rm 8

SISTEMA HELICOIDAL

129

Compendio de Ciencias VIII-A Raz. Matemático

1954

196

719

081

769

CAPÍTULO

2 2

INTRODUCCIÓN

Entre los problemas que nos enfrentamos en la vida cotidiana siempre se desea obtener cómo se puede

hacer el menor gasto posible de dinero o cómo obtener las mayores ganancias en un proceso comercial. En

las empresas en general siempre es una preocupación el de liderar el mercado para lo cual tratan de obtener

los menores precios del mercado, pero también el

de dar un producto de alta calidad.

CRONOLOGÍA

Va rios constructores investigan prototipos basados en el vapor.Uno de ellos, Nicolás Cugnot, a dapta unamá q u in a d e va po r a un ve h ícu lo automóvil.

Karl Benz construye el primer automóvil con motor a gasolina.Se trata de un triciclo de tracción trasera ycambio de velocidades por correa.

Ford inicia la fabricación del modelo T, el primer automóvil realizado en serie con

componentes esta ndarizados.

AmortiguadoresCatalizador

Caja de cambios

Ba tería

El mercedes 300 SL es el primerauto en serie dotado con inyección. Mediante estemecanismo, lagasolina es introducida a presión, lo que disminuye elconsumo y aumenta su rendimiento

Sa ab comercializa los primeros ca rros

en serie que incorpora el turb

ocompresor. Éste mejora el rendimiento del motor.

Diferencial

130 PASCUAL SACO OLIVEROS

Árbol de Transmisión

Pistones

Llan

tas Volante

Compendio de Ciencias VIII-A

Raz. Matemático

Col

aB

anda

de

Ata

que

móv

ilF

usel

aje

Cla

se

turi

stic

a

Cla

se E

jecu

tiva

Sa

lida

Cab

ina

de m

ando

Fre

nos

Aer

odin

ámic

osA

leró

n

Dep

ósit

ode

Com

bust

ible

Car

ro d

e ra

dar

Mot

or T

urbo

vent

ilad

or

El científico suizo Daniel Bernoulli descubre que el aumento de la velocidad de un líquido o gas disminuye su presión. Este principio se aplica en el diseño de las alas y permite la elevación del avión.

L o s h e r m a n o s f r a n c e s Mon tgo lfie r co nstru ye n e l primer globo no dirigib le c a p a z d e t r a n s p o r t a r personas. En 1785, a bordo de uno de sus modelos, muere, al intentar cruzar el Canal de la Ma ncha, Pila tre de Rozier, la p r im e r a v íc t im a d e u n accidente aéreo.

El francés Henri Giffard inventa un globo más ligero que el aire, con un motor de vapor y una hélice pa ra poder dirigirlo; pero no se llega a comprobar su funciona miento en la práctica.

El ingeniero inglés George Cayley construye el primer planeador –un aeroplano sin motor– que vo ló co n é xito. Es el fu n d a d o r d e la a e ro d in á mica , cie n cia q u e e stu d ia la s condiciones en las que un aparto se sostiene en el a ire.

El alemán Ferdinand von Zeppelin realiza el primer vuelo dirigido de la historia e n u n a p a ra to me n o s pesado que el aire: el globo dirigible.

El estadounidense Orville Wright re a liza el p rimer vuelo de la historia en un aparato más pesado que el a ire . El a e ro p la n o fu e construido por Orville y su hermano Wilbur. Voló 24 metros, casi a ras del suelo, durante 12 segundos.

Los pilotos peruanos J uan Bielovucic y Carlos Tenaud realizan los primeros vuelos nacionales en aeroplano. El 4 de mayo se inaugura la Escuela Nacional de Aviación.

Por lo expuesto es muy importante saber como calcular los máximos y mínimos de

un problema y el de aplicar en los procesos industriales, comerciales,...

SISTEMA HELICOIDAL

131

x 100–x2 A

0 10 0

1 9,9 9,9

2 9,8 19,6

3 9,5 28,6

4 9,1 36,6

6 8,0 48,0

7 7,1 49,7

8 6,0 48

8 6,0 48

9 4,4 39,6

10 0 0


Raz. Matemático

Entre los valores de una función puede haber uno que sea más grande (máximo) o más pequeño

(mínimo) que los demás. En muchísimos problemas prácticos importa saber a que valor de la variable

corresponde tal valor de la función.

Supongamos, por ejemplo que se desea determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que

puede inscribirse en un círculo de 5 cm de radio.

B C

5

A x D

Sea: AD = x

Entonces:

A B 1 00 – x 2

Por lo tanto la región rectangular tiene como área: A x

10 0 – x 2

ANÁLISIS DEL PRODUCTO:

A x 10 0 – x 2

1. Por la naturaleza del problema es evidente que x y A deben ser positivos.

2. Los valores de x varían de cero a 10.

3. Construyamos ahora una tabla de valores y tracemos la gráfica.

A

50

7 8 X

4. Observando la gráfica concluimos que el área será máxima para un valor de x entre 7 y 8.

5. Pero obsérvese que el área será máxima para x

Entonces: x 5 2 A 5 2 5 2 50

cm 2



Raz. Matemático

100 – x 2

Luego el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo de radio 5 cm es un

cuadrado. De área igual a 50 cm2.

HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

El trabajo de Gregorius Reish (muerto en 1523), titulado “Margarita

Phylosophica”, que puede considerarse como la primera enciclopedia

“moderna”, resulta notable por la información sobre matemática y

astronomía que contienen sus doce libros. Esta obra tuvo tanto éxito,

que alcanzó en un siglo 16 ediciones, la primera en Friburgo en 1503 y la

segunda en Estrasburgo en 1504. Precisamente en el grabado que se

reproduce –correspondiente a la edición de 1504– se contempla una

alegoría de la polémica entre un abaquista y un algoritmista (por cierto,

poco acertadamente representados por Pitágoras y Boecio).

El matemático inglés Alan Turing (1912 – 1954) ha sido uno de los

pioneros en el cargo de la inteligencia artificial. Alguien ha llegado a decir

que se le podía llamar el “Einstein de las máquinas de proceso de datos”

(aunque quizá dicho título lo mereciera también un Babbage o un Von

Neuman) En 1936, publicó un artículo cuyo título angloalemán, On

Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblems

(“Sobre los números computables, con una aplicación a problema de la

decisión”), da ya una idea de su dificultad, en él se encuentran los

fundamentos teóricos sobre las máquinas lógicas, que ahora llamamos

“máquinas de Turing”. Trabajó en los proyectos ingleses de ordenadores.

Murió joven y como dicen algunos biográficos en un “accidente con

productos químicos” (¿Suicidio?). Su madre Sara Turing escribió su biografía

en 1959.

CE RT EZ AS

Tener certeza, es estar seguro de algo y para que eso suceda hay que considerar las situaciones más críticas

o ponernos en el peor de los casos.

Ejemplo:

Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y 15 amarillas. ¿Cuántas

esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido 5 rojas?

Para tener la seguridad obtener al azar 5 esferas rojas, se deben extraer todas las esferas blancas,

negras y amarillas mas 5 rojas.

Respuesta: 6 + 8 + 15 + 5 = 34

1. Un pobre enfermo debia recibir una inyección cada

2 horas, si el tratamiento duro una semana.¿Cuántas inyecciones tuvo que recibir dicho enfermo?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

2. El medico receto a Jorgito tomar una cápsula cada

6 horas durante dos dias completos. ¿Cuántas pastillas tomo en total jorgito?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

3. Maritsa toma dos pastillas cada 8 horas debida a una enfermedad durante 4 días. Si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último día. ¿Cuántas pastillas consumió?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

4. Carla compro un frasco con cápsulas y tiene que tomarla durante 4 días a razón de 3 cápsulas cada6 horas. ¿Cuántas cápsulas como mínimo contiene el frasco?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

5. Un aro metálico de 3 m. de longitud se desea cortar en trozos de 25 cm cada uno. Indicar la cantidad de cortes que debe dar.

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

6. Alrededor de una mesa circular se ubican sillas cada 2 m si el perímetro de la mesa es 16 m.¿Cuántas personas se pueden sentar como máximo en la mesa?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

7. Se desea cercar un terreno rectangular de 16 m y

24 m, para lo cual es conveniente hacer una serie de columnas a una distancias de 2 m. una de otra; si el costo de cada columna es $35. Indicar el costo que origina levantar todas estas columnas.

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

A) 160 B) 162 C) 163

D) 161 E) 170

A) 9 B) 10 C) 11

D) 15 E) 8

8. Un reloj da 4 campanadas en 6 segundos. ¿En

cuántos segundos dará 8 campanadas?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

9. Un reloj señala la hora con igual número de campanadas; para indicar las 6:00 am duró 15 segundos. ¿Cuánto tiempo empleará para indicar las 8:00 am?

R p ta : … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

10. Si un boxeador demora “S” segundos en dar “G” golpes. ¿Cuánto tiempo demora en dar “G

2” golpes?

R pt a: … … … … … … … … … … … … … … … … … … .

11. Lolita esta en cama por una enfermedad, por la que el medico le recomendó tomar cada 6 horas una pastilla durante 5 días. ¿Cuántas pastillas tomo desde el inicio del primer día hasta el final del último?A) 19 B) 23 C) 21D) 25 E) 20

12. Luis tomo dos pastillas cada 6 horas durante 4 días, por una enfermedad. ¿Cuántas pastillas tomó en total?A) 33 B) 34 C) 35D) 36 E) 37

13. Jorge tomó dos pastillas del tipo A cada 4 horas y una pastilla del tipo B cada 3 horas si dicho tratamiento duró 8 días. ¿Cuántas pastillas tomo en total?

14. ¿Cuántos cortes debe darse a un aro de 36 m de longitud, para tener pedazos de 4 m?

15. Cuántos cortes debe darse a 6 aros de L 3

m de longitud, para tener pedazos de 2 m.L

A) L B) L/6 C) 16

LD) 6 L E) 1

2

A) 142 B) 154 C) 168D) 182 E) 194

16. Un hombre cerco un jardin en forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuántos puso en cada lado mas

corto?A) 6 B) 7 C) 8

D) 10 E) 12

17. Para una exposición de una pintura se ha dispuesto una pared de 20 m en la que se colocarán cuadros en fila cada 3 m. ¿Cuál es la mayor cantidad de cuadros que se podrán ubicar?

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 4

18. Una alarma suena 5 veces por segundo. ¿Cuántas veces sonara en un minuto?.A) 300 B) 240 C) 301D) 241 E) 299

19. Si una campana toca 7 campanadas en 12 segundos.

¿Cuánto tiempo tardará en tocar 20 campanadas? A) 35 B) 36 C)

37D) 38 E) 39

20. Un reloj tardara 8 segundos en indicar las 4:00 a.m. con 4 campanadas. ¿Cuántas campanadas daría el reloj durante 2 minutos completos?A) 45 B) 43 C) 41

D) 40 E) 46

1. Un reloj da 3 campanadas en 3 segundos, ¿Cuánto

tiempo tardará en sonar 7 campanadas?A) 9 s B) 6 C) 8D) 10 E) 7

2. Un aro hecho de oro de 1metro de longitud se desea cortar en trozos de 20 cm de largo, cuantos cortes tendrá que hacer para cumplir su objetivoA) 4 B) 6 C) 5D) 3 E) 8

3. Margarito desea cercar su terreno de 18m de largo por 10 metros de ancho, si pone los postes cada 2 metros empezando desde una esquina; ¿cuántos postes será necesario para dicho objetivo?

4. Jennifer toma 2 pastillas cada 6 horas durante 8

días por recomendaciones del Doctor. Si Jennifer no incumple dicha recomendación ¿Cuántas pastillas a tomado un total?A) 48 B) 50 C) 60D) 62 E) 52

5. A una persona se le debe inyectar una medicina cada 8 horas durante 4 días; si cada inyección le cuesta 14 soles. ¿Cuánto

pagará en total por todo el medicamento?

A) 26 B) 25 C) 28D) 27 E) 29

SISTEMA HELICOIDAL

135

Compendio de Ciencias VIII-A Raz. MatemáticoCAPÍTULO

2 3OBJETIVOS:

Al final del capítulo el alumno deberá estar capacitado para:1. Aplicar las distintas técnicas de conteo de sucesos a la vida real.2. Manipular de manera satisfactoria los elementos de un determinado conjunto para

ordenarlos en forma lineal o circular.3. Resolver situaciones o problemas que involucren algún tipo de conteo de sucesos.

“La independencia de los individuos,

depende de la grandeza de los pueblos”.

PRINCIPIO FUNDAMENTALDEL ANÁLISIS COMBINATORIO

Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por B?

a pie en avión

Por lo que el principio fundamental del análisis com-

binatorio, puede expresarse así :Si una primera decisión, operación o acción

puede efectuarse de a formas diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b formas diferentes, una tercera ac- ción puede efectuarse de c formas diferentes y así suce- sivamente hasta la enésima acción que puede efectuarse de z formas diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que puede efectuarse estas n acciones

A B en carro

C es igual a:

en bicicleta en transa tlántico a × b × c × ... × z

Si empezó a pie, podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o transatlántico.

La persona tuvo 6 formas diferentes de realizar el viaje

pa, pc, pt, ba,bc,btque son: (iniciales) (2 3

6)

Se puede representar en un diagrama de árbol:

A B C Via je tota l

A pie - Avión

Este principio también se llama principio de conteo o principio multiplicativo.

Ej e mplo 1 :¿De cuántas maneras diferentes podrá

vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado?

Resolución:3 × 4 × 2 = 24 maneras diferentes

Ej e mplo 2 :En una ciudad los números de teléfono constan de 5

Carro A pie - Carro

A pie - Tras


Bici - Avión Bici - Carro Bici -

Tras

dígitos, cada uno de los cuales se llama con alguno de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números diferentes pueden formularse?

Resolución:

9 × 10 × 10 × 10 × 10 = 90 000 números.


Raz. Matemático

5

Ej e mplo 3 :La agencia de Publicacidad PIPSA, ha

obtenido la exclusividad respecto a una línea de polvos para prepa- rar postres. A estos efectos la agencia ha decidido orga- nizar un concurso nacional destinado a adivinar el nombre futuro de esa línea de productos.

Las condiciones son:a. Los nombres que se propongan deben ser

de 4 letras.b. Ninguna letra debe repetirse.c. La primera y tercera letra deben ser consonantes. d. La segunda y cuarta letra deben ser vocales.e. Si una persona propone 2 veces el mismo

nombre queda descalificada.¿Cuántos nombres debe proponer una

persona para estar seguro que participa en el sorteo público?

(Considerar 28 letras del alfabeto)

Ej e mplo 3:

En un proceso de manufactura hay seis operacio- nes distintas, que se indican con A, B, C, D, E y F. En general no existe una secuencia fija para las operacio- nes, con la salvedad de que A debe efectuarse al principio y F al final. ¿Cuántas secuencias diferentes pueden ocurrir?

Resolución

A BCDE F

P 4! 24 forma s diferentes

4

VARIACIONES:Cuando se toma parte de los elementos del conjunto se tiene una variación de n elementos tomados de r en r (CON n>r):

n n !

Resolución23 × 5 × 22 × 4 = 10 120 nombres diferentes¿Por qué esos números?

Porque hay 28 letras del alfabeto, 23 consonantes y

Ej e mplo 1 :Si: n = 5 y r = 3

Vr

(n – r)!

5 vocales, pero se disminuyó de 23 a 22 en la primera y tercera cifra porque una de las condiciones es que las letras no se repitan. Así como 5 y 4 en la segunda y cuarta cifras, que son las vocales.

PERMUTACIONES

Una permutación es un conjunto ordenado de “n”

elementos.

Notación: Pn

Permutación de 5 elementos: P5 = 5!

V 5 !

5 !

5 4 3 2!

603 (5 – 3)! 2 ! 2 !

Ej e mplo 2 :Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas,

si todos los candidatos son igualmente eficientes, ¿De cuántas maneras se puede efectuar la asignación?

Resolución:

7 7 ! 7 ! 7 6 5 4 !V 210

Por lo que:

Pn n!3 (7 – 3)! 4 ! 4 !

P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Ej e mplo 1 :Para el conjunto {a, b, c} existen las

siguientes permutaciones :

Resolución

abc, acb, bca, bac, cab, cba = 6

P3 = 3! = 6

Ej e mplo 2 :En una asamblea de accionistas, hay 6

personas que han solicitado hacer uso de la palabra. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden hablar, si es que no se ha es- tablecido un orden de prioridades?

Resolución P6 = 6! = 720


Raz. Matemático

COMBINACIONESUna combinación de n elementos tomados

de r en r es un subconjunto n o o r d e n a d o de r elementos.

(Con: n > r).Dos combinaciones formadas por r

elementos son distintas, si difieren al menos en un elemento.

Ej e mplo 1 :Sea el conjunto {a, b, c} de cuántas

maneras pode- mos seleccionar:A) Un elemento B) Dos elementos C) Tres elementos

Resolución:A) Existen tres formas de seleccionar un elemento:

a; b; c.

B) Existen 3 formas de seleccionar dos elementos: ab,

ac, bc

C) Existe 1 forma de seleccionar 3 elementos: abc.

Cr

4

C

C

;

C

Notación:

n n r

ResoluciónLos mexicanos se pueden escoger de:

Para determinar el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r, se tiene:

7 7 !C 4

4 !3 ! 35

n n !

Los ingleses se pueden escoger de :

Ej e mplo 2:

C r

r !(n

r)!Conjuntamente

4 !

62 2 ! 2 !

Si : n = 10 r = 77 4

10

10 !

1 0 !

10 9 8 7 !

720

12 07 7 !(10 – 7)! 7 !3 ! 7 !3 ! 6

C 4 × C 2

(35) (6) 210

Ej e mplo 3 :El congreso anglo mexicano de

administración pú- blica, debe elegir el futuro comité ejecutivo que regirá a esa institución durante el próximo año.

La comisión directiva se forma con 6 integrantes y este año han sido propuestos 7 representantes mexicanos y 4 ingleses para ser electos. Se pide determinar de cuántas maneras se puede integrar la comisión, si endicha comisión debe haber 4 mexicanos y 2 ingleses.

Ej e mplo 4 :En los laboratorios “HELICOIDAL” hay 3

plazas vacantes y de un total de 33 solicitudes de empleo sólo14 se han considerado aceptables, en base a las entre-vistas practicadas por el departamento de personal.

¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas si todos los empleos son de la misma categoría?

Resolución

14

3 364

1. ¿De cuántas maneras se podrá ir de A hacia C sin

regresar?

A B

C

Rpta.: ............................................................

2. ¿De cuántas maneras se podrá ir de “A” hacia “E”

sin regresar?

3. Con 6 pantalones y 5 blusas de cuántas maneras

se podrá vestir usando dichas prendas.

Rpta.: ............................................................

4. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Juana si posee

4 polos distintos, 5 pantalones diferentes y 3 pares de zapatillas distintas?

Rpta.: ............................................................

5. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Antonio si posee 4 camisas (2 iguales), 5 pantalones (2 iguales) y 3 pares de zapatillas (diferentes)?

Rpta.: ..........................................................

..

B 6. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Paula si ella tiene 5 blusas, 3 polos, 4 jean y 2 pares de

A zapatillas?

C Rpta.: ............................................................

7. 5 personas se sientan en una carpeta de 5 asientos;

E D ¿de cuántas maneras se podrán ubicar?

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................


8. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 5 personas en una carpeta de 5 asientos si 2 personas en particular no pueden separarse?

Rpta.: ............................................................

9. Un marinero tiene cinco banderolas, del mismo tamaño pero de colores diferentes; se lanza en un mástil una a continuación de otra. ¿cuántas señales diferentes podrá hacer?

Rpta.: .............................................................

10. ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer un marino con cuatro banderolas si la primera debe ser blanca y si las cuatro deben izarse?

Rpta.: ...........................................................

11. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir del Callao al Cuzco pasando por Lima, si del Callao a Lima hay 3 rutas y de Lima al Cuzco hay 2 rutas?

Rpta.: ............................................................

12. ¿De cuantas maneras se podrá ir de A a D sin regresar?

B

15. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Nicollete si ella posee. 5 jeans; 4 polos (2 iguales) 4 blusas y 3 pares de zapatillas?

Rpta.: ............................................................

16. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 3 personas en fila india?

Rpta.: ................................................................

17. ¿De cuántas formás puede llegar 4 atletas a la meta, si ninguno de ellos llegan empatados?

Rpta.: ............................................................

18. ¿De cuántas maneras se podrán sacar 4 fichas numeradas de una en una y ponerlas en fila?

Rpta.: ................................................................

19. ¿Cuántas señales diferentes se podrán hacer con 5 banderolas si se deben izar todas una tras otra pero la primera debe ser azul?

Rpta.: ................................................................

20. ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una banca de 5 asientos, 5 personas si se sabe que 2 de ellos en particular no se pueden separar?

A

Rpta.: ................................................................

C

D

Rpta.: ................................................................

13. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 para alcalde.¿De cuántas maneras se pueden elegir estos dos cargos?

SISTEMA HELICOIDAL

139

Rpta.: ............................................................

14. Antonio de cuántas maneras podrá vestirse si posee2 pantalones distintos, 3 buzos diferentes y 3 polos distintos.

Rpta.: ............................................................

A) 30 B) 20 C) 40

D) 36 E) 16

A) 16 B) 12 C) 26

D) 24 E) 48

21. ¿De cuántas maneras se podrá ir de “A” hacia “C”

sin regresar?

A) 8

3. ¿De cuántas maneras podrá vestirse Pamela si ella

posee 3 pantalones, 5 blusas y 2 pares de zapatos, todas las prendas son distintas?

B) 12 A

C) 24

D) 15

E) 10 C

B

4. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Marco si tiene

4 polos, 3 pantalones, 2 buzos y 3 pares de zapatillas? A) 48 B) 60 C) 36

D) 54 E) 70

2. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 4 personas

en una carpeta de 4 asientos?

5. ¿De cuántas maneras Juan se podrá vestir si posee

3 polos (2 iguales), 2 buzos y 3 pares de zapatillas?A) 12 B) 14 C) 10

D) 18 E) 24


Compendio de Ciencias VIII-A Raz. MatemáticoCAPÍTULO

2 4

Los perdedores hacen promesas que con

frecuencia rompen.

Los gana dores asumen responsabilidades

que siempre asumen.

PERMUTACIONES CIRCULARESUna permutación circular de “n”

elementos es el número total de ordenamientos que se pueden realizar con ellos alrededor de una circunferencia.

Notación:

P k m,n,p... (donde: k = m + n + p + ....)

(El orden de los elementos se toma con

respecto a uno de ellos).

Para calcular el número de permutaciones de k elementos donde m de ellos son de una clase, n de una segunda clase, p de una tercera clase, etc. se tiene:

Notación: PCn

Para determinar el número de permutaciones circu-

Ej e mplo :

P k m ,n,p,...

k !

m ! n ! p !...

lares de “n” elementos se tiene:

¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con todas las letras de la palabra “CARRERA”?

Ej e mplo

PC n

(n – 1)!

Resolución

Aquí debemos ordenar 7 elementos (siete letras de

5 amigos se sientan alrededor de una mesa circular.¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse?

la palabra) pero, A se repite 2 veces y R se repite 3veces, C una vez y E una vez, entonces:

Resolución: P 7

7 !

5040 420

PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24

PERMUTACIONES CON REPETICIÓNDados “m” elementos de una sola clase, “n” elementos de otra clase, “p” elementos de una

tercera clase, etc.

Si llamamos k = m + n + p + ...., entonces el número de ordenamientos de estos k

elementos tomados todos a la vez se denomina permutación con

SISTEMA HELICOIDAL

141

repetición. 2,3,1,1 2 ! 3 ! 1 ! 1 ! 2 6 1 1

eros


Raz. Matemático

1. ¿De cuántas maneras se podrá elegir de 10 personas

al primer y segundo lugar de un concurso

de Belleza? Rpta.:

............................................................

2. ¿De cuántas maneras distintas podrán ocupar los

3 primeros lugares, 8 personas en una competencia de atletismo si no hay empate?

Rpta.: ................................................................

3. Seis personas se sientan en una banca de 6 asientos,

¿de cuántas maneras se podrán ubicar si dos de ellos en particular no se pueden separar?

Rpta.: ................................................................

4. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 3 libros de RM (distintos) con 3 libros de RV (distintos) si se sabe que los de RM siempre esta a la derecha del estante seguidos con los de RV?

Rpta.: ................................................................

5. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 4 personas alrededor de una mesa circular si uno tiene un lugar fijo?

Rpta.: ............................................................

6. ¿De cuántas maneras podrán ubicarse 6 personas alrededor de una mesa circular?

Rpta.: ............................................................

7. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 6 personas alrededor de una mesa circular si 2 personas en particular pueden separarse?

Rpta.: ............................................................

8. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes existen en base 8?

Rpta.: ............................................................

9. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean pares se pueden escribir, si se tienen los números 2; 3; 5; y7?

Rpta.: ............................................................


Raz. Matemático

10. ¿Cuántos números de 4 cifras que sean pares se

produce escribir en los números 1; 3; 4; 5; 6; los digitos no se repiten?

Rpta.: ............................................................

11. ¿De cuántas maneras se podrá elegir a un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocal de un total de 10 personas?

Rpta.: ............................................................

12. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 5 jóvenes en una fila de 5 asientos si 3 de ellos no se pueden separar?

Rpta.: ............................................................

13. En una banca se sientan 3 chicas con 2 chicos,

¿De cuántas maneras se podrán ubicar, si las chicas no se pueden separar y además los chicos están a la derecha de la banca?

Rpta.: ............................................................

14. Un club desea formar una bandera representativa de 3 franjas verticales, una a continuación de otra; si se proponen 7 colores diferentes. ¿Cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar?

Rpta.: ............................................................

15. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar 5 personas alrededor de una fogata si una persona tiene un lugar fijo?

Rpta.: ............................................................

16. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden escribir en la base 5?

Rpta.: ............................................................

17. ¿Cuántos números de 4 cifras se podrán hacer en base 6?

Rpta.: .........................................................

...

18. En una urna hay 8 fichas numeradas desde el uno hasta el ocho, si se extrae 3 fichas de uno en uno y se coloca en fila. ¿Cuántos números distintos se podrá hacer?

Rpta.: ............................................................


Raz. Matemático

19. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares se

pueden escribir con los números 4,5,7,9 y 8 los digitos no se repitan?

Rpta.: ................................................................

1. En una carrera de atletismo compiten 6 personas,

¿de cuántas maneras llegaran los 3 primeros

20. ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se podrán

formar con los números 1, 3; 5; 6; 8 ?

Rpta.: ................................................................

4. Cuántos números distintos de 3 cifras se podrán hacer con los dígitos 1; 3; 4; 7; 8

lugares? A) 15 B) 10 C) 30A) 60 B) 120 C) 80 D) 60 E) 20D) 240 E) 160

2. ¿De cuántas maneras se podrá elegir a un capitán, un primer oficial y un marinero de un total de 6 personas?

5. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar a 4 personas alrededor de una fogata?A) 24 B) 6 C) 8D) 12 E) 15

A) 30 B) 40 C) 15D) 20 E) 15

3. Se desea elegir a un Presidente y secretario de ungrupo de 10 personas, ¿De cuántas

maneras se podrá hacer dicha elección?A) 45 B) 30 C) 90D) 100 E) 120

rm 8

Documents