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Robótica Inteligente Teoria de Control Marco Antonio López Trinidad Luis Enrique Sucar Succar Depatamento de Computación Tec de Monterrey

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Robótica InteligenteTeoria de Control

Marco Antonio López TrinidadLuis Enrique Sucar Succar

Depatamento de ComputaciónTec de Monterrey

Teoria de Control

' La tarea de un controlador es ajustar el estado de una señal de un proceso con respecto a un valor conocido como set point (SP), la diferencia entre la señal medida y el set point se conoce como error (E)E = PV − SP

' Aunque algunas veces se utiliza la cantidad SP − PV como el error

Teoria de Control

' Para medir la señal de la variable de proceso PV, se debe utilizar algun sistema (sensor), y la señal de salida del sensor tiene las mismas unidades del set point SP

' El controlador acuta sobre el error y mediante algun mecanismo (elemento final de control) manipula el proceso para cambiar PV en alguna dirección y asi reduce el error

Teoria de Control

Controlador ElementoFinal de Control

Proceso

Transmisor

ElementoPrimario de

Control(Sensor)

ESP

PV

PV

Salidade

Control

VariableManipulada

Instrumento de medición

Teoria de Control

' Existen al menos tres elementos dinamicos, incluyendo el controlador, que podrian contribuir de manera importante en el comportamiento de la señal de proceso PV

' Las caracteristicas de estos elementos se deben tomar en consideración por el ingeniero de procesos

' Son caracteristicas internas del proceso o del hardware del los elementos

Teoria de Control

' En general, se espera que el controlador sea capaz de compensar los efectos de los elementos dinamicos del sistema

' La forma en que un controlador opera sobre una señal de error se conoce como ley de control o algoritmo de control, en terminos del mundo digital

Teoria de Control

' Algunas veces el estado de un proceso, esta determinado por diferentes variables de proceso y que están relacionadas entre si

' Ejemplo: Para controlar la humedad relativa se deben tomar en cuenta la temperatura y la precipitación pluvial

' A este tipo de control se le conoce como multivariable

Teoria de Control

' El numero de variables independientes, tales como la temperatura, presión, concentración, etc. que pueden controlarse independientemente en un proceso de control no son ilimitadas, pero son una función del numero total de posibless ecuaciones que las relacionan

' Al conjunto de posibilidades dentro de un proceso, se le conoce como grado de libertad del proceso

Teoria de Control

' Control de lazo abierto y lazo cerrado

' Suponer que se desea manejar un automovil a velocidad constante y con los ojos cerrados

' Probablemente la primera aproximación seria mover el volante (elemento final de control) en alguna posición y mantenerlo alli, sin importar la dirección (PV) que tome el vehiculo y lo que pueda suceder con el auto

' A este esquema se le conoce como control de lazo abierto

Teoria de Control

' Control de lazo abierto y lazo cerrado

' Ahora si se le permitiera al conductor abrir los ojos y mover de manera libre el volante, permitiendo ajustar la dirección que tome el vehiculo

' A este esquema se le conoce como control de lazo cerrado

Teoria de Control

' Control On−Off

' Suponer que al conductor se le permite mover el volante, completamente a la izquierda o completamente a la derecha, de tal foma que cuando se llega a un extremo de la carretera, entonces se debe girar el volante completamente en la dirección opuesta

Teoria de Control

' El proceso se repite de manera indefinida hasta alcanzar el proposito

' Para evitar que el atuomovil oscile de manera brusca, se establece una banda conocida como gap, de tal forma que nada sucede mientras la dirección del vehiculo no sobrepase la frontera de la banda

Teoria de Control

SPPV dirección del automovil

GAP

Volante

Totalmentea la izquierda

Totalmentea la derecha

0 100% del span

+

Teoria de Control

' Ley de control del esquema on−offE = PV − SP

V = sign E

' Para |E| − ½ ≥ 0

' V+ significa que el volante esta completamente girado hacia la derecha

' V− significa que el volante esta completamente girado hacia la izquierda

Teoria de Control

' Control on−off

' El efecto de este esquema de control se muestra en la siguiente figura:

Teoria de Control

' Cuando la dirección del automovil sobrepasa el limite inferior de la banda, entonces el volante se gira completamente a la izquierda, pero debido a la inercia del sistema pasa algun tiempo para que la dirección del vehiculo cambie

' En la siguiente ocación que la dirección del vehiculo sobrepasa el limite superior de la banda, entonces el volante se gira completamente a la derecha, sobrepasandose a la dirección deseada

Teoria de Control

' En la siguiente figura se nota que aun sin tenerse una banda, la inercia del vehiculo demanda cierto sobrepaso (oscilación) y oscilamiento de la dirección del vehiculo para un alta frecuencia

' En general este tipo de control tiene como caracteristicas la oscilación y el sobrepaso o sobretiro

Teoria de Control

' Control Proporcional' Para evitar oscilación, es necesario encontrar un valor

intermedio de movimiento del volante, que mantendra a la variable de proceso en estado estable con respecto al set point

Teoria de Control

' Control Proporcional' El modo deseado de control, consiste de ajustar

manualmente a una posición del volante que corresponde a un error de cero cuando el proceso esta bajo condiciones normales

' Ademas, hay que instruir al controlador girar el volante a la derecha de manera proporcional, para un error positivo (PV > SP) y girar el volante a la izquierda para un error negativo (PV < PS)

Teoria de Control

' Control Proporcional

' En otras palabras la ley de control debe ser de la siguiente forma:

V = KE + ME = PV − SP

K es una constante de proporcionalidad

M es una posición donde E = 0

Teoria de Control

' Control Proporcional

' La ecuación anterior define una linea recta

Error

∆VMValor de

la posición

Totalmentea la derecha

Totalmentea la izquierda

0% 100%Rango de la variable de proceso

Set point

Teoria de Control

' Control Proporcional

' La pendiente de la linea, determina el cambio en el giro del volante, que corresponde al valor del error

MValor dela posición

Totalmentea la derecha

Totalmentea la izquierda

0% 100%PV

SP

Teoria de Control

' Control Proporcional

' El porcentaje de cambio en el error, necesario para mover el volante a escala completa, se conoce como banda proporcional (PB)

' Por lo tanto, en la figura anterior se nota que se requiere de un valor grande de error para girar el volante completamente en cualquier dirección

' En la figura siguiente se requiere de un error pequeño para girar el volante completamente en cualquier dirección

Teoria de Control

' Control Proporcional

MValor dela posición

Totalmentea la derecha

Totalmentea la izquierda

0% 100%PV

SP

Teoria de Control

' Control proporcional

' La relación entre la ganancia proporcional y la banda proporcional es:

K = 100/PBdonde PB esta en porcentaje

El termino de estado estable M se conoce como restablecimiento manual (manual reset)

Teoria de Control

' Control proporcional

' La acción de control con respecto al tiempo de este esquema se muestra en la siguiente figura:

Derecha

Izquierda

Volante

PV SPE

Teoria de Control

' Control Proporcional

' Si por alguna razón; una piedra o un bache sobre el pavimento, entonces el error salta rapidamente a un valor fijo, el volante instantaneamente se movera una cantidad proporcioal en la dirección necesaria para reducir el error a cero

' Si el error se mantiene constante, la posición del volante se mantendra constante

' Las desventajas del control proporcional se pueden determinar, por este tipo de disturbios en un sistema de lazo cerrado

Teoria de Control

' Control Proporcional

' Suponiendo que se abre el lazo y que no hay control. Y repentinamente ocurre un disturbio en forma de escalón, la posición del volante no cambiara y la dirección del vehiculo se desviara a algun estado estacionario estable con error constante

' Al restaurar el lazo cerrado de control. El volante tratara de moverse para reducir el error a cero, pero la la ley de control establece que V puede cambiar solamente si E cambia y M es constante

Teoria de Control

' Es decir, para cualquier nueva posición del volante diferente a M, correspondiente al valor promedio del valor desvidado debe haber valor definido del error E

' Esto se conoce como error residual u off−set

' Por lo tanto, un control proporcional con ganancia menor a infinito, resulta en error cero solamente para una condición de carga, que se establece por el valor M

' Entonces para eliminar el error cuando ocurre un cambio en la carga, el valor de M se tiene que reinicializar (reset) manual mente

Teoria de Control

' Control Integral

' El control integral genera un error residual, cada vez que se recarga el sistema y por lo tanto ese error debe reinicializarse manualmente, si se desea tener un error cero

' Una forma de reinicializar el controlador de manera autómatica, es indicandole al controlador que mueva el volante en la dirección donde se reduce el error hasta que no se tenga mas error

Teoria de Control

' Control Integral

' Por ejemplo se podria hacer que el volante gire a velocidad constante, a este tipo de reset se le conoce como control de velocidad unica flotante, donde “flotante” se refiere a la dependencia de la razón de cambio en el controlador sobre el error

Teoria de Control

' Control Integral

' Un moddo comun de reset es el control de velocidad proporcional flotante, en el que la razón del movimiento del volante es proporcional a la derivada del error:

d V

d t= K

1E

Teoria de Control

' Control Integral

' Integrando la ultima ecuación se obtiene:

V=K1∫Edt

Teoria de Control

' Control Integral

' Si se combinan el control proporcional con el control integral se obtiene:

V=KE+KI∫Edt+M

Teoria de Control

Teoria de Control

' Control PI

' La salida del controlador (posición del volante) crece casi instantaneamente por una cantidad KE como resultado de la parte proporcional

' Pero debido a que el error persiste, el termino integral continua moviendo el voalnte a velocidad constante, donde la pendiente se obtiene de la ganancia de reset K

I

Teoria de Control

' Control PI

' Despues de transcurrido el tiempo TI, conocido como

tiempo de reset, el movimiento del volante debido a la pendiente del temino integral, se iguala al termino proporcional

' Por lo tanto el ajuste del reset se puede expresar en terminos del T

I o de su reciproco

Teoria de Control

' Control PI

' Algoritmo PI en terminos del tiempo de reset:

V=KE+K

TI

∫Edt+M

V=K E+1

TI

∫Edt +M

Teoria de Control

Teoria de Control

' Control Derivativo

' Si el tiempo integral del control PI dura demasiado, el proceso lentamente se restableceria hasta que el error alcance el valor de cero

' En el caso del carro, es obvio que si se pierde la dirección deseada, es necesario reestablecer la orientación pero de manera suave

Teoria de Control

' Control Derivativo

' Es necesario poder incorporar en el controlador una forma de “anticiparse” al error, determinando que tan rapido se esta moviendo el error

Teoria de Control

' Control Derivativo

' La derivada del error, permite determinar la razón de cambio del error. Matemáticamente se tiene la expresión:

V = KD

d E

d t

Teoria de Control

' Control Derivativo

' La derivada solamente afecta al controlador, cuando hay un cambio en la magnitud del error E

' Cuando el error E esta en estado estable, la corrección solamente se puede realizar mediante los algoritmos proporcional e integral

C

' Control Derivativo

' Es posible reducir el error utilizando los algoritmos de cotrol proporcional y derivativo (PD), pero el tipo mas comun es el cotrolador (PID)

V=K E+ 1

TI

∫Edt+TD

dE

dt+M

Teoria de Control

' Control Derivativo

' El termino TD se conoce como razón del tiempo o tiempo derivativo y esta relacionado con KD como:

KD=KT

D

Teoria de Control

' Control Derivativo

' Desempeño del controlador PD

Bibliografia

' Analysis and Syntesis of Linear Control Systems. Chi−Tsong−Chen. Holt Rinehart Winston

' Digital Control of Dynamic Systems. Gene F. Franklin, J. David Powel and Michael Workman. Addison−Wesley

' Modern Control Engineering. Kasuhiko Ogata. Prentice−Hall

' Modern Control Systems. Richard C. Dorf and Robert Bishop. Addison Wesley