rm 5º ii volumen janeth

IEP “SAN AGUSTIN” RAZ. MATEMÁTICO 5º AÑO SECUNDARIA

4 0PERACIONESEn el presente capítulo trataremos con problemas referentes a las cuatro operaciones combinadas (suma, resta, multiplicación, división) complemento aritmético, cantidad de cifras de un producto y un cociente.

Propiedades

1) Conocida la suma (S) y la diferencia (D) de dos números:

Número Mayor = S + D 2Número Menor = S – D 2

2) Conocida la suma (S) y el cociente (C) de dos números:

Número Mayor = C . S C + 1Número Menor = S C + 1

3) Conocida la suma (S) el cociente (C) y el residuo (R) de dos números:

Número Mayor = S . C + R C + 1Número Menor = S - R C + 1

4) Conocida la diferencia (D) y el cociente (C) de dos números:

Número Mayor = C . D C - 1Número Menor = D C – 1

5) Conocida la diferencia (D) el cociente (C) y el residuo (R) de dos números:

Número Mayor = D . C - R C - 1Número Menor = D - R C – 1

6) Conocida el producto (P) y el cociente (C) de dos números:

Número Mayor = P . C Número Menor = P C

7) Conocida la suma (S) y el producto (P) de dos números:

Número Mayor =

Número Menor =

8) Conocida la diferencia (D) y el producto (P) de dos números:

Número Mayor =

Número Menor =

1

CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOS


Nota: Métodos prácticos para la solución de problemas con la aplicación de las 4 operaciones: Método Cangrejo; Rombo; Rectángulo; R. Conjunto.

1) La suma de los 3 términos de una resta es 1480. Si el sustraendo es el Cº. A del minuendo. Calcular el cuádruplo de la tercera parte de la diferencia.a) 630 b) 640 c) 650d) 660 e) 670

2) La suma de 2 números excede a la diferencia de los mismos en 568. Si los números están en la relación de 27 a 12. Halle el mayor de los números.a) 639 b) 640 c)

641d) 642 e) 643

3) Si a 2 números se les aumenta y disminuye 11 unidades respectivamente; el producto

de ellos aumenta en 319 unidades. Calcular la diferencia de los números.a) 40 b) 35 c) 25d) 20 e) 15

4) Hallar la suma de las cifras de un número de 2 cifras sabiendo que su C0. A es igual al producto de sus 2 cifras.a) 10 b) 9 c) 11d) 12 e) 8

5) El residuo de la división de un cierto número entre 13 es 11; pero si dicho número se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo anterior disminuye en 1 ¿cual es ese número?a) 50 b) 37 c) 63d) 76 e) 89

REFORZANDOMIS CAPACIDADES

6) Un comerciante compro 30 lapiceros por 540 soles, si en la venta de 12 lapiceros quiere ganar el precio de compra de 6 lapiceros ¿A cómo tendrá que vender cada uno de ellas?a) 32, 4 b) 27 c) 24d) 29 e) 30

1) La suma de los 3 términos de una resta es 19456 y el minuendo es el cuádruplo del sustraendo hallar el sustraendo.a) 3040 b) 3648 c) 1216b) 2432 e) 608

2) El cociente y el resto en una división inexacta son 4 y 30 respectivamente, si se suman los términos el resultado es 578 hallar el divisor.a) 438 b) 430 c) 108d) 102 e) 170

3) Hallar la suma de las cifras de sabiendo que este número

disminuido en su C.A da un número de 3 cifras iguales.a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 6

4) Si a un número de 3 cifras que empieza por 9 se le suprime esta cifra, el número resultante

es del número original. La

suma de las 3 cifras de dicho número es: a) 12 b) 18 c) 15d) 24 e) 21

5) El cociente de 2 números es exactamente 7, y su producto 50575 ¿Cuál es el mayor?a) 45180 b) 61930c)

63030d) 64930 e) 65930

6) ¿Qué número debe agregarse a 45181 para que todos los dígitos de la suma sean unos?a) 45180b) 61930 c)

63030d) 64930 e) 65930

7) Hallar el menor número entero tal que sumado con el triple de su complemento aritmético resulta 22508.a) 2350 b) 3500 c) 2650d) 3746 e) 3400

8) ¿Cuál es el número impar tal que, agregado a los 4 impares que le siguen de un total de 905?a) 181 b) 175 c) 177d) 191 e) 183

9) La diferencia de 2 números es 64 y la división del mayor entre el menor da 3 de cociente y 18

Método del RomboMétodo del Rombo

de residuo ¿Cuál es el valor del mayor?a) 85 b) 86 c) 87d) 88 e) 89

10) El producto de 2 números es 32400 si a uno de ellos se les

quita 5 unidades el producto seria 31200 hallar la suma de los 2 números.a) 295 b) 345 c) 425d) 375 e) 275

MÉTODOS PRÁCTICOS

1) En una tienda de juguetes, donde hay carritos y motos. Se contaron 80 juguetes y 220 llantas ¿Cuántas motos hay en la tienda?a) 60 y 20 b) 50 y 30 c) 45 y

35d) 40 y 40 e) 55 y 25

2) Se tiene que repartir 20 y 50 dólares en billetes de 50 dólares y 100 dólares ¿Cuántos billetes de 50 se debe emplear?a) 10 b) 13 c) 15d) 18 e) 20

3) A un partido de fútbol entran un total de 350 personas entre caballeros y damas recaudándose 1, 550 nuevos soles, pagando cada caballero

S/ 5.00 y cada dama S/ 4.00 ¿Cuál es la diferencia entre damas y caballeros?a) 60 b) 50 c) 90d) 80 e) 100

4) En una granja se observa 23 cabezas y 58 patas entre patos, vacas y patas ¿Cuántos son las vacas?a) 3 b) 6 c) 17d) 20 e) 23

5) En un grupo de conejos y gallinas el número de patas es 14 mas 2 veces el número de cabezas; entonces el número de conejos es:a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

6) En un simulacro de admisión el número de preguntas es 140, la calificación es de 4 puntos por respuesta correcta y me descuentan 1 punto por cada incorrecta, si obtuve 260 puntos y respondí todas las preguntas ¿Cuántas no acerté?a) 40 b) 60 c) 80d) 160 e) 2

7) Un litro de leche pura pesa 1,04 Kg. ¿Qué cantidad de leche pura estará contenida en 12 litros de leche adulterada cuyo peso es 12, 42 Kg.?a) 1,5 b) 10,5 c) 2d) 3,5 e) 8,5

8) En un corral, se tienen gallinas y conejos, se encuentran 100 cabezas y 320 patas (extremidades) ¿Cuál es el producto de los números de animales?

a) 2400 b) 2500 c) 1800d) 2300 e) 1400

9) Un grupo de 240 alumnos van de paseo a la playa en un total de 54 autos marcas son: Datsun y Volkswagen donde van 5 y 4 personas respectivamente ¿Cuál es el número de auto de la marca Datsun?

a) 20 b) 24c) 30d) 26e) 40

10) Un obrero de una empresa por cada día que trabaja le pagan S/ 1950 pero por cada día que no trabaja le descuentan S/1150 al final de 53 días el obrero le debe a la empresa S/ 2050 ¿Cuántos días trabajo el obrero?

a) 34 b) 20 c) 19d) 18 e) 21

Método del CangrejoMétodo del Cangrejo

1) A un número se le multiplica por 2, se le divide por 18, se eleva al cubo, se le suma 5 obteniéndose 13 hallar dicho número.a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 12

2) Pienso en un número lo divido entre 7, lo elevo al cuadrado, le agrego 41, se le extrae la raíz cuadrada y finalmente le resto 6 dándome como resultado 15 ¿Qué número pensé?a) 150 b) 98 c) 105d) 133 e) 140

3) Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3 y luego divides por 12, el cociente lo multiplicas por 9 luego añades 43 y finalmente obtendrás 160 ¿Cuál era tu cantidad inicial?a) 56 b) 54 c) 50

d) 52 e) 48

4) A un número se le multiplica por 5, se le resta 18, se multiplica por 4, se le divide por 8, se eleva al cuadrado se le resta 40 y se le extrae raíz cúbica obteniéndose 6 hallar dicho número.a) 9 b) 10 c) 8d) 11 e) 12

5) Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 5, lo divido por 15 al cociente lo multiplico por 4 y añado 32 entonces tendré 80 ¿Cuántos tenia inicialmente?a) 36 b) 38 c) 40d) 34 e) 32

6) Un alumno lee cada día la mitad de las hojas de una revista más 50 hojas; si al cabo de 3 días lee hasta la última hoja ¿Cuántas hojas tenía la revista sabiendo que le habían arrancado 12 hojas?a) 688 b) 698 c) 700d) 800 e) 712

7) Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño cada hora desagua la tercera parte de su contenido más 12 litros. Hallar la capacidad del recipiente, si al cabo de 3 horas se desagua.a) 792 Litrosb) 468 Litrosc) 460 Litrosd) 560 Litrose) 630 Litros

8) Una piscina está llena de agua cada día se desagua la mitad de su contenido más 3 litros hallar la capacidad de la piscina si al cabo de 4 días ha quedado 2 litros de agua.a) 120 b) 122 c) 124d) 126 e) 112

9) Gualberto entra a una iglesia donde le pide a San Judas Tadeo que le haga el milagro de duplicar el dinero que lleva. Pero sucede que va a realizar 4 milagros pero con una condición, que por cada milagro que le haga ha de devolverlo S/ 20.00 Gualberto acepto la propuesta ¿Con qué cantidad ingreso inicialmente si salio con 100 nuevos soles?a) 40 b) 30 c) 25d) 20 d) 15

1) Un carpintero firma un contrato para la confección de una determinada cantidad de puertas. El cobra por puerta S/ 250 y con ello su ganancia neta es S/ 1080, si el carpintero hace un descuento de S/15 por puerta su ganancia sólo será S/900 ¿Cuánto gana habitualmente el carpintero en cada puerta?a) 110 b) 90 c) 70d) 60 e) 50

2) Una sociedad de profesores quieren comprar un auto de marca Toyota; si se pide de cuota 1200 dólares a cada uno faltarían 8000 dólares, pero si dan cada socio 1600 dólares tan solo faltarían 4000 dólares. Hallar la suma del precio del auto y el número de socios.a) 20020b) 20030c) 20010d) 10018e) 20015

3) Un maestro de obra quiere premiar a sus ayudantes; dándoles S/ 50.00 a cada uno le faltarían 30 soles; sin embargo premiándolos con 40 soles a cada uno le sobrarían 90 soles, en cada día de trabajo que realizaran. Hallar la cantidad total, en el mes de febrero de un año bisiesto, que debe tener el maestro de obra.a) 15100b) 16100c) 16530d) 17530e) 18530

4) Compré 7 libros y me sobró 11 soles pero si quisiera comprar 10 libros me faltaría 13 soles ¿Cuál es el costo de cada libro?

Método del RectánguloMétodo del Rectángulo

a) 7 b) 8 c) 5d) 11 e) 13

5) Si a cada uno de mis sobrinos les doy 3 nuevos soles me sobraría 19 soles pero si a cada uno les doy 5 soles me sobraría 5 soles ¿Cuánto tengo?a) 7 b) 21 c) 12d) 42 e) 40

6) El profesor de Razonamiento Matemático decía: las separatas de los cursos voy a repartirlos entre mis alumnos, si les doy 10 a cada uno me sobran 6; pero si les doy 12 a cada uno al último sólo podría darle 4 separatas. Hallar cuántas personas son inclusive el que reparte.a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12

7) Para ganar “Y” soles en la rifa se han mandado a imprimir “X” boletas, pero solamente se han vendido “a” de ellos perdiéndose “b” soles. Hallar el valor de cada rifa.

a) Y + b a – X

b) Y - b X - a

c) Y + b X - a

d) Y - b X - a

e) b - Y X – a

8) Para que un comerciante gane 200 soles en una rifa de un televisor, se imprimieron 640 boletas, sin embargo solo se vendieron 210 de ellos originándose una perdida de 15 soles. Hallar el precio del televisor y el costo de cada rifa.a) S/ 150; S/ 1b) S/ 120; S/ 0,5c) S/ 130; S/ 0,5d) S/ 150; S/ 0,5e) S/ 200; S/ 0,5

9) El delegado del equipo de bulbito de la Pre al comprar 20 naranjas, le sobran 4,80 soles, pero al adquirir 24 naranjas, le faltarían 1,20 soles. Hallar el costo de cada naranja y con que cantidad de dinero contaba el delegado.a) S/ 1,4b) S/ 1,50; 34,80c) S/ 1,4; 35,60d) S/ 1,7; 3480e) N.A

Regla de

Conjunta1. 2 Kilos de carne cuestan lo

mismo que 3 Kilos de arroz, que 4 lapiceros valen lo que 5 Kilos de arroz, que 200 libros valen 3000 soles y que 8 lapiceros cuestan lo mismo que 4 libros ¿Cuánto costaran 10 Kilos de carne?A) 120 B) 200 C) 90D) 150 E) 180

2. Sabiendo que 7 claveles Italianos equivalen a 5 claveles Franceses, que 20 claveles Franceses equivalen a 10 libros esterlinas y que 1 libra esterlina vale 4 dólares, averiguar el valor en dólares de 14 claveles Italianos. A) 30 B) 40 C) 20D) 50 E) 100

3. 4 pulgadas equivalen q 140, 00 mm; 50 mm a 90 varas; y que 7 varas a 0,250 de metro. Hallar la equivalencia de pulgadas con 9 metros

A) 20 Pulg. B) 50 Pulg. C) 30 Pulg

D) 40 Pulg. E) 100 Pul.

4. En un trueque se observó lo siguiente: por 3 círculos dan 4 triángulos por 5 triángulos dan 6 cuadrados por 20 círculos ¿Cuántos cuadrados darán?A) 36 B) 32 C) 24D) 30 E) 18

5. En una feria escolar se observó:Por 4 cuadernos dan 10 lápicesPor 9 lápices dan 3 tajadoresPor 8 tajadores dan 6 plumonesPor 4 plumones más dan 160 soles ¿Cuántos cuadernos darán por 150 soles?A) 5 B) 4 C) 10D) 6 E) 8

6. En un mercado por 3 Kilos de arroz dan 5 Kilos de azúcar, de la misma manera por 8 Kilos de azúcar dan 4 Kilos de fréjoles; por 10 Kilos de fréjoles dan 2 Kilos de carne de res ¿Cuántos kilos de carne de res mas darán por 30 kilos de arroz?A) 2 B) 4 C) 5D) 8 E) 12

7. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; si 5 monos cuestan 150 soles ¿Cuántos tengo que pagar para adquirir 5 patos?A) 50 B) 80 C) 60D) 65 E) 55

8. 4 estudiantes A, B, C y D juegan al billar, y en partidos bien reñidos “A” da a “B” 50 carambola a 100; “B” da a “C” 10 a 30, y “C” a “D”, 20 a 50; cuando juegan “A” y “D” un partido de 100 carambolas ¿Cuántas debe dar el primero al ultimo?A) 80 B) 70 C) 60D) 90 E) 98

9. En la construcción de un muro han tardado los operarios 47 días; cada 7 días importaban los jornales 756 soles, y por cada 100 soles se dieron 5 de gratificación ¿Cuánto ha costado la mano de obra?A) 6329,8 B) 5329,8 C) 2329,8D) 4329,8 E) 1329,8

10. Se han cambiado 3 arrobas de maíz por 60 kilogramos de papas, 40 kg. De estas por 12 litros de aceite y 6 hectolitros de este por 80 libras de trigo. Siendo 25 soles el precio de una libra de trigo. Hallar el precio de una arroba de garbanzos.

A) 1000 B) 2000 C) 3000D) 5000 E) 4000

FRACCIONES I

Se denomina fracción a una o varias partes de la unidad dividido en cualquier numero de partes iguales.

A la fracción se le conoce también con el nombre de número fraccionario, quebrado o número quebrado.

Términos de una Fracción

Numerador aDenominador b

En este caso el denominador nos indica que la unidad ha sido dividida en partes iguales y el numerador, indica que se han tomado “n” partes.

Ejemplo:

5; 3; 12; 3 9 9 11 7

Gráficamente

Clasificación

donde a ≠ b0; b ≠ 0 a ε Z ^ b

Fracciones Propias.- Es aquella menor que la unidad.

Fracciones Impropias.- Es aquella mayor que la unidad

Fracciones Iguales.- Es aquella cuyo valor es igual a la unidad.

Fracciones Homogéneas.- Es aquella cuando los denominadores son iguales.

Fracciones Heterogéneas.- Es aquella cuando tiene denominadores diferentes.

< 1 Si N < D

> 1 Si N > D

= 1 Si N = D

Si D1 = D2

Si D1 ≠ D2



1) ¿Cuál es el número que aumentado en 8 unidades produce un resultado igual al que se obtiene dividiéndolo entre 3?

5

a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 18

2) ¿Cuál es número cuya mitad es el duplo, mas su tercera parte y más su triple da el numero 1435?

a) 247 b) 246 c) 245d) 244 e) 243

3) Un comerciante ha ganado durante 4 años la suma de 3600 soles en cada año gano la mitad de lo ganado en el año anterior ¿Cuánto gano el primer año?

a) 1960 b) 1950 c) 1940d) 1930 E) 1920

4) Al pregunta un padre a su hijo cuanto había gastado de los 140 soles de propina que le dio: el hijo contesta he gastado las ¾ partes de lo que no gasta ¿Cuánto gasto?

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) N.A

5) Si al numerador y al denominador de una fracción se le agrega la cuarta parte del denominador, el valor de la fracción aumenta en su séptima parte de tal fracción, la fracción es igual a:

a) 5 b) 7 c) 412 12 12

d) 8 e) N.A 12


6) Si a los de una cantidad se le

quita los de los de la misma

cantidad se obtiene los de los

de 909. Hallar la cantidad

original.a) 1515 b) 1313 c) 1414d) 1212 e) N.A.

1) ¿Cuál es el número que disminuido en 7 unidades produce un resultado igual al que se obtiene multiplicándolo por 3? 10

a) 8 b) 10 c) 20d) 14 e) N.A

2) ¿Cuál es el número cuya 3º parte más su duplo, más su quinta y más su triple da como resultado 51460?a) 3900 b) 9300 c)

9600d) 9030 e) N.A

3) De un depósito que contiene

aceite se sacan las partes de

su contenido menos 40 litros, en una segunda operación se sacan los 84 litros restantes.

Determinar la capacidad del depósito.a) 280 Lts. b) 260 Lts.c) 26 Ltsd) 250 Lts e) 290 Lts.

4) La fracción está comprendida

entre 2 fracciones homogéneas cuyo denominador común es 19 y los numeradores son 2 enteros consecutivos. Hallar estos números.a) 6 y 7 b) 8 y 9 c) 20 y 21d) 7 y 8 e) 19 y 20

5) El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52514 hallar dicha fracción si al

ser simplificada se obtiene

dar la diferencia de los términos.a) 142 b) 153 c) 168d) 187 e) 179

6) Hallar la fracción cuyo valor no cambie si le añadimos simultáneamente 20 al numerador y 25 al denominador si se sabe que el M.C.N de ambos términos es 340.

a) b) c)

d) e)

7) Se tiene una fracción equivalente a cuya suma de términos es igual a 72 calcular la diferencia de los términos.

a) 18 b) 36 c) 35d) 40 e) N.A

8) Un apostador pierde en un

primer juego de su dinero, en

el segundo juego pierde de lo



que le queda y en un tercer

juego pierde del nuevo resto.

Si al final se queda con 400 soles ¿Con cuanto empezó a jugar?a) 1000 b) 1200 c) 1100d) 1300 e) N.A

9) En una reunión se sabe que la tercera parte del total son

mujeres de los varones son

casados y 12 son solteros ¿Cuántos son mujeres?a) 18 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A

10) ¿Cuántas décimas de de “A”

hay que sumarle a los de “A”

para obtener de “A”?

a) 12,5 b) 14,5 c) 16,5d) 17,5 e) N.A

FRACCIONES II(Reducción a la Unidad)


1) Un obrero cava un hoyo en 1 h 20´ el mismo trabajo realizado por otro obrero demoraría 2 h ¿En cuanto tiempo harán el trabajo juntos?

a) 48´ b) 36 c) 52

d) 56´ e) 39

2) 3 obreros están ocupados en un mismo trabajo; el primero haría solo el trabajo en 6 días, el segundo en 9 días, el tercero en 8 días. Este trabajo ha sido pagado en 17400 soles ¿Cuánto le corresponde al tercero?a) 7200 b) 6300 c) 4800d) 5400 e) 5200

3) En que tiempo harán A, B y C un trabajo juntos, si A solo puede hacerlo en 6 horas, más B en una hora más y C en el doble del tiempo.a)

4) 2 tuberías llenan un depósito en 20 horas, si la tubería menor fuera desagüe tardaría en llenarse 52 horas. ¿En qué tiempo llena el depósito la tubería menor? a) 62 b) 65 c) 52

d) 48 e) 49

5) Pepe es el doble de rápido que Litro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 8 días ¿Cuánto tiempo le tomaría a Pepe hacerlo solo? a) 10 días b) 9 días c) 12 d) 15 días e) 16 días

6) A y B pueden hacer una obra en 4 días, A trabajando solo lo haría en 6 días ¿En que tiempo podrá hacer toda la obra B solo?a) 10 h b) 12 h c) 11 hd) 14 h e) 9 h

1) 3 obreros hacen un trabajo en 4 días, sabiendo que el primero lo hacia solo en 9 días y el segundo en 12 días. Averiguar lo que demoraría el tercero trabajando solo. a) 15 días b) 17 días c) 16 días

d) 18 días e) 20 días

2) Un caño llena un estanque en 12 horas una llave vacía al mismo estanque en 15 horas ¿En cuanto tiempo se llenara el estanque si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo?a) 60 h b) 40 h c) 30 hd) 20 h e) 50 h

3) Edwincito hace un trabajo en 15 horas y Pedro lo hace en 30 horas ¿En cuántas horas harán dicho trabajo juntos?a) 12 h b) 10 h c) 13 hd) 8 h e) 9 h

4) Un caño llena un pozo en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 h ¿En qué tiempo se llenara el pozo si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño? a) 10 h b) 12 h c) 13 h d) 8 h e) 9 h

5) Coco puede hacer una obra en 6 días ¿Qué parte de la obra puede hacer en X días?

6) A y B pueden hacer juntos una obra en 20 días. A lo haría solo en 30 días; si A trabaja durante 10 días ¿Cuántos días empleara B para terminar la obra?a) 30 b) 40 c) 28d) 25 e) 42

7) Rosario puede hacer un trabajo en 4 horas; Edwincito dice hacer el mismo trabajo en 3 horas y Karina dice hacerlo en 12 horas ¿Si

trabajan juntos en que tiempo lo harían?a) 1,5 h b) 1,6 h c) 1,7 hd) 2 h e) N.A

8) Adolfo es 2 veces más rápido que Luís. Si juntos demoran 6 horas para hacer una obra ¿Cuántas horas demoraría Adolfo trabajando solo? a) 6 h b) 7 h c) 4 hd) 8 h e) 9 h

9) 2 vehículos con idénticos depósitos de gasolina, los consumen uniformemente en 4 h y 5 h respectivamente. Después de cuanto tiempo, el deposito de un vehiculo contendrá el doble del otro?

10) 2 tuberías llenan un deposito en 20 horas, si la tubería menor fuera desagüe tardaría en llenarse 52 horas ¿En que tiempo llena el deposito la tubería menor?a) 62 b) 65 c) 52d) 48 e) 49

PORCENTAJES I

Se denomina porcentaje o tanto por ciento al número de unidades que se toma de cada 100 y su símbolo es %.

Las m partes tomadas equivalen al m por 100 del total o al m por ciento del total es decir los m del total. 100

El m por ciento es igual a m 100

Ejemplo: 3 % = 3

100

4 % = 4100

20 % = 20100

200 % = 200100

Nota: Se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

a) 20 % A + 70 % A = 90 % Ab) 50 % A - 22 % A = 28 % A

Casos Particulares:

Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente expresión:

P % = nos indica el número de porcentajeN = representa la cantidadR = es el resultado de la operaciónCaso I

P % de N = RSe conoce P % y N

Se desconoce R

Caso II

m % = m 100

P % . N = R



P % de N = RSe conoce P % y RSe desconoce N

Caso III

P % de N = R

Se conoce N y RSe desconoce P %

1) Dos descuentos sucesivos del a % y b % son equivalentes a un descuento único de:

2) Dos aumentos sucesivos del a % y b % son equivalentes a un aumento

único de:

Relación Financiera

Cuando se vende ganando

Pr – Desc = Pc + g Pv

Pr = Precio fijado o marcadoPv = Precio de ventaPc = Precio costo o de comprag = ganancia bruta

Cuando se vende perdiendo

Pv = Pc – perdida

%100

.

babaAu


1) Calcular del 20% del 80% del %

de 25 000

a) 2,4 b) 3,6 c) 2, 5

d) 3, 2 e) 1

2) ¿Qué porcentaje de (a + b) es (a2 – b2)?

a) 100(a+b)% b)

c) d) 100(a-b)%

e) (a-b)%

3) En una granja el 30 % del número de patas es el 20 % del número de pavos ¿Qué tanto por ciento del 80 % del total es el número de patos?

a) 50 % b) 40 % c) 30 %d) 70 % e) N.A

4) Tres descuentos sucesivos del 10 %, 20% y 30 % equivale a un descuento único de:

a) 60 % b) 40 % c) 50, 4 %d) 49, 6 % e) N.A

5) Si el precio de un par de zapatos luego de habérsele hecho 2 descuentos sucesivos de 10 % y 30 % es de 63 soles ¿Cuál fue el precio que tenia antes de dicho descuento?a) 100 b) 200 c) 120d) 150 e) N.A

6) Un articulo cuyo precio de costo es S/2100 se vende ganando el 30 % del precio de venta ¿A que precio se vendió?a) 3000 b) 300 c) 30d) 30000 e) N.A

1) En cierto momento de una fiesta el 60 % de los varones están bailando

y el 20 % de las mujeres no bailan si en total fueron 350 personas ¿Cuántos bailaban en ese momento?a) 120 b) 150 c) 200d) 240 e) 180

2) Calcular el 25% del 10% del 40% de una cantidad cuyo 45% es equivalente al 25% del 36% de 48000.a) 96 b) 69 c) 86d) 76 e) 88

3) En una reunión el 40 % de las personas son varones. Si se retiran la mitad de estos ¿Cuál es el nuevo porcentaje de varones?a) 27, 5 % b) 25 % c) 22, 5 %d) 20 % e) 18 %

4) ¿De que número es 128 el 36 % menos?

a) 120 b) 180 c) 200d) 400 e) N.A

5) Si el (x-1) % de (x+36) es el

valor de x es:a) 2 b) 4 c) 12d) 9 e) 15

6) El 40 % del 50 % de X es el 30 % de Y ¿Qué tanto por ciento (2x+7y) es (x+y)?a) 20 % b) 40 % c) 25 %d) 35 % e) 50 %

7) ¿Qué porcentaje de n2 es la expresión (n2+0, 05 n2)?

a) 105 % b) 110 % c) 100 %d) 5 % e) 0, 5 %

8) Hallar el 10 % de los del 40 % de

la mitad de 6000

a) 96 b) 48 c)72d) 40 e) 90

9) 2 descuentos sucesivos del 40 % y 10 % ¿A que descuento único equivale?

a) 40 % b) 54 % c) 72 %d) 46 % e) 52 %

10) ¿Qué porcentaje de (a2+ab+b2) es (a3-b3)?

a) 100 (a-b) % b) (a-b) %c) (a+b) % d) 100 (a+b) %e) 10 (a-b) %

11) El sueldo de Rosa es de 1800 soles, pero Rita recibe un sueldo 24 % mayor que el de Rosa ¿Cuál es el sueldo de Rita?

a) 2232 b) 2322 c) 2432d) 2532 e) 2372




PORCENTAJES II

1) A un afiche triangular se le disminuye su base en 10 % y su altura en 30 % ¿Qué tanto por ciento del área original es la nueva área?a) 73 % b) 63 % c) 43 %d) 53 % e) N.A

2) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado si sus lados aumentan en un 20 %? a) 20 % b) 56 % c) 44 %d) 80 % e) N.A

3) Si los diagonales de un cuadrado disminuyen en un 40 % ¿En cuánto disminuirá su área? a) 40 % b) 60 % c) 56 %d) 44 % e) N.A

4) Si la base de un triangulo disminuye en un 20 % ¿Cuánto deberá aumentar su altura para que el área no varié?a) 10 % b) 20 % c) 25 %d) 30 % e) N.A

5) ¿En que porcentaje varía el área de un rectángulo, si su largo se aumenta en un 60 % y el ancho disminuye en 40 %?a) Aumenta en 10 %b) disminuye 4 %c) aumenta en 12 %d) disminuye 8 %e) N.A

6) Si el área de un cuadrado disminuye en 36 % ¿En que porcentaje ha disminuido su lado?a) 40 % b) 36 % c) 60 %d) 64 % e) 20 %

1) ¿En qué porcentaje aumenta la diagonal de un cuadrado cuando el área aumenta en 21 %?a) 10 % b) 20 % c) 21 %d) 30 % e) 79 %

2) Si la base de un triángulo disminuye 40 % y la altura aumenta 30 % ¿En que porcentaje varia su área?a) Disminuye 2 %b) Aumenta 2 %c) Disminuye 11 %d) Disminuye 22 %e) Disminuye 78 %

3) Para que el área de un rectángulo aumente en 4 % y la base se incremente en un 30 % la altura decrece en un:a) 12 % b) 14 % c) 18 %d) 20 % e) 25 %

4) Si el lado de un triángulo equilátero aumenta en un 40 % ¿En qué porcentaje aumenta su área?a) 86 % b) 76 % c) 60 %d) 96 % e) 84 %

5) Si A es el 10 % de la suma de C y D; además C representa el 20 % de la suma de A y D calcular A: C

a) b) c)

d) e)

6) Se sabe que el 20 % de “X” es igual al 40 % de “Y”, el 20 % de “Y” es igual al 40 % de “Z” entonces el 20 % de “Z” ¿Qué porcentaje de “X” será?a) 5 % b) 4 % c) 12 %

d) 10 % e) 15 %

7) Si el largo de un rectángulo aumenta en 30 % ¿En qué porcentaje debe disminuir el ancho para que el área disminuya en 9 %?a) 10 % b) 20 % c) 30 %d) 40 % e) 50 %

8) Al venderse un articulo en S/ 2530 se gano el 15 % del 10 % del 80 % del costo ¿A cuanto debe vender el objeto para ganar el 20 % del 25 % del 60 % del costo?a) 2575 b) 2275 c) 2565

d) 2850 e) 2857

9) El precio de un artículo se aumenta a un tanto por 80 y luego se rebaja el mismo tanto pero por 90 y si tiene así el precio original. Hallar dicho tanto.a) 12 b) 10 c) 11

d) 15 e) 20

10) Hallar el costo de un artículo sabiendo que al venderlo en 16 soles se pierde un tanto por ciento igual a dicho costo.a) 15 b) 12 c) 20

d) 10 e) N.A

REGLA DE TRES

Es un procedimiento de cálculo donde intervienen dos magnitudes conociéndose 3 valores, dos de una magnitud y una de otra cantidad, y se debe calcular el valor.

Clases de Regla de Tres

Dependiendo de las magnitudes que intervienen pueden presentarse dos casos:

a) Regla de Tres simple directa Cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales, es decir cuando aumenta una de ellas la otra también aumenta o al disminuir una de ellas la otra también disminuye.

Magnitud A D.P. Magnitud B

a1 b1

a2 bx

= K

a1 . x = b1 . a2

x =

b) Regla de Tres simple inversa Cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales, es decir cuando aumenta una de ellas la otra disminuye y viceversa.

Magnitud A I.P. Magnitud B

a1 b1

a2 bx

A . B= K a1 . b1 = a2 x

x =

Regla de Tres Compuesta

Existen varios métodos pero en todos el objetivo es comparar la magnitud que contiene la incógnita intervienen 3 o mas magnitudes.

Magnitudes M N P Q

(-) (+) (+) (-)

Valores a b c dm n x P

(+) (-) (+)DP IP DP

x =

x =




1) Si tres metros de tela cuesta S/ 120 ¿Cuánto se pagará por 5, 5 metros de la misma tela?

a) 210 b) 220 c) 230d) 240 e) N.A

2) Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) N.A

3) Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?

a) 120 b) 130 c) 140d) 150 e) N.A

4) Edwincito se comprometió en hacer una obra en un cierto número de días. Trabajando 5 horas diarias pero por motivo de salud tuvo que trabajar 5 días más y disminuir su trabajo diario en una hora ¿En cuántos días terminó la obra?

a) 20 b) 4 c) 25d) 24 e) 5

5) Si 8 hombres hacen un trabajo en 12 días ¿Cuál es el incremento en porcentaje en el número de días requeridos para hacer el trabajo cuando se despiden 2 hombres?a) 25 b) 50 c) 67d) 33 e) 75

6) Una enfermera proporciona a un paciente una tableta cada 45 minutos ¿Cuántas tabletas necesitará para 9 horas de turno si debe suministrar al inicio y al término del mismo?a) 8 b) 10 c) 14d) 13 e) 11

1) Si 12 obreros hacen una obra en 28 días, al aumentar 8 su rendimiento en un 60 % ¿Qué tiempo emplearán en hacer la obra?a) 16 b) 20 c) 18d) 24 e) 22

2) Si 24 hombres tardan 18 días en realizar una obra ¿Cuántos días tardarán 18 hombres en hacer el mismo trabajo?

a) 18 b) 20 c) 12d) 28 e) 24

3) Si 52 obreros tienen víveres para un viaje de 4 meses y se desea que los víveres duren 10 días más ¿Cuántos obreros no podrán viajar?

a) 2 b) 6 c) 4d) 8 e) 9

4) Un barco tiene provisiones para alimentar a su tripulación de 400 hombres durante 6 meses ¿Cuántos meses durarían estas provisiones si el número de hombres fuese 1600?

a) b) c)

d) e)

5) Se ha comprobado que de cada 100 mujeres menores de 20 años, 35 ya son mamás. Si se hizo una encuesta a 640 mujeres menores de 20 años ¿Cuántas ya son mamás?

a) 208 b) 210 c) 224

d) 312 e) N.A

6) El dueño de un garaje ha cobrado S/ 4500 por la guardianía mensual de 18 carros ¿Cuánto cobraría por la guardianía si hubiera 8 carros más?

a) 7200 b) 6500 c) 5400d) 8100 e) 9000

7) 15 obreros avanzan diariamente una cierta longitud de zanja, si se enferman tres de ellos, los restantes avanzan 8 m menos de zanja diariamente ¿Cuántos metros avanzan diariamente cuando todos trabajan?

a) 32 b) 36 c) 50d) 40 e) 60

8) Si compro 15 rosas me obsequian 3 ¿Cuántas rosas debo comprar si necesito 420 rosas?

a) 320 b) 340 c) 350d) 360 e) 380

9) Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensiones?

a) 16 días b) 24 c) 28d) 32 e) 40

10) “a” obreros pueden terminar una obra en 20 días con 40 obreros adicionales se puede terminar la misma obra en 16 días hallar “a”.

a) 16 b) 14 c) 18d) 15 e) 17



REGLA DE 3 COMPUESTA

1) 8 obreros han realizado los 3/8 de una obra en 9 días. Si se retiran 2 obreros y los restantes aumentan su rendimiento en 25 % ¿En cuántos días se hizo toda la obra?a) 24 días b) 25 días c)

23 díasd) 22 días e) 30 días

2) En 25 días, 12 obreros han hecho los 3/5 de una obra, si se retiran 2 obreros ¿Cuántos días emplearán los que quedan para terminar la obra?a) 21 b) 20 c) 18d) 19 e) 15

3) Si 6 leñadores de 80 % de eficiencia puede construir un albergue en 20 días ¿Cuántos días se demorarán 8 leñadores de 75 % de eficiencia para construir el mismo albergue?a) 10 b) 12 c) 15

d) 16 e) 18

4) Si 40 hombres pueden cavar una zanja de 200 m3 en 12 días ¿Cuántos hombres se necesitan para cavar otra zanja de 150 m3 en 10 días?a) 36 b) 32 c) 38d) 40 e) 45

5) 12 agricultores se demoran10 días de 8 horas diarias en sembrar 240 plantones ¿Cuántos plantones podrán sembrar 8 de estos agricultores en 15 días de 9 horas de trabajo diarias?a) 280 b) 270 c) 300d) 320 e) 350

6) Una empresa posee 4 maquinas de 70 % de rendimiento, que producen 2000 artículos cada 8 días. Si se quiere implementar otra sección con 3 maquinas de 80 % de rendimiento ¿Cuántos artículos producirá en 14 días?a) 1800 b) 2200 c) 2400d) 3000 e) 3600


1) 6 monos comen 12 plátanos en 6 minutos ¿Cuántos plátanos comerán 12 monos en 30 minutos?a) 100 b) 120 c) 150d) 180 e) 240

2) En una guarnición hay 120 soldados que tienen víveres para 30 días, recibiendo cada uno 3 raciones diarias de comida. Si estos mismos víveres se repartierán a 150 soldados recibiendo cada uno 2 raciones diarias ¿Cuántos días durarán los víveres?a) 32 b) 34 c) 36d) 40 e) 42

3) Una empresa constructora puede pavimentar 800 m de una carretera en 25 días empleando 15 obreros ¿Cuántos días emplearán 20 obreros de está misma empresa para pavimentar 640 m de una carretera en un terreno del doble de dificultad?

a) 30 b) 32 c) 36d) 40 e) 45

4) 5 carpinteros pueden confeccionar 25 sillas o 10 mesas en 24 días de 8 horas diarias ¿Cuántos días de 7 horas diarias emplearán 6 carpinteros para confeccionar 15 sillas y 8 mesas?a) 18 b) 32 c) 24d) 30 e) 28

5) Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 días ¿Cuántos días tardarán 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales?a) 5 b) 4 c) 6d) 8 e) 7

6) Por 8 días de trabajo 12 obreros han cobrado S/ 640 ¿Cuánto ganarán por 16 días 15 obreros con los mismos jornales?

a) 1400 b) 1600 c) 1800d) 1060 e) N.A

7) Si un grifo, dando por minuto 100 litros de agua, llena en 8 horas un pozo; 5 grifos dando cada uno 40 litros por minuto ¿En cuántas horas llenará un pozo 6 veces el anterior?

a) 24 b) 23 c) 22d) 20 e) 19

8) 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?

a) 35 b) 34 c) 30d) 32 e) 31

9) 7 Psicólogos pueden tomar 1800 test en 4 horas 30 minutos ¿Cuántos Psicólogos lograrán tomar 3200 test en 3 horas 40 minutos, cuya dificultad sea 0, 375 mayor respecto a las primeras?a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

10) 10 sastres trabajando 8 horas diarias durante 10 días, confecciona 800 trajes ¿Cuántos sastres de igual

rendimiento lograrán confeccionar 600 trajes trabajando 2 horas diarias durante 12 días?

a) 25 b) 24 c) 23

d) 22 e) 21

FACTORIAL DE UN NÚMEROEs el producto consecutivo desde la unidad hasta el número dado para todo número entero positivo.

Se denota:n! se lee factorial del

n número “n” ó

n “n” factorial

n! = 1 x 2 x 3 x 4 ……….. x n

Ejemplo:2! = 1 x 2 = 23! = 1 x 2 x 3 = 64! = 1 x 2 x 3 x4 = 245! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 1206! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

Nota: solo existe factoriales para números enteros positivos

Descomposición de factores de un factorial.

7! = 1x2x3x4x5x6x7 6!x7

7! = 6! x 723! = 22! x 2320! =18! x 19 x 2015! = 13!x14x15

Propiedad

n! = n (n-1) (n-2)!

0! = 11! = 1

Si n = 0 n! = 1

n = 1

Si a! = b! a = b

a b N

Observación:Un número expresado en factorial se puede descomponer en factores hasta en factorial que nos conviene.

Co factorial de “n” !!

Cuando “n” es par

n!! = a(a-2) (a-4)…….4 x 2

Cuando “n” es impar

n!! = a(a-2) (a-4)…….3 x 1



1) Resolver:

a) 2a b) 3a c) 4ªd) 5a e) N.A

2)

a) x+2 b) x+1 c) x+3d) x+4 e) N.A

3) Hallar “n”(n+3) (n+2) (n+1)! = 13!

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

4)

a) P! b) 1 c) 4

d) 2 e) N.A

5)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A

6) (x+2) (x+1) x! = (5x - 58)!

a) 15 b) 13 c) 16d) 18 e) 19


1) Resolver:

a) -25 b) -24 c) -28d) -30 e) N.A

2) Reducir: K =

a) 7 b) 8! c) 9d) 8 e) 19!

3) Hallar el valor de “n”:(n+1)! . (n - 1)! = 36m + (n!)2

a) 13 b) 72 c) 4d) 6 e) 2

4) Si: 120 (120)24! = (5!)(4!)! (5+x)!

Calcular (x + 2)!

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A

5) Hallar el valor de “n”:

a) 1 b) 2 c) 3

d) -2 e) -3

6) Simplificar:

a) 2 b) 2a c)

d) a e) 1

7) Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A

8) Simplificar:

a) 8 b) 5 c) 7

d) -8 e) N.A

9) Hallar:

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) N.A

10) Resolver:

(119!)n!! (5!)n!! = (5!!24)23!

a) 4 b) 5 c) 3d) 14 e) N.A

ANÁLISIS COMBINATORIO

Estudia las formaciones y estructuraciones que se puedan realizar con elementos y conjuntos, así como sus consecuencias.

Principios fundamentales de Conteo

Principio de Adición.- Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro B ocurre de m maneras entonces el evento A o B es decir, no simultáneamente, ocurre de m+n maneras:

A o B m + n formas

Principio de Multiplicación.- Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento A seguido de B ocurre “m x n” maneras.

A y B m . n formas

Permutación.- Es un arreglo u ordenación que se puede formar con todos elementos disponibles de un conjunto.En una permutación interesa el orden de sus elementos.

Tipos:

Permutación Lineal

0 < k ≤ n

1 ≤ k ≤ n

Pn = n! cuando se toman todos los elementos

Permutación Circular

Permutación con repetición

Combinación

Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto.

variación

PC(n) = (n - 1)!



1) Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene?

a) 286 b) 1037836 c) 65

d) 25 e) N.A

2) ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas alrededor de una mesa redonda?

a) 540 b) 720 c) 240d) 120 e) 60

3) Hallar el valor de: E =

a) 1 b) 3/4 c) 1/4

d) 2 e) N.A

4) ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en el campeonato descentralizado de fútbol en una rueda, en la que participan 16 equipos?

a) 160 b) 120 c) 80d) 320 e) N.A

5) ¿Cuántas palabras se puede formar con las letras de la palabra SUSURRO?

a) 630 b) 620 c) 640d) 580 e) 590

6) Calcular n:

a) 8 b) 6 c) 7d) 9 e) 10

Á r e a s

1. Área de un cuadrado

A = l2

A =

2. Área del rectángulo

A = b . h

3. Área del rombo

A =

4. Área del trapecio

A =

B = base mayorb = base menorh = altura

5. Área del triángulo

A =

b = base menorh = altura

6. Área del círculo

A = r2

A =

Longitud: 2 R

Longitud de área

7. Área polígono regular

Área =

P = Perímetro a = apotema


1) Entre “A” y “B” hay 4 caminos diferentes y entre “B” y “C” hay 3 caminos diferentes ¿De cuántas maneras puedo ir de “A” a “C” pasando “B” si de regreso no puedo usar la ruta de ida?

a) 120 b) 72 c) 132d) 96 e) 14

2) Una alumna tiene para vestirse 4 blusas, 3 pantalones, 2 faldas y 6 pares de zapatos ¿De cuántas formas se podrá vestir?

a) 110 b) 144 c) 120d) 72 e) 96

3) ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes y que terminen en “A” se pueden formar con las letras de la palabra ROSITA?

a) 720 b) 120 c) 240d) 24 e) 48

4) De Lima a Trujillo hay 7 buses diferentes ¿De cuántas maneras se puede ir a Trujillo y regresar en un bus diferente?

a) 7! b) 6! c) 30d) 42 e) 210

5) ¿Cuántas banderas bicolores se pueden diseñar con telas de 5 colores?

a) 12 b) 15 c) 10

d) 40 e) 20

6) Con 7 varones y 5 mujeres se van a formar comités mixtos de 6 personas ¿De cuántas maneras se pueden formar si en el comité hay 2 mujeres?

a) 240 b) 350 c) 700d) 720 e) 210

7) Hallar “x”:

Si:

a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

8) ¿Cuántos números mayores de 5000 se podrán formar con las siguientes cifras 2, 5, 1 y 4?

a) 24 b) 12 c) 6d) 120 e) 240

9) ¿Cuántos números pares de 3 cifras existen?

a) 420 b) 410 c) 300d) 820 e) 450

10) Una caja contiene focos de 2 de 25 vatios, 3 de 50 vatios y 4 de 100 vatios ¿De cuántas maneras pueden escogerse 3 de ellos?

a) 80 b) 86 c) 76d) 84 e) 74




1) Hallar el área de la región sombreada.a) 25 - 3b) 15 - 4c) 12 - 3d) 12 - e) 15 -

2) Hallar el área de la región sombreada

a) 10 m2

b) 80 m2

c) 60 m2

d) 70 m2

e) N.A

3) Hallar el área de la región sombreada:a) 16 m2

b) 16(4-) m2

c) 4 - 3 m2

d) 8 -2 m2

e) 12 (4 - ) m2

4) Hallar el área de la región sombreada de:

a) 6(6 -) cm2

b) 5(5 -) cm2

c) 4(4 -) cm2

d) 3(3 -) cm2

e) N.A.

5) Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm. y además M y N son puntos medios, calcular el área de la región sombreada.

a) (5-) cm2

b) (6-) cm2

c) (8-) cm2

d) (9-) cm2

e) N.A.

6) Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide a cm. y además “N” es punto medio, calcular el área de la región sombreada.

a) cm2

b) cm2

c) cm2

d) cm2

e) N.A.

1) Calcular el área de la región sombreada si AB = a (cuadrado)

a) a2/4

b) a2/2

c) a2/9

d) 3a2/4

e) 3a2/2

2) Hallar la región:

a) 16

b) 8 + 4

c) 32

d) 64

e) 64

3) Calcular el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es “L”.

a)

b)

c)

d)

e)

4) Calcular el área de la región sombreada si = a y además ABCD es un cuadrado.

a)

b)

c)

d)

e)

5) Hallar el área sombreada de:

a) 4 + 60

b) 4 + 32

c) 5 + 30

d) 6 + 15

e) N.A.

6) Calcular el área sombreada si ABCD es un cuadrado:

a)

b)

c)

d)

e) a2

7) Calcular el área de la región sombreada = a =

a)

b)

c)

d)

e)

8) Calcular el área sombreada si = a

a)

b)

c)

d)

e)

9) Calcular el área de la región sombreada si: = a

a)

b)

c)

d)

e) a2

rm 5º ii volumen janeth

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