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ISBN: 978-84-9860-456-6
ARGITALPEN ZERBITZUASERVICIO EDITORIAL
Henar DiezJos Miguel EcharriEsther GutirrezJos Manuel Zarzuelo
Relacin de problemas resueltos Relacin de problemas resueltos de exmenes de la asignaturade exmenes de la asignatura Matemticas II para EconomistasMatemticas II para Economistasde lasde las Licenciaturas de EconomaLicenciaturas de Economay Administracin y Direccin de y Administracin y Direccin de EmpresasEmpresas

Servicio Editorial de la Universidad del Pas VascoEuskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua
ISBN: 978-84-9860-456-6

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INTRODUCCIN:
La asignatura Matemticas II aporta los conocimientos bsicos de Anlisis y Op-
timizacin clsica que son necesarios en los estudios en Economa (L.E.) y Administra-
cin y Direccin de Empresas (L.A.D.E.). En stas, como en las dems Matemticas de
ambas licenciaturas se proporcionan al estudiante los conocimientos bsicos, mante-
niendo un adecuado equilibrio conceptual/prctico.
Esta publicacin recoge los problemas planteados en los exmenes de Matemti-
cas II en las distintas convocatorias comprendidas entre los aos 2006 y 2010.
TEMARIO:
1. TOPOLOGA DE Rn. LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIO-
NES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES.
1.1.- Distancia eucldea en Rn. Bolas abiertas. Conjuntos abiertos, cerrados, aco-
tados y compactos.
1.2.- Funcin real de varias variables reales. Grfico de una funcin. Curvas de
nivel. Lmites y continuidad de una funcin. Propiedades. Funciones continuas elemen-
tales. Composicin de funciones continuas.
2. CLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE VA-
RIAS VARIABLES REALES.
2.1.-Derivadas parciales. Interpretacin geomtrica. Funcin derivable. Propie-
dades. Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwartz. Derivabilidad de
funciones compuestas. Regla de la cadena.
2.2.- La diferencial. Interpretacin geomtrica. Funcin diferenciable. Funciones
de clase Ck. Relaciones entre diferenciabilidad, derivabilidad y continuidad. Aproxima-
cin del valor de la funcin mediante la diferencial.
2.3.- Frmula de Taylor. Aproximacin del valor de la funcin mediante la fr-
mula de Taylor.

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3. OPTIMIZACIN ClSICA DE FUNCIONES REALES DE UNA
DOS VARIABLES REALES.
3.1.- Extremos locales y globales de una funcin. Condiciones necesarias y sufi-
cientes para la determinacin de extremos locales incondicionados. Condiciones necesa-
rias y suficientes para la determinacin de extremos locales condicionados. Multiplica-
dores de Lagrange.
3.2.- Extremos locales y globales de una funcin relativos a un conjunto.
4. FUNCIONES IMPLCITAS Y HOMOGNEAS.
4.1.- Funcin definida implcitamente. Interpretacin geomtrica. Funcin
implcita global y local. Teorema de la funcin implcita. Derivabilidad de la funcin
implcita.
4.2.- Funcin homognea. Propiedades. Teorema de Euler.
REFERENCIAS BIOGRFICAS BSICAS:
"Matemticas para el Anlisis Econmico". Sydsaeter y Hammond, Ed. Prentice
Hall, 1991.
REFERENCIAS BIOGRFICAS BSICAS COMPLEMENTARIAS:
"Matemticas para Economistas". Grafe, J, Ed. Mc Graw-Hill, 1991.
OBSERVACIONES:
Es fundamental en primer lugar que el estudiante adquiera los conocimientos
conceptuales sobre la asignatura para poder realizar posteriormente los exmenes que
aqu se recogen. Una vez realizado este trabajo prctico, el estudiante podr comparar
sus respuestas a las diferentes preguntas con las soluciones que a continuacin se le
ofrecen.
Como recomendacin se le sugiere al estudiante que trabaje por temas.

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EXAMEN DE MATEMTICAS II.
ECONOMA. JUNIO DE 2006
1.- Sea ( , )x y
f x yx y
.
i) Hallar y representar D, el dominio de f.
ii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en el punto
(0,0).
iii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en el punto
(1,2).
2.- Sabiendo que 1 2C ( )f y 1C ( )g , hallar las funciones derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
i) 3 2 22
1x yz
x y
.
ii) 2 2xcos(2 e )e yz xy .
iii) 2 32 x22 ( 3 , )
1 exz g f x y y
y
.
3.- Sea 2( )g x yh x y donde g es una funcin homognea de grado 2 y
1C ( )g .
i) Es h una funcin homognea?, de qu grado?
ii) Si (4) 2g y '(4) 1g , para qu valores de k define la ecuacin ( , ) 0h x y k
implicitamente una funcin ( )y x en torno al punto (2,1)? Para esos valores de
k calcular '(2) .
4.- Se considera la funcin 2( , )f x y x y y el conjunto 2 2 2{( , ) / 9, 1}A x y x y x .
i) Calcular los extremos locales de f relativos a int(A), fr(A) y A.
ii) Calcular, si existen, los extremos globales de f relativos a A.

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ECONOMA. SEPTIEMBRE DE 2006
1.- Sea 2 1 2( , )
yf x y x y
.
i) Hallar y representar D, el dominio de f.
ii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en el punto
(0,1).
iii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en el punto
(1,2).
2.- Sabiendo que 1 2C ( )f , hallar las funciones derivadas parciales de primer orden
de las siguientes funciones:
i) 2 2 2ln(2 )z x y x y .
ii) 2 2( ,sin( )) ( , )z f xy xy f x y .
iii) 2 2( , 2 )z f x y xy , donde ( , ) 0f x y 2( , )x y .
3.-
i) Calcular a para que la funcin 2 1( , ) af x y x y g xy
sea homognea sa-
biendo que , 1C ( )g es una funcin homognea de grado 2. Con el valor encon-trado de a cul es el grado de homogeneidad de f?
ii) Se considera la funcin ( , ) ( 2 )( )( 3)f x y y x x y y
a) Define la ecuacin ( , ) 0f x y una funcin implicita ( )y x en torno a los
puntos (0,0) y (-3,3)?
b) Encontrar un punto 0 0( , )x y tal que la ecuacin ( , ) 0f x y defina una funcin
implicita ( )y x en torno al punto 0 0( , )x y . Razonar la respuesta.
4.- Se considera la funcin ( , )f x y x y y el conjunto 2 2 2{( , ) / 0, 0, 1 4}A x y x y x y .

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i) Calcular los extremos locales de f relativos a int(A), fr(A) y A.

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1.- Sea 2 2
( , )x y
f x y x y
.
i) Hallar y representar el dominio de f.
ii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en los puntos
(0,0) y (1,0).
iii) Calcular el valor aproximado de (0 '97,0 '02) (1,0)f f a travs de la diferencial
de f en (1,0).
2.- Sabiendo que 1 2C ( )f , hallar las funciones derivadas parciales de primer orden
de las siguientes funciones:
i) 2
sin( e )xyz xy .
ii) 3 2 2z x y x y .
iii) 3 2 2ln( ( , ))z f x y x y .
3.- Sea 3( , ) ( , )f x y g x y xy donde 1 2C ( )g es una funcin homognea de grado 4
i) Es f una funcin homognea?, de qu grado?
ii) Si 1(2,1) (2,1) 2g g , define la ecuacin ( , ) 0f x y implicitamente una fun-
cin ( )y x en torno al punto (2,1)? En caso afirmativo calcular '(2) .
4.- Se considera la funcin ( , )f x y xy y el conjunto 2 2{( , ) / 1, 1}A x y x y x y .
i) Calcular los extremos locales de f relativos a A.

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ECONOMA. SEPTIEMBRE DE 2007
1.- Sea 2
e( , )xy
f x yy x
.
i) Calcular y representar el dominio de f Es abierto?, cerrado?, acotado? y com-
pacto?.
ii) Estudiar la continuidad, existencia de limite y diferenciabilidad de f en los puntos
(0,0) y (0,1).
iii) Calcular el valor aproximado de (0 '02,0 '98) (0,1)f f a travs de la diferencial de
f en (0,1).
2.- Sabiendo que 1 2C ( )f y 1C ( )g , hallar las funciones derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
i) 3 22( 3 5 )ex yz x xy y .
ii) 2 23cos( ) ln( )z x y x y .
iii) 2 2 3 3 2( , ) ( 3 )z f x y y g x y x .
3.- Sea 2( , ) ( , )f x y x g x y donde 1 2C ( )g es una funcin homognea de grado 2.
i) Es f una funcin homognea?, de qu grado?
ii) Si (1,0) 0g y 2 (1,0) 7g , define la ecuacin ( , ) 0f x y implicitamente una
funcin ( )y x en torno al punto (2,0)? En caso afirmativo, calcular '(2) .
4.- Se considera la funcin 2 2( , )f x y x y y el conjunto 2 2{( , ) / 1, 3}A x y y x y .
i) Calcular los extremos locales de f relativos a A.

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1.- Sea la funcin 2
( , )x y
f x yx y
.
i) Encuentra y representa el dominio de la funcin.
ii) Es f continua, derivable, diferenciable en (0,0)?, existe el lmite de la funcin en
este punto?
iii) Es f continua, derivable, diferenciable en (1,0)?, existe el lmite de la funcin en
este punto?
2.- Calcula las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones, simplifi-
cando el resultado:
i) 2 2cos( )z x y x y
ii) 1lnzxy
iii) 2 3( , ( ) )2
x yz h x x yy
, siendo 1 2C ( )h .
3.- Se considera la funcin 2

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