resumen libro base electromagnetismo

8/20/2019 Resumen libro base electromagnetismo

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DEPARTAMENTO DE ELECTRICA Y ELECTRONICAAREA DE ELECTROMAGNETISMO Y OPTICA APLICADA

LTEM1O14M15

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

DEPARTAMENTO DE ELECTRICA YELECTRONICA

LIBRO DE CONTENIDOS DE ELECTROMAGNETISMO ICONTENIDO DE LA MATERIA DE DESARROLLO Y ANALISIS

CRNL. EDWIN CHAVEZ MORILLO

SANGOLQUI, OCTUBRE 2015


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LIBRO DE TRABAJO DE ELECTROMAGNETISMO ISEMESTRE OCTUBRE 2015 – MARZO 2016

PRESENTACION GENERAL

Este es un libro denominado de contenidos para la materia ELECTROMAGNETISMOI, del área de Electromagnetismo y Optica Aplicada del Departamento de Eléctrica yElectrónica de la Universidad de las Fuerzas Armadas.

Fue diseñado, para que sirva como guía de estudio; no obstante esta debía ser ademásobjetiva y responder a la necesidad de los estudiantes de comprender los conocimientos

sobre los campos eléctrico y magnético y establecer su relación con sistemas que seusan en la vida real

Por otro lado y con el fin de validar el método que se aplica en este libro de trabajo,todos sus procesos fueron sujetos a prueba dentro del Diplomado Internacional porCompetencias del Instituto Tecnológico de Monterrey, seguido por el autor (Febrero – septiembre 2014).

El resultado positivo obtenido garantiza que el proceso de enseñanza – aprendizaje adesarrollar en el semestre octubre 2015 – marzo 2016, sea de real beneficio para elestudiante.


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INSTRUCCIONES GENERALES

1. DISPOSICIONES ADMINISTRATIVAS

a. Toda clase es un taller, lo cual implica:1) La participación activa y presencial de todos los estudiantes para desarrollar el

contenido del libro de trabajo.2) Que cada taller inicie con el registro de asistencia; lo que implica que el estudiante

que no asista autoriza al sistema de calificaciones de EMIO15F16 a ejecutar ladeducción respectiva, independientemente del registro de falto en el sistema deregistro de asistencia de la ESPE.

3) No se autoriza la utilización de calculadora para resolver los ejercicios, exceptocuando la operación matemática lo justifique.

b. El tiempo máximo permitido para ingresar a clase es de diez (10) minutos a partir de la

hora oficial de inicio. Culminado el tiempo extra de ingreso, el estudiante se considerafalto.c. Excepto el Comandante de Curso, todos los estudiantes deben cumplir las funciones de

semanero, con el propósito de cumplir con funciones logísticas para el buen desarrollode las clases.

d. No obstante que el Reglamento de Estudiantes de la ESPE, no autoriza un examensupletorio, desde el punto de vista educativo internacional, en mi calidad de docente deesta asignatura lo autorizo al final del semestre para el estudiante que no cumpla con eltotal mínimo de cuarenta y dos (42), de acuerdo a las siguientes condiciones:

1) El examen es acumulativo.2) Versará exclusivamente sobre lo visto durante el semestre y registrado en el libro de

trabajo.

e. Es obligación del estudiante utilizar el correo oficial de la ESPE y la plataforma virtual. No se utilizará ningún otro medio electrónico para la asignación de tareas o para enviardisposiciones.

2. El libro de trabajo contiene:

a. Material gráfico de calidad y texto esquematizado para asegurar la participación activa

del estudiante. b. Preguntas de revisión de conocimiento, para ser desarrolladas en clase por los

estudiantes.c. Material de preparación para las pruebas, registradas en el libro de trabajo y que serán

activadas a través de la plataforma virtual de la ESPE.d. Ejemplos ilustrativos para ser desarrollados en clase.e. Ejercicios para ser resueltos en clase por el profesor.f. Ejercicios para ser resueltos por los estudiantes y evaluados por el profesor, mediante

pruebas intermedias.g. 2 talleres de ejercicios grupales.

h. Artículos aplicativos de los principios electromagnéticos en la vida real.i. Ejercicios de fin de capítulo.


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LTEM1O14M15 j. Proyecto integrador:

1) Diseño y construcción de un tren con levitación magnética.

3. Valoración de cada unidad académica:

a. Puntos de mérito:1) Ejercicios para ser resueltos y evaluados en clase por el profesor.2) Pruebas intermedias en base de las preguntas de revisión de conocimiento y del

material de preparación para las pruebas.3) Análisis de artículos aplicativos desde los puntos de vista comercial, industrial y

militar.4) Ejercicios de fin de capítulo.5) Puntos extras generados en los talleres, hasta un máximo de tres (3) puntos.

b. Puntos de demérito:

1) Inasistencias a clases.2) No presentarse a evaluaciones intermedias o parciales.3) No asistir a talleres grupales.

Sangolquí, 5 de septiembre del 2015

Crnl. Edwin Chávez Morillo.

DOCENTE ELECTROMAGNETISMO I


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CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO

OBJETIVOS

Explicar la razón por la cual se generó en forma muy tardía el desarrollo delelectromagnetismo, a través de una breve reseña histórica de los principalesdescubrimientos.

Presentar el espectro electromagnético. Explicar cómo el electromagnetismo es fundamental para comunicaciones

inalámbricas que es la tendencia actual y de futuro. Realizar una revisión de fasores. Realizar una revisión de números complejos.

1. HISTORIA DEL ELECTROMAGNETISMO1

La “Electricidad” viene de la palabra griega “elektron” cuyo significado es "ámbar".Es aceptado que el griego Thales de Mileto, observó el fenómeno por el cualfrotando un trozo de ámbar, este atraía pequeños fragmentos de paja seca.

Desde mi punto de vista transcurrió demasiado tiempo para que a finales del sigloXXVII empiece a ser tratado el electromagnetismo como ciencia. Entre otras

razones, está el contexto que a la ciencia se la daba en la edad media. No obstante; la electricidad no era del todo desconocida en la edad media. Porejemplo, era perfectamente conocida la acción devastadora de los rayos, pero se leatribuía un carácter demoníaco. Por otro lado, hay que considerar también la propianaturaleza humana opuesta al cambio; así, cuando Benjamín Franklin descubrió einstaló los pararrayos se formaron dos grupos, unos a favor y otros en contra. Fueluego de comprobarse que los rayos ocasionaron daños materiales y muertes paraque de manera unánime se le considere de utilidad y se reconozca el invento deFranklin.

Un artículo que demuestra este aserto y otros que demuestran otras particularidadesde cómo se desconocía la naturaleza del electromagnetismo, se lo puede extraerdesde la dirección:

http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.html .

Se podría perfectamente seguir enumerando muchos pasajes de la evolución delelectromagnetismo, pero creo que es conveniente establecer el criterio limitante deregistrar solamente los que tienen evidencia.

1 Referencia http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-ge neral-historia-electromagnetismo-24275/

http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.htmlhttp://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.htmlhttp://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.html


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LTEM1O14M15 A continuación se presentan los principales eventos históricos que tienen evidenciade conocimiento:

Fecha Persona Actividad Ilustración625 y545AC.

Thales deMileto Los fenómenos magnéticos fueron

conocidos por los antiguos griegos. Se diceque por primera vez se observaron en laciudad de "Magnesia" en Asia Menor, deahí el término magnetismo. Se conocía queciertas piedras atraían el hierro y que lostrocitos de hierro atraídos, atraían a su veza otros. Estas se denominaron imanesnaturales.El primer filósofo que estudió el fenómenodel magnetismo fue Tales de Mileto, quienvivió entre 625 a.C. y 545 a.C.

1752 BenjamínFranklin

Llegó a conocer profundamente laelectricidad estática.En 1752 llevó a cabo en Filadelfia sufamoso experimento con la cometa. Atóuna cometa con esqueleto de metal a unhilo de seda, en cuyo extremo llevaba unallave también metálica. Haciéndola volarun día de tormenta, confirmó que la llavese cargaba de electricidad, demostrando asíque las nubes están cargadas deelectricidad y los rayos son descargaseléctricas. Gracias a este experimento creósu más famoso invento, el pararrayos. A

partir de ahí, se instalaron por todo elEstado (había ya 400 en 1782), llegando aEuropa en los años 1760.

1785 CharlesAugustindeCoulomb

Ingeniero y físico militar francés. Sumayor aportación a la ciencia fue darforma a la fuerza de atracción entre cargaseléctricas estáticas. Así se inicia el hechode que al electromagnetismo se estudiecomo ciencia técnica y se abandone elcriterio anterior de ser ciencia filosófica.

1801 CarlFriedrichGauss

Considerado el mejor matemático delmundo; sus descubrimientos matemáticostienen aplicación ahora en forma

progresiva.Junto con el físico Wilhelm Weberinvestigaron el electromagnetismo;construyeron un magnetómetro llegando adeterminar que el campo magnético estabaen el interior de la tierra e inventaron eltelégrafo.Faraday llamó a la expresión matemáticadel flujo eléctrico como ley de Gauss.


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LTEM1O14M15 1820 Hans

ChristianOrsted

A través de experimentación HansChristian Oersted descubrió la relación queexiste entre electricidad yelectromagnetismo.Descubrió el fenómeno en el cual un cable

por el que circula una corriente, modificala dirección de una brújula cercana, esdecir que en un circuito una corrientegenera un campo magnético y que por lotanto, ellos estaban relacionados. En sunombre se le ha asignado la unidad de lareluctancia magnética.

1820 Jean-BaptisteBiot y FélixSavart

Los científicos franceses Jean Biot y FélixSavart dedujeron en 1820 una ecuaciónque permite calcular la densidad de campomagnético B creado por un circuito de

forma cualesquiera recorrido por unacorriente de intensidad i.La ley de Biot-Savart sirve de base teórica

para la definición de los camposmagnéticos.

1822 André-MarieAmpère

Ampère estudió los fenómenosrelacionados con la corrienteelectromagnética. Se interesa por losdescubrimientos de Volta (el de la pila).Observa de cerca los efectos de lacorriente eléctrica sobre una aguja

imantada. Analizó la relación que existeentre los fenómenos eléctricos y losmagnéticos y estableció la ley llamada laley de Ampere.

1825 WilliamSturgeon Físico inglés, en 1825 enrolló 18 espiras de

alambre conductor alrededor de una barrade hierro dulce, que dobló para que tuvierala forma de una herradura. Al conectar losextremos del cable a una batería, el hierrose magnetizó y pudo levantar un peso queera 20 veces mayor que el propio. Este fue

el primer electroimán, es decir, un imánaccionado por electricidad.

1830 JosephHenry El estadounidense Joseph Henry (1797-

1878) fue un físico que investigó elelectromagnetismo y sus aplicaciones enelectroimanes y relés. En forma simultáneae independiente de Faraday, descubrió lainducción electromagnética y observó queun campo magnético variable puedeinducir una fuerza electromotriz en uncircuito cerrado. El experimento consistió

en desplazar un ente metálico perpendicularmente a las líneas de fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Electroim%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%A9http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%A9http://es.wikipedia.org/wiki/Electroim%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henry


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LTEM1O14M15 magnética; esto produce una diferencia de

potencial entre sus extremos, llamadafuerza electromotriz inducida. En su honorse denominó Henry (símbolo H) a launidad de inductancia, castellanizadacomo Henrio.

1831 MichaelFaraday Tras el gran descubrimiento por Oersted en

1821, Faraday continuó la investigacióncon imanes. Fue uno de los primeros enconstruir un motor eléctrico, que élllamaba "Rotación electromagnética". Diezaños más tarde, en 1831, Faraday comenzóa experimentar con éxito la inducciónelectromagnética, que es la mismatecnología que se usa hoy en día. Tambiénestudió las cargas estáticas y suacumulación en conductores; más

específicamente, en placas metálicas paralelas; lo que hoy se conoce comocondensadores eléctricos o capacitores. Ensu honor se le asignó la unidad decapacidad eléctrica (Faradio).

1866 JamesClerkMaxwell

Integró los distintos resultados obtenidos alo largo del tiempo y en formaindependiente por varios investigadores ylos condensó hasta en trece (13)ecuaciones.También estudió la teoría cinética de los

gases.Introdujo el concepto de la “corriente dedesplazamiento”. Heaviside y Hertz las redujeron a lascuatro (4) que se utilizan hoy día.

1873 OliverHeaviside. Sus trabajos matemáticos eran de gran

complejidad, siendo difíciles decomprender aun por parte de matemáticosavanzados. Estudió en profundidad la obrade James C. Maxwell sobre la teoríaelectromagnética, llegando incluso asimplificar sus ecuaciones.En varios artículos publicados entre 1873 y1901 tanto en el The Electrician comoen la Philosophical Magazine, Heavisidedesarrolló la teoría de la propagaciónelectromagnética en cables, en la que

proponía el aumento de la inducción pormedio de la inserción de bobinas con elobjeto de incrementar la distancia de

propagación; la aplicación fue en elsegundo cable submarino.En diciembre de 1901, GuglielmoMarconi consiguió, “milagrosamente”, queuna señal de radiotelegrafía atravesara elAtlántico.

Este hecho creó un gran desconcierto en lacomunidad científica, que asumía, sinexcepciones, que la propagación de las

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico


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LTEM1O14M15 ondas electromagnéticas era en línea rectaTanto Heaviside como el ingeniero

británico, afincado en Estados Unidos,Arthur E. Kennelly, predijeron en 1902 laexistencia de una capa en la atmósfera,ionizada por la radiación solar y que

permitía que las señales se reflejasen en

ella volviendo a la superficie terrestre envez de perderse en el espacio.La existencia de esta capa, solo se pudodemostrar fehacientemente muchos añosdespués, pasándose a llamar “capaKennelly – Heaviside” (actualmentedenominada capa o región E).Redujo a cuatro (4) las ecuaciones deMaxwell, versión que se utilizar hoy día.

1888 HenrichRudolfHertz

Hertz fue alumno de Gustav Kirchoff.Demostró por primera vez la existencia dela radiación electromagnética al poderemitir señales y recibirlas a un metro dedistancia, confirmando lo dicho porMaxwell y Faraday.

Para complementar el punto de vista objetivo, en la Figura 1.1, se presenta uncuadro esquemático de la historia del electromagnetismo y sus principales

protagonistas.

Figura 1.1. Esquema de actores principales en la historia del electromagnetismo2

ACTIVIDAD PRC 1.1 PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.1

2. RELACION DEL SER HUMANO Y LOS CAMPOS ELECTROMAGNETICOS2 http://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmap

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Desde el punto de vista interno del cuerpo humano, se puede decir que los seres humanos,somos entes electromagnéticos, ya que las funciones motrices desde y hacia el cerebro sonactivadas en la forma de estímulos eléctricos de pequeñísima magnitud que se generan oreciben para controlar movimientos de los músculos o detectar estímulos; en este contexto,el mejor ejemplo es el estímulo eléctrico autónomo que genera los latidos del corazón y quenos permite vivir.

Desde el punto de vista externo, recibimos radiaciones electromagnéticas desde unainmensa variedad de fuentes naturales o artificiales. Por lo tanto convivimos con los camposelectromagnéticos; no obstante, porqué no los sentimos en nuestra vida diaria?

Desde el punto de vista de emisiones naturales, la gama de generadores naturales de ondaselectromagnéticas es extensa: la luz del sol que es la onda electromagnética que crea la vidaen la tierra, existen además las emisiones electrostáticas que se producen en las nubes, hay presencia de radiadores de iones positivos3, los rayos cósmicos4 provienen de las galaxias.Ante la influencia de los generadores externos de ondas electromagnéticas, el campo

magnético de la tierra provee un efecto protector. La gama de fenómenos mecánicos,térmicos, luminosos y químicos que producen emisiones electromagnéticas en el medioambiente que nos rodea es gigantesca.

Las emisiones artificiales se caracterizan por el uso de cualquier dispositivo creado por elser humano y que emplea energía para generar electrones, campos magnéticos o camposelectromagnéticos. Las aplicaciones van desde el ámbito personal, del hogar, de la oficina,industrial, militar, académico, etc.

Cabe peguntarse aquí: Son los campos electromagnéticos nocivos para la salud? Cuáles sonlos beneficios que se obtienen del uso o exposición a las ondas electromagnéticas?.

Para contestar estas y otras preguntas, el libro contiene un conjunto de aplicacionestecnológicas, de cuyo análisis de desprenderá que nosotros y los campos electromagnéticosestamos íntimamente relacionados.

3. EL ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

CONCEPTO:

El espectro electromagnético, es una división convencional de las ondas electromagnéticasen función de la frecuencia.

CARACTERISTICAS:

La luz visible es una referencia para magnificar la extensión del espectro electromagnético;así, la región que el ojo humano reconoce es una muy pequeña entre el infrarrojo yultravioleta, comparada con la extensión del espectro.

La Figura 1.2, muestra el rango visible del ojo humano y una progresión desde las ondas delongitud de onda muy grande, hasta las de orden muy pequeño de 10 -12 m. La clasificaciónen función de la frecuencia tiene correspondencia con la variación de la longitud de onda,dada por la relación f = c/ .

3 http://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.html 4 http://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smico

http://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.html


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Figura 1.2 El espectro electromagnético5

En la Figura 1.3, se indica la relación inversa entre la frecuencia y la longitud de onda; secompara además con objetos físicos para obtener una idea objetiva de sus magnitudes. Lasfrecuencias varían desde aquellas tan bajas en el orden de KHz para ondas de radio,mientras que en la escala superior muestra ondas de frecuencias tan elevadas de 1023 Hz.

Figura 1.3 Relación funcional del espectro electromagnético.6

También, la Figura 1.3, ilustra algunas características adicionales de las ondaselectromagnéticas, desde el ámbito de comunicación inter espacial.

5 Tomado dehttp://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&usg=__shH_WwrWQrSaiCs23qCcYUZCMRo=&h=483&w=528&sz=25&hl=es&start=0&sig2=ose4BSRLLC3mtZOKSEN-aw&zoom=1&tbnid=q3dlMEtEYSvlKM:&tbnh=118&tbnw=129&ei=enduTdqkDorLtgeL8qWKDw&prev=/images%3Fq%3Despectro%2Belectromagnetismo%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DG%26biw%3D918%26bih%3D50

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LTEM1O14M15 COMUNICACIÓN INALÁMBRICA:

En comunicaciones inalámbricas la frecuencia empleada es alta, puesto que lacantidad de información que se intercambia es directamente proporcional a lafrecuencia. Esto se demuestra recordando por física, que la energía U de un fotón es

directamente proporcional a la frecuencia

hf U (1.1)

donde h es la constante de Planck 7; por lo que a muy altas frecuencias (por ejemplorayos x), la energía de la radiación es de considerable magnitud y puede dañar amateriales y personas. Las fibras ópticas y sistemas de comunicación de línea devista se emplean a partir del orden de 109 Hz.

También en comunicación inalámbrica, la atenuación es un factor que se debe tomaren consideración en el diseño de propagación; así entre 1 y 100 GHz, existen

ventanas de relativamente baja atenuación de la señal en la atmósfera. Algunasventanas de baja atenuación son: < 18 GHz, 26 – 40 GHz y 94 GHz.

Figura 1.4 Ventanas de comunicación al espacio

Por otro lado para trasmitir o recibir señales, el tamaño de antena esaproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda: l ≈ λ/2, por lo cual laantena será más pequeña conforme aumente la frecuencia de operación del sistema.

ACTIVIDAD PRC1.2 PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.2

4. UNIDADES

El Sistema Internacional (SI ) es el sistema estándar para literatura científica y se basa en seis dimensiones fundamentales que se listan en la Tabla 1.1.

7 h= 6.63 x 10-34 J – S.


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LTEM1O14M15 Tabla 1.1 Unidades fundamentales del sistema internacional

Dimensión Unidad SímboloLongitud Metro MMasa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo SCorriente eléctrica Amperio ATemperatura Kelvin KCantidad de substancia Mol mol

Para cantidades entre 10-24 y 1024, se usa un conjunto de prefijos en pasos de 103 para denotar múltiplos y submúltiplos. A continuación en la Tabla 1.2, se presenta lanotación de los prefijos de ingeniería.

Tabla 1.2 Prefijos de los múltiplos y submúltiplos

Prefijo Abreviatura Valor

yotta Y 10 24

Zetta Z 10 21

Exa E 10 18

Peta P 10 15

Tera T 10 12

Giga G 10 9

mega M 10 6

Kilo K 10 3

hecto H 10 2

Deca Da 10 1

Sin prefijo Sin abreviatura 1

Deci D 10 -1

centi C 10 -2

Mili M 10 -3

micro µ 10 -6

Nano N 10 -9

Pico P 10 -12

femto F 10 -15

Atto A 10 -18

zepto Z 10 -21

yocto Y 10 -24

Para el estudio de electromagnetismo, se utilizan escalares y vectores. Porconvención una magnitud escalar, como el voltaje V se representará mediante letraitálica; un vector se representará con negrilla, por ejemplo E para denotar el campo

eléctrico; así por ejemplo para el campo eléctrico se utilizará


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(1.2)Donde, E es la magnitud de E y

x su dirección.

En este libro se usará la representación fasorial para resolver problemas concantidades electromagnéticas que varían senoidalmente con el tiempo, para lo cualse utilizará el símbolo (~) sobre la letra de una cantidad fasorial, por ejemplo E

~es el

campo eléctrico fasorial, correspondiente al vector instantáneo de campo eléctricoE (t ).

ACTIVIDAD APT1.1 APLICACIÓN TECNOLÓGICA APT1.1 (LED)

5. REVISION DE ONDAS SINUSOIDALES

ACTIVIDAD SIM1.1SIMULACION DE ONDA SINUSOIDAL

ACTIVIDAD SIM1.2SIMULACION DE ONDAS VIAJERAS

6. REVISION DE FASORES

Antes de realizar la revisión de los conceptos de fasores, cabe preguntarse:

Porque es útil el empleo de fasores? Es decir porque es la herramienta matemáticaapropiada para estudiar las ondas en el dominio de la frecuencia antes que en eltiempo?

En primer lugar una expresión con dependencia temporal, tiene sentido cuando lavariable tiempo tiene un cierto valor; es decir, vale sólo para ese instante y no paraotro. Esta es la razón por la cual las expresiones en función del tiempo sedenominan “instantáneas”. Por lo tanto para describir el comportamiento de unaonda electromagnética, debería representarse en cada instante de tiempo que sea deinterés.

En segundo lugar cuando es necesario realizar diferenciaciones o integraciones escomplejo trabajar directamente con las expresiones instantáneas. En este aspecto estedioso trabajar y combinar funciones seno y coseno que resultan cuando sediferencia o integra.

La alternativa es utilizar la notación fasorial que entre otras ventajas permite que lasexpresiones instantáneas se conviertan en una ecuación lineal sin funcionessinusoidales. Se desprende, que la notación fasorial simplifica las operaciones y es

por lo tanto el método de solución adecuado.

Una vez obtenida la solución como voltaje o corriente la conversión del dominiofasorial al de tiempo provee la solución buscada.


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En caso de que la entrada sea otra cualquier función periódica, esa función seexpande a serie de Fourier de componentes sinusoidales y se aplica el análisisfasorial a cada componente en forma separada. Luego por el principio desuperposición, la suma de todas las soluciones individuales da la solución total.

Si la función de entrada es una función no periódica, como un solo pulso,igualmente se transforma a serie de Fourier y se aplica al análisis fasorial indicado.

a. EXPLICACION DEL METODO FASORIAL:

PASO 1: Adoptar al coseno como referencia.PASO 2: Convertir a las variables dependientes del tiempo en fasores.PASO 3: Reescribir la ecuación diferencial / integral en forma fasorial.PASO 4: Resolver la ecuación en el dominio fasorial.PASO 5: Encontrar las funciones instantáneas.

1) ANALISIS DEL PROCEDIMIENTO:

Sea el circuito RC de la Figura 1.4 al cual se aplicará el procedimiento:

Figura 1.4 Circuito RC

Dado la expresión de voltaje:

v s(t) = V o sen ( ωt+ϕ 0 ) (1.3)

Por Kirchhoff la ecuación de voltaje de la malla es:

∫ (1.4)La solución en clase obviamente se la hará utilizando el dominio fasorial;sin dejar pasar por alto que el estudiante que desee encontrar i(t) , esdecir la corriente en el dominio del tiempo lo haga y así pueda establecerdiferencias a favor de la técnica fasorial. Estoy seguro que en adelante,adoptará el dominio fasorial y solamente aplicará la conversión final aldominio del tiempo.

PASO 1:

La idea es establecer una referencia para todos los voltajes y corrientes

variantes en el tiempo. De este modo, la función de entrada se debe expresarcomo una función coseno. Por lo tanto, (1.2) se transforma en


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PASO 2:

Aplicar la relación entre una función instantánea y una fasorial que estádada por:

* + (1.6)donde es el fasor de A( x,y,z;t ) y el signo (~) sobre la letra indicaque es un fasor.

Por lo tanto (1.5) queda como:

[̃ ] (1.7)

En (1.7), es el componente fasorial independiente del tiempo y contieneinformación de amplitud y fase, esto es:

(1.8)Respecto a la corriente i(t ):

*+ (1.9)En este punto, debería obtenerse diferenciando (1.3); sin embargo,como se había explicado no se aplicarán derivadas ni integrales en funcióndel tiempo. En lugar de ello, se estudiarán dos propiedades de fasores que seaplicarán inmediatamente:

Derivada de una función en el tiempo:

[ ] [][] (1.10)

CONCLUSION PARCIAL:

Integral de una función en el tiempo:

∫ ∫ () ∫ (1.11)


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CONCLUSION PARCIAL:

PASO 3:

Utilizando las propiedades encontradas, la ecuación de voltaje original de(1.4) queda como

() (1.12)La operación desde el punto de vista de parte real conduce a:

{ ̃ }

(1.13a)

Si se habría tomado como referencia una función seno en vez de coseno, elresultado habría sido el siguiente:

(1.13b)

Desde la igualdad a cero se deduce que:

̃ (Ecuación en dominio fasorial equivalente a la (1.4)) (1.14)

OBSERVACION:

El factor exponencial se anuló porque estaba en todos los términos.

PASO 4:

Se despeja I desde (1.14):

(1.15)Convirtiendo el lado derecho a la forma I 0 e

jθ , con el reemplazo previo de(1.8), se tiene:

= ⁄ =

⁄

√

= √ (1.16)


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OBSERVACIONES:

Primera:

Segunda:

PASO 5:

Para encontrar i(t ) se aplica (1.9), es decir se multiplica el fasor dado por(1.16) por e jωt y luego se obtiene la parte real:

= *+ = √ = √

CONCLUSIONES PARCIALES:

Se convirtieron todas las cantidades variantes en el tiempo al dominio

fasorial y se encontró .Luego se regreso al dominio del tiempo para obtener i(t ).

Para tener una mejor referencia de los dominios de algunas funciones deutilidad se presenta la tabla siguiente:

Tabla 1.3 Funciones comunes en los dominios del tiempo y la frecuencia


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LTEM1O14M15 Ejmeplo 1.1 Para el circuito RL de la Figura 1.5 y utilizando la notación fasorialencontrar la corriente y el voltaje en función del tiempo. El valor de la fuente es .


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LTEM1O14M15 Ejemplo 1.2 Escribir la expresión fasorial de Is para las siguientes funciones decorriente. a) ; b)


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ACTIVIDAD PRC1.3 PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.3

ACTIVIDAD APT1.2 APLICACIÓN TECNOLOGICA APT1.2 (CELDAS SOLARES).

7. LA NATURALEZA DEL ELECTROMAGNETISMO

La interacción electromagnética es una de las cuatro interacciones fundamentales dela naturaleza; así, el universo físico está gobernado por:

La fuerza nuclear , la más fuerte de las cuatro, pero su rango es limitado asistemas sub microscópicos, tales como el núcleo.

La débil fuerza de interacción, cuya magnitud es solamente de 10-4 que lafuerza nuclear. Su rol primario es en las interacciones que ocurren en ciertas

partículas elementales radioactivas. La fuerza electromagnética, que existe entre todas las partículas con carga.

Es la fuerza dominante en sistemas microscópicos, tales como átomos ymoléculas y su magnitud es del orden de 10-2 que la fuerza nuclear.

La fuerza gravitacional , la cual es la más débil de todas las cuatro fuerzas,con una magnitud de 10-41 que la fuerza nuclear. Sin embargo, es la fuerzadominante en sistemas macroscópicos, tales como el sistema solar.

El electromagnetismo constituye, por tanto, uno de los pilares de la Física y sobre élse elaboró inicialmente la Teoría de la Relatividad.

Su descripción se completó en la segunda mitad del siglo XIX y se resume hoy enlas ecuaciones de Maxwell, a partir de las cuales se estableció la existencia de lasondas electromagnéticas, las emisiones caloríficas, las radiaciones ultravioletas y lanaturaleza de los fenómenos luminosos.

Las aplicaciones prácticas que se han originado en el electromagnetismo han tenidosu desarrollo en su mayor parte durante el siglo XX y su rango es amplio eimportante: mecanismos para el hogar, la computadora y periféricos, facilidades

para el transporte, energía eléctrica, comunicaciones electrónicas u ópticas,detectores, aplicaciones industriales, militares, exploración espacial, etc.

Este libro desarrolla los fundamentos del electromagnetismo a un nivel adecuado para los estudiantes del Departamento de Eléctrica y Electrónica, con numerososejemplos derivados de la experiencia acumulada por su autor en su vida profesional

previa y a lo largo de varios lustros de docencia en la Universidad de las FuerzasArmadas.

8. COMUNICACIÓN INALAMBRICA

Además del servició telefónico básico, el usuario de un teléfono celular tiene accesoa Internet, e-mail, GPS8 y PDA9 y juegos.

8 GPS: Global Positioning System9 PDA: Personal Digital Assistant


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Para efectivizar los millones de transacciones diarias en las comunicacionescelulares, el número de canales de frecuencia es limitado. La forma como un sistemacelular puede manejar todas las transacciones es dividir una ciudad en múltiples

pequeñas secciones o celdas dispuestas como una malla hexagonal, cada una servida

por su propia torre. Cada celda como tiene seis celdas que la rodean, puede utilizarsiete canales de frecuencia disponibles. Puesto que la potencia de transmisión yrecepción no es lo suficientemente fuerte para comunicarse con una torre a dosceldas de distancia, celdas no adyacentes pueden usar canales con la mismafrecuencia.

Si un teléfono celular necesita de componentes electrónicos como: parlante, batería,sección de RF, convertidores A/D y D/A, microprocesador, PDS, memoria, interfasecon el usuario, micrófono y antena, la operación física de todos esos componenteselectrónicos es gobernada por las leyes del electromagnetismo:

Las ondas se propagan en el espacio y través de materiales. Las ondas son radiadas y recibidas por antenas. Las ondas se propagan en líneas de transmisión tales como cables coaxiales. Un eficiente manejo de la señal requiere de acoplamiento de impedancias de

las líneas de transmisión. Componentes de RF, de las antenas son diseñados utilizando ingeniería de

microondas. Ruido e interferencia entre componentes electrónicos afectan al desempeño

del sistema.

Otros sistemas de comunicación inalámbrica son DBS10

, GPS para navegación yRFID11.

9. REVISION DE NÚMEROS COMPLEJOS

Previo a la siguiente clase, es necesario ejecutar la actividad registrada comoRNC1.1. El tiempo que tome hacerla queda a cargo del estudiante.

ACTIVIDAD RNC1.1 REVISION DE NUMEROS COMPLEJOS RNC1.1

10 DBS: Direct Broadcast Satellite11 RFID: Radio Frequency Identification


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Ejemplo 1.3 Dados dos números complejos A=5-j4 y B=3+j5, calcular: (a) A y B enforma polar. (b) AB, (c) AB*, (d) A/B y (e) √ .


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ACTIVIDAD EPI1.1 EJERCICIO 1.1






ACTIVIDAD EPI1.7

EJERCICIO 1.7



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CAPITULO 3

ANALISIS VECTORIAL

OBJETIVOS

Comprender el análisis vectorial relacionado con electromagnetismo. Realizar la revisión de los sistemas de coordenadas tridimensionales. Analizar las transformaciones entre sistemas de coordenadas. Analizar el gradiente de un campo escalar. Analizar la divergencia de un campo vectorial. Analizar el rotacional de un campo vectorial. Estudiar el operador Laplaciano.

1. LEYES BASICAS DEL ALGEBRA VECTORIAL.

A pesar de ser conocida la definición de un vector, por precisión he adoptado ladefinición dada en Wikipedia: “En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde semide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y susentido (que distingue el origen del extremo).”

En este contexto, un vector especifica la magnitud y dirección de una cantidad. Así, por ejemplo la rapidez de un objeto es un escalar, mientras que su velocidad es un

vector.Para especificar un vector en el espacio tridimensional se usarán los sistemas decoordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas, debiéndose indicar que el sistemade coordenadas que se adopte para analizar un problema electromagnéticoespecífico dependerá de la geometría del problema que se vaya a analizar.

Por notación, se comienza indicando que un vector tiene una magnitud A = A y una dirección

especificada por un vector unitario

a . Así

A =

La unidad vectorial

a tiene una magnitud de unidad (

a ) y su dirección está dada por:

= A / a. VECTOR SUMA Y RESTA

La suma de dos vectores A y B es un vector C que es su resultante geométrica,como se indica en la Figura 3.1a, es decir

C = A + B (3.1a)

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


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Figura 3.1a Suma de vectores

Si A y B están dados en coordenadas rectangulares:

C = A + B

= (

x A x +

y A y +

z A z) + (

x B x +

y B y +

z B z)

=

x ( A x + B x ) +

y ( A y + B y ) +

z ( A z + B z ) (3.1b)

Gráficamente, el vector suma se obtiene por la regla del paralelogramo, como seindica en la Figura 3.1b.

Figura 3.1b Regla del paralelogramo C = A+B

La resta del vector A con el vector B es equivalente a la suma de A al negativode B. Así la regla de paralelogramo aplicado para este caso se muestra en la

Figura 3.2:

Figura 3.2 El vector resta D=A-B

•A

•b

•a

•b


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d = A - B (3.1c)

Desde la figura 3.1b, se comprueba que para la suma de vectores se cumple la

ley conmutativa:

A+B = B+A (3.2)

También se cumple la ley asociativa para la suma de tres o más vectores. LaFigura 3.3, permite demostrar que:

Figura 3.3 Ley asociativa de la suma de vectores

(A+B)+C = A+(B+C) (3.3)

Qué significado se asignaría a la diferencia de dos vectores A y B? Se define alvector – B, tal que se mantiene la siguiente relación

B - B = 0 (3.4)

El vector – B, debería entonces corresponder a un desplazamiento que anula aldesplazamiento B. El vector – B por lo tanto tiene la misma magnitud de B, perosu dirección es opuesta.

Conforme la diferencia de los vectores A y B, se define ahora la suma de A y – Bcomo:

A - B = A + (- B) (3.5)

b. VECTORES UNITARIOS, BASE Y COMPONENTES

El producto de un escalar α por un vector a, es otro vector A, esto es

A a (3.6)Se entiende (3.6) como un vector cuya magnitud A es igual al producto de lasmagnitudes del escalar y del vector y cuya dirección es la misma que la de a uopuesta, según sea el valor de α positivo o negativo.


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En función de esta definición, la multiplicación de vectores con escalares siguela ley conmutativa

a = a (3.7)La ley distributiva también se cumple, esto es:

(α + β) a = α a + β a α (a + b ) = α a + α b (3.8)

Si en particular a es un vector en la dirección de A, pero de magnitud 1, entonces

A = A a (3.9)

Una vez establecida la naturaleza del vector unitario, se adoptará que a . Un vector cuya magnitud es igual a 1 se llamará un vector unitario.

En la Figura 3.4, se muestra una representación gráfica del vector A conforme loindicado en (3.9).

Figura 3.4 El vector A = A, tiene una magnitud A = │A│ y unidad vectorial a = A/ASea ahora un vector unitario s como se indica en la Figura 3.5 y un vectorarbitrario A que forma con s un ángulo 〈 〉. Entonces se designa como elcomponente de A con respecto al vector s a la longitud de la proyección de A sobre lalínea del vector unitario; esto es la cantidad As dada por

Figura 3.5 El componente de As de A en la dirección s.

(3.10)

Este componente As es un escalar.


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Vectores de dirección y magnitud arbitrarias pueden describirse por suscomponentes referidos a un sistema de coordenadas. Los sistemas más utilizadosson cartesianos, cilíndricos y esféricos.

En el sistema de coordenadas cartesianas que se muestra en la Figura 3.6(a), las

direcciones de coordenadas x, y y z se denotan por los vectores unitariosortogonales

x ,

y y

z , llamados vectores base. El vector A, en la Figura 3.6(b) puede ser representado en función de los vectores base como

(3.11)

donde A x, A y y A z son los componentes de A en las direcciones

x ,

y y

z ,respectivamente.

(a) Vectores base

(b) Componentes de A

Figura 3.6. (a) Vectores base. (b) Sistema de coordenadas cartesianas

Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene:

(3.12)

Puesto que A es un escalar no negativo, solamente aplica el valor positivo de la raíz.

Desde (3.9), el vector unitario

a es:


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(3.13)

c. VECTORES POSICION Y DISTANCIA

En un sistema dado de coordenadas, el vector posición de un punto P en elespacio es el vector desde el origen a P . Los puntos P 1 y P 2 en la Figura 3.7 en elsistema Cartesiano están localizados en ( x1, y1, z1) y ( x2, y2, z2) respectivamente.

Figura 3.7. Vector de posición ⃗

Sus vectores posición son

(3.14a)

(3.14b)

donde el punto O es el origen. El vector distancia desde P 1 a P 2 por geometríaanalítica está dada por

(3.15)

y la distancia d entre P 1 y P 2 es igual a la magnitud de R12:


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(3.16)

Nótese que el primer subíndice de R12 denota la localización de la cola delvector R12 y el segundo subíndice denota la localización de su cabeza, como seindica en la Figura 3.7.


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Ejemplo 3.1

Si A = 10

x - 4

y + 6

z y B = 2

x +

y , hallar: (a) La componente de A a lo largo de

y ,

(b) La magnitud de 3A – B, (c) Un vector unitario a lo largo de A + 2B.


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Ejemplo 3.2

Los puntos P y Q se localizan en (0,2,4) y (-3,1,5,). Calcular (a) El vector de posición P .(b) El vector de distancia de P a Q. (c) La distancia entre P y Q. (d) Un vector paraleloa PQ de magnitud 10.


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Ejemplo 3.3 Un río corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota y una lancha flota en élcon la proa hacia la dirección de desplazamiento. Una persona camina en la cubierta a 2km/h en una dirección a la derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha.Encuentre la velocidad de la persona con respecto a la tierra.


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ACTIVIDAD EPI3.1 Ejercicio 3.1



d. MULTIPLICACION DE VECTORES

Existen tres tipos de productos en cálculo vectorial. Simple, escalar (o punto) yvectorial (o cruz).

1) Producto simple

Es la multiplicación de un escalar por un vector. El producto del vector A =

A por un escalar k resulta en un vector B cuya magnitud es kA y cuyadirección es la misma que la de A. Esto es,(3.17)

2) Producto escalar o punto

El producto escal ar de dos vectores A y B denotado por A·B y pronunciado“A punto B”, se define geométricamente como el producto de la magnitud deuno de los vectores y la proyección del otro vector sobre el primero oviceversa. Así:

(3.18)

Figura 3.8 El ángulo es aquel entre A y B. Es positivo si es agudo (a) ynegativo si es obtuso (b).

donde θ AB es el ángulo entre A y B como muestra la Figura 3.8. El productoescalar de dos vectores produce un escalar cuya magnitud es menor que oigual al producto de las magnitudes de los dos vectores y cuyo signo es

positivo si 0 < θ AB < 900 y negativo si 900 < θ AB < 180

0.

Cuando θ AB = 900, los dos vectores son ortogonales, por lo que el producto

punto de dos vectores ortogonales es cero.


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La cantidad A cosθ AB es el componente de A a lo largo de B y es igual a laproyección del vector A a lo largo de la dirección del vector B ysimilarmente B cosθ AB es el componente de B a lo largo de A.

Si A = ( A x, A y, A z) y B = ( B x, B y , B z), entonces

(3.19)

Puesto que los vectores base

x ,

y y

z son ortogonales entre sí, se cumple

(3.20a)

(3.20b)

Con lo establecido en (3.20), (3.19) se transforma en

(3.21)

PROPIEDADES:

El producto punto obedece las propiedades conmutativa y distributiva de lamultiplicación, que se expresa como

(3.22a)

(3.22b)El producto punto de un vector consigo mismo da

(3.23)

MAGNITUD:

Si el vector A está definido en un sistema de coordenadas dado, su magnitud A puede determinarse desde

(3.24)


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También, si los vectores A y B se especifican en un sistema de coordenadasdado, entonces el ángulo más pequeño entre ellos θ AB puede determinarsedesde

(3.25)

3) Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruz de dos vectores A y B denotado por A B y pronunciado “ A cruz B”, es un vector definido como

(3.26)

θ AB

es el ángulo entre A y B

n es un vector unitario normal al plano quecontiene A y B. El significado físico del producto cruz es el de ser igual alárea del paralelogramo definido por los dos vectores, como se ilustra en la

Figura 3.9(a) y su dirección se especifica por

n de acuerdo con la ley de lamano derecha como indica la Figura 3.9(b).

(a) Producto cruz

(b) Regla de la mano derecha

Figura 3.9 El producto cruz A x B apunta en la dirección la cual es perpendicular al plano que contiene A y B y está definido por la regla de la mano derecha

El producto cruz es anti conmutativo, lo que significa que

(3.27)


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Esta propiedad puede verificarse rotando los dedos de la mano derecha desdeB a A a través del ángulo θ AB. Otras propiedades incluyen

(3.28a)

(3.28b)

Desde la definición de producto cruz dado por (3.26) resulta fácil verificar

que los vectores base

x ,

y y

z del sistema de coordenadas rectangularesobedecen las siguientes relaciones cíclicas de la mano derecha

(3.29) Nótese que el orden cíclico ( xyz xyz…) se mantiene. También se cumple

(3.30)

Si A = ( A x, A y, A z) y B = ( B x, B y , B z), entonces desde (3.29) y (3.30)conducen a

(3.31)

La forma cíclica del resultado dado por (3.31), permite expresar el productocruz en la forma de un determinante:

(3.32)


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Ejemplo 3.4 Dados los vectores A = 3

x + 4

y +

z y B = 2

y - 5

z , encuentre el

ángulo entre A y B.


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Ejemplo 3.5 Vectores y ángulos

En coordenadas cartesianas, el vector A se dirige desde el origen al punto P 1(2,3,3) y elvector B se dirige desde P 1 al punto P 2(1,-2,2). Encontrar

(a) El vector A, su magnitud A y su vector unitario

n .(b) El ángulo que forma A con el eje y.(c) El vector B.(d) El ángulo entre A y B.(e) La distancia perpendicular desde el origen al vector B.

Figura 3.10 Geometría del ejemplo 3.4.


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e. TRIPLES PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

Cuando se multiplican tres vectores no todas las combinaciones de productos punto y cruz tienen significados reales. Por ejemplo el producto

No tiene sentido porque B · C da un escalar y el producto cruz del vector A conun escalar no está definido bajo las reglas del algebra vectorial.

1) Triple producto escalar

Un triple producto escalar obedece el siguiente orden cíclico:

(3.33)

Las igualdades se mantienen conforme el orden cíclico ( ABCABC ) se preserve. El triple producto escalar de vectores A = ( A x, A y, A z), B = ( B x, B y, B z) y C = (C x, C y , C z) puede ser escrito en la forma de un determinante:

(3.34)

La validez de las ecuaciones (3.33) y (3.34) puede verificarse expandiendoA, B y C y realizando las respectivas multiplicaciones.

2) Triple producto vectorial

Es el producto cruz de un vector con el producto cruz de otros dos

(3.35)

y es también un vector. No obedece en general la ley asociativa, Esto es:


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(3.36)

lo cual significa que es importante especificar cual producto cruz de realiza primero. Expandiendo los vectores A, B y C en forma de componentes, puede demostrarse que

(3.37)


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Ejemplo 3.6

Tres cantidades de campo están dadas por

P = 2

x -

z

Q = 2

x -

y + 2

z

R = 2

x - 3

y +

z Determine

(a) (P+Q) (P-Q)(b) QRP (c) P(QR) (d) sen θ QR (e) P

(C

R)

(f) Un vector unitario perpendicular Q y R.(g) El componente de P a lo largo de Q.


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Ejemplo 3.7. Triple producto vectorial

Dado A=

x -

y +

z 2, B=

y +

z y C= -

x 2 +

z 3, encontrar (A x B) x C y compárelocon A x (B x C).


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Ejemplo 3.8 Obtenga la fórmula de coseno: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A y la fórmula de

los senos:

, mediante el producto punto y el producto cruz,

respectivamente.


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Ejemplo 3.9 Demuestre que los puntos P 1 = (5, 2, -4) y P 2 = (1,1,2) y P 3 = (-3,0,8) seubican en una línea recta. Determine la distancia más corta entre esa línea y el punto P 4

(3,-1,0).


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ACTIVIDAD PRC3.1

PREGUNTAS DE REVISION DE CONOCIMIENTO

ACTIVIDAD PIUA1 PRUEBA INTERMEDIA UNIDAD ACADEMICA 1

Evaluación intermedia de la Primera Unidad Académica:

1. Preguntas del contenido de la materia: 20 a 50.

TALLER GRUPAL DE EJERCICIOS

Taller presencial de resolución de ejercicios asignados en cada sección.


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2. SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES

Las cantidades físicas en electromagnetismo son en general funciones del espacio yel tiempo. Los sistemas de coordenadas tridimensionales permiten especificar demanera única un punto en el espacio o la dirección de una cantidad vectorial y

pueden ser ortogonales o no.

Un sistema de coordenadas ortogonal es aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares y los más utilizados para nuestros fines son

El sistema de coordenadas rectangulares. El sistema de coordenadas cilíndricas. El sistema de coordenadas esféricas.

El sistema que se escoja depende del que se ajuste mejor a la geometría del problema que se desea analizar.

a. Coordenadas rectangulares.

Las relaciones vectoriales se resumen en la Tabla 3.1.12

Tabla 3.1. Resumen de relaciones vectoriales

La longitud diferencial d l es un vector definido como se indica en la Figura 3.11.

(3.38)

12 Tomado de “Mathematical Tables”, Schaum colection.


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Donde dl x = dx es una longitud diferencial a lo largo de y similaresdefiniciones aplican a dl y = dy y dl z = dz.

Figura 3.11 Longitud diferencial, área y volumen en coordenadas Cartesianas

Un diferencial de área d s es una cantidad vectorial con una magnitud ds igual al producto de dos longitudes diferenciales (por ejemplo como dl y y dl z) y sudirección se denota por un vector unitario a lo largo de la tercera dirección (porejemplo ). Así para un diferencial de área en los planos y – z, x – z y x – y :

(3.39a)

(3.39b)

(3.39c)

Un diferencial de volumen es igual al producto de los tres diferenciales delongitud:

(3.40)

b. Coordenadas cilíndricas

Ese sistema es útil para resolver problemas con simetría cilíndrica, tal comocuando se desea analizar un cable que lleva corriente o las características de

propagación en un cable coaxial.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, la localización de un punto en elespacio es únicamente determinado por:

r o distancia radial en el plano x – y, con dominio 0 ≤ r < ∞.Φ es el ángulo de rumbo (azimut) medido desde el eje positivo x , con dominio 0 ≤ Φ < 2π. z es igual a z del sistema de coordenadas rectangulares, con dominio - ∞ < z < ∞.


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Para ilustrar la ubicación espacial de un punto P (r 1 , Φ1 , z1) como se indica en laFigura 3.12; se considera a este localizado en la intersección de tres superficies.Estas son las superficies: cilíndrica definida por el lugar geométrico r = r 1, elmedio plano vertical definido por Φ = Φ1 y el plano horizontal z = z1.

Figura 3.12 Sistema de coordenadas cilíndricas

Los vectores base

r ,

y

z son mutuamente perpendiculares con:

r apuntando desde el origen a lo largo de r.

apuntando en una dirección tangencial a la superficie del cilindro.

y

z apuntando a lo largo de la vertical.

A diferencia del sistema de coordenadas rectangulares, en el cual los vectores base son independientes de la localización del punto P , en el sistema de

coordenadas cilíndrico ̂ y son funciones de .Los vectores base unitarios obedecen las siguientes relaciones cíclicas de la

mano derecha:

(3.41)

y como todos los vectores unitarios

r ·

r =

·

=

z ·

z = 1 y

r r =

=

z z = 0


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En coordenadas cilíndricas, un vector se expresa como

(3.42)

donde Ar , A y Az son los componentes cilíndricos de A. La magnitud de A seobtiene aplicando (3.24):

(3.43)

El vector posición

⃗ mostrado en la Figura 3.12, tiene componentes solamente

a lo largo de r y z. Es decir

(3.44)

La dependencia de R1 sobre es implícita a través de la dependencia de ̂ sobre . Entonces cuando se usa la (3.44) para denotar la posición del punto

P (r 1 , Φ1 , z1) es necesario especificar que ̂ está en .En relación a la Figura 3.13:

(3.45)

Figura 3.13 Areas diferenciales en coordenadas cilíndricas

La Figura 3.13, muestra que la longitud diferencial a largo de es r d y nosólo d . La longitud diferencial d l en coordenadas cilíndricas está dada por


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(3.46)

Como fue establecido previamente para el sistema de coordenadas rectangulares,el producto de cualquier par de longitudes diferenciales es igual a la magnitud de

un vector diferencial de superficie con un vector normal de superficie apuntandoa lo largo de la dirección de la tercera coordenada. Así,

(3.47a)

(3.47b)

(3,47c)

El diferencial de volumen es el producto de los tres diferenciales de longitud

(3.48)

Las propiedades precedentes del sistema de coordenadas cilíndrico se resumenen la Tabla 3.1.


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Ejemplo 3.10 Distancia vectorial en coordenadas cilíndricas

Encontrar una expresión en coordenadas cilíndricas para el vector unitario del vector A que se muestra en la Figura 3.14.

Figura 3.14. Geometría del ejemplo 3.10


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Ejemplo 3.11. Area cilíndrica

Encuentre el área de una superficie cilíndrica descrita por r = 5, 300 ≤ ≤ 600 y 0 ≤ z ≤3, como se indica en la Figura 3.15.

Figura 3.15 Superficie cilíndrica del ejemplo 3.11


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ACTIVIDAD SIM3.1SIMULACION PUNTOS Y VECTORES

c. Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, la localización de un punto en el espacioestá únicamente especificado por las variables R, θ y como se indica en laFigura 3.16.

Figura 3.16 Localización del punto P en coordenadas cilíndricas

R llamada también distancia describe una esfera de radio R centrada en elorigen. El ángulo θ se mide desde el eje positivo z y describe una superficiecónica con su vértice en el origen y el ángulo es el mismo que el decoordenadas cilíndricas.

Los dominios son:

0 ≤ R < ∞,0 ≤ θ < π,0 ≤ < 2π

Los vectores base

R ,

y

obedecen las siguientes relaciones cíclicas de manoderecha:

(3.49)

Por lo tanto un vector con componentes AR , Aθ y A se escribe como


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(3.50)

y su magnitud está dada por

(3.451)

El vector posición del punto P ( R1, θ 1 y 1) es simplemente

(3.52)

Recordando que

R es implícitamente dependiente sobre θ 1 y 1.

Como se muestra en la Figura 3.17, las longitudes diferenciales a lo largo de

R ,

y

son

(3.53)

Figura 3.17 Vectores diferenciales en coordenadas esféricas

Entonces, las expresiones para el vector diferencial de longitud d l, el vectordiferencial de superficie d s y el diferencial de volumen son

(3.54a)

(3.54b)


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(3.54c)

(3.54d)

(3.54e)

Estas relaciones se resumen en la Tabla 3.1.


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Ejemplo 3.12 Area superficial en coordenadas esféricas

Encontrar el área de la franja esférica mostrada en la Figura 3.18, de una esfera de radio3 cm.

Figura 3.18 Franja esférica del ejemplo 3.12.


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Ejemplo 3.13 Carga en una esfera

Una esfera de radio 2 cm contiene una densidad volumétrica de carga ρv dada por ρv = 4cos2θ (C/m3). Encontrar la carga total contenida en la esfera.


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ACTIVIDAD APT3.1GPS

3. TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS

La posición de un punto en el espacio es invariante con respecto al sistema decoordenadas que se escoja; lo que varía es la descripción en cada sistema. Lo mismoes verdad para vectores. Así, en esta sección se obtendrá las relaciones entre lasvariables de los sistemas rectangular, cilíndrico y esférico, para transformar vectoresexpresados en uno de los tres sistemas en vectores expresados en cualquiera de losotros dos.

a. Transformaciones rectangulares a cilíndricas

Figura 3.19 Interrelaciones entre coordenadas Cartesianas y Cilíndricas

El punto P en la Figura 3.19, tiene coordenadas rectangulares ( x,y,z) ycoordenadas cilíndricas (r, ,z). Los dos sistemas comparten la coordenada z ylas relaciones entre los otros dos pares de coordenadas pueden obtenerse desdela geometría indicada. Ellas son

(3.55)

y las relaciones inversas son

(3.56)

Figura 3.20 Interrelaciones entre vectores base cartesianos y cilíndricos


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Siguiendo, con la ayuda de la Figura 3.20, que muestra las direcciones de los

vectores unitarios

x ,

y ,

z y

en el plano x – y; se pueden obtener lasrelaciones:

(3.57a)

(3.57b)

Para expresar

r en términos de

x y

y , se escribe

r como

(3.58)

donde a y b son coeficientes de transformación desconocidos.

El producto punto

r ·

x da

(3.59)

La comparación de (3.59) y (3.57a) conduce a la conclusión de que a = cos .

Similarmente, la aplicación del producto punto

r ·

y a (3.58) da b=sen .

Entonces

(3.60a)

La repetición del procedimiento para

da

(3.60b)

La tercera base vectorial

z es la misma en los sistemas coordenados., por que

queda igual. Resolviendo (3.60a) y (3.60b) simultáneamente para

x y

y , dacomo resultado las relaciones inversas siguientes:

(3,61a)

(3.61b)

Las relaciones dadas por (3.60a) a (3.61b) no son solamente útiles para

transformar los vectores base (

x ,

y ) en (

r ,

) y viceversa, ellas pueden

usarse para transformar los componentes de un vector expresado en cualquiersistema coordenado en sus correspondientes componentes expresados en el otro


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sistema. Por ejemplo un vector A =

x A x +

y A y +

z A z en coordenadas

cartesianas puede ser transformado en A =

r Ar +

A +

z A z en coordenadascilíndricas aplicando (3.60a) y (3.60b). Esto es

(3.62a)

(3.62b)

y en contrario

(3.63a)

(3.63b)

Las relaciones de transformación se resumen en la tabla 3.2.13

Tabla 3.2: Relaciones de transformación de coordenadas

13 Tomado de “Mathematical tables”, Schaum colection.


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Ejemplo 3.14. Transformaciones cartesianas a cilíndricas

Dado el punto P 1(3, -4, 3) y el vector A =

x 2 -

y 3 +

z 4, definido en coordenadasrectangulares, exprese P 1 y A en coordenadas cilíndricas y evalúe A en P 1.


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b. Transformaciones rectangulares a esféricas

Figura 3.21. Interrelaciones entre ( x, y, z) y ( R, θ , )Utilizando la Figura 3.21, se obtienen las siguientes relaciones entre

coordenadas rectangulares y esféricas:

(3.64a)

(3.64b)

(3.64c)

y las relaciones inversas

(3.65a)

(3.65b)

(3.65c)

El vector unitario

R descansa en el plano

z r , por lo cual, puede expresarse

como una combinación lineal de

r y

z como sigue:


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(3.66)

donde a y b son coeficientes de transformación. Puesto que

r y

z sonmutuamente perpendiculares,

(3.67a)

(3.67b)

Desde la Figura 3.21, el ángulo entre

R y

r es el complemento de θ y aquel

entre

R y

z es θ . Entonces a =

R ·

r = sen θ y b =

R ·

z = cos θ . Luego de

insertar estas expresiones para a y b en (3.66) y reemplazando

r con (3.64a), setiene

(3.68a)

Procedimiento similar se sigue para obtener la expresión para

:

(3.68b)

y la expresión para

está dada por (3.64b) como

(3.68c)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (3.68a) hasta (3.68c) se obtienen

las expresiones para (

x ,

y ,

z ) y (

R ,

,

) :

(3.69a)

(3.69b)

(3.69c)

CONCLUSION PARCIAL

Las ecuaciones (3.68a) a (3.69c) pueden también usarse para transformar ( A x , A y , A z) del vector A en sus componentes esféricos ( A R , Aθ , A ) y viceversa,

reemplazando (

x ,

y ,

z ,

R ,

,

) con ( A x , A y , A z, A R , Aθ , A )respectivamente.


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Ejemplo 3.15. Transformación rectangular a esférica

Expresar el vector A =

x ( x + y) -

y ( y - x) +

z z, en coordenadas esféricas.


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c. Transformaciones de cilíndrica a esférica

Se realizan utilizando directamente las relaciones de transformación de las dossecciones precedentes. Los resultados se resumen en la Tabla 3.2.

d. Distancia entre dos puntos

En coordenadas rectangulares, la distancia d entre dos puntos P1(x1, y1, z1) yP2(x2, y2, z2) está dada por (3.16) como

(3.70)

Usando (3.56) para convertir las coordenadas rectangulares de P1 y P2 en sus

equivalentes cilíndricas, se obtiene

(3.71)

Una transformación similar usando (3.65a-c) conduce a una expresión para d entérminos de coordenadas esféricas de P1 y P2:

(3.72)


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Ejemplo 3.16

Dados el punto P (-2, 6, 3) y el vector A = , exprese P y A encoordenadas cilíndricas y esféricas. Evalúe A en P en los sistemas cartesiano,cilíndrico y esférico.


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Ejemplo 3.17

Exprese el vector en coordenadas cartesianas y cilíndricas.Halle B (-3,4,0) y B (5,π/2,-2).


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ACTIVIDAS PRC3.2

PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO

P3.8 Por qué se usa más de un sistema de coordenadas?

P3.9 Porqué los vectores base (

x ,

y ,

z ) son independientes de la localización de un

punto, pero

r y

no lo son?

P3.10 Que son las relaciones cíclicas para los vectores base en (a) Coordenadasrectangulares, (b) Coordenadas cilíndricas y (c) Coordenadas esféricas?

P3.11 Cómo se relaciona la posición vectorial de un punto en coordenadas cilíndricascon la posición en coordenadas esféricas?


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e. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Hechos:

Normalmente la variación de una cantidad escalar T con respecto a una solavariable, por ejemplo z, se describe mediante dT/dz. Sin embargo; si T estambién una función de x y y en un sistema de coordenadas rectangulares, latasa de cambio espacial es más difícil de describir porque ahora se debe tratar no

solamente con tres variables separadas, sino que se debe tratarlas como unarreglo unificado.

El cambio diferencial en T a lo largo de x, y y z puede describirse en términos delas derivadas parciales de T con respecto a las tres variables coordenadas, perono es inmediatamente obvio, porque existe variación espacial en las magnitudesy direcciones.

En cálculo vectorial se usan tres operadores fundamentales para describir lasvariaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores: gradiente,divergencia y rotacional .

Análisis:

Figura 3.22. Vector distancia diferencial entre los puntos P 1 y P 2.

Si T 1 ( x, y, z) es la temperatura en el punto P 1 ( x, y, z) en alguna región en elespacio y T 2 ( x+dx, y+dy, z+dz) es la temperatura en un punto cercano P 2, comomuestra la Figura 3.22, entonces las distancias diferenciales dx, dy y dz son loscomponentes de la distancia vectorial d l. Esto es

(3.73)

Desde cálculo diferencial, el diferencial de temperatura dT=T 2 – T 1 está dado por


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(3.74)

y puesto que por definición dx =

x · d l, dy =

y · d l y dz =

z · d l , (3.74) puede re

escribirse como

(3.75)

El vector dentro de los corchetes en (3.75) define el cambio de temperatura dT correspondiente a un cambio vectorial en posición d l. Este vector se llama gradiente de

T o en corto grad T y es usualmente escrito simbólicamente como T . Es decir

(3.76)

y (3.71) puede expresarse como

(3.77)

El símbolo se llama operador “nabla” u operador gradiente y se define como

(3.78)

Nota:

Mientras el operador gr adiente no ti ene signi f icado físico por sí mismo, si l otiene una vez que opera sobre un escalar y el resultado es un vector cuyamagnitud es igual a la máxima tasa de cambio de la cantidad física por unidad dedistancia y cuya di rección es a lo largo de la dirección de máximo incremento.

Con d l =

a l dl , donde

a l es el vector unitario de d l , la derivada direccional de T a lo

largo de la dirección a l está dada por

(3.79)

Si T es una función de las variables coordenadas de un sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia (T 2-T 1) donde T 1 y T 2 son los valores de T en los puntos P 1 y

resumen libro base electromagnetismo

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