)

3.2.1. Representacion en dobletes y cuadrupletes

Haremos los calculos con una simetrıa O(4)/O(3), pero veremos como es muy facil genera-lizarlo al coset O(N + 1)/O(N).

Vamos a utilizar dos modelos. El primero esta en el espacio complejo, y por lo tantovendra dada en una representacion en dobletes. La segunda, en cambio, esta en el espacioreal y por lo tanto vendra dada en una representacion en cuadrupletes, que es la que al final

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nos va a interesar debido a que veremos explıcitamente la simetrıa O(4)/O(3), y su generaliza-cion a O(N + 1)/O(N).

Se puede comprobar que con ambas representaciones se llegan al mismo tipo de vertices.

En la representacion en dobletes tenemos las siguientes definiciones:

Dµ ≡ ∂µ − igτa2W aµ − ig′

I2Bµ

donde las τa son las matrices de Pauli usuales, y los campos complejos vienen determi-nados de la siguiente forma:

Φ ≡ 1√2

(π2 + iπ1σ − iπ3

)=

(π+

π0

)⇒ Φ† ≡ 1√

2(π2 − iπ1, σ + iπ3) =

1√2

(π−, (π0)∗)

siendo πi campos reales. En este caso el lagrangiano correspondiente al sector de rupturade simetrıa no es mas que:

L = (DµΦ)†(DµΦ)− V (Φ)

Por otra parte, en la representacion en cuadrupletes, tenemos:

L =1

2(Dµξ)

†(Dµξ)− V (ξ)

donde ahora los campos vienen dados en una notacion de cuadrupletes

ξ =

π1π2π3σ

=

(~πσ

)⇒ ξT = (π1, π2, π3, σ) = (~π, σ)

donde ~π = (π1, π2, π3) son los PSB.

En este caso, debemos sustituir las matrices de Pauli y I, que son los generadores de SU(2)y U(1), por los generadores correspondientes en el espacio O(4), que van a ser, respectivamente:

T aL =i

2Ma

L TY = − i2MY a = 1, 2, 3 (5)

donde la forma explıcita de las matrices es:

M1L =

0 0 0 −10 0 −1 00 +1 0 0

+1 0 0 0

M2L =

0 0 +1 00 0 0 −1−1 0 0 00 +1 0 0

M3L =

0 −1 0 0

+1 0 0 00 0 0 −10 0 +1 0

MY =

0 +1 0 0−1 0 0 00 0 0 −10 0 +1 0

11

que puede comprobarse que cumplen las siguientes propiedades:

(MaL)T = −Ma

L (MY )T = −MY

(MaL)TMa

L = I4×4 (MY )TMY = I4×4(Ma

L)2 = −I4×4 (MY )2 = −I4×4y ademas tambien puede comprobarse que se satisfacen las reglas de conmutacion del Alge-

bra de Lie de los generadores de SU(2)L:

[Mi,Mj] = 2εijkMk ⇒ [Ti, Tj] = iεijkTk

y tambien [ML

i ,MY

]= 0

con lo cual, partiendo de una definicion de derivada covariante en SU(2)L×U(1)Y llegamosa la correspondiente en O(4):

Dµ ≡ ∂µ − igT aLW aµ − ig′TYBµ ⇒ Dµ = ∂µ +

g

2Ma

LWaµ −

g′

2MYBµ

con lo cual tendremos

(Dµ)T = (∂µ)T − g

2Ma

LWaµ +

g′

2MYBµ

y si lo aplicamos al cuadruplete real, tenemos lo siguiente:

Dµξ = ∂µξ + W µξ − Y µξ (6)

(Dµξ)T = (∂µξ)

T − ξT Wµ + ξT Yµ

donde hemos hecho las siguientes definiciones para ahorrar escritura y posibles equivocacio-nes:

Wµ =g

2Ma

LWaµ Yµ =

g′

2MYBµ (7)

con lo cual al querer calcular la dinamica del campo ξ, tenemos:

1

2(Dµξ)

T (Dµξ) =1

2(∂µξ)

T (∂µξ) +1

2(∂µξ)

T(W µ − Y µ

)ξ+

+1

2ξT(Yµ − Wµ

)(∂µξ) +

1

2ξT(Yµ − Wµ

)(W µ − Y µ

)ξ

donde los sumandos segundo y tercero van a dar terminos en el lagrangiano proporcionalesa ∂µπaW

µ, mezclando bosones gauge con PSB, que pueden ser eliminados por una reparame-trizacion adecuada. Con todo, no los vamos a explicitar en futuras ecuaciones porque no soninteresantes para nuestro cometido.

Sı vamos a explicitar los otros, porque son los que nos van a proporcionar los terminos delos cuales vamos a extraer las reglas de Feynman correspondientes.

El primer termino, que es el termino cinetico, queda ası:

12

1

2(∂µξ)

T (∂µξ) =1

2(∂µ~π)T (∂µ~π) +

1

2∂µσ∂

µσ (8)

El ultimo termino (que no incluye derivadas) es bastante mas laborioso y conviene hacerunos calculos previos:(

Yµ − Wµ

)(W µ − Y µ

)= YµW

µ + WµYµ − YµY µ − WµW

µ

con lo cual es aconsejable calcular previamente

YµWµ =

gg′

4MYM

aLW

µa Bµ

WµYµ =

gg′

4ML

aMYWaµB

µ

YµYµ = −g

′2

4I4×4BµB

µ

WµWµ = −g

2

4I4×4

(W aµW

µa

)y entonces es facil (teniendo en cuenta que

[ML

a ,MY

]= 0) comprobar que

YµWµ + WµY

µ =gg′

2MYM

aLW

µa Bµ =

gg′

2Bµ

(W µ

1 MYM1L +W µ

2 MYM2L +W µ

3 MYM3L

)que conviene aplicar sobre un cuadruplete ξ para corroborar que da:

MYM1Lξ =

−π3σ−π1π2

MYM2Lξ =

−σ−π3−π2−π1

MYM3Lξ =

π1π2−π3−σ

y despues de tediosos calculos, se llega a que:

1

2ξT(Yµ − Wµ

)(W µ − Y µ

)ξ =

g′2

8BµB

µ(~π2 + σ2) +g2

8(W a

µWµa )(~π2 + σ2)−

−gg′

2Bµ

[W µ

1 (π1π3 − π2σ) +W µ2 (π1σ + π2π3) +

1

2W µ

3 (−π21 − π2

2 + π23 + σ2)

](9)

Por otra parte, la forma del potencial V (ξ) es:

V (ξ) = −µ2

2ξT ξ +

λ

4(ξT ξ)2 (10)

si buscamos el mınimo de este potencial, tenemos:

dV

d(ξT ξ)= 0⇒ ξt0ξ0 = ν2 =

µ2

λ(= NF 2)

con lo cual, elegimos como los cuadrupletes en el estado de vacıo

13

ξT0 = (0, ν)⇒ ξ0 =

(0ν

)en cambio, en estados generales que no sean el vacıo, tenemos

ξT ξ = ~π2 + σ2 con σ = ν +H ⇒ ξT ξ = ~π2 + ν2 +H2 + 2νH (11)

obtenemos que la parte del lagrangiano correspondiente al potencial de Higgs es:

V (ξ) = λν2H2 + λνH3 +λ

4H4 +

λ

4~π2~π2 +

λ

2H2~π2 + λνH~π2 − λ

4ν2 (12)

donde se ha utilizado la relacion extraıda de la condicion de mınimo:

µ2 = ν2λ

Podemos ver que de la ecuacion (12) se puede leer directamente la masa del Higgs:

MH =√

2λν = µ√

2 (13)

Si volvemos a la ecuacion (9) y la evaluamos en el estado de vacıo, tenemos el siguienteresultado:

1

2ξT0

(Yµ − Wµ

)(W µ − Y µ

)ξ0 = −gg

′

2

(BµW

µ3 ν

2

2

)+g′2

8BµB

µν2 +g2

8(W a

µWµa )ν2

pero si ahora aplicamos las transformaciones que nos pasan de W aµ y Bµ a W±, Z0 y Aµ,

llegamos a que la expresion la podemos poner como:

=g2ν2

4W+µ W

−,µ +(g2 + g′2)ν2

4ZµZ

µ + AµZµ

(g2 − g′2

g2 + g′2

)(14)

de donde podemos leer directamente la masas de los bosones gauge:

MW± =1

2gν MZ =

√g2 + g′2

2ν MA = 0 (15)

donde vemos que concuerdan perfectamente con las de SM.

Volviendo a la ecuacion (9) y haciendo las siguientes sustituciones,

π+ =1√2

(π1 + iπ2) π− =1√2

(π1 − iπ2)

π0 =1√2

(σ − iπ3) (π0)∗ =1√2

(σ + iπ3)

tenemos que se puede escribir como:

= e2π+π−AµAµ +

1

2g2π+π−WµW

−,µ +1

2g2π0(π0)∗W+

µ W−,µ +

g2 + g′2

4π0(π0)∗ZµZ

µ+

14

+eg cos θw(1− tan2 θw)π+π−AµZµ +

1

4g2 cos2 θw(1− tan2 θw)2π+π−ZµZ

µ+

+i√2e(Zµg

′ − Aµg)(π+π0W−

µ − π−(π0)∗W+µ

)(16)

donde se ha usado la convencion tradicional de

e =gg′√g′2 + g2

= g sin θw = g′ cos θw

con lo cual, eventualmente tenemos que el lagrangiano inicial es:

L = (8) + (16)− (12) + (Terminos de mezcla) (17)

donde se hace referencia a las ecuaciones, y ya hemos comentado que los terminos de mezclano los ıbamos a explicitar porque no son interesantes en este desarrollo. Obtenido el lagrangianoanterior de forma explıcita, podemos derivar las reglas de Feynman explıcitamente, siendo enlos diagramas la notacion ϕZ = π0, ϕ+ = π+ y ϕ− = π−

15

16

Aunque no vamos a necesitar todos estos vertices para estudiar el proceso π+π− → π0π0,pero sı vamos a tener que anadir otros para el estudio de W+

LW−L → ZLZL. Podemos encontrar

estos diagramas en la referencia [9]

17

4. Scattering de PSB y Bosones gauge electrodebiles

longitudinalmente polarizados

4.1. Cinematica del Centro de Masas

Tenemos, en resumidas cuentas, el siguiente proceso:

Lo primero que vamos a tomar es un sistema de coordenadas esfericas en el que el ejez este alineado con la direccion de impacto de los bosones gauge iniciales [10]:

puesto que vamos a trabajor en el sistema centro de masas (COM), proponemos que:

~p1 = −~p2 = ~p ~p3 = −~p4 = ~p′ (18)

de igual forma que sabemos que:

m1 = m2 = MW± m3 = m4 = MZ (19)

y tambien √s = 2E con E1 = E2 = E3 = E4 = E (20)

por cinematica relativista, sabemos que (de ahora en adelante vamos a utilizar uni-dades naturales)

18

pµ = (E, ~p)⇒ pµpµ = E2 − ~p2 = m2

ya que es una cantidad invariante Lorentz, con lo cual:

E =√M2

W + ~p2 =

√M2

Z + ~p′2

(21)

y se puede llegar a que:

~p2 =s

4β2W

~p′2

=s

4β2Z (22)

donde

βW =

√1− 4M2

W

sβZ =

√1− 4M2

Z

s(23)

con lo cual ya podemos escribir los cuadrivectores asociados a cada una de las 4 partıculas:

pµ1 = (E, ~p) = (E, 0, 0, p)

pµ2 = (E,−~p) = (E, 0, 0,−p)pµ3 = (E, ~p′) = (E, p′sθcϕ, p

′sθsϕ, p′cθ)

pµ4 = (E,−~p′) = (E,−p′sθcϕ,−p′sθsϕ,−p′cθ)

donde hemos utilizado, por ahorro de escritura, que

sθ = sin θ cθ = cos θ p = |~p|sϕ = sinϕ cϕ = cosϕ p′ = |~p′|

Como los vamos a necesitar para calcular las amplitudes de scattering, vamos a definir losvectores de polarizacion recordando que las posibles polarizaciones las dan λ = 0,±1, y queen nuestro caso solo nos interesan la polarizacion longitudinal, con lo cual

λ = 0 (24)

De forma general, los vectores de polarizacion, εµL(~p), vienen definidos ası:

pµ = (E, ~p) ⇒ εµL(~p) =1

m

(p, E

~p

p

)(25)

donde recordamos que:

p1,µpµ1 = p2,µp

µ2 = M2

W (26)

p3,µpµ3 = p4,µp

µ4 = M2

Z (27)

con lo cual nuestro vectores de polarizacion longitudinales van a ser:

19

εµ1 =1

MW

(p, 0, 0, E)

εµ2 =1

MW

(p, 0, 0,−E)

εµ3 =1

MZ

(p′, Esθcϕ, Esθcϕ, Ecθ)

εµ4 =1

MZ

(p′,−Esθcϕ,−Esθcϕ,−Ecθ)

Ahora calculamos las variables de Mandelstam, que tambien son cantidades invariantesLorentz:

s = (pµ1 + pµ2)2 = (pµ3 + pµ4)2 = 4E2 (28)

t = (pµ1 − pµ3)2 = (pµ2 − p

µ4)2 = M2

W +M2Z −

s

2(1− βWβZ cos θ) (29)

u = (pµ1 − pµ4)2 = (pµ2 − p

µ3)2 = M2

W +M2Z −

s

2(1 + βWβZ cos θ) (30)

donde podemos comprobar que se cumple la famosa ecuacion que relaciona las 3 variablesde Mandelstam con las masas de las partıculas:

s+ t+ u = m21 +m2

2 +m23 +m2

4 = 2M2W + 2M2

Z (31)

obtenidos estos resultados, ya podemos calcular los procesos que pretendemos estudiar:

4.2. W+LW

−L → ZLZL a nivel arbol

Para este proceso tenemos los siguiente diagramas, a nivel arbol:

20

con lo cual tenemos que anadir, a las reglas de Feynman que ya obtuvimos, los propagadoresde H,W+ y π+ y los siguientes vertices; donde cabe notar que hemos elegido el Gauge deLandau, ξ = 0, ya que ası hay muchos diagramas que se cancelan o se suprimen; y simplificamucho los calculos.

21

A la hora de evaluar cada uno de los diagramas, es importante asignar un sen-tido a los vectores momento. En todos los diagramas se han tomado los vectoresmomento de las partıculas iniciales como entrantes, todos los vectores momento delas partıculas finales como salientes; y si hay intercambio de partıculas virtuales,el momento que portan va siempre de las partıculas iniciales a las finales; es decir,de arriba a abajo y/o de izquierda a derecha [7],[5],[2]

Como ninguno de nuestros vectores de polarizacion tiene parte compleja, porahorro de escritura hemos eludido la notacion ∗ para indicar que es el conjugado.

Tenidas en cuenta estas consideraciones, las amplitudes de scattering para los diferentesdiagramas en dicho proceso son:

22

iTa = εµ3

(− ig cos θw

[(−p3 − p1)λgµν + (p1 + k)µgνλ + (−k + p3)νgλµ

])εν1 ·

·(

−ik2 −M2

W

(gλν′ −

kλkν′

k2

))·

εµ′

4

(− ig cos θw

[(−p4−k)λ′gµ′ν′+ (k−p2)µ′gν′λ′+(p2 +p4)ν′gλ′µ′

])ελ′

2 k = p1−p3 = p4−p2(32)

iTb = εµ3

(−igMZ sin2 θwgµν

)εν1 ·

i

k2·εµ′

4

(−igMZ sin2 θwgµ′ν′

)εν′

2 k = p1−p3 = p4−p2 (33)

iTc = −ig2 cos2 θw

[εµ3ε

ν4 [2gαβgµν − gαµgβν − gανgβµ] εα1 ε

β2

](34)

iTd = εµ4

(− ig cos θw

[(−p4 − p1)λgµν + (p1 + k)µgνλ + (−k + p4)νgλµ

])εν1 ·

·(

−ik2 −M2

W

(gλν′ −

kλkν′

k2

))·

εµ′

3

(− ig cos θw

[(−p3−k)λ′gµ′ν′+ (k−p2)µ′gν′λ′+(p2 +p3)ν′gλ′µ′

])ελ′

2 k = p1−p4 = p3−p2(35)

iTe = εµ4

(−igMZ sin2 θwgµν

)εν1 ·

i

k2·εµ′

3

(−igMZ sin2 θwgµ′ν′

)εν′

2 k = p1−p4 = p3−p2 (36)

iTf = εµ′

3

(ig

MZ

cos θwgµ′ν′

)εν′

4 ·i

k2 −M2H

· εµ1(igMWgµν

)εν2 k = p1 + p2 = p3 + p4 (37)

y ahora conviene desarrollar lo anterior para ponerlo proporcional a productos de inva-riantes de Lorentz, dejandolo todo en funcion de productos escalares de cuadrimomentos ycuadrivectores de polarizacion, ası como de variables de Mandelstam:

Ttotal = Ta + Tb + Tc + Td + Te + Tf (38)

Ta =

(g2 cos2 θwt−M2

W

)((ε2ε4)

[(ε1ε3)

[(M2W −M2

z

t

)[p1p2 + p1p4 − p2p3 − p3p4]− [p1p2 + p1p4 + p2p3 + p3p4]

]]+

+2(ε2ε4) [(ε3p1) [ε1p2 + ε1p4] + (ε1p3) [ε3p2 + ε3p4]]−

−2(ε1ε3)

[(M2W −M2

z − tt

)[(ε2p1)(ε4p2) + (ε4p1)(ε2p4)] +

(−M2

W +M2z − t

t

)[(ε2p3)(ε4p2) + (ε4p3)(ε2p4)]

]−

−4(ε4p2) [(ε1ε2)(ε3p1) + (ε1p3)(ε2ε3)]− 4(ε2p4) [(ε1ε4)(ε3p1) + (ε1p3)(ε3ε4)]

)

23

Td =

(g2 cos2 θwu−M2

W

)((ε1ε4)

[(ε2ε3)

[(M2W −M2

z

u

)[p1p2 − p2p4 + p1p3 − p3p4]− [p1p2 + p1p3 + p2p4 + p3p4]

]]+

+2(ε2ε3) [(ε4p1) [ε1p2 + ε1p3] + (ε1p4) [ε4p2 + ε4p3]]−

−2(ε1ε4)

[(M2W −M2

z − uu

)[(ε2p1)(ε3p2) + (ε3p1)(ε2p3)] +

(−M2

W +M2z − u

u

)[(ε2p4)(ε3p2) + (ε2p3)(ε3p4)]

]−

−4(ε3p2) [(ε1ε2)(ε4p1) + (ε1p4)(ε2ε4)]− 4(ε2p3) [(ε1ε3)(ε4p1) + (ε1p4)(ε3ε4)]

)

Tb =−g2M2

z sin4 θwt

[(ε3ε1)(ε4ε2)]

Te =−g2M2

z sin4 θwu

[(ε4ε1)(ε3ε2)]

Tc = −g2 cos2 θw [2(ε3ε4)(ε1ε2)− (ε3ε1)(ε4ε2)− (ε3ε2)(ε4ε1)]

Tf =−g2MzMW

(s−M2H) cos θw

[(ε3ε4)(ε1ε2)]

si ahora particularizamos para nuestro sistema de referencia, que hemos elegido que sea elCOM; entonces las expresiones en concreto de los cuadrimomentos y cuadrivectores son las quehemos puesto anteriormente, y las amplitudes toman las siguiente forma:

Ta =g2 cos2(ω)

t−M2W

[α + β + γ + δ

λ

]

Td = −g2 cos2(ω)

u−M2W

[α + β + γ + δ

µ

]

Tb =−g2 sin4(ω)M2

Z

t

E2

(√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2 − cos(θ)

)MWMZ

2

Te =−g2 sin4(ω)M2

Z

u

E2

(√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2 + cos(θ)

)MWMZ

2

Tc = g2 cos2(ω)E2 [E2(cos(2θ)− 5) + 2(M2

W +M2Z)]

M2WM

2Z

Tf =g2MWMZ

cos(ω)(s−M2H)

(M2W − 2E2)(2E2 −M2

Z)

M2WM

2Z

donde definimos

24

α =

√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2

[cos(θ)

(64E8− 88E6(M2

W +M2Z) + 28E4(M4

Z +M4Z + 68M2

WM2Z))

+

+ cos(3θ)(− 8E6(M2

Z +M2W ) + 4E4(M4

Z +M4W ) + 12M2

WM2ZE

4))]

β = cos(2θ)[− 20E8 + 52E6(M2

Z +M2W )− 32E4(M4

W +M4Z)− 88E4M2

ZM2W+

+4E2(M6Z +M6

W ) + 28E2(M2WM

4Z +M4

WM2Z) + 4M4

WM4Z

]γ = cos(4θ)

[E8 − E6(M2

Z +M2W ) + E4M2

WM2Z

]δ =

[− 45E8 + 77E6(M2

Z +M2W )− 40E4(M4

W +M4Z)− 105E4M2

ZM2W+

+4E2(M6Z +M6

W ) + 36E2(M2WM

4Z +M4

WM2Z)− 4M4

WM4Z

]λ = 2M2

WM2Z

[2E2

(√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2cos(θ)− 1

)+M2

W +M2Z

]

µ = 2M2WM

2Z

[2E2

(√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2cos(θ) + 1

)−M2

W −M2Z

]y las variables de Mandelstam, en el sistema C.M

s = 4E2

t = 2E2

[√1− M2

W

E2

√1− M2

Z

E2cos(θ)− 1

]+M2

W +M2Z

u = 2E2

[−√

1− M2W

E2

√1− M2

Z

E2cos(θ)− 1

]+M2

W +M2Z

Si ahora hacemos los siguientes cambios,

cos(θ)→ x

cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)→ 1− x2

cos(3θ) = cos3(θ)− 3 sin2(θ) cos(θ)→ 4x3 − 3x

cos(4θ) = sin4(θ) + cos4(θ)− 6 sin2(θ) cos2(θ)→ 8x4 − 8x2 + 1

llegamos a que la amplitud de scattering total del proceso es:

Tg′ 6=0 =s

s−M2H

1

D

{4M2

H

ν2(x2 − 1) + 2g2(x2 + 3)−

25

−M2W

E2

[2M2

H

ν2(7x2 − 1) + 4

M2W

ν2(−5x2 + 14

)]−

−M2W

E2

[g′2

g2

(6M2

H

ν2(x2 − 1) + 12

M2W

ν2(x2 + 1)

)+ 4

g′4

g4M2

W

ν2(−2x2 + 1)

]+

+M4

W

E4

[M2

W

ν2

(8(x2 + 3) + 2

g′2

g2(−18x2 + 13)

)+M2

H

ν2

(8(x2 + 1) + 2

g′2

g2(8x2 − 3)

)]+

+M4

W

E4

[M2

W

ν2

(−4

g′4

g4(3x2 − 1) + 2

g′6

g6

)− 2

g′4

g4M2

H

ν2− M2

W

E2

M2H

ν2(8x2 + 4)− M2

W

E2

M2W

ν2(−4x2 + 1)

]+

+M6

W

E6

[M2

W

ν2

(g′2

g2(8x2 − 3) +

g′4

g4(4x2 − 3)− g′6

g6

)+M2

H

ν2

(−g′2

g2+g′4

g4

)]}(39)

donde no aparece explıcitamente la masa MZ , ya que hemos optado por la sustitucion

MZ =MW

cos θw= MW

√g′2 + g2

g

y donde se cumple que:

D =

{4(1−x2)+4

M2W

E2

((2x2 − 1) +

g′2

g2(x2 − 1)

)+M4

W

E4

((−4x2 + 1) + 2

g′2

g2(−2x2 + 1) +

g′4

g4

)}

aunque la forma explıcita de esta amplitud se antoje algo truculenta, sera la idonea paracomprobar el teorema de equivalencia en su momento.

Para realizar el calculo de las amplitudes anteriores nos hemos valido de paqueteespecıfico FeynCalc del programa Wolfram Mathematica 8.0, cuyo manejo vienebrevemente explicado y ejemplificado en la referencia [24], y con mucho mayordetalle en [30]

26

4.3. π+π− → π0π0 a nivel arbol

Una vez calculado el proceso W+LW

−L → ZLZL, estamos listos para calcular el proceso con

los PSB asociados:

y de forma totalmente analoga a la seccion anterior, podemos calcular la amplitud de scat-tering total (aunque ahora los calculos son mucho mas faciles que antes, ya que calcular conbosones escalares es mucho mas facil que calcular con bosones vectoriales).

Recordemos ademas, que en el caso de PSB, se cumple:

p1p1 = p2p2 = p3p3 = p4p4 = 0 ya que Mπ±,π0 = 0 (40)

con lo cual, la amplitud de scattering para el proceso con PSB asociados es:

T =s

s−M2H

1

4(1− x2)− 4M2W

E2 +M4W

E4

·

·[− 4

M2H

ν2(1− x2) + 2g2(3 + x2)− 2

M2H

ν2M2

W

E2(5 + x2) + 12

M2w

E2

M2W

ν2− 4

M2H

ν2M4

w

E4

](41)

27

5. Paso al lımite de gran N

Ahora nos interesa pasar al lımite de gran N debido a que los calculos a nivel arbol noson suficientes para describir de forma fidedigna el comportamiento esperado del Higgs, debidoa que este podrıa ser fuertemente interactivo (para λ grande), y la teorıa de perturbacionesestandar no funciona, siendo este lımite un metodo no perturbativo que podrıa servir paraevitar los problemas citados.

Para pasar al lımite de gran N , puesto que queremos imitar la ruptura de simetrıa globalO(4)/O(3) a una extension O(N+1)/O(N), debemos utilizar una representacion en (N+1)-pletes:

ζT = (π1, π2, . . . , πN , σ) (42)

y la forma del lagrangiano es la misma que en la representacion en cuadrupletes.

Las matrices ML y MY tambien se extienden a dimension O(N + 1), de tal forma que ahorason ([18],[19] y [28])

M1L =

0 0 0 . . . −10 0 −1 . . . 00 +1 0 . . . 0...

......

. . ....

+1 0 0 . . . 0

M2L =

0 0 +1 . . . 00 0 0 . . . −1−1 0 0 . . . 0...

......

. . ....

0 +1 0 . . . 0

M3L =

0 −1 0 . . . 0

+1 0 0 . . . 00 0 0 . . . −1...

......

. . ....

0 0 +1 . . . 0

MY =

0 +1 0 . . . 0−1 0 0 . . . 00 0 0 . . . −1...

......

. . ....

0 0 +1 . . . 0

(43)

y elegimos como estado del vacıo

ζT0 = (0, 0, . . . , 0, ν) ⇔ ζT0 ζ0 = ν2 = NF 2 =µ2

λ(44)

Algo que es importante mencionar es que para obtener las correspondientes reglas de Feyn-man mediante los procedimientos tradicionales, hemos tenido que anadir al lagrangiano doscosas: la eleccion de un gauge, y un termino de Fadeev-Popov, ya que si no la teorıa nose comporta como es requerido al ser cuantizada. Como ya hemos comentado anteriormente,nosotros trabajamos en el gauge de Landau, ya que simplifica muchos calculos al no acoplarsedirectamente los campos fantasma2 con los PSB, lo que deriva en que su propagador no tieneun termino de masa.

5.1. La masa del Higgs y su anchura espectral

Con tal de estudiar las propiedades principales de la resonancia del Higgs en el lımite degran N del modelo que hemos descrito, empezaremos por desconectar las interacciones gauge;

2provinientes del termino de Fadeev-Popov

28

es decir, g = g′ = 0. De esta manera, los unicos campos que tenemos que considerar por ahorason los N PSB πa y el Higgs, H. Debido a la simetrıa superviviente O(N) y a la propiedad desimetrıa de cruce (crossing symmetry), la amplitud de scattering para el proceso πaπb → πcπd

puede escribirse como:

Tabcd(s, t, u) = A(s, t, u)δabδcd + A(t, s, u)δacδbd + A(u, t, s)δadδbc (45)

Las contribuciones a nivel arbol a la funcion A, que denotaremos por A0, las obtenemos delos siguientes diagramas:

donde al primer vertice con un punto rechoncho vamos a llamarlo vertice efectivo. Estonos proporciona:

A0(s) = −2λ(1 +

M2H

s−M2H

)=

s

NF 2

1

1− sM2H

(46)

y como podemos ver por su forma explıcita, unicamente depende de la variable s; que vienea ser, en el fondo, de la energıa.

En el lımite de gran N , los diagramas importantes son los diagramas burbuja, que mos-tramos a continuacion:

Cada uno de los loops contribuye con el mismo factor N , y la suma de todos estos diagra-mas puede contemplarse como una serie geometrica. Vamos a explicar esto con un poco masde detalle.

Puesto que estamos tratando con supuestas masas de Higgs grandes, λ es grande, ya queM2

H = 2λν2. Ya habıamos comentado que en ese caso, los desarrollos con teorıa perturbativaestandar no son aplicables; es decir, no podemos desarrollar en potencias de λ, y por ello esta-mos utilizando el lımite de gran N, que es una tecnica no perturbativa que nos va a permitir

29

desarrollar en potencias de 1/N, ademas de gozar de una mejor convergencia que la expansionen λ.

Si hacemos tender N a ∞, ocurre una catastrofe, ya que la funcion A → ∞ y carece desentido. Para evitar esto, debemos exigir al mismo tiempo que λ→ 0, con tal que Nλ ∼ cte, deforma puramente matematica. Ademas, debemos imponer que ν2 ∝ N , con tal que M2

H ∼ cte,y es por esta razon que tomabamos ν2 = NF 2, con lo cual tenemos:

N →∞ =⇒ λ ∼ 1

NMH ∼ cte ν ∼

√NF F = cte⇒ λν ∼ 1√

N(47)

Por todo lo anterior, hemos buscado diagramas a orden mas bajo de orden 1/N . Por ejem-plo, en los diagramas involucrados en la busqueda de la funcion A a nivel arbol, la contribuciondel primer diagrama es 1/N y la del segundo diagrama es (1/

√N)2.

Veremos mas adelante como cada loop aporta un factor N , pero por contra, cada verticeefectivo aporta un factor 1/N , con lo cual no importa cuantos loops metamos porque por cadanuevo loop que anadamos aparece un nuevo vertice efectivo; con lo cual si tenemos n loops,tendremos n+1 vertices efectivos. Es decir:

n loops + (n+ 1) vertices efectivos ⇒ Nn

(1

N

)n+1

=1

N(48)

con lo cual vemos que podemos sumar infinitos loops, ya que el orden efectivo de cada dia-grama es siempre 1/N .

Al final, la suma de todos los diagramas con una, dos, tres, etc. burbujas puede contemplarse,formalmente, como una serie geometrica I+I2+I3+ . . ., donde I es la integral sobre momentosde una burbuja:

A(s) =s

NF2

1

1− s/M2H

+s

NF2

1

1− s/M2H

(NI(s)

2

)s

NF2

1

1− s/M2H

+s

NF2

1

1− s/M2H

(NI(s)

2

)s

NF2

1

1− s/M2H

(NI(s)

2

)s

NF2

1

1− s/M2H

+. . . =

=∞∑n=0

arn =a

1− r=

s

NF 2

1

1− s/M2H −

I(s)s2F 2

a =s

NF 2r =

I(s)s

2F 2(49)

donde la integral sobre momentos de una burbuja aparece muchas veces en calculos a 1-loop,y puede calcularse mediante la tecnica de regularizacion dimensional (que podemos ver conmas detalle en las referencias [4] y [8]) ya que la integral diverge logarıtmicamente:

iI(k2) =

∫dDq µε

(2π)D1

q2(k − q)2=

i

16π2

[Nε + 2 + log

(µ2

−k2

)](50)

y si tomamos k2 = s, tenemos:

I(s) =1

16π2

[Nε + 2− log

(−sµ2

)](51)

donde de forma usual

Nε =2

ε+ log(4π)− γE (52)

30

y µ es una escala arbitraria de renormalizacion. Ası, en el lımite de gran N , la funcion Adepende unicamente de s; y las divergencias 1/ε que aparecen en I(s) pueden absorberse sidefinimos la masa del Higgs renormalizada, M2

R:

1

M2R

≡ 1

M2H

+Nε + 2

2(16π2)F 2(53)

con lo cual A(s) queda como:

A(s) =s

NF 2

1

1 + sM2R− s

32π2F 2 log(−sµ2

)(54)

donde tomamos la definicion usual

log(−sµ2

)= log

( sµ2

)− iπ (55)

proporcionando explıcitamente la parte compleja a la amplitud de scattering, necesaria paraque se cumpla el Teorema Optico.

En esta aproximacion, el unico parametro que necesita ser renormalizado es la masa delHiggs; con lo cual esta amplitud es un observable y es independiente de µ. Este hecho puederesultar util a la hora de encontrar la dependencia entre la masa renormalizada del Higgs, MR,con la escala de renormalizacion µ. Para ello, imponemos que la derivada de A con µ2 sea 0, locual nos proporcionara una ecuacion explıcita que relacione MR con µ, es decir:

dA(µ)

dµ= 0 =⇒ dMR(µ)

dµ=

M3R

32π2F 2µ(56)

y resolviendo esto nos queda

M2R(µ) =

1

1− M2R(µ0)

32π2F 2 log(µ2

µ20

) (57)

La constante renormalizada, λR, puede ser definida para que siga cumpliendose la relacion,a nivel arbol, de M2

R = 2λRNF2, pudiendose obtener su comportamiento con µ de la ecuacion

de arriba.

En la practica resulta util introducir el parametro de masa, M2, definido por

M2 = M2R(µ2

0) (58)

con lo cual

M2R(µ) =

M2

1− M2

32π2F 2 log(µ2

µ20

) (59)

y entonces

λR(µ) =λ(M)

1− Nλ(M)16π2 log

(µ2

µ20

) (60)

31

de donde podemos obtener la posicion Λ del polo de Landau (o cero de Moscu)

Λ2 = µ20e

16π2

Nλ(M) (61)

Con todo, para g = g′ = 0, el parametro de masa es el unico parametro libre del modelo ytodos los observables pueden obtenerse en terminos de este. Sin embargo, esta masa no debeconfundirse con la masa fısica del Higgs. Esta es la masa de la resonancia que aparece en elcanal de scattering con los mismos numeros cuanticos que el Higgs.

Con lo que sabemos hasta ahora (N = 3) el coset esO(4)/O(3) = SU(2)L×SU(2)R/SU(2)L+Ry entonces las interacciones tienen simetrıa custodia SU(2)L+R (grupo de isospın debil). Porconsiguiente, hay 3 PSB y los canales de scattering pueden etiquetarse por la tercera compo-nente del isospin que puede tomar valores I = 0, 1, 2. Para un N arbitrario sigue siendo posibledefinir una generalizacion apropiada de los canales mencionados anteriormente:

T0(s, t, u) = NA(s, t, u) + A(t, s, u) + A(u, t, s)

T1(s, t, u) = A(t, s, u)− A(u, t, s)

T2(s, t, u) = A(t, s, u) + A(u, t, s)

donde recordamos que encontramos que A(s, t, u) ' A(s) ∼ O(1/N) y entonces

T0 = NA(s) (62)

es el unico canal no nulo de isospin en el lımite de gran N. Afortunadamente, es justo elcanal donde el Higgs aparecerıa.

Normalmente las amplitudes suelen proyectarse sobre estados de momento angular total de-finido, conduciendo a ondas parciales, tIJ . Tambien es obvio, en este caso, que solo t00 sobrevive,ya que T0 unicamente depende de s. Entonces

t00 =s

32πF 2

(1− s

M2+

s

32π2F 2log

(−sM2

))−1+O(1/N) (63)

Esta onda parcial tiene algunas propiedades que hacen el lımite de gran N una aproximacionsensible a la fısica del Higgs. En primer lugar, a bajas energıas encontramos que

t00(s) 's

32πF 2(64)

tal y como dictamina los teoremas de baja energıa de Weinberg.

En segundo lugar, esta onda parcial tiene el correcto corte de unitariedad a lo largo del ejereal positivo de la variable s. De hecho, puede comprobarse facilmente que para valores fısicosde s, localizados en el corte unitario que cumple log(−s) = log(s)− iπ, tenemos

Im[t00] = |t00|2 +O(1/N) (65)

32

que es la condicion de unitariedad elastica.

Por ultimo, queremos remarcar que es posible encontrar numericamente que la onda parcialtiene un polo en la segunda hoja de Riemann (Riemann sheet). Este polo puede verse como laresonancia del Higgs fısico.

Para valores bajos de M , la resonancia del Higgs fısico es angosta, y la descripcion usualde Breit-Wigner de la resonancia puede aplicarse. Con todo, la masa fısica viene dada por M ,estando inmersa en la formula de la anchura espectral, Γ:

Γ =M3

32πF 2(66)

que es justo el resultado a nivel arbol. Sin embargo, a medida que M crece, la resonancia delHiggs se va ensanchando, el polo va desplazandose hacia el plano complejo y la descripcion deBreit-Wigner no puede usarse. Con todo, la parte real de la posicion del polo permanece cons-trenida incluso para valores grandes de M . Esta propiedad se denomina usualmente saturaciony se ha observado en otros desarrollos no perturbativos alternativos, como son los metodos N/Dy los aproximantes de Pade.

33

6. Scattering de bosones gauge en el lımite de gran N y

el Teorema de Equivalencia

Desde un principio nuestro objetivo era el estudio del lımite de gran N en el sector de Higgsincluyendo los bosones de gauge electrodebiles. Mas precisamente, consideramos N →∞ peromanteniendo que Ng2 y Ng′2 constante.

Ya hemos estudiado el proceso de scattering elastico W+LW

−L → ZLZL, y lo primero que

hemos notado es que a nivel arbol los diagramas eran de orden O(g2)(o O(g′2)). Debido a laforma particular en la que hemos definido nuestro lımite a gran N , esos diagramas son tambienorden O(1/N). Para encontrar el conjunto completo de diagramas que contribuyen a orden masbajo en el lımite de gran N; debemos incluir en los diagramas a nivel arbol, cualquier posibleloop interno que no incremente en las potencias g2, g′2 ni 1/N . Se puede comprobar que eso noes posible con ningun loop que involucre bosones de gauge. Para los escalares, algo importantea observar es que los bosones de gauge solo se acoplan con los 3 primeros PSB; mientras queel Higgs sı que interacciona con todos los PSB. Por consiguiente, los unicos loops que hay queincluir en el lımite de gran N son los que se acoplan con el campo de Higgs.

El principal efecto de esos loops es el de contribuir al propagador del Higgs, tal y comopodemos observar en la figura de arriba. Debido a que estamos trabajando en el gauge deLandau, donde los campos π no tienen masa, cualesquiera otros posibles diagramas con loopsse anulan, debido a que son proporcionales a∫

d4−ε q1

q2= 0 (67)

haciendo esta ultima integral utilizando la regularizacion dimensional.

34

No es difıcil calcular los diagramas de arriba usando la prescripcion para la renormalizacionde la masa del Higgs que hemos usado en la seccion anterior. Ası, encontramos que el propagadordel Higgs en el lımite de gran N es:

D(q2) =1

q2 −M2R(−q2)

+O(1/N) (68)

donde MR(−q2) esta definida mas arriba. Es obvio que este propagador tiene el mismo poloen la segunda hoja de Riemann que la onda parcial t00, que recordemos que identificabamos co-mo la resonancia del Higgs fısico. Con todo, podemos concluir que los principales diagramas enel lımite de gran N no son mas que los calculados a nivel arbol mutatis mutandi el propagadorestandar del Higgs por este ultimo que hemos encontrado. De esta manera, las propiedades deunitariedad de las amplitudes a gran N se han mejorado notablemente; y la masa del Higgs ysu anchura se describen de forma adecuada siendo compatibles con las que dan otras tecnicasno perturbativas.

Como comprobacion importante de la consistencia de esta aproximacion usaremos el teore-ma de equivalencia (ET), que dictamina que los elementos de la matriz S de los bosones gaugeelectrodebiles longitudinales son los mismos que los que proporcionan los PSB asociados; salvocorrecciones de orden O(m/E), donde m = MW ,MZ y E es la energıa del proceso en el sistemade referencia del centro de masas. Por una parte, a altas energıas, el scattering de bosonesgauge electrodebiles longitudinales proporciona informacion sobre el sector de Higgs del SM.Por otra parte, el ET puede usarse para calcular el scattering de bosones gauge longitudinalesa altas energıas en terminos de los PSB asociados, que son escalares y hacen que los calculossean mucho mas faciles.

En primer lugar, como ya hemos calculado las amplitudes de scattering a nivel arbol delos procesos W+

LW−L → ZLZL y π+π− → π0π0, para extenderlo al lımite de gran N basta con

sustituir el propagador estandar del Higgs por el propagador renormalizado calculado en estaseccion del Higgs:

T (W+LW

−L → ZLZL) =

s

s−M2R

1

D

{4M2

R

ν2(x2 − 1) + 2g2(x2 + 3)−

−M2W

E2

[2M2

R

ν2(7x2 − 1) + 4

M2W

ν2(−5x2 + 14

)]−

−M2W

E2

[g′2

g2

(6M2

R

ν2(x2 − 1) + 12

M2W

ν2(x2 + 1)

)+ 4

g′4

g4M2

W

ν2(−2x2 + 1)

]+

+M4

W

E4

[M2

W

ν2

(8(x2 + 3) + 2

g′2

g2(−18x2 + 13)

)+M2

R

ν2

(8(x2 + 1) + 2

g′2

g2(8x2 − 3)

)]+

+M4

W

E4

[M2

W

ν2

(−4

g′4

g4(3x2 − 1) + 2

g′6

g6

)− 2

g′4

g4M2

R

ν2− M2

W

E2

M2R

ν2(8x2 + 4)− M2

W

E2

M2W

ν2(−4x2 + 1)

]+

+M6

W

E6

[M2

W

ν2

(g′2

g2(8x2 − 3) +

g′4

g4(4x2 − 3)− g′6

g6

)+M2

R

ν2

(−g′2

g2+g′4

g4

)]}(69)

donde no aparece explıcitamente la masa MZ , ya que hemos optado por la sustitucion

35

MZ =MW

cos θw= MW

√g′2 + g2

g

y donde se cumple que:

D =

{4(1−x2)+4

M2W

E2

((2x2 − 1) +

g′2

g2(x2 − 1)

)+M4

W

E4

((−4x2 + 1) + 2

g′2

g2(−2x2 + 1) +

g′4

g4

)}

y, para los PSB

T (π+π− → π0π0) =s

s−M2R

1

4(1− x2)− 4M2W

E2 +M4W

E4

·

·[− 4

M2R

ν2(1− x2) + 2g2(3 + x2)− 2

M2R

ν2M2

W

E2(5 + x2) + 12

M2w

E2

M2W

ν2− 4

M2R

ν2M4

w

E4

](70)

donde podemos ver perfectamente como se cumple el teorema de equivalencia (que tambiense cumplıa a nivel arbol), ademas de que nuestra amplitud tiende a la del artıculo de la referencia[27] cuando hacemos tender g′ a cero, ya que los autores del mismo calcularon dicha amplitudtomando g′ = 0 (simplificando mucho los calculos).

36

7. Conclusiones

Hemos encontrado que el lımite de gran N es una buena aproximacion para acercarnos a lafısica del Higgs, aunque haya perdido bastante fuelle con los ultimos resultados de los experi-mentos del LHC, que parecen afirmar que el Higgs tendrıa una masa de unos 125 GeV, que esuna masa pequena comparada con la que especulabamos de 1 TeV para que fuera fuertementeinteractivo y no se pudieran usar tecnicas perturbativas. A pesar de todo, esta aproximacionresulta bastante buena.

Por otra parte, hemos generalizado el calculo realizado en el artıculo de la referencia [27],extendiendo el calculo de los diagramas involucrados en los procesos cuando g′ 6= 0. Hemos vistoque cuando g′ → 0, nuestro calculo generalizado tiende al resultado que escribieron los autoresen su artıculo, lo cual proporciona una comprobacion de que nuestro calculo generalizado esta,como mınimo, bien encaminado.

En ultimo lugar, cabe destacar como se cumple el teorema de equivalencia, tanto a nivelarbol, como en la extension al lımite de gran N, lo cual corrobora que es un buen teorema a usarcuando haya bosones de gauge electrodebiles longitudinalmente polarizados, puesto que pode-mos sustituirlos por sus correspondientes PSB, y calcular con ellos, que es mucho mas facil. Contodo, no podemos olvidar las correcciones O(m/E) que el teorema de equivalencia no considera.

Para finalizar, pero no por ello para zanjar este tema, queremos hacer hincapie que todoeste tipo de tecnicas y aproximaciones al sector de Higgs del SM, van a ser fundamentales enlos proximos anos, a raız de los ultimos resultados emitidos por el CERN, que proclamabanla existencia de un boson con caracterısticas compatibles con el Higgs del SM. No por elloes necesario que sea el predicho por el MSM, ya que hay otros modelos mas alla del SM quetodavıa tendrıan cabida en los resultados experimentales. Por esto, y todo lo anterior, podemosdecir con total seguridad que se acerca una nueva era para la fısica de partıculas, ya que ahoraes tiempo, ya no de hacer modelos mas alla del SM; si no de analizar los datos hasta la saciedadcon tal de corroborar o desmentir los modelos propuestos hasta el momento.

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