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CONSTRUCCION DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RAICES

Ing. Raul R. Roque Y.

Universidad Mayor de San Andres, La Paz - Bolivia

I. INTRODUCCIN

La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado

SLC, est estrechamente ligada a la ubicacin de los polos del mismo.

R.W. Evans desarroll un mtodo para hallar las races del polinomio caracterstico

del SLC , este fue denominado Mtodo del Lugar de Races, el cual permite hallar

todos los polos del SLC, partiendo del sistema de lazo abierto SLA , tomando una

ganancia como parmetro, adems permite seleccionar dicha ganancia de tal forma de

desplazar los polos del SLC a posiciones deseadas y obtener cierto desempeo

deseado.

El mtodo del lugar geomtrico de las races es aplicable a sistemas con retardo de

transporte y es extensible al uso de varios parmetros.

II. LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

Sea el sistema representado en la figura:

+

-)(sGK

R(s) C(s)

Fig. 1 Sistema de Control

cuya funcin de transferencia es :

( ) ( )( ) 1 ( )

C s KG s

R s KG s =

+; (2.1)

la ecuacin caracterstica o polinomio caracterstico es:

1 ( )KG s+ = 0 ; (2.2)

de aqu se desprende dos condiciones:

1

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Condicin de Angulo: la relacin (1.2) debe cumplir con:

( ) (2 1) 180 (2 1)KG s k k = + = + ; (2.3)

Condicin de Magnitud: la relacin (1.2) debe cumplir con:

( ) 1KG s = ; (2.4)

Los valores de que cumplen con las condiciones de ngulo y magnitud, son las races

de la ecuacin caracterstica o polos del SLC. El diagrama de los puntos del plano

complejo que solo satisfacen la condicin de ngulo constituye el lugar geomtrico de

las races.

s

Se considera todos los valores positivos de K . En el limite los polos del SLC

son iguales a los polos del SLA.

0K

La funcin puede ser escrita como:)(sG1

1 111 1

( ) ...( ) ( ) ...

m m

m mn n

n n

N s s a s a s a G s

D s s b s b s b

+ + + += =

+ + + +; n m

>; (2.5)

donde y definen el rden de los polinomios y . El sistema debe tener

siempre polos, el lugar de las races debe tener ramas, cada rama inicia en un

polo de ( raz de ) y termina en un cero de ( raz de ). Si

tiene ms polos que ceros (como es en la mayora de los casos) se dice que tiene

ceros en infinito. En este caso .

n m ( )D s ( )N s

n n

( )G s ( )D s ( )G s ( )N s ( )G s

( )G s

( ) 0s

LimG s

=

El numero de ceros en infinito es n y es el nmero de races que van al infinito

(asntotas).

m

Diseo analtico

Se presenta a continuacin la traza del Lugar geomtrico de las races utilizando un

mtodo analtico y ser mostrado con un ejemplo:

Sea la funcin de transferencia de un sistema:

2

2

4 5

( ) ( 8 20)( 1)( 3)( 5)

s sG s

s s s s s

+ +=

+ + + + +

(2.6)

Solucin.-

1.- Determinar los lugares geomtricos de las races sobre el eje real, para ello se utiliza

la condicin de ngulo.

2

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Im

Re

2

1

-1

-2

-1-3-5

Fig. 2 Posible lugar de Races

2.- Determinar las asntotas del Lugar Geomtrico de las Races:

180 (2 1)k

n m

+=

, 0,1,2,...k = (2.7)

con nmero de polos y=n =m nmero de ceros, entonces:

180 (2 1)60 (2 1)

3

kk

+= = + (2.8.a)

0 60 = , ,1 180 = 2 300 = (2.8.b)

3.- Determinar la interseccin de las asntotas con el eje real.

polos ceros

n m

=

(2.9)

entonces:

(1 3 5 4 4) (2 2) 144.67

5 2 3

+ + + + += = =

;

Hasta aqu se tiene la grafica mostrada en la figura 3.

3

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Se construye finalmente el Lugar Geomtrico de las Races, mediante el uso de la

regla: El diagrama del lugar de races parte de los polos del SLA y terminan en los

ceros del SLA tal como lo muestra la figura 4.

Im

Re

2

1

-1

-2

-1-3-5

7978.1=6667.4=

Fig. 4 Lugar Geomtrico de las Races

Con el anterior ejemplo se dio a conocer los pasos necesarios para realizar el trazado

del Lugar geomtrico de la Races.

III. EJEMPLO DE APLICACION

A continuacin se utiliza el mtodo aplicado al diseo de sistemas de control. Primero

se lo realiza de forma analtica y luego utilizando la herramienta computacional

MATLAB.

Ejemplo 2.-

Sea el SLA, con funcin de transferencia:2

2

6 5( )

( 6)( 2)( 6

s sG s

s s s

+ +=

+ + + )

(3.1)

Trazar el Lugar Geomtrico de las Races, disear de tal manera que el sistema

tenga como polos dominantes a .

K

1,2 0.571 9.824s i=

Solucin.- El comportamiento del SLA a una entrada escaln es:

5

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Tiempo (sec .)

Amplitud

Respuesta en el tiempo de G(s)

0 2 4 6 8 10 12-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Fig. 5 Respuesta en el Tiempo

Como se muestra en la figura 5, el sistema es oscilante y mediante la eleccin de la

ganancia K , se mejorar el desempeo del SLC.

1.- Primero se identifica los polos y ceros de la funcin de transferencia, con esto se

determina los posibles lugares de las races.

Polos : , , .1,2 6s i= 3 2s = 4 6s =Ceros: , .1 1z = 2 5z =

de esa manera se tiene grafica de la Fig. 6:

2.- Determinacin de las asntotas de los lugares geomtricos:

180 (2 1)k

k

n m

+=

;

180(2 1)90 (2 1)

4 2k

kk

+= =

+ ;

Las asntotas tiene ngulos : , ;0 90 = 1 270 =

3.- Determinacin del Punto de interseccin de las asntotas con el eje real.

polos ceros

n m

=

;

6

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(2 6 6 6 ) (5 1)

4 2

i i

+ + +=

;

Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

Fig. 6 Posible Lugar Geomtricos de Races

El punto de interseccin de las asntotas y el eje real se produce en :

1 = ;

4.- Determinacin del puntos de quiebre de las ramas. Ntese que en este ejemplo no

se tiene la unin de dos ramas (polos).

( ) ( )( ) 0

df s dG s P s

ds ds

= = = ;

5 4 3( ) 2 26 116 384 1152 0P s s s s s = + + = ;

cuyas races son:

1 2.012s = ;

2,3 5.27 2.101s i= ;

4,5 2.23 1.971s i= ;

ninguno de estas soluciones pertenece al Lugar de Races, entonces quiere decir que no

hay puntos de quiebre.

5.- Determinacin de los ngulos con que el lugar de races deja a los polos:

180 (2 1)k k otros polos ceros = + + ;

1 180 (27 57 90 ) (32 72 ) 110 = + + + + = ;

como los polos son conjugados:

7

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2 180 ( 27 57 90 ) ( 32 72 ) 250 110 = + = = .

La mediciones se muestran en la figura siguiente.

Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

2732

5772

Fig. 7 Medicin de ngulos

6.- El valor de se halla reemplazando el polo deseado (este polo debe estar en el

LGR), y cumple con:

K

2 2

2

0.571 9.824

( 36)( 8 12)164.1

( ) 6 5s i

s s sK

G s s s = +

+ + += = =

+ +.

Im

Re

6

-6

-1-2-5-6

Fig. 8 Lugar geomtrico de la Races

8

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El sistema de Lazo cerrado es ahora:

+

-)(sG1.64

R(s) C(s)

Fig. 9 Sistema de Lazo cerrado

el comportamiento en el tiempo se muestra en la figura 10.

Time (sec.)

Amplitude

Step Response

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

From: U(1)

To:Y(1)

Fig. 10 Respuesta del Sistema de Lazo cerrado

Es importante aclarar que el sistema en lazo abierto era oscilatorio, en cambio con el

uso de mtodo del Lugar Geomtrico de las races se ha encontrado una ganancia la

misma que hace que el sistema de lazo cerrado tenga mayor desempeo, aunque con

un sobre paso bastante grande.

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El diseo anterior puede ser resuelto utilizando algunas herramientas computacionales.

Ahora se presenta el desarrollo del diseo utilizando rutinas de MATLAB.

El Lugar Geomtrico de Races es trazado mediante la funcin rlocus, , se utiliza el

siguiente script para generar tal grafica mostrada en la figura 11:

> num=[1 6 5];

> den=[1 8 48 288 432];

> sisla=tf(num,den);

> rlocus(sisla);

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

ImagAxis

Fig. 11 Lugar geometrico de Raices mediante MATLAB

mediante la funcin rlocfind se busca los polos deseados:

> z=0.057;

>wn=9.84;

> sgrid(z,wn);

> rlocfind(sisla);

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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Real Axis

ImagAxis

Fig. 12 Lugar de Raices y ubicacin de polos.

esta funcin determina la ganancia K para obtener los polos deseados, el resultado fue

el siguiente:

rlocfind(sisla)

Select a point in the graphics windowselected_point =

-0.59447004608295 + 9.59064327485381i

ans =

59.81092426934112.

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