riesgo sÍsmico de estructuras de acero: una nueva

DEL 25 AL 28 DE NOVIEMBRE DE 2015, ACAPULCO, GUERRERO, GRAND HOTEL

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA SÍSMICA A. C.

RIESGO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE ACERO: UNA NUEVA METODOLOGÍA

DE CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL BASADA EN DESEMPEÑO

José Ramón Gaxiola Camacho (1), Achintya Haldar (2), Alfredo Reyes Salazar (3)

1Estudiante de doctorado, Departamento de Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica, Universidad de Arizona, Tucson, Arizona,

EUA, 85721, [email protected] 2Profesor e investigador, Departamento de Ingeniería Civil e Ingeniería Mecánica, Universidad de Arizona, Tucson, Arizona,

EUA, 85721, [email protected] 3Profesor e investigador, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Sinaloa, Ciudad Universitaria, Culiacán, Sinaloa,

México, 80010, [email protected]

RESUMEN

Como consecuencia del impacto de terremotos recientes, niveles de desempeño estructural inadecuados han sido

observados en edificios de acero. Esto ha propiciado la búsqueda de nuevas metodologías para calcular el riesgo

sísmico. Diversas técnicas han sido propuestas, sin embargo, estos procedimientos no consideran apropiadamente las

no-linealidades e incertidumbres del problema. Con el objetivo de mejorar los procedimientos existentes, una nueva

metodología para estimar el riesgo sísmico se presenta en este artículo. Cuatro métodos integran el procedimiento:

(1) elementos finitos, (2) análisis de confiabilidad de primer orden, (2) superficies de respuesta, y (4) una técnica de

iteración lineal.

ABSTRACT

Afterwards the impact of recent earthquakes, several deficiencies in the performance of steel structures have been

observed. As a result of these damages, the profession has been searching for alternative methodologies for seismic

risk evaluation. Many techniques have been proposed in the past, however, these procedures fail to properly consider

the sources of nonlinearity and uncertainty. Among several alternatives, this paper presents a novel methodology for

the seismic risk evaluation of steel structures. The procedure intelligently integrates four methods: (1) finite element

method, (2) first order reliability method, (3) response surface method, and (4) an iterative linear interpolation

technique.

INTRODUCCIÓN

La evaluación del riesgo sísmico de estructuras representa uno de los retos más importantes de la ingeniería. Durante

años recientes, se han observado considerables fallas en estructuras diseñadas con base en reglamentos de

construcción, mostrando algunas de las deficiencias de dichos códigos. Un ejemplo claro es el caso de los daños

ocasionados por el terremoto ocurrido en Northridge California en 1994. Después del impacto de dicho fenómeno,

niveles de desempeño estructural inadecuados fueron observados principalmente en edificios de acero. Uno de los

daños más notorios fue el de fallas en la conexión viga-columna. A pesar de que no se tuvieron grandes pérdidas

humanas, los daños estructurales fueron extraordinarios. Esto propició la introducción de métodos alternativos de

diseño estructural, considerando diferentes niveles de desempeño, es decir, en donde se usen objetivos diferentes a

los comúnmente usados por los reglamentos de construcción. Sin embargo, debido a que estos métodos alternativos

son distintos, diversas pruebas científicas fueron necesarias para poder aplicarlos. Con base en estos requerimientos,

a finales de los noventa, la Agencia Federal para el Manejo de Emergencias (FEMA, por sus siglas en inglés) de los

Estados Unidos financió el proyecto SAC, el cual tuvo como objetivo principal el desarrollo de recomendaciones

para el diseño sismo-resistente de estructuras de acero. Los resultados de este proyecto fueron publicados en una

serie de reportes técnicos (FEMA-350 2000, FEMA-351 2000, FEMA-352 2000, FEMA-353 2000, FEMA-355C

XX Mexican Congress of Earthquake Engineering Acapulco, 2015

2000, FEMA-355F 2000). La principal aportación del proyecto SAC fue la introducción del Diseño Sísmico de

Estructuras de Acero Basado en Desempeño (DSEA-BD).

La carga sísmica que una estructura puede experimentar en una región específica es muy impredecible. Además, el

cálculo de la respuesta sísmica de estructuras es también complicado, presentando diversas fuentes de incertidumbre

y no linealidad. Por lo tanto, el riesgo sísmico debe de ser calculado de manera apropiada, eficiente, y precisa. Con el

objetivo de avanzar en la solución de este problema, en este artículo se propone relacionar diferentes niveles de

desempeño con riesgos específicos, permitiendo con esto a los ingenieros y/o dueños de la estructura decidir

convenientemente el riesgo sísmico que la estructura debe experimentar. Un nivel de desempeño puede ser definido

como “la condición de la estructura una vez que la excitación sísmica ha terminado”. Los niveles de desempeño

varían desde el nivel de ocupación inmediata (nivel para el cual después del terremoto de diseño, la estructura se

encuentra prácticamente sin daños) hasta el de prevención de colapso (un estado estructural de daño extenso). Para la

correcta incorporación del DSEA-BD, es esencial que el riesgo sísmico o probabilidad de falla de la estructura con

respecto a un nivel específico de desempeño pueda ser completamente calculado.

El DSEA-BD consiste en una serie de procedimientos mediante los cuales un sistema estructural se diseña de manera

controlada. La aplicación de este concepto puede llevarse a cabo siguiendo cinco pasos de manera secuencial: (1)

seleccionar los niveles de desempeño, (2) realizar un diseño preliminar, (3) calcular el desempeño, (4) revisar la

capacidad de desempeño con los valores permisibles especificados en los códigos, y (5) si los riesgos obtenidos son

mayores a los riesgos permisibles, revisar el diseño. FEMA 355F presenta cinco requerimientos que deben de ser

tomados en cuenta en el DSEA-BD: (1) incorporar la incertidumbre en el desempeño estructural asociada con

eventos impredecibles, (2) establecer expectativas reales para el desempeño, (3) evaluar la variabilidad de

desempeño de estructuras localizadas en zonas cercanas, (4) desarrollar una metodología basada en confiabilidad

estructural, (5) establecer niveles de desempeño con respecto a diversos riesgos sísmicos, y (6) calcular desempeños

estructurales para niveles locales (vigas, columnas, etc.) y globales (desplazamientos de entrepiso, de azotea, etc.).

Estas exigencias fundamentan la implementación de nuevas metodologías para el DSEA-BD. El objetivo central de

este artículo es proponer una técnica para el cálculo de riesgo sísmico de estructuras con base en la teoría de

confiabilidad estructural.

RETOS EN EL DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS DE ACERO BASADO EN DESEMPEÑO

Existen diferentes metodologías para el DSEA-BD, sin embargo, estas presentan diversas deficiencias en la

evaluación del desempeño estructural. El correcto establecimiento de niveles de desempeño y la aplicación de

modelos matemáticos para representar el comportamiento de estructuras de acero sometidas a terremotos, significa

uno de los más grandes retos en la práctica ingenieril. Si el desempeño está siendo evaluado para condiciones de

servicio (desplazamientos, rotaciones, etc.), es común la utilización de métodos de análisis estructural lineal. Sin

embargo, si el desempeño se evalúa para condiciones locales (elementos estructurales como vigas, columnas, etc.),

se deben de aplicar métodos que consideren no linealidades geométricas y del material. Con el fin de estudiar el

comportamiento no lineal de estructuras, comúnmente se utilizan análisis basados en elementos finitos.

Considerando la exactitud y eficiencia de diversos métodos de análisis estructural, la representación de estructuras

complejas y con configuraciones anormales puede resultar demasiado complicada para el método de elementos

finitos. Con el fin de aplicar las cargas sísmicas de forma dinámica, diversos métodos han sido sugeridos por los

reglamentos de construcción, estos varían desde el método de la carga lateral equivalente hasta el método de

integración directa aplicando el terremoto paso a paso en el dominio del tiempo (ASCE/SEI 7-10 2010).

En la opinión de los autores de este artículo, la más importante deficiencia en el DSEA-BD es la evaluación del

riesgo sísmico de la estructura considerando incertidumbres y no linealidades del problema, aplicando la carga

sísmica paso a paso en el dominio del tiempo. Comúnmente el riesgo se calcula con respecto a una función de

desempeño (global o local). Dos de los métodos más importantes utilizados para el cálculo de riesgo son los de

análisis de confiabilidad de primer y segundo orden (Haldar, Mahadevan 2000b). Estos métodos pueden ser

utilizados solo cuando las funciones de desempeño se tienen disponibles de manera explícita. Sin embargo, para el

caso de estructuras sometidas a terremotos, las funciones de desempeño son implícitas, es decir, son totalmente

desconocidas antes de iniciar la evaluación. Por lo tanto, los métodos de análisis de confiabilidad de primer y



segundo orden no pueden ser aplicados directamente en el DSEA-BD. Una opción para el cálculo del riesgo es el

método de simulaciones Monte Carlo (MCS, por sus siglas en inglés). Para cada MCS, un análisis determinístico de

la estructura debe de ser calculado (Haldar, Mahadevan 2000a). Se ha observado por los autores de este artículo que

un análisis determinístico por el método de integración directa, aplicando la carga sísmica paso a paso en el tiempo,

puede tomar en promedio 10 horas de cálculo computacional. Por ejemplo, para obtener el riesgo sísmico de una

estructura utilizando 5,000 simulaciones Monte Carlo tomaría 50,000 horas de análisis, es decir, 5.7 años. El

segundo autor de este artículo propuso el método estocástico de elementos finitos (SFEM, por sus siglas en inglés);

este método es capaz de evaluar el riesgo sísmico de estructuras aplicando la carga sísmica paso a paso en el dominio

del tiempo (Haldar, Mahadevan 2000b). Este procedimiento requiere diversos análisis determinísticos de la

estructura, en consecuencia, debido a que cada análisis determinístico puede llevar varias horas, el proceso debe de

ser modificado en términos de eficiencia. Por lo tanto, una metodología alterna a MCS y SFEM es necesaria. Este

artículo presenta de manera sistemática una nueva metodología para el cálculo de riesgo sísmico y su apropiada

aplicación en el DSEA-BD.

METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DE RIESGO SÍSMICO BASADO EN DESEMPEÑO

El riesgo sísmico no puede ser calculado de manera eficiente solamente con la aplicación de MCS o SFEM. El

proceso que engloba el cálculo del riesgo sísmico es muy complejo por diversas razones: la carga sísmica debe de ser

aplicada directamente paso a paso en el dominio del tiempo, las diversas fuentes de incertidumbre y no linealidades

tienen que ser incluidas en el proceso, y los análisis determinísticos de la estructura deben de ser desarrollados de

manera eficiente. Además, el nivel de dificultad se incrementa debido a que las funciones de desempeño para una

estructura sometida a terremoto son desconocidas (implícitas) al iniciar la evaluación. Cuando las funciones de

desempeño de un sistema estructural son implícitas, diversos métodos pueden ser utilizados (Haldar, Mahadevan

2000b); entre ellos, el método de superficies de respuesta (RSM, por sus siglas en inglés) puede ser implementado

para generar de manera aproximada la función de desempeño usando polinomios explícitos (Rajashekhar,

Ellingwood 1993). Sin embargo, si la respuesta de la estructura no se genera en la región de falla, dicha función de

desempeño no va a representar el estado límite bajo estudio. Además, la simple aplicación de RSM no puede

considerar las propiedades estadísticas de las variables aleatorias del problema. Con el fin de solucionar este

inconveniente, el método de análisis de confiabilidad de primer orden (FORM, por sus siglas en inglés) puede ser

utilizado. FORM es utilizado en conjunto con RSM para la incorporación de la información estadística de las

variables aleatorias. Conjuntamente, FORM se utiliza con una técnica de iteración lineal (ILIT, por sus siglas en

inglés) en este artículo para localizar las coordenadas de la región de falla para la apropiada generación de la función

de desempeño. Cuando se evalúan estructuras complejas, la determinación de la superficie de respuesta puede ser

muy difícil. Sin embargo, métodos basados en elementos finitos (FEM, por sus siglas en inglés) pueden ser utilizados

para calcular la respuesta sísmica de la estructura tomando en cuenta los estados de no linealidad experimentados por

la misma antes de la falla.

Con base en esta discusión, los autores de este artículo presentan una nueva metodología de confiabilidad estructural

basada en desempeño para el cálculo del riesgo sísmico de estructuras de acero. El procedimiento integra de manera

apropiada cuatro metodologías: FEM, RSM, FORM, y ILIT. Diversos esquemas se presentan para la selección de

puntos de muestreo en los cuales se calcula la respuesta sísmica. Todos los detalles del procedimiento se presentan a

continuación de manera sistemática para su claro entendimiento.

Método de Elementos Finitos

Para estudiar el comportamiento no lineal de estructuras sometidas a terremotos FEM puede ser utilizado. Entre

diversos FEM disponibles en la literatura, el FEM basado en esfuerzos se utiliza en este artículo para para obtener de

manera eficiente la respuesta sísmica de la estructura. Diversas ventajas presenta el FEM basado en esfuerzos con

respecto a los FEM comúnmente utilizados basados en desplazamientos. Algunas de las superioridades son: el

esfuerzo en los elementos puede ser calculado directamente, la matriz de rigidez tangente se expresa en forma

explícita, no se requiere integración para obtener la matriz, se necesitan menos elementos finitos para el cálculo de la

respuesta, y la carga sísmica puede ser aplicada paso a paso en el dominio del tiempo (Kondoh, Atluri 1987, Shi,


Atluri 1988, Haldar, Nee 1989). Algunas de las características del método y su formulación matemática se presentan

a continuación.

Para sistemas estructurales con grandes deformaciones, la ecuación no lineal dinámica de equilibro puede ser

expresada en el tiempo t+∆t como se muestra a continuación en la ecuación 1.

𝑴 𝑡+∆𝑡�̈�(𝑛)+𝑡𝑪 𝑡+∆𝑡�̇�(𝑛)+𝑡𝑲(𝑛) 𝑡+∆𝑡∆𝑫(𝑛) = 𝑡+∆𝑡𝑭(𝑛)−𝑡+∆𝑡𝑹(𝑛−1) − 𝑴 𝑡+∆𝑡�̈�𝑔(𝑛)

(1)

donde 𝑴 representa la matriz de masas, t𝑪 es la matriz de amortiguamiento viscoso en el tiempo t, t𝑲(𝑛) es la matriz

global de rigideces para la n-enésima iteración en el tiempo t, t+∆t∆𝑫(𝑛) es el vector de incremento en desplazamiento

en el tiempo t+∆t, t+∆t𝑭(𝑛) es el vector de fuerza exterior en el tiempo t+∆t, t+∆t𝑹(𝑛−1) es el vector de fuerzas

internas en el tiempo t+∆t, y t+∆t�̈�𝑔(𝑛)

representa el vector de carga sísmica en el tiempo t+∆t.

La cantidad de energía disipada por amortiguamiento depende de dos condiciones: (1) de la energía disipada por

amortiguamiento antes de la fluencia, y (2) de los estados de fluencia y no fluencia de los elementos estructurales. El

amortiguamiento de la estructura es considerado de tipo viscoso. En ingeniería estructural, el efecto de no fluencia en

la disipación de energía se representa comúnmente con amortiguamiento viscoso variando de 0.1 hasta 7 por ciento

con respecto al amortiguamiento crítico (Léger, Dussault 1992). Debido a que las matrices de masas y rigidez son

fácilmente calculadas con el FEM basado en esfuerzos, el amortiguamiento del sistema se modela como tipo

Rayleigh en este artículo. Este se puede expresar en forma de matriz como:

𝑪 = 𝛼𝑴 + 𝛾 𝑡𝑲 (2)

Los coeficientes α y γ en la ecuación 2 pueden ser calculados directamente utilizando las frecuencias naturales de la

estructura (Clough, Penzien 1993). El termino t𝑲 en la ecuación 2 representa la matriz tangencial de rigideces.

Todos los parámetros necesarios para resolver la ecuación 1 se tienen en forma explícita hasta este momento. El

método de integración directa paso a paso en el dominio del tiempo propuesto por Newmark (Bathe 2006), con

parámetros 𝜂 = 1/2 and 𝛽𝑁 = 1/4, se utiliza para resolver la ecuación 1. El proceso iterativo puede ser representado

como se muestra enseguida.

t𝑲𝐷

𝑡+∆𝑡∆𝑫(𝑛) =𝑡+∆𝑡 𝑭𝐷(𝑛)

−𝑡+∆𝑡𝑹(𝑛−1) (3)

donde

t+∆t𝑭𝐷

(𝑛)= 𝑡+∆𝑡 𝑭𝐷

(𝑛−1)+ 𝑡+∆𝑡∆𝑭𝐷

(𝑛) (4)

y t𝑲𝐷 representa la matriz tangencial dinámica de rigideces, la cual puede ser expresada como:

t𝑲𝐷 = 𝑓1𝑴 + 𝑓𝟐

𝑡𝑲 (5)

En la ecuación 4, t+∆t𝑭𝐷(𝑛−1)

y t+∆t∆𝑭𝐷(𝑛)

son los vectores modificados de fuerza externa y su respectivo incremento.

El vector modificado de fuerza externa se puede representar como:

t+∆t𝑭𝐷

(𝑛−1)=𝑡+∆𝑡 𝑭(𝑛−1)+𝑡+∆𝑡𝑷(𝑛−1) − 𝑴 𝑡+∆𝑡�̈�𝑔

(𝑛−1) (6)

El vector t+∆t𝑹(𝑛−1) en la ecuación 3 es el vector de fuerzas internas de la estructura. El termino t+∆t𝑷(𝑛−1) en la

ecuación 6 es el vector modificado de fuerzas generado por el desplazamiento en el tiempo t+∆t. este término se

expresa de manera desglosada en la ecuación 7.



t+∆t𝑷(𝑛−1) = 𝑴[𝑓1

𝑡𝑫 + 𝑓3 𝑡�̇� + 𝑓4

𝑡�̈� − 𝑓𝟏 𝑡+∆𝑡𝑫(𝑛−1)]+𝑡𝑲[𝑓5

𝑡𝑫 + 𝑓6 𝑡�̇� + 𝑓7

𝑡�̈� − 𝑓5 𝑡+∆𝑡𝑫(𝑛−1)] (7)

El vector de fuerza incremental t+∆t∆𝑭𝐷(𝑛)

en la ecuación 4 puede ser representado como se muestra a continuación en

la ecuación 8.

t+∆t∆𝑭𝐷(𝑛)

=𝑡+∆𝑡 ∆𝑭(𝑛) − 𝑴 𝑡+∆𝑡∆�̈�𝑔(𝑛)

(8)

Los coeficientes 𝑓𝑖 son constantes que pueden ser calculadas en términos de α, γ, η, βN, and ∆t (Haldar, Ker-Ming

1989) como se muestra a continuación:

𝑓1 =1

𝛽𝑁∆𝑡2+

𝜂𝛼

𝛽𝑁∆𝑡 , 𝑓2 =

𝜂𝛾

𝛽𝑁∆𝑡+ 1 , 𝑓3 =

1

𝛽𝑁∆𝑡+

𝜂𝛼

𝛽𝑁

− 𝛼 ,

𝑓4 = (1

2𝛽𝑁

− 1) + 𝜂𝛼 (1

2𝛽𝑁

−1

𝜂) ∆𝑡 , 𝑓5 =

𝜂𝛼

𝛽𝑁∆𝑡 , 𝑓6 =

𝜂𝛾

𝛽𝑁

− 𝛾 ,

𝑓7 = (𝜂𝛾

2𝛽𝑁

− 𝛾) ∆𝑡

(9)

Finalmente, la ecuación 3 puede ser resuelta utilizando el método modificado de Newton-Raphson (Haldar, Nee

1989). Con base en los desplazamientos calculados por el FEM, las correspondientes fuerzas en los elementos

estructurales pueden ser obtenidas. El FEM descrito en esta sección se utiliza para la evaluación determinística de la

estructura sometida a terremotos en la metodología propuesta. Una vez obtenidas dichas respuestas el RSM se usa

para el cálculo aproximado de la función de desempeño.

Método de Superficies de Respuesta

Al inicio de la evaluación sísmica, las funciones de desempeño del sistema estructural son implícitas, es decir, no se

sabe cómo va a responder la estructura ante la carga sísmica. Como alternativa para la obtención de funciones de

desempeño, RSM se utiliza en análisis de confiabilidad para generar de manera aproximada la función de desempeño

usando un polinomio de respuesta (Bucher, Bourgund 1990, Rajashekhar, Ellingwood 1993). Debido a que la

respuesta sísmica de estructuras es sumamente no-lineal, la mejor alternativa es representarla mediante polinomios

de respuesta de segundo orden sin o con términos cruzados. Dichos polinomios pueden ser representados como se

muestra a continuación en las ecuaciones 10 y 11.

�̂�(𝑿) = 𝑏0 + ∑ 𝑏𝑖𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

+ ∑ 𝑏𝑖𝑖𝑋𝑖2

𝑘

𝑖=1

(10)

�̂�(𝑿) = 𝑏0 + ∑ 𝑏𝑖𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

+ ∑ 𝑏𝑖𝑖𝑋𝑖2

𝑘

𝑖=1

+ ∑ ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑋𝑖𝑋𝑗

𝑘

𝑗>1

𝑘−1

𝑖=1

(11)

donde 𝑋𝑖 (i=1,2,…,k) es la i-enésima variable aleatoria, k representa el total de variables aleatorias del problema, 𝑏0,

𝑏𝑖, 𝑏𝑖𝑖 y 𝑏𝑖𝑗 son los coeficientes desconocidos de los polinomios, y �̂�(𝑿) representa una aproximación de la función

de desempeño real 𝑔(𝑿). El número de coeficientes necesario para representar las ecuaciones 10 y 11 son 𝑝1 =2𝑘 + 1, y 𝑝2 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)/2, respectivamente. Dichos coeficientes pueden ser determinados resolviendo un

sistema de ecuaciones lineales o mediante la aplicación de análisis de regresión, usando la respuesta sísmica obtenida


para ciertos valores de las variables de resistencia y carga llamados “puntos de muestreo”. La apropiada selección de

dichos puntos de muestreo juega un papel importante en la precisión y eficiencia del RSM, ya que por cada punto de

muestreo, se debe de calcular un análisis determinístico usando FEM.

El diseño saturado (SD, por sus siglas en inglés) y el central compuesto (CCD, por sus siglas en inglés) representan

dos de las técnicas más importantes para la selección de puntos de muestreo (Khuri, Cornell 1996). El SD es menos

preciso, sin embargo, es más eficiente debido a que se requieren del mismo número de puntos de muestreo que el de

coeficientes en el polinomio de respuesta. Por otro lado, el CCD es más preciso pero menos eficiente ya que se

necesita de análisis de regresión para obtener los coeficientes del polinomio de respuesta. El número total de puntos

de muestreo cuando se utiliza CCD es 𝑁 = 2𝑘 + 2𝑘 + 1. Más detalles acerca de SD y CCD para obtener puntos de

muestreos se pueden encontrar ampliamente en la literatura (Box, Wilson 1951, Huh, Haldar 2002). Como opción

para el cálculo eficiente y preciso del riesgo sísmico de estructuras, diversos esquemas han sido propuestos con base

en el número de variables aleatorias del problema. Algunos de los más importantes esquemas se discuten a

continuación.

Esquemas Para el Cálculo de Confiabilidad

Con el objetivo de mejorar la aplicabilidad en el DSEA-BD de la metodología descrita en este artículo, se deben de

proponer esquemas para la selección de puntos de muestreo. Una técnica sencilla seria el calcular índices de

sensibilidad de las variables aleatorias con el fin de descartar aquellas que no aportan incertidumbre en el análisis,

tomando sus valores promedios como determinísticos. Sin embargo, esta técnica por si sola resultaría ineficiente

cuando se analizan estructuras no-lineales complejas, por lo tanto, esquemas para el cálculo de la confiabilidad se

deben implementar en el análisis. Si el número de variables aleatorias k es demasiado grande, por ejemplo k=40, el

número de coeficientes necesario para para representar las ecuaciones 10 y 11 sería 2 ∗ 40 + 1 = 81 y (40 +1)(40 + 2)/2 = 861, respectivamente. Además, si SD es utilizado para la obtención del polinomio de respuesta, el

total de puntos de muestreo sería 81. Por otro lado, si CCD se utiliza, el correspondiente número de puntos de

muestreo sería 240 + 2 ∗ 40 + 1 = 1,099,511,627,857. Por lo tanto, el tiempo requerido para esta última

alternativa sería inmenso.

Debido a que la metodología discutida en este artículo representa un proceso iterativo, se debe de implementar de la

manera más eficiente y precisa posible. Diversos esquemas para el cálculo de confiabilidad han sido propuestos en la

literatura (Huh 1999, Huh, Haldar 2011). Dos de ellos se presentan a continuación.

- Esquema 1: Utilizar ecuación 10 y SD para las iteraciones intermedias, y para la iteración final utilizar

ecuación 11 y SD. Este esquema se recomienda para casos en los que el número de variables aleatorias es

muy grande.

- Esquema 2: Utilizar ecuación 10 y SD para las iteraciones intermedias, y para la iteración final utilizar

ecuación 11 y CCD. Este esquema se recomienda cuando el número de variables aleatorias en el problema

es relativamente pequeño.

La precisión de la metodología depende de la proximidad de la función de desempeño generada con respecto a su

estado límite, es decir, en relación al punto más probable de falla (MPFP, por sus siglas en inglés). Sin embargo, al

principio del proceso de evaluación, la ubicación del MPFP es desconocida. Como alternativa para resolver este

problema, FORM e ILIT se utilizan en conjunto para localizar el MPFP. Más detalles se discuten en la siguiente

sección.

Técnica de Iteración Lineal

La determinación del punto central alrededor del cual se seleccionaran los puntos de muestreo juega un papel

importante en la metodología presentada en este artículo, debido a que con base en esta región de falla se generará la

función de desempeño. Lo más deseable es seleccionar el punto central lo más cercano posible al MPFP. Las



coordenadas de una primera aproximación pueden ser utilizadas aplicando FORM, realizando el análisis de

confiablidad utilizando los valores promedio de todas las variables del problema. La información obtenida del

coeficiente de confiabilidad (β) y de las coordenadas del punto de revisión puede ser aplicada para seleccionar un

nuevo punto central. FORM no se discute a detalle en este artículo debido a la falta de espacio y a su fácil

disponibilidad en la literatura (Haldar, Mahadevan 2000b). Algunos investigadores (Bucher, Bourgund 1990,

Rajashekhar, Ellingwood 1993) propusieron una ILIT para obtener la función de desempeño basado en el estado

límite de falla. Este procedimiento se discute brevemente en esta sección.

Figura 1 - Técnica de Iteración Lineal

Debido a que el punto central para la generación de la función de desempeño no se conoce al inicio de la evaluación,

resulta conveniente el suponerlo en los valores promedio de las variables aleatorias 𝑋𝑖. El primer punto central se

expresa como 𝑥𝑀1. Entonces, usando los valores determinísticos calculados mediante los respectivos análisis de

FEM, una primera aproximación de la función de desempeño 𝑔1̂(𝑿) es calculada. Una vez que se tiene en forma

explícita la función de desempeño 𝑔1̂(𝑿), las coordenadas del punto de revisión 𝑥𝐷1 se calculan utilizando FORM

(Haldar, Mahadevan 2000b). Después, con base en las ecuaciones 12 y 13, se calcula el siguiente punto central 𝑥𝑀2

(ver figura 1).

𝑥𝑀2 = 𝑥𝑀1 + (𝑥𝐷1 − 𝑥𝑀1)𝑔(𝑥𝑀1)

𝑔(𝑥𝑀1) − 𝑔(𝑥𝐷1) , 𝑖𝑓 𝑔(𝑥𝐷1) ≥ 𝑔(𝑥𝑀1) (12)

𝑥𝑀2 = 𝑥𝐷1 + (𝑥𝑀1 − 𝑥𝐷1)𝑔(𝑥𝐷1)

𝑔(𝑥𝐷1) − 𝑔(𝑥𝑀1) , 𝑖𝑓 𝑔(𝑥𝐷1) < 𝑔(𝑥𝑀1) (13)

Cuando el punto central 𝑥𝑀2 ha sido obtenido, otra función de desempeño 𝑔2̂(𝑿) se puede generar, pero ahora

tomando puntos de muestreo alrededor de 𝑥𝑀2. El proceso de iteración continúa hasta que se cumpla con un límite de

convergencia previamente establecido. Para cada variable aleatoria, la diferencia en sus valores entre una iteración y

otra, puede ser del 1% para poder cumplir con el límite de convergencia. Generalmente toma de 2 a 3 iteraciones el


proceso de la ILIT. Dos tipos de funciones de desempeño pueden ser explícitamente calculadas con el uso de esta

técnica: funciones de servicio (globales), y de esfuerzo (locales). Estas se discuten en la siguiente sección.

Funciones de Desempeño

La metodología presentada a lo largo de este artículo es capaz de calcular el riesgo sísmico de estructuras de acero

con base en dos funciones de desempeño: (1) de servicio, y (2) de esfuerzo. Cada función de desempeño debe de ser

obtenida con base a su estado límite. Además, cada una de ellas se tiene que calcular por separado, puesto que una

estructura puede fallar debido a desplazamientos laterales excesivos o a la falla de varios elementos estructurales. A

continuación se describe el proceso a seguir para calcular el riesgo sísmico de cada una de estas dos funciones de

desempeño.

Función Límite de Desempeño para Condiciones de Servicio

El diseño sismo-resistente de estructuras de acero puede ser controlado por las condiciones de servicio, es decir por

desplazamientos de entre piso, de azotea, rotaciones, etc. Los estados límites de falla correspondientes a

desplazamientos laterales y de entrepiso se pueden obtener de diversas recomendaciones para el DSEA-BD (FEMA-

350 2000). La información del máximo desplazamiento lateral o de entrepiso 𝑦𝑚𝑎𝑥(𝑿), y el correspondiente valor

permitido 𝛿𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 por los reglamentos, se pueden utilizar para generar la función límite de desempeño para

condiciones de servicio. La función 𝑦𝑚𝑎𝑥(𝑿) se puede expresar como �̂�(𝑿), donde �̂�(𝑿) representa la función de

desempeño explicita obtenida mediante la aplicación de FEM, RSM, FORM e ILIT. La función límite de servicio a

ser utilizada en este artículo se presenta a continuación en la ecuación 14.

𝑔(𝑿) = 𝛿𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 − 𝑦𝑚𝑎𝑥(𝑿) = 𝛿𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 − �̂�(𝑿) (14)

Función Límite de Desempeño para Condiciones de Esfuerzo

Cuando se desea evaluar el riesgo sísmico de elementos estructurales (vigas, columnas, etc.), el grado de dificultad

en el análisis se incrementa. Este tipo de evaluaciones de confiabilidad no son tomadas en cuenta en los actuales

métodos de estimación de riesgo sísmico estructural. La metodología propuesta en este artículo representa el sistema

estructural mediante elementos viga-columna, es decir, elementos que se encuentran sometidos al mismo tiempo a

carga axial y momento. Para el adecuado diseño de este tipo de elementos, el Instituto Americano para la

Construcción en Acero (AISC, por sus siglas en inglés) estableció ecuaciones de interacción (AISC 2011). Para

estructuras bidimensionales, dichas ecuaciones de interacción pueden ser expresadas como funciones límite de

desempeño para condiciones de esfuerzo. Estas se presentan a continuación en las ecuaciones 15 y 16.

𝑔(𝑿) = 1.0 − (𝑃𝑢

𝑃𝑛

+8

9

𝑀𝑢𝑥

𝑀𝑛𝑥

) = 1.0 − [�̂�𝑝(𝑿) + �̂�𝑀𝑥(𝑿)]; 𝑖𝑓 𝑃𝑢

𝜙𝑃𝑛

≥ 0.2 (15)

𝑔(𝑿) = 1.0 − (𝑃𝑢

2𝑃𝑛

+𝑀𝑢𝑥

𝑀𝑛𝑥

) = 1.0 − [�̂�𝑝(𝑿) + �̂�𝑀𝑥(𝑿)]; 𝑖𝑓 𝑃𝑢

𝜙𝑃𝑛

< 0.2 (16)

donde 𝜙 representa el factor de resistencia, 𝑃𝑢 es la carga axial requerida (tensión/compresión), 𝑃𝑛 es la carga axial

nominal (tensión/compresión), 𝑀𝑢𝑥 es el momento requerido, y 𝑀𝑛𝑥 es el momento nominal. Las funciones �̂�𝑝(𝑿) y

�̂�𝑀𝑥(𝑿) representan los polinomios de respuesta de la carga axial y momento, respectivamente. 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛𝑥 se

obtienen de las recomendaciones del manual de construcción en acero del AISC. Las ecuaciones 15 y 16 se utilizan

por la metodología discutida en este artículo para evaluar el riesgo sísmico en niveles de desempeño locales.



Incertidumbres en Cargas y Resistencias

Cuando se desarrolla el diseño de cualquier estructura, el ingeniero en cargo debe de tener dos consideraciones

presentes: (1) la magnitud de las cargas a las que estará sometida la estructura durante su periodo de vida, y (2) las

resistencias de los diferentes componentes estructurales. Comúnmente se sabe que las variables que representan

cargas y resistencias son aleatorias, incorporando cierto grado de incertidumbre en el proceso de diseño. La

incertidumbre en variables de resistencia se obtiene mediante experimentos de laboratorio, observaciones del

comportamiento de estructuras, y criterio ingenieril. Dicha incertidumbre se encuentra fácilmente en la literatura

(Haldar, Mahadevan 2000a). La metodología presentada en este artículo considera la incertidumbre en diversos

parámetros de resistencia como: módulo de elasticidad (E) y fluencia (Fy) del acero, coeficiente de amortiguamiento

viscoso (ζ), área de la sección (A), momento de inercia (I), y módulo de sección plástico (Z), etc. La incertidumbre

en las cargas depende de la naturaleza de las mismas. Este artículo se enfoca en la carga sísmica. Actualmente, no

existe conceso entre la comunidad ingenieril para la consideración de incertidumbres en la carga sísmica. Este

artículo considera la incertidumbre en la amplitud (ge) del terremoto (Huh 1999). Para la propia consideración de la

incertidumbre en el proceso, tanto para el caso de resistencias como de cargas, el valor promedio (µ) y el coeficiente

de variación (COV) de las variables aleatorias se consideran en la metodología propuesta.

Niveles de Desempeño

Como último requerimiento de la metodología propuesta, es necesario discutir los niveles de desempeño que la

estructura debe de presentar para diversos riesgos sísmicos. La sociedad americana de ingenieros civiles (ASCE, por

sus siglas en inglés) a través del reporte ASCE 41-13 propone cuatro niveles de desempeño (ASCE/SEI 41-13 2014).

Estos son definidos desde el nivel de operación hasta el nivel de prevención de colapso. El nivel de operación (OP,

por sus siglas en inglés) representa un nivel de desempeño con daños insignificantes en componentes estructurales y

no-estructurales. Una estructura presenta un nivel de ocupación inmediata (IO, por sus siglas en inglés) cuando

después del terremoto esta muestra niveles pequeños de daño. El nivel de desempeño de vida a salvo (LS, por sus

siglas en inglés) es un estado de daño considerable; el riesgo de pérdida de vidas humanas es bajo, sin embargo, los

costos de reparación de la estructura son muy altos. El nivel de prevención de colapso (CP, por sus siglas en inglés)

es un estado en el cual el daño es inmenso, a pesar de que la estructura se encuentra extremadamente dañada el

colapso total de la misma no es posible. En el reporte FEMA 350, los niveles de desempeño discutidos anteriormente

se relacionan con diferentes probabilidades de excedencia, y a su vez con valores permisibles de desplazamientos

(ver tabla 1). Los valores permisibles 𝛿𝑎𝑙𝑙𝑜𝑤 dependen del valor de “h”. En el caso de evaluación de desplazamiento

en azotea, h representa la altura total de la estructura. Para el caso de desplazamiento de entre piso, h representa la

altura del entre piso. Los valores que se presentan en la tabla 1, solo son aplicables para condiciones de servicio. Los

autores de este artículo no encontraron referencia alguna en la literatura para relacionar niveles de riesgo sísmico en

términos probabilidad de excedencia para el caso de condiciones estructurales locales (esfuerzos en vigas y

columnas). Por lo tanto para el caso de condiciones de esfuerzo la metodología utiliza independientemente las

ecuaciones de interacción propuestas por el AISC.

Tabla 1 – Niveles de desempeño

Nivel de Desempeño* Periodo de

Retorno

Probabilidad de

Excedencia

Desplazamiento

Admisible (𝜹𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘)

IO 72-años 50% en 50 años 0.007*h

LS 475-años 10% en 50 años 0.025*h

CP 2475-años 2% en 50 años 0.050*h

*El nivel de desempeño OP no se incluye debido a que representa daños menores.

Proceso Paso a Paso de la Metodología

Todas las partes que conforman la metodología presentada en este artículo para el cálculo del riesgo sísmico de

estructuras de acero han sido cubiertas hasta este punto. El proceso puede ser resumido paso a paso como se muestra

a continuación:


Paso 1: Seleccionar el nivel de desempeño a ser evaluado.

Paso 2: Seleccionar los valores promedio de las variables aleatorias como punto central para iniciar las

iteraciones del proceso.

Paso 3: Seleccionar un modelo (polinomio y su correspondiente diseño) considerando el número de

variables aleatorias y la eficiencia requerida.

Paso 4: Analizar la estructura usando FEM en los puntos de muestreo seleccionados en el paso 3.

Paso 5: Encontrar los coeficientes de los polinomios de respuesta utilizando los resultados obtenidos en el

paso 4. Obtener la respuesta de forma explícita.

Paso 6: Determinar el punto de revisión utilizando FORM y el polinomio generado en paso 5.

Paso 7: Encontrar el nuevo punto central utilizando los valores de FORM (paso 6) y la ILIT.

Paso 8: Repetir del paso 3 al paso 7 hasta que el límite de convergencia sea completado. Este paso completa

la iteración n-1, en donde n es el número total de iteraciones.

Paso 9: Seleccionar un modelo (polinomio y su correspondiente diseño) para la iteración final, considerando

el número de variables aleatorias y la eficiencia requerida.

Paso 10: Analizar la estructura usando FEM en los puntos de muestreo seleccionados en el paso 9.

Paso 11: Encontrar los coeficientes desconocidos del polinomio y generar la función de desempeño final.

Paso 12: Calcular el coeficiente de confiabilidad “β” y la correspondiente probabilidad de falla “pf”.

Un programa de computadora utilizando el lenguaje FORTRAN ha sido creado y corroborado para implementar esta

metodología (Huh 1999, Huh, Haldar 2001, Huh, Haldar 2002, Huh, Haldar 2011). La figura 2 muestra el diagrama

de flujo con el cual dicho programa fue desarrollado. Con el objetivo de demostrar la aplicabilidad de la metodología

aquí presentada un ejemplo numérico se evalúa en este artículo.

Figura 2 - Diagrama de flujo del programa para la metodología



EJEMPLO NUMERICO: EDIFICIO DE ACERO DE 9 NIVELES

Como parte de las actividades de investigación del proyecto SAC, diversos edificios de acero se diseñaron por

despachos de cálculo estructural en los Estados Unidos (FEMA-355C 2000). Entre todas estas estructuras, el caso del

edificio de acero de 9 niveles se estudia en este artículo. Este edificio fue diseñado para ser construido en el área de

Los Ángeles, California. La estructura consiste en Marcos Perimetrales Resistentes a Momento (MPRM), Marcos

Interiores para Carga Gravitatoria (MICG), y un sótano en la base. La vista en planta y elevación se muestran en las

figuras 3 y 4, respectivamente. Las secciones W utilizadas en el edificio son ilustradas en la figura 4. La estructura se

analiza en dos dimensiones como un MPRM en la dirección N-S (ver figura 3). La carga viva, carga muerta, y peso

propio de la estructura se modelan de acuerdo a lo reportado en los informes del proyecto SAC (FEMA-355C 2000).

La estructura se somete a la acción de tres conjuntos de terremotos desarrollados por Somerville para el proyecto

SAC (Somerville, Venture 1997). Cada conjunto de terremotos contiene 20 histogramas de aceleración, es decir, diez

terremotos con dos componentes cada uno. Los conjuntos de sismos contienen terremotos reales y simulados. Los

tres conjuntos representan periodos de retorno de 72-años (50% de probabilidad de excedencia en 50 años;

denominado conjunto 50/50), 475-años (10% de probabilidad de excedencia en 50 años; denominado conjunto

10/50), y 2475-años (2% de probabilidad de excedencia en 50 años; denominado conjunto 2/50). Los terremotos se

escalaron de tal manera que sus valores espectrales coincidieran, con el menor de los errores, para periodos de 0.3,

1.0, 2.0, y 4.0 con los mapas de aceleración sísmica de la agencia de medidas geológicas de los Estados Unidos

(USGS, por sus siglas en ingles). Estos terremotos se seleccionaron para suelo de categoría SD (suelo firme). La

información para cada terremoto utilizado en este artículo se muestra en las tablas 2, 3, y 4. Más detalles de estos

conjuntos de terremotos se encuentran ampliamente en la literatura (Somerville, Venture 1997).

Figura 3 – Vista en planta del edificio de 9 niveles


Figura 4 – Elevación del edificio de 9 niveles

Tabla 2 – Conjunto de sismos 50/50 asociados con nivel de desempeño IO

EQ Información del Sismo Magnitud (Mw) Factor de escala PGA (g) Tiempo (seg)

LA41 Coyote Lake, 1979 5.7 2.28 0.589 12.0

LA42 Coyote Lake, 1979 5.7 2.28 0.333 12.0

LA43 Imperial Valley, 1979 6.5 0.4 0.143 15.0


LA45 Kern, 1952 7.7 2.92 0.144 30.0

LA46 Kern, 1952 7.7 2.92 0.159 30.0

LA47 Landers, 1992 7.3 2.63 0.337 25.0

LA48 Landers, 1992 7.3 2.63 0.307 25.0

LA49 Morgan Hill, 1984 6.2 2.35 0.318 20.0

LA50 Morgan Hill, 1984 6.2 2.35 0.546 20.0

LA51 Parkfield, 1966, Cholame 6.1 1.81 0.780 15.0




LA55 North Palm Springs, 1986 6 2.75 0.517 20.0


LA57 San Fernando, 1971 6.5 1.3 0.253 20.0

LA58 San Fernando, 1971 6.5 1.3 0.231 20.0

LA59 Whittier, 1987 6 3.62 0.768 15.0

LA60 Whittier, 1987 6 3.62 0.478 15.0



Tabla 3 – Conjunto de sismos 10/50 asociados con nivel de desempeño LS








LA07 Landers, 1992 7.3 3.2 0.421 30.0

LA08 Landers, 1992 7.3 3.2 0.425 30.0

LA09 Landers, 1992 7.3 2.17 0.519 30.0

LA10 Landers, 1992 7.3 2.17 0.360 30.0

LA11 Loma Prieta, 1989 7 1.79 0.665 16.0

LA12 Loma Prieta, 1989 7 1.79 0.969 16.0

LA13 Northridge, 1994, Newhall 6.7 1.03 0.678 15.0

LA14 Northridge, 1994, Newhall 6.7 1.03 0.657 15.0

LA15 Northridge, 1994, Rinaldi 6.7 0.79 0.533 14.0

LA16 Northridge, 1994, Rinaldi 6.7 0.79 0.579 14.0

LA17 Northridge, 1994, Sylmar 6.7 0.99 0.569 15.0

LA18 Northridge, 1994, Sylmar 6.7 0.99 0.817 15.0



Tabla 4 – Conjunto de sismos 2/50 asociados con nivel de desempeño CP


LA21 1995 Kobe 6.9 1.15 1.282 25.0

LA22 1995 Kobe 6.9 1.15 0.920 25.0

LA23 1989 Loma Prieta 7 0.82 0.418 20.0

LA24 1989 Loma Prieta 7 0.82 0.473 20.0

LA25 1994 Northridge 6.7 1.29 0.868 14.0

LA26 1994 Northridge 6.7 1.29 0.943 14.0

LA27 1994 Northridge 6.7 1.61 0.926 15.0

LA28 1994 Northridge 6.7 1.61 1.329 15.0

LA29 1974 Tabas 7.4 1.08 0.808 25.0

LA30 1974 Tabas 7.4 1.08 0.991 25.0

LA31 Elysian Park (simulated) 7.1 1.43 1.295 18.0






LA37 Palos Verdes (simulated) 7.1 0.9 0.711 25.0




Las funciones límite de desempeño para condiciones de servicio se evalúan primero: desplazamiento máximo de

azotea, y desplazamiento del 4to entre piso. La confiabilidad se calcula con respecto a niveles de desempeño, peligro

sísmico, y desplazamientos permisibles; como se muestra en la tabla 1. Estas condiciones se utilizan en este artículo

para el caso de funciones de servicio. Por otro lado, las condiciones de esfuerzo en elementos locales (vigas y

columnas) se obtienen utilizando las funciones de interacción propuestas por el AISC, mismas que fueron descritas

con anterioridad. El riesgo sísmico se calcula para la columna C1 y la viga G1 (ver figura 4).


Las incertidumbres en resistencias son completamente tomadas en cuenta en el análisis. Para esta estructura las

variables de resistencia consideradas como aleatorias fueron: el área (A) y el momento de inercia (I) de todas las

vigas y columnas, el módulo de elasticidad (E) y la fluencia (Fy) del acero, y el coeficiente de amortiguamiento

viscoso (ζ). Para la carga sísmica, la amplitud del terremoto (ge) se considera como aleatoria en el análisis de

confiabilidad. Un total de 65 variables aleatorias se utilizaron en el análisis (ver tabla 5). Debido a que el número de

variables aleatorias en bastante elevado, los autores de este articulo decidieron utilizar el esquema 1 discutido con

anterioridad para desarrollar los análisis de confiabilidad de la estructura.

Tabla 5 – Variables aleatorias utilizadas en el ejemplo numérico

Variable Aleatoria

(VA)

Numero de

VAs Distribución Valor Promedio C.O.V.

E (ksi) 1 Log-normal 29000.00 0.06

FYC* (ksi) 1 Log-normal 57.60 0.10

FYG** (ksi) 1 Log-normal 49.70 0.10

A (in2) 30 Log-normal *** 0.05

I (in4) 30 Log-normal *** 0.05

ζ 1 Log-normal 0.05 0.15

ge 1 Tipo I 1.00 0.20

*Fluencia de los elementos columna (valor reportado en SAC).

**Fluencia de los elementos viga (valor reportado en SAC).

***Debido a que los valores de área (A) y momento de inercia (I) se consideran aleatorios para todas las secciones de la estructura, los valores promedios no se reportan. Sin embargo, todos estos

valores pueden ser fácilmente encontrados en el manual de construcción en acero del AISC.

Con el uso de la metodología basada en confiabilidad propuesta en este artículo, el índice de confiabilidad “β” y la

probabilidad “pf” de la estructura fueron calculados. Se desarrollaron análisis no lineales de la estructura aplicando la

carga sísmica paso a paso en el domino del tiempo, para cada uno de los terremotos descritos en las tablas 2, 3, y 4.

Las condiciones de servicio y de esfuerzo descritas en párrafos anteriores se evaluaron. Los resultados se muestran

en las tablas 6, 7, y 8.

Tabla 6 – β y pf para el conjunto 50/50 asociados con nivel de desempeño IO

EQ

Desplazamiento en

Azotea

Desplazamiento del 4to

entrepiso

Esfuerzo en

Columna Esfuerzo en Viga

β pf β pf β pf β pf

LA41 0.97 2.4888x10-01 2.52 1.6746x10-02 2.06 4.7931x10-02 0.61 3.3207x10-01

LA42 2.92 5.5766x10-03 2.41 2.1785x10-02 1.64 1.0341x10-01 3.27 1.9090x10-03

LA43 4.00 1.3179x10-04 3.50 8.7372x10-04 3.40 1.2387x10-03 4.11 8.5893x10-05

LA44 2.24 3.2220x10-02 5.31 3.0562x10-07 6.57 1.6551x10-10 4.49 1.7054x10-05

LA45 3.66 4.9082x10-04 3.05 3.8083x10-03 2.57 1.4654x10-02 4.37 2.8946x10-05

LA46 5.45 1.4468x10-07 3.09 3.3586x10-03 2.93 5.3880x10-03 9.26 9.8673x10-20

LA47 3.24 2.1034x10-03 2.73 9.6608x10-03 2.05 4.8574x10-02 3.61 5.9609x10-04

LA48 3.95 1.6300x10-04 3.72 3.9757x10-04 2.12 4.2127x10-02 3.86 2.3099x10-04

LA49 2.39 2.2925x10-02 2.11 4.3274x10-02 1.77 8.2678x10-02 3.01 4.3227x10-03

LA50 2.85 6.8047x10-03 2.30 2.8087x10-02 1.99 5.5577x10-02 3.73 3.7364x10-04

LA51 2.74 9.3286x10-03 2.37 2.4197x10-02 0.19 3.9216x10-01 3.15 2.8162x10-03

LA52 4.40 2.5311x10-05 3.04 3.9350x10-03 3.50 8.7585x10-04 4.62 9.3577x10-06

LA53 1.70 9.4099x10-02 1.35 1.6071x10-01 1.49 1.3077x10-01 3.22 2.2342x10-03

LA54 2.53 1.6381x10-02 1.93 6.2493x10-02 1.87 6.9842x10-02 2.90 5.9644x10-03

LA55 2.30 2.8222x10-02 1.42 1.4595x10-01 1.43 1.4306x10-01 2.99 4.5871x10-03

LA56 1.78 8.2341x10-02 1.30 1.7152x10-01 1.28 1.7548x10-01 2.90 5.9700x10-03

LA57 4.96 1.8182x10-06 4.59 1.0778x10-05 7.15 3.0969x10-12 2.89 6.1354x10-03

LA58 1.49 1.3209x10-01 3.63 5.5569x10-04 2.50 1.7540x10-02 4.66 7.8009x10-06

LA59 2.53 1.6419x10-02 2.84 7.1291x10-03 2.32 2.7169x10-02 0.96 2.5150x10-01

LA60 3.36 1.4326x10-03 3.40 1.2204x10-03 0.27 3.8486x10-01 1.24 1.8591x10-01



Tabla 7 – β y pf para el conjunto 10/50 asociados con nivel de desempeño LS

EQ

Desplazamiento en

Azotea


entrepiso

Esfuerzo en



LA01 2.97 4.8044x10-03 3.92 1.8132x10-04 0.47 3.5747x10-01 2.33 2.6559x10-02

LA02 4.35 3.1087x10-05 3.80 2.9606x10-04 2.12 4.1869x10-02 0.50 3.5270x10-01

LA03 2.38 2.3737x10-02 5.38 2.1172x10-07 0.29 3.8306x10-01 1.55 1.2078x10-01

LA04 4.48 1.7374x10-05 4.42 2.2617x10-05 1.07 2.2467x10-01 1.10 2.1896x10-01

LA05 4.65 7.9639x10-06 3.06 3.7012x10-03 0.61 3.3222x10-01 2.48 1.8229x10-02

LA06 10.81 1.7037x10-26 5.41 1.7948x10-07 3.06 3.6670x10-03 3.63 5.4123x10-04

LA07 5.85 1.5010x10-08 0.98 2.4599x10-01 1.45 1.3850x10-01 2.35 2.5160x10-02

LA08 3.62 5.7019x10-04 0.67 3.1783x10-01 0.46 3.5954x10-01 1.09 2.1977x10-01

LA09 4.20 5.8880x10-05 3.97 1.5112x10-04 1.10 2.1842x10-01 0.92 2.6247x10-01

LA10 4.87 2.8742x10-06 4.65 8.0019x10-06 0.63 3.2676x10-01 1.66 1.0065x10-01

LA11 6.29 1.0098x10-09 3.47 9.7987x10-04 0.24 3.8754x10-01 2.28 2.9456x10-02

LA12 4.05 1.1139x10-04 5.25 4.0219x10-07 0.87 2.7272x10-01 2.28 2.9435x10-02

LA13 4.15 7.3669x10-05 3.40 1.2120x10-03 0.76 2.9975x10-01 0.30 3.8115x10-01

LA14 3.83 2.6144x10-04 3.45 1.0485x10-03 1.71 9.2345x10-02 0.03 3.9881x10-01

LA15 4.07 1.0224x10-04 3.56 7.0038x10-04 2.34 2.6049x10-02 0.57 3.3900x10-01

LA16 3.30 1.7135x10-03 2.79 8.1983x10-03 2.67 1.1342x10-02 0.12 3.9611x10-01

LA17 7.12 3.8316x10-12 6.51 2.4929x10-10 0.81 2.8730x10-01 1.96 5.8497x10-02

LA18 4.76 4.8142x10-06 4.55 1.2874x10-05 2.53 1.6136x10-02 1.90 6.5177x10-02

LA19 6.05 4.5868x10-09 1.74 8.7567x10-02 0.07 3.9788x10-01 1.22 1.8845x10-01

LA20 3.97 1.4874x10-04 3.49 8.9455x10-04 2.66 1.1737x10-02 0.45 3.6083x10-01

Tabla 8 – β y pf para el conjunto 2/50 asociados con nivel de desempeño CP

EQ

Desplazamiento en

Azotea


entrepiso

Esfuerzo en



LA21 3.54 7.4516x10-04 2.96 4.9548x10-03 -6.15 1.0000x10+00 -3.77 9.9992x10-01

LA22 3.84 2.4583x10-04 3.31 1.6412x10-03 -5.50 1.0000x10+00 -3.38 9.9964x10-01

LA23 7.68 6.1484x10-14 4.81 3.7295x10-06 -2.31 9.8944x10-01 -0.30 6.1864x10-01

LA24 7.73 4.3113x10-14 3.31 1.6412x10-03 -0.83 7.9764x10-01 -3.38 9.9964x10-01

LA25 4.78 4.4486x10-06 4.14 7.4584x10-05 -3.34 9.9958x10-01 -1.83 9.6649x10-01

LA26 4.04 1.1257x10-04 3.52 8.0496x10-04 -5.62 1.0000x10+00 -2.28 9.8872x10-01

LA27 4.49 1.7039x10-05 7.45 3.4239x10-13 -0.91 8.1974x10-01 -0.69 7.5400x10-01

LA28 3.32 1.6040x10-03 4.32 3.6009x10-05 -5.50 1.0000x10+00 -0.14 5.5462x10-01

LA29 2.54 1.5716x10-02 4.15 7.3686x10-05 -0.45 6.7187x10-01 -0.79 7.8561x10-01

LA30 6.15 2.3773x10-09 3.05 3.8563x10-03 -1.07 8.5791x10-01 -1.61 9.4664x10-01

LA31 6.87 2.2294x10-11 6.12 2.9303x10-09 -3.03 9.9879x10-01 -0.68 7.5175x10-01

LA32 11.50 7.4156x10-30 10.49 4.9760x10-25 -0.66 7.4671x10-01 -1.32 9.0705x10-01

LA33 4.52 1.4716x10-05 10.66 8.3176x10-26 -2.68 9.9629x10-01 -4.04 9.9997x10-01

LA34 4.59 1.0480x10-05 9.22 1.4235x10-19 -2.41 9.9201x10-01 -3.61 9.9985x10-01

LA35 6.87 2.2565x10-11 4.32 3.5991x10-05 -3.78 9.9992x10-01 -4.13 9.9998x10-01

LA36 4.83 3.3842x10-06 4.09 9.3126x10-05 -3.03 9.9879x10-01 -4.39 9.9999x10-01

LA37 6.12 2.9329x10-09 5.51 1.0353x10-07 -3.75 9.9991x10-01 -0.64 7.3767x10-01

LA38 6.37 6.2482x10-10 4.98 1.6286x10-06 -4.26 9.9999x10-01 -1.04 8.5099x10-01

LA39 9.86 3.0301x10-22 8.15 1.4908x10-15 -1.68 9.5323x10-01 -1.05 8.5388x10-01

LA40 5.83 1.6624x10-08 5.91 1.0202x10-08 -1.59 9.4393x10-01 -1.39 9.1799x10-01

Se puede ver en la tabla 6 que la estructura esta generalmente a salvo cuando esta se somete a terremotos con un

periodo de retorno de 72-años (conjunto 50/50). Cuando la estructura se somete a estos terremotos el edificio debe de


presentar un nivel de desempeño IO. Para el nivel IO, la estructura experimenta daño mínimo en elementos

estructurales y no-estructurales. Para ambos casos; servicio y esfuerzo, la estructura presenta un buen

comportamiento cuando es evaluada en el nivel de desempeño IO. Varios comentarios interesantes se pueden

establecer al analizar los valores reportados en la tabla 7. En dicha tabla se pueden observar los valores de β y p f para

sismos con un periodo de retorno de 475-años (conjunto 10/50); para este tipo de excitación sísmica la estructura

debe de mostrar un buen comportamiento con respecto al nivel de desempeño LS. Se puede observar como para las

condiciones de servicio la estructura es completamente segura. Sin embargo, para el caso de la evaluación del

desempeño de condiciones de esfuerzo, la columna C1 y viga G1 no están mostrando un buen desempeño. La tabla 8

presenta el riesgo sísmico cuando la estructura se somete a terremotos con un periodo de retorno de 2475-años

(conjunto 2/50). Se puede observar como la estructura se comporta de manera totalmente segura para las condiciones

de servicio, sin embargo para la evaluación de esfuerzo de elementos estructurales, la columna C1 y viga G1 fallan

completamente (valores negativos de β). La presencia de valores negativos de β se justifica puesto que los análisis de

confiabilidad desarrollados para el conjunto de terremotos 2/50 representan intensidades sísmicas muy elevadas. Para

terremotos de esta magnitud la estructura debe de presentar un comportamiento CP, para el cual la estructura ha

reducido significativamente su rigidez mostrando deformaciones permanentes.

Para el caso de funciones límite de desempeño para condiciones de servicio, existen recomendaciones basadas en

DSEA-BD que establecen límites permisibles de desplazamiento (ver tabla 1), con base en estos requerimientos se

evalúa el riesgo sísmico de la estructura. Por otro lado, los autores no encontraron recomendación alguna para

evaluar el riesgo sísmico de elementos estructurales. Por lo tanto, esta evaluación se realizó tomando en cuenta

solamente las ecuaciones de interacción propuestas por el manual del AISC.

CONCLUSIONES

Una metodología para el cálculo del riesgo sísmico de estructuras de acero considerando el concepto de DSEA-BD

fue propuesta y discutida a detalle en este artículo. Se demostró como el procedimiento es lo suficientemente

sofisticado, preciso y eficiente para su incorporación en el DSEA-BD. La principal capacidad de la metodología

propuesta en este artículo es que puede calcular el riesgo sísmico de estructuras sometidas a terremotos considerando

incertidumbres en cargas y resistencias, aplicando la carga sísmica paso a paso en el dominio del tiempo. Todas las

cualidades de la técnica son compiladas en un programa de computadora basado en el lenguaje FORTRAN.

La aplicabilidad de la metodología se demostró con la evaluación de un ejemplo numérico. Condiciones de servicio y

de esfuerzo fueron evaluadas para la estructura. Diversos conjuntos de terremotos fueron utilizados, mismo que

representaron diferentes niveles de desempeño. Se comprobó al final como la metodología propuesta puede ser

completamente aplicada para el DSEA-BD. Por lo tanto, con la aplicación de esta metodología, las deficiencias de la

mayoría de los procedimientos para calcular el riesgo sísmico pueden ser completamente eliminadas. Se espera que

esta técnica sea utilizada para el desarrollo de nuevas recomendaciones para el cálculo de riesgo sísmico basado en

desempeño.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo se desarrolló gracias al apoyo de diversas dependencias del gobierno de México: Consejo Nacional de

Ciencia y Tecnología (CONACYT), Dirección General de Relaciones Internacionales de la Secretaria de Educación

Pública (DGRI-SEP), y Universidad Autónoma de Sinaloa (UAS). Todos los descubrimientos, conclusiones, y

recomendaciones establecidas en este artículo representan las opiniones de los autores, no necesariamente las de los

patrocinadores.

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riesgo sÍsmico de estructuras de acero: una nueva

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