rm 3º año ii volumen
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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================
1. REGLA DE TRES: Es un mtodoque nos permite resolverproblemas sobre magnitudesproporcionales.
2. REGLA DE TRES SIMPLE: Esun mtodo en el cual
intervienen dos magnitudesproporcionales que tiene comoobjetivo hallar un cuarto valor,
-
Indicad!.- Formula ejemplos ycontraejemplos para resolver una reglade tres simples ya sea directa e inversa.
Ca"i#$%&
REGLA DE TRES
No hay ciencia que hable de las armonas de la naturaleza con ms claridad que la matemtica.Carus
La matemtica es la ms simple, la ms perecta y la ms anti!ua de las ciencia
"adamard
Profesor enseando Razonamiento Matemtico
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dados tres valorescorrespondientes a estas dosmagnitudes.
#. CLASES'#.1. DIRECTA: cuando
intervienen dosmagnitudes directamenteproporcionales.
:
.!
"# $uevos %osto&s'.(
a1..........b1 a)......... *
!or teor+a de magnitudesproporcionales, se cumple que:
X
b
b
a 1
1
1 =
na orma prctica para hallar lainc/gnita 0* es usando el mtodode las 0racciones. El valor de 0*se obtiene multiplicando el valorque se encuentra sobre l con laracci/n obtenida de los otrosvalores. 2eamos como se procede.
.!
"# $uevos %osto &s'.(
2
1
a
a
x
b1
la racci/n 2
1
a
a
se invierte debido aque se relacionan dos magnitudes.!.
N#a'a1, b1y a)son datos, mientrasque 03 es la inc/gnita.
E()*"%: 4oanna compra 56 huevospor s'.17. 8%unto le costar+an 9)huevos
;esoluci/n:
"# de $uevos %osto &s'.(
$% ............................... 17&2 ............................... 3
3 = 17. 40
72
3 = s'.)9
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En este caso podemos usar elmtodo de las 0Fracciones. 2eamosel procedimiento.
.!
"# >breros "# ded+as
2
1
a
a
x
b1
Ca racci/n 2
1
a
a
queda igual debido aque se relacionan dos magnitudes.!.
E()*"%'%ien obreros emplean 57d+as para hacer una obra. 8%untos
d+as emplearn ))7 obreros parahacer la misma obra
R),%$ci-n'
"# >breros "# d+as
166 ............................... 57))7 ............................... 3
3 = 57. 225
100
3 = )6 d+as
1. ?i las Dechas van en igual sentido las magnitudes sern .!.
2. ?i las Dechas van en sentido contrario las magnitudes sern .!.
#. %onsideraremos Dechas paraarriba 0mas o mayor y Dechaspara abajo 0menos o menor.
NOTA: a1, b1 y a) son datos,mientras que 3 es la inc/gnita.
1. n reloj da 5campanadas en 5 segundos. 8Encuntos segundos dar 1H?E;2B%I"
CONSTRUENDOMIS CONOCIMIENTOS
- < -
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2. >cho hombres pueden hacer unaobra en < d+as. 8%untos hombres
ms har+an alta, para hacer laobra en ) d+as.
a( ) b( < c( 5 d( e(G
#. !ara alimentar a los 56 caballosque tengo necesito )7 Jg. depasto, 8%untos caballos deber+atener para alimentarlos con 17Jg. si la raci/n por caballo novar+a
a(
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a( 1) d+as b( 1< d+as c( 15d+as
d( 17 d+as e( ".B.
). n jardinero siembra un terreno
cuadrado de 9 metros de lado, en Gd+as. 8%unto d+as le tomar ensembrar otro terreno cuadrado, de15 metro de lado
a( 1 b( )5 c(
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Bcurdate de conservar, enlos acontecimientos graves,la mente serena.
0!aci
POR SI NO LO SA1A
C>? EBCE?: 8@uin en esta vida no tiene un idealBlgunos ambicionan dinero, ser amados, ama,viajes, placeres. >tros desean tener contacto con>?. !oseer nobles ideales permite la creaci/n deuna personalidad uerte, subyugante,irresistiblemente atractiva. %rea un energ+a losuOcientemente grande como para vencer cualquiertipo de obstculo. %uanto ms noble sea un ideal,ser la ersona.
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Ca"i#$%
2
)n ho!ar sin libros de matemtica es un ho!ar sin discernimiento en sus actos
*al+ador imoteo-onde se quiere a los libros de matemtica se quiere a los hombres
. /erciers
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1. REGLA DE TRES COMPUESTA:?e llama as+ cuando intervienenms de dos magnitudesproporcionales.
2. MTODO DE LAS RAAS:Podas las magnitudes queintervienen se clasiOcan en trespartes y son:
a0 Ca$,a:Es todo lo que haceposible la obra &hombre,mquinas, animales, etc(
b0 Ci!c$n,#ancia: Es todo loconcerniente al tiempo&d+as, horas diarias, raciones
diarias, etc.(
c0 E4)c#: Es todo lo que sehace o realiLar &obra, largo,ancho, volumen, metros,etc(.
O1SER+ACI5N'1. Ca eOciencia, habilidad o
rendimiento del obrero va junto o
multiplicada a l.2. Ca oposici/n o diOcultad de laobra va junto o multiplicada a ellamisma.
$ombres E +as $' Cargo Bncho m) i1ra.?erie
a1 b1 c1 d1 e1 1 g1 $1
)da.seria
a) b) c) d) e) ) g) $)
?e cumple que:a)b)3 d)e11g1h1= a1b1c1e))g)h).d1
con lo cual:
3 = 1111222
22221111
hgfedbahgfedcba
E6EMPLO' 1) obreros en G d+ashacen 6m) de una obra, 8Encuntos d+as, G obreros harn
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R),%$ci-n'%olocaremos en dos dilas losdatos correspondientes a cadauna de estas magnitudes, esdecir:
.!..!. .!.
"# obreros "# d+as obra rapideLdiOcultad
15
18
x
42
1
1
r
r
7 d
d
5
3 =
3 =
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d+as 96 obreros harn 1)6m) deobraa( ) b( < c( 5d( e( G
). 6 seMoras en )5 d+as hacen )76chompas 8%untos chompastejern 5)seMoras en 1 d+as
a( 167 b( 1)6 c( 1)7d( 1
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1. 57 tigres en el mes de abril comen5G6 Jg de carne. 8%untos Jg decarne comern )96 tigres en )7
d+asa( )166 b( ))66 c()
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POR SI NO LO SA1A
Ca conOanLa del guerrero no es la conOanLa delhombre corriente. El hombre corriente busca lacerteLa en los ojos del espectador, y llama a esoconOanLa en s+ mismo. El guerrero busca la
impecabilidad en sus propios ojos, y llama a esohumildad. El hombre corriente estn enganchado asus semejantes, mientras que el guerrero s/lo esten anchado al inOnito.
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1. DEFINICIN: Es una aplicacin de laregla de tres simple directa en donde unade las cantidades representa una unidaddividida en 100 partes iguales (100%)Esquema:
m -------- 100 %n -------- x
2. PRINCIPALES RELACIONES:
. Transformaciones:
A1 !e % a "raccin:E#emplo:
o $0% 5
1
100
20=
o &% 20
9
100
45
=En general:
A$ !e "raccin a %:E#emplo:
o
%25%1004
1
4
1
= x
o
%3,33%1003
1
3
1= x
o
%40%10052
52 = x
En general:
. 'orcenta#es seme#antes:E#emplo:
o $&% de m*s el +0% de ,($&% +0%) de
, &&% de ,N
100
55
o $% de m*s el +.% de menos el &% de , ($% +.% - &%) de
, +&% de ,N
100
35
C. 'orcenta#es de porcenta#e:
E#emplo:o 0% del &0% de ,
Nx100
50
100
40
o /&% del .0% del 0%de ,
Nxx100
60
100
80
100
75
Ejemplo:& por ciento de +00
& & & , 1&
NOTA:de2del2 implica una
multiplicacinde los2
E32 significa igualdad 4uando nos dicen que se
disminu5e o se aumenta a un
total en t6rminos de porcenta#esde7emos considerar que esetotal es el 100% de s8 mismo
-
Ca"i#$%
3
PORCENTA6E I
X = m
n
x100 %
a % 100
a
%100xaa
Indicad!.- Elabora procedimientospara hallar el porcentaje enoperaciones ms usadas en el medio.
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'erdi 9uito e 9ueda+0% 100% - +0%0% 0%;0% 10%
mero de unidades que setoma de cada 100
o 3i decimos el /0 por ciento de lasrespuestas de una prue7a son correctas23e podr* usar /0?100 en ve@ de la frase/0por ciento2
o =a frase por ciento2 se usa cuando unara@n est* expresada con undenominador 100
/0 por ciento: 100
170
100
70x=
o En ve@ de la expresin por ciento2 seusa el s8m7olo es una a7reviatura de1?100
%50100150
10050 == x
%25100
125
100
25== x
E#emplo:
B x 100% B 00%
2
1
2
1
x 100% &0%
4
3
4
3
x 100% &%
E#emplo:o $0% A 0% A , 0% A
o &0% A C $.% A , $$% Ao $% D C 1% A &% D , 1/% D
E#emplo:
0 1&% del (1$% de 4) % del (1$ de 4)
se suman
, 1;% del (1$% de 4)
0 na cantidad m*s su +0% , 1+0% de lacantidad
C0 i edad m*s el $+% de ella , 1$+% demi edad
PROBLEMAS FUNDAMENTALES SOBREPORCENTAJES:
=os pro7lemas fundamentales de tanto porciento pueden reducirse a la siguienteexpresin:'% x , F!onde:'% , os indica el n>mero de cent6simas atomar , Fepresenta la cantidad de la cual Ga5que tomarlasF , Es el resultado de la operacin
'rimer caso:4uando en: '% de , F
3e conocen: '% 5 3e desconocen: F
Ejemplo 1: Hallar el 0% de ;00Fesolucin:
0% de ;00 , F= 900
100
40x
F3implificando o7tenemos:
0 x ; , F F , +0
Ejemplo 2: Hallar el 00$% de + 000
Fesolucin:
-
Todo nmeo p!ede "e e#pe"$do %omo !n po%en&$jem!l&'pl'%$ndo d'%(o nmeo # 1))
Se p!ede "!m$ o e"&$ po%en&$je" de !n$ m'"m$ %$n&'d$d*
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000$% de + 000 , F00036
100
002,0x
3implificando o7tenemos:
000$ x + , F ,
Rx =360100
002,0
Rx
=100
362
F , 0/$
=as pala7ras de2 del2 o de los2matem*ticamente significamultiplicacin 5 la pala7ra es2significa igualdad
Se+!ndo %$"o:C!$ndo en: P, de N - RSe %ono%en P, . RSe de"%ono%en N
Ejemplo 1: I$&% de que n>mero es 0JFesolucin:3ea: 2 el n>mero 7uscado
entonces: $&% de , 0100
100
25= xN
!espe#ando 2 o7tenemos:
24046025
10060=== Nx
xN
Ejemplo 2: I00% de qu6 n>mero es $J
Fesolucin:
3ea: 2 el n>mero 7uscado entonces:00% de , $
240006,024100
06,0== xNxN
2400
100
6=xN
Ejemplo /: 3i tuviera $0% m*s de la edadque tengo tendr8a . aKos I9u6 edad tengo
en la actualidadJ
Fesolucin:
3ea mi edad actual: e 100%eFecordemos que la totalidad de una cantidades siempre el 100% de ella misma !elenunciado o7tenemos:
e $0%e , . aKos100%e $0%e , . aKos 1$0%e , . aKos
100
120
e , . aKos
e , 12
1048x
aKos e , 0 aKos (edad actual)
Ejemplo 0: 3i vendiera mi li7ro dera@onamiento matem*tico en un +0% menoscostar8a 1/&0 soles I4u*l es el precio realdel li7roJFesolucin:3ea: el precio real de li7ro:' , 100% '
!el enunciado o7tenemos:' C +0%' , 1/& soles100%' C +0%' , 1/& soles/0%' , 1/& soles
100
70
' , 1/& soles
' , 100175
soles ' , $& soles
Te%e %$"o:C!$ndo en: P, de N - RSe %ono%en N . RSe de"%ono%en P,
Ejemplo 1: I9u6 porcenta#e de 1$0 es .JFesolucin:3ea: '%2 el porcenta#e 7uscado'% de 1$0 , .
100
P
x 1$0 , . ' , 121048x
' , x 10 , 0%
Ejemplo 2:I9u6 porcenta#e de +$0 es JFesolucin:3ea: '% el porcenta#e 7uscando '% de +$0,
100
P
x +$0 , ' , 321064x
' , $ x 10 , $0%
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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================Ejemplo /: I9u6 porcenta#e de 00$& es000&JFesolucin:3ea: '% el porcenta#e 7uscado'% de 00$& , 000&
100P
x 00$& , 000&
100
P
x1000
25
, 1000
5
' , & x , $0%
1. I!e qu6 n>mero es 1$. el +%menosJa) $0 7) $00 c) 100d) $&0 e) 00Fesolucin:
2. I4u*nto es el $0% m*s del $0%menos de &0Ja) &0 7) . c) &$ d) e) AFesolucin:
#. !etermine el $&% de los $?& del 0%de los $?; del 10% de + 000a) +0 7) +$ c) + d) +1 e) ++
Fesolucin:
$. En una f*7rica tra7a#an $&0 personasdonde el .0% son Gom7res I4u*ntasmu#eres de7en contratarse para queel 0% del personal sean aGoramu#eresJa) $&0 7) 1&0 c) $00d) 1.0 e) $+0Fesolucin:
'. El $0%A , +0%D Iqu6 porcenta#e de(AD) es DJa) $0% 7) +0% c) 0% d) &0%
e) 0%Fesolucin:
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CONSTRUENDOMIS CONOCIMIENTOS
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(. En la academia 3an Agust8n2 Ga500 alumnos de los cuales &0 sonmu#eres Iqu6 porcenta#e del total sonlos varonesJ
a) 1&% 7) $&% c) +&% d) $%e) +%Fesolucin:
1 Hallar el (a C 7)% de
22 ba
ba
+
a) 100
1
7) 2
50
c) 3
35
d) 15
2
e) 0
2. 3i el $0% de a2 es igual a 72 I9u6porcenta#e de (a C 7) es (a 7)J
a) +&% 7) .&% c) 1$0%d) 1&0% e) 1&%
#. En un saln de clases el 0% sonGom7res 5 las mu#eres son $1Icu*ntos alumnos Ga5 en el salnJa) +0 7) +& c) 0 d) & e) &0
$. 3i 0%A , .0%D I9u6 porcenta#ede (A $D) es ($A - D)J
a) $0% 7) +0% c) 0% d) &0%
e) 0%
'. 3i el L% m*s que q es p Icu*l es elvalor de LJ
a) q
p100
7) p
q100
c)
qqp )(100
d) q
pq )(100
e) p
qp )(100
(. 3i el $0% de A2 equivale al +0% deD Iqu6 porcenta#e de (AD) es A2Ja) $0% 7) 0% c) +0%d) 0% e) .0%
&. En la Academia 3an Agust8n2 el d8ade Go5 el 0% de Gom7res 5 /0% deGom7res salen de paseo 3i el totalde mu#eres es el .0% del total dealumnos I9u6 porcenta#e no asistial paseoJa) $.% 7) +.% c) $%d) 1% e) .%
3. 3i a2 es el $&% de 42 5 72 es el0% de 42 I9u6 parte de 72 esa2J
a) 5
8
7) 2
1
c) 5
2
d) 8
5
e) 2
3
4. El &0% de A2 es igual al +0% de DI9u6 tanto por ciento de & /D2 esA D2J
a) 1.% 7) +% c) +0%d) 1% e) $0%
1%. En una reunin el 0% del total depersonas son ma5ores de edad 3i seretiran la mitad de 6stos I9u6 tantopor ciento representan los menoresde edad del nuevo totalJ
a) /0% 7) /&% c) .0%
d) .&% e) ;0%
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RE/ORZANDOMIS CAPACIDADES
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1. IEn cu*l de estos equipos no Ga #ugado Muan 4arlos Da@alarJ
a) 3port Do5s 7) !eportivo 3ipesa c) 4iclista =ima
2. IEn cu*l de estos equipos no Ga #ugado
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APLICACIONES
. !os descuentos sucesivos del a% 5 7% son equivalentes a un descuento>nico de:
!u, (a 7) - 100
ab
%
. !os aumentos sucesivos del a% 5 7% son equivalentes a un aumento>nico de:
Au, (a 7) 100
ab
%
Ejemplos e Bplicaci/n
1. !os descuentos sucesivos 5 uno del10% 5 el otro del $0% sonequivalentes a uno de:Fesolucin:
!u, (10 $0) - 100
2010x
%!u, +0 C $ , $.%
2. En el mes de a7ril le aumentaron elsueldo a su empleado en un $0%luego en el mes de #ulio al 10% Ienqu6 porcenta#e aument el sueldorespecto del mes de mar@o
Fesolucin:3uponemos que en mar@o reci78a:100 soles en a7ril (reci7ir*100$0,1$0($0 es el $0% de 100)=uego en #ulio reci7ir*: 1$0 1$ ,1+$
(1$ es el 10% de 1$0)El aumento total ser*: 1+$-100,+$que equivale al +$%
-
Ca"i#$%:
PORCENTA6E II
La matemtica es la piedra an!ular de la ciencia
La /lace
El que crea que todo sistema concepto o proposicin es algo inaltera7leO no es u=a matem*tica es la m*s su7lime 5 a la ve@ la m*s fren6tica de las creaciones Guamanas2 (
Indicador.- Elabora procedimientos parahallar descuentos y aumentossucesivos de porcentaje relacionadoscon aspectos de la vida cotidiana.
DESCUENTOS AUMENTOSSUCESIOS
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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================
Au, (10 $0) 100
2010x
%Au, +0 $ , +$%
#. A una persona le Gacen dosdescuentos sucesivos del $0% 5+0% so7re el precio de un art8culoque compr Icu*l es el porcenta#eefectivo (>nico) de descuento que seGi@oJFesolucin:
!u, ($0 +0) - 100
3020x
%!u, &0 C , %
$. =os precios de los alimentos su7ieron$0% en enero 5 +0% en fe7rero delaKo $00 I!e cu*nto fue elincremento efectivo (>nico) de loselementos en esos dos mesesJFesolucin:
Au, ($0 +0) - 100
3020x
%Au, &0 , &%
1. !os descuentos sucesivos del 10% 5el 0% son equivalentes a uno de:
a) .% 7) % c) %
d) $% e) &0%Fesolucin:
2. !os aumentos sucesivos del 10% 5 el
$0% equivalen a un aumento >nicode:
a) +0% 7) +1% c) +$%d) ++% e) +%Fesolucin:
#. IA qu6 aumento o descuento >nicoequivalen dos descuentos sucesivosdel $0% 5 &0% seguido de dosaumento sucesivos del $0% 5 &0%Ja) 0% 7) $.% c) /$% d) +0%e) /0%
Fesolucin:
$. 3i en la maKana cuando sale el sol latemperatura es 1&P4 5 al mediod8a latemperatura es 1.P4 IEn qu6 tantopor ciento aumenta la temperaturaJa) $&% 7) 1% c) 1&%d) $0% e) +0%Fesolucin:
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CONSTRUENDOMIS CONOCIMIENTOS
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I.E.P SAN AGUSTN RAZONAMIENTO MATEMTICO 3 AOSECUNDARIA============================================================
'. 3i el radio de una esfera aumenta en10% IEn qu6 tanto por ciento var8asu *reaJ
a) 1;% 7) $1% c) 10%d) 100% e) &0%
Fesolucin:
3ea: E , w
zyx
4
..)5log( 2
3i x aumenta en &0% 5 Q disminu5een % IEn qu6 tanto por cientovar8a EJa) &0% 7) 1% c) ++% d) +&%e) &+%Fesolucin:
1. IA qu6 descuento >nico equivalendos descuentos sucesivos del $0% 5
0%J
a) 0% 7) &$% c) &&%
d) &% e) $%
2. IA qu6 aumento >nico equivale dosaumentos sucesivos del $0% 5 0%Ja) &% 7) 0% c) .% d) /$%
e) /.%
#. 3i el ancGo de un rect*ngulo aumentaen $0% 5 el largo disminu5e en 10%IEn qu6 tanto por ciento var8a su*reaJa) % 7) .% c) %d) 1% e) 10%
$. na lavadora cuesta R+00 5 se leGace dos descuentos sucesivos del
$0% 5 10% I4u*nto se pagar* por elartefactoJa) R1$ 7) R11 c) R$1d) R1+ e) R$10
'. Tres descuentos sucesivos del $0%&0% 5 10% equivale a un descuento>nico de:a) .0% 7) .$% c) $%d) % e) /$%
(. 3i F2 disminu5e en 10% IEn qu6
porcenta#e disminuir* F$Ja) 10% 7) 100% c) .1%d) 1;% e) ;0%
&. IEn qu6 porcenta#e aumenta el *reade un cuadrado cuando su ladoaumenta en $0%Ja) $0% 7) $1% c) %d) &% e) .0%
3. En la siguiente expresin:
E , pw
zyx
.
.. 2
3i Q2 disminu5e en 10% 52 aumentaen 0% p2 disminu5e en +0% IEnqu6 porcenta#e var8a E2J
a) Aument en 1;0%7) !isminu5 en 1;0%c) Aument en 1&$%
-
RE/ORZANDOMIS CAPACIDADES
- )1 -
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d) Aument en 1+&%e) !isminu5 en ;.%
4. n art8culo al venderse se ledescuenta el 10%O luego se le
recarga el 10% pero se le vuelve adescontar el 10% pag*ndose 3? .;10 I4u*l era el precio inicialJ
a) 3? 1 000 7) 3? 1+ 000c) 3? 1$ &00 d) 3? 1$ 000e) 3? 10 000
1%. 3i la 7ase de un tri*ngulo aumenta en+0% 5 la altura relativa a dicGa 7asedisminu5e en un 0% IEn qu6 tantopor ciento var8a su *reaJ
a) Aumenta en +0%7) !isminu5e en 0%c) !isminu5e en .%d) Aumenta en .%e) !isminu5e en +0%
1. I4u*l fue el primer equipo peruano que enfrent al Am6rica de 6xico en 4opa =i7ertadoresJa) 3porting 4ristal 7) 4ienciano c) Alian@a =ima
2. I9u6 equipo derrot a niversitario en la final de la copa =i7ertadores 1;/$Ja) Sndependiente 7) 'eKarol c) Facing
#. IEn cu*l de estos equipos #ug Fo7erto 4GaleJa) 3porting 4ristal 7) 3port Do5s c) Muan AaricG
$. IEn qu6 equipo de EE #ug Tefilo 4u7illasJa) 4osmos 7) Tampa Da5 c) 3tricers
'rimer Acto: 'asa un tipo 5 lo muerden los perros3egundo Acto: 'asa el mismo tipo 5 lo vuelven a morderTercer Acto: 'asa el mismo 5 lo vuelven a morder los perrosI4mo se llama la o7raJ
- - )) -
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El remordimiento
!onde m*s encontraremos aplicaciones
del tanto por ciento es en las actividades
comerciales por e#emplo en el Danco (en
las tasas de inter6s) en la 3AT (al
pagar un impuesto) etc
4uando resolvamos pro7lemas de este
tipo nos tocaremos con nom7res como:
'recio de venta descuento 5 ganancia7ruta etc
RELACION FINANCIERA*C!$ndo "e 3ende +$n$ndo
'fC !esc , 'c g
'v gn gastos
'f :'recio de lista o fi#ado o marcadopara la venta
-
Ca"i#$%;
PORCENTA6E III
=a matem*tica es la g6nesis de la ciencia 5 el Apocalipsis de la ignorancia2 (4oleccin cEl cora@n de la ra@a Gumana es la matem*ticas2 (!arUin)Snfeli@ aquel que la matem*tica no Ga5a tocado su mente 5 alma2 (!ruert)
Indicador.- Elabora procedimientos parahallar las aplicaciones comerciales denuestra vida cotidiana.
APLICACIONES COMERCIALES
- )< -
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'v :'recio de venta
'c :'recio de costo o de compra
g :
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'. n comerciante compra unamercader8a 5 la revende con un7eneficio del .% so7re el precio decompra 3i ganara el .% so7re elprecio de venta 5 resultar8a unaganancia de 3? . m*s Hallar elprecio de compra
Fesolucin:'v , 'c n#, a, #i)n) *i4$#$! ,$)
P)#$a'03 aMos
Inc)n#)' 8%untos aMos tuvo hace