PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES RECIPROCAS

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aquellas parejas de Razones Trigonométricas cuyos valores numéricos son inversos.

Calculamos las R.T. en el triangulo

mostrado

Concluimos que: SenA y CscA ; CosA y SecA ; TgA y CtgA son razones trigonométricas reciprocas y cumplen la siguiente propiedad: “El producto de 2 razones trigonométricas reciprocas es igual a la unidad si y sólo si están aplicadas al mismo ángulo”

etéÉÇxá Üxv|ÑÜÉvtá

etéÉÇxá Üxv|ÑÜÉvtá

etéÉÇxá Üxv|ÑÜÉvtá

etéÉÇxá Üxv|ÑÜÉvtá

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.

Calculamos las R.T. en el triangulo

mostrado

Concluimos que: SenA y CosB; TgA y CtgB; SecA y CscB son razones trigonométricas complementarias o (co-razones trigonométricas) y cumplen la siguiente propiedad. “Toda razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co – razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo”.

A+B = 90º

R.T (θ) = Co-R.T (90º - θ) � Senθ = Cos(90º - θ) � Tgθ = Ctg(90º - θ) � Secθ = Csc(90º - θ)

1. Indica la verdad de las proposiciones:

� Sen A.CscA = 2 ……………………………………… ( ) � Tg50º.Ctg40º = 1 …………………………….…… ( ) � Sen20º.Csc20º = 1 ………………………….…… ( ) � Si x= 10º → Cosx.Sec10º = 1 ……………. ( ) � Tg40º = Ctg50º………………………………….… ( ) � Sec80º = Csc10º ……………………………….… ( )

2. Determinar “x”, si:

Tg4x.Ctg60º.Sen30º.Csc30º =1 a) 10º b) 20º c) 12º d) 25º e) 15º

3. Sabiendo que: Sen4x.Csc40º = 1, determinar: “Cos6xº”

a) 2 b) 1 c) 3 d) 0.5 e) 7

4. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 0.6

5. Determinar:

E = (Tg25º + Ctg65º). Ctg25º

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

6. Si:

Tg3x. Ctg(x+20º) = 1 ………………………………………(I) Sec(y+40º) = Csc(y+10º) …………………………….…(II) Determinar “Sen(x + y)”

a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4

7. Sabiendo que: Cos(60 - x).Sec2x = 1 Sen3x = Cos3y Determinar: “2y - x”

a) 10º b) 30º c) 60º d) 40º e) 0º

8. Reducir: P = (7Sen42º + 2Cos48º).Csc42º + 5Sec60º

a) 9 b) 10 c) 19 d) 21 e) 22

9. Determinar el valor de “x”: Tg(20º + x).Sen6x = Ctg(70º - x).Cos3x

a) 9º b) 10º c) 19º d) 21º e) 22º

10. Si: Sen2x.Secy = 1, determinar:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 10

11. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 12

12. Si: α = 15º; calcular Q = Senα . Sen2α . Sen3α . Sen4α . Sec5α

a) 1 b) 2 c) d) e)

13. Si: Secα = Csc2φ; determinar:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/2

14. Si: Sen(α-20º) = Cos(θ-30º), “α” y “θ” son ángulos agudos, determinar:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 1/9 e) 3/5

15. Si Sen(4x + 25º).Csc45º = 1, hallar el valor de “x”

a) 10º b) 30º c) 11º d) 20º e) 5º

16. Hallar los valores de “x” que verifican la igualdad:

Cos(2x2 + 3)º . Sec(8x + 3)º = 1

a) 1 ; 2 b) 1 ; 3 c) 1 ; -2 d) 1 ; 5 e) 3 ; 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

17. Calcular “x + y” si:

Tg(2x + 3y).Ctg(5x+y – 6º) = 1 ………………………(I) x + y = 27º ……………………………………….………………(II)

a) 22º b) 13º c) 12º d) 27º e) 35º

18. Si se cumple que: Tg(2α – β + 10º) = Ctg(α + 2β – 5º)…………………(I) Sec(α + 15º) = Csc(2β + 30º) …………………………(II) Calcular “α - β”

a) 2º b) 3º c) 12º d) 5º e) 10º

19. Sabiendo que: Sen(2x - y) = Csc70º…………………………………………(I) Tg(x + y) = Ctg40º …………………………………………(II) Calcular “x/y”

a) 4º b) 3º c) 2º d) 5º e) 1º

20. Si Sen(4x + 31º) = Cos(3x – 18º), hallar el valor de “x”.

a) 12º b) 13º c) 11º d) 15º e) 14º

21. Calcular “x”, si: Sen(2xx + 19). Sec(xx - 10) – 1 = 0

a) 2 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

22. Si se cumple que: Sen20º.Tg(2x + 10º).Sec70º = Cotg3x

Calcular el valor de “x”.

a) 12º b) 13º c) 16º d) 15º e) 10º

23. Si se cumple que: Sen(x + 10º). Csc(3x+20º) = 1 …………………………(I) Tg(2x + y). Tgx = 1 ……………………………………………(II) Calcular “x - y”

a) 26º b) 24º c) 22º d) 20º e) 18º

24. Si: Sen9x – Cos4x = 0, calcular:

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 1/2

25. Si, Sen(3x + 10º) = Cos(x – 12º), calcular el valor de:

a) 50º b) Sen68º c) 45º d) tg68º e) Ctg68º

26. Calcular “x”, siendo:

Sen(4x + 12º) = Cos(3x + 8º)

a) 12º b) 8º c) 9º d) 55º e) 10º

27. Calcular “x”, sabiendo que:

Tg(2x + 17º) . Ctg(x + 34º) = 1

a) 12º b) 13º c) 17º d) 15º e) 18º

28. Sabiendo que:

Tg(x + y) = Ctg40º ……………………………………………(I) Sen(x - y) . Csc30º = 1 ……………………………………(II) Calcular “x/y”

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

29. Reducir la expresión:

a) Tg 84º b) Ctg 84º c) 2 d) 1 e) 0

30. Si Sen(3α - θ) . Sec(3θ - α) = 2Sen30º, calcular

el valor de:

a) 3/4 b) 1/3 c) 3/2 d) 1/2 e) 1

31. Si:

Senα . Csc4β = 1 ……………………………………………(I) Tgα . Tg2β = 1 ………………………………………..……(II) Calcular:

E = Sen2(α - β) + Cos2(α - 2β)

a) 5/3 b) 5/4 c) 4/3 d) 4/5 e) 3/5

32. Si: α = 7º 30’, determinar:

a) 1 b) 3 c) 7 d) 5 e) 11

33. Si:

Sen(4x + 10º).Tg(3x + 30º).Secx = Ctg(60º -3x)

a) 2 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

34. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

35. Si:

Q = Tg1º-Ctg1º+Tg2º-Ctg2º+……+Tg89º - Cot89º R = Tg1º.Tg2º.Tg3º………Tg88º.Tg89º S = Sen1º-Cos1º+Sen2º-Cos2º+ …… +Sen89º-Cos89º

Determine: M = Q + R + S

a) 2 b) 3 c) 1 d) -1 e) 0

36. Siendo “α” y “θ” los menores ángulos positivos

que verifican las relaciones:

Senα. Sec(3α + θ) =1 …………………………………………(I) Tgθ.Tg(2α + θ) = 1 …………………………………………(II) Determinar el valor de:

M = 2Sen(4α + θ) + Tg(2θ - α)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/4

37. Siendo: Sen3α . Cscβ = 1; Tgβ = Ctg6α Determinar: K = Tg2(3α + 15º) + Sec2(2β – 15º)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

38. Si: Tgα = Ctg2β. Determinar el valor de:

a) 2/3 b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 4

39. Siendo “3x” e “y” ángulos agudos, además se

cumple lo siguiente: Sen(y + x) = Sen(2y – 2x); Tg3x . Tgy = 1. Determinar: E = Ctg3x + CtgY + Tgy

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3/2

40. Si: Csc4α. Cos(90º - 2β) = 1 y Sen7β = 1/Sec4α Determinar: “Sen9α”

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) e)

41. Reducir:

a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

42. Reducir:

a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

43. Si:

=

°−

3x4

Ctg

12

96x5Ctg

El valor de “x” es: a) 36° b) 30° c) 45° d) 20° E) 35°

44. Si: Tg(20°+2x).Ctg(90°-3x-y) = 1 Sen(40°+x).Sec(2x+y) = 1

Calcular el valor de: 2

yx4M

−=

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

45. Si: 14

Ky3

3Tg.

34Kx3

Tg =

−α

α−

y además: x – y = 10° Calcular el valor de “K” a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14