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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “CRISTO REY” R. M. 3er Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “CRISTO REY” R. M. 3er Año

TEMA: ORDEN DE INFORMACIÓN

OBJETIVOEste tema se caracteriza por la abundante información en cada

problema, pero suficiente para llegar a lo pedido. Los datos se deben considerar directa o indirectamente, tratando primero de ordenar adecuadamente la información, en lo posible por medio de diagramas (Rectas, flechas, circunferencias, cuadros de doble entrada).

ORDENAMIENTO CRECIENTE O DECRECIENTEEjemplo: (San Marcos 2000)Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Gerardo es mayor que Miguel. Por lo tanto el menor de todos es:

A) Enrique

B) Gerardo

C) Miguel

D) Oliver

E) Claudio

Resolución:Se trata de formar en un solo sentido las desigualdades (ya sea solo “<” o únicamente “>”) Miguel = Enrique Oliver < Enrique Claudio < Oliver Gerardo > Miguel Miguel < Gerardo Claudio < Oliver < Enrique = Miguel < Gerardo

. Rpta.: E .

Otro Método:Como nos piden un único menor, cada momento al leer el enunciado descartaremos los que no son menores: Miguel y Enrique (descartado) Oliver (descartado) Gerardo (descartado) El menor será el que quedó, o sea Claudio

ORDENAMIENTO LATERALConsiderar:

Ejemplo: (San Marcos 2000)El volcán Temboro está ubicado al este de Krakatoa. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este?A) Suma

traB) Singa

purC) Kraka

toaD) Temb

oroE) A o B

Resolución: Krakatoa Temboro

Singapur Krakatoa

Sumatra Singapur

Juntando los Datos:

. Rpta.: D .

OBSERVACIÓN:MÁS RÁPIDO SERÍA DESCARTANDO LOS QUE ESTÁN MÁS AL OESTE

ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOSEjemplo:Cinco personas: A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que:

Prof. Claudio Casilla Mamani Prof. Claudio Casilla Mamani


A trabaja en un piso adyacente al que trabajan B y C. D trabaja en el quinto piso. Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío.¿Quiénes trabajan en el 4º y 6º piso respectivamente?

A) B – C B) C – A C) E – C D) C – E E) C – B

Resolución:Se tratará de empezar por los datos más claros (que no presenten varias posibilidades) Del último dado se deduce que “B” no puede estar ni en el 1º ni

en el 6º piso (es evidente que tampoco en el 5º). Luego las posibilidades restantes serán:

En el 4º y 6º piso trabajan “C” y “E” respectivamente

. Rpta.: D .

ORDENAMIENTO CIRCULARConsiderar:

1) “A” está al frente de “C”2) “A” está a la izquierda de “D”3) “A” está a la derecha de “B”

Ejemplo:4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe: PI no se sienta junto a PU PA se tienta junto y a la derecha de PU¿Dónde se sienta PO?

A) Frente a PA B) Frente a PI C) A la izquierda de PU

D) A la derecha de PI

E) Más de uno es correcto

Resolución:Considerando primero el segundo dato por ser más conciso.

Como PI no se sienta junto a PU, entonces necesariamente estará en el frente de PU, y para PO le queda el frente de PA: quedando el gráfico así:


1112


Analizando las alternativas observamos que las que cumplen con A, C y D.

. Rpta.: D .

CUADROS DE DOBLE ENTRADAEjemplo:A, B y C se encuentran en la antigua parada y comentan sobre sus vicios. A dice: A mi no me gusta fumar ni beber. C dice: Me hubiera gustado aprender a fumarConsiderando que solo hay tres vicios: fumar beber y jugar; y que cada uno de ellos tiene un solo vicio ¿Cuál es el vicio de A?

A) Fumar

B) Beber

C) Jugar D) F.D. E) N.A.

Resolución:

Construyamos un cuadro de doble entrada, para así mostrar todas las posibilidades:

Como a “A” no le gusta fumar ni beber, entonces le gusta jugar, y el cuadro resulta así:

FUMA BEBE JUEGAA NO NO SI

BC

Como el juego le corresponde a ”A”, entonces el juego no será para “B”.

Considerando el segundo dato, se tendrá que “C” no fuma.El cuadro resultante

“B” Fuma

. Rpta.: A .

OBSERVACIÓN:ESTE PROBLEMA SE PODRÍA RESOLVER SIN EL CUADRO DE LA SIGUIENTE MANERA (PROCESO DIRECTO): COMO “A” NO FUMA NI BEBE, ENTONCES JUEGA,

ADEMÁS QUE A “C” LE HUBIERA GUSTADO APRENDER A FUMAR, ENTONCES “C” NO FUMA, DE DONDE SE DEDUCE QUE EL QUE FUMA SERÁ “B” (DEBIDO A QUE “A” TAMPOCO FUMA).

PERO EN OTROS PROBLEMAS SI ES NECESARIO EL CUADRO POR LA ABUNDANTE INFORMACIÓN.


13 14


COMENTARIO:UNA FORMA CONVENIENTE DE RESOLVER ALGUNOS PROBLEMAS DE LÓGICA, CONSISTE EN CONSTRUIR UNA TABLA CON CASILLAS PARA TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES QUE SE PUEDAN PRESENTAR, A LA CUAL SE DENOMINA TABLA DE DOBLE ENTRADA O CUADRO DE DECISIONES. CADA CASILLA SE MARCA CON “SI” O CON “”, PARA INDICAR QUE LA COMBINACIÓN ES CIERTA (VERDADERA), O CON UN “NO” O “X” INDICANDO QUE SE RECHAZA, TODO ESTO SACANDO CONCLUSIONES DE LAS PREMISAS PLANTEADAS DEBEMOS OBSERVAR EN UNA FILA O EN UNA COLUMNA DEBE HABER UNA Y SÓLO UNA MARCADA CON “SI” O “”

DECISIÓN CON DATOS IMPLÍCITOSSon aquellos problemas donde luego de llenar el cuadro de doble entrada con los datos en forma directa no se puede concluir, es entonces que se busca un dato o más adicionales implícitos en los anteriores

Ejemplo:Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa, y Queta son profesora, Nutricionista, Abogada y Odontóloga.¿Quién es la abogada y quién es la odontóloga? Si: Judith está casada con el hermano de la Nutricionista. Elba y la Odontóloga van a trabajar en la movilidad de la

Nutricioncita. Las Solteras de Rosa y la Profesora son hijas únicas. Elba y Queta son amigas de la Abogada, la cual está de novia.

A) Rosa – Judith B) Rosa – Elba C) Judith – QuetaD) Elba - Queta E) Queta – Rosa

Resolución:

Profesora Nutricion. Abogada Odontol.Judith NO NOElba SI NO NO NORosa NO

Queta NO NO

Como la abogada está de novia, entonces Judith que es casada no es Abogada, de donde se deduce que es Odontóloga.

Profesora Nutricion. Abogada Odontol.Judith NO NO NO SIElba SI NO NO NORosa NO NO SI NOQueta NO SI NO NO

Por lo tanto, la Abogada es Rosa y la Odontóloga es Judith.

. Rpta.: A .PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. 4 Amigos: Ángel, Beto, Carlos y David tienen como esposas a Rosa, Ana, María y Dora, aunque no necesariamente en ese orden. Beto y su esposa se

dirigen a la feria y encuentran a David y a Ángel con sus respectivas esposas.

Luego Rosa dice. ¡Que tal! ¿hace mucho tiempo que esperan?

María le responde: No, recién hemos llegado, ¿Han visto a Ana por el camino?

Ángel (interrumpiendo a

2. Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa escogieron distrito diferente para vivir y se movilizan usando un medio de transporte distinto: los distritos son- Lince, Jesús, María, Rímac, los medio de transporte son: bicicleta, moto y microbús.I. Cuando blanca tenga

dinero se comprará una moto y se mudará a Rímac.

II. Desde que Vanessa vive en Jesús María ya no tiene bicicleta.

III. La que vive en Lince tiene dos micros.

¿En qué distrito vive Sandra


15

16


María): Mira querida allá viene.

¿Quién es el esposo de Dora?

Rpta.

y en que se moviliza?

Rpta.

EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....

DYALAY–AL–DIN–RUMI

3. Tres amigos de nombres, apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de uno de ellos teniendo la siguiente informaciónI. Samuel no es Mamani.II. Quispe trabaja de

contador.III. El actor se llama Hugo.IV. El profesor no es

Condori.V. Uno de los Amigos es

Carlos.¿Cuál es la ocupación y el apellido de Samuel?

Rpta.

4. Katy, Omar y Mary estudian en tres universidades A, B, y C. Ellos estudian Ingeniería

5. Manuel es 4 años menor que Alberto, Raúl es un año mayor que Pedro, Raúlñ es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años menor que Juan. Al restar la edad de Alberto y la edad de pedro obtenemos:

Rpta.

6. Cuatro personas tienen S/2, S/. 5, S/. 8 y S/. 9. si se sabe que: Ana tiene el promedio

de dinero de Juan y Pedro.

Pedro y Alberto tienen las mayores cantidades de dinero

¿Quiénes tiene S/. 2 y S/. 8 respectivamente?

Rpta.

Periodismo y Turismo. Katy no está en A. Omar no está en B. El que está en B estudia Periodismo. El que está en A no estudia Ingeniería. Omar no estudia Turismo ¿Qué estudia Mary y en qué universidad?

Rpta.

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

7. Cinco automóviles P, Q, R, S y T son comparados de acuerdo a su costo y tiempo de fabricación. Si se sabe que: P es menos caro que R y

menos moderno que Q. Q es más caro que P y

más moderno que T. R es más caro que T y

más moderno que S. S es menor caro que P y

más moderno que Q. T es más caro que Q y

más moderno que P.¿Cuál(es) de los siguientes autos es más caro que P y más moderno que T?

Rpta.

8. Sobre una mesa hay tres naipes en hilera. Sabemos que a la izquierda del rey hay un as; a la derecha de la jota hay un diamante; a la izquierda del diamante hay

9. En una competencia atlética participaron tres parejas de esposos: los Contreras, los Gonzáles y los Flores. Además se sabe que: Las esposas llegaron

antes que sus respectivos esposos.

La señora Flores llegó antes que el señor Contreras.

El señor Gonzáles no llegó primero y fue esperado por una dama.

La señora Contreras legó quinta, justo después de su esposo, entonces. ¿en que posición llegaron el señor y la señora Gonzáles?

Rpta.


17 18

19


un trébol, y a la derecha del corazón hay una jota. ¿Cuál debe ser el naipe del centro?

Rpta.

10.En un edificio de 6 pisos viven las familias: Andrade, Barrantes, Canales, Dávalos, estrada y Alva. Los pisos que ocupan las

familias Dávalos y Estrada son contiguos. El piso de la familia Barrantes no es contiguo al de la familia Andrade.

Un piso separa las casas de las familias Canales y Dávalos.

El piso de la familia Andrade está separado por tres pisos del piso de la familia Canales.

Los Barrantes viven en la planta baja separados por tres pisos de los Estrada.

Un piso Separa a los Estrada de los Alva.

Se quiere saber, ¿En qué piso viven los Dávalos?

Rpta.

11.En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Además se sabe que: Lucía no está sentada al

lado de Leticia ni de Juana.

María no está al lado de Cecilia ni de Juana.

Leticia no está al lado de Cecilia ni de María.

Irene está junto a y a la derecha de Leticia.

Entonces es cierto:I. Irene está junto y a la

derecha de María.II. Lucía está frente a

Leticia.III. Juana está junto y a la

izquierda de Cecilia.

Rpta.

LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. TODO LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN INDELEBLE

W. STEKEL

12.Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa. Julio está al lado de

Carlos y al frente de Ana. David no se sienta nunca

al lado de Ana y de Carlos.

Entonces es siempre cierto que:I. Ana y Carlos se sientan

juntos.II. David está a la derecha

de Julio.III. David está a la

izquierda de Julio.IV. Ana y Carlos están

separados por un asiento.

V. N.A.

Rpta.

13.En un comedor ocho comensales se sientan alrededor de una mesa circular, las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades: el de ingeniería está frente al de educación, y entre ellos los de economía y farmacia, el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Frente al de farmacia está el de derecho, éste a su vez a la siniestra del de arquitectura.¿Cuál es la profesión del que está entre el de biología y educación?

Rpta.

SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES IMPORTANTE PARA TI, SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁS DISPUESTO A LUCHAR PARA OBTENERLO, TE ASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO. SERÁ UNA VIDA DURA, PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA.

R. BACH

14. En una sala de conferencias se

15.Manuel, Percy y Franklin tienen dos ocupaciones


2021


encuentran: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres aunque no necesariamente en el orden de los profesionales son P, D, J y L. Si se sabe que: P y el contador no se

llevan bien. J se lleva bien con el

médico. D es pariente del

abogado y peste es amigo de L.

El ingeniero, es muy amigo de L y del Médico.

¿Quién es el abogado?

Rpta .

cada uno: chofer, contrabandista, pintor, jardinero, barbero y músico, además:I. El chofer ofendió al

músico riéndose de su cabello largo.

II. El músico y el jardinero salían a pasear con Manuel.

III. El pintor compró al contrabandista un reloj de Suiza.

IV. El chofer cortejaba a la hermana del pintor.

V. Percy debía $500 al jardinero.

VI. Franklin gano al pintor y a Percy en el juego de cartas.

¿Qué ocupaciones tenía Franklin?

Rpta.

ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE; LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA PUEDE OFRECERTE.

FRANCISCO JARAMILLO

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Cinco personas rinden una prueba: “x” tiene un punto más

que “y”.

3. En un campeonato de fulbito participan 6 equipos, el equipo “Z” va en el primer lugar, el equipo “X” ocupa el

“z” tiene dos puntos menos que “y”.

“y” tiene un punto más que “w”

“x” tiene dos puntos menos que “s”

“y” tiene el mismo aprobatorio

A) x, y, zB) x, z, wC) w, y, sD) x, s, yE) z, x, s

2. Durante un concurso de glotones resultó que, “Benito” comió más que: “Don gato”, pero menos que “Miky”, “Matute” comió menos que “Lucas” y esta a su vez menos que “Yogi”, “Benito” comió más que “Lucas” y “Donald” menos que “Lucas”. Entonces:

A) Donald comió menos que los demás.

B) Yogi comió más que Micky.

C) Benito comió más que Matute.

D) Don gato comió más que Matute.

E) Donald comió más que Benito.

quinto lugar y el equipo “W” el lugar intermedio entre ambos. Si el equipo “R” está delante y junto del equipo “X” y el equipo “B” aparece clasificado después del equipo “C”, ¿qué equipo ocupa el segundo lugar?

A) B) C)D) E)

4. En los resultados de la práctica se supo que: PLUS obtuvo más nota que

LOTUS. RPG tiene menos que

BASIC. LOTUS tiene menos que

FLOW y BASIC. PASCAL le ganó a LOTUS.Entones podemos afirmar que:

A) No es cierto que FLOW obtuvo menos nota que RPG.

B) RPG superó a PASCAL.

C) No es cierto que FLOW le ganó a PASCAL.

D) PLUS le ganó a todos.

E) No es cierto qu FLOW haya sido superado por RPG.

5. Un abogado invitó a una conferencia a cinco personas, que se sentaron alrededor de una mesa circular, sus nombres eran:

6. Se tiene un número formado por las siguientes cifras, 1, 2, 5, 6, 9 y 8, pero no en ese orden, se sabe que: El 9 está junto y a la


22

23


Ricardo, Roberto, Guillermo, Eduardo Carlos y Marcos; sus profesiones son: médico, psicólogo, ingeniero, sociólogo, profesor, abogado.El profesor que tiene discrepancia con Carlos se sentó junto a Ricardo. El médico se sentó frente a Roberto. Roberto se sentó entre el sociólogo y el profesor. Marcos que es buen amigo de todos se sentó junto al ingeniero y frente al abogado. El ingeniero se sentó frente a Eduardo, junto al médico y a la izquierda del profesor.¿Se quiere saber cuál es la profesión de Ricardo.?

A) MédicoB) PsicólogoC) IngenieroD) SociólogoE) Abogado.

derecha de 1. El 2 y el 5 no son vecinos

al 8. El 5 y el 1 no son vecinos

de 8. El 6 está a continuación

del 8.Hallar la máxima suma de las tres primeras cifras del número.

A) B) C)D) E)

7. Juan, José, Jacinto, Julián y Javier viven en un edificio de 5 pisos, cada uno en un piso diferente, se sabe que: Juan vive 2 pisos debajo

de José. Jacinto no vive en un piso

inmediato al de José. Julián vive a un piso

arriba de José. Y no es el 5to. piso.

¿Quién vive en el segundo piso?

A) B)C) D)E)

8. En una competencia de motocross participan 6 personas, con sus motos numeradas del 1 al 6. se sabe que: Los tres primeros

últimos lugares los ocupan motos con numeración de los primeros primos.

9. En una mesa circular hay 6 asientos distribuidos simétricamente, en los cuales se sientan 6 amigos. Si se sabe que: Manuel se sienta frente

a Nora, y junto a Pedro. José se sienta frente a

Pedro y a la izquierda de

La diferencia entre el quinto y el segundo es 4.

La moto del cuarto lugar es la semisuma de los números de las motos de lugares extremos.

¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la moto número 1?

A) B) C)D) E)

Nora. Susy no se sienta junto

a José¿Quién se sienta frente a Rosa?

A) B)C) D)E)

TU ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y AMBOS SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO ESPÍRITU SANTO; SOMOS IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA TIERRA. ERES MI COMPAÑERO EN EL SENDERO DE LA VIDA Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA VERDAD OCULTA. ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUE TE AME COMO HERMANO...

KAHIL GIBRÁN

10. Tenemos tres personas: Manuel, Walter y Franklin que como no tiene dinero, deciden ponerse a trabajar. Manuel gana menos que Walter y éste menos que Franklin, Manuel gasta más que Walter y éste más que Franklin. ¿cuál de las siguientes afirmaciones se cumple necesariamente?

I. Si Franklin gasta todo su dinero; Manuel queda endeudado.

II. Si Manuel y Walter ahorran; Manuel tendrá más dinero que Walter.

III. Si Franklin ahorra, Manuel ahorra

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) I y III


24

25


CLAVES

1. D

2. C

3. A

4. C

5. C

6. A

7. D

8. E

9. C

10. C

PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS

1. Se deben realizar 5 actividades: A, B, C, D, y E una por día, desde el lunes hasta el viernes. D se realizó antes de la

B. C se realiza 2 días

después de A. D se realiza Jueves o

viernes.¿Qué actividad se realiza el martes?

A) E B) D C) BD) A E) N.

A.

3. Pedro es 3 cm más alto que Jorge, María es 2 cm más baja que Jorge, Javier es 5 cm más bajo que Pedro. Rosa es 3 cm, más baja que Jorge. Se afirma que:I. Javier y María son de la

misma talla.II. Rosa es la más bajaIII. Jorge es el más altoSon ciertas:

A) Todas

B) I y II

C) I y III D) II y IIIE) N.A.

2. Si se sabe que Manuel es mayor que Sara y que Arturo, pero éste último s mayor que Vanessa y que Sara. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

A) Sara es menor que Arturo.

B) Vanesa es menor que Arturo.

C) Manuel es menor que Arturo.

D) Sara es menor que Manuel.

E) Vanessa es menor que Manuel.

4. Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Toño no está sentado al lado de Nino ni de Pepe; Félix no está al lado de Raúl ni de Pepe. Nino no está la lado de Raúl ni de Félix Daniel está junto a Nino, a su derecha. ¿quién está sentado a la izquierda de Félix?

A) Toño B) Daniel

C) Pepe D) RaúlE) N.A.

5. Ana, Berta, Carlos y Diana están sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 1 al 4, José los mira y dice:“Berta está al lado de Carlos”“Ana está entre Berta y Carlos”pero sucede que las dos afirmaciones son José son falsas. En realidad Berta está en la silla Nº 3¿Quién está en la silla Nº 2?

A) Berta

B) Carlos

C) Diana

7. Seis amigos: Francisco, Rafael, Luis, Úrsula, Carolina y Ana van al cine y se sientan en una fila de 6 asientos contiguos vacíos. Si se sabe que: Dos personas del mismo

sexo no se sientan juntas.

Rafael se sienta en el extremo derecho.

Francisco y Úrsula se sientan a la izquierda de los demás.

¿Cuál de las afirmaciones es correcta.?


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D) Ana

E) N.A.

6. Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Fidel vive en el primer piso, Antonio vive más bajo que Manuel, y Freddy vive un piso más arriba que Antonio ¿En qué piso vive Freddy?

A) 1º

B) 2º

C) 3º

D) 4º

E) N.A.

A) Ana se sienta junto a Rafael.

B) Carolina se sienta junto a Luis.

C) Carolina se sienta junto a Rafael.

D) Francisco se sienta junto a Ana.

E) N.A.

8. El volcán Temboro está ubicado al está de Sumatra. El volcán Singapur al oeste de Krakatoa. EL Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado al oeste? (SM 2000)

A) Temboro

B) Sumatra

C) Singapor

D) Krakatoa

E) N.A.

10. Cuatro amigos: José, Juan, Carla y Karen, se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: Entre dos personas del

mismo sexo hay un asiento vacío adyacente a ellas.

Karen se sienta junto a José

Podemos afirmar que:I. Carla se sienta junto a

Juan.II. José se sienta frente a

Carla.III. Karen se sienta frente a

Juan.

9. Se tiene un edificio de 6 pisos en el cual viven seis personas: A, B, C, D, E y F, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: E vive adyacente a C y

B. Para ir de la casa de E a

la F hay que bajar 3 pisos. A vive en el 2do piso.¿Quién vive en el último piso?

A) B B) C C) DD) E E) N.

A.

A) I B) IIC) I y II D) II y IIIE) N.A.

11. Seis personas juegan al Póquer alrededor de una mesa redonda: Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana, Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pedro está junto a Elena a su derecha. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo?

A) Félix B) LitoC) Elena D) JuanaE) N.A.

12. Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Emilia y Fabiola se sientan sobre 6 sillas simétricamente distribuidas alrededor de una mesa circular.Si se sabe que: Alicia no se sienta frente

a Beatriz. Diana está rente a

Emilia. Carmen está junto y a la

siniestra de Alicia.Podemos afirmar que:I. Carmen se sienta frente

13. Sobre una misma fila de un tablero de Ajedrez (8 casillas), se tienen 6 piezasSi se sabe que: Adyacente al rey y al

peón hay un lugar vacío común.

El alfil está a la izquierda de la reina.

La torre está a la derecha de la reina y junto a un lugar vacío.

El caballo está a la derecha de los demás. y junto al peón

Cual de las afirmaciones es


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a Beatriz.II. Alicia se sienta junto a

Diana.III. Fabiola se sienta frente

a Alicia.

A) I y II B) I y IIIC) II y III D) TodasE) N.A.

correcta:

A) Entre la torre y el rey hay un lugar vacío.

B) Entre la torre y la reina hay un lugar vacío.

C) Entre el rey y la reina hay un lugar vacío.

D) El alfil no está a la izquierda de los demás.

E) N.A.

CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN, VALE LA PENA HACERLA DESPACIO.

GIPSY ROSE LEE

14. En una mesa circular hay 6 asientos simétricamente colocados, ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Si Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana. María no está al lado de Cecilia ni de Juana, Leticia no está al lado de Cecilia ni de María, Irene está junto y a la derecha de Leticia. ¿Quién está sentada junto y a la izquierda de María?

A) Irene B) LeticiaC) Lucía D) CeciliaE) N.A.

15. En un comedor de estudiantes; 8 comensales se sientan en una mesa circular, guardando distancias. Todos

16. Los profesores Gómez, Herrera, Silva enseñan: Matemática, Historia y Geografía, no necesariamente en ese orden. El profesor de

Geografía, que es el mejor amigo de Herrera que es el menor.

El profesor Silva es mayor que el profesor de Historia.

Indicar las proposiciones correctas:I. Silva

es menor que el profesor de Matemática.

II. Gómez es el profesor de geografía.

son estudiantes de diversas facultades. El de ingeniería está frente al de educación y entre los de economía y farmacia; el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía; frente al de farmacia está el de derecho; éste a su vez está a la siniestra del de arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes de biología y educación?

A) Periodismo

B) Farmacia

C) Derecho

D) Economía

E) N.A.

III. Herrera no es profesor de historia.

A) I B) IIC) III D) I y IIE) N.A.

17. Cinco personas: A, B, C, D y E trabajan en un mismo edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: A trabaja en un piso

adyacente al que trabaja B y C.

D trabaja en el 5to piso.

Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío.

¿Quiénes trabajan en el 4º y º piso respectivamente?

A) B – C

B) C – A

C) E – C

D) C – E

E) N.A.

19. Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican cada uno un deporte diferente.Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de fútbol.Alberto le pide prestada las paletas de frontón a Roberto. César nunca fue buen nadador.¿Qué deporte practica César?

A) B)C) D)E) Cualquier

deporte

20. Sabiendo que:Teresa es mayor que


29 30

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18. En un edifico de 4 pisos viven las familias: Bendezú, Días, Moyano y Ventura, cada familia vive en un piso. La familia Bendezú vive en un piso más arriba que a familia ventura, la familia Bendezú más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso vive la familia Moyano?

A) 4º

B) 3º

C) 2º

D) 1º

E) N.A.

Susana.Silvia es menor que Julia, quien es menor que Teresa.Susana es menor que Silvia.¿Quién es la mayor?

A) Susana

B) Silvia

C) Julia D) Teresa

E) Cualquiera

21. Tres amigos con nombres diferentes, tiene cada uno un animal diferente. Se sabe que:El perro y gato peleaban.Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario.Julio le dice al dueño del gato que éste quiso comerse al canario.¿Qué animal tiene Luis?

A) Perro B) GatoC) Canario D) Perro o

gatoE) Canario o gato

22. Tres estudiantes: de Historia, Economía e

23. tres amigas, Sandra, Blanca y Vanessa escogieron un distrito diferente para vivir y se movilizan usando un medio de transporte distinto. Los distritos son: Lince, Jesús María y Rímac; los medios de transporte: bicicleta, moto y microbús.Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rímac.Desde que Vanessa vive en Jesús María ya no tiene bicicleta.La que vive en Lima toma dos micros.¿En que distrito vive Blanca y en qué se moviliza?

A) Rímac – bicicleta

Ingeniería viven en Chiclayo, Lima y Arequipa (no en ese orden necesariamente).El primero no vive en Lima, ni estudia Ingeniería.El segundo no vive en Chiclayo y estudia Economía.El historiador vive en Arequipa.¿Qué estudia el tercero y donde vive?

A) Economía – ArequipaB) Historia – ChiclayoC) Ingeniería – LimaD) Historia – LimaE) Ingeniería – Chiclayo

B) Jesús María – motoC) Lima – motoD) Lima – microbúsE) Rímac – microbús

.

CLAVES

1.

2.

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4.

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¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEFARMACIA Y BIOQUÍMICA

El químico farmacéutico, como miembro de las profesiones médicas del equipo de salud, es el especialista

del medicamento, alimento y tóxico, con sólida formación científica, tecnología y humanística, con capacidad ejecutiva y de liderazgo.

Ámbito de Trabajo:Industria farmacéutica, centros hospitalarios, clínicas,

farmacias, laboratorios bromatológicos, microbiológicos y farmacológicos. Industrias químicas, fármaco químicas, alimentarías y cosméticos. Centros de investigación y docencia.

TEMA: PARENTESCO

Algunos problemas lógico – deductivo interrogan sobre el número de integrantes de una familia, sobre un tipo específico de relación familiar, etc.

La resolución en algunos casos consiste en tener presente que cada uno de nosotros dentro nuestra familia (entendida en sentido lato; por lo tanto no sólo padres e hijos); desempeñan diferentes roles.

Así se puede ser al mismo tiempo padre, hijo, hermano, esposo, etc.

Ejemplos:24.En una reunión se encuentra 2 padres y 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántas

personas como mínimo se encuentran en dicha reunión?

A) 4 B) 3 C) 5 D) no se sabe

E) N.A.

Resolución:Este tipo se resuelve de la siguiente manera:


34

35


Luego como se observará en el diagrama, hay 2 padres que “A” y “B” 2 hijos que son “B” y “C” y un nieto que es “C”.. # de personas como mínimo = 3 .

. Rpta.: B .25.En una familia hay 2 esposos, 2 hermanos, 2 sobrinas y 2

hermanas. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) N.A.

Resolución:Para su mejor entendimiento construimos el siguiente diagrama

“D” y “E” son hermanas, también viene a ser hijas de “A” y “B” además son sobrinas de “C”

. # de personas como mínimo = 5 .

. Rpta.: B .

26.En una reunión familiar se encuentran 3 hermanos; 3 padres, 3 tíos, 3 sobrinos, 3 primos ¿Cuál es el número mínimo de personas reunidas?

A) 15 B) 12 C) 10 D) 6 E) 8

Resolución:Construyendo el diagrama respectivo, obtenemos que:

. # de personas como mínimo = 6 .

. Rpta.: D .


36

37


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. ¿Qué parentesco tiene conmigo; si su madre que la única hija de mi madre?

Rpta.

2. Hernán es cuñado de Manuel, Manuel es cuñado de Enma y Enma es hermana de la esposa de Manuel ¿Qué parentesco hay entre Hernán y Enma?

Rpta.

3. El hijo de la hermana de mi padre es mi:

Rpta.

6. Una familia está compuesta de: 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinos y 2 sobrinas. ¿Cuál es el número mínimo de personas que la conforman?

Rpta.

7. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

Rpta.

8. El hermano de la hija de mi tío es mi:

Rpta.

4. El tío del hijo de la hermana de mi padre es:

Rpta.

5. ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela?

Rpta.

9. La tía del padre de la hermana de mi madre es mi:

Rpta.

10.El hijo del hijo de la tía de mi padre es mi:

Rpta.11.Los esposos López tienen 3

hijos (varones), cada hijo tienen una hermana y cada hermano tiene tres sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia?

Rpta.

12.Si la mamá de Sara es la hermana de mi hermano gemelo, ¿qué es respecto a mí, el abuelo del mellizo de Sara?

Rpta.

13.Una Familia está compuesta por: 4 hermanos, 4 tíos, 2 padres, 2 madres, 3 sobrinos, 2 sobrinas y 5 primos ¿Cuál es el mínimo de número de personas que lo conforman?

Rpta.

14.¿Quién es el hijo del padre del abuelo de Manuel?

Rpta.

15.El matrimonio Sánchez tiene tres hijos, Nataly, Vanessa y César. El matrimonio Talledo tiene 4 hijos: maría, Gladis, Franklin y Miguel. El matrimonio Ponce tiene 2 hijos Bertha y Carla. Un hijo de la familia Sánchez llamado César se casa con María, hija de la familia Talledo, de éste matrimonio nacen 2 hijos: Daniel e Irma; Miguel hijo de la familia Talledo se casa con Berta hija de la familia Ponce; de éste matrimonio nace un hijo llamado Julio ¿Qué parentesco tiene Julio con Daniel?

Rpta.


3839


EL ÉXITO CONSISTE EN UNA SERIE DE PEQUEÑOS ESFUERZOS DIARIOS.

MAMIE MC CULLOUGH


1. En la oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos y 5 primos. Para firmar sus respectivos contratos. El menor número de contratos que firmaron será: (SAN MARCOS 1998)

A) B) C)D) E)

2. La familia Orozco consta de padre, madre y 8 hijas y se sabe que cada hija tiene un solo hermano ¿Cuántas personas hay en dicha familia?

A) B) C)D) E)

3. En una familia hay 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 3 madres, 2 sobrinos, 1 sobrina, 1 tío, 2 tías, 2 nietos, 1 nieta, nuera, 1 suegro, 1 suegra, 2 cuñadas, 2 primos, 1 prima, 3 hijos y 2 hijas. Indicar el mínimo número de personas presentes.

4. Construyendo tu árbol genealógico: ¿cuántos bisabuelos tus bisabuelos?

A) B) C)D) E)

5. ¿Quién será el nieto de la madre del único nieto del bisabuelo de la única bisnieta de Dionisio?

A) DionisioB) Bisnieto de

DionisioC) Padre de DionisioD) Nieto de DionisioE) Falta Datos.

6. No es cierto que Juan no sea sobrino de Alberto, quien es el tío de Pedro. Si es falso que Pedro y Juan sean hermanos y además Juan y María son hermanos. Por lo tanto:(SAN MARCOS 2000)

A) Pedro y María son esposos.

A) B) C)D) E)

B) María y Pedro son hermanos.

C) María y pedro son primos.

D) María es nieta de Alberto.

E) Pedro es padre de María.

7. El otro día en el parque escuché a dos personas (varones) la siguiente conversación “Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre” ¿Qué parentesco une a las dos personas?

A) Tío y sobrino.B) Abuelo y nieto.C) Padre e hijo.D) Hermanos.E) “A” ó “C”

8. ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la nuera de la mamá de mi madre?

A) Madre

B) Hijo

C) Primo

D) Sobrino

E) Ninguno

9. En una fiesta se encuentran 3 hermanos, 3 padres, 3 tíos, 3 sobrinos y 3 primos, si cada uno necesita una señorita para bailar, indicar el número de señoritas como mínimo.

A) B) C)D) E)

10. En una reunión familiar se encuentran dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión?

A) B) C)D) E)

NO VAYAS DELANTE DE MI, NO TE SEGUIRÉ, NI ME SIGAS, NO TE GUIARÉ; SOLO CAMINA A MI LADO Y SEAMOS AMIGOS.


40

41


E. WHITE

CLAVES

1. A

2. B

3. B

4. B

5. C

6. C

7. E

8. A

9. B

10. B


1. El hijo de la hermana de mi padre es mi:

A) Sobrino

B) Tío

C) Primo

D) Nieto

E) N.A.

2. El tío del hijo de la hermana de mi padre es mi:

A) Primo

B) Abuelo

C) Tío

D) Padre

E) N.A.

3. ¿Qué parentesco me uno a José si mi papá es cuñado de su papá?

A) Es m sobrino.B) Somos hermanos.C) Somos primos.D) No somos

parientes.E) N.A.

4. Los esposos Gómez tienen 7 hijas y cada hija tiene un hermano. ¿Cuántas personas como mínimo hay en la familia Gómez?

5. En la sala de mi casa se encuentran charlando 2 padres, 2 hijos, y están sedientos. ¿Cuántas bebidas gaseosas como mínimo debo llevar para entregarles una a cada persona?

A) B) C)D) E)

6. El tío del hijo de la única hermana de mi padre ¿Quién es?

A) Es mi primo.B) Es mi tío.C) Es mi hermano.D) Es mi padre.E) N.A.

7. ¿Qué parentesco tiene Piero con la Hija de la esposa del único vástago de su madre?

A) Padre – Hija.B) Hermano –

Hermana.C) Hijo – Madre.D) Primo – PrimaE) N.A.


42 43

44


A) B) C)D) E)

8. En una reunión se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión?

A) B) C)D) E) F)

9. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único?

A) Hijo

B) Esposo

C) Padre

D) Abuelo

E) N.A.

10. Dos padres y dos hijos se van de paseo a Lurín, en el almuerzo todos y cada uno de ellos consume una empanada y una gaseosa ¿Cuántas gaseosas y empanadas como mínimo consumieron?

A) B) C)

11. ¿Qué viene a ser conmigo el cuñado del hermano de mi mamá?

A) B)C) D)E)

12. En una reunión asintieron.- un esposo, su esposa, tres hermanos y una invitada; se quiere saber la cantidad mínima de personas que integran la reunión.

A) B) C)D) E)

13. En una reunión se encontraban: El doctor y su hija, el arquitecto y su mujer. ¿Cuántas manzanas como mínimo comieron, si cada uno cogió una manzana?

A) B) C)D) E)

D) E)

14. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 2 hermanos, 1 hermana, un abuelo, una abuela, 2 nietos, una nieta, 2 esposos y una nuera. ¿Cuántos son como mínimo?

A) B) C)D) E)

15. “Creo conocerla dijo el caballero a la dama”, “quizá respondió ella...”, “su madre fue la única hija de mi madre”¿Qué parentesco tiene el caballero y la dama?

A) Abuela – nieto.B) Tío – sobrina.C) Hermano – hermana.D) Madre – hijo.E) N.A.

16. Los esposos García tienen 3 hijos (varones), cada hijo tiene una hermana y cada hermano tiene 3 sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia?

A) B) C)D) E)

17. Una familia consta de: 4 hermanos, 4 tíos, 2 padres, 2 madres, 3 sobrinos, 2 sobrinas y 5 primos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que la conforman?

A) B) C)D) E)

18. La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana ¿Quién es?

A) Es mi hija.B) Es mi sobrina.C) Es mi esposa.D) Es mi hijaE) N.A.

19. Los esposos Gómez tienen 2 hijos y cada hijo tiene 3 hermanos. ¿Cuántos hermanos son como mínimo?

A) B) C)D) E)

20. Luis y su esposa tuvieron cuatro hijos. Cada uno de

21. ¿Quién es ese hombre que es el padre de la hija


4546


los hijos se casó y tuvo 4 niños. Nadie en las tres generaciones falleció.¿Cuántos miembros tiene la familia?

A) B) C)D) E)

de la esposa del único vástago de mi madre?

A) B)C) D)E)

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEMICROBIOLOGÍA Y PARASITOLOGÍA

El Microbiólogo Parasitólogo estudia los microorganismos y los parásitos, considerando sus aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, evolutivos taxonómicos, así como sus interrelaciones entre sí, con otros organismos y el medio ambiente.

Es un estudio profesional con criterio científico, tecnológico y humanístico; con capacidad de aplicar los conocimientos de la microbiología y parasitología para el control de plagas y enfermedades que afectan al hombre, animales y plantas; así como para la prevención y el control de la contaminación. Aplica sus conocimientos de la ingeniería de diseños y procesos para la explotación industrial de microorganismos benéficos.

Evalúa y califica la calidad microbiológica de materias primas, insumos empleados en la producción de alimentos, bebidas, cosméticos, fármacos, etc.

Posee capacidad de gestión empresarial y de organización de proyectos de inversión, producción y de servicios.

TEMA: EDADES

INTRODUCCIÓNLos problemas sobre edades son un caso particular del “planteo

de ecuaciones”. En estos problemas intervienen sujetos, edades y tiempos y la forma más práctica de resolverlos es usando un esquema como el que sigue:


47

48


Pasado Presente FuturoYo Tenía Tengo TendréTu Tenías Tienes TendrásÉl Tenía Tiene Tendrá

También se debe tener en cuenta lo siguiente:

Pasado Presente FuturoAna a m rBeto b n s

Ejemplos:1. La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier

tiempo:a – b = m – n = r – s

2. La suma en aspa de valores extremos simétricos es constante:a + n = b + mm + s = n + ra + s = b + r

3. Con el año de nacimiento:Si la persona ya cumplió años. Año nacim. + edad actual = Año actual .

Si la persona aun no cumple años. Año nacim. + edad actual = Año actual – 1 .

Ejercicios de aplicación:1. Hace 66 años Talía tenía la séptima parte de la edad que tiene

ahora. Entonces dentro de 5 años tendrá:Resolución:Sea “x” la edad actual:

x – 66 =

7 (x – 66) = x 7x – x = 7(66) 6x = 7 . (66) x = 77

Dentro de 5 años tendrá: 77 + 5 = 83 años.

2. Dentro de 13 años tendré el triple de la edad que tenía hace 7 años ¿Qué edad tenía hace 4 años?Resolución:Sea “x” la edad actual:

x + 13 = 3(x – 7)x + 13 = 3x – 21 2x = 34 x = 17

Hace 4 años tenía: 17 – 4 = 13 años.3. Un padre tiene ahora 40 años más que su hijo. Hace 10 años la

edad del padre era 5 veces la edad de su hijo. Hallar la edad de padre.Resolución:

Hace 10 años Presente

Padre x + 30 x + 40Hijo x – 10 x

Luego hace 10 años se tienex + 30 = 5(x – 10)x + 30 = 5x – 50 4x = 80 x = 20

La edad del padre será: 20 + 40 = 60 años.


49

50


4. Un padre le dice a su hijo: hace 8 años mi edad era el quíntuplo de la edad que tu tenías, pero dentro de 10 años sólo será el doble ¿Qué edad tiene el padre?Resolución:

Hace 8 años Presente Dentro de 10 años

P 5x 5x + 8 5x + 18H x x + 8 x + 18

Dentro de 10 años se cumple:5x + 18 = 2(x + 18)5x + 18 = 2x + 36 3x = 18 x = 6

La edad del padre será: 5. 6 + 8 = 38 años5. Tu tienes 16 años. Cuando tengas el triple de lo que yo tengo,

entonces mi edad será el doble de lo que actualmente tienes. ¿Dentro de cuantos años cumpliré 50 años?Resolución:

Presente FuturoYo x 32Tú 16 3x

Sumando en aspax + 3x = 16 + 32 4x = 48 x = 12

Entonces, cumpliré 50 años dentro de 50 – 12 = 38 años.

6. Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será el doble de la edad que tengo ahora. Además, cuando tenía 10 años, tu tenías la edad que tengo. Hallar la edad del mayor.Resolución:

Tenía Hot TengaYo 10 y xTú y x 2y

Sumando en aspa10 + x = y + y x = 2y – 10 .... (1)

Sumando en aspax + x = y + 2y 2x = 3y .... (2)

Reemplazando (1) en (2): x = 30; y = 20

Entonces, el mayor tendrá 30 años

7. Eva nació en el año y en 1980 tubo a + b años. Hallar su edad en el 2010.Resolución:

Como:Año nac. + edad = Año actual

+ a + b = 1980

Descomponiendo y simplificando:10a + b + a + b = 80 11a + 2b = 80

Cumple con: a = 6 y b = 7

Su edad en el 2010 será: 2010 – 1967 = 43 años.

8. Yo tengo el triple de edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tienes pero cuando transcurra el doble del tiempo de aquel entonces al presente, nuestras edades sumarán 108 años. ¿Qué edad tengo?


51

52


Resolución:

Pasado Presente FuturoYo 2x 3x 5xTú x 2x 4x

En el futuro5x + 4x = 108 9x = 108 x = 12

Luego mi edad será: 3.12 = 36 años.

LA CARRERA PROFESIONAL DEMATEMÁTICA

El matemático se ocupa del estudio de la ciencia matemática, base del desarrollo científico y tecnológico de un país. Su carácter general le permite aplicarla en el estudio de problemas de diferentes orígenes y características. El uso de un lenguaje simbólico universal

hace que la matemática se aplique en la actualidad a casi todos los ámbitos del conocimiento.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Un padre tuvo un hijo a los 30 años. Ahora la edad del padre es el triple de la edad del hijo. Indicar la edad del padre

Rpta.

2. dentro de 65 años tendré el séxtuplo de la edad que tenía hace 10 años. Hallar mi edad hace 12 años

Rpta.

3. Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 20 años menos y el hijo 16 años más. Tendrían la misma edad. Hallar la edad del padre

Rpta.

4. Dentro de 10 años, las edades de Pedro y Juan serán como 4 a 7, y hace 15 años Pedro tenía la tercera parte de la edad de Juan. Indicar la edad de Juan.

5. Si a la cuarta parte de mi edad de hace 10 años se le suman 15 años. se obtendrá lo que me falta para tener 50. determinar mi edad.

Rpta.

6. Verónica en el año 1969 cumplió tantos años como lo indicaba la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Hallar su edad en ese entonces

Rpta.

7. Una señora tuvo a los 24 años 2 mellizos. En el año en que las edades de los 3 años sumaban 78, se casa uno de los mellizos y tiene su primer descendiente un año después ¿Cuántos años tendía la madre cuando el hijo del que se casó cumplió 2 años?

Rpta.


53

54

55


Rpta. 8. Hace 12 años las edades

de dos hermanos estaban en relación de 4 es a 3. actualmente sus edades suman 59 años. ¿Dentro de cuantos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7?

Rpta.

9. Cuando Liz nació, Edith tenía 30 años.. ambas edades suman actualmente 28 años más que la edad de Elsa que tiene 50 años. ¿Qué edad tiene Fabiola que nació cuando Liz tenía 11 años?

Rpta.

10. Actualmente la edad de María es 4 veces la edad de Rosa, y cuando Rosa nació, María ya tenía 12 años. Hallar la edad de María dentro de 7 años.

Rpta.

11. Ya no soy tan joven porque paso de los 60 años, pero todavía no me pueden llamar centenario. Se sabe que cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tienen y mi edad es el triple del número de hijas y nietas ¿Qué edad tengo?

Rpta.

12. Si a la suma de los años de nacimiento de 40 alumnos se le suman sus edades se obtiene 78868. si la suma se hizo en Octubre de 1972 ¿cuántos cumplieron años ya en ese año?

Rpta.

13. La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Hallar tu edad.

Rpta.

14. Yo tengo 5 años más de la edad que tú tenías

15. Tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando

cuando yo tenía 3 años menos de la edad que tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 49 años ¿Qué edad tienes?

Rpta.

yo tenía la mitad dela edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías hace 12 años. ¿Cuántos años tengo?

Rpta.


1. Un padre tuvo su primer hijo a los 18

4. Hace 14 años, la relación de mi edad


56 57


años. si actualmente su edad es el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la suma de las edades?

A) 39 B) 54 C) 60D) 65 E) 78

2. La edad de Pedro es la mitad de la edad de Carlos, y es los tres cuartos de la edad de Paola. Si la suma de las tres edades es 65 años, hallar la edad de Paola.

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

3. Si al triple de la edad que tengo, se le quita mi edad aumentada en 4 años. tendría 32 años. ¿Qué edad tengo?

A) 36 B) 18 C) 54D) 14 E) 28

era como 5 s a 1 y dentro de 6 años será como 5 es a 3. ¿Qué edad tengo?

A) 30

B) 20

C) 32

D) 18

E) 34

5. Dentro de 20 años, Pedro tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años ¿Qué edad tendrá dentro de dos años?

A) 40

B) 42

C) 30

D) 32

E) 36

6. Cuando a Diana se le preguntó por su gatito, respondió. “hace 4 meses tenía la cuarta parte de los meses que tendrá dentro de 8 meses”. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el triple de los meses que tenía hace 3 meses?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

7. Hace 10 años la edad de A era el

9. Dentro de 10 años, la edad de

doble de la edad de B. actualmente suman 56 años ¿Cuál es la edad de A?

A) 22 B) 28 C) 34D) 24 E) 36

8. La suma de las edades de 10 personas es igual a 390 años. ¿Cuál era la suma de dichas edades hace 5 años?

A) 340

B) 330

C) 320

D) 300

E) 290

Edgard será el doble de la edad de Blanca. ¿Cuál es la edad actual de Blanca, si hace 5 años la edad de Edgard era el quíntuplo de la edad de Blanca?

A) 15

B) 20

C) 10

D) 30

E) 40

10. Entre A y B tiene 70 años. las edades que tendrán dentro de 10 años estarán en la razón de 4 a 5. hallar la edad de la menor.

A) 20

B) 40

C) 30

D) 25

E) 50

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA


58

59


CLAVES

1. B

2. C

3. B

4. E

5. B

6. C

7. C

8. A

9. C

10. C


1. Si al doble de mi edad que le quita 13 años se obtendrá lo que me falta para cumplir los 50 años. ¿Cuál es mi

4. LA edad actual de Víctor es el doble de la edad de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple

edad?

A) B) C)D) E)

2. La edad de Lucas dentro de 30 años será el quíntuple de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuál es su edad actual?

A) 18 B) 20 C) 22D) 24 E) N.A.

3. En la actualidad la edad de pedro es el doble de la edad de Juan más dos años. hace 3 años la relación de sus edades era como de 3 a 1. ¿Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan pedro será:

A) 30 B) 32 C) 34D) 36 E) N.A.

de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?

A) B) C)D) E)

5. Actualmente la edad de María es 4 veces la edad de Rosa, y cuando Rosa nació, María ya tenía 12 años ¿Cuál es la edad actual de María?

A) B) C)D) E)

6. Luz tiene 24 años, su edad es el doble de la edad que tenía Ana, cuando Luz tenía la edad que ahora tiene ana. ¿Qué edad tiene Ana?

A) B) C)D) E)

7. Tu tienes 16 años, cuando tengas el triple de los que yo tengo, entonces mi edad será el doble de la que actualmente tienes. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 40 años?

A) 28 B) 30 C) 32

10.La edad de un niño será, dentro de 4 años un cuadrado perfecto, hace 8 años su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años?

A) B) C)


60

61


D) 34 E) N.A.

8. Elvira tiene 24 años, su edad es el séxtuple de la edad que tenía Ana, cuando Elvira tenía la tercera parte de la edad que tiene Ana. ¿Qué edad tiene Ana?

A) B) C)D) E)

9. En 1963 la edad de Rafael era 9 veces la edad de su hijo. En 1968 era solamente el quíntuplo de la edad de éste. E el año 200, el número de años que cumplió el padre fue:

A) 82 B) 75 C) 65D) 70 E) N.A.

D) E)

11.Mi edad aumentada en su mitad y disminuida en su cuarta parte excede en 8 años a mi edad actual. ¿Cuántos años tengo?

A) B) C)D) E)

12.La suma de las edades de Pedro y Raúl es 48 años, al acercarse Javier, Pedro le dice: “Cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Raúl nació tu tenías 2 años” ¿cuál es la edad de Javier?

A) B) C)D) E)

13.La suma de las edades de Lalo y Rosa cuando nació Pepe, su primer hijo, era la mitad de la suma actual, si ahora Pepe tiene 20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 70?

A) 10 B) 12 C) 15D) 14 E) N.A.

14.Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces lo

16.Gustavo le dijo a Romy: “yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”. la edad de Gustavo es:

A) B) C)D) E)

que faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tenía hace 7 años ¿Dentro de 5 años que edad tendré?

A) B) C)D) E)

15.Las edades de cinco estudiantes son números consecutivos. Si la suma de los cuadrados de los dos mayores de dichos números es igual a la suma de los cuadrados de los otros tres. Determinar la suma de las cinco edades.

A) 75 B) 70 C) 65D) 60 E) N.A.

17.Cuando tú tenías 10 años. yo tenía la mitad de la edad que tu tendrás cuando yo tenga el doble de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 44 años ¿Qué edad tengo?

A) B) C)D) E)

18.Hace 8 años las edades de A y B estaban en la relación 10:1. actualmente la relación es 4: 1 ¿Dentro de cuánto tiempo la relación será 3: 1?

A) B) C)D) E)

19. Cuando transcurran desde hoy tantos años como los años que pasaron desde que nací hasta la edad que tenía hace 10 años, tendré el cuadrado de la edad que tenía hace 9 años ¿Cuántos años tenía hace 3 años?

A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 13

20. José le comenta a

21.Saúl le dice a Erick: “tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tenías hace 12 años”¿Cuántos años suman sus edades actuales?

A) B) C)D) E)

22.Tú tienes la mitad menos 5


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Raúl:“Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando Andrés tenía la mitad de la edad que tienes; cuando Andrés tenga la edad que tengo, yo tendré el triple de la edad que él tenía cuando ya te dije y tu tendrás el doble de la edad que tenías hace 7 años”¿Cuál es las sumas de las edades actuales de José y Raúl?

A) B) C)D) E)

años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo tenía cuando tú tenias la cuarta parte de lo que yo tuviese si tuviese 10 años más de las que tendré. Pero si yo tuviese ahora 10 años más de los que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo?

A) B) C)D) E)

CLAVES

1.

2.

3.

4.

5.

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10.

11.

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21.

22.

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEFÍSICA

El físico estudia los fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye


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prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales y de tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacidad para dedicarse a una carrera en investigación científica, y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas.

TEMA: RELOJES

CASOS ESPECIALES1. Angulo Convexo entre el Horario y el Minutero

Cuando el reloj marca las H horas con M minutos, el ángulo formado por el horario y el minutero se obtiene así:Cuando el minutero se adelanta al horario:

. .

Cuando el horario se adelanta al minutero:. .

2. Relación entre el recorrido del horario RH y el recorrido del Minutero RM

. .

Recuerde que un minuto de tiempo equivale a seis grados sexagesimales.

. 1 div. < > 6º < > 1 min. .

3. Adelantos y AtrasosCuando el reloj se está adelantando, para ponerlo a la hora correcta se debe retroceder el adelanto.Cuando el reloj se está atrasando, para ponerlo en la hora correcta se debe adelantar el atraso.

4. CampanadasEn el caso de problemas con campanadas, se debe resolver con los intervalos entre campanadas, ya que el intervalo mide el tiempo entre campanadas.

. Nº iontervalos = Nº camp. – 1 .

5. Tiempo TranscurridoSe debe tener en cuenta lo siguiente:

6. Corrección Automática de la HoraPara un reloj que se está adelantando, o atrasando, vuelva a marchar la hora correcta, deben pasar 12 horas ó 720 minutos de adelanto o atraso respectivamente.

Ejemplos:1. El quíntuplo de las horas transcurridos de un día es igual al

número de horas que faltan para acabar el día ¿Qué hora es?

Resolución:Horas transcurridas = x


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Horas que falta = 24 – xDato:

5(x) = 24 – x 6x = 24 x = 4

Entonces son las 4 a.m.

2. Faltan para las 6 p.m. la cuarta parte de lo que pasó desde las 4 p.m. ¿Qué hora es?Resolución:De 4 a 6 hay 120 minutosMinutos que pasaron = xFaltan pasar = 120 – xDato:

120 – x = 480 – 4x = x 5x = 480 minutos x = 96 minutos

La hora será 5.36 p.m.

3. Un reloj da 8 campanadas en 5 segundos ¿Cuántas campanadas en 40 segundos?

Resolución:Como en 8 campanadas hay 7 intervalos, planteamos7 intervalos .... en 5 seg x ..... en 40 seg.

x = x = 56 intervalos

Entonces se dará:56 + 1 = 57 campanadas

4. Un reloj se atrasa 10 minutos por día ¿En cuantos días por lo menos retornará a la hora exacta?

Resolución:Para que vuelva a marcar la hora correcta se debe atrasar 720 minutosSe atrasa

10 min .... en 1 día720 min. .... x

x = x = 72 días

Entonces, dará la hora correcta al cabo de 72 días.

5. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 8 horas ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que marque nuevamente la hora exacta?.

Resolución:Se adelanta

3 min .... en 8 h720 min. .... x

x = x = 1960 horas

Dará la hora correcta cuando pasen: = 80 días

6. Un reloj se adelanta 7 minutos cada 3 horas. Ahora son las 9.p.m. y hace 18 horas que se está adelantando. Halle la hora correcta.Resolución:Se adelanta

7 min .... en 3 horasx ..... en 18 h


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70


x = x = 42 minutos

La hora correcta será: 9 horas menos 42 minutos, o sea, 8:18 p.m.

7. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 3.36?Resolución:Como el minuto ya pasó al horario, tenemos

= M – 30 H

= (36) – 30(3) = 198 – 90 = 108º

8. ¿A qué hora, por primera vez, las manecillas del reloj forman ángulos de 70º entre las 6 y las 7 horas?Resolución:Por primera vez, el minutero no pasó al horario:

= M + 30H

70º = M = 30(6) M = 20

La hora será 6:20PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. ¿A qué hora de la mañana, el tiempo que marca un reloj es iguala a 5/4 de lo que falta para las doce del medio día?

Rpta.

5. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas, y hace un día con 6 horas que se viene adelantando ¿Qué hora será en realidad cuando indique 10:15?

Rpta.

2. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5 a.m. demora 6 segundos. ¿Cuánto demorará para dar las 12?

Rpta.

3. Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos?

Rpta.

4. Indicar la relación de la fracción transcurrida de la semana a la fracción transcurrida del día, si son las 6: a.m. del miércoles.

Rpta.

6. Hace 45 horas que un reloj se atrasa 3 minutos cada 5 horas ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 8:50?

Rpta.

7. Un reloj marca la hora exacta un día a las 6 p.m. Suponiendo que se adelanta 3 minutos cada medio día ¿Cuántos días pasarán por lo menos para que marque la hora exacta nuevamente.?

Rpta.

8. ¿Cada cuántos días un reloj dará la hora correcta, si se atrasa 10 minutos cada 7 horas?

Rpta.

9. La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9 a.m. es la tercera parte del tiempo que falta par las 7 p.m. ¿Qué hora es?

12. Un reloj se atrasa un minuto cada hora. Si la última vez que dio la hora exacta fue al medio día del 6 de marzo ¿en qué fecha más próxima dará la hora correcta?

Rpta.

13. Halle el ángulo de las agujas del reloj a las 5.20 a.m.


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72


Rpta.

10. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A que hora es la cita?

Rpta.

11. ¿Qué día del año marcara la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancada excede a los 3/8 del número de hojas que quedan?

Rpta.

Rpta.

14. Entre las 3 y las 4 de la tarde, ¿A qué hora las manecillas del reloj forman un ángulo de 130º por segunda vez.?

Rpta.

15. A las “n” horas exactas, las agujas del reloj están superpuestas. ¿En cuantos segundos dará “3n” campanadas, si da “n” campanadas en 5,5 segundos?

Rpta.


1. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 9h45’?

A) 20º30’ B) 21º31’ C) 21º30’D)0º E) 22º

2. Al mirar un reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido ¿Qué hora es?

4. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora 6 segundos. ¿cuánto demorará para indicar 12:00?

A) B) C)D) E)

5. Un reloj demora a + 1 segundos en tocar a2

campanadas ¿Cuántas

A) 9 a.m. B) 9 p.m. C) 8 a.m.D)9:30 a.m. E) 8:30 a.m.

3. Un reloj demora 5 segundos en dar las 6 empezando exactamente a las 6:00. Si el tic tac está uniformemente espaciados ¿Cuántos segundos demora en dar las 12:00?

A) 9 B) 10 C) 11D)12 E) 13

campanadas tocará en un segundo?

A) B) C)D) E)

6. Un reloj se adelanta dos minutos cada 3 horas. ¿Qué hora será en realidad cuando marque las 10:15 a.m., si hace 30 horas que está adelantándose?

A) B) C)D) E)

7. Hace ya 45 horas que un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas. ¿qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 8h 50 minutos?

A) 9:27 B) 9:17 C) 9:37D)8:23 E) 8:33

8. ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos?

A) 0,69 B) 0,46 C) 0,41D)0.56 E) 0,39

9. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue retrasándose razón de 3 segundos por minuto. ¿Cuántas horas necesita para tener una hora de retraso.?

A) B) C)D) E)

10.¿A que hora, entre las cuatro y las cinco, las manecillas de un reloj coinciden?

A) 2h 21’ 49”B) 2h 20’ 48 1/11”C) 4h 20’ 48”D) 4h 21’ 49 1/11”E) 4h 21’ 48 1/11”


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COMO UN IR Y VENIR DE OLA DE MAR, ASÍ QUISIERA SER EN EL QUERER, DEJAR A UNA MUJER PARA VOLVER, VOLVER A OTRA MUJER PARA EMPEZAR

LEONIDAS YEROVI

CLAVES

1. D

2. D

3. C

4. B

5. E

6. C

7. B

8. C

9. D

10. E


1. ¿A que hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que falta para las 12 del mediodía?

A) B) C)D) E)

2. Si la mitad del tiempo que ha transcurrido desde las 9 a.m. equivale a la tercera parte del tiempo de lo que falta para las 7 p.m. ¿Qué hora es?

A) B) C)D) E)

3. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo que ya pasó?

A) 9:16 a.m.

B) 8:20 a.m.

5. A que hora del día se cumple que el triple de lo que falta para transcurrir es igual al doble de lo que ya transcurrió

A) B)C) D)E)

6. Al preguntarle la hora a Toñito, éste responde “Las horas transcurridas del día exceden en 3 al doble de las horas que quedan ¿Qué hora es?”

A) B)C) D)E)


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76


C) 9:20 a.m.

D) 9:36 a.m.

E) N.A.

4. Al mirar un reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido ¿Qué hora es?

A) B) C)D) E)

7. Un reloj comienza a adelantarse 5 minutos cada 10 horas. ¿Cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente?

A) B)C) D)E)

8. Hace 45 horas que un reloj se atrasa 3 min. Cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad 8 h 50 min.?

A) B) C)D) E)

9. Un reloj que se atrasa 6 min. cada 2 h es sincronizado el 4 de Mayo a as 4 p.m. ¿cuál será el próximo día que marcara la hora exacta?

A) 14 de mayo

B) 16 de mayo

C) 15 de mayo

D) 12 de mayo

E) N.A.

10. Un reloj se adelanta 1 minuto por hora. Se empieza correctamente a las 12 del medio día del día

11. Un reloj se atrasa 15 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que se atrase media hora?

A) B)C) D)E)

12. Ya hace 18 horas que se adelanta un reloj ¿Cuánto adelanta por hora si señala las 5 hrs. 25 min. cuando son 5 hrs. 16 min.?

A) B)C) D)E)

13. Un reloj de 5 campanadas en8 seg. ¿En cuántos

jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta?

A) 10 de octubreB) 16 de octubreC) 30 de SetiembreD) 4 de octubreE) N.A.

segundos dará 10 campanadas?

A) B)C) D)E)

14. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora 6 seg. ¿Cuánto demorará para indicará las 12:00 m.?

A) 14,5 seg.

B) 16,5 seg.

C) 17,5 seg.

D) 18,5 seg.

E) N.A.

15. Un reloj da 6 campanadas en 30 segundos ¿En cuánto tiempo dará 12 campanadas?

A) 66 seg.

B) 64 seg.

C) 65 seg.

D) 75 seg.

E) N.A.

17. Un reloj de una iglesia, suena solamente cada hora para indicar la hora con el número de campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en una semana?

A) B)C) D)E)

18. Un reloj anuncia las horas con un número de campanadas igual a la hora que está indicando, para anunciar los cuartos y medias horas da una campanada ¿Cuál es el total de campanadas que ha dado el reloj desde las 10 horas hasta las 12 horas 15 minutos?


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16. ¿Cuántas campanadas da en un día, un reloj que indica cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada?

A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

19. En una competencia de carreras que empezó a las 4:15 de la tarde, Gerson y John obtuvieron los 2 primeros puestos. El controlador dice que Gerson llegó cuando las agujas del reloj formaban por primera vez un ángulo de 60º y que

John tardó 18 minutos.

¿Quién ganó la carrera y cual fue la diferencia de tiempos?

A)John, 5/11 B)Gerson, 5/11C)Gerson,

20/11D) G

erson, 80/11E) John, 80/11

20. Se hace funcionar dos relojes a las cero horas. Si Uno de ellos se retrasa 10 minutos cada hora con

21. Luis comienza un viaje cuando las manecillas del reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m. Llega a su destino entre las 2 y las 3 p.m., cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 180 grados. ¿Qué tiempo demoró el viaje?

A) B)C) D)E)

22. Si fueran 3 más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día 5/7 de lo que faltaría, si es que fuera 3 horas más temprano ¿Qué hora es?

respecto al otro. ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que ambos relojes coincidan a las 12?

A) 6 días

B) 60 horas

C) 36 horas

D) 15 horas

E) 3 días

A) B)C) D)E)

CLAVES

1.

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10.

11.

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18.

19.

20.

21.

22.


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80


ÍNDICE

PÁG.

ORDEN DE INFORMACIÓN......................................................................... 7

PARENTESCO......................................................................................... 34

EDADES............................................................................................... 47

RELOJES............................................................................................... 65


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