revista técnica de la facultad de ingeniería universidad del zulia

8/19/2019 Revista Técnica de La Facultad de Ingeniería Universidad Del Zulia

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Revista Técnica de la Facultad de Ingeniería Universidad del ZuliaISSN 0254-0770 versión impresa

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!ev. "#c. $%g. %iv. '(lia v.2) %.3 *aracai+o dic. 2003

C! citar este

artícul

Methodology to establish stability regions for controllers performance.

Case of study: Sliding mode controllers

,scar aacho !(+#% !o1as (is . o%6le2

epartae%to de irc(itos *edidas. 2epartae%to de 8lectr9%ica o(%icacio%es.

ac(ltad de $%ge%ier;a %iversidad de os a ethod to a%ale the ro+(st%ess o> a co%troller

+ased o% the esta+lishe%t o> sta+ilit regio%s. Based o% cop(ter si(latio%s a data set

is o+tai%ed >or a wide ra%ge o> odeli%g paraeter variatio%s. ,% each case co%troller

paraeters are ad1(sted (p to reach the sta+ilit liit. "he res(lti%g data is (sed to o+tai%

+o(%dar eC(atio%s that esta+lish the sta+ilit regio%s. "he proposed ethod was (sed to

st(d a slidi%g ode co%troller ro+(st%ess +ased o% a >irst order pl(s deadtie odel o>

the process DE,*"*F. "his odel represe%ts ost o> the overdaped processes s(ch as

cheical processes.

Key words: Slidi%g ode co%trol ro+(st%ess graphical approach.

Metodología para el establecimiento de regiones de estabilidad para desempeño de

controladores. Caso de estudio: Controladores por modo deslizante

esumen

8ste tra+a1o prese%ta el desarrollo de (% #todo para el a%6lisis de ro+(ste de (%

co%trolador +asado e% el esta+leciie%to de regio%es de esta+ilidad. % co%1(%to de datos

es o+te%ido edia%te si(lacio%es para (% aplio ra%go de variaci9% e% los par6etros

de (% odelo. 8% cada caso los par6etros del co%trolador so% a1(stados hasta alca%ar

el l;ite de esta+ilidad. os datos res(lta%tes so% (sados para o+te%er las ec(acio%es

l;ite C(e esta+lece% las regio%es de esta+ilidad. 8l #todo prop(esto >(e (sado para

est(diar la ro+(ste de (% co%trolador por odo deslia%te +asado e% (% odelo del

proceso de prier orde% 6s tiepo (erto DE,*"*F. 8ste odelo represe%ta la

aor;a de los procesos co% resp(esta de tipo so+reaortig(ada tales coo los procesos

C(;icos.

!alabras cla"e: o%trol por odo deslia%te prop(esta gr6>ica ro+(ste.

!eci+ido el 02 de G(%io de 2003


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8% >ora revisada el H de icie+re de 2003

#. $ntroducci%n

8l coportaie%to di%6ico de los procesos es a>ectado sig%i>icativae%te por errores deodelado coetidos e% la estiaci9% del orde% del odelo 9 e% la deteri%aci9%

correcta de los par6etros al %o toar e% c(e%ta %o li%ealidades /o errores de edici9%.

8sto s(giere la iporta%cia de desarrollar co%troladores ro+(stos as; coo co%ocer la

tolera%cia de estos a%te la estiaci9% de los par6etros del odelo.

8ste art;c(lo prese%ta a partir del co%trol por odo deslia%te desarrollado por aacho

Sith IJ (%a prop(esta para deteri%ar regio%es de esta+ilidad edia%te las c(ales se

p(eda deteri%ar el error de odelado tolera+le por este co%trolador c(a%do los procesos

ha% sido aproxiados por odelos de prier orde% 6s tiepo (erto. ora orga%iada el co%trolador a%aliado DSecci9% 2F las

preisas edia%te las c(ales se reali9 el est(dio DSecci9% 3F el desarrollo del a%6lisis de

ro+(ste DSecci9% 4F el a%6lisis de los datos recolectados deteri%aci9% de las regio%es

de i%esta+ilidad DSecci9% 5F. Eosteriore%te se (estra (%a aplicaci9% pr6ctica de las

ec(acio%es para (% sistea represe%ta+le edia%te (% odelo de prier orde% 6s

tiepo (erto DSecci9% )F. i%ale%te se prese%ta% las co%cl(sio%es DSecci9% 7F.

&. Control por Modo 'eslizante (asado en un Modelo !)M*M

8sta secci9% prese%ta e% >ora ge%eral al co%trolador por odo deslia%te para

aplicacio%es de co%trol e% procesos C(;icos a(to-reg(la+les IJ. a le de co%trol del

iso p(ede ser represe%tada por las ec(acio%es sig(ie%tes:

do%de U Dt F le de co%trol est6 cop(esta por (% prier t#ri%o co%ti%(o o+te%ido

edia%te el #todo de co%trol eC(ivale%te I2J (% seg(%do t#ri%o C(e gara%tia la

alca%a+ilidad de la s(per>icie de desliaie%to S Dt F I3 4J co% ;%io Kchattering L I5J.

a ec(aci9% D2F co%sidera el sig%o de la ga%a%cia est6tica del proceso signo(K) s9lo para

elegir la correcta acci9% del co%trolador Ddirecta o i%versaF por esta ra9% %(%ca

co%(ta.

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Eara este co%trolador las ec(acio%es de si%to%iaci9% so% las sig(ie%tes IJ:

- Eara el co%trol la s(per>icie de desliaie%to.

- Eara la alca%a+ilidad disi%(ci9% del Kchattering L.

do%de S es la salida del co%trolador S" es la salida del tra%sisor respectivae%te.

as ec(acio%es D5F D)F so% (sadas c(a%do las seMales del tra%sisor co%trolador est6%

e% >raccio%es D0 a F. (a%do estas seMales est6% e% porce%ta1es del ra%go D0 a 00NF los

valores de de+e ser (ltiplicados por 00.

+. !remisas del ,studio ealizado

8l est(dio se reali9 de a%era ge%eraliada para procesos represe%ta+les edia%te (%

odelo E,*"* ec(aci9% D7F. Eor ta%to este #todo es v6lido para c(alC(ier proceso %o

li%eal de orde% s(perior C(e p(eda ser represe%tado por (% odelo E,*"*.

os par6etros o+1eto de est(dio correspo%de% a los o+te%idos a partir de la t#c%ica deide%ti>icaci9% K Método de la Curva de ReacciónL IJ: (ero% expresados e% porce%ta1e para cada

varia+le i%vol(crada e% el proceso. 81eplo: ectoF correspo%de al 70N del valor %oi%al. . (%

par6etro co% (% error de odelado del P30N Derror de estiaci9% por excesoF

correspo%de al 30N del valor %oi%al. 8stos errores se p(ede% prod(cir por varias

ca(sas coo so%: por la exactit(d de la i%str(e%taci9% (tiliada por despreciar las

di%6icas de orde% s(perior %o co%sideradas e% el odelo (sado para el diseMo del

co%trolador por e>ecto de e%ve1eciie%to de los elee%tos de la pla%ta C(e ca+ie% los

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par6etros %oi%ales de la isa etc.

i% de gara%tiar

ro+(ste este est(dio copre%de errores e% (% ra%go de hasta Q70N.

,tra caracter;stica >(%dae%tal de los procesos toada e% c(e%ta e% este est(dio es la

relaci9% de co%trola+ilidad Dr F la c(al es e%te%dida coo la relaci9% existe%te e%tre el

tiepo (erto t 0 la co%sta%te de tiepo τ ec(aci9% DF la c(al es >actor deteri%a%te

para la selecci9% de la estr(ct(ra del co%trolador a (tiliar.

Se co%oce C(e el co%trol por odo deslia%te e% est(dio prese%ta (% e1or desepeMoC(e las t#c%icas tradicio%ales de co%trol IJ c(a%do la ra9% de co%trola+ilidad se

e%c(e%tra e%tre 3.

-. Anlisis de obustez

o% el >i% de a%aliar la ro+(ste se (s9 el sig(ie%te procediie%to De% *atla+R-

Si(li%ARF:

. Se iplee%t9 (% odelo ge%eral de prier orde% 6s tiepo (erto de

par6etros K τ t 0 para si(lar el proceso real.

2. Se iplee%t9 el co%trolador S*r e% est(dio co%sidera%do coo varia+les: D K M F

a%a%cia est6tica estiada del proceso Dτ M F o%sta%te de tiepo estiada del proceso

Dt 0 M F "iepo (erto estiado del proceso los par6etros de si%to%iaci9% Dλ0 , λ , K D , δF

a partir de los valores %oi%ales del odelo del proceso D K M , τ M y t 0 M F.

3. Se ela+or9 (% prograa C(e realia las sig(ie%tes >(%cio%es:

3.. e%era todas las co+i%acio%es posi+les de los valores estiados de los par6etros

caracter;sticos iplica%do los posi+les errores de odelado.

K M ∈ 0.3 0.4 TTTT . .2 TTTTTT.) .7UV K D8rrores e%tre O70N a P70NF

τ M 0.3 0.4 TTTT . .2 TTTTTT.) .7UV τ D8rrores e%tre O70N a P70NF

t 0 M 0.3 0.4 TTTTT . .2 TTTTTT.) .7UVt 0 D8rrores e%tre O70N a P70NF

3.!.


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3.". ora gra>ica:

a ig(ra 2 (estra el número de simulaciones con comportamientos inestables, es

decir simulaciones inestables número, e% el e1e de las a+scisas e% el e1e de las

orde%adas se represe%ta el error de estiaci9% coetido para cada si(laci9% e% cada

(%o de los tres par6etros del odelo. Se decidi9 prese%tar las si(lacio%es co%

coportaie%tos i%esta+les dado a C(e s( %Xero es e%or C(e las si(lacio%es co%

coportaie%tos esta+les. e K represe%ta variacio%es e% la ga%a%cia est6tica

estiada K M . et represe%ta variacio%es e% la co%sta%te de tiepo τ M . et 0 represe%ta

variacio%es e% el tiepo (erto t 0 M . "odas estas variacio%es va% desde 30N hasta 70N

del valor %oi%al lo c(al iplica C(e para la si%to%iaci9% del co%trolador se realiaro%

si(lacio%es desde 0.3 hasta (% 6xio de .7 veces el valor %oi%al del par6etro e%

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c(esti9%.

a a%era de i%terpretar estos datos se res(e e% el sig(ie%te e1eplo:

Se C(iere sa+er si para el proceso c(os par6etros %oi%ales so% K = O τ = 3 t 0 = Y

las c(ales aparece% e% la gr6>ica coo K/ * *o. 8l sistea e% lao cerrado es i%esta+le

c(a%do se ha% coetido errores de odelado de O50N e% K O30N e% τ P30N

e% t 0 Dig(ra 2F. 8s co%ve%ie%te destacar C(e este e1eplo represe%ta (% caso des>avora+le

para el sistea co%trolado por el S*r dado C(e el %Xero de si(lacio%es i%esta+le es

aor c(a%do se tie%e% si(lt6%eae%te errores de estiaci9% por de>ecto e% K τ por

exceso e% t 0.

Eara (+icar este caso e% la gr6>ica priero se de+e expresar los errores de estiaci9% e%

porce%ta1es del valor %oi%al es decir: O50N correspo%de a 50N K O30N correspo%de a70Nτ P30N correspo%de a 30Nt 0. (ego se procede a +(scar estos valores ali%eados

de a%era vertical so+re la >ig(ra si est6 arcado DVF se dice C(e el coportaie%to del

sistea es i%esta+le de lo co%trario es esta+le. 8s decir se (+ica priero el error e%

ga%a%cia est6tica e K = 50 l(ego so+re todo el ra%go de si(lacio%es e% C(e coi%cide este

valor se (+ica el error e% co%sta%te de tiepo er = 70 >i%ale%te para todos los pares

coi%cide%tes se revisa el gr6>ico del error e% tiepo (erto si se e%c(e%tra% p(%tos para

los c(ales et 0 = 30 se co%sidera C(e para este caso el sistea se hace i%esta+le. Eara este

e1eplo se ide%ti>ica (%a si(laci9% co% (% coportaie%to i%esta+le por lo C(e se

e%c(e%tra% p(%tos co% estas tres coorde%adas Dig(ra 3F.

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0. Anlisis de 'atos

8% esta secci9% se relacio%a% los datos recolectados co% el o+1etivo de ge%erar (%

co%1(%to de ec(acio%es C(e ge%eralice% los casos posi+les C(e se e%c(e%tre de%tro de losl;ites de esta+ilidad e% est(dio. 8sto perite lograr el a%6lisis de ro+(ste del S*r

edia%te el (so de >(%cio%es C(e se evalXa% e% p(%tos espec;>icos de operaci9% para

o+te%er as; res(ltados co%cretos %o edia%te el a%6lisis de gr6>ico c(a a%ip(laci9%

trae coo co%sec(e%cia (% tra+a1o ard(o dado C(e %o es >6cil agr(par todas las varia+les

i%vol(cradas de%tro de (%a isa >ig(ra e% caso de C(e se desarrolle% dichas gr6>icas

ser;a %ecesario realiar (%a gr6>ica para cada proceso.

8stas >(%cio%es se o+t(viero% edia%te el sig(ie%te procediie%to:

Eriero se o+t(vo (% ra%go prelii%ar de error e% la co%sta%te de tiepo eτ e% >(%ci9%

del error de estiaci9% e% la ga%a%cia est6tica e K la ra9% de co%trola+ilidad r . Eara estodado C(e todas las gr6>icas tie%e% (%a te%de%cia siilar se logr9 relacio%ar el decree%to

C(e prese%ta el error de estiaci9% e% la co%sta%te de tiepo a edida C(e i%cree%ta el

error de la ga%a%cia est6tica edia%te (%a >(%ci9% expo%e%cial decrecie%te D #τF coo se

(estra e% la ig(ra 4. os coe>icie%tes de esta >(%ci9% ec(aci9% DYF est6% deteri%ados

por e K r . 8s de hacer %otar C(e esta >(%ci9% esta+lece (% l;ite s(perior cota de%tro de

la c(al %o se gara%tia por copleto la esta+ilidad del sistea.

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8ste res(ltado >(e re>i%ado (tilia%do t#c%icas de i%terpolaci9% co% >(%cio%es

expo%e%ciales ade6s de >(%cio%es poli%oiales de seg(%do orde%. a ec(aci9%

D0F (estra las expresio%es o+te%idas para los coe>icie%tes $Dr F %Dr e K F

respectivae%te:

e+ido a la %ecesidad de de>i%ir aX% 6s la regi9% de i%esta+ilidad de a%era gr6>ica se

esta+lece% c(rvas 6s cerca%as a los l;ites de las regio%es e% est(dio co% el >i% de

e%co%trar relacio%es e%tre las varia+les i%vol(cradas Dig(ra 5F.

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Eara acotar estas regio%es i%esta+les del sistea co%trolado se procede a deteri%ar de

a%era ate6tica (%a >(%ci9% C(e represe%te cada (%a de las traectorias de la %(eva

c(rva de a1(ste coo se procedi9 a a1(star la priera c(rva. 8l coportaie%to de cada

(%a de estas traectorias tie%de a see1arse e% (chos de los casos est(diados te%de%ciaC(e se toa e% c(e%ta para deteri%ar la traectoria as; coo ta+i#% asociar la >(%ci9%

a%teriore%te e%co%trada co% el i%icio de la %(eva >(%ci9% de a1(ste. 8sta c(rvat(ra es

s(stit(ida por (%a recta do%de s( pe%die%te var;a a edida C(e ca+ia la ra9% de

co%trola+ilidad del proceso. Eara i%iiar el error e%tre la traectoria de la i%esta+ilidad

la recta se (tili9 (%a >(%ci9% de costos e%co%tr6%dose as; (%a >(%ci9% ec(aci9% DF

C(e represe%ta dicha traectoria.

& τ D#τ€ , r, etoF = I00 O D00 T #r O D0.)2Yr 2 O 0.07r P .453F T D70

O et 0FFJ DF

1. Aplicaci%n !rctica

Se tie%e (% proceso i%d(strial c(a di%6ica p(ede ser represe%tada por (% odelo de

prier orde% 6s tiepo (erto co% los sig(ie%tes par6etros: D K = O2 S"/S t 0 =

.3sτ = 2.sF par6etros C(e de+e% ser co%ocidos clarae%te para poder esta+lecer (%a

re>ere%cia c(a%do se evalXa al co%trolador e% la c(a%ti>icaci9% de s( ro+(ste.


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o+tie%e #τD #τ€= .24)3F. Seg(idae%te se procede a deteri%ar & τ edia%te la ec(aci9%

DF:

& τ€D.24)33.Y520F = I00 O 00 T .24)3 O D0.)2Y T 3.Y52 O 0.07 T 33Y5 P

.453F T D70 O 20FJ D2F

& τ€(.24)33.Y520) = 5.Y3 D3F

ecto e% la

co%sta%te de tiepo el sistea e% lao cerrado prese%ta (% coportaie%to i%esta+le.

8sto es co%siste%te co% los c6lc(los dado C(e el error de estiaci9% co%siderado es

aor C(e el valor 6xio peritido D5.Y3NF. e a%era co%traria e% la ig(ra )D+F se

logra o+servar coo al aplicar (% error de 0N por de>ecto e% la co%sta%te de tiepo el

sistea e% lao cerrado prese%ta (% coportaie%to esta+le. 8sto de(estra la

co%>ia+ilidad del res(ltado arro1ado por la >(%ci9% & τ para discrii%ar a%te errores

coetidos e% la co%sta%te de tiepo.

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2. Conclusiones

8l procediie%to prop(esto periti9 ide%ti>icar patro%es de coportaie%to edia%te los

c(ales se p(diero% crear relacio%es para la deteri%aci9% de las regio%es de esta+ilidad.

8stas ostraro% ser de gra% (tilidad de >6cil a%e1o

os errores de estiaci9% de la ga%a%cia i%>l(e% directae%te so+re la esta+ilidad del proceso. Eara errores de estiaci9% por exceso el co%trolador respo%de le%tae%te por


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e%de el sistea co%trolado tie%de a ser e%os agresivo esta+le. 8% el caso co%trario

para errores por de>ecto el co%trolador a(e%ta s( agresividad tie%de a ser i%esta+le.

os errores e% la co%sta%te de tiepo /o el tiepo (erto i%>l(e% e% el desepeMo del

co%trolador este desepeMo se ve aore%te a>ectado c(a%do se coete (%a estiaci9% por de>ecto e% la co%sta%te de tiepo al iso tiepo (%a estiaci9% por exceso e%

tiepo (erto. o c(al de(estra C(e se pierde ro+(ste a edida C(e se prod(ce (%

a(e%to de la ra9% de co%trola+ilidad.

Se copro+9 C(e hasta (% 5N de error de odelado e% cada (%a de las varia+les se

gara%tia la esta+ilidad del sistea si% e+argo c(a%do los errores de odelado

coetidos e% la ga%a%cia est6tica oscila% e%tre (% 5N 25N %o es posi+le gara%tiar la

esta+ilidad. 8sta co%cl(si9% %o es exte%si+le a los par6etros resta%tes co%sta%te de

tiepo tiepo (erto.

eferencias (ibliogrficas

. aacho ,. . Sith D2000F Slidi%g *ode o%trol: the $888 ol. 7) ZH 3 pp. 22-

232.

3. tAi% .$. DY77F Karia+le Str(ct(re Sstes with Slidi%g *odesL "ra%sactio%s o>

$888 o%

revista técnica de la facultad de ingeniería universidad del zulia

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