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Revisión del Diseño Preliminar.
Equipo:
Misiones Espaciales México 2017.
Agencia Espacial Mexicana.
04 de agosto de 2017.
Descripción.
La misión consiste en elevar una carga útil de 400 gramos a 60 metros de altura con la
ayuda de un cohete propulsado por agua y aire comprimido.
Objetivos.
• Desarrollar y construir el cohete mediante un diseño original.
• Lograr que el cohete llegue a la altura exacta de 60 metros transportando una
carga útil de 400 gramos.
• Desarrollar tecnologías para el control del cohete durante las diferentes etapas de
la misión.
• Centrar los objetivos de diseño en la reutilización de materiales y abaratamiento
de costos.
• Hacer uso de bases teóricas para la optimización del diseño.
Requerimientos de la misión.
• El cohete debe alcanzar una altura de 60 +/- 5 metros.
• Debe ser propulsado únicamente por agua y aire comprimido.
• El cohete debe integrar los siguientes elementos básicos: Tanque y tobera, bahía
para carga útil, sistema de recuperación, nariz, sistema de estabilización y
fuselaje.
• La presión del tanque no debe superar las 110 libras por pulgada.
• El costo del cohete no debe rebasar los 4,000 pesos mexicanos.
• El volumen del tanque es libre.
• La masa y el volumen del cohete son libres.
• La carga útil (cilindro) es de 400 gramos y sus dimensiones son 15 cm de altura
por 8.5 de diámetro.
• El cohete puede llevar una carga útil extra.
Para diseñar el cohete se comenzó por realizar una investigación teórica de la física
involucrada. El modelo teórico1 que seguimos es el siguiente:
Cuando el cohete comienza su vuelo hay tres fuerzas actuando
sobre él, que son el peso y el arrastre (ambas en la misma
dirección) y el empuje, que trata de vences a las dos anteriores.
Se analizará cada fuerza por separado.
El empuje de un proyectil está dado por la fórmula
𝐸 = 𝑎𝑏𝑠(𝑉𝑒
𝑑𝑀
𝑑𝑡)
Donde Ve es la velocidad a la que el agua es expulsada y dm/dt
es el cambio de masa respecto al tiempo. Entonces se tiene que
encontrar cada uno de esos valores.
Recordando la ecuación de fluidos de Bernoulli
𝑃1 + 0.5 ∗ 𝜌 ∗ 𝑉12 + 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑦1 = 𝑃2 + 0.5 ∗ 𝜌 ∗ 𝑉2
2 + 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑦2
La parte izquierda de la ecuación se referirá a la parte superior del líquido en el cohete y
la parte derecha se referirá al líquido en la boquilla de escape.
Se omitieron estas tres partes de la fórmula ignorando la velocidad del líquido en la parte
superior y la diferencia de presión debido a la altura por lo que la fórmula queda de la
siguiente manera:
𝑃1 = 𝑃2 + 0.5 ∗ 𝜌 ∗ 𝑉22
𝑃𝑖𝑛𝑡 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 0.5 ∗ 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ∗ 𝑉𝑒2
Aquí ya se puede despejar para Ve., quedando
𝑉𝑒2 = (𝑃𝑖𝑛𝑡 − 𝑃𝑎𝑡𝑚)/(0.5 ∗ 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)
Ya se tiene la primera parte para obtener la fuerza de empuje, ahora solo falta el cambio
de masa respecto al tiempo. Según la fórmula de la densidad 𝜌 = 𝑚/𝑣 la masa se puede
obtener como 𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑣 y si se deriva con respecto al tiempo:
𝑑𝑀
𝑑𝑡= 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ∗
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Lo que es igual a:
𝑑𝑀
𝑑𝑡= 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 ∗ 𝐴𝑒 ∗ 𝑉𝑒
Donde Ae es el área transversal de la boquilla de escape.
Combinando las ecuaciones anteriores se puede obtener una fórmula para la fuerza de
empuje con respecto a la presión interna del cohete.
𝐸 = 2(𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚) ∗ 𝐴𝑒
Entonces se necesitará saber cómo se comporta la presión respecto al tiempo. Para ello
PoV0=PV, el producto de la presión por el volumen en el interior será igual al producto de
los valores iniciales. Así la presión en cualquier instante es P= PoV0/V.
Derivando con respecto al tiempo.
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −
𝑃𝑜𝑉𝑜
𝑉2
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Y combinando las ecuaciones se llega a:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= −
𝑃2
𝑃𝑂𝑉𝑂𝐴𝑒𝑠𝑞𝑟𝑡(
2 ∗ (𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚)
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)
Esta ecuación diferencial será resuelta por el método numérico de Euler para facilitar su
programación y solución.
La fuerza de arrastre se puede calcular siguiendo la fórmula 𝐹𝑎 = 0.5 ∗ 𝐶𝑑𝐴𝜌𝑣2, Cd es un
coeficiente de arrastre que se obtuvo de manera experimental. A es el área transversal
del cuerpo y la densidad que se toma es la del aire. V se refiere a la velocidad del cuerpo.
Al sustituir valores se puede reducir la fórmula a:
𝐹𝑎 = 𝐷𝑣2 el valor de D se estableció como 0.0023.
Lo único que falta analizar es el comportamiento de la masa en el tiempo. Pueden ocurrir
dos situaciones: que el aire expulse completamente el agua o que la presión interna se
iguale a la atmosférica antes. Cuando se expulse completamente el agua, la masa total
será la del cohete, pero antes de eso será la masa del líquido más la del cohete. La masa
del aire se considerará despreciable.
Se retoma la fórmula de la densidad y se despeja para masa = densidad x volumen.
La densidad del agua es constante y el volumen es el que cambia con el tiempo. El
volumen del agua es el volumen total menos el volumen del aire por lo que se puede
establecer que
𝑉𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝑉𝑡 −𝑃𝑜𝑉𝑜
𝑃
Así pues:
Masa total = Masa del agua + masa del cohete.
Masa total = Densidad de agua* volumen de agua + masa del cohete.
La única variable es la masa del agua que está en función de la presión por lo que:
𝑀(𝑃) = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (𝑉𝑡 −𝑃𝑜𝑉𝑜
𝑃) + 𝑚𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒
La solución numérica para la presión mediante el método de Euler es la siguiente:
𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 −𝑃2
𝑃𝑂𝑉𝑂𝐴𝑒𝑠𝑞𝑟𝑡(
2∗(𝑃−𝑃𝑎𝑡𝑚)
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎)*dt
Esta fórmula de presión será una intermediaria para encontrar lo que realmente interesa.
La aceleración con la que estará subiendo el cohete se obtiene de F=ma a=F/m
La fuerza es la suma del empuje con el arrastre.
𝑎 = 2(𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚) ∗ 𝐴𝑒 − 𝐷𝑣2
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (𝑉𝑡 −𝑃𝑜𝑉𝑜
𝑃 ) + 𝑚𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒
A esto falta restarle la aceleración de la gravedad:
𝑎 = 2(𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚) ∗ 𝐴𝑒 − 𝐷𝑣2
𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (𝑉𝑡 −𝑃𝑜𝑉𝑜
𝑃 ) + 𝑚𝑐𝑜ℎ𝑒𝑡𝑒
− 9.81
Conociendo el valor de la aceleración y de cómo cambia con respecto a la presión-tiempo
se puede obtener la velocidad y la altura a la que llegará el cohete.
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 𝑎 ∗ 𝑑𝑡
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑣 ∗ 𝑑𝑡
Con este marco teórico se procedió a programar las fórmulas de presión, aceleración,
velocidad y altura en lenguaje c++. Los resultados se exportan a Excel para poder
trabajar con ellos. El código del simulador se anexará en un archivo .txt, Para que el
simulador pueda realizar los cálculos necesita algunos parámetros, es por eso que
pregunta por el diámetro de la boquilla de salida, la presión inicial. El volumen total del
tanque, el volumen que ocupa el gas, el tamaño de paso para el método de Euler y en
una versión mejorada del mismo simulador se pregunta por la altura de la ciudad y la
temperatura para poder afinar la presión atmosférica.
En la parte inferior reporta la altura en metros que alcanzará el cohete y en un archivo
Excel entrega los resultados de forma detallada. Sin embargo, este modelo teórico
parecía tener algunas fallas pues el tiempo de vuelo se tornaba muy largo. Después de
un análisis se revisó que se estaba considerando que la presión escapaba como si
siempre hubiese agua. Aquí una gráfica de presión contra tiempo para ilustrar.
Cuando en realidad, el agua es expulsada de forma casi instantánea y la presión escapa
ahora de forma diferente. Para resolver esto se volvió a aplicar la ecuación de Bernoulli,
pero ahora para el escape del aire una vez que el agua se había agotado. La nueva
gráfica muestra el comportamiento de la presión.
Así, el simulador de vuelo quedó afinado y confiable.
Ya con el simulador listo se procedió a establecer valores para comenzar el diseño. La
presión se estableció en 110 psi, el diámetro de la boquilla de escape en 20mm.
Para saber el volumen de agua y el volumen total se programó en Labview un código
que calcula la altura máxima que alcanzará el cohete variando la proporción de aire y
agua en 100 ml cada vez. Este programa entrega una gráfica que indica qué cantidad de
aire necesaria para optimizar la altura del cohete.
A continuación, algunos ejemplos de gráficas de volumen de aire contra altura.
También se puede apreciar una gráfica de tres ejes en la que el eje x representa el
tamaño de boquilla, el eje y el volumen de aire y el z la altura que alcanza.
Con estos programas se realizaron varias simulaciones para llegar a una altura superior
a los 60 metros. El objetivo es llegar a más de 60 metros en la simulación pues esta
considera un tiro recto ideal, pero en la realidad puede que resulte un tiro parabólico y
para ello un extra en la altura podría compensar cualquier pérdida en la altura debida a
la parábola.
Después de varias simulaciones se obtuvieron estos resultados:
Con estas opciones se optó por escoger la última, es decir, 8 litros de volumen total, un
cohete con 1.6 kg de masa y que de estos 8 litros, 0.0048 metros cúbicos sean de aire.
Así, los porcentajes de aire y agua que se usarán son 60% y 40% respectivamente.
Gracias a que estos parámetros quedaron establecidos, se pudo comenzar el diseño
asistido por computadora en Solidworks.
Diseño
La propuesta de diseño es la siguiente.
El cohete mide 1509 mm de longitud, el diámetro del área transversal es de 4 pulgadas
y tiene un volumen de 8000 centímetros cúbicos para propelente. Consta n secciones
que son la tobera con una boquilla de 20 mm, el tanque con una longitud de 92.38 cm,
la bahía de carga útil con longitud de 26 cm y la nariz con una longitud de 20 cm. El peso
del cohete hasta esta etapa es de 1214 gramos.
La nariz fue diseñada siguiendo el modelo de Haack Series (Von Karman Ogive). Se
programó un código cuyas variables de entrada son el radio de la base de la nariz y la
longitud deseada. Este programa entrega una lista de varios puntos en el eje x con su
respectiva magnitud de radio en el eje y. Después se graficaron los datos y se obtuvo la
función polinomial que describe el contorno de la nariz. Esta función se escribió en
SolidWorks y así se pudo dibujar esta parte del cohete. La nariz será hecha por
termoformación usando PET lo que la hará ligera y de la
forma deseada.
La gráfica del contorno de la nariz con su respectiva función polinómica se muestra a
continuación.
Las fórmulas utilizadas son las siguientes:
La forma de los alerones aún no está definida, sin embargo, se trabajó en el diseño de
un sistema mecánico que permite la apertura de los alerones cuando el cohete está en
vuelo. El equipo incluirá su propia carga útil que contendrá de un barómetro bmp180 y
un acelerómetro, así se censará la altura y velocidad en tiempo real y en caso de que el
cohete lleve velocidad suficiente para rebasar los 60 metros se activará el sistema de
freno permitiendo que los alerones se abran y aumenten el coeficiente de arrastre para
que el frenado sea casi instantáneo.
La bahía de carga útil, el tanque, la tobera y la nariz serán hechas con PET pues este
puede soportar los 110 psi. Los acoples son de PVC y por dentro se utilizarán piezas
impresas en PLA para sostener la carga útil. Los alerones se harán con mdf y corte láser.
El código del simulador de vuelo es el siguiente.
y = 2E-06x3 - 0.0017x2 + 0.4972x + 2.3185R² = 0.9995
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250
El código del diseñador de nariz para cohete es el siguiente:
Justificación detallada de las fórmulas.
Carga Útil
Nosotros incluimos una carga útil de control la cual nos ayudará a estimar la altura en
tiempo real de nuestro cohete, así como facilitará el sistema de liberación de nuestro
paracaídas como el sistema de frenado que se especifica anteriormente en el diseño.
El sensor de presión barométrica BMP180 lee la presión atmosférica y temperatura lo
que nos ayuda a estimar la altura al que se encuentra el cohete comparándola
directamente con la altura sobre el nivel del mar colocaremos dos de estos sensores uno
directamente el fuselaje y otro dentro de la carga de control en nuestro código
promediaremos esos resultados para tener un dato menos errado. Este módulo se
alimenta con 5V.
Utilizaremos una radiofrecuencia para trasmitir los datos recopilados al momento de
generar los lanzamientos para visualizarlo en un panel de manera directa en nuestros
ordenadores.
Bibliografía:
American Journal of Physics 68, 223 (2000); doi: 10.1119/1.19415
Gary A. Crowell Sr.. (1996). THE DESCRIPTIVE GEOMETRY OF NOSE CONES.
Wayback Machine, -, -. agosto 2017, De Wayback Machine Base de datos.
.
Costos al pre diseño.
Al recabar información en ciencia de cohetes tuvimos la iniciativa de generar un curso
para alumnos de 5° y 6° de primaria con el fin de compartir toda la teoría e información
recabada al iniciar esta convocatoria; Les enseñaremos física, programación y diseño
básico brindándoles a los niños conocimiento e introduciéndolos de manera interactiva a
la ciencia.
El curso que planeamos tendrá una duración de 12 horas divididas en 3 sábados en un
horario de 9:00 a 13:00 para un cupo máximo de 14 niños, no tendrá ningún costo. Las
fechas tentativas son los sábados, 11, 18 y 25 de noviembre del año en curso en las
instalaciones del Tecnológico de Monterrey campus León.
La planeación tiene como objetivo llevar a los alumnos interesados por un camino de
introducción a la ciencia brindándoles herramientas que seguirán utilizando en su vida
estudiantil como laboral iniciando con la programación en lenguaje C, manejo de
microcontroladores, física, diseño asistido por computadora, técnicas de manufactura en
tecnologías actuales y seguridad al manejar herramientas.
La planeación se divide en los temas siguientes:
Sábado 11 de noviembre de 2017:
• Introducción al curso (selección de parejas, introducción de temas, fijar metas,
presentación de los programas a utilizar)
• ¿Qué es un cohete?
• Partes de un cohete.
• Física básica de un cohete.
• Arduino (funcionamiento básico encendió de LEDS).
Sábado 18 de noviembre de 2017:
• Diseño de un cohete.
• Tinkercad Plataforma para diseño.
• Impresión 3D.
• Física básica de un cohete II.
• Diseño y armado de paracaídas.
• Arduino sensor Bmp 180 cálculo de altura.
Sábado 25 de noviembre de 2017:
• Recopilación de partes.
• Armado de cohete.
• Manejo de pegamentos.
• Parámetros de seguridad al trabajar con presiones altas.
• Equipo de seguridad.
• Competencia de altura.
• Competencia de distancia.
• Cierre.
Bibliografía:
https://www.youtube.com/watch?v=4wUVQJfGVyo
https://courses.edx.org/courses/course-
v1:MITx+16.00x+3T2016/courseware/6ba0aefeeba548ecb14b97eee22e704e/3732256c
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http://www.aircommandrockets.com/construction_2.htm#ReinforcingBottles
